Contenuti minimi Matematica 1° anno del 1° biennio degli istituti superiori.

La scomposizione di un polinomio in fattori Le operazioni con le frazioni algebriche Le eguaglianze algebriche: identità ed equazioni I sistemi di equazioni di 1° grado

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La scomposizione di un polinomio in fattoriScomporre un polinomio in fattori significa trasformarlo

in un prodotto di polinomi e monomi.

Per scomporre un polinomio in fattori si possono applicare vari procedimenti. La scelta del procedimento dipende da come si presenta il polinomio da scomporre. Si potranno anche applicare più procedimenti nella stessa scomposizione.

Raccoglimenti Binomi Trinomi particolari Quadrinomi particolari Scomposizione mediante la Regola di Ruffini Quadro riassuntivo dei metodi di scomposizione

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Esempi guidati di raccoglimenti totali

1 - Scomporre x3+2x2-x=

• Si calcola il massimo comune divisore tra x3, x2,x, cioè si moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente. Nel nostro caso MCD = x.

• Si scrive il MCD trovato “in evidenza”, successivamente si apre una parentesi tonda e si scrivono i termini che si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio di partenza per il MCD, si chiude la parentesi. Cioè:

x ( x3:x + 2x2:x – x:x) =

ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente

x ( x2 + 2x -1 )

Esempi guidati di raccoglimenti totali

Scomporre 2 a ( x+1) – 4 b ( x +1 ) =

• Si calcola il massimo comune divisore tra 2 a ( x+1 ), 4 b ( x+1 ), cioè si moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente. Nel nostro caso MCD = 2 ( x+1 ).

Si scrive il MCD trovato “in evidenza”, successivamente si apre una parentesi tonda e si scrivono i termini che si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio di partenza per il MCD, si chiude la parentesi. Cioè:

2 ( x+1 )[ 2 a (x+1): 2(x+1) – 4 b (x+1) : 2(x+1)]=

ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente

2 (x+1) (a – 2b)

Esempi guidati di raccoglimenti parziali

Scomporre xa + 4 ay + 2 xb + 8b y=Osserviamo che non si può procedere con un raccoglimento totale perché il MCD tra tutti i termini è 1!

Osserviamo, però, che il 1° e 3° termine hanno un MCD diverso da 1 come anche il 2° e il 4°!

Cioè: xa + 4a y + 2b x + 8b y=

MCD= x MCD = 4y

In pratica si procede così: x (xa:x +2bx:x) + 4y (4ay:4y + 8by:4y) =ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente

x ( a + 2b) +4y (a + 2b)=Possiamo ora procedere con il raccoglimento totale di (a+2b) e scrivere:

(a + 2b) (x + 4y)

1° 27x2-9x4+18x6-9x8= 4° 2ax+2ab+3x+3b= 7° x8-16b4=

2° 8x6-y6= 5° x4-10x2y2+25y4= 8° x2-11x+30=

3° 8x3-14x2+7x-1= 6° 16x3y2-2y5= 9° 4ba2-8ab2+4b3=

Verifica: Scomponi i seguenti polinomi in fattoriCliccando su soluzioni potrai controllare i tuoi risultati

soluzioni

Le operazioni con le frazioni algebriche

Una frazione algebrica è il quoziente di due polinomi, il secondo dei quali diverso da zero.

o Addizione e sottrazione di frazioni algebriche

o Moltiplicazione tra frazioni algebriche

o Divisione tra frazioni algebriche

o Potenza di frazioni algebriche

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222

122

yx

xy

yxy

y

xyx

x

153

4*

2

3*

2

52

2

2

2

x

x

xxx

xx

125

255:

255

253

3

2

2

2

a

aa

aa

a

2

2

23

4

25

a

aa

md

mdmd

dm

md

dm 2222

22*

22*4

Verifica: Risolvi le seguenti espressioniCliccando su ogni traccia potrai controllare i procedimenti di risoluzione

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Le eguaglianze algebriche: identità ed equazioni

• identità ed Equazioni: generalità (Identità o equazione? – Tipidi equazione – Equazioni determinate, indeterminate, impossibili – Formanormale, grado – Soluzioni )• Principi di equivalenza: 1° principio – 2° principio –

L’equilibrio delle equazioni• Procedimento risolutivo di una equazione numerica intera di 1° grado• Procedimento risolutivo di una equazione numericafratta di 1° grado• Procedimento risolutivo di una equazione letteraleintera di 1° grado

Verifica

)112(292)2(91 220 xxx

15

43

10

152

5

34

15

2320

xxx

44

16

4

1

2

1

2

23

220

xx

x

x

x

x

x

x

x

xaaaax 20 )1()1)(1(4

Verifica: Trova le soluzioni delle seguenti equazioniCliccando sulle tracce potrai controllare i procedimenti risolutivi

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I sistemi di equazioni di 1° grado

o Generalità sui sistemi di equazioni: * soluzioni, forma normale, grado * sistema determinato, indeterminato, impossibile.o Metodi di risoluzione: * Metodo di sostituzione * Metodo di addizione * Matrici e determinanti – Metodo di Cramer

Verifica

12

2

5

3

43

2

2

:CramerdimetodoilconRisolvi3

yxyx

yxyx

142

357

:nesostituzio di metodo ilcon Risolvi 1

yx

yx

152

1338

:addizionedimetodoilconRisolvi2

yx

yx

Verifica: Risolvi i seguenti sistemi con i metodi indicati.Cliccando su ogni traccia potrai controllare lo svolgimento

B Binomio: polinomio formato da due soli termini. Es:

2x+y ; 5 a2 -b

D Dividendo:è il primo termine della divisione Divisore: è il secondo termine della divisione

40

9

44

dividendo divisore

quotoresto

o Denominatore: è il termine che si trova sotto il segno di frazione

97 Numeratore

denominatore

M Monomio:espressione letterale che non contiene operazioni di addizione e

sottrazione3 a b - a b - ½ a2

o Monomi simili: due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale

3 a b - a b

o M.C.D.(massimo comune divisore tra numeri o polinomi): si scompongono in fattori primi i numeri o i polinomi; si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente

o m.c.m.(minimo comune multiplo tra numeri o polinomi): si scompongono in fattori primi i numeri o i polinomi; si moltiplicano tra loro i fattori comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente

M.C.D. ( 20; 16 ) = ( 22* 5 ; 24 ) = 22

M.C.D. [ ( x2 – 1 ); x2 – x ] = [ ( x – 1 )( x + 1 ) ; x ( x – 1 ) ] = ( x – 1 )

m.c.m. ( 15; 18 ) = ( 3 * 5 ; 2 * 32 ) = 2 * 32 * 5 = 90

m.c.m. [ ( x2 – 1 ); x2 – x ] = [ ( x – 1 )( x + 1 ) ; x ( x – 1 ) ] = x ( x – 1 ) ( x + 1 )

N Numeratore: è il termine che si trova sopra il segno di frazione

97 Numeratore

denominatore

P Polinomio: è la somma algebrica di monomi interi

2 a b + 4 a 144 2 xx

Q Quadrinomio: è un polinomio formato da 4 termini

4 a + 2b – a2 + 5b3

R Regola di Ruffini: permette di svolgere la divisione tra un polinomio

ordinato e completo e un binomio di 1° grado con il coefficiente del termine di 1° grado uguale a 1. per illustrare questa regola svolgiamo la divisione

)3(:542 23 xxxx

Ordiniamo i coefficienti come nel prospetto,Cambiando il segno del termine noto:

+2 +4 -1 +5

+3

+2 +4 -1 +5

+3

+2

Scriviamo il primo coefficiente sotto la linea orizzontale e moltiplichiamolo per +3; trascriviamo il risultato +6 sotto il secondo coefficiente +4 e sommiamo trascrivendo il risultato +10 sotto la linea orizzontale +6

+10

+2 +4 -1 +5

+3

+2

+6

+10

Moltiplichiamo ora anche +10 per +3 e trascriviamo il risultato +30, sotto il terzo coefficiente -1; sommiamo algebricamente e trascriviamo il risultato +29 sotto la linea orizzontale. Moltiplichiamo ancora +29 per +3 e trascriviamo il risultato + 87 sotto il termine noto +5; sommiamo algebricamente e trascriviamo il risultato +92 sotto la linea orizzontale

+30

+29

+87

+92

Il quoto della divisione sarà il polinomio 2 x2 + 10 x + 29 con resto +92

Osserviamo che il grado del polinomio quoto è inferiore di 1 rispetto

al grado del polinomio dividendo!

S Semplificazione di una frazione algebrica: Semplificare una frazione

algebrica significa dividere il suo numeratore e denominatore per un fattore comune. La frazione si dirà semplificata ai minimi termini se non si potrà ulteriormente semplificare. Per semplificare una frazione si procede così:

* Si scompongono il numeratore e il denominatore della frazione * Si eliminano dal numeratore e dal denominatore i fattori comuni

)3(

)2(

)3)(3(

)2)(3(

9

652

23

x

xx

xx

xxx

x

xxx

T Trinomio: è un polinomio formato da tre termini ad es: 5ab + 6b + c