conteo de figuras
TRANSCRIPT
1 2 3 4 5 6 n 1 n
1 2 3 4 n 1 n1 2 3 4 5 m 2 m 1 m . . .
. . .
123
n 1
...
n
2 3 4 m. . .
n 5 4 3 2 1 12
34
5 n2
3
4
5 n
12345n 61
23
. . .m
234 p
1 2 3 4 n 1 n . . .
2
3
...
m 1
m . . .
...
123 . . .n1
23
m
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
2
3
p
...
CONTEO DE FIGURAS
Este tema nos permitirá familiarizarnos con el conteo de números, figuras geométricas y sobre todo potenciaremos nuestra capacidad de abstracción y análisis visual.
I. CONTEO DE FIGURAS GEÓMETRICAS
1. Número de segmentos ( )
2. Número de Triángulos
3. Número de Cuadriláteros
4. Número de cubos
5. Número de Paralelepípedos
6. Número de cuadrados en un rectángulo
5. Número de cubos en un paralelepípedo
II. CONTEO DE PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE FIGURAS GEÓMETRICAS
A) Para poligoos convexos
Poligonos N° de Lados
N° de puntos de intersección
TriángulosCuadrilaterosPentagonosHexagonos:Poligonos
3456:L
3n(n - 1)4n(n - 1)5n(n - 1)6n(n - 1)
:L.n(n - 1)
B) Máximo número de puntos de intersección de “n” circunferencias
n(n−1)
C) Máximo número de puntos de intersección de “n” rectas
n (n−1 )2
D) Máximo número de puntos de intersección de “n” triángulos y “c” circunferencias (solo entre triángulos y circunferencias)
6nc
E) Observación - El número máximo de puntos
de intersección (K) es igual al duplo del número de lados del poligono con menor cantidad de lados (m)
- Para hallar el total de puntos de interección de “A” poligonos de “m” lados con “B” poligonos de “n” lados, se calcula así
A .B . K
PRACTICA
01. Hallar el número de segmentos
A) 75 B) 80 C) 85 D) 90 E) 20
02. Hallar el total de segmentos
A) 140 B) 160 C) 175 D) 191 E) 183
03. El la figura cuantos triángulos hay
A) 46 B) 56 C) 78 D) 21 E) 36
04. Cuántos triángulos hay en la siguiente figura
...
...
. . .
. . .1
23
419
A) 40 B) 49 C) 45 D) 44 E) 36
05. Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura
A) 40 B) 45 C) 90 D) 100 E) 43
06. Halle el número total de segmentos
a) 3 078 b) 2 100 c) 1 749d) 1 509 e) 2 000
07. Halle el número total de cuadraditos en:
12
3
1 00
A) 1100 B) 1900 C) 1500D) 1700 E) 2100
08. En la figura que mostramos, ¿Cuántos triángulos hay en total?
a) 80 b) 60 c) 70 d) 72 e) 62
09. Calcular el máximo número de triángulos de la figura:
**
a) 63
b) 72
c) 66
d) 89
e) 90
10. ¿Cuántos triángulos hay?
A)2 840 B) 930 C) 9 455 D) 7 281 E) 9 331
11. ¿Cuántas bolitas tiene la posición número 20?
a) 180 b) 280 c) 300
d) 420 e) 400
12. En la figura, ¿cuántos cuadrados con una diagonal trazada se pueden contar?
A) 310 B) 400 C) 220
D) 210 E) 200
13. Hallar el número de cuadriláteros que contiene un solo *
1 2 3 3 0. . .4
*
A) 15 B) 8 C) 6 D) 9 E) 13
14. La cantidad de números de cinco dígitos que pueden formarse con la condición que se empleen sólo los dígitos dos, tres y ocho, es:
A) 10 B) 20 C) 243 D) 729 E) 825
15. En la figura:
El número de triángulos que no contienen asterisco es:
A) 7 B) 9 C) 12 D) 13 E) 15
16. ¿Cuántos cuadriláteros hay en total en la siguiente figura?
A) 164 B)165 C)166 D)163 E) 150
17. Cuántos cuadriláteros tienen por lo menos un asterisco en la figura
A)65 B) 70 C) 72 D) 74 E) 76
18. ¿Cuántos segmentos se cuentan en total en la siguiente figura?
A) 112 B)113 C)114 D) 115 E)103
19. Cuantos números capicúas de 6 dígitos existen en el sistema de base 8
A) 428 B) 438 C) 448 D) 468 E) 478
**
**
*
* *
**
*
20. En la siguiente figura:I. ¿Cuantos paralelepípedos hay?
II. ¿Cuántos cubos hay?
III. ¿Cuántos paralelepípedos, que no son cubos hay?
a) 2150; 350; 2000 b) 2170; 300; 3000 c) 2160; 150; 2010
d) 2160; 350; 2500 e) 2160; 250; 3010
TAREA DOMICILIARIA
21. Cuántos “” hay en el rectángulo y círculo pero no n el triángulo
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0
22. Cuántos triángulos tienen por lo menos una “*”
A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 7
23. En la siguiente figura. ¿Cuántos triángulos poseen en su interior solo un asterisco?
A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 11
24. En la siguiente figura adjunta halle:
123451617181920
I. el número de cubos como el sombreado
II. el número total de cubos
III. el número de paralelepípedos
IV. el número de paralelepípedos que no son cubos.
a) 40; 80; 800; 410 b) 60; 90; 900; 810
c) 50; 100; 400; 210 d) 70; 140; 800; 910 e) N.A.
25. Hallar el número total de cuadriláteros.
a) 343 b) 312 c) 323 d) 400 e) 512
P
PP
Punto Par(Concurren 6 líneas)
Punto Par(Concurren 4 líneas)
Punto Par(Concurren 4 líneas)
I
I
I
I
Punto Impar(Concurren 3 líneas)
Punto Impar(Concurre 1 línea)
Punto Impar Punto Impar
P
P
Inicio = final
I I
2 puntos impares
Inicio final
P P
PP
P
P PI I
P P
P P I I
I I
P
P
P P
P
RECORRIDOS EURELIANOS
Punto ParLlamado también vértice par, es aquel donde concurren un número par de líneas rectas o curvas.
Punto ImparLlamado también vértice impar; es aquel donde concurren un número impar de líneas rectas o curvas.
TEOREMA DE EULERTeorema ISi en una gráfica todos sus puntos son pares entonces admite un recorrido eureliano (es decir se puede dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel)
Todos sus puntos son pares
Teorema IIToda gráfica admite un recorrido eureliano. Si presenta como máximo dos puntos impares; esto significa que si hay más de dos puntos impares, la figura no se puede realizar de un solo trazo.
Ejemplo:¿Qué figuras se pueden realizar de un solo trazo y sin levantar el lápiz del papel?
OBSERVACIÓN1. La menor cantidad de puntos pares que puede existir en un gráfico es 1.2. Los puntos impares siempre se presentan en parejas, no existe figura con un número impar de puntos impares.3. Si tenemos una figura con más de dos puntos impares, entonces para dibujar tendremos que repetir trazos. El número mínimo de líneas que
deben repetirse es:
¿ LÍNEASrepetidas
= ¿ de puntos impares − 22
PRÁCTICA
3cm 3cm 3cm
4cm 4cm
01. ¿Cuál de los siguientes gráficos admite un recorrido eureliano?
(I) (II) (III) (IV)
A) I; II; III B) I; III C) Sólo ID) I; II; IV E) Todas
02. En la figura, ¿Cuál es la menor longitud que debe recorrer la punta de un lápiz para realizar el dibujo, sin levantar el lápiz del papel?
A) 70 B) 72 C) 75D) 76 E) 73
03. Indicar con V las figuras que se pueden dibujar de un sólo trazo, sin levantar el lápiz, ni volviendo por la misma línea, y con F las que no.
a) VVV b) FFF c) VFF d) FVF e) VVF
04. La velocidad de un galgo es de 20 m/min. Si demora (2 +7) minutos para recorrer alrededor de un rectángulo, con sus dos diagonales incluidas. Hallar la medida del ancho, si se sabe que es la mitad del largo.
a) 5m. b) 10m. c) 20m. d) 40m. e) N.a.
05. ¿ Cuáles de los circuitos siguientes pueden ser recorridos en una sola jornada (y sin levantar el lápiz).
a)I b) II c) I,II,III d) I,II e) II,III
06. En la siguiente figura. ¿Cuántos vértices impares hay?
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) N.a.
07. ¿Cuál de las siguientes figuras adjuntas se puede dibujar sin pasar el lápiz dos veces por la misma recta ni levantarlo del papel?
a) I b) II c) I y IIId) III e) I, II, III
08. ¿Cuál de las siguientes figuras se puede dibujar sin pasar el lápiz dos veces por la misma línea ni levantarlo del papel?
a) I b) II c) IIId) II y III e) I y III
09. ¿Cuáles de las siguientes figuras no se pueden dibujar de un solo trazo?
a) I y II b) II y III c) I y IIId) sólo II e) sólo III
10. ¿Cuál es el tiempo mínimo que utilizaría un niño para recorrer todos los lados y las dos diagonales de un parque rectangular de 80 metros de largo y 60 metros de ancho, recorriendo con rapidez uniforme de 90 m/min?
A) 5 min. B) 6 min. C) 8 min.D) 7 min. E) 10 min.
11. Como mínimo una araña emplea 5 minutos en recorrer todas las aristas de un cubo construido de alambre de 60 cm. de longitud. El tiempo que emplea en recorrer una arista es:
A) 18,75 seg. B) 20 seg.C) 25 seg. D) 30 seg.E) 37,5 seg.
12. ¿Cuántos centímetros como mínimo se debe recorrer con el lápiz para dibujar la siguiente figura sin levantar el lápiz del papel ni repetir las líneas ?.
3cm 3cm 3cm 2cm
2cm 2cm
A) 68 cm. B) 72 cm. C) 66 cm.D) 67 cm. E) 70 cm
13. Si se interceptan diez nonágonos convexos secantes con seis pentágonos convexos secantes, entonces
el número máximo de puntos de corte es:
A)210 B)3000 C)1500 D)1560 E)1170
14. El máximo número de puntos de intersección de 2 polígonos de 2m+1 y 2m lados más sus vértices dan un
total de 2560 puntos. Hallar el número de lados del polígono menor.
A) 256 B) 512 C) 1024 D) 2048 E) 4096
15. Calcular el número máximo de puntos de intersección entre 9 triángulos y 7 circunferencias
A) 378 B) 428 C) 536 D) 636 E) 646
16. Hallar el número de rectas que se cortan entre sí sabiendo que si hubieran cinco rectas menos el número
de puntos de intersección sería menor en 95.
A) 8 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
17. Se colocan 5 libros idénticos en un estante; cada uno contiene 300 hojas. El total de hojas que hay entre
la primera hoja del primer libro y la última hoja del quinto libro es:
A) 300 B) 600 C) 900 D) 1200 E) 1500
18. Sobre el patio de un centro educativo se ha dibujado un polígono de 24 metros de lado. Soponcio se para
sobre un vértice y recorre todo el polígono; luego repite el proceso sucesivamente recorriendo en cada
vuelta un lado menos; si ha recorrido en total 864 metros, los lados que tiene el polígono son:
A) 7 B) 8 C) 10 D) 9 E) 6
19. De las figuras:
El número de caminos eulerianos es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
20. Los numerales capicúas de cinco cifras de base n>8 que utiliza alguna cifra 8 en su escritura son:
A) (3n-2)(n) B)(n-1)(n-2) C) (n-2)(3n-2) D) (n-1)(n-1) E) (n-1)(3n-2)
21. En el torneo de fulbito organizado por ATENAS participan ocho equipos, si se han de jugar dos ruedas y
todos juegan contra todos. Si cada mañana juegan cuatro partidos, entonces el número de semanas que
demandará el torneo es:
A)16 B)13 C)24 D)15 E)1
22. Toti llegó muy tarde al clásico U- Alianza y solo pudo enterarse que en un total marcaron n goles,
entonces el número de resultados distintos que se pudo haber dado es:
A) B) 2n C) n -1 D) n +1 E) n
23. Un parque rectangular de 84 m de largo y 35 m de ancho es recorrido por Koky y Nana, ambos con
velocidad constante, incluyendo las veredas diagonales. Si ambos recorren la menor cantidad posible de
segmentos pero Koky con la mayor longitud y Nana con la menor longitud entonces en total ambos
recorrerán:
A) 966 m B) 984 m C) 948 m D) 950 m E) 942 m
24. Dos cubos están unidos sólo por uno de sus vértices y su armazón, construido exactamente con 120 cm
de alambre debe ser recorrido por una tortuga con velocidad constante. El recorrido de la tortuga en
centímetros por lo menos será de:
A) 125 B) 132 C) 144 D) 150 E) 180