continuidad (cálculo i)
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Explicación de los conceptos de continuidad y discontinuidad. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.TRANSCRIPT
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Continuidad
Dr. Juan R. Mejías Ortiz
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CURSO CÁLCULO I
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DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD
• Cuando se habla que un obrero ha permanecido en su puesto de trabajo en forma continua por ocho(8), implica que ha seguido en su labor sin parar en ningún momento.
• Lo mismo ocurre en el estudio del cálculo. Una función es continua en un intervalo si al trazar su gráfica se logra sin interrupción. Esto es no existe un hueco o salto.
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DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD
La gráfica de la función
ilustrada a la izquierda es
continua. La misma puede
trazarse sin interrupción.
Las flechas muestran el
trazado de la gráfica de la
función.
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DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD
• Una función es continua en x = c cuando no existe una interrupción en el trazado de su gráfica en c. Esto es que no existe un salto ni un hueco en x = c.
• Se dice que una función f(x) es continua en c cuando se cumplen las siguientes condiciones.
1. La función esta definida en x = c. Esto es f(c) está definida.
2. limx→c
𝑓(𝑥) existe.
3. limx→c
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐).
Una función es continua es un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo. Una función continua en toda la recta real (-∞, ∞) es continua en todas sus partes.
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Discute la Continuidad de cada Función
𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 𝑓 𝑥 = 3 cos 𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = 1/𝑥2
El dominio es toda la recta (-, ). No existe hueco ni salto en la gráfica de f(x), por lo cual es continua en
todo tiempo.
El dominio es toda la recta (-, ). No existe hueco ni salto en la gráfica de f(x), por lo cual es continua en
todo tiempo.
f(x) no se puede definir en f(0). A su vez existe un salto cuando
x = 0. Entonces, f(x) es discontinua en x = 0. Sin embargo es continua en
algunas partes. O sea, en (-, 0) (0, )
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DISCONTINUIDAD
• Se dice que una función f(x) es discontinua en c cuando se cumplen las siguientes condiciones.
1. La función no está definida en x = c.
2. 𝐥𝐢𝐦𝐱→𝐜
𝒇(𝒙) en x = c no existe.
3. 𝐥𝐢𝐦𝐱→𝐜
𝒇 𝒙 ≠ 𝒇(𝒄).
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La función no está definida en x = c. Existe un hueco en la gráfica de f(x). Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a, b).
DISCONTINUIDAD
Primera Condición
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DISCONTINUIDAD
𝐥𝐢𝐦𝐱→𝐜
𝒇(𝒙) no existe
cuando x = c. Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a, b).
Segunda Condición
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DISCONTINUIDAD
𝐥𝐢𝐦𝐱→𝐜
𝒇 𝒙 ≠ 𝒇(𝒄) cuando
x = c. Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a, b).
Tercera Condición
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DISCONTINUIDAD
• Las discontinuidades en una función pueden ser clasificadas como evitable e inevitables.
• Las discontinuidades evitables son aquellas en donde f(x) se puede hacer continua redefiniendo a f(c) apropiadamente. Los ejemplos presentado en la 1ra y 2da condición son representan discontinuidades inevitables.
• Las discontinuidades inevitables no permite una redefinición de f(c).
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EJERCICIOS
Identifica las discontinuidades.
Respuesta:
La función es discontinua en x = -3 y x = 2.
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EJERCICIOS
Identifica las discontinuidades.
Respuesta:
La función es discontinua en x = -1, x = 3 y x = 5.
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EJERCICIOS
Determina los intervalos donde la función 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 es continua.
Respuesta:
La función es continua para toda x = reales.
Esto es continua en el intervalo (-, ).
Teorema: Las funciones polinomiales
siempre son continuas.
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EJERCICIOS
Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
𝒙−𝟏 es continua.
Respuesta:
lim𝒙→𝟏
𝒇 𝒙 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆
La función es continua
para toda x ≠ 1.
Esto es continua en el intervalo (-, 1) (1, ).
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EJERCICIOS
Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒−𝟑𝒙𝟐+𝟐
𝒙𝟐−𝟑𝒙−𝟒 es continua.
Respuesta:
𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒 ≠ 𝟎
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏) ≠ 𝟎
𝒙 ≠ 𝟒 𝒙 ≠ −𝟏
La función es continua para todo número real excepto -1 y 4. O sea,
(-,-1 ) (-1, 4) (4,)
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EJERCICIOS
Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙−𝟏)
𝒆𝒙−𝟏 es continua.
Respuesta:
𝒆𝒙 − 𝟏 ≠ 𝟎
𝒙 ≠0
La función es continua para todo número real
excepto 0. O sea, (-,0) (0, 4)
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CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO
Una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y
lim𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑦 lim𝑥→𝑏−
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏)
La función f(x) es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
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CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO
Discute la continuidad de 𝑓 𝑥 = 16 − 𝑥2
El dominio de f(x) es el intervalo cerrado
[-4, 4] y es continua en el intervalo
abierto (-4, 4) y es continua por la
derecha y por la izquierda. Esto es:
lim𝑥→−4+
𝑓 𝑥 = 0 = 𝑓(−4)
lim𝑥→4−
𝑓 𝑥 = 0 = 𝑓(4)
Así que f(x) es continua en [-4, 4].
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TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y k es un número intermedio entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en [a, b] tal que f(c) = k.
Teorema del valor intermedio con un solo valor c.
Teorema del valor intermedio con más de un valor c.
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TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
La aplicación del Teorema nos permite determinar los ceros de una función continua en [a, b]. Para ello debe haber f(x) < 0 y f(x) > 0.
Determina si 𝑓 𝑥 =1
16𝑥4 − 𝑥3 + 3 tiene cero en [1, 2].
Como la función es polinomial es continua en (a, b).
Evalúa f(1). Esto es 𝒇 𝟏 =𝟏
𝟏𝟔(𝟏)𝟒− 𝟏 𝟑 + 𝟑 = 𝟐. 𝟎𝟔𝟑
Evalúa f(2). Esto es 𝒇 𝟐 =𝟏
𝟏𝟔(𝟐)𝟒− 𝟐 𝟑 + 𝟑 = −𝟒
Como f(1) =2.063 > 0 y f(2) = −4 < 0 el teorema garantiza la existencia de un c en [1, 2] tal que f(c) = 0. Observe la gráfica.
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TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
(c, 0)