INSTITUTO AZTECA DE FORMACIN EMPRESARIAL

MAESTRA EN INNOVACIN EDUCATIVA

Constructivismo e Innovacin EducativaUNIDAD 1

PRESENTACIN

Esta asignatura pretende profundizar en perspectivas constructivistas del aprendizaje con la finalidad de comprender cmo, desde esta perspectiva, se pueden fortalecer los procesos de innovacin.

De esta manera se buscar desarrollar en el estudiante estrategias que le permitan construir experiencias de aprendizaje que favorezcan la construccin del pensamiento desde una perspectiva creativa

UNIDAD 1

CONSTRUCTIVISMO

1. CONCEPTO DE CONSTRUCTIVISMO

El Constructivismo es una de las corrientes psicolgicas que cuenta en la actualidad con mayor reconocimiento cuando se trata de explicar la gnesis y el desarrollo del pensamiento en el ser humano.El mismo trmino, constructivismo, permite suponer, a quien lo lee que se trata de una postura que entiende que el pensamiento se construye, es decir, que se parte de algn punto para modificarlo y hacerlo crecer.Lee el siguiente documento: (Obtenido de http://definicion.de/constructivismo/)Elconstructivismoes el nombre de varias corrientes surgidas en elarte, lapsicologa, lafilosofa, lapedagogay lasciencias socialesen general.

En el mbito artstico, el constructivismo es unmovimiento de vanguardiaque se interesa por la manera en que se organizan los planos y por la expresin del volumen empleando aquellos materiales propios de la industria.

El movimiento naci enRusiaen torno al ao1914y se fortaleci despus de laRevolucin Bolchevique.

El cubismo abstracto est muy en relacin con este movimiento artstico que tuvo muchos y diferentes seguidores en todo el mundo, aunque especialmente en Rusia y en Holanda. Entre todos aquellos habra que destacar, por ejemplo, la figura de Theo van Doesburg que fue el creador del grupo Abstraction-Cration y que cuenta con diversas obras que pueden admirarse hoy da en el Museo Thyssen Bornemisza de Madrid.

De igual manera tambin se podra citar entre los principales artistas del constructivismo a Joaqun Torres Garca que est considerado como el mejor y ms destacado artista de Uruguay de todo el siglo XX. El museo que lleva su nombre y que seencuentraen Montevideo es uno de los mejores espacios para conocer la obra de aquel.

En lapsicologa, el constructivismo est basado en los postulados deJean Piaget. Este psiclogo seal que eldesarrollode las habilidades de la inteligencia es impulsado por la propia persona mediante sus interacciones con el medio.

Adems de este citado autor tambin hay que subrayar el relevante papel que ejercieron otros dentro de esta rama del constructivismo tales como Lev Vygotski. En su caso la principal idea que emana de sus teoras y planteamientos es que el ser humano y en concreto su desarrollo slo puede ser explicado desde el punto de vista de la interaccin social.

Para lafilosofa y laepistemologa, el constructivismo (tambin denominadoconstructivismo epistemolgico) es una corriente que empez adesarrollarseen la mitad delsiglo XX. Segn esta tendencia, la realidad es una construccin creada por aquel que la observa.

Edgar Morin, Humberto Maturana, Gregory Bateson, Ernst von Glasersfeld o Paul Watzlawick son algunos de los filsofos que tambin dejaron su huella palpable dentro del constructivismo, la corriente de pensamiento que revolucion el siglo pasado.

El ltimo, por ejemplo, ha pasado a la historia como creador de los Axiomas de Watzlawick que son cinco: es imposible no comunicarse, la comunicacin es metacomunicacin, una relacin depende de las secuencias comunicacionales, la comunicacin humana puede ser analgica o digital, y los intercambios de comunicacin son complementarios o simtricos.

El constructivismo puede ser considerado como un subparadigma dentro del cognitivismo, pero por su singularidad tambin como un paradigma con entidad propia. El constructivismo es principalmente una epistemologa(teora del conocimiento). La epistemologa se plantea varias cuestiones principales en relacin con el conocimiento:1. Cmo adquirimos el conocimiento? Posicin racionalista: a partir de conocimientos innatos. Posicin empirista: por la formacin en nosotros de una copia de la realidad exterior. Constructivismo:elconocimiento es una construccin del sujeto. Superacin del racionalismo y del empirismo. Busca un cierto equilibrio entre ambas teoras filosficas.2. Podemos acceder a la realidad mediante el conocimiento? Posicin objetivista:es posible conocer directa y objetivamente la realidad. Constructivismo:opuesto al objetivismo. Constructivismo crtico: existe la realidad y el conocimiento nos acerca a ella, aunque nunca podremos acceder completamente a lo que sean las cosas en s mismas. Constructivismo radical: la realidad o no existe o nos es totalmente inaccesible. Slo cabe hablar con sentido de la realidad ya interpretada, la realidad ya experimentada por el hombre. Los autores constructivistas han influido en psicologa, en particular en campos como la percepcin, el aprendizaje, la personalidad, la psicologa educacional y la psicoterapia.

Lapedagogatambin denomina como constructivismo a la corriente que afirma que el conocimiento de todas las cosas surge a partir de la actividad intelectual del sujeto, quien alcanza su desarrollo segn la interaccin que entabla con su medio.

Por ltimo, podemos mencionar que el constructivismo en lasmatemticasrequiere, para probar la existencia de un concepto matemtico, que ste pueda serconstruido. A la tendencia opuesta se la conoce como platonismo matemtico y se basa en que los objetos matemticos son realidades atemporales y abstractas, pero no creaciones mentales de las personas que se dedican al quehacer propio de las matemticas.

2. CONSTRUCTIVISMO Y COGNOSCITIVISMOLos trminos constructivismo y cognoscitivismo se han prestado a interpretaciones que pueden diferir entre quienes lo interpreten: para algunos son trminos sinnimos ya que ambos nacen de una teora que trata de explicar cmo se origina y desarrolla el pensamiento, la inteligencia en el ser humano; sin embargo, para otros, estos trminos tienen un significado diferente ya que parten de una concepcin distinta sobre cmo se aprende.

A continuacin se presenta una lectura que trata de explicar esta diferencia:

Segmento publicado por Eduardo Xavier Roldos Arosemena en http://eduardoroldosarosemena.blogspot.mx/2009/04/constructivismo-vs-cognitivismo.html

CONSTRUCTIVISMO VS COGNITIVISMO

Hay una polmica sobre si el constructivismo es o no es una rama de las ciencias cognitivas.

Esta polmica se ocasiona porque ambas escuelas, la cognitiva y la constructivista tienen entre sus referente a Piaget, que nunca se autodenomino ni cognitivo ni constructivista, sin embargo teoriz sobre las estructuras cognitivas en el proceso de construccin del conocimiento.

Piaget bautiz a sus estudios como epistemologa gentica, por que buscaba estudiar la gnesis del conocimiento (epistheme).

Cognitivistas y constuctivistas se han basado en los estudios de Piaget para sostener sus enunciados, incluso hay una tradicin cognitivo-constuctivista en psicologa y psicoterapia que destac en los aos 80. Esta escuela parece ser una transicin de la escuela cognitivo-conductual, que hoy se llama as mismo post-racionalista y tiene como representante principal a Mahoney.

No es apropiado meter a estas dos escuelas en el mismo saco por lo siguiente:

Tras una escuela epistemolgica que estudia el conocimiento hay una visin ontolgica que explica la realidad.

Las ciencias cognitivas, se desarrollaron gracias al paradigma informtico del proceso de la informacin, aislando el fenmeno de la informacin para poder estudiarlo, esto hizo que se partiera de la premisa que el proceso de

las comunicaciones poda ser analizado en funciones diferenciadas de entradas y salidas, tomando como modelo la computadora se diferenci el hardware del software, para poder explicar el proceso de la informacin de seales codificadas en smbolos, todo esto implica que:

Hay una realidad cognoscible, es objetivistaEl dualismo tiene validezEl hardware es el cerebroEl software es la menteLa mente procesa la informacin.Por lo tanto la mente existe como objeto de estudio capaz de ser aislado para su investigacin.

El constructivismo en cambio se debe a otra ontologa, el constructivismo no es dualista, no separa cuerpo de mente, epistemolgicamente no es realista, no acepta que haya una realidad independiente del observador, porque la realidad es coproducida por todos los seres vivos en interaccin,

adems el constructivismo sostiene la realidad percibible depende ms de las estructuras biolgicas del perceptor que del fenmeno objetivo externo al perceptor a tal punto que para el observador es imposible llegar a conocer realmente al objeto, ms bien lo que logra es una ficcin funcional, todo esto amparado en una serie de experimentos realizados por los fsicos Von Foerter y Von Glaerselferldt y los bilogos Maturana y Varela, quienes comprobaron viejos axiomas de Protgoras, Vicco, Kant y Husserl.

As:EL constructivismo no es dualistaNo hace distincin entre la naturaleza biolgica, psicolgica o social.No es realistaNo es objetivista ni positivistaNo asla entradas de salidas, software de hardware, ni seales de smbolos.A pesar de que se apoya en la teora de sistemas y en la ciberntica ha desarrollados sus propios axiomas que lo diferencian de las teoras cognitivas (PNL, Neuro-semntica o coaching) que se apoyan de alguna manera en Bertalanffy y Wiener.

Ejemplo de esto son las escuelas de:

EPISTEMOLOGIAEpistemologa del observador de Maturana.Constructivismo radical de Vonfoerster-Von GlassenfeltComplejidad de MornTeora del Caos

SOCIOLOGIATeora de las Sistemas Sociales de Luhman.Construccionismo social de Berger-Lukman.

POLITOLOGIATeora de los sistemas polticos de Easton

PSICOLOGIADeconstructivismo de Gergen.Enfoque interaccional de Palo altoTerapia Breve estratgica de Palo alto.Escuela de Miln en Terapia Sistmica FamiliarEscuela estructural de Minucchin Terapia Sistmica Familiar.Escuela de Chicago en Terapia Sistmica.Teora de los sistemas familiares de Bowen.

Fuente:

www.eduardoroldosarosemenablogspot.com

Ya que a lo largo de la asignatura se profundizar en la visin constructivista, se aprovechar este momento para tener una acercamiento a las Teoras Cognitivistas

Teoras Cognitivistas

Tras la Segunda Guerra Mundial algunos investigadores fueron conscientes de las limitaciones del Conductismo cuando quiere explicar los procesos de aprendizaje ya que lo importante para ste solo eran los inputs y los outputs, es decir, la manera en que se alimentaba al aprendiz para que diera la respuesta que se deseaba.

Algunos de los principales representantes de esta postura son los siguientes

Tolman

Conductismo propositivo

Tolman,dentro del marco conductista, propuso que el aprendizaje dependa de dos variables intermedias entre el estmulo y la respuesta, los propsitos(que dirigen las conductas a la consecucin de metas) y lascogniciones.

Los experimentos de Tolman plantearon la existencia demapas cognitivos. Estos experimentos consistan en situar a una rata en un laberinto y, utilizando las bases del condicionamiento, ensearle a salir del mismo. Posteriormente volva a introducir a la rata en el mismo laberinto pero con distintas situaciones.

Observ que estos animales mostraban algn tipo demapa mentalo unarepresentacindel laberinto que estaban utilizando y que les permita llegar a la meta a pesar de las dificultades que Tolman introduca. Este planteamiento acerc su tesis al cognitivismo.

Julian Rotter

Teora del valor de la expectativa

En 1954 la teora de Tolman fue ampliada porJulian Rotterdescribiendo la importancia de lasexpectativasen el aprendizaje. Plante que la preferencia por un estmulo est determinada por suvalor de recompensa. Este valor es relativo y dependiente de la experiencia puesto que variar en funcin de la introduccin de nuevos reforzadores.

Otro de los aspectos ms importantes de esta teora es que establece que las expectativas son subjetivas y adems estn determinadas por las circunstancias, es decir, podemos esperar una recompensa en una situacin determinada pero no en otra.

Sin embargo, Rotter es ms conocido por el concepto delugar de control. Hay dos expectativas generalizadas:expectativa interna(creencia segn la cual la obtencin de una meta depende de nuestras propias acciones);expectativa externa(creencia segn la cual los acontecimientos estn ms all de nuestro control).

Robert Gagne

Procesamiento de la informacin

A finales de los 50, de la mano de la revolucin ciberntica, el proceso de aprendizaje comenz a forjarse en trminos deprocesamiento de la informacin. El enfoque del Procesamiento de la Informacin establece entonces laanaloga entre los programas computacionales y los procesos cognitivos. El aprendizaje es el resultado de acciones bsicas como codificar, ordenar y comparar la informacin.

Gagn,Newell,Mayerson algunos de los tericos de este enfoque.

Von Bertalanffy

La Teora General de Sistemas

La Teora General de Sistemas surgi debido a la necesidad de abordar cientficamente la comprensin de lossistemas concretosque forman la realidad, generalmente complejos y nicos, resultantes de una historia particular, en lugar desistemas abstractoscomo los que estudia la Fsica.

Von Bertalanffy, su creador, defendi unapostura antimecanicista. Utiliz anlisis matemticos y conceptos de ingeniera, ciberntica y teora de la informacin para entender los sistemas. La lgica caracterstica de los sistemas es la misma en sistemas tan diversos como los fsicos, biolgicos, psicolgicos o sociales. El objetivo de esta teora ha sido hallar modelos lgico-matemticos que sean comunes a todos los sistemas.Algunas caractersticasde los sistemas:

El todo es algo ms que la suma de las partes Poseen una organizacin. Los elementos del sistema son interactivos, no sumativos.

Caractersticas diferenciales de la teora

Para los cognitivistas el conocimiento se adquiere al integrar la nueva informacin de forma significativa a las estructuras organizativas cognitivas (Teora del esquema). Al cognitivismo le interesa la representacin mental, de ah que la actividad humana se describa en funcin de smbolos, esquemas, imgenes, ideas y otras formas de representacin mental. Establece un smil o analoga entre la mente humana y el ordenador. Resalta el importante papel de las condiciones ambientales en la facilitacin del aprendizaje. Las instrucciones, demostraciones o ejemplos demostrativos; se consideran instrumentos para guiar al alumno. Basa el aprendizaje en procesos internos del individuo, realizados intencionadamente (sujeto activo) como consecuencia de la interaccin entre la informacin proveniente del medio y el individuo. Cuando se aplican los conocimientos a los diferentes contextos entonces se entender que se ha producido la transferencia de conocimientosTomado de: http://uso-grupo1.wikispaces.com/Cognitivismo

EL COGNOCITIVISMO:

Principios tericos y sus objetivos educativos

Principios tericos

La psicologa cognitiva concibe al sujeto como un procesador activo de los estmulos. Es este procesamiento, y no los estmulos en forma directa, lo que determina nuestro comportamiento. Aprender es el desarrollo de aptitudes para comprender la realidad que permitirn la emisin de respuestas adecuadas ante diversos contextos. El aprendizaje es interpretado en trminos de la modificacin y adquisicin de estructuras de conocimiento. Estudia aspectos observables y no observables. Explora los siguientes procesos memoria, percepcin, recuerdo, olvido, transferencia y asimilacin. Entre los procesos anteriormente mencionados, es a travs de la asimilacin como se produce el aprendizaje significativo. En este proceso, la estructura que recibe el nuevo conocimiento y ese nuevo conocimiento se modifican dando lugar a una nueva estructura de conocimiento. Para desarrollar los procesos cognitivos que permitirn alcanzar la adquisicin, retencin y aplicacin de los conocimientos, el cognitivismo facilita que el estudiante sea consciente de sus propios procesos cognitivos permitindoles ser ms independientes y reflexivos. Considera al individuo como un ser activo, constructor de su propio conocimiento, el cual surge a partir de sus conocimientos previos.. Los expertos afirman que la postura cognitiva considera al aprendizaje en toda su complejidad al considerar los aspectos externos del ambiente (estmulos, informacin) y los aspectos internos (procesos mentales). El estudio del desarrollo cognitivo representa un gran aporte a la educacin, dado que permite conocer las capacidades y restricciones de los nios en cada edad.

Objetivos educativos

Olvidar el aprendizaje memorstico y basarlo en la Teora del Procesamiento de la Informacin, en la cual se establece que los conocimientos y el aprendizaje de los alumnos se encuentran en la memoria mediante esquemas. Como el aprendizaje est en la propia memoria, se trata de un aprendizaje individual e interno del individuo, pero tambin significativo.

Tomado de: http://uso-grupo1.wikispaces.com/Cognitivismo

http://uso-grupo1.wikispaces.com/Principios+te%C3%B3ricos+y+objetivos+did%C3%A1cticos+del+cognitivismo

Teora del AprendizajeCmo ocurre el aprendizajeCules son los factoresque influyen en el aprendizajeCul es el rol deLa memoriaCmo ocurre latransferenciaCules tipos de aprendizaje se explican mejor por esta posicinCules de los supuestos o principios bsicos de esta teora son pertinentes al diseo de instruccinCmo debe estructurarse la instruccin para facilitar el aprendizaje

Conductismo:Iguala al aprendizaje con los cambios de conducta observable, bien sea a la forma o a la frecuencia de esas conductas.Se logra cuando se demuestra o se exhibe una respuesta apropiada a continuacin de la presentacin de un estmulo ambiental especfico. Los elementos claves son: estmulo, respuesta y la asociacin de ambos. Focaliza la importancia de las consecuencias de estas conductas y mantiene que a las respuestas que se les sigue con un refuerzo tienen mayor probabilidad de volver a sucederse en el futuro. Se caracteriza al estudiante como reactivo a las condiciones del ambiente.Las condiciones ambientales. Se evala al estudiante para determinar en qu punto comenzar la instruccin, as como para determinar cules refuerzos son ms efectivos para un estudiante en particularNo es tomada en cuenta. El olvido se atribuye a falta de uso de una respuestaAplicando el conocimiento aprendido a nuevas situaciones. Ocurre como resultado de la generalizacin. Las situaciones que presentan caractersticas idnticas o similares permiten que las conductas se transfieran a travs de los elementos comunes.Discriminaciones, generalizaciones, asociaciones y encadenamiento. Pero generalmente no pueden explicar las adquisiciones de alto nivel-nfasis en producir resultados observables y mensurables-Evaluacin previa de los estudiantes para determinar dnde se debe iniciar la instruccin-nfasis en el dominio de los primeros pasos antes de progresar a niveles ms complejos de desempeo-Uso de refuerzos para impactar al desempeo-Uso de pistas o indicios, modelaje y prctica para asegurar una fuerte asociacin estmulo-respuesta.Se estructura alrededor de la presentacin del estmulo y la provisin de oportunidades para que el estudiante practique la respuesta apropiada.

Teora del AprendizajeCmo ocurre el aprendizajeCules son los factoresque influyen en el aprendizajeCul es el rol deLa memoriaCmo ocurre latransferenciaCules tipos de aprendizaje se explican mejor por esta posicinCules de los supuestos o principios bsicos de esta teora son pertinentes al diseo de instruccinCmo debe estructurarse la instruccin para facilitar el aprendizaje

Cognitivismo:El nfasis se localiza en promover el procesamiento mental. Acentan procesos cognitivos ms complejos como el pensamiento, la solucin de problemas, el lenguaje, la formacin de conceptos y el procesamiento de la informacinLa adquisicin de conocimiento se describe como una actividad mental que implica una codificacin interna y una estructuracin por parte del estudiante, quien es un participante muy activo del proceso de aprendizaje. Los cognitivistas se ocupan de cmo la informacin es recibida, organizados, almacenados y localizados.La manera como los estudiantes atienden, codifican, transforman, ensayan, almacenan y localizan la informacin, adems de pospensamientos, creencias, actitudes y valores.Posee un lugar preponderante, pues el aprendizaje resulta cuando la informacin es almacenada en ella de una manera organizada y significativaLa transferencia es una funcin de cmo se almacena la informacin en la memoria. Cuando un estudiante entiende como aplicar en conocimiento en diferentes contextos, entonces ha ocurrido la transferenciaDebido al nfasis en las estructuras mentales, se le considera apropiada para explicar las formas ms complejas de aprendizaje, a saber, razonamiento, solucin de problemas, procesamiento de informacin.-Retroalimentacin-Anlisis del estudiante y la tarea-nfasis en la participacin activa del estudiante en el proceso de aprendizaje-Uso de anlisis jerrquico para identificar e ilustrar relaciones-nfasis en la estructuracin, organizacin y secuencia de la informacin para facilitar su ptimo procesamiento-Creacin de ambientes de aprendizaje que permitan y estimulen al estudiante a hacer conexiones con material previamente aprendido.El aprendizaje debe ser significativo y que se ayude al estudiante a organizar y relacionar nueva informacin con el conocimiento existente en la memoria.

Teora del AprendizajeCmo ocurre el aprendizajeCules son los factoresque influyen en el aprendizajeCul es el rol deLa memoriaCmo ocurre latransferenciaCules tipos de aprendizaje se explican mejor por esta posicinCules de los supuestos o principios bsicos de esta teora son pertinentes al diseo de instruccinCmo debe estructurarse la instruccin para facilitar el aprendizaje

Constructivismo:El conocimiento es una funcin de cmo el individuo crea significados a partir de sus propias experiencias. . Los constructivistas enfatizan la interaccin entre la mente y el mundo real. Los humanos crean significados, no los adquierenEsta teora equipara al aprendizaje con la creacin de significados a partir de experiencias. Por lo tanto el conocimiento emerge en contextos que le son significativos al estudianteLa interaccin especfica entre los factores ambientales y el estudiante. Es esencial que el conocimiento est incorporado en la situacin en la cual se usa.Siempre estar en construccin, como una historia acumulativa de interaccionesPuede facilitarse envolviendo a la persona en tareas autnticas ancladas en contextos significativos. Si el aprendizaje se descontextualiza, hay poca esperanza de que la transferencia ocurra.Los contructivistas consideran que es imposible aislar unidades de informacin o dividir los dominios de conocimiento de acuerdo a un anlisis jerrquico de relaciones. Por lo tanto no aceptan el supuesto de que los tipos de aprendizaje pueden identificarse independientemente del contenido y del contexto de aprendizaje.--nfasis en la identificacin del contexto en el cual las habilidades sern aprendidas y aplicadas-nfasis en el control por parte del estudiante para manipular la informacin-Necesidad de que la informacin se presente en una amplia variedad de formas-Apoyar el uso de las habilidades de solucin de problemas que permitan al estudiante ir ms all de la informacin presentada-Evaluacin enfocada hacia la transferencia de conocimiento y habilidades.El significado lo crale estudiante: los objetivos de aprendizaje no estn predeterminados, como tampoco la instruccin se predisea. Se debe mostrar al estudiante cmo se construye el conocimiento, promover el descubrimiento de mltiples perspectivas y llegar a una posicin auto seleccionada.

3. UNA MIRADA AL PENSAMIENTO FILOSOFICO DEL CONSTRUCTIVISMO

Cada vez que se realiza una prctica docente en un aula, se est haciendo efectiva la forma en que el maestro entiende el proceso de aprendizaje y tambin la manera de comprender quin es el ser humano, su alumno.

En otras palabras, la puesta en prctica una tcnica siempre estar sustentada por una metodologa que deriva de una ciencia. Toda ciencia tiene un sustento filosfico ya sea a travs de su concepcin epistemolgica o antropolgica.

Es cierto tambin, que en muchas ocasiones se acta sin la conciencia de lo que se est haciendo, es decir, pueden existir maestros que manejen tcnicas de enseanza que pueden permitir inducir que la antropologa que sustenta su actuar no respeta la dignidad de su alumno, sin embargo, puede ser que el maestro no tenga conciencia de esto ltimo pues nunca ha tenido la oportunidad de reflexionar sobre su praxis.

Con la finalidad de evitar caer en este error y de profundizar en la comprensin del constructivismo, se estudiarn algunos aspectos filosficos.

Lo primero que se presenta es un mapa mental que intenta representar, a travs del grafismo, la relacin que guarda el constructivismo con diferentes conceptos, mismos que se explican al terminar el esquema.

Esta introduccin facilitar la lectura de Araya, Valeria; Alfaro, Manuela; Andonegui, Martn

CONSTRUCTIVISMO: ORIGENES Y PERSPECTIVAS, que se encontrar en formato PDF en tu material de estudio.

FILOSOFA CONSTRUCTIVISTA Tomado de apuntes de la U. de Navarra http://cmapserver.unavarra.es/servlet/SBReadResourceServlet?rid=1197207915734_526486338_31131&partName=htmltext

CONOCIMIENTO

El conocimiento es el resultado de un proceso de construccin o reconstruccin de la realidad que tiene su origen en la interaccin entre las personas y el mundo. Por tanto, la idea central reside en que la elaboracin del conocimiento constituye una modelizacin ms que una descripcin de la realidad.

Para los constructivistas, el alumno es el protagonista del aprendizaje, quin construye activamente relacionando los nuevos mensajes con experiencias y conocimientos que tiene almacenados en la memoria. Del mismo modo, el papel del profesor consiste en facilitar y promover el aprendizaje del alumnoEMPIRISMO

Sostiene que el conocimiento verdadero es universal y permanece en una especie de correspondencia uno-a-uno con el modo en que el mundo realmente funciona.

IDEAS PREVIAS

Son como construcciones o teoras personales, que, en ocasiones, han sido tambin calificadas como concepciones alternativas o preconcepciones. Para el constructivismo, las personas siempre se sitan ante un determinado aprendizaje dotados de ideas y concepciones previas. La mente de los alumnos, como la de cualquier otra persona, posee una determinada estructuracin conceptual que supone la existencia de autnticas teoras personales ligadas a su experiencia vital y a sus facultades cognitivas, dependientes de la edad y del estado psicoevolutivo en el que se encuentran.

As, Ausubel resumi el ncleo central de su concepcin del proceso de enseanza-aprendizaje en la insistencia sobre la importancia de conocer previamente qu sabe el alumno antes de pretender ensearle algo. No es extrao, por tanto, que la destacada importancia que el constructivismo da a las ideas previas haya generado una gran cantidad de investigacin educativa y didctica sobre el tema.

CAMBIO CONCEPTUAL

Es el salto desde una concepcin previa a otra (la que se construye), para lo que se necesitan ciertos requisitos.

Entre estos se destaca la necesidad de que el que aprende se sienta insatisfecho con sus preconcepciones, de que las nuevas concepciones estn en el mbito de lo inteligible para l y que sean satisfactorias y tiles para sus demandas o necesidades, mejorando al aceptarlas su grado de comprensin, interpretacin y capacidad de interaccin con el mundo. La nueva concepcin debe, adems, abrir nuevas posibilidades de avance, sin dejar de resolver ninguna de las cuestiones que eran satisfechas por la precedente.

CONFLICTO COGNITIVO

Se da entre concepciones alternativas y constituir la base del "cambio conceptual".

El docente debe crear conflictos cognitivos o contradicciones. Es decir, debe producir situaciones que favorezcan la comprensin por parte del alumno de que existe un conflicto entre su idea sobre un determinado fenmeno y la concepcin cientficamente correcta. Es preciso sealar que la reorganizacin conceptual por la que pasar el alumno ni es simple ni inmediata, ya que no se trata de que adquiera la idea correcta en el vaco, sino que sea capaz de generalizarla.

PIAGETANO

El "constructivismo piagetiano", que adopta su nombre de Jean Piaget, es el que sigue ms de cerca las aportaciones de ese pedagogo, particularmente aquellas que tienen relacin con la epistemologa evolutiva, es decir, el conocimiento sobre la forma de construir el pensamiento de acuerdo con las etapas psicoevolutivas de los nios. El constructivismo piagetiano tuvo un momento particularmente influyente durante las dcadas de 1960 y 1970, impulsando numerosos proyectos de investigacin e innovacin educativa.

Para Piaget, la idea de la asimilacin es clave, ya que la nueva informacin que llega a una persona es "asimilada" en funcin de lo que previamente hubiera adquirido. Muchas veces se necesita luego una acomodacin de lo aprendido, por lo que debe haber una transformacin de los esquemas del pensamiento en funcin de las nuevas circunstancias.

HUMANO

El "constructivismo humano" surge de las aportaciones de Ausubel sobre el aprendizaje significativo, a los que se aaden las posteriores contribuciones neurobiolgicas de Novak. Ausubel opina que el cambio y la evolucin de esquemas se regulan por una relacin constructiva entre el esquema preexistente y la nueva informacin. El esquema modifica dicha informacin para asimilarla y sta, al establecer relaciones novedosas con ciertos elementos del esquema, provoca una reestructuracin ms o menos amplia del mismo. SOCIAL

El "constructivismo social", se funda en la importancia de las ideas alternativas y del cambio conceptual (Kelly), adems de las teoras sobre el procesamiento de la informacin. Para esta versin del constructivismo son de gran importancia las interacciones sociales entre los que aprenden

RADICAL

El "constructivismo radical" (von Glaserfeld) es una corriente que rechaza la idea segn la cual lo que se construye en la mente del que aprende es un reflejo de algo existente fuera de su pensamiento. En realidad, se trata de una concepcin que niega la posibilidad de una transmisin de conocimientos del profesor al alumno, ya que ambos construyen estrictamente sus significados.

Los constructivistas radicales entienden la construccin de saberes desde una vertiente darwinista y adaptativa, es decir, el proceso cognitivo tiene su razn de ser en la adaptacin al medio y no en el descubrimiento de una realidad objetiva. A diferencia de los otros "constructivismos", en general calificables como "realistas", el constructivismo radical es idealista porque concibe el mundo como una construccin del pensamiento y, por tanto, depende de l.

Para profundizar se propone la siguiente lectura:

Araya, Valeria; Alfaro, Manuela; Andonegui, MartnCONSTRUCTIVISMO: ORIGENES Y PERSPECTIVAShttp://www.redalyc.org/pdf/761/76111485004.pdf

FILOSOFA CONSTRUCTIVISTADe Kant a Piaget

Extractos del RESUMEN DEL MANUAL "FUNDAMENTOS DE LA PSICOLOGA"

Jos Luis Martorell y Jos Luis PrietoEditorial Centro de Estudios Ramn Areces. Coleccin de Psicologa http://www.e-torredebabel.com/Uned-Parla/Asignaturas/IntroduccionPsicologia/ResumenManual-Capitulo10.htm El constructivismo aparece en primer lugar en el rea de la filosofa, y lo encontramos principalmente en la obra deKant. Este filsofo intent ir ms all del racionalismo y del empirismo. Para el racionalismo el conocimiento poda alcanzarse completamente a priori, para el empirismo sin embargo deba descansar en la experiencia, por lo tanto era a posteriori. Por su parte, Kant creer quenuestra mente construye el conocimiento a partir de los datos de la experiencia y gracias al orden que impone a dichos datos mediante elementos a priori, propios de su estructura(aunque el manual no lo cita, es preciso recordar que Kant analiza las principales facultades cognoscitivas y encuentra que poseen una estructura: as por ejemplo, la Sensibilidad o capacidad para tener sensaciones tiene como elementos a priori el tiempo y el espacio, y el Entendimiento o capacidad para tener conceptos las llamadas categoras o conceptos puros, que no se originan en la experiencia sino que forman parte del dinamismo propio de esta facultad, por ejemplo, el concepto de unidad, de causalidad y de substancia/accidentes. Estos elementos a priori son la aportacin de nuestra mente, por decirlo de la manera ms sencilla, en la experiencia de conocimiento, no realidades que existan en el mundo en s mismo o que nuestra mente extraiga del mundo). La mente ordena los datos de la experiencia, las sensaciones medianteesquemas o reglas universales, que le pertenecen a ella y no al mundo o realidad en s misma. Los esquemas sonrepresentaciones mediadorasque organizan la experiencia y se sitan entre el sujeto y los datos del mundo. De este modo, Kant niega tanto el racionalismo (que exagera el papel del sujeto) como el empirismo (que lo minusvalora). Este concepto de esquema como elemento mediador y organizador de la experiencia tendr influencia en la psicologa, en autores como Jean Piaget, Lev Vygotsky o George Kelly que lo recogern aunque dndole otros nombres.

AVATARES DEL CONSTRUCTIVISMO: DE KANT A PIAGETCarlos Arturo Londoo Ramos

http://www.rhela.rudecolombia.edu.co/index.php/rhela/article/view/76

El texto completo lo localizas en tu material de estudio.

4. ANTECEDENTES DEL CONSTRUCTIVISMO DESDE LA PERSPECTIVA PSICOLGICA

La Psicologa, como ciencia positiva, desprendida de la filosofa, es una ciencia relativamente nueva pues puede situarse su nacimiento en 1879, cuando se dese llevar a los laboratorios de fisiologa el comportamiento humano.

A partir de ese momento, las corrientes de pensamiento fueron surgiendo en diversas partes del mundo (Alemania y EUA, como cabezas principalmente) en su desarrollo fue comportndose como un pndulo en diferentes aspectos, entre ellos como ejemplo, las respuestas externas de la conducta frente a los procesos internos que generan las mismas respuestas.

En este sentido, cuando el conductismo estaba floreciendo por la eficacia de sus mtodos en EUA, surge como una corriente ms reflexiva sobre los procesos internos, en Alemania, la Teora de la Gestalt.

Esta teora facilit que posterior a ella hubieran ms investigadores interesaos en descubrir los procesos psicolgicos internos, de esta manera teoras de la personalidad como el Psicoanlisis y teoras del desarrollo de la inteligencia como el Constructivismo pueden entenderse ms profundamente.

De manera muy breve se expone a continuacin como la teora de la Gestalt influy en el Constructivismo

TEORAS CONSTRUCTIVISTAS EN PSICOLOGA

Frederic Barlettfue un precursor del constructivismo en psicologa. As, en susestudios sobre la memoria entendiel recordar como una reconstruccin imaginativa o construccinelaborada a partir de la relacin de nuestra actitud con la experiencia anterior, y no un proceso asociativo fragmentario y mecnico. El funcionamiento de la memoria le sugiri la existencia deesquemas, a los que defini comoorganizaciones activas de reacciones y experiencias pasadas. Por ejemplo, si percibimos similitud entre varios acontecimientos es porque utilizamos esquemas que los agrupan. Barlett desarroll sus ideas en los aos 20 y 30, dominados por los conductistas, lo que impidi que prosperaran. Critic al conductismo, al que vio ms como un culto que como una autntica teora cientfica. La psicologa cognitiva actual lo valora positivamente y lo considera un adelantado a su poca.

La psicologa de la Gestalt

La escuela de la Gestalt tuvo mucha importancia en la primera mitad del siglo XX. En la actualidad permanecen vigentes algunos de sus principios y se reformulan parte de los problemas que les ocuparon. Representantes principales:Max Wertheimer(1880-1943),Wolfgang Khler(1887-1967) yKurt Koffka(1886-1941).

La palabra alemanaGestaltse puede traducir como forma, totalidad con forma propia y se refiere al hecho de que, como se ver, en muchos casos el todo es ms que la suma de las partes.

Esta escuelase enfrent a la psicologa de Wundt. Dos criticas principales: Al elementalismo: Wundt propuso el anlisis de elementos de la conciencia mediante la introspeccin. Por su parte,la Gestalt reivindic la globalidad del fenmeno psicolgico y destac el error de descomponerlo en elementos simples. El todo psquico experimentado es cualitativamente diferente de la suma de las partas, por ello la experiencia ha de ser descrita tal como se presenta, renunciando al anlisis introspeccionista.El todo dispone de sus propias leyes. No se trata de rechazar todo tipo de anlisis, sino el anlisis de los introspeccionistas ortodoxos. Estos ltimos dejaban de lado la experiencia ms importante, la experiencia de la vida cotidiana. A la primaca del enfoque cuantitativo: Rechazaron tambin la cuantificacin, pero no por la cuantificacin por s misma, sino por considerar que en un primer momento la psicologa debe atender ms bien a los aspectos cualitativos ms importantes de la experiencia.

Principio gestltico fundamental: el todo es ms que la suma de las partes.Aplicacin de este principio a dos importantes procesos psicolgicos:

La percepcin: Wertheimer public en 1912 sus experimentos sobreel movimiento aparente o fenmeno phi: la presentacin de dos luces que se encienden y apagan alternativamente con un intervalo de unos 60 milisegundos provoca que el sujeto no vea dos luces que se encienden o se apagan sino el movimiento de una luz. El sujeto percibe movimiento all donde en realidad no lo hay. Se trata por tanto de unapercepcin creada (construida) por el observador. Este fenmeno no se puede comprender con el estudio de los elementos, es ms bien un fenmeno originario e irreductible que emerge de las relaciones. El todo perceptual no puede ser reducido a las partes constituyentes. Percibimos nuestro mundo entotalidades unificadas, significativas. Lo significativo es la organizacin, no los elementos. La Gestalt estudi la organizacin perceptual y ofreci una serie de principios, destacando como principal laley de la pregnancia: la organizacin perceptual tiende a ser la mejor posible en unas condiciones dadas. El pensamiento: Wertheimer propuso la distincin entre pensamiento reproductivo y pensamiento productivo: Pensamiento reproductivo: repeticin mecnica de lo adquirido. Pensamiento productivo: da lugar a nuevas ideas e intuiciones, va ms all de las condiciones iniciales de las que parte. ConsiderWertheimerque el pensamiento productivo se basa en la capacidad de comprender la estructura de una situacin dada y de ver una reorganizacin de dicha estructura. A ese ver intelectual una nueva organizacin en lo dado Khler le dio el nombre de insight (intuicin).

Khler defendi la existencia de este tipo de pensamiento creativo a partir de sus investigaciones con monos realizadas en Tenerife. Algunos monos eran capaces de resolver el problema de alcanzar un pltano, comprendiendo la posibilidad de utilizar cajas y un palo para llegar a l. Khler pens que este tipo de aprendizaje no se puede entender con el modelo de aprendizaje por ensayo y error de Thorndike. Existe el aprendizaje por ensayo y error, pero tambin el pensamiento productivo. En la misma lneaDinckerdefiende este tipo de pensamiento basado en la reestructuracin de los datos de la experiencia, pero consider que no se da primero la reestructuracin completa sino que, lo ms frecuente es que primero se alcancen reestructuraciones parciales que sin resolver directamente el problema permiten afrontarlo con ms xito. Otro concepto fundamental de la Gestalt es el deisomorfismo: lo desarrollaron en el contexto de la reflexin sobre la relacin mente-cerebro, la cuestin de la base fisiolgica de los fenmenos psicolgicos. Isomorfismo significa igualdad de forma y en este tema hace mencin al hecho de que, segn esta escuela, hay una correspondencia estructural entre la experiencia y los procesos cerebrales subyacentes. Todos los fenmenos psquicos (percepcin, pensamiento,...) tienen un correspondencia en el cerebro, y lo que ocurre en el nivel cerebral presenta caractersticas funcionalmente idnticas a lo que ocurre en el nivel mental. Estas tesis han sido muy criticadas. La influencia de la Gestalt ha sido notable: muchos de sus conceptos y problemas se han incorporado, reformulados, en otras corrientes psicolgicas, principalmente en la psicologa cognitiva y en la psicologa social deKurt Lewiny suteora de campo.

Texto tomado de: "INTRODUCCIN A LA PSICOLOGA" - UNED RESUMEN DEL MANUAL "FUNDAMENTOS DE LA PSICOLOGA"

Jos Luis Martorell y Jos Luis PrietoEditorial Centro de Estudios Ramn Areces. Coleccin de Psicologa

(Preparado porJavier Echegoyen,)

http://www.e-torredebabel.com/Uned-Parla/Asignaturas/IntroduccionPsicologia/ResumenManual-Capitulo10.htm

De la Psicologa a la PedagogaAl igual que la Psicologa, la Pedagoga a lo largo de su historia se ha separado de la filosofa y especialmente desde el siglo XIX, mismo siglo en que la psicologa se reconoce como ciencia positivista, ha incorporado elementos de esta para su quehacer cotidiano. Una corriente de especial fuerza fue la denominada Escuela Nueva misma, que desde la perspectiva pedaggica, prepara el terreno para que la concepcin constructivista del aprendizaje pueda florecer.

Se presenta en seguida una breve resea sobre la Escuela Nueva y posteriormente se proponen unos videos para tener una visin global de la misma

La Escuela NuevaEste movimiento de renovacin pedaggica surge en el siglo XIX, aunque sus antecedentes se remontan al siglo XVI (cabe destacar a Erasmo de Roterdam, al humanista espaol Luis Vives, los trabajos de Fenelon y el Emilio de J. J Rousseau).

Sus principales pedagogos fueron John Dewey, Adolphe Ferrire, Mara Montessori, Paulo Freire, Roger Cousinet, A. S. Neil y Clestin Freinet entre otros.

CaractersticasLos nuevos pedagogos denuncian las desventajas de la educacin tradicional: pasividad, la educacin centrada en el programa y en el profesor, superficialidad, enciclopedismo, verbalismo.

Se basa en la psicologa del desarrollo infantil, y se impuso como obligacintratar a cada alumno segn sus aptitudes. Postula como principio de que la infancia y la juventud son edades de la vida que se rigen por leyes propias distintas a las necesidades del adulto. No hay aprendizaje efectivo que no parta de alguna necesidad ointers del alumno, ese inters debe ser considerado como el punto de partida para la educacin.

La relacin maestro-alumno sufre una transformacin en la Escuela Nueva. La relacin de poder-sumisin propia de la Escuela Tradicional se sustituye por unarelacin de afecto y camaradera. Es ms importante la forma de conducirse del maestro que la palabra. El maestro se convierte en un auxiliar del libre y espontneo desarrollo del alumno. La autodisciplina es muy importante en esta nueva relacin, el maestro cede el poder a sus alumnos para colocarlos en posicin funcional de autogobierno que los lleve a comprender la necesidad de elaborar y observar reglas. No son impuestas desde el exterior, sino que son reglas que han salido del grupo como expresin de la voluntad general.La educacin se entiende como un proceso para desarrollar cualidades creadoras en el alumno.Si hay un cambio en los contenidos, tambin debe darse un cambio en la forma de transmitirlos. Se introducen una serie de actividades libres para desarrollar la imaginacin, el espritu de iniciativa, y la creatividad. No se trata slo de que el estudiante asimile lo conocido sino que se inicie en el proceso de conocer a travs de la bsqueda, de la investigacin, respetando su individualidad. Esto hace necesario tener un conocimiento ms a fondo de la inteligencia, el lenguaje, la lgica, la atencin, la comprensin, la memoria, la invencin, la visin, la audicin, y la destreza manual de cada alumno, paratratar a cada uno segn sus aptitudes. Se prepara al futuro ciudadano para ser un hombre consciente de la dignidad de todo ser humano.En el movimiento de la Escuela Nueva subyacen diversas teoras pedaggicas conocidas como contra autoritarias, autogestionarias, y libertarias. Su caracterstica definitoria es el deseo de educar en libertad y para la libertad.Texto tomado de Antes de responder las preguntas, observa los siguientes videos, (se encuentran en el material de estudio), ellos ayudarn a ampliar la explicacin sobre lo que es la escuela nuevaLa Escuela Nuevahttp://hadoc.azc.uam.mx/enfoques/nueva.htm

Modelo de escuela nueva

Los MODELOS pedaggicos contemporneos

5. IMPORTANCIA DEL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LGICO-MATEMTICO EN EL PROCESO DE INNOVACIN EDUCATIVA

Cuando se habla de constructivismo o de la teora de Piaget, es casi natural relacionarlo con el Pensamiento Lgico Matemtico.

Sin embargo, as como esa asociacin es comn, tambin es comn que se entienda simplemente este tipo de pensamiento como el de aqul que es hbil para desarrollar problemas matemticos, aritmticos, o relacionados a este tema.

Entender este tipo de pensamiento es empobrecer, no solo el concepto sino toda la propuesta de Piaget para explicar el desarrollo de la inteligencia en el ser humano.

Recurdese que como bilogo, Piaget, concibe a la inteligencia como el mximo mecanismo de adaptacin con el que cuenta el ser humano ante la realidad. En la explicacin de su teora, al hablar de los estadios pretende sealar cual es el proceso que vive el adulto para llegar a tener un pensamiento propiamente humano. Este pensamiento se alcanza al llegar al estado de las operaciones formales dando como resultado un pensamiento lgico-matemtico, es decir, la forma natural de pensar de un ser humano es lgica-matemtica.

Esta forma de pensar no se da de un momento a otro, solo por el hecho de ser adulto biolgicamente, aunque tambin la maduracin biolgica es necesaria para alcanzarlo. Este tipo de pensamiento se da por la prctica, por el hecho de enfrentarse a diversas situaciones de la vida y poder resolverlas; se adquiere por la experiencia de aquello que funcion y lo que no lo hizo.

Se necesita alimentar la inteligencia con diversas experiencias que sean un reto intelectual, ni muy fciles, ni muy difciles con la autorizacin para probar nuevas respuestas y tambin para equivocarse.

Como ya se ha comentado anteriormente, en esta asignatura se supone que el estudiante cuenta con un estudio previo sobre la teora de Piaget por lo que en este momento podremos repensar sobre aquello que ya se asimil y acomod de manera determinada, subiendo en la espiral del conocimiento que propone Piaget y que se da por la posibilidad que el entorno permite, mediante experiencias que crean crisis cognitivas que permiten que se pongan en funcionamiento estructuras mentales y consolidarlas o reestructuralas, favoreciendo el desarrollo de estructuras ms complejas.De esta manera como producto del aprendizaje se obtienen lo que comnmente denominamos conocimientos o saberes pero tambin aprendemos a aprender, creando rutas, estrategias, para entender la realidad y acomodarla en nuestra estructura cognitiva.

Este segundo aprendizaje, solo se logra ejercitando las estructuras previas mismas que permiten nuevas restructuraciones que pueden ser aplicadas, posteriormente, a otros estmulos del ambiente. El utilizar este tipo de estrategias, con las estructuras propias de cada estado es el camino para el pensamiento lgico-matemtico.

De esta manera el pensamiento lgico-matemtico es la herramienta de adaptacin propia del ser humano, es la forma de pensar del ser humano que le permite resolver conflictos y adaptarse a su entorno.

La creatividad y la innovacin tienen alta relacin con la flexibilidad que se tenga en la utilizacin de este recurso.

A continuacin se presenta la memoria de la conferencia de apertura en el 1er congreso mundial de matemticas.

Se presenta el texto completo para quien desee profundizar en todo el documento, asimilarlo y acomodarlo, siguiendo el esquema piagetiano, lo cual implica tambin una postura crtica.

El propsito de esta lectura es rescatar los elementos necesarios para construir o reconstruir el concepto de Pensamiento Lgico-Matemtico a partir de los textos subrayados en amarillo.

EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LGICO-MATEMTICOConferencia de Apertura del1 Congreso Mundial de Matemticas en E. I.Jos Manuel Serrano Gonzlez-TejeroUniversidad de Murciahttp://www.waece.org/cdlogicomatematicas/ponencias/serrano_pon_es.htm

INTRODUCCINCuando hablamos de pensamiento lgico-matemtico, en trminos generales, se entiende que hacemos referencia a las matemticas o al conocimiento matemtico y, aunque es cierto que las nociones matemticas suponen una de las posibles formas de pensamiento lgico-matemtico, no es menos cierto que este reduccionismo del pensamiento lgico-matemtico al conocimiento matemtico, es un craso error.Cualquier epistemologa, y la epistemologa gentica de Jean Piaget no puede sustraerse a ello, se encuentra abocada a considerar el problema de la bipolaridad del conocimiento. En efecto, sabemos que muchas proposiciones alcanzan su valor de verdad o falsedad sin recurso a la constatacin emprica y slo pueden ser alcanzadas por deduccin. Por el contrario, podemos encontrar otro gran conjunto de proposiciones en las que esos valores estn mediatizados por la posibilidad de constatacin emprica de los hechos a los que se refieren y slo pueden ser alcanzadas por induccin. Este planteamiento parece conducir a una irreductibilidad entre estos dos conjuntos de verdades y cualquier teora del conocimiento se va a ver abocada a responder al problema entre la relacin de estas dos formas de conocimiento: el conocimiento lgico-matemtico (verdades normativas) y el conocimiento fsico (verdades fcticas).Para poder dar solucin a este problema Piaget postula la necesidad de una continuidad funcional entre la vida y el pensamiento, porque para el eminente epistemlogo suizo si los problemas biolgicos y psicolgicos son solidarios, ello se debe a que el conocimiento prolonga, efectivamente, la vida misma, de tal forma que la asimilacin biolgica se prolonga en una asimilacin intelectual[1]. Esta continuidad entre lo biolgico y lo psicolgico queda asegurada por una propiedad intrnseca a todo tipo de organizacin vital: la accin, mecanismo a travs del cual el organismo entra en contacto con el entorno, lo asimila y acta sobre l transformndolo. Ahora bien, como no existe accin sin reaccin, Piaget se ve en la necesidad de utilizar el trminointeraccinpara designar las relaciones entre el individuo y lo real.En el proceso de interaccin sujetoobjeto tenemos, por tanto, tres elementos (sujeto), () y (objeto). El primer elemento de la terna, es decir, el sujeto, es el conocedor y el conocimiento lo puede extraer del propio sujeto (metacognicin), de la interaccin con el objeto (cognicin o conocimiento lgico-matemtico) o del objeto (cognicin o conocimiento fsico). De esta manera la apropiacin de los saberes y de los contenidos especficos de las matemticas es una forma de conocimiento lgico-matemtico, pero, evidentemente, no es la nica posible.Hecho este breve prembulo, vamos a comenzar a desarrollar una forma de conocimiento lgico-matemtico que conocemos como aritmtica, as como sus relaciones e implicaciones con otra forma de conocimiento lgico-matemtico que denominamos lgica.Desde que vieron la luz los primeros trabajos piagetianos sobre la construccin del nmero y, muy especialmente, desde la aparicin en 1941 delaGensedu nombre chez l'enfantcon la propuesta de la indisociabilidad cardinal-ordinal del nmero y los subsecuentes trabajos de esta obra pionera, han proliferado, a partir de la dcada de los 60 y hasta el momento actual, las investigaciones sobre los orgenes del nmero o, si se prefiere, sobre la construccin del nmero en el nio, tanto desde posiciones de afianzamiento en el seno de la propia Escuela de Ginebra, como de confirmacin o de aceptacin o refutacin parcial, pero siempre en el seno de la propia teora piagetiana, aunque se intenten integrar en la misma elementos de otros modelos o teoras (postpiagetianos o neopiagetianos). De hecho, desde 1960 hasta el momento actual, tenemos registrados ms de 200 artculos de investigacin sobre la conservacin o la construccin del nmero, gran parte de ellos publicados en revistas de amplio impacto comoChild Development,Developmental Psychology,Journal of Experimental Child Psychology,Journal of Educational Psychology,Journal for Research in Mathematics Education,Arithmetic Teacher,Recherches en Didactique des Mathematiques,Infancia y Aprendizaje,Estudios de Psicologa, etc., amn de otras tantas revisiones, libros y captulos de libro, lo que supone cerca de una decena de millar de pginas dedicadas al tema que nos ocupa. Las investigaciones que hemos venido desarrollando, desde 1980, sobre los componentes cardinales y ordinales del nmero, ponen de manifiesto que el nmero no es clase de relaciones simtricas transitivas (empleando la terminologa de Russell, clase de clases) o, al menos, no slo es clase de clases, como proponen los cardinalistas, tampoco hace referencia al encaje de relaciones asimtricas transitivas o, al menos, no slo es relacin de orden, como proponen los ordinalistas, aunque tampoco podemos admitir la indisociabilidad cardinal-ordinal del nmero, tal y como propone Piaget. Nosotros proponemos la siguiente explicacin funcional que puede ser tomada a modo de definicin:El nmero es una de las doce categoras kantianas reformuladas por Piaget que pertenece a la funcin implicativa de la inteligencia y que, por lo tanto, tiene como funcin la discretizacin del continuo (asimilacin del universo). Como todas las categoras que permiten la adaptacin del sujeto a su entorno, se encuentra regulada por la funcin organizadora de la inteligencia, lo que equivale a decir que es unatotalidadindependiente del resto de las categoras, con unsistema de relacionesque le es propio, unosfinesespecficos y unosmedios(valores) adecuados al logro de esos fines.Ahora bien, la funcin implicativa o asimiladora de la inteligencia es nica y, por tanto, independencia, no significa aislamiento, sino interaccin. Nos encontramos por tanto con una estructura cognitiva especfica, con un funcionamiento igualmente especfico y que ejerce una funcin interactiva con otras estructuras cognitivas de las que depende el propio proceso de asimilacin. Esta interaccin determina que las estructuras o categoras estructurales que configuran el proceso centrpeto de la adaptacin tengan un desarrollo ms o menos armnico y, por tanto, que desde una perspectiva estadstica correlacionen o covaren entre s. Sin embargo, esta correlacin trasciende los lmites estadsticos, porque estadsticamente no puede existir independencia (ortogonalidad) y covariacin. La interpretacin vendra dada en trminos de independencia de organizacin: un sistema de relaciones caracterstico, constituido por leyes especficas, unas finalidades diferenciadas y unos medios (esquemas) diversificados. Quizs por eso habra que ver esta situacin ms en la lnea, o desde el punto de vista, de la matemtica ingenua, como interseccin de conjuntos. De esta manera podramos interpretar nuestro estudio desde la perspectiva de un diagrama configurado por tres conjuntos que representaran los tres elementos configuradores del proceso de cuantificacin en el hombre: clases, relaciones (asimtricas) y nmero.Utilizando una terminologa y una interpretacin puramente piagetiana, diremos que nos encontramos con las tres posibles formas de equilibracin cognitiva (asimilacinacomodacin), al menos en lo que hace referencia a los procesos de cuantificacin que nos ocupan en este trabajo:Por un lado, tendramos las equilibraciones internas de los subsistemas numrico (3+5+6+7), de relaciones simtricas (1+4+5+7) y de relaciones asimtricas (2+4+6+7), que se corresponderan a la primera de las formas de equilibracin cognitiva descritas por Piaget y que tienden a la constitucin (por asimilaciones sucesivas) y conservacin (mediante acomodaciones conseguidas) de estos sistemas.Por otro lado, tenemos las interrelaciones entre los tres subsistemas que se encuentran reguladas por un sistema de asimilaciones recprocas, que conllevan sendas acomodaciones recprocas (zonas 4, 5, 6 y 7) y que tienden a la constitucin y conservacin del sistema de cuantificacin humano y a su mutua conservacin, lo que corresponderan a la segunda de las formas de equilibracin piagetiana.Finalmente, este sistema de cuantificacin supone una organizacin de todos los subsistemas que engloba, gracias a un conjunto de transformaciones que implica un proceso doble. Por una parte, un proceso de integracin (con carcter asimilador) de todos esos subsistemas en una estructura global y, por otra, un proceso de diferenciacin (con carcter acomodador) de esa estructura global a las caractersticas del medio, proceso que se lleva a cabo a travs de los propios subsistemas y que correspondera a la tercera de las formas de equilibrio cognitivo. Aclaremos esto con un ejemplo. Imaginemos que, ante un conjunto de animales como el que se nos presenta en el cuadro siguiente, se nos hiciera esta pregunta de cuantificacin:Qu hay ms, animales o perros?.

En el momento en que procesamos la informacin que tenemos ante nosotros (cuadro y texto) sabemos que lo que tenemos que hacer es cuantificar, por comparacin (qu hay ms), un conjunto de animales (de los cules algunos son perros y otros son palomas), con una de sus partes (el subconjunto de los perros). Como la estructura que determina el sistema de cuantificacin, coordina todos los subsistemas cuantificadores de la realidad (intensiva, extensiva simple y extensiva mtrica), se establece que, de todos los posibles esquemas que pueden dar solucin al problema y puesto que lo que se pide es la comparacin del todo con una de sus partes, de acuerdo con la teora de la economa del pensamiento[2], la acomodacin ms eficiente es realizada por la estructura de clasificacin (zona 1 del diagrama) mediante la utilizacin de unesquema de inclusin(el conjunto de los perros est incluido en el de los animales) y, como determina el subsistema de cuantificaciones intensivas, puesto que el todo es mayor (si los subconjuntos de que consta el todo son no vacos) o igual que la suma de las partes (si todos los subconjuntos del todo menos uno son vacos), es evidente que la respuesta a la cuestin planteada al inicio es quehay ms animales que perros(puesto que el subconjunto de las palomas de nuestro ejemplo es un subconjunto no vaco). Imaginemos ahora que ante este conjunto que sigue la pregunta es:Qu hay ms, perros o palomas?.En esta nueva situacin lo que se pide es la comparacin de las partes entre s, por lo que el proceso de cuantificacin intensiva se torna intil ya que, como hemos dicho, slo puede funcionar en el caso de la comparacin del todo con las partes; por tanto slo cabe la utilizacin de un proceso de cuantificacin extensiva y, dada la disposicin espacial de los elementos a comparar, el proceso no parece requerir la utilizacin de un esquema cuantificador que requiera la iteracin de unidades. Es evidente que la solucin al problema planteado, para lograr la acomodacin ms eficiente, es el proceso de cuantificacin extensiva simple. La unidad funcional de conducta (esquema) que permite la solucin ms eficiente al problema planteado es, sin lugar a dudas y dada la disposicin espacial de los elementos en nuestro ejemplo, elesquema de correspondencia uno-a-uno: como hay algunos elementos del segundo conjunto (palomas) que no tienen imagen en el primer conjunto (perros) podemos concluir quehay ms palomas que perros. Ahora bien, el esquema de correspondencia unvoca o biunvoca es una unidad funcional de conducta que posibilita el recurso a la construccin de las clases[3]y, por esta razn, habra que ubicarla en el seno de ese conjunto (confrontar diagrama). Sin embargo, el esquema de correspondencia uno-a-uno, es tambin un esquema numrico por cuanto, por ejemplo, contar, es, entre otras cosas, establecer una correspondencia biunvoca entre unas palabras (numerales) y unos objetos, por lo que podramos decir que el esquema de correspondencia uno-a-uno supone la necesaria coordinacin de los subsistemas de nmero y clase (zona 5 del diagrama). Imaginemos, finalmente, que nuestros perros y nuestras palomas se distribuyen de la siguiente manera:

Si la pregunta vuelve a ser ahora,qu hay ms, perros o palomas?, al tener que comparar las partes entre s, debemos recurrir a un proceso de cuantificacin extensiva, pero ahora parece ms eficiente un proceso iterativo, es decir un proceso de cuantificacin extensiva mtrica. Quizs, de nuevo en aras de la eficiencia del proceso, elesquema de conteosea el ms adecuado para darle solucin al problema. Ahora bien, el esquema de conteo supone, tanto la utilizacin de un esquema de correspondencia biunvoca (objetos-numerales), como el establecimiento de un orden estable en los numerales (primero el 1, luego el 2, luego el 3, etc.), por lo tanto se requiere la coordinacin de los tres subsistemas de nmero, clase y orden (zona 7 de nuestro diagrama de conjuntos). Llegados a este punto, hemos de decir que aunque, aparentemente y por los ejemplos que acabamos de proponer, la coordinacin de esquemas, necesaria para la constitucin de un sistema cuantificador en el hombre, supone la integracin de los mismos (afirmacin), esta misma coordinacin supone tambin la exclusin (negacin) mutua de algunos esquemas. Esta negacin se podra matizar bajo dos aspectos diferenciados:negacin porpertinencia funcionalonegacin porpertinencia material.La negacin por pertinencia funcional se produce siempre entre los esquemas pertenecientes a un subsistema y las coordinaciones entre esquemas de este subsistema con otro(s) subsistema(s), es decir (cf. el diagrama en crculos anterior), la negacin por pertinencia funcional, por ejemplo, de 1 es 4, 5 y 7 (4 T 5 T 7 = 1'). En efecto, si tomamos el primero de nuestros ejemplos, para dar respuesta a la cuestin: qu hay ms, animales o perros? no resulta funcional' contar los animales y luego los perros para determinar que el cardinal de los primeros es mayor que el cardinal de los segundos, incluso aunque el razonamiento conduzca a, una vez contados los perros, suspender el funcionamiento del esquema de conteo por llegar a la conclusin de que, al seguir contando, el cardinal de los animales va a ser mayor y, por tanto, hay ms animales que perros. Es evidente que el esquema de inclusin niega funcionalmente' al esquema de conteo.La negacin por pertinencia material se produce o entre esquemas pertenecientes a diferentes subsistemas (por ejemplo, en nuestro diagrama de crculos tendramos que 1' = 2 T 3) o entre esquemas del mismo subsistema de naturaleza no reductible por conducir a acomodaciones diferentes. En efecto, tomemos dos esquemas de cuantificacin pertenecientes al subsistema nmero, que hemos designado como (3) en nuestro diagrama de crculos, como, por ejemplo, la aprehensin inmediata (subitizing) y la estimacin. Si tratramos de coordinar estos dos esquemas veramos que no existe posibilidad material alguna de hacerlo.En primer lugar, porque se orientan a acomodaciones diferentes, el primero conduce a la determinacin del cardinal exacto de un conjunto de pocos elementos, concretamente un mximo de 72, que deca George A. Miller en su conferencia inaugural pronunciada antelaEastern Psychological Association, y el segundo es una flexibilizacin de los esquemas cuantificadores numricos que conduce a la determinacin grosera del cardinal de un conjunto numeroso. En efecto, imaginemos un ejrcito numeroso en el que caminan delante tres soldados. Si se nos pide que cuantifiquemos el nmero de soldados que tiene el ejrcito a fin de preparar una carpa de alojamiento, no es posible aplicar el esquema de aprehensin inmediata por el tamao del conjunto a evaluar y, como la valoracin del cardinal del conjunto de los soldados no requiere una medida exacta aplicaramos un esquema de estimacin.En segundo lugar, y por lo anteriormente apuntado, no es posible encontrar una ley de composicin entre ambos esquemas [no olvidemos que la coordinacin de esquemas es un nuevo esquema que enriquece a los preexistentes por la ley que los coordina: por ejemplo, la coordinacin de esquemas aditivos y multiplicativos hace que el pensamiento sea distributivo: a.(b+c) = a.b+ a.c]. Muchos chistes, propios de la ingeniosidad latina, se encuentran basados en establecer una ley de composicin sobre unidades funcionales de conducta no coordinables. As, en el caso anterior, si considerramos el conjunto del ejrcito subdividido en dos subconjuntos (los tres soldados que van delante y los restantes) y tratramos de encontrar una ley de composicin, como podra ser una ley aditiva de carcter unidimensional (+), llegaramos al siguiente retrucano: De cuntos soldados est compuesto el ejrcito?. De tres mil tres, porque delante vienen tres y detrs unos tres mil. Es, por tanto, evidente que elesquema de estimacinniega materialmente' alesquema de aprehensin sbitao inmediata.Finalmente, hemos encontrado en algunos trabajos y estudios previos que, en las primeras edades, elnmero(evidentemente, siempre hablamos del nmero natural, que es la primera y nica extensin numrica alcanzable a estas edades) es ms un instrumento decuantificacinde la realidad que decualificacinde la misma.En un primer momento, y a falta de la constitucin de unsistema de relacionesdiferenciado, la organizacin del pensamiento lgico-matemtico del sujeto se presenta como unatotalidadcatica constituida por unos esquemas indiferenciados (medios) desde el punto de vista de losfines(lo que podramos definir como etapa deindiferenciacin de esquemas).Paulatinamente se va produciendo una diferenciacin demediosyfinesque obliga a recurrir a la utilizacin de dossistemas de relacionesdiferentes e independientes que, por tanto, no pueden llegar a coordinarse en una estructura de conjunto (en una nicatotalidad), lo que supone que los conjuntos tengan unas cualidades diferenciadas, desde una perspectiva operatoria y funcional: cualidades numricas y cualidades no numricas (lo que podra ser asumido como una etapa dediferenciacin de esquemas sin integracin).Por ltimo, el nio ir dotando a su pensamiento lgico-matemtico de la movilidad suficiente (sistema de relaciones) para organizar la informacin que extrae de su accin sobre la realidad en un sistema de conjunto (totalidad) con unosmediosy unosfinesdeterminados pero puestos siempre al servicio de la discretizacin del medio (etapa deintegracin de los esquemasen un sistema de conjunto) para interpretarlo de forma coherente, efectiva (equilibracin) y cada vez ms eficiente (economa del pensamiento).Esto supone la posibilidad de elaborar un modelo funcional que, interpretado mediante un diagrama de flujo, sera el siguiente:y vendra a confirmar, a grandes rasgos, las tres formas de equilibracin cognitiva descritas por Piaget.Sin embargo, y aunque las relaciones de equivalencia se mantienen para ambos tipos de cualidades, la numerosidad de un conjunto no es considerada como una cualidad fsica' del mismo, como lo puede ser el tamao, el color, la textura, etc. De esta manera, y an admitiendo que un conjunto A es igual que un conjunto B e igual que un conjunto C porque todos tienen el mismo nmero de elementos, los pequeos niegan la posibilidad de que se puedan poner en el mismo grupo porque todos ellos se parecen en la cantidad; utilizando la terminologa de Russell, no admiten la clase de las clases' que tienen el mismo nmero de elementos, al menos, no al mismo nivel que admiten la clase de los perros como clase de las clases' de perros de distintas razas, o la clase de los pequeos como clase de las clases' de diferentes figuras geomtricas pequeas. Utilizando una terminologa piagetiana, el nmero presenta una alta resistencia a ser clasificado.Tampoco se encuentra el nmero especialmente vinculado, en estas primeras edades, a la idea de orden y, por tanto, a una nocin intuitiva de seriacin. En nuestras experiencias hemos podido constatar que la nocin de tamao, como en el caso de la clasificacin, se refiere a cualidades fsicas de los objetos o de los conjuntos de objetos, nunca al tamao numrico de los conjuntos. El nmero, como relacin de orden, parece tener un fuerte componente temporal, quizs vinculado al lenguaje, de manera que los nios llegan a comprender que el cuatro precede' al cinco (4"5;4se diceantesque5) y, ms tardamente, que cuatro es menor' que cinco (4 B4, pero ALes todava menor (menos alto) que BL. Si se inclina por la solucin numrica, se le dice, pero t habas dicho que donde es ms alto hay ms. Lo que le lleva a situar la evaluacin numrica en su justa medida. Si todava se inclina por la solucin de la altura, buscaramos un nuevo recipiente en dnde tuviramos la misma situacin pero en la relacin 3 contra 5, es decir, A con cinco unidades y B con tres unidades, pero la altura en B algo ligeramente mayor que la altura en A.De esta manera seguiramos procediendo hasta afianzar la evaluacin numrica (el nmero) como un elemento fundamental a la hora de discretizar un continuo, es decir, como instrumento de asimilacin de lo real.Hasta este momento hemos planteado siempre las actividades con carta de naturaleza individual, pero nada est ms lejos de la realidad de nuestro pensamiento que postular que el proceso de enseanza y aprendizaje del nmero y las nociones numricas de base (como las de cualquier otro contenido matemtico o de otras reas curriculares) deba realizarse a partir de actividades individuales, antes bien, todas las actividades deberan plantearse segn una estructura de tarea que favoreciera la interaccin entre iguales y la organizacin cooperativa del aula. El proceso de interaccin entre iguales es fundamental para la adquisicin del conocimiento y, tanto desde planteamientos sustantivos y tericos de carcter general -bien sea desde la perspectiva dela Escuela de Ginebra (conflicto socio-cognitivo), bien sea desde la perspectiva vigotskiana (zona de desarrollo potencial)-, como desde planteamientos especficos (investigaciones especficas en aprendizaje cooperativo) se pone de manifiesto la rentabilidad de la interaccin entre iguales. En este sentido, una buena parte de nuestra investigacin se ha centrado en el trabajo cooperativo en el aula, abarcando, tanto aspectos generales, como aspectos aplicados al mbito de la enseanza de las matemticas.Consideraciones finales.La elaboracin de actividades de aprendizaje para la adquisicin del nmero y los esquemas lgico-matemticos de base, no es una tarea fcil, pero adems, el profesor se encuentra con una serie de limitaciones que van desde su propia e inadecuada formacin, hasta defectos del sistema, pasando por tpicos errneos y tradiciones nefastas.Comenzando por estas ltimas podemos observar que existe una peligrosa tradicin en la educacin de no sistematizar el proceso de enseanza y aprendizaje, de manera que se genera lo que Csar Coll denomin como un problema de opinionitis y que es debido a la asistematizacin del proceso instruccional. En efecto, cuando un ingeniero explica cmo se construye un puente, un arquitecto cunto cemento se necesita para establecer el armazn de un determinado edificio o un cirujano cmo se efecta una laringectoma, slo otro tcnico, equiparable a l en conocimientos, opina sobre el tema; esto se debe, sin lugar a dudas, a que la construccin de un puente o un edificio, o la realizacin de una determinada intervencin quirrgica, son procesos altamente sistematizados. Sin embargo, cuando se habla de instruccin, cada individuo es un maestro y se siente con el derecho de decir, qu, cundo y cmo se debe ensear un contenido instruccional a un alumno determinado[23].Esta falta de sistematizacin se manifiesta, en primer lugar, desde el comienzo del diseo instruccional, con la definicin del contenido objeto de instruccin. Parece como si los profesionales de la educacin dieran por sentado que existe un acuerdo universal, y una definicin igualmente ecumnica, para todos los contenidos instruccionales. Es algo as como decir: qu es el nmero?, pues el nmero es el nmero; qu es sumar?, pues sumar es sumar; etc. En segundo lugar, la falta de sistematizacin se sigue produciendo a la hora de la planificacin de los contenidos. Por ejemplo, es poco frecuente encontrar diseos instruccionales que lleven incorporado una secuenciacin lgica o un anlisis de tareas. En tercer lugar, cuando se postula que se parte de las ideas iniciales del sujeto, no se tiene en cuenta el nivel de desarrollo de los esquemas implicados en la adquisicin y construccin de los contenidos, sino de los conocimientos acadmicos que el sujeto parece' poseer. De hecho las evaluaciones se centran en las acomodaciones del sujeto (ejecucin) y nunca en las asimilaciones del sujeto (comprensin)[24]. En cuarto lugar, las metodologas de intervencin en el aula o estn desfasadas (parece como si las investigaciones psicoeducativas no llegaran nunca a la situacin real del aula) o se encuentran desvirtuadas (por ejemplo, cuando se dice que se est trabajando con una metodologa cooperativa, se observa una profunda confusin entre el trabajo en grupo y el trabajo cooperativo).Por ltimo, pocos diseos se insertan en un paradigma claro y, cuando dicen insertarse en uno, es frecuente encontrar una ausencia total o una interpretacin errnea de los principios paradigmticos que lo configuran. En este sentido, los profesionales de la educacin parecen presentar un acuerdo, casi unnime, acerca de que el paradigma constructivista es el que mejor puede dar cuenta de los procesos de enseanza y aprendizaje que se producen en las aulas; sin embargo, la realidad nos permite constatar que el aprendizaje de los saberes seleccionados por la cultura no constituyen una fuente de socializacin y de construccin de una identidad personal (lo que contradice el primer nivel de jerarqua de la opcin constructivista que postula que los contenidos culturales deben ser reconstruidos por cada individuo dando lugar a un ser diferenciado y nico en el contexto de una determinada cultura y sociedad). Igualmente, encontramos anlisis efectuados desde la perspectiva de las relaciones del profesor con los alumnos o de las relaciones del alumno con los contenidos, incluso de las relaciones de los alumnos entre s, pero desde un posicionamiento constructivista la unidad de anlisis la constituye el tringulo didctico (profesor-alumnos-contenido) y esta unidad de anlisis es, en tanto que unidad, indisociable (luego, tampoco desde los planteamientos del segundo nivel de jerarqua de la concepcin constructivista se cumplen los planteamientos de los diseos instruccionales). Finalmente, desde los posicionamientos constructivistas que emanan del tercer nivel de jerarqua el aprendizaje se entendera como un proceso de construccin de significados sobre los contenidos escolares y de atribucin de sentido a esos mismos contenidos y al propio hecho de aprender y no pensamos que esta sea la situacin por la que atraviesan nuestras aulas, por el simple hecho de que, por ejemplo, el constructivismo utiliza el constructo deesquema de conocimiento[25]para referirse a los significados o representaciones que posee una persona acerca de una parcela de la realidad y en un momento determinado de su historia y, por tanto va a definir la construccin de significados como un proceso de revisin, modificacin, diversificacin, coordinacin y construccin de esos esquemas de conocimiento, nada ms lejos de lo que, en la realidad, se est haciendo en las aulas.En este sentido hemos de tener en cuenta que, en el momento actual, la enseanza y el aprendizaje de las matemticas desde la perspectiva de un paradigma constructivista, es un deseo universalizado que emana desde todas nuestras instancias educativas y que intenta plasmarse tanto desde la perspectiva del macrodiseo instruccional (esferas de decisin poltica), como del microdiseo (escuelas y aulas). Sin embargo, cuando nos acercamos a estos mbitos de decisin instruccional, en sus distintos niveles, nos encontramos con planteamientos tericos correctos pero de difcil traduccin al lenguaje del aula (el tringulo interactivo constituye la unidad de anlisis de los procesos de enseanza y aprendizaje) o con frases grandilocuentes de difcil interpretacin para el maestro (en la construccin del conocimiento en el aula hay que tener en cuenta el papel mediador de la actividad mental constructiva del alumno). Desde esta perspectiva, podemos observar en nuestras aulas planteamientos constructivistas que ignoran la unidad lgica y psicolgica del tringulo interactivo, metodologas constructivistas que ignoran la actividad mental del alumno o anlisis de tareas constructivistas en donde la estructura lgica y psicolgica de las matemticas son profanadas de la forma ms impune que uno pudiera imaginar, etc. Esto denota que, pese a la buena voluntad y al enorme esfuerzo que desarrollan en su autoformacin, nuestros maestros no han sido formados para estar a la altura del paradigma constructivista.Otrohandicapcon el que se suele encontrar el profesorado, sobre todo de los niveles educativos inferiores es un conjunto de tpicos que desvirtan el proceso de enseanza y aprendizaje desde una perspectiva logocntrica. En este sentido, cuando se habla de conocimiento lgico-matemtico, es frecuente encontrar en los manuales de Educacin Infantil expresiones que son verdades a medias (y ya se sabe que la peor mentira es una verdad a medias) como, por ejemplo, el color es una caracterstica de tipo cualitativo o cualidad (y) el nmero de objetos de una coleccin es una caracterstica de tipo cuantitativo, o sea, se puede cuantificar o medir. Pues bien, si tenemos un conjunto' o grupo' de objetos (A) constituidos por seis figuras geomtricas rojas, otro conjunto' o grupo' de objetos (B) constituido por cuatro figuras geomtricas rojas, y un tercero (C) constituido por seis figuras geomtricas azules, tenemos: A = B (haciendo abstraccin de la cualidad nmero'); A = C (haciendo abstraccin de la cualidad' color) y B = C (haciendo abstraccin de las cualidades' color y nmero), de manera que podramos calcular la unin de A, B, y C (AUBUC = {figuras geomtricas}). De la misma manera A B (porque la cualidad' nmero difiere en ambos conjuntos); A C (porque la cualidad' color difiere en ambos conjuntos) y B C (porque, tanto la cualidad' de nmero, como la de color son diferentes). Es evidente, por tanto, que la cualidad nmero es equiparable a la cualidad color. En este sentido se puede decir queel nmero tiene un carcter cualitativo.Por el contrario, la cualidad' rojo puede ser medida (i.e. longitudes de onda) y puede ser ordenada (ser ms rojo o ser menos rojo); por ejemplo no es extrao escuchar expresiones tales como ests ms rojo que un pimiento que quiere significar que la persona en cuestin tiene una intensidad de rojo en el rostro mayor que la intensidad de rojo de un pimiento de ese color. Todas las cualidades de los objetos son susceptibles de medida (con algn tipo de instrumento y en algn tipo de escala de medida), porque cualquier continuo en lo real (la realidad es un continuo) es objeto de discretizacin en la mente.Otra serie de tpicos hacen referencia a matizaciones, que no conducen a ninguna parte, como la clsica distincin, que encontramos en numerosas obras, entre conocimiento formal e informal, sobre todo en el campo del conocimiento lgico-matemtico. Si nos paramos a reflexionar un poco nos daremos cuenta que conocer es saber hacer comprendiendo las razones. Esto es formal, diramos que muy serio y muy formal, y eso es conocer, nos guste o no. Pues bien, no es difcil encontrar en la actualidad expresiones tales como: los nios de estas edades utilizan mecanismos informales para solucionar situaciones problema que les planteamos en relacin con situaciones de recuento (utilizacin de los dedos, movimiento de la cabeza) que poco a poco se formalizarn mediante la utilizacin del nmero. Pues bien, la referencia a los objetos y/o al cuerpo, no supone, en absoluto, la utilizacin de mecanismos o procedimientos informales, sino mecanismos o procedimientos psicolgicos que dan cuenta del paso de la centracin a la descentracin (utilizando una terminologa piagetiana) o de la subjetividad a la objetividad por el intermediario de la intersubjetividad (utilizando una terminologa vigotskiana).En efecto, admitamos o no el principio haeckeliano[26]de que la ontognesis recapitula la filognesis, todos los historiadores del pensamiento matemtico estn de acuerdo en aceptar la existencia inicial de unosnmeros corporales. Estos nmeros corporales comienzan siempre, y de manera muy especial, centrados en los dedos de la mano[27], lo que no parece una situacin caprichosa de los hombre primitivos desde el momento en que, a partir de los trabajos iniciales de Gerstmann y el posterior diagnstico diferencial efectuado por Kleist, sabemos que laacalculiava siempre asociada a unaagnosia digital, por lo que estos autores llaman poderosamente la atencin sobre la correlacin ntima existente entre el reconocimiento de los dedos de la mano y las primeras adquisiciones del clculo. No es, por tanto, de extraar que los nios (como el hombre primitivo) cuente con los dedos (no cuentan los dedos).El que los procedimientos iniciales de clculo tengan un origen neurolgico no quiere decir, de ninguna de las maneras, que sean procedimientos informales de clculo. Como no quiere decir que los conocimientos matemticos del hombre primitivo, por el hecho de tener un origen prctico, fueran conocimientos matemticos informales. Herodoto, en un conocido pasaje de suHistoria, deca:El rey de Egipto dividi el suelo del pas entre sus habitantes, asignando lotes cuadrados de igual extensin a cada uno de ellos y obteniendo sus principales recursos de las rentas que cada poseedor pagaba anualmente. Si el ro arrasaba una parte del lote de un habitante, ste se presentaba al rey y le expona lo ocurrido, a lo cual el rey enviaba personas a examinar y medir la extensin exacta de la prdida y ms adelante la renta exigida era proporcional al tamao reducido del lote.El ladrillo con que el hombre primitivo construa sus casas y sus tumbas, aport la nocin de ngulo recto. El concepto delnea(y su nombre) deriva de la forma de la fibra del lino. Otros muchos conceptos matemticos tienen su origen en movimientos (ya de las danzas primitivas, ya del caminar de los astros en el cielo).El hecho de que la nocin de proporcionalidad, a la que haca referencia Herodoto, venga de la necesidad de aplicar una ley con justicia, la de ngulo recto de un ladrillo, la de lnea de una fibra textil, etc., no permite que nadie llame informales a los conocimientos que debemos a aquellos que nos precedieron histricamente.Otro tpico que daa bastante el hacer matemtico es el de verdad absoluta (a las matemticas se les llama ciencias exactas). Dejemos que sean los propios filsofos de la matemtica los que nos desgranen esta cuestin. En este sentido, Krieger postula un conjunto de afirmaciones bastante esclarecedoras:Los teoremas matemticos, dice Krieger, son objetos interpretables culturalmente, lo mismo que lo pueden ser las obras de arte. Al tomarse separados del contexto cultural, los teoremas se enfocan de modo trascendente y se ven como analticos o verdaderos por su ser, dada la verdad por la demostracin que hace el matemtico (como el artista su obra); o sintticos y se les admite como verdaderos por su correspondencia y localizacin en la historia y el mundo.Est muy claro que las matemticas son un instrumento de transmisin de la cultura, por tanto las verdades matemticas son verdades en el espacio y en el tiempo y nunca verdades absolutas.En otro pasaje de su artculo, Krieger nos dice que la matemtica es un instrumento y un oficio. Como instrumento es til porque se adapta al material que encuentra, es decir, al mundo natural y a las ciencias. Pero, a la vez, ese material tambin se adapta para ponerse de acuerdo con las capacidades matemticas. Un acuerdo nunca perfecto con lagunas entre ambos polos que obliga a realizar modificaciones en la matemtica para ponerse de acuerdo con el material que la entorna; pero tambin el mundo, el material, tiene que modificarse para esa adaptacin.Igualmente las matemticas son un instrumento de asimilacin para acomodarnos al mundo que nos rodea, es decir, para conferir un significado a lo real. Cuanto ms y ms poderoso sea este instrumento de asimilacin, se le podrn conferir a la realidad significados cada ms ricos. La utilidad de las matemticas est, por tanto, en su poder para explicar el mundo, tratar de desconectar las primeras del segundo ser, por tanto un error aberrante.El maestro que ensea matemticas debe conectar estas con la realidad para no parecerse al matemtico que describe P. Simons: el matemticoquamatemtico no le parece esencial reflexionar acerca de lo que hace y de lo que dice, con lo que, instalado en el mundo de las ideas, se transforma en un platnico que maneja objetos abstractos separados del espacio y del tiempo y totalmente ajenos a la realidad que circunda al sujeto que aprende.Finalmente Krieger postula que las matemticas, como oficio de docente, debe partir del hecho que la enseanza de la matemtica contiene un mpetu, lo que se califica de motivacin, que no est escrito en parte alguna pero se transmite en la pizarra o el papel, en el planteamiento de tareas y actividades individuales o colectivas. La motivacin proviene de la ejemplificacin, de la ancdota y esta motivacin es de tipo ms bien general y cultural aunque se utilice una jerga semitcnica de la subcultura propia del matemtico.La nica enseanza vlida de las matemticas, sea cual sea el prisma que se utilice, debe partir de la realidad y debe tener como destinataria esa misma realidad.Desde que Paul Benacerraf publicara su clebre dilema[28]conocemos los cuatro elementos esenciales del saber matemtico:1. El conocimiento matemtico se basa en una posicin epistemolgica (que se ha dado en llamarepistemologa del sentido comn) de naturaleza causal.2. El conocimiento matemtico exige la interaccin entre el sujeto y el objeto.3. Los objetos matemticos son entidades existentes.4. Los objetos matemticos no pueden ser entidades abstractas y han de estar localizados espacio-temporalmente.Esto nos lleva a concluir que el nmero, en cuanto objeto matemtico, existe (luego es un contenido instruccional), que no es una entidad abstracta (luego hay que concretizarlo), que no puede conocerse sino mediante la interaccin del sujeto con l (luego debe conocerlo en accin) y que la nica manera de conocerlo es mediante mecanismos causales (luego no puede desligarse de la realidad).

[1]Piaget, J. (1975):Introduccin a la epistemologa gentica. : El pensamiento matemtico. Buenos Aires: Paids; p. 111.[2]Serrano, J.M.; Carranza, J.A. y Roca, M.D. (1985): El papel de la transitividad y de las inferencias transitivas en la adquisicin del concepto de nmero. En la Pedagoga Operatoria Avui. Barcelona: Ayuntamiento de Barcelona, 555-564.[3]No olvidemos que el nmero puede ser considerado clase de clases (Russell y Whitehead, 1903), lo que supone que ante la pregunta cuntos animales hay en el conjunto anterior?, la respuesta seradoce, y la razn podra venir dada por el siguiente argumento: esos animales pueden ser puestos en correspondencia con los mariscales de Napolen, los apstoles del Cristo, los meses del ao, los signos del Zodaco, etc. y la clase que engloba todas estas clases (desde la perspectiva o desde la propiedadnmero) recibe el nombre dedoce.[4]Funcin (a): direccin sujetoobjeto (asimilacin);funcin (b): direccin sujetoobjeto (acomodacin);funcin (): equilibracin;As: esquemas lgico-matemticos de clasificacin y/o seriacin;Fs: forma que se le confiere a los objetos matemticos (aplicacin del esquema);Ro: resistencia de los objetos numricos a ser clasificados y/o seriados;Mo: significado que los objetos numricos presentan para el sujeto.[5]A travs de una larga y penosa evolucin el hombre ha terminado por hacerse experto en dos tcnicas que formarn en lo sucesivo parte de su equipo mental: el emparejamiento y el recuento (Boll, 1974; pp. 8-9).[6]Contar es atribuir numerales, en un orden estable e irrelevante, a los elementos de un conjunto de objetos, de manera que cada numeral se corresponda con un objeto y slo uno y cada objeto se corresponda con un numeral y slo uno.[7]Precisamente, la potencialidad de un esquema viene determinada por la variedad de contenidos a los que se puede aplicar; por ejemplo, durante el periodo sensoriomotor, los esquemas (de accin) son formas que slo se pueden aplicar a un contenido real y presente; durante el periodo de preparacin y organizacin de las operaciones concretas los esquemas (simblicos o representacionales) son formas que actan sobre contenidos reales (presentes, simblicos o simbolizados), es decir, actan tanto sobre la realidad, como sobre representaciones de lo real; finalmente, durante el perodo de las operaciones formales, los esquemas (formales) pueden ser, alternativa