contraste de hipotesis

EC302: Estadstica II.

Contraste de hiptesis

Marcelo Avalos Marzo de 2013

Fuente: Newbold, 1998

Significacin y potencia

Realidad

H0 Cierta H0 Falsa

Decisin estadstica

Aceptar H0

Nivel de confianza

1-

Error Tipo II

Rechazar H0 Error Tipo I

Potencia

1-

Factores que afectan la potencia: Tamao de la muestra Riesgo de error Tamao del efecto

Contraste para una media: 2 conocida

(i) 0: = 0 0 ; 1: > 0:

Rechazar 0 si: 0/

>

(ii) 0: = 0 0 ; 1: < 0:

Rechazar 0 si: 0/

<

(iii) 0: = 0 ; 1: 0:

Rechazar 0 si: 0/

> /2


Ejemplo 9.2 pp 293-294 Como parte de un proceso de ensamblaje, se usa un taladro para hacer agujeros en una lmina de metal. Cuando el taladro funciona adecuadamente, los dimetros de estos agujeros tienen una distribucin normal con media dos centmetros y desviacin tpica 0,06 cms. Peridicamente, se miden los dimetros de una muestra aleatoria de agujeros para controlar que el taladro funciona adecuadamente. Asumamos que la desviacin tpica no vara. Una muestra aleatoria de nueve medidas da un dimetro medio de 1,95 cms. Contrastaremos la hiptesis nula de que la media poblacional es dos centmetros frente a la alternativa de que no es as. Usaremos un nivel de significacin del 5%, y encontraremos tambin el p-valor del contraste.


Ejemplo 9.2 pp 293-294 (continuacin)

Sea el dimetro poblacional (en cms.). Entonces, queremos contrastar al 95% de confianza

0: = 0 = 2 ; frente a 1: 2

Por lo que rechazaremos 0 si: 0/

> /2

Tenemos: = 1,95 ; 0 = 2 ; = 0,06 ; = 9 ; /2 = 1,96

1,952

0,06/ 9> 1,96 , > 1,96 Rechazamos 0

Por otro lado, segn la tabla de Z tenemos 2,5 = 1 2,5 = 1 0,9938 = ,

Por lo tanto =0,0062*2=0,0124; que es el p-valor del contraste. Esto indica que podemos rechazar H0 con un 100(1-0,0124)=98,76% de confianza.

Contraste para una media: 2 desconocida y 30

(i) 0: = 0 0 ; 1: > 0:

Rechazar 0 si: 0/

>

(ii) 0: = 0 0 ; 1: < 0:

Rechazar 0 si: 0/

<

(iii) 0: = 0 ; 1: 0:

Rechazar 0 si: 0/

> /2


Ejemplo 9.3 pp 295-296

Se pidi a una muestra aleatoria de 541 consumidores que valorasen en una escala de 1 (completamente en desacuerdo) a 5 (completamente de acuerdo) la afirmacin de que debe ponerse un lmite a la responsabilidad del fabricante en los daos que se produzcan. La media muestral de las respuestas fue de 3,68 con una desviacin tpica de 1,21.

Supongamos que se considera que la afirmacin goza de un amplio apoyo general si la respuesta media en la poblacin es 3,75 o ms. Contrastar la hiptesis nula de que la media de la poblacin es al menos 3,75 frente a la alternativa de que es inferior a 3,75.



Queremos contrastar 0: 0 3,75 ; frente a 1: < 3,75

Tenemos: = 3,68 ; 0 = 3,75 ; = 1,21 ; = 541

Dada esta informacin A qu nivel podemos rechazar H0?

Rechazaremos 0 si: 0/

<

En este caso: 0/

=3,683,75

1,21/ 541= 1,345 ,

Segn la tabla de Z tenemos 1,35 = 1 1,35 = 1 0,9115 = ,

Como este contraste es unilateral, =0,0885; que es el p-valor del contraste. Podemos rechazar H0 con un 100(1-0,0885)=91,15% de confianza.

Contraste para una media: 2 desconocida y < 30

(i) 0: = 0 0 ; 1: > 0:

Rechazar 0 si: 0/

> 1;

(ii) 0: = 0 0 ; 1: < 0:

Rechazar 0 si: 0/

< 1;

(iii) 0: = 0 ; 1: 0:

Rechazar 0 si: 0/

> 1;/2


Ejemplo 9.4 (modificado) pp 297-298

Una cadena de supermercados sabe que, en promedio, las ventas en sus almacenes son un 19% mayores en diciembre que en noviembre. En el presente ao, se seleccion una muestra aleatoria de seis almacenes. En ella, la media de los aumentos porcentuales fue 19,5 y la desviacin tpica 0,767.

Contrastar, con un 95% de confianza la hiptesis nula de que el aumento medio es de 19%, frente a la alternativa de que es superior.


Ejemplo 9.4 (modificado) pp 297-298 (continuacin)

Queremos contrastar 0: 0 19 ; frente a 1: > 19

Tenemos: = 19,5 ; 0 = 19 ; = 0,767 ; = 6 ; 5;0,05 = 2,015

Rechazaremos 0 si: 0/

> 1;

En este caso: 0/

=19,519

0,767/ 6= 1,5967 ,

Como 1,597 < 2,015 no rechazamos H0.

Ntese que 5;0,10 = 1,476; por lo que podramos rechazar H0 al 90% de confianza, pero no al 95%.

Contraste para una varianza

(i) 0: 2 = 20

2 20 ; 1: 2 > 20:

Rechazar 0 si: (1)2

20 > 21,

(ii) 0: 2 = 20

2 20 ; 1: 2 < 20:

Rechazar 0 si: (1)2

20< 21,1

(iii) 0: 2 = 20 ; 1:

2 20:

Rechazar 0 si: (1)2

20 > 21,/2

(1)220

< 21,1/2


Ejemplo 9.5 pp 303 Con el fin de cumplir con las normas establecidas, es importante que la varianza en el porcentaje de impurezas de unas remesas de productos qumicos no supere el 4%. Una muestra aleatoria de 20 envos dio una varianza muestral de 5,62 en el porcentaje de impureza. Suponiendo que la distribucin poblacional es normal, contrastar al 90% de confianza la hiptesis nula de que la varianza de la poblacin no es mayor que 4.


Ejemplo 9.5 pp 303 (continuacin)

Tenemos

2 = 5,62 ; = 20 ; 02 = 4 ; 219;0,10 = 27,20

Contrastaremos 0:

2 20 4 ; frente a 1: 2 > 4

En este caso: (1)2

20=

195,62

4= 26,695

Como 26,695 < 27,20 no rechazamos H0.

Contraste para una proporcin

(i) 0: = 0 0 ; 1: > 0:

Rechazar 0 si: 0

0(10)/>

(ii) 0: = 0 0 ; 1: < 0:

Rechazar 0 si: 0

0(10)/<

(iii) 0: = 0 ; 1: 0:

Rechazar 0 si: 0

0(10)/> /2



De una muestra aleatoria de 802 clientes de supermercados, 378 fueron capaces de decir el precio de un artculo inmediatamente despus de ponerlo en el carro. Contrastar, al nivel del 10%, la hiptesis nula de que al menos la mitad de los compradores son capaces de decir el precio correcto frente a la alternativa de que la proporcin poblacional es menor de la mitad. Asimismo, hallar el p-valor de este contraste.



Tenemos:

0 = 0,5 ; = 802 ; =378

802 0,471 ; 0,10 = 1,28

Contrastamos 0: 0 0,5 ; 1: < 0,5

En este caso: 0

0(10)/=

0,4710,5

0,5(10,5)/802 ,

Como 1,64 < 1,28 rechazamos 0.

Segn la tabla de Z tenemos 1,64 = 1 1,64 = 1 0,9495 = ,

Como este contraste es unilateral, =0,0505; que es el p-valor del contraste. Podemos rechazar 0 con un riesgo de error del 5,05%.

Contraste para diferencia de medias: i

2 conocidas o 30 (i) 0: = 0 0 ; 1: > 0:

Rechazar 0 si: ( )0

2

+2

>

(ii) 0: = 0 0 ; 1: < 0:

Rechazar 0 si:( )0

2

+2

<

(iii) 0: = 0 ; 1: 0:

Rechazar 0 si: ( )0

2

+2

> /2

Nota: si las i2 son desconocidas y las 30 se puede reemplazar i por .


2 conocidas o 30 Ejemplo 9.7 pp 312-313

Se llev a cabo un estudio entre expertos economistas para conocer su opinin sobre las mujeres economistas. Se les pidi que evaluaran en una escala de 1 (totalmente en desacuerdo) a 5 (totalmente de acuerdo) la afirmacin a las mujeres economistas se les asignan las mismas tareas que a los hombres.

Para una muestra aleatoria de 186 hombres de esta profesin, la respuesta media fue 4,059 con una desviacin tpica de 0,839.

Para una muestra aleatoria independiente de 172 mujeres economistas, la respuesta media fue 3,680 con una desviacin tpica de 0,966.

Contrastar la hiptesis nula de que las dos medias poblacionales son iguales frente a la alternativa de que la verdadera media es mayor para los hombres.


2 conocidas o 30 Ejemplo 9.7 pp 312-313 (continuacin)

Denotemos por y las medias poblacionales de los hombres y las mujeres, respectivamente. Entonces, el objetivo es contrastar la hiptesis nula

0: = 0 frente a 1: > 0

La regla de decisin es

Rechazar 0 si: ( )0

2

+2

>

Tenemos: = 4,059 ; = 0,839 ; = 186 = 3,680 ; = 0,966 ; = 172

El estadstico de contraste es ( ) 0

2

+2

=(4,059 3,680) 0

0,8392

186 +0,9662

172

=0,379

0,09596= 3,949 ,

En la tabla de Z observamos que 1 3,95 = 1 1 = 0; con lo que la probabilidad de equivocarnos al rechazar 0 es nula*, as que la rechazamos.

*nota: en realidad la probabilidad es 0,000039; pero en la tabla anexa n 3 del Newbold aproximan la probabilidad en el cuarto decimal.


2 desconocidas y < 30 (i) 0: = 0 0 ; 1: > 0:

Rechazar 0 si: ( )0

+

> +2;

(ii) 0: = 0 0 ; 1: < 0:

Rechazar 0 si:( )0

+

< +2;

(iii) 0: = 0 ; 1: 0:

Rechazar 0 si: ( )0

+

> +2;/2

donde

= 1

2 + 1

2

+ 2


2 desconocidas y < 30 Ejemplo 9.8 (pp 314-315) Ser llev a cabo un estudio que pretenda valorar el efecto de la presencia de un moderador sobre el nmero de ideas generadas por un grupo. Se observaron grupos de cuatro miembros, con y sin moderadores. Para una muestra aleatoria de cuatro grupos con moderador, el nmero medio de ideas generadas por grupo fue de 78, con una desviacin tpica de 24,4. Para una muestra aleatoria independiente de cuatro grupos sin moderador, el nmero medio de ideas generadas por grupo fue de 63,5; con una desviacin tpica de 20,2. Asumiendo que las distribuciones poblacionales son normales con igual varianza, contrastar la hiptesis nula de que las medias poblacionales son iguales frente a la alternativa de que la verdadera media es mayor para los grupos con moderador.


2 desconocidas y < 30 Ejemplo 9.8 pp 314-315 (continuacin)

Denotemos por y las medias poblacionales de los grupos con y sin moderador. Entonces, el objetivo es contrastar la hiptesis nula

0: = 0 frente a 1: > 0


Rechazar 0 si: ( )0

+

> +2;

Tenemos: = 78,0 ; = 24,4 ; = 4 = 63,5 ; = 20,2 ; = 4

= 1

2 + 1

2

+ 2=

4 1 24,42 + 4 1 20,22

4 + 4 2= 22,39 ,

Los estadsticos de contraste y crtico (al 90% de confianza) son

( )0

+

=(78,063,5)0

22,44+4

44

=14,5

15,839= , ; +2; = 4+42;0,100 = ,

Dado que 0,915 < 1,440 no rechazamos la hiptesis nula. Hay que hacer notar que, ante tamaos muestrales pequeos, las diferencias de medias deben ser ostensibles para rechazar 0.

Contraste para diferencia de proporciones

(i) 0: = 0 0 ; 1: > 0:

Rechazar 0 si: ( )0

0(1 0)

+

>

(ii) 0: = 0 0 ; 1: < 0:

Rechazar 0 si:( )0

0(1 0)

+

<

(iii) 0: = 0 ; 1: 0:

Rechazar 0 si: ( )0

0(1 0)

+

> /2

donde

0 = +

+



De una muestra aleatoria de 203 anuncios publicados en revistas britnicas, 52 eran humorsticos.

De una muestra aleatoria independiente de 270 anuncios publicados en revistas estadounidenses, 56 eran humorsticos.

Contrastar, frente a la alternativa bilateral, la hiptesis nula de que las proporciones de anuncios cmicos de las revistas britnicas y estadounidenses con iguales.

Denotemos por y las medias poblacionales de los grupos

con y sin moderador. Entonces, el objetivo es contrastar 0: = 0 frente a 1: 0




Rechazar 0 si: ( )0

0(1 0)

+

> /2

Tenemos: = 203 ; = 52/203 0,256 ; = 270 ; = 56/270 0,207

0 = +

+ =

203 0,256 + 270 0,207

203 + 270 ,

El estadstico de contraste es, entonces, ( ) 0

0(1 0) +

=(0,256 0,207) 0

0,228 0,772 203 + 270203 270

=0,049

0,03897 ,

Al ser un contraste bilateral, nuestro riesgo de error para rechazar 0 es = 2 1 1,26 = 2 1 0,8962 = 2 0,1038 = ,

Esto nos indica que hay una moderada evidencia contra la hiptesis nula, por lo que es preferible no rechazarla.

Contraste para diferencia (razn) de varianzas

En este caso, por convencin, siempre designaremos

como X a la variable con varianza mayor.

(i) 0: 2 =

2 2

2 ; 1: 2 >

2 :

Rechazar 0 si:

2

2 > 1;1;

(iii) 0: 2 =

2 ; 1: 2

2:

Rechazar 0 si:

2

2 > 1; 1;/2


Ejemplo 9.10 pp 323-324

Se compararon las varianzas de los vencimientos de dos tipos de bonos.

Para una muestra aleatoria de 17 bonos del primer tipo, la varianza de los vencimientos (en aos al cuadrado) fue de 123,35.

Para una muestra aleatoria independiente de 11 bonos del segundo tipo, la varianza de los vencimientos fue de 8,02.

Si las respectivas varianzas poblacionales se denotan por 2 y

2, contrastar, con un 98% de confianza, la hiptesis nula

0: 2 =

2

Frente a la alternativa 1:

2 2

Asumir que las dos poblaciones tienen distribucin normal.




Rechazar 0 si:

2

2 > 1; 1;/2

Tenemos = 17 ; 2 = 123,35 ; = 11; 2 = 8,02

171;111;0,01 = ,

El estadstico de contraste es

2

2=

123,35

8,02 ,

Como 15,38 > 4,53; rechazamos la hiptesis nula de que la varianza de ambos tipos de bonos son iguales.

contraste de hipotesis

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