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J.E.N.504Sp ISSN 0081-3397
CONTRIBUCIONES A PROBLEMASMATEMÁTICOS EN FÍSICA NO-LINEAL
Trabajo presentado por la Cátedrade Física Teórica de la Facultad deCiencias Físicas de la UniversidadComplutense de Madrid.
JUNTA DE ENERGÍA NUCLEAR
MADRID,1981
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES
F51NONLINEAR PROBLEMSMATHEMATICAL MODELSEQUATION OF MOTIONLAGRANGIAN EQUATIONSPOLYNOMIALSHAMILTONIANSCONSERVATION LAWSVARIATIONAL METHODS
Toda correspondencia en relación con este traba-jo debe dirigirse al Servicio de Documentación Bibliotecay Publicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Uni-versitaria, Madrid-3, ESPAÑA.
Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse aeste mismo Servicio.
Los descriptores se han seleccionado del Thesaurodel INIS para-describir las materias que contiene este in-forme con vistas a su recuperación. Para más detallessultese el informe IAEA-INIS-12 (INIS: Manual de Indiza-ción) y IAEA-INIS-13 (INIS: Thesauro) publicado por el Organismo Internacional de Energía Atómica.
Se autoriza la reproducción de los resúmenes ana-líticos que aparecen en esta publicación.
Este trabajo se ha recibido para su impresión enMarzo de 1. 981
Depósito legal ne M-10833-1981 • I. S.B.N. 84-500-4389-1
Í N D I C E
PROLOGO
1. HACIA UNA*UNIVERSALIDAD LAGRANGIANAL. Abellanas y A. Galindo
2. ECUACIONES DE EVOLUCIÓN DE 5o ORDEN CON LEYES DE CONSER-VACIÓN EN DERIVADAS ALTASL. Abellanas y A. Galindo 13
3. HAMILTONIAN FORMALISM AND NONLINEAR EVOLUTION EQUATIOMSL. Martínez Al onso 29
4. EL PROBLEMA ESTACIONARIO DE LA ECUACIÓN u = Jvh[u]
F. Guil Guerrero 53
5. LA ECUACIÓN VARIACIONAL -~- F = a, la = 16ua
L. Abel!anas y F. Guil Guerrero 64
6. UN MÉTODO VARIACIONAL GENERALIZADO. APLICACIÓN AL OSCILA-DOR ANARMONICOA. Galindo y G. García Alcaine 82
7. OSCILADOR ANARMONICO: PRIMERA CORRECCIÓN RELATIVISTA Y APRO_XIMACION SEMICLASICAR. Fernandez Alvarez-Estrada 103
8. UNA CLASE ESPECIAL DE OSCILADORES ANARMONICOS DE 6o ORDENR. Fernández Alvarez-Estrada 116
9. CONSERVED DENSITIES FOR LINEAR AND NON-LINEAR EQUATIONSA. Galindo y G. García Alcaine 127
PROLOGO
Esta Memoria recoge algunos resultados nuevos, así como metodología deinterés sobre*ecuaciones no lineales, obtenidas dentro del programa de inves_tigación que la Cátedra de Física Teórica de la Universidad Complutense ha
r
realizado durante el año 1979, en contrato subvencionado por el Instituto deEstudios Nucleares (J.E.N.). Muchos de los resultados son preliminares y supresentación podrá variar en detalles cuando sean sometidos a publicación.
Un resumen breve de los contenidos de los trabajos que constituyen lapresente Memoria es el que sigue:
1) El interés de que las ecuaciones que rigen un proceso físico seanobtenibles de un principio variacional ha llevado a muchos autores a plan-tearse la formulación de criterios que lo aseguren, o en su defecto a hallarprocedimientos de transformación de las ecuaciones dadas en otras que los ve_rifiquen. El viejo teorema de Darboux no es extendible a muchos casos de in-terés. En este trabajo se demuestra la posibilidad de una universalidad la-grangiana mediante un criterio de sencilla aplicación, y que en muchas situa_ciones relevantes físicamente es implementable de forma explícita.
2) En un trabajo anterior (ver memoria 1978) se probó que dentro de lasecuaciones polinómicas de evolución de tercer orden, la familia Korteweg-deVries era la única que admitía leyes de conservación de alto orden en deriva-das. El mismo algoritmo de tipo asintótico utilizado en esa ocasión nos permi_te delimitar, tras un laborioso cálculo, la colección de ecuaciones de evolu-ción de quinto orden que comparten esa propiedad. La familia obtenida reducelas posibles ecuaciones esencialmente a las pocas analizadas hasta ahora, cons_truidas todas ellas por uno u otro camino a partir de la propia KdeV.
- TI -
3) En este trabajo se presenta una puesta a punto del formalismo hamilto_niano en dimensión infinita, que permite obtener y analizar sistemas de ecua-ciones asociadas a problemas espectrales de tipo Schrodinger para potencialesdependientes de la energía. En este contexto hamiltoniano se destacan variosaspectos nuevos que simplifican considerablemente la aplicación de técnicasusuales. Así por ejemplo el uso de la doble estructura hamiltoniana de ciertasecuaciones de evolución permite deducir la ley de evolución de los datos dedispersión sirt necesidad de reducir los hamiltonianos a funcionales de estosdatos.
4) Se trata de exponer aquí una versión del método clásico de similari_dad en el contexto de los grupos de transformaciones de Lie-Backlund asociadosa un sistema de integrales primeras en involución. El caso general que se ex-plica, hace precisa la demostración de un teorema previo sobre operadores sim-plécticos y paréntesis de Poisson. Con la ayuda de este teorema se examina lareducción del método de similaridad en el marco Lie-BScklund a la cuestión dela integrabilidad de sistemas hamiltonianos en dimensión finita de los que seconoce un número suficiente de constantes del movimiento en involución.
5) Desde un punto de vista puramente formal se extiende la caracteriza^ción del núcleo y el recorrido de la derivada variacional (el operador de Eu-ler-Lagrange) para determinar el núcleo y el recorrido de la primera derivadavariacional generalizada por medio de unas nuevas identidades variacionales.Como aplicación se examina el papel que juega esta primera derivada variacio_nal en la existencia de leyes de conservación generalizadas para ecuacionesque admiten transformaciones de Backlund.
6) Contiene este trabajo un método alternativo para la estimación de ni_veles ligados de hamiltonianos semiacotados. El método conduce directamente auna estructura Jacobi para la matriz representativa, lo que facilita enormemen_te el cálculo de las raices seculares. Se da un criterio de convergencia y seaplica el procedimiento al oscilador anarmónico generalizado. Los resultadosnuméricos obtenidos contrastan muy favorablemente con los deducidos por otrosmétodos, siendo su convergencia rápida si se escoge de forma óptima el vector
- "11.1 -
generador del proceso. Otra ventaja del método propuesto es su generalidad,que puede hacerlo relevante para cálculos en física atómica y nuclear.
7) Las aproximaciones semiclasicas basadas en el método WJKB y en laregla de cuantificacion de Wilson-Sommerfeld son de gran utilidad para la de-terminación aproximada de los niveles de energía en numerosos sistemas micros_cópicos. En este trabajo se presenta en cierto detalle un análisis de tipoWJKB del oscilador anarmónico unidimensional, incluyendo la primera correc-ción relativista. Se ha realizado asimismo un análisis numérico de diversosniveles de energía en dos casos: oscilador anarmónico ordinario (x + x ) yoscilador cuártico (x ).
8) Una comprensión global de las oscilaciones ánarmónicas no debe li-mitarse a las anarmonicidades de 4 o orden, y parece razonable explorar las deorden superior, por su posible vinculación a situaciones físicas. En el pre-sente trabajo se ofrece un tratamiento unificado de un tipo especial de osci-ladores que poseen ciertas propiedades interesantes. Se incluye además un re-sumen de algunas propiedades generales de los osciladores de sexto orden, enel contexto de la clase especial que se considera.
9) En este trabajo se discute un método de encontrar corrientes conser,vadas, ilustrándolo con numerosos ejemplos de ecuaciones lineales y no linea-les, para la mayoría de las cuales no es aplicable el teorema de Noether. Laexistencia, en muchos casos, de un número infinito de leyes de conservaciónes consecuencia inmediata del método.
Para las ecuaciones relativistas libres más sencillas (Klein-Gordon, Di_rae, Maxwell) se discute la no existencia de otras densidades conservadas li-neales o cuadráticas en una solución y sus derivadas (incluidas posibles de-pendencias explícitas en las variables espacio-temporales x p ). Se prueba asi_mismo el carácter completo del conjunto de cargas cuadráticas suplementadaspor algunas cargas lineales, es decir que dos soluciones con las mismas car-gas necesariamente coinciden.
- IV -
Deseamos agradecer al Instituto de Estudios Nucleares de la Junta deEnergía Nuclear la financiación económica que ha hecho posible la realiza-ción de estos trabajos. Incluimos asimismo nuestro agradecimiento a Ascen-sión Iglesias, por su esmero en el mecanografiado de estas notas.
Madrid, Diciembre 1979
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HACIA UNA UNIVERSALIDAD LAGRANGIANA
L.Abellanas, A.Galindo (UCM)
- 2 -
INTRODUCCIÓN
El cálculo variacional, ese "siervo de la mecánica" [l], ha desempeñadoun papel de indudable magnitud en el desarrollo matemático de la física. Tales el poder unificador de los principios variacionales, sus ventajas desde elángulo computacional y la sencillez con que permiten obtener leyes de conser-vación a partir de invariancias de la acción asociada (teorema de Noether),que resulta de gran interés el llamado problema inverso de la mecánica:
1) Hallar un criterio que permita averiguar, dado un sistema A:aJx,ul = 0de ecuaciones en derivadas parciales (SEDP), si tal sistema es direc_mente obtenible de un principio variacional. Es decirs sirs l[x,u~Ua = £ i/ Su (diremos en tal caso que el SEDP A es estríetamente lagrangiano).
2) Supuesto que tal SEDP no es estrictamente lagrangiano, determinarcuando existe un SEDP B: b = 0, "equivalente" al anterior, que sTlo sea (diremos entonces que A es lagrangiano).
La parte 1) del problema inverso está precisamente formulada, y se cono-ce su solución. Ya Helmholtz [2 J expuso, sin demostración rigurosa, un conjun-to de condiciones necesarias y suficientes para que un sistema a ful = 0,u = u(t), de ecuaciones diferenciales ordinarias, proviniese de un lagrangiano^siendo Mayer f3J quien primero probó su suficiencia. A Vainberg [4^ se debeel análisis completo de esta cuestión con las técnicas de análisis funcionalno-lineal!ttEl SEDP a = 0 es estrictamente lagrangiano <C £' la matriz dederivadas Fréchet ( d a a ^ ' ) es formalmente autoadjunta". Otro criterio equi-valente lo proporciona el Teorema 2 de [s]. Desde un punto de vista práctico,la siguiente caracterización [6~\ es de gran utilidad: "El SEDP a = 0 es es__
trictamente lagrangiano <=? -r-,^0^ - C-^ ^\CL > V*,*.^..
La segunda parte del problema inverso requiere una definición previa de"equivalencia" entre dos SEDP's A,B. La natural parece e'sta: "A y B se con-siderarán equivalentes (en símbolos A ^ B ) cuando toda solución u(x) del sis-tema A lo es también de B, y viceversa". Así, por ejemplo, son equivalentes,en este sentido, los siguientes sistemas:
- 3 -
i) A : u = O ,, B : uu = OA A
A : u x x + uxxx = 0 " B : u x x
Y no lo son estos otros:
iii) A : ux = 0 ,, B : u xu x x = 0
iv) A:uu y + 4(u - 1) = 0 ,, B : u3e 1 (uuy + 4(u - 1)) = 0AA A AA A
Mientras que A no es estrictamente lagrangiano en i) - iv), sí lo es B enii) - iv). Luego A es lagrangiano en el caso ii). Y no lo es en el caso iii)pues =>1/Su, para x G IR , es siempre lineal en la derivada máxima, par, porlo que $1/Su = 0 tiene otras soluciones queu = constante.
No conocemos que se haya hecho en la literatura científica ni siquieraun planteamiento preciso como representa el punto 2). Su interés es induda-ble, y la solución dista de ser la trivial, según indica los ejemplos ante-riores. Aquí nos limitaremos a dejar el problema planteado, y centraremosnuestra atención en su versión débil:
21) Dado un SEDP A, determinar si existe una aplicación (suave)u ->T[x,ul que transforme A en un SEDP B = T(A) estrictamente lagrangiano.Diremos en este caso que A es cuas i-1agrangiano.
Se remonta a Darboux \j"\ la demostración de que todo A:a = a(x,u,u )u ++ (2>(x,u,u) = 0, c< i o , admite un factor integrante f(x,u,u ) de formaque B : fa = 0 es estrictamente lagrangiano (ver el ejemplo anterior iv) comoilustración). Recientemente, y con Santilli [8^ como mas destacada exponente,se ha abordado, para sistemas A cuasi-!ineales de segundo orden, el problema
de ver si -existen matrices integrantes f ^ (x , u , D.u ) que transformenA en un sistema B :b s f a =0 estrictamente lagrangiano. Salvo el darse cuen-ta de que el número de condiciones a satisfacerse es, en general, superior alde incógnitas f , poco más se ha dicho al respecto de una manera explícj_ta. En \jf[ discutiremos esta cuestión. Santilli f 10Z3 conjetura una presunta"universalidad": si además de introducir matrices integrantes, se admiten cam
- 4 -
bios de variables independientes x y dependientes u^» es posible que todo SEDPA sea transformable en otro B estrictamente lagrangiano. Razón: al aumentar el
número de incógnitas, quizás el conjunto de condiciones pase de ser sobredeter_minado a subdeterminado.
Pues bien, en esta nota demostraremos de forma explícita que, efectiva-mente, V SDEP A es cuasi-1 agrangiano. De este modo, estaremos ante una "unive_rsalidad lagrangiana", como respuesta a 2 1 ) . La Sección 1 demuestra la afirma-ción precedente. La Sección 2 ilustra el resultado con varios ejemplos de inte_res (entre ellos las ecuaciones del tráfico, KdV , BBM y Boussinesq).
1. TODO SEDP ES CUASI-LAGRANGIANO
Sea un SEDP A : a (x , ul = 0, donde x G E n , u : TRn — "Rm , y a denotaun conjunto de m funciones reales, suaves, de x y de las derivadas parcialesj¿R(x) de n , siendo R = (r,,... ,r ) G 2 ? " un multiíndice. Indicaremos por a'la matriz derivada Fréchet de a :
donde ¿La, es el siguiente operador diferencial
con
En general, a1 f a1' , y por tanto A no será estrictamente lagrangiano.Sea T : ui(x) >—>• "¡"[X^LT] una aplicación (suave). Bajo ella el SDEP A se trans_(forma en un sistema B = T(A) : b = 0, dado por
V> [y ul - a j x ,T f uf\ (1.3)
Proposición 1: T(A) es estrictamente lagrangiano 4 — > a'T' es formalmenteautoadjunto.
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Demostración: Nótese que b1 = a'T1, y apliqúese el criterio de Vainberg. 9
Bastará, pues, que T1 = Xa 1 ' , con X = X , para asegurar que el SEDPtransformado T(A) es estrictamente lagrangiano.
Teorema 1
^ Su,
Demostración: Por hipótesis
^ T V V . U I = c [ y i M 1 5 c ' = d r ( 1 . 4 )
Bajo i n c r e m e n t o s i n f i n i t e s i m a l e s u —>u +°u¿» y con l a n o t a c i ó n T" [ x , u ] s v ,de ( 1 . 4 ) r e s u l t a :
>~ IV W>
r - 1 ' i— l i"
donde a v = T" ¿ u, y <¿J es la matriz derivada "parcial" Fréchet de a vrespecto de u. Luego,formalmente,
^ ' ^ (1-6)
Comparando con Sv = T~ ¿Tu , esto es, &~u = T1 ov, se obtiene:
-!-'„ ^/ ...'V^'t (1-7)
Si demostramos que o)' es formalmente autoadjunto, quedará probado el teorema.Esta parte meramente técnica la relegamos a un Apéndice. 1
La importancia del teorema precedente estriba en que proporciona una am-plia clase de transformaciones T que transforman A en un SEDP T(A) estrictamen_te lagrangiano. En general, tales T quedan definidas implícitamente (una vezfijado c 6 Ran o/S*u arbitrariamente), y será obligado recurrir a la resoluciónde un SEDP para llegar a su expresión explícita. Pero aparte de este posible
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inconveniente (que no se da en muchos casos de interés físico, como veremos),representa una prescripción sencilla y un paso significativo hacia la universa_lidad de los principios variacionales.
Nota 1. Es claro que lo anterior admite una formulación intrínseca en análisisno-lineal, a través del concepto de operador potencial. Aunque en la versión de_finitiva de este trabajo se incluirá dicha versión, preferimos aquí, por clari-dad, utilizar el lenguaje concreto de los SEDP's.
Nota 2. Es patente el carácter formal de esta Sección. Un próximo objetivo se-rá rigorizar estos resultados, más concretamente, el análisis cuidadoso de laecuación a'' v = c que define implícitamente a la transformación T.
Nota 3. El conocido resultado de Ibragimov JJ.Í} de que, dado el SEDPA : a fx , u 1 = 0, siempre —| un lagrangiano débil 1 tal que a = 0 =¥• o|/S*u=0,no merma interés alguno los resultados de esta Sección. Nótese, por ejemplo,que la elección más simple 1 = f(a . a) conduce a densidades conservadas Noethersiempre triviales. Esto limita enormemente la importancia de estos lagrangia-nos débiles de Ibragimov.
2. APLICACIONES
2.1 Caso lineal
Sea
donde o< son matrices reales mxm, dependientes de x. Ahora
Tomando c = u, el teorema 1 asegura que el cambio u = a1 v transforma a enbfx,vl= a íx , a11 v , estrictamente lagrangiano. Y en efecto
= o!cLl1\r « J _ 1. \a!fv ^ (2.3)
- 7 -
Es claro que, a veces, este procedimiento no será el más económico. Supóngase, por ejemplo, que m = 1, los coeficientes c<R son constantes, y que
a' = a1+ al (descomposición en operadores diferenciales simétrico y antisi2 " _,
métrico). Bastará escoger u =Tv, siendo T = T~ + T« un operador diferencialde coeficientes reales constantes, y tal que
para asegurar que a \_TvJ G Ran o /du . Asi:
i ) al$ = 0, Ts = 0 , TA = ü. (algún j )
i i ) a¿ = 0, TA = 0 , T$ = id.
En general, (2.4) indica que la elección más simple en estos casos serátomar como Tft/Tc la fracción racional mas simple equivalente a -al/ai, y connumerador antisimétrico.
2.2 Ecuación del tráfico
Sea
Ahora a v = - v + uv . Tomando c = 0, la relación a v = 0 bastará paraU Aque b\y~\ = a[y,/v "] 6 Ran ¿7<Jv . Y en efecto
(2.6)
La invariancia de l\_v^=.- v./2v frente a traslaciones en t,x, y bajo el cam-bio v -» v '+ ¿, conduce, vi a Noether, a las densidades conservadas
Pero de v, = uv resulta v(x,t) = cb(x + tu), cp arbitraria. En consecuencia,la ecuación del tráfico (2.5) admite como densidades conservadas
- 8 -
\JU (2 .8 )
para cualquier f,g.
2.3 Ecuación de Benjamin-Bona-Mahony (BBM)
Sea
aJyC] - u. - u - u n (2.9)
El cambio u = v (ver subsección 2.4) hace queA
a \Y - _~t> i> <u 4-*b T^ i • -J- '• - -*- J — >' "^ •• ' >• " ' ( • ¿ C ( 2 . 1 0 )
Por tanto b^vl = a[vl 6 Ran o/$v. Como lagrangiano asociado puede tomarse3, , , /= v /6 - v, v /2 - v, v /2, y su invariancia bajo t —> t + £ , X - * X + £ JX u X X>X XX
v -> v + £ " l l e v a a l a s s i g u i e n t e s d e n s i d a d e s c o n s e r v a d a s b a j o ( 2 . 9 ) :
u 2 ;
LL+ ^ Y ; ^ ( 2 - 1 1 )
2.4 Criterio de utilidad práctica
Supongamos que m = 1, y
_ U 1 J (2.12)
donde o¿ , & son operadores diferenciales de coeficientes reales, constantes.
Bajo la condición °</(3. = ( ^ M ) > el cambio u = (3'(,D)v hace que
b^v"] = a [_ i> vJ sea estrictamente lagrangiano: en efecto, si f = $r/Su- >
X - T I
por lo que
\ I 4* ( /vi* \ ' Tb (2.14)
_ 9 -
Así, por ejemplo, las siguientes ecuaciones, y con los cambios indicados, sehacen lagrangianas:
i) KdV : [q=u,-U i - W
ii) BBMn : a[a]= u,-U. __L
?iii) Bq : ÍLTU-I-U, , - u - U _ >> u? ,L - fcfc xx **** -~xx
iv) (académica): 4U]=Í0'3>)u(.x)- a- '
Como última aplicación, considérese la ecuación de evolución
siendo ^, & polinomios impares en D , con coeficientes reales constantes. Cae' ^ "T*
dentro del tipo (2.12) anterior. Pasando a v, mediante u = (E v, y aplicandoNoether, resultan de inmediato las siguientes densidades conservadas:
A^ Ü l , UDJV; (2.16)
asociadas a las invariancias bajo t —* t + £ , , x —» x + £? J v —^ v + £ , . AsT
para KdV , (2.16) son, salvo equivalencia y/o factores t r i v i a l e s ,
(2-17)
2.5 Ecuaciones diferenciales cuasi-!ineales
En U2J se analizó cuándo una EDO a^u^ = 0 admite un lagrangiano "generalizado", es decir, cuándo 3 u(v,vn,... ,vM) que la transforma en
Js i U
b[v]= a[ufv]"] 6 Ran j - . La falta de universalidad allí observada se debe ala restricción impuesta sobre u£v^j, de depender funcionalmente de u a travésde un número finito de derivadas u-, i ¿5. 0. Por lo que respecta a las EDO1 s
- 10 -
cuasilineales de Io y 2 o orden, los cambios pertinentes hallados en (.12]] se ob_
tienen también, sin dificultad, con el procedimiento sugerido por el teorema 1.
APÉNDICE : uJ - LO'
Se tiene
^ ~ - (A.l)
Por tanto
I
(A.2)
La igualdad LO = io es consecuencia de la siguiente identidad:
^ 5 ¿ ^ X — (A 3)
o equivalentemente
o*
Las igualdades (A.3,4) tienen demostración directa, utilizando las definicio-
nes de las derivadas variacionales generalizadas y propiedades elementales de
- 11 -
los números combinatorios. Otra prueba alternativa, con el cálculo simbólicode Gel'fand-Dikii Í13,14~\, es más simple. Veámoslo para n = m = 1: si
£•!>•••» j ) es e^ símbolo asociado a una expresión polinómica homogénea o,
se tiene:
•c-z.
denotando por ~c> . la derivada respecto del argumento j-ésimo. Asimismo
I- k J Su $•
= 2. Vu ^ ^ . r . w ( t _ _ t § ( A - 6 )
i-
La igualdad buscada (A.3) exige por tanto que
( A ' 7 )
que es mera consecuencia de la relación
(A.8)
asegurada por la simetría de -O. .
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REFERENCIAS
[1] C. Caratheodory, "Vanationsrechnung und Partielle Differentialgleichun-gen Erster Ordnung", Teubner (1935).
[2] H. Helmholtz, J. Reine Angew. Math. 100., 137 (1887).
[3] A. Mayer, Ber. Ges. Wiss. Leipzig, Phys. Cl_, 519 (1896).
£4j M.M. Vainberg, "Variational Methods for the Study of Nonlinear Operators"Holden & Day (1964).
[5] A. Galindo, L. Martínez, Lett. Math. Phys. 2_, 385 (1978).
[6] A. Galindo, An. Fis. 75_, 81 (1979).
[7] G. Darboux, "Le9ons sur la Théorie Genérale des Surfaces", Gauthier-Villars (1891).
[8] R.G. Santilli, "Foundations of Theoretical Mechanics I", Springer(1979), y referencias aquí contenidas.
[9j L. Abel lanas, A. Galindo, "Sobre matrices factores integrantes", en pre_paración.
[10] R.G. Santilli, Ann. Phys. 103.» 354, 409; 105., 227 (1977).
[11] N.H. Ibragimov, Lett. Math. Phys. 1_, 423 (1977).
[12] A. Galindo, "Sobre la existencia de lagrangianos generalizados", Memoriapresentada a la JEN (1979).
[13] I.M. Gel'fand, L.A. Dikii, Russian Math. Surveys, 30:5, 7 (1975).
[14] L. Abel lanas, A. Galindo, Lett. Math. Phys. 2_, 399 (1978).
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ECUACIONES DE EVOLUCIÓN DE 5o ORDEN CON LEYES DE CONSERVACIÓN
EN DERIVADAS ALTAS
L. Abellanas, A. Galindo (UCM)
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En trabajos anteriores [1,2] hemos investigado la posible existencia deecuaciones (polinómicas) de evolución que admitan densidades conservadas deórdenes altos, llegando a una doble conclusión:
a) En orden par u, = P(u,..,u..), M par, no existe ninguna ecuación deesa clase. En consecuencia es imposible un fenómeno análogo al de la ecuaciónde Korteweg-de Vries en orden par.
b) En orden impar se propuso un algoritmo de carácter asintótico que su-giere muy fuertes restricciones a la estructura de P(..u..), M impar, para admi_ta tales densidades conservadas. Y de hecho se probó, usando ese algoritmo,queen orden M = 3 las ecuaciones KdV y su modificada son esencialmente las únicasque las admiten.
Algunos autores (ver por ejemplo [3,4] y las referencias alli recogidas)han considerado ecuaciones de evolución de orden M = 5, que guardan algún tipode relación (formal en algunos casos, más profunda en otros) con KdeV. Variasde ellas han sido propuestas como aproximaciones más finas a problemas de hi-drodinámica, o incluso obtenidas por argumentos matemáticos como asociadas alproblema del scattering inverso, constituyendo de hecho el eslabón M = 5 deuna cadena de ecuaciones completamente integrables que comienza con u = u y
U A
sigue con KdeV.
Sea como fuese, podría llegar a pensarse en el condicionamiento que enla literatura ha supuesto la ecuación KdeV como responsable último del hechode que todas las ecuaciones en orden M = 5 que han sido estudiadas hasta hoy,tienen una forma bastante similar. Basta citar los ejemplos más representati-vos:
2
ut = u5 + 30 UU- + 30 u,u2 + 180 u u, (Hirota 1971, Caudrey et al. 1976,...)
u = \s +• constante u- - I uu. (Kawahara, 1972)
u. = ~ Ur- - ñ- uu- - x u,u0 + —- u u, (Gardner et al., 1974)
ut = u5 + 20 u3 + 40 u ^ + 120 u2u1 (Lax 1968, Ablowitz et al. 1973)
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En este trabajo nos proponemos analizar la cuestión a la luz de los re-
sultados previos sobre ecuaciones de orden impar [2]. Concretamente, y puesto
que todas las ecuaciones citadas tienen ? = u como densidad conservada (es
decir, son del tipo u. = D(.)), y ésta es su única ^(u) conservada, la pre-
gunta que nos planteamos es la de saber qué ecuaciones u, = D(u,+h(u,u ..¡.IUJU.,))
admiten densidades de órdenes altos en derivadas. El resultado obtenido puede
formularse grosso modo diciendo que esencialmente sólo ecuaciones de los ti-
pos recogidos .arriba pueden cumplir tal requisito.
Se confirma por tanto de forma clara el carácter sumamente especial de la
familia de ecuaciones ligadas a KdeV que Lax, Gel'fand-Dikii, Gardner, etc. ..
han descubierto por diversos caminos.
Respecto de la notación y de las fórmulas explícitas del algoritmo aquí
utilizado, referimos al lector directamente a [2], con el propósito de no recajr
gar todavía más la exposición. En este mismo sentido hemos intentado recortar
en lo posible la escritura de los cálculos detallados.
TEOREMA: Si una ecuación polinómica
*,—/V) (E)
conserva P = u y además admite densidades P GCN(E) con N arbitrariamente
alto, entonces necesariamente es del tipo
U t ~ US ^ i ^ + W V i + Wj, u ^ + O U - ) ^ k, constantes
NOTA: Como se desprenderá implícitamente del algoritmo utilizado en la demos-
tración, la hipótesis realmente tenida en cuenta es que existan "varias densj_
dades conservadas de órdenes suficientemente altos".
Demostración: Dada su extensión, la dividiremos en varias etapas, cuyo esque_
ma resumimos aquí para ayudar en su lectura:
(i-ii) Reducción inicial al tipo u,. + Dh, h(u..u.. sUp).
(iii) Condición n = 1 del algoritmo.
(iv) Condición n = 3 del algoritmo.
(v) La condición n = 5 abre dos casos distintos A,B.
- 16 -
(vi-xi) Análisis del caso A (en dos subcasos A,,A?)
(xii-xiii) Análisis del caso B.
U4(i) 3 F G C N ( E ) , N suficientemente grande > fn = 0 (ver proposición
l(iii) en [2] ).
(ii) u conservada ==» f = Dh, h(u,u,,u?)
luego
Ut = U5 + hu2U3 + h
U lU2 + huUl
(iii) Comenzaremos ahora a aplicar el algoritmo propuesto en [2] , para ir
obteniendo restricciones sucesivas a la forma de h(u,u,»iu).
Ecuación n = 1 del algoritmo > a^ - 1 (constante, que elegj_
mos igual a 1)
(iv) Ecuación n = 3 del algoritmo >
La integrabilidad de (2) exige P ^ 0, es decir h r^ 0.u2 ux
Asi pues existe F(u,u,) tal que
De este forma (2) es ya integrable a
ex, ^ -— /W_^ — r _ u > o< , o\ constante
- 17 -
(v) Ecuación n = 5 del algoritmo
c
cuya integrabilidad requiere que sea
Cosa que ocurre si y sólo si existe H(u,u,) tal que
Av. Av* ~ D H - t . ~£>F
Hay dos casos distintos a analizar:
A : F = F(u) , h puede depender de""',' ' Un
B : F ¥ 0•7 - U -1
( H,, = h F 'DH I 1 U2 Ul
En este caso h = rTc" > h (u,u,) con <U2 U2 \ H u = h u 2
F u
h.. =F(u,u )+G(u)U2 L
La igualdad de derivadas cruzadas = » H = H > h F =h Fu l u uul U U2 ul U1U2 u
Si fuese F =0 caeríamos al A, luego estudiemos el caso interesante:11= 0.
- 18 -
F(u,u,). Redefinimos F para que h = F (basta hacer F—» F+constante)i u2
(7)
ul
La primitiva J u.F tiene una indeterminación que englobamos en "X(uul
En ambos casos la (5), ya integrable,da:
H( J
donde
(vi) Ecuación n = 7 del algoritmo
i
- 19 -
(9)
cuya integrabilidad exige que
Í-H ) it. T
,| F.] -
Apliquemos esta condición en los casos A,B del apartado precedente.
(vii) Los datos iniciales con que contamos en el caso A son:
H _ Las funciones M,Q' no pueden depender de
u1 por (*).
Además h h = F'u,(Mu9 + Q1) = DH exige F'M = constante. Y por ser F, M
polinómicas no hay otra solución que F1 = constante, M = constante. Luego en
resumen tenemos en el caso A;
F = Í T - A T H constantes
M = constante, H - ~3 ^ + tí
h = il
- 20 -
hu
hu
(2)5a ~
La condición (10) de integrabilidad establece en esta ocasión que
2Tras integrar por partes domina el término en u,u? con coeficiente
A X
donde ^ = — ^ - — , \<l= ....1<V'- , [<, r fe^'^ . La anulación de ese coefi-
Lciente abre dos únicas alternativas, a saber:
= Q 1 V
A . ii =o = Q 1 1 1, M f 0
- 21 -
(vi i i) Análisis del subcaso A,, al que corresponden los datos
- i ¿- + 7> u + , «, £, constantes
\\ ~
Con ellos la condición (11) se reduce a una expresión en u,u, por integración
por partes. El término que ahora domina es no lineal en u,, concretamente
lo
luego necesariamente ^ = 0 (con lo cual (11) pasa a cumplirse automática
mente), y llegamos a la situación
Al
de acuerdo con el teorema propuesto. Esto cierra nuestro análisis de A,.
(ix) Vamos ya con el otro subcaso posible A?5 donde M r 0, f\ = Q"1 = 0.
Hagamos Q1 = p ^ + X por ejemplo. La condición (11) dice en estas circunstan_
cias que
El segundo y tercer términos son rv 0, y el resto tras integración por partes
conduce a que
/£?
Así pues, la única forma de mantener M f 0 es L"1 = 0. 0 sea L - \ r\*±-\j .
Y con esto queda de hecho salvada la integrabilidad, y es posible despejar(3)& en (9), con el resultado que se exhibe en el próximo párrafo.
- 22 -
(x) Antes de utilizar el caso n = 9 del algoritmo, resumamos la situaciónactual del subcaso A? para poder disponer de los datos pertinentes con mayorfacilidad. Estos son:
^ , a^ ' ver párrafo (vii). Finalmente de (9):
1
donde los coeficientes vienen dados por las siguientes expresiones
"
- 23 -
'M " ¿. I JO
yo \W>
í 1
10 J" T
li j o
4 i)
L- - ^ AJ !
•*> r
77 'T
'/O '
si
- 24 -
_ i vw .- - r. \
(xi) Ya estamos en condiciones de explotar la integrabilidad para a^ ' en el
algoritmo asintótico con n = 9. En concreto ha de ser:
- {
r - o< T; ^ Q
y
Cuyo coeficiente en u, (dominante tras integrar adecuadamente por partes) es
M3R con
1o :,
C 2
Nótese que L es divisible por M y que R es un polinomio de grado 6 en N no
idénticamente nulo. Luego por la supuesta libertad en N, como siempre, concluí
mos que ha de ser M = 0, lo cual contradice la hipótesis de partida del subca-
so Ap, que se convierte por consiguiente en inviable.
(xii) Nos falta finalmente analizar el caso B, en el que se tiene:
(13)
- 25 -
con <Í - <-. 11 "- \ i ^ i H . . '-7_4
Se obtiene como término dominante en (10) uno proporcional salvo cons-2
tante a (F ). u,. Luego ha de ser F = f , constante. Es decir3
= fu1u1 \
.A. -s-cri ) y, 4 "ciu^ p constante
- o.Y de nuevo (10) produce ahora un término P[P U,^) % =$• P-
A su vez el siguiente que domina es IÜLL T"'^ — y -c"l-o,
Y ya (10) es trivial con tales restricciones. Así que la situación actual es:
a K a^ ' dadas por las expresiones (13).
Y a su vez de (9), que ya es integrable, obtenemos
donde hemos denotado respectivamente:
Cl-'/L
- 26 -
todas ellas constantes (dependientes de N, claro está).
(xiii) La integrabilidad de a^ ' en el paso n = 9 del algoritmo se escribe
asi:
(14)
Su término dominante resulta ser, salvo constante, (2V+1)ciwM , de forma
que ha de ser <f' = 0. 0 en otras palabras F = Tu^ + tiuo s «q- constante.
El resto de (14) produce un término
que obliga a hacer í r ^ - O , con dos posibles soluciones:
B, : = 0. Absurdo por la hipótesis inicial de que F f 0 en el caso
: "C = constante.
- 27 -
Pero por fin, si adoptamos la solución B?, el siguiente término dominan_
te en (14) es
'10
Luego inevitablemente ha de ser O" = 0, contra las hipótesis. El caso B resul'
ta ser imposible en consecuencia.
Con esto termina la demostración del teorema enunciado.(CQD)
A la vista de este resultado podemos conluir que, aun cuando las ecuaci£
nes de evolución de orden M = 5 que han sido estudiadas hasta el momento han
nacido más ó menos directamente a la sombra de las extraordinarias propiedades
de la ecuación de Korteweg-de Vries, la aparente estrechez de su abanico de
posibilidades es mucho más profunda. En otras palabras, parece como si el ran-
go de ecuaciones de evolución en orden cinco que comparten quizás esas especia_
les características van muy poco más allá de las que estrictamente van implíci_
tas en la familia asociada a KdeV vía el método de Lax o si se prefiere alter-
nativamente los de Ablowitz, Gel'fand, etc.. . De cualquier manera, es cada
vez más nítida la idea de que el fenómeno KdeV es completamente aislado y sin-
gular.
- 28 -
REFERENCIAS
[1] L. Abelianas y A. Galindo, J. Math. Phys., 20_, n° 6 (1979) 1239.
[2] L. Abel!anas y A. Galindo, Aparecerá en J. Math. Phys.
[3] P.J. Caudrey , R.K. Dodd y J.D. Gibbon, Proc. Roy. Soc. (London) A351
(1976) 40Z-422.
[4] J. Satsuma y D.J. Kaup, J. Phys. Soc. Japan, 43_, n° 2.(1977) 692-697.
- 29 -
HAMILTONIAN FORMALISM AND NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS
Luis Martínez AlonsoDepartamento de Métodos Matemáticos de la FísicaFacultad de Ciencias FísicasUniversidad Complutense - Madrid-3, Spain
- 30
1. INTRODUCTION
Ir, the last years the methods of classical Hamiltonian mechanics havefound an extremely important new field of applications in the realm of nonli-near partial differential equations. The origin of the relevance of Hamilto-nian formalism in this domain is the observed fact that, from severa! linearspectral problems
A(v(x> 3k)y(<,X) = O (1.1)
where A is a linear operator depending on a N-component function v(x) and aspectral parameter k, infinite families of nonlinear evolution equations may bededuced, having the properties:
(1) They are infinite-dimensional Hamiltonian Systems.
(2) They have an infinite number of constants of notion.
(3) Certain quantities arising in the spectral problem (1.1) change withtime in a ver y simple way.
Examples of these spectral problems are:
The Schrodinger equation
(-3** + voo - K ^ y ^ x ) = O (1>2)
whose associated family of Hamiltonian systems includes the Korteweg-de Vries(KdV) equation (1).
The Zakharov-Shabat equation
which leads to equations such as the modified Korteweg-de Vries, the sine-Gor_don and the nonlinear Schrodinger ones (2).
The Zakharov equation
^ x V - O (1.4)
- 31 -
which is related with the Boussinesq equation (3).
The class of spectral problems having these properties seems to be very
large. Indeed, Gel'fand and Dikii have found the following infinite subset (4):
( ^ ^ E ^ 9 x r - ^ ) t ( K j X > = ° > H>1 (1.5)r = O
The main purpose of this paper is to give a survey of some tools of infi_
ni te-dimensional Hamiltonian formalism which allow us to derive and to analyze
the Hamiltonian systems associated with the Schrb'dinger spectral problems with
energy dependent potentials
rt-1
r = O
Our strategy is based on the method used by Zakharov and Faddeev to study (1.2)
but it contains certain new aspects which simplify considerably the applica-
tion of such techniques. For instance, the evolution law of the scattering data
will be obtained without reducing the Hamiltonians to functionals depending on
these data, but using the twofold Hamiltonian structure of the evolution equa-
tions. In order to motivate the steps followed in our exposition we make use
of the ideas contained in Liouville's theorem in Hamiltonian mechanics with fi-
nite number of degrees of freedom. This point of view leads us to formúlate the
concept of complete integrability in terms of the existence of an infinite set
of constants of motion that are in involution, i.e. the Poisson bracket of any
two of them vanishes identically.
The paper begin by considering some concepts of infinite-dimensional Hamil_
tonian mechanics. Afterwards the Hamiltonian systems arising in the Schrodinger
spectral problem are derived and their complete integrabilite is exposed in de_
tai!. In the last section the analogous results for the spectral problems (1.6)
are reported.
- 32
2. INFINITE-DIMENSIONAL HAMILTONIAN FORMALISM
Let V be a functional space whose elements are of the form
where v : "R—* "IR (r=l,... ,N) are regular functions such that they and al 1their derivatives with respect to x vanish sufficiently fast as x —* - °°We denote by <f^ y the following bilinear form defined in V
oo
< V J W > = \dx 2ZvrO)W,-C>O (2.1)
The maps F : V — * C will be calléd functionals and they will be denoted byF = F \_\T\ . A functional F is said to be differentiable at v 6 V if there is anelement of V, which will be denoted by \/F{v), such that
= <VF(v),w> (2.2)
€ = 0
for all wGV. In that case yF(v) is called the gradient of F and its compo-
nents will be denoted as
VF(v) = í i ) (2.3)
where the symbols S/gVr(-x^ ( r = l , . . , N ) are the so-called variational deriva_
tives with respect to the functions v . It is very easy to calcúlate the gra-
dient for a functional of the form
ix (2.4)
— oo
where f is a polynomial depending on the functions v and their derivatives.Then from (2.2) it follows at once that the variational derivatives coincidewith the usual Euler-Lagrange operators
1 L - V (-o0?" í (2-5)
- 33 -
For the general case, in order to calcúlate gradients of functionals it is co_n_
venient to use the following formula val id to first order in the parameter
= <VF(v),Sv> (2.6)
where S v = € W and SF[v l s F ív- t -Svl - F C O
Suppose >t is given for every vGV a l inear operator J : V—»V, and i t is
defined for any pair of functionals F. (i = 1,2) the new functional
(2.7)
DEF.l. It will be said that {" is a Poisson bracket if it defines a Lie al-
gebra structure in the set of functionals. That is, the following two conditions
must be verified
(i)
(Jacobi identity)
It is not difficult to prove that in terms of J these conditions take
the equivalent form (5):
(i1) J is an antisymmetric operator
(ii1) For all usv,w,v6V we have
where J'( ; ) is the bilinear operator
^ ~ Jw (2.10)
€=0
34 -
When J has the above properties then it is said that J is a symplecticfield of linear operators and the pair (V,J ) is called a phase space. Noticethat given an antisymmetric operator J then the constant field J = J defines asymplectic field.
DEF.2. Let (V,J ) be a phase space and let H = H[y3 be a functional of theform(2.4). Then, the evolution equation defined by
V = JV-VHW (2.H)
is called the Hamiltonian system associated with the Hamiltonian functional H.
Now let us see two examples of Hamiltonian systems:
(1) Consider evolution equations for a scalar field J)(t,x) of the form
It follows at once that these equations take the form (2.11) if we define
— OO
(2) The Korteweg-de Vries (KdV) equation is given by
V t + V , x x - G W x = 0 (2.14)
I t may be written as a Hamiltonian system in two different ways (5)
— OO
and
-35 -
Since ox is an antisymmetric operator then J is a symplectic f i e ld . In what
concerns M i t is evident that M =-M . On the other hand, a tiresome but
elementary computation shows that M veri f ies (2.8). Therefore, M is also a
symplectic f i e l d . As we sha! 1 see below, this property of the KdV equation is
strongly related with i t s complete in tegrabi l i ty .
The previously described notions of infinite-dimensional Hamiltonian for.
malism general ize the weli-known concepts of classical Hamiltonian mechanics
of systems with a f i n i t e number of degrees of freedom. In this last constext
a Hamiltonian system
OH
takes the form
V =
i f we denote
-J = , _
9^v,
The usual Poisson bracket of two functions F.(q,,..,q , p,5..,p ) (i = 1,2)may al so be written in a form similar to (2.7).
i Vi
where the bi l inear form is now defined as <CvjW> = / L J ^ ^c -i
One of the most important properties of Hamiltonian systems is the follo-wing.
36
PROPQSITION 1. Given a Hamiltonian system with Hamiltonian functional H = H[v]5
then the time evolution of a functional F = F[v] verifies
(2-17)
Proof
In accordance with (2.2) and (2.11) we have
which is (2.17).
There are several immediate consequences
(1). A functional F is a constant of motion if and only if its Poisson bracket
with the Hamiltonian functional vanishes.
(2). The Hamiltonian functional itself is a constant of motion.
(3.). From Jacobi identity it follows that the Poisson bracket of two constants
of the motion is al so a constant of motion.
For a Hamiltonian system with a finite number of degrees of freedom n, the
existence of n constants of motion which are in involution with respect to the
Poisson bracket is equivalent to the complete integrability of this system
(Loiuville's theorem (6)). There are reasons to think that this result is gene-
ral izable in some sense to the infinite-dimensional context. This motivates the
following definition:
DEF.3. An infinite-dimensional Hamiltonians system will be said to be comple-
tely integrable if there is an infinite family of constants of the motion
F (n = l,..,oc ) such that ÍF ,F~\= 0 for al 1 n,m.n !_ n m y
- 37 -
3. HAMILTONIAN SYSTD1S ASSOCIATED WITH THE SCHRODINGER SPECTRAL PRQBLEM
Consider the Schrodinger equation
If v(x)—> 0 sufficiently fast as x
fying
then there are solutions f+ veri-
(3.2)
For real k there are functions a(k) and b(k) such that
(3.3)
The function a(k) can be analitically extended to the región Im k > 0 by means
of the following definition
= 4- V"(-f-0^x>;-rV^x>)«¿ i»* K
0.4)
where the wronskian W(f/ +) = f '3xf+--^-3x-f_ is independent of x. VJe em-
phasize two usefui facts concerning the function a(k) (7).
(1) It is possible to write down the asymptotic forms of f+ for x — * - oo and
of f_ for x — > + oo in terms of a(k). One finds
^^ i tf v
>; —> — +• co
(2) The function a(k) has only a finite number of zeros k,(1 = 1,..,M). These
zeros are simple and puré imaginary CReke=o 0 H m K e > o ) . Given a zero K
of a(k), then' from (3.4) we deduce that the functions f+ at k. are linearly
dependent
(3.6)
and therefore they are L (IR) solutions to (3.1).
- 38
Let us introduce the kernel
(3.7)
which is defined for all k in the half-plane Im k £ 0 with the exception of the
zeros of a(k)\ From (3.4) it follows
On the other hand, from the Born series for f+ the following bounds may be ob-
tained:
It implies
< c e (3-9)
Therefore, the kernel R(k,x,y) defines a bounded operator when k is such that
Im k > 0 and a(k) ? 0. By (3.3) it is ciear that R(k,x,y) is the kernel of the
resolvent operator (-2>xx -t v - K 1
At this point we are ready to find the Hamiltonian systems associated
with Eq. (3.1). The strategy consists in observing two properties of the logarithm
of the function a(k). The first one is the following:
THEQREM 1. The function In a(k) admits for jk¡—?co an asymptotic expansión
oO , .
such that
(i) The coefficients H are functionals of the form
— OO
-39-
where the h are polynomials depending on the potential v and its derivatives.
(ii) The polynomials h can be calculated by means of the recursion relation
o
Xn + l
with RQ = 1.
Proof.
We begin by consi dering the foliowing identity which is an inmediate conse_
quence of (3.1)
Integrating this identity and using (3.2) and (3.5) we get
- oo
where
(3.14)
is the restriction to the diagonal of the kernel (3.7) of the resolvent opera-
tor. From the Born series (see the appendix) it can be proved the existence of
an asymptotic expansión for R(k,x) of the form
\ . T»"i (3.15)
the coefficients R being polynomials depending on v and its derivatives. Subs-
tituting (3.15) in (3.13) and since In a(k)—> 0 as |k|—^;cw , the asymptotic
expansión (3.10) is found if we take
- oo
- 40 -
Final1y,the recursion relation (3.11) is a consequence of the fact that a qua
dratic product ^(k,x)- (k,x) of solutions to the Schrodinger equation veri-
fies
But (3.14) tells us that R(k,x) is of the form ^ , therefore it satisfies
(3.16). Using the asymptotic expansión (3.15), (3.16) leads to (3.11) (Q.E.D)
The first three coefficients H are
^ ^ ^ (3.17)
— oo — oo — CÜ
Note that H, and H? are the Hamiltonians of the KdV equation, up to a factor
1/8. Our aim is to use these coefficients H as the Hamiltonians of an infinite
family of completely integrable Hamiltonian systems. In order to do it we need
an appropriate symplectic field J which is provided by the next theorem.
THEOREM 2. Let í , "\ the Poisson bracket associated with the sympiectic field
0, = ^ . Then the functionals H verifyv x n
{ n j ^ = O (3.18)
for al 1 n,m.
Proof.
Firstly let us prove that In a (k), considered as a functional of v, satis_
fies
where R(k,x) is the function defined in (3.14). To see it, we note that under a
variation ov of the potential the corresponding variation of the function
f+(k,x) verifies
(3.20)
- 41 -
Thus we deduceoo
- oo
where
{ O j xo^x
(3.22)
( F ( ) f ( ) f ( ) í ( ) ) , X 0 <X
By (3.21) i t foTlows that
- 1 ^ + ( K , X . J X ) Í + ( < J X ) (3.23)Svíx)
Taking x — > - o o in (3.23) with Im k > 0 and using (3.5) one finds
Vaco = --f+(^)í-(^x)
and it leads trivially to (3.19).
Introducing the asymptotic expansions (3.10) and (3.15) in (3.19) we ob-tain that V H = R and henee from (3.11) we have
M W J 7 H = O (3.24)
where J and M are the symplectic fields
1 ^ 3 * 5 M v = - ^ - ^ x x + v ^ x + ¿ ^ (3.25)
In this way, we get
- 42 -
By iterating this process we arrive to the relation
which proves the theorem (QED).
A remarkable consequence of this theorem is that for each of the Hamilto-nian systems >
^ tv = ' V V H n > n>-° (3.26)
the functionals H (m 0) are constants of motion which are in involution. Thatis, according to DEF.3, they are completely integrable Hamiltonian systems. Forn = 0,1,2,3 we get the evolution equations
9.v = o
(3.27)
'fc'-s*'"5v = — (9* v-
The third of them is, up to an inesential factor, the KdV equation.
4. SCATTERING DATA AND COMPLETE INTEGRABILITY
Given a Hamiltonian system with in degrees of freedom, if we know nconstants of the motion F. (i=l,..,n) such that \J• •> ^-\~ 0 f° r a^ i>J»then we can find a new set of coordinates in the phase space for which Hamil-ton equations take a trivially integrable form. This is essentially the contentof Liouville's theorem. As was mentioned above, there are reasons to thinkthat this result holds in some sense for infinite-dimensional completely inte-grable Hamiltonian systems. The role of the set of coordinates in phase spacefor which Hamilton equations are trivially integrable is played in this caseby the scattering data.
- 43 -
From the theory of Gel 'fand-Levitan-Marchenko we know that the potential
in the Schrodinger equation can be completely described by means of a set of
scattering data (7).
(4.1)
where k-j are the zeros of a(k), m1 = ( ¿ - ^ ^ a C * ^ ) "1 and r(k) = b(k)/a(k) is the
reflection coefficient. We prove now the following fundamental result.
THEOREM 3 If the potential v evolves in time according to the equation
Then, the evolution law of the scattering data is given by
-ÚK'2-""1 t)
Proof.
Our derivation wil1 be based in the foliowing identities
(4.3)
(4.4;
F (4.5)
where J and M were defined in (3.25). The identity (4.3) is the same that
(3.24) and it has been proved above. In what concerns (4.4) let y? (x) be the
normal ized eigenfunc
potential we obtain
normalized eigenfunction associated with k,, then under a variation Sv of the
(4.6)
- 44 -
If we choose ik real and we muitiply (4.6) by ik , then integrating from -<%?to +00 we get
Therefore VKg=(í.i<¿) T-fgO) and it is a quadratic product of solutions tothe Schrodinger equation. Consequently it obeys Eq. (3.16) with k = k, andthus we arrivé to (4.4). Let us now consider (4.5), this equation is a conse-.quence of (3.23) and of the equation satisfied by R+(k,x ,x), namely
(4.7)
Both make Vf+(k,x ) similar to a quadratic product of solutions to the Schro-dinger equation with the difference that the right-hand side of (4.7) is a Di-rac delta. In this way Eq.(3.16) is modified by an additional term which leadsto (4.5)
We now use these identities to calcúlate the Poisson brackets between theHamiltonian H and the set of scattering data. We begin by {k-,9H \ ; from(4.3) and (4.4) one obtains
(4.8)
= O
In the same form,if we use (4.3) and (4.5) we deduce
h-i(4.9)
x -xn
where l(f+) is the operatorf+
- 45 -
By iterating (4.9) we obtain
where
r = o
1-1--4
(4.11)
X =
Now if we make x > -coo
* " - i- < -f+ (4.12)
Then, taking k = k, and using (4.8) and fne asymptotic behaviour
Eq.(4.12) yields
(4.13)
On the other hand, if we make k6 IR , we obtain
—* -oo
and (4.12) implies
(4.14)
Therefore, from Proposition 2 and Eqs. (4.8), (4.13) and (4.14) we deduce
what leads trivially to (4.2) (QED).
- 46 -
It is intructive to express the Hamiltonians H in terms of the scatte-
ring data. The analiticity of a(k), the properties of its zeros and the beha-
viour a(k) —=• 1 asjkj—-9-00 enable us to write
l v v i v < > 0
from which we derive the asymptotic expansión
00
n-O
where we have used the relation |a(q)|"c = 1 - | r(q)¡ . Then (3.10) and (4.16)
imply
Now if we take the gradient of this formula and we use the expressions obtained
above for V k, and Va(k) it follows that
2 v ¿ _ K£ t ? w __ U -±n C m n . ( ^ ) ) A^ (4
— 00
In particular for H, this formula and Eq.(3.17) give
(4
-oO
It is worthwhile to analyze this decomposition of v(x). We observe that it is a
superposition of two different contributions. The first one has its origin in
the discrete spectrum and the second one is associated with the continuous spe£
trum. Note al so that from (4.2) the spectral data attached to both parts of the
spectrum are not mixed during the time evolutions defined by the Hamiltonian
systems (3.26). As a consequence, there are finite dimensional submanifolds in
phase space which remain invariant under these evolution laws. Indeed, if we
take an initial state v(x) with r(k) = O, the corresponding trajectory is res-
- 47 -
tricted to a M-dimensional submanifold where M is the number of bound statesassociated with v(x). It can be proved (9) that such a trajectory appears asa superposition of M solitons travelling at M different speeds when t -> +°°or t -*-oo. Each soliton is associated with one of the bound states. To illus_trate this fact let us consider the invariant submanifold V consisting ofthe potentials v(x) having only a bound state k and such that r(k) = 0 . Inthis case (4.19) imply
V(x) = - 4\K0\ ^ 0(x) (4.20)
Then v is a quadratic product of solutions to the Schrodinger equation andtherefore according to Eq.(3.16)
i 3 <•- xxx z *
Integrating and since v(x)—> 0 as ix| —^ oo , we have
1 -*> "> 2.
— ~ Vyy -(- _ V*" — K V = O
whose solution is
V(x) =. Q-Ko sech (iKoi-x + 0 J _, 0 € li\ (4 21)
Then, we see that the members of the submanifold V are labelled by the parameO
ter 0 which will be the only functional of v susceptible to change during thetime evolution. Indeed, if v = v(x) belongs to V we get from (4.18)
Therefore, the Hamiltonian systems ^¡y -^^-VW^ , when restricted to V , takesthe form ^ v = - C n V x whose solution v(x,t) = v(x-c t,0) is a traveiiingwave with speed c . In terms of the coordinate O the evolution law reads
n
= 0(0) - C n - l K d t (4-22)
- 48 -
5. SCHRODINGER SPECTRAL PROBLEMS WITH ENERGY DEPENDEMT POTENTIALS
The method presented in Section 3 for finding completely integrable Hami]_
tonian systems from the Schrodinger equation turns out to be also applicable
if we start with an spectral probiem of the form
N-l
V ** ¿~ r r^ J \ ' (5.1)r r o
•where N is an arbitrary integer greater then 1. Let us see the main unes of
the argumentation (10). We begin by consi dering the function a(k) defined as
(5.2)
where f+ are the solutions to (5.1) with the asymptotic behaviour
X
k(5.3)
The function a(k) is analitic in the región Im k > 0 and continuous in
Im k ^ 0 . One finds that In a(k) admits an asymptotic expansión
CXI
a ¿—J(5.4)
where the coefficients H are functionals of the form (2.4). Moreover, if we
take the sympletic field
O
O
(5.5)
O o
- 49 -
then we are able to prove
=0
for all n,m. It is a consequence of the relations
, n < N-l
(5.6)
(5.7)
where M is the sympletic field
o - o
-JO/M-.) >
9* O
oo o
(5.8)
According to (5.6) we conclude that the Hamiltonian systems í ^ - j
are completely integrable. Many of the remarkable features proved in Section 4
for the Hamiltonian systems associated with the Schro'dinger equation may be
al so deduced in this context of energy dependent potentials (10). It is worth-
while to note that for the case N = 2 (i.e. two potentials v ,v,) the corres-
ponding family of Hamiltonian systems coincides with the Jaulent-Miodek family
of nonlinear evolution equations (11). On the other hand, these authors have
proved that their family is equivalent to the Zakharov-Shabat family (12). The
transformation which establishes this equivalence has been found to be a cano-
nical transformation (13). Finally, to illustrate the class of Hamiltonian sys
tems involved in the spectral problems (5.1) we write down the evolution equa-
tion correspondíng to N = 3 and H.
(5.9)
i ay + I v'zvzy
- 50 -
APPENDIX
We present here the Gel'fand-Dikii's method (8) of obtaining the asympto_tic expansión
""'- ri- o
/N - 1It is based on the Born series of the resolvent operator "ROO = (,~oxx+v~ K )
(A.2)
where R0(k) is the resolvent for v = 0 which is the integral operator with ker-nel
From (A.2) we deduce that the restriction of R(k,x5y) to the diagonal (i.e.R(k,x)) admits a series expansión whose general term is given by
C-ON
fRBy introducing the Taylor's series
and the change of variables
the term (A.3) takes the form
M
:~ . . — • VKi(.x) • V ( O (A.4)
CV?) TT 1T""* N
- 51 -
where
If we make ^ r - > - ^ r in (A.5) we deduce that
Therefore, only the terms for which k, + ... + k., is even contribute to (A.4).This argument leads at once to (A.l).
- 52 -
REFERENCES
(1) Zakharov, V.E. and Faddeev, L.D.: Funk. Anal. Priloz., 5_, 18 (1971).
(2) Flaschka, H. and Newell, A.C.: "Integrable systems of nonlinear evolutionequations", in Lecture Notes in Physics, vol. 38 (Berlín, 1975).
(3) Zakharov, V.E.: Eksp. Teor. Fiz. 65_, 219 (1973).
(4) Gel'fand, I.M. and Dikíi, L.A.: Funk. Anal. Priloz., _12_, 8 (1978).
(5) Magri, F.: Journ. Math. Phys., 19, 1156 (1978).
(6) Abraham, R. and Marsden, J.E.: "Foundations of Mechanics", p.401 (Benja-
mín, 1978).
(7) Faddeev, L.D.: Trudy Matem. in-ta im. V.A. Steklova, 73_, 314 (1964).
(8) GeVfand, I.M. and Dikii, L.A.: Usp. Math. Nauk., 3p_, 67 (1975).
(9) Gardner, C , Green, J., Kruskal, M. and Miura, R.: Corran. Puré Appl. Math.
27_, 97 (1974).
(10) Jaulent, M. and Martínez Alonso, L: to be published.
(11) Jaulent, M. and Miodek, I.: Lett. Math. Phys. 1_, 243 (1976).
(12) Jaulent, M. and Miodek, I.: Lett. Nuovo Cimento, 20_, 655 (1977).
(13) Guil, F. and Martínez Alonso, L.: to be published.
- 53 -
EL PROBLEMA ESTACIONARIO DE LA ECUACIÓN
F. Guil Guerrero
Departamento de Métodos Matemáticos de la Física, Facultad deCiencias Físicas, Universidad Complutense, Madrid-3
- 54 -
1. UNA PROPIEDAD GENERAL DE LOS PARÉNTESIS DE PQISSON
Sobre un espacio funcional E definimos un paréntesis de Poisson (P. B.)mediante un operador simpléctico y de acuerdo con la expresión siguiente
(1)
Los funcionales I^Cu] , I-,Cu] dependen de una colección de funcionesu (x) ... um(x) que escribiremos abreviadamente como u, y x=(x....x ) 6 "Rn •El gradiente de un funcional I, se calcula de acuerdo con la regla
¿e e=*
donde i'pjV'} -ZJJ1*'* PKc<i Y*<-*) es la forma bilineal que aparece en (1)
El operador j debe ser tal que se satisfagan las relaciones
que son las habituales para los P.B. ["!]• No está excluida la dependencia deen u(x).
Por otra parte, sobre funcionales del tipo C, (x, u(x), u (x)) (funciones
de x, u(x) y de sus derivadas > v ~ —— podemos construir un con-
mutador que asocia a cada par c, , rj un nuevo funcional del mismo tipo, su
conmutador Ce, , v~]
(3)
Aquí ^ o bien -o denotan la derivada Gateaux de ^ o -n [l,2j que es el
operador diferencial mediante el que se consigue expresar la
- 55 -
C, tus-t-a^rl lineal mente en v£ =0
Las propiedades del conmutador (3) son también las de bilinealidad, anti_simetría e identidad de Jacobi.
Teorema. V 1¿. , I¿ C E
Demostración.
Sea I un elemento cualquiera de E. Consideremos í I} i l k , i¿} >
en virtud de (2). Hagamos por comodidad Y| = J^J-, y calculemos el gradien_
te del P.B. [l,Ik] , se tiene K
donde 7 es el traspuesto del operador *] y para un gradiente IT-ZV, - c7-^
[lj. Así pues V \lt I^.X ~ vJ^ y + "i't ?T y con esta forma del gradiente de
un P.B.
?*
- 56 -
después de usar la simetría del vi' = vi' . En consecuencia
<7l , v { Ik, I-, > - [nk , n-|] > = 0
Pongamos ahora I = £, [dnx v (x) u (x), se obtiene
r '
< v , v{Ik , l}} - [nR , n-|] > = 0 , V-^a)
donde se sigue (4).2. SIMETRÍAS E INTEGRALES PRIMERAS: PROBLEMAS ESTACIONARIOS
Examinaremos algunas consecuencias inmediatas del teorema anterior enel marco de un sistema de ecuaciones hamiltoniano
u t = /vhfuj (5)
donde h es un funcional de E. Las funciones u dependen aquí adicionalmente de
un parámetro t, u. = —r u(x,t).
Puesto que las simetrías Lie-Backlund £2] (grupos de invariancia) de(5) son los funcionales nfu] = ri(x,u,u ) (nos referimos aquí a las indepen-dientes de t) que verifican la ecuación
[n , / v h ] = 0 (6)
podemos relacionar las integrales primeras del sistema (5) es decir los fun-dí,
cionales I. tales que -rr- = 0 bajo (5), o lo que es lo mismo
ÍIk ,h} = 0
con las simetrías n de (5) que son las soluciones de (6).
Corolario 1
A toda integral primera I. del sistema (5) está asociada la simetríaLie-Backlund r\, = / ? I. .
Basta usar (4) con I, = h.
Observemos que aún dependiendo I. explícitamente de t se mantiene el re-sultado anterior siempre que y no dependa de una manera explícita de t. Es SLI_
- 57 -
ficiente apl icar /v a la condición 2±¿ + | i ^ ? X } - 0 que refleja la con-
servación de I. y reemplazar (6) por JL2 +. Zv, ¿fv&l-o que es la ecuación
para las "1 (t,x,u,u^ ).
Corolario 2
Si dos integrales primeras del sistema (5) están en involución f- - ,!&} ~
las correspondientes simetrías <o — ff^I. -r? =zfvJs conmutan
Limitemos aún más la clase de los sistemas (5) a aquellos que sean com-
pletamente integrables [l], para los que existe una serie infinita de funcio-
nales conservados I, , k = 1,2,... en involución respecto al P.B. (1). Supon-
gamos que podemos representar los I. por integrales de la forma Jk - J d* j)
(una sola x.y p í-u.3 - P fu, .u,* .... )) y que / X . , lo \ = o sea equivalente
a la relación
Vi,. 3 Vio s 9V JTi.0 C- J (P.\
La extensión inmediata de los resultados de Gel'fand y Diki i [[3,4l de
Novikov |J5,6] y otros sobre el problema estacionario 7" I. = 0 en el marco
del sistema hamiltoniano general (5) nos dice que las integrales primeras del
problema estacionario V l i , = 0 - los funcionales P,-, de (8) que tienen por ca_
racterísticas zfyli - están en involución respecto al P.B. definido porla forma simpléctica
A
Esto_es consecuencia del teorema de la sección 1 que traslada el P.B.
,, I 1 , al conmutador de las características {_^vl^ } vvf-w~\ que es la ca-
racterística asociada via C2. al P.B. de P.-, y P,
- 58 -
Aquí %<$ es el campo vectorial asociado a«(P a través de £1
Con otras palabras, el sistema de ecuaciones 7l¿? - o es también un sistema
hamiltoniano (de dimensión finita) completamente integrable cuando existe un
número suficiente de integrales primeras I,, 1 f k.
Como vi, = 0 hace 'V. - 0, se tiene un método para construir las so_
luciones de similaridad (invariantes bajo la transformación de simetría
u1 = u +£"0 + 0( £?)). Se verá con algunos ejemplos.
3. DOS EJEMPLOS: KdV y Boussinesq
3.1 KdV
Analizamos primero la ecuación u, = 6uu - u . Posee las integralesL X XXX
primeras ]
4 = J i; ( *>Í +•
donde u. = 3 u, u? = 3 u,... En este caso u, = 9 \7I-,J así que y -
y se verifican las relaciones
Nos fijamos en I, y trataremos de estudiar las soluciones de similaridad aso-
ciadas a 7 ^ + íuvl1 —o . Como 9x vl} =o , el problema es equivalente a
la ecuación lagrangiana
- Jo u-u,v -s'uf-f- yo J¿-~~ÁS = ° ; h=constante (9)
- 59 -
entre cuyas soluciones se encuentran las de u. = 6uu - u .Se verá que am-X. X XXX
bas condiciones (ser solución de (9) y de u, = 6uu - u ) se pueden formu-U X XXX
lar como dos sistemas de ecuaciones hamiltonianas completamente integrables
que en principio son resolubles por cuadraturas.
Por sencillez escribimos I, = I. + hl^. Las relaciones (8) nos dan
Los funcionales P? y P3 son integrales primeras para la ecuación (9) y
según comentábamos al final de la sección anterior, están en involución. Uti
lizando la forma explícita de las I. , I?, I_ obtenemos las expresiones si-
guientes para P? y P~
1/
+
Representamos ahora la ecuación (9) en un espacio de fases con coordenadas y
momentos ["5,7] (q, ,q9,p1 ,p 9). Si I. = (p ¿X con Q = p +•%,(> , tendre-1 c 1 c n •'Jj^ J^ JA 'o
mos
U
(11)
como momentos canónicos conjugados de q1 = u y q = u,.
El hamiltoniano correspondiente a o es - P? = ^ ( 7/, 9x 7/^)
Expresando u2 y u3 en función de (q,p) de acuerdo con (11) se llega a la forma
siguiente para -P?
K /",) - t
- 60 -
Entonces podemos escribir la ecuación (9) como el sistema hamiltoniano
(12)
El sistema (12) es completamente integrable puesto que posee dos inte-primeras en involución P? y P_. La expresión de P- en coordenadas y
( )
El sistema (12) es completamentgrales primeras en involución P? y P_momentos (q^q^p^p,,) es
No es dificil extender un teorema debido a Bogoyavlenskii y Novikovpara encontrar las ecuaciones adicionales a las (12) que han de satisfacerlas (q, qo p, po) si queremos que sean soluciones (la función u) de u,. s 3^ 7Í ;
1 ¿ i ¿ B -1
Como decimos el teorema que se aplica en este caso se generaliza sin dificul-tad a otros sistemas hamiltonianos como se verá en el siguiente apartado 3.2.
En pocas palabras, si las soluciones de (12) se mueven en el tiempo con
el hamiltoniano -P_ : -P. — ¿x 7l¿dx<7*lj , u es solución de la ecuación
u. = 2) Vlr>' Se tendrán entonces las ecuacionesU X O
que también son un sistema hamiltoniano completamente integrable con integra-les primeras P9 y P v La ceanulación del P.B. de P? yles primeras P? y P_. La compatibilidad de (12) y (13) está asegurada por la
- 61 -
3.2 Boussinesq
Supongamos el sistema hamiItoniano
ut = 3 Vl
v
con i =| y hamiItoniano h Cu, vi = \( - i u. +- - /u~4-- v*' ) x
U o/ J U 3
La teoría anterior se aplica sin problemas en el presente caso. Por ejemplo,para el problema estacionario V I~ + c 7 I + c_. 7I_, = 0 con
=/ (-
ff
Las ecuaciones ^ 1 = 7I3 + c ^71 + c , 7"I_i = 0 corresponden a
1 as de rj - o es deci r yV_/ =• o
Las expresión en coordenadas canónicas (q,p) de las u,v,u,,v^s... escomo sigue
A =* ^
Ahora se tienen tres coordenadas q y tres momentos conjugados p , de maneraque son precisas tres integrales primeras I. Ciertamente I,, I2 son utiliza-bles para conseguir -P. y -P^,, los hamiltonianos que mueven las (p,q) con xy con t respectivamente.
62 -
A diferencia de lo que ocurría en KdV es necesario utilizar la siguiente I a la I, de la serie I ,, I , I.,... que es
y sobre las soluciones de yl = 0
Lo que nos dice este ejemplo es que el número de integrales que se precisanpara resolver un problema estacionario aumenta con el número de funciones u,v,,y es necesario utilizar las I. que se modifican sobre las soluciones de lasecuaciones estacionarias, para desacoplar en dos sistemas hamiltonianos de di-mensión finita las ecuaciones que determinan las soluciones de similaridad :f\ = 0 y ut =
- 63 -
REFERENCIAS
[l] L. Martínez, Introducción a las técnicas del formalismo hamiltoniano en
el estudio de ecuaciones de evolución no lineales (Memoria JEN 1979).
[2] F. Guil, L. Martínez, "Generalized Variational Derivatives in Field Theo-
ry", aceptado para su publicación por J. Phys. A.
[3] I.M. Gel'fand, L.A. Dikii, Russian Math. Surveys 30:5 (1975).
[4] I.M. Gel'fand, L.A. Dikii, Funktsional. Analiz i Ego Prilozhen., 10_, n° 1
(1976).
[5] S.P. Novikov, Funktsional. Analiz i Ego Prilozhen. 8_, n° 3 (1974).
[6] 0.1. Bogoyavlenskii, S.P. Novikov, Funktsional Analiz. i Ego Prilozhen,
10_, n° 1 (1976).
[7] F. Guil, Tesis Doctoral. Univ. Complutense (1979).
[8] H.P. Mackean, Adv. Math. Suppl. Studies 3. (1978), 217-226.
- 64 -
LA ECUACIÓN VARIACIÜNAL —£. f = a, , \x[ = á
L. Abellanas, F. Gui1Departamento de Métodos Matemáticos de la Física. Facultad deCiencias Físicas. Universidad Complutense, Madrid-3
- 65 -
1. EL PROBLEMA UNIDIMENSIONAL
Por razones de sencillez trataremos primero funcionales FCu] en un cierto
espacio *r , definidos sobre una función u = u(x) y sus derivadas sucesivasA Al
u (x)= -r-u(x), u 2(x)s {-T-) u(x),... . Se supondrán las propiedades de regu-
laridad que sean necesarias en cada caso.
Al lado de la derivada variacional usual de un F[ul ClJ
(1)
donde D = 2-J u, , , se han considerado recientemente ["2,33 las deriva--O K L * \
das variacionales generalizadas
(2)
Para los operadores — se han elaborado unos métodos de cálculo con los que
se tratan con cierta facilidad problemas tales como el de encontrar las leyes
de conservación de un sistema de ecuaciones, sus simetrías...
La ecuación 7 — = OJ , como un problema sobre r con el dato os y
la incógnita F se ha resuelto de una manera completa C.2,5] con los siguientes
resultados principales
(3)
= cu Cu-3 <í=$> f
- 66 -
siendo
Nosotros trataremos aquí el problema
como ecuación funcional sobre 5^con el dato a£u] y la incógnita F. Para laecuación (4) serán necesarios algunos útiles de trabajo que no aparecen con la
derivada variacional -£• y que introducimos a continuación.
1.1 Dos identidades variacionales
Una caracterización alternativa a la (4) del Ran-á— nos la proporcionanlos operadores £4]
Se tiene
6 k ü £ =r O
y por lo tanto Ran -£. =S* k
De la identidad (5) extraemos las consecuencias que nos interesan paratro problema.
- 67 -
Proposición £4]
j A,l =0,4,2,... ( 6 a )
H )f e j i JL = < (+*j\ _a
í\ • i f\ i I r i , ^ ¿ y du*^ ¿U'g-J ' (6b)
Demostración.
Basta con la de (6a), (6b) se obtiene de (6a) expresando la suma de su se_gundo miembro de acuerdo con (6a).
Tomemos una función y~= V~(x) de x solo, de forma que
donde hemos utilizado la identidad £4]
Calcularemos ahora de dos formas distintas r—4)-^-
En primer lugar
Como también según (5)
- 68 -
después de tener en cuenta (7), se obtendrá (6a) identificando los coeficien-
tes de V ( x ) en las dos expresiones anteriores de M ) — •—•-
Corolario
Hacemos notar que en el miembro de la derecha de <#v -2- intervienen deriva
das variacionales respecto a u,u, »u?s... >u, ,, pero no respecto a u-,. La iden.
tidad (7) nos va a permitir caracterizar de un modo sencillo el «eAx——
1.2 El núcleo de la derivada variacional
Definición
Recordemos la expresión de la derivada ~ dada por (2)
Introducimos por comodidad la notación í> / = [<f€. !9* I -—' — ° t k-=°j*
para describir las FCul que no dependen de u..+,, uN,+2,... Con lo anterior po-
demos escribir
Proposición £ 4 ]
^ f do)
Demostración
Como información previa []4j, la propiedad -&• £> =• —±— . Puesto que
- 69 -
j JLr)=J (f5rmu1as (9) y
Si F es tal que —• = 0, según (8)
o =
y por lo tanto
Sobre esta forma de F
F = n(u) + DGCuJ „ V T V £ ^ y cualquier (Sr£
—o arbitraria
que finalmente prueba (10)
1.3 El recorrido de -£- . Solución a la ecuación -£- <f = a/
Estudiaremos seguidamente qué funcionales a[u] admiten una expresión de la
forma = -22r para algún
Definición
—La proposición siguiente nos ofrece un criterio sobre el
Proposición. Sea S-L^l = ¿ ܱ±l J (¡R^ O-J ( xu, >u.4 ,
para una cierta cu c J* , entonces
Demostración
<C= ): Nótese que a£u3 se puede escribir como la r— de "algo"
vi
==5> ): Supongamos que sea
nos permite poner
—^ = cu .El corolario del apartado 1.1r
0/ = ^ M: = (le+4) -a-
de modo que —• = -,— b{,Oj. En este conjunto de relaciones las varia-
bles u, , se pueden tratar como variables algebraicas y la función u no juega
papel alguno, por consiguiente
donde m es una función arbitraria de u solo. Utilizaremos ahora una descompos_i_
ción [23 válida para cualquier <F"C
t)
En particular se tiene
y más concretamente, si -— =
- 71 -
4
fo
aplicando — en ambos miembros, y dado que weu.) *-!)(•) t &Af- se obtie-
ne el miembro de la derecha de (9)
Corolario. Dada a/ru] c %om.-§- , la solución r más general a la
ecuación -— =r OJ es
f
donde <rv (.-a) + 3) Or £ <4j2n. ^ - y b£uj es como en la proposición ante-
r io r .
A t í t u lo de ejemplo sea
UAJ,. I = JL í- ÁJL-. \
Construiremos f- -''i—1 a partir del dato a) = -— =j)-uu, . Aquí es
:0 ÉÜ = -
la función bCuj según se definió antes será
fe-M o
= - ( «-, -u, + ^- -Uj. + JL
y por fin
- 72 -
J di ¿-a-*:
_ A.
Como ya sucedía con la ecuación -^-±- =- v , la reconstrucción de F a partir
de afuj sigue un camino tortuoso, hecho este que se habrá podido constatar en
nuestro ejemplo anterior. Su generalidad lo hace ser no obstante de gran uti-
lidad.
2. EL CASO GENERAL
Nos situamos en el marco de los funcionales FCuJ definimos sobre un con-
junto de funciones u(x) =(u (x),...,u (x)) que dependen de n variables
(x. ,..,x ) = x. El problema a considerar es ligeramente distinto: se tienen
aquf (nxm) derivadas variacionales diferentes de un Fru] dado, las -^—
donde -u. = SL jxK(.x) • La siguiente notación se empleará en lo sucesivoe4 ft*
c< =G*.,,..-,o¿,n) s= £.oC^ e t ) oL.^ enteros \o(\ = ^_«: K
- 73 -
Con los convenios an te r iores , la derivada variacional respecto a -«£ de FCuJ
es C 2 j
donde V M / ^ I A / " V I e^ Pr°ducto de los n números combina_
( ' } ( ^ = ^ , •-•torios
Como en el caso unidimensional, tendremos necesidad de usar las siguientes
relaciones
Proposición
Demostración
De nuevo nos limitamos a ( l i a ) , ya que ( l i a ) =5> ( l l b ) . Utilizamos la re_
1 ación £3 J
sobre un funcional de la forma y^c*) d^c-u.3 , donde y = yix.,..,* ) pero no
depende de u ni de sus derivadas. Todo lo que hay que hacer es repe t i r los p
sos seguidos en la demostración de (6a) para concluir ( l i a ) .
- 74 -
Pongamos un o( de módulo uno, es decir todas las <*¿ iguales a cero exce£to una que vale uno. Si la componente no nula ocupa el lugar k tendremos según(llb)
Sobre un FCuJ^ tal que
se verif icará
,
y concluimos así que -—*. - ítA'(.*¿i-~ u,7*) s i n que en las
puedan estar las derivadas de las funciones u (x),...,um(x). Por lo tanto unFCu] que satisfaga (13) ha de ser de la forma
=: <ru ( ... , 4X mJ +•£)•(*•
ya que kv^-%; - Ra^.T) , siendo D-Cr " ¿_. -Mf frf C u l • Pa>"a e s t e FCuJ
las condiciones (13) son
—. _^L rT / ? ^L iC-, = o , A = -4- • • m . 4 = ¿, • • •, ***
Este conjunto de nxm ecuaciones nos dice que para cada k = l , . . , n ; G,Cu] es
un funcional del núcleo de ——
Resumiendo las conclusiones precedentes tendremos
- 75 -
Definición
ÍS i A* *— ^" <**
I* I = 1
Proposición
Donde ^6 significa lo mismo que en el problema unidimensional y
D = { ¿ Cv-3 : <T rixD = ¿ D* J|| 2
Podemos tratar ya el recorrido de - - jWI=^de la misma forma que lo hicimos
en el apartado 1. Supongamos que sea
con lo que tendremos según (12)
Llamemos
Para cada r = l,..,m, las ecuaciones (14) admiten la solución general
- 76 -
que es lo que necesitábamos para construir F a pa r t i r de las -*— , |o¿\=/J
En efecto, uti l izando la descomposición ya mencionada £ 2 J de cualquier FQO
podemos poner
_• U[>'2' (16)
haciendo -- r-u3 — r~Á, dados por (15).
Con la fórmula (16) estamos en condiciones de caracterizar el rango de
las - - >l*'=' como lo definimos a continuación
Definción.
* . - = •
Proposición
As
Jr 5
3=1 ° /
donde ¿i- fu3 = £ -u* f * ^ l ^ ' ^ 0 * ' ) con las ^ *
definidas antes en función de oS"k
- 77 -
También tendremos
Proposición. Si el conjunto de funcionales o,"1" QjQ £, Í2¿WV—— , cualquier
solución a las ecuaciones
r , A.
está contenida en la expresión
[ y
3. APLICACIÓN: LEYES DE CONSERVACIÓN GENERALIZADAS
Supongamos un sistema hamiltoniano del tipo
donde u(x*,t) es una función de x que depende también de un parámetro t, y%£ L . Bajo el cambio u = p se obtiene una ecuación para el potencialde la forma
En f6^} se construyeron para estos sistemas, transformaciones canónicas de invariancia dadas por la ley de transformación
fy las <^i/53 tales que
- 78 -
cuando f y p> se relacionan por la ley anterior.
Se verá a continuación que el ¿rí(ij de la ecuación (18) es una ley deconservación generalizada (que depende de dos soluciones <? y 50" ligadas por(18)) para las ecuaciones asociadas a ciertos hamiltonianos 7C . El que PC ad_
mita a F como ley de conservación generalizada depende de como sea la
Multipliquemos (18) por 5% -^ y recordemos que ñ -
después de usar la identidad C2
para G = u .
Tendremos así
En esta ecuación derivamos respecto a t según la ecuación ^é +• r
aplicamos de nuevo la identidad (19) y recordamos quepara obtener por finpara obtener por fin
- 79 -
Proposición. Supongamos que f^tfij genera una transformación canónica de inva_
riancia del tipo (18) para la ecuación 0? +¿2^=0 . ^-(ixT^ es una ley
ley de conservación generalizada para &. ,+•?&• si y solo si
Ejemplos
a) Supongamos %Qf) , función solo de <p = = > ¿f t ÁM-*- , lo que hace
de (P-f^4^ una ley de conservación generalizada para &,, +dfíx
gracias a la proposición anterior
i) Sine-Gordon
l.c. generalizada
i i) Liouville
1.c. generalizada
b) Otra situación en la que se aplica la proposición anterior ocurre con
KdV modificada, merced a una propiedad de homogeneidad del
- 80 -
i i i ) KdV modificada
* xu
después de integrar por partes. De modo que
es una ley de conservación generalizada para KdV modificada. Obsérvese que en
todos los casos f^cal c £;A — y la ley de conservación es simplemente ^
- 81 -
Bibliografía
[1] Gel'fand, I.M. y Dikii, L.A.; Russian Math. Surveys 30:5, 77 (1975).
[2] Gal indo, A. y Martínez Alonso, L.; Lett. Math. Phys. 2_, 385 (1978).
[3] Guil, F. y Martínez Alonso, L.; General ized Variational derivatives inField Theory, aceptado para su publicación en J. Phys.A.
[4] Guil, F., Tesis Doctoral, Universidad Complutense (1979).
[5] Gal indo, A.; An. Fis. 75_, 81 (1979).
[6] Guil, F. y Martínez Alonso, L.; "Técnicas del formalismo hamiltoniano enel estudio de transformaciones de Backlund" (Report JEN, a aparecer).
- 82 -
UN MÉTODO VARIACIONAL GENERALIZADO.
APLICACIÓN AL OSCILADOR ANARMONICO.
A. Gal indo, G. García-Alcaine, UCM
- 83 -
INTRODUCCIÓN
Los métodos cuantitativos para el cálculo de niveles energéticos en pro-blemas cuánticos son de suma importancia. Entre ellos ocupa lugar destacado elconocido método variacional (Rayleigh-Ritz), que proporciona cotas superioresa dichos niveles. Como éxito más relevante, figura el cálculo del nivel funda-mental del He realizado por Frankowski y Pekeris [l], cuya precisión se estima
Q
en 1/10 . Complemento esencial a este método variacional son las técnicas decálculo de cotas inferiores, entre las que la desigualdad de Temple [.2,3"] so-bresale por su sencillez y eficacia. Una mejora importante que conduce a ajus-tes inferiores más cercanos a los valores exactos se debe recientemente a Hill\jf[. Una muestra de los grados de precisión así alcanzados es el resultadoEQ = 1.39235164153029185566 para el nivel fundamental de - d 2/dx 2+x 2+ x4. Lascotas superior e inferior obtenidas para este nivel coinciden en sus primeras21 cifras significativas, y requieren resolver el problema espectral de matri-ces 52x52.
No es secundario en importancia el método perturbativo (explícitoRayleigh-Schrodinger, implícito Brillouin-Wigner). En la mayoría de las aplica_ciones a modelos o problemas de interés, los desarrollos en serie de potenciasobtenidos son divergentes, y de carácter asintótico en el mejor de los casos.No obstante, es posible a veces extraer información numérica valiosa de esasseries mediante técnicas de resumación, como las basadas en los aproximantesde Padé, o en métodos de Borel. Así, por ejemplo, para - d /dx +x + A x ,"X>0, n = 2,3. Loeffel et al. [5] han demostrado la convergencia de los Padé'shacia los niveles correctos. Esta convergencia es muy lenta para A » l . Graffiet al. [63 logran paliar este inconveniente aproximando con Padé's la transfo£mada Borel del desarrollo perturbativo. Recientemente Pascual [7] ha conseguidoaproximantes Padé para n = 2 que tienen precisión cuasi-uniforme para V A > 0,mediante una previa fusión de los métodos variacional y perturbativo. Finalmen_te, la técnica de aproximantes racionales ha sido también aplicada con éxitoa problemas- en que la cuestión de su convergencia sigue aún abierta [8,9].
Un procedimiento usual para lograr estimaciones (cotas superiores) preci-sas de niveles ligados de un hamiltoniano H semiacotado (H >- 1* I,<*é!R ) con-siste en elegir una cierta base ortonormal B = je,,e?,... | C D(H) en el espa_ció de Hilbert (separable y complejo)"^, generalmente una base que diagonali-
- 84
za la parte "no perturbada" H de H (H = H + V ) , y considerar los hamiltonianos
truncados Ho ., =. PD M HPD ., f1 £ D .,, donde PD M es el proyector ortogonal sobre
D,N DjlN D,N D,lN D,H
o^n M = sp(e1>e2,...,ef,). De acuerdo con el teorema min-max jJMOJ, si
E(N) ¿ E(N) ¿ ^ ¿ E(N) SQn iQS N a u t o v a ] o r e s je HR N (multiplicidades inclui-O X 11 D 5 i i
das), y E -S E. < ... ¿ E. (k£«°) los de H por debajo de su espectro esencial,O X K
se tiene E. é E. , 0 ¿ i é min (N,k). Bajo ciertas condiciones [3"] puede pro-
barse que E. '"i E. cuando N -*• co , por lo que bastará tomar N suficientemente
grande para calcular, por medio del análisis espectral de una matriz finita, un
determinado nivel de H con la precisión requerida.
Ahora bien, la diagonalización de una matriz HR .,, para N » 1, no es un
problema trivial desde el punto de vista práctico, computacional. Pero se sim-
plificaría extraordinariamente si HR *. fuese tridiagonal, pues en este caso el
polinomio característico o secular PR w de Hn M satisface, con PR w , y PR N 0,
una relación de recurrencia a tres términos, que permite su cálculo de forma(N)•iterativa y rápida. Incluso la búsqueda de sus raices E. ' se vería enormemente
facilitada por la propiedad de entrelazado típica de las sucesiones de Sturm
[ll]. Desgraciadamente, incluso para problemas tan simples como el oscilador2 2 1 4anarmonico H = p +x + A x , la matriz representativa de HR .. en la base "natu-
ral" \ ¡0>, \l>, J2>,... j del oscilador armónico H = p2 + x2 es pentadiago-
nal en cada sector de paridad definida. No obstante, Biswas et al. i 12*1 han su_
gerido expresar los hamiltonianos p + x + A x como matrices en la base no-
ortogonal [ l O > , x l O > , x lo> ,... I , pues de ese modo los auto val ores de H apa_
recen como soluciones de un determinante secular de Hill j_133 para una matriz
tridiagonal no-hermítica. Con este procedimiento esos autores logran dar resul-
tados muy precisos para los niveles. Un inconveniente del método es (aparte de
su lenta convergencia para A >, 1) la ausencia de monotonicidad en la converger^
cia de las raices de los determinantes truncados hacia los autovalores de H.
En esta nota pretendemos señalar, con argumentos teóricos y numéricos, las
ventajas de utilizar un método alternativo, a saber, aquel basado en la conside_
ración de subespacios reducidos <K. ., = sp (v,Hv,...,H v ) , 0 f v6C c o(H),
en lugar de los Irlo M antes mencionados. Si |_v, ,v?s... ,v,, V (N ¿ N) es la
base ortonormal de "^ ., obtenida de ^v,Hv H v^ por el proceso de
Gram-Schmidt, el hamiltoniano truncado H ,, = P ^ HP . f 1 ^ ., asociado es
- 85 -
tridiagonal y hermítico (Jacobi) en esa base, y por la misma razón de arriba,sus autovalores E. ' son cotas superiores a los E.. La convergencia monótonaÉ.1 ' | E. (N-^>o¿> ) podra también ser demostrada en muchos casos. Una primeraventaja de este método es que no hace falta conocer ninguna base ortonormal "na_tura!" vinculada a una descomposición H = H + V: tomando v de forma arbitraria(argumentos variacionales sugerirán a menudo la elección más juiciosa), los ele_mentos relevantes de la matriz de Jacobi H .. son expresables, de forma alge-braica explícita, a través únicamente de los valores esperados U. =. (v,,Hmv,),0 £ m & 2N - 1. Y en segundo lugar, puede argüirse sobre una presumible econo-mía en el orden de las matrices truncadas para conseguir un cierto grado de pre_cisión: la matriz N xN asociada a H ., contiene información sobre[A. (rae 2N - 1 ) , que en el procedimiento usual basado en los HR M aparecería so
lo para M ^ 2N +1, (considérese, por ejemplo, el caso más favorable en quev, = e,, y HR M pentadiagonal). De hecho, los primeros experimentos numéricosque hemos realizado, y que luego detallaremos, apoyan esta última expectativa.Finalmente, este método que proponemos puede ser considerado como la generaliza_ción natural de las técnicas variacionales: dado un subconjunto Y c C ° ° ( H ) , yun entero k i 1, la elección de aquel vG'Vque hace mínima la traza Ir H'v,k
das H «, óptimas para la aproximación simultárlos k primeros niveles de Hconducirá a matrices truncadas H «, óptimas para la aproximación simultánea de
En la Sección 1 formalizamos este método, recogiendo las expresiones másútiles y dando un criterio de convergencia. La Sección 2 centra la discusión s£bre un oscilador anarmónico generalizado: tras resumir algunos aspectos matemá-ticos de interés sobre el mismo, presentamos unas cotas inferiores a su espec-tro, así como un método de reducción explícita a forma de Jacobi cuando tanto
4 4
el termino x como el p están presentes. Para terminar, incluimos en la Sec-ción 3 un análisis numérico preliminar y su comparación con resultados conocidos,
- 86
1. UN MÉTODO VARIACIONAL GENERALIZADO
Sea H un operador semiacotado, en un Hi1bert~o£. Dado v G C (H), no nulo,
formemos, por el método de Gram-Schmidt, una base B = ^ v , ^ , . . . ]• ortonormal
en X , 5 sp(v,Hv,H2v,...):V,oo
(1.1)
Es inmediato convencerse de que en esta base B, el operador H = H f ^6
tiene forma tridi agonal:
\\xr -'o v - a M + b ir (1.2)
donde b = 0, b = 0 si n > card B. Los coeficientes a ,b de esta matriz de
Jacobi son calculables algebraicamente. Por ejemplo, de (1.1) y (1.2) resultan,
entre otras, las expresiones
u
útiles para el cálculo numérico. Otras expresiones más compactas ;i4json:
(1.4)
!~v.-. ~ r
donde D indica el determinante de Hankel
u.4 k. i
D si (I-1) - ÍU' ü* ' - M
!-c
- 87 -
H, Hr
u u
(1.6)
siendo LL = (V,, Hn v,). Cuando v, forma parte de una base B = Íe,,e9,...í
en que H tiene estruGtura matricial de tipo banda, el cálculo numérico de los
a y b es muy simple. Tal es el caso, por ejemplo, si H es un polinomio arb_i_
trario en x,p, y v es una gaussiana.
Denotemos por P (x) el polinomio secular de H . Se tiene la siguiente
relación de recurrencia a tres términos
2Yl-\ W--2.
(1.7)
(con P = 1, P» = a, - x ) , por lo que satisfacen la propiedad secuencial de
Sturm. Hallado ur
lización y fase,
Sturm. Hallado un cero x. de P , el autovector correspondiente es, salvo norma_
a-i
E M (1.8)
Un algoritmo iterativo que a veces (aunque no siempre) resulta eficiente para
calcular el espectro de H es el siguiente, basado en U5~j: Sea
ó a.. ,-x - a.- - x _(1.9)
a. -x _ .
V
- 88 -
Cada punto fijo de la aplicación x \—> f .(x) es un cero de P . La iteraciónn, j n
x i > f .(x,) = x9 ' >f ^(x9) = x~ \ > ... converge, generalmente,
al nivel j-ésimo de H .
Una vez fijado el v de partida, cuya elección puede hacerse según el cri-
terio de optimización de Tr H , antes indicado para el tratamiento simultáneoV j K
de los k primeros niveles, surge la cuestión de la convergencia. A tal efecto,
se tiene el siguiente teorema, para el caso no trivial en que card B = co .
Teorema 1. Sea H =. H t* sp B. Si H es esencialmente autoadjunto, entonces
E. \ E., L -* o<o , siendo E. el nivel (j + l)-ésimo del cierre H de H .
Demostración. Según el teorema 10.42 de fis"}, <x(H ) c i\ , siendo A el con_
junto cerrado de los puntos de acumulación de ceros de los polinomios secula-
res P, , L = 1,2,... Dado, pues, cualquier E. (a la izquierda, por supuesto,
de <T (H )), 3 una sucesión de raices de polinomios seculares que conver-^ c~(L") ) °°
ge hacia E.. Ahora bien, el teorema min-max asegura que yE. '> es unaJ = L= i+1
sucesión monótona decreciente, cuyo límite E. >>E.. Y como cada nivel de Hes simple, forzosamente habrá de ser E = E , E, = E,, etc. i
Cuestión importante es, por tanto, saber, en cada caso determinado, si se
satisface la condición del teorema anterior. He aquí un criterio pertinente:
Criterio 1. Si v es un vector Stieltjes de H, entonces v es un vector de uni-
cidad para H (esto es, H es esencialmente autoadjunto).
Demostración. Ver [4,17]. Recordemos que v dícese de Stieltjes para H si
, y _/_, i[Hn v\\~ n = 00 . (Esta condición, por otro lado, asegura[ \ \ ( , p , g unj_n
cidad para el problema de momentos de Stieltjes, es decir, que los valores es-
perados L<-, n = 0,l,... determinan una única medida de probabilidad, con sopor_
te acotado por abajo, de la que son sus momentos. En otras palabras, la suce-sión {U > determina un único problema espectral). 8
- 89 -
Ejemplo importante:
Sea H = p 2 + £ x 2+ > x 4 + p,p4, f-t 0, A ^ 0 ( A > 0 si £ < 0). Este ope_
rador es semiacotado sobre ^ (IR) , y esencialmente autoadjunto (ver próxima
Sección). Cualquier v 6 sp( tP , >,, 2 » - . . ) , v f 0, siendo p las autofuncio-
nes de p + x , es Stieltjes para H. Más aún: es semianalítico, esto es,
ro¿_^w Hnv|( zn/(2n)! tiene radio de convergencia no nulo (o equivalentemente,
3 a,b tales que \\Hnv\\ < abn(2n)!, Vn). En efecto, basta considerar los ca-
sos v = <f.. Es fácil estimar entonces quei K
como se pretendía.
Finalmente, y por completitud, discutiremos la convergencia de los E. 'J
calculados a través de una base B = (e,,e?,...) arbitraria.
Teorema 2. Sea • = ¿ d e, la expresión de un autoestado de H, normal i za
do, correspondiente al nivel E. de H. SiJ
entonces E: ' \ E., L —> oo 5 Q ¿. j¿. J, siendo E\ ' el nivel (j+l)-ésimo deJ
Hg | . [Para niveles degenerados, se incluyen las multiplicidades, y los " . se
suponen ortogonales dos a dosj.
r 1 r (D? °°Demostración 1181 • Como <E. \ es monótona decreciente,, bastará probar que,- u J j+1
dado £ > 0, 3 algún L tal que |E. - Z\1' \ < L .Se sabe queJ J
E < EÍ° á sub ( ,Uu>l (L12)
- 90 -
para todo subespacio (j + l)-dimensional ^. de R ,. Para L suficientemente
Lgrande, los vectores w ., = J> ^ - i e i ' 0 - i - 3> son lineaimente indepen-
dientes , y subtienden un subespacio c\. , c i . La matriz f in i t a de elemenj ,L ts,L —
tos ( -i » k l J ti611016' P° r hipótesis, hacia la matriz diagonal (j+1) x (j+1)de elementos E. S-u, cuando L -?• oo , y asimismo lo hace la de productos esca_lares ("V-i s " k¡ ) hacia la matriz unidad. En consecuencia
iiwv ^ ( t ) H ^ ) = (1.13)
por lo que E. ¿ E\l'£ E. + 6 para VL > L ( £ ) . •
Este teorema se complementa con el s iguiente
Cri ter io 2. Sea H + <s¿ I > 0. Si exis te un operador K 0, diagonal en la base
B, y tal que
H + d l < P>K 2 ^ y (M + e t l f (1.14)
entonces se cumple la hipótesis (1.11) del teorema 2.
Demostración. Por la segunda desigualdad en (1.14), cada tV.6D(K), y por ser
K diagonal en B, |K( "i . - *\]/. , )|| —> 0, -L —> co .La primera desigualdad
en (1.14) permite, pues, concluir que (ij1 . - ~ty . ,, H ( ^ . - - . , )) -> 0,
L —*• oo , esto es, (1.11) para i = j . Usando ahora la desigualdad de Schwarz
rk:¿
tendremos (1.11) para i f j. ®
O O -N /I O O
Por ejemplo, s i H = p + x + A x , / ^ 0 , tomando K = p + x c , y
B = (ip , i | ^ ip « » . . . ) > es p o s i b l e probar ( 1 . 1 4 ) , y en consecuencia , la con
vergencia de los cá lcu los convencionales de los n ive les del o s c i l a d o r anarmó
n i c o .
- 91 -
2. OSCILADOR ANARMONICO
Consideremos los siguientes hamiltonianos
(2.1)
que, sin merma de generalidad, representan esencialmente a la familia2 2 4 4
o¿, p + <* x +'ot,x + C <4 P para parámetros c< . de interés físico, como in-
dica un cambio de escala apropiado. El operador H,(A,y.) representa un osci-
lador armónico, con perturbación anarmónica A x , y corrección relativista
M-p (si p-< 0 ) ; H_,("A,^-) describe un oscilador de doble pozo, también con
corrección ^-p ; y H (.) es el operador energía para un oscilador cuártico,
corregida su energía cinética en u.p .
Todos estos operadores tienen sentido natural sobre ^j (IR) . ¿Definen,
sin mas, una dinámica?. En otras palabras, ¿es este subconjunto un "corazón"?
i) Caso ^ ^ 0
posee un conjunto total de vectores semianalíticos en2 2(a saber, los estados <í del oscilador armónico p + x ),y es simétrico semi
o o —
acotado sobre SD . Luego H+,( "X,^.) es. esencialmente autoadjunto sobre TÍ .
[C^°("R) es también un corazón para H+,( A, 0)j {_19j. ídem para H ( M - ) . El es-
pectro de estos operadores es discreto (consecuencia del teorema min-max,
pues lo es el de H+1( A,0), H Q(0), y M-p4 0).
ii) Caso V*- 0
H (u.) no son semiacotados sobre C°°(TR) . Por ser reales
admiten extensiones autoadjuntas, que pueden ser únicas ftal sería el caso,2 2 4por ejemplo, de la situación límite p - x + ^ - p , ^ < 0 , cuyo espectro es
discreto, acotado por arriba] , o no [como, p.e., para H+, (0,u~), \-t< 0
Pueden darse casos curiosos como el de H_1(l,-1), unitariamente equivalente,
via Fourier, a -H ,(1,-1).
- 92 -
A continuación presentamos unas cotas inferiores al espectro de H_> enel caso H-Í^O, que son útiles a la hora de buscar numéricamente sus niveles
(
De la descomposición
^ U ) ^ " ( ) (2.2)
donde £ Q = 1.06036209048418 es el nivel fundamental [20] de p2 + x4, resul
H Aa,v-)^ ^? \ c ^ v % £ ^ >!r.-siv3+u
<3c!-oa'3! ac. ; ^ (2.3)
Una cota peor, pero más simple, es ésta:
De (2.3), tomando ^ = 3> , y maximizando, resulta asimismo
HQ( V*.), R > 0
Se t i ene , por un lado,
esto es,
\j r O > sut, "_ £ . ,. . ..1Í3 ?¿ = ±- ?h J2- ( 2 - 7 )
- 93 -
Por otro, H ( u,) - £ . Luego
C :^ (2.8)4- . *k 'b 1
Como
[f ( 1 > 4 ] 4- U A ^ 4 ] ^ é j E j (2.9)
resulta
En particular
Si V<-<.0, y tijr. posee algún estado propio "^6 D(x ) A D ( p ), el carác-
ter estacionario de O u V i . conduce (teorema del virial) a las relaciones
(2.12)
también válidas, por supuesto, para j-c > 0. Los operadores que figuran en los
segundos miembros son (salvo escala) del tipo H^ con u-= 0, para los que
disponemos de las cotas antes halladas. Por tanto, la mínima energía E . ±_ '~zmi n j TÍ"
cuando M - < 0, está inferiormente acotada de acuerdo con las siguientes expre-
siones
- 94 -
Y para cencluir esta Sección, vamos a presentar una curiosa reducción
explícita a forma de Jacobi para operadores
(2.14).
en el caso Aju^ 0. Para ello, introducimos un par a,a' de operadores destruc-
ción, creación ( [a,a ] = I) tales que
X = -r
y de forma que se cumpla
<*$*-o¿*f = i (2.16)
i4 = O (2.17)
La condición (2.16) asegurará la canonicidad (í_x,pj = i), mientras que
(2.17) sirve para que todos los elementos de matriz < n t 4¡H(k,^ 5iu.)ln)> = 0,
|n>V la base asociada al par a,a . Una solución al sistema
(2.16-17) es:
d — 2. i u. / X i /
& - 2 Í A,'u.|
- 95 -
-i(z. i f / ^ .
^ ~ \ ^\w? f ( es: V^o) (2.19)Í6 = 2.1" I A/ai" Sxü -ÍTT/2. J
Con esta elección, la matriz asociada a H(k,^,¡x.) en B es tridiagonal.Reduciéndonos a los sectores de paridad definida P, los elementos de tal ma-triz son:
r* /" í> 11 i i ^ / ~ l « \ 2 I I 1 ^ \ . 5 A ^ , 2 _ , , i \ / " \ I ' 1 4 • i i¿í\
H, -z. \jC ' T 1 / V. lp I + P [oí j J i " O v^V + ¿ J ' T I / ( A 1O< \ + ! * [ 9 \ ~ j
'' (2 .20)
con V = 2n - (3 + P)/2, n = 1,2
IntroduciendoS-í
(2-21)
donde s = sgn( ~X^), resulta
como expresiones útiles para el cálculo de los polinomios característicos.
- 96 -
Nótese que (2.15) equivale a un adecuado cambio unitario de H(k,),u.)2 2
para que luego su expresión en la base de p + x sea tridiagonai. En princi-pio es de esperar que este método permita "jacobizar" explícitamente otros tj_pos de hamiltonianos polinómicos en x,p.
3. ANÁLISIS NUMÉRICO PRELIMINAR
A continuación presentamos algunos resultados numéricos obtenidos por losmétodos expuestos en las secciones precedentes, relativos al caso H=H(k,"X , ^ - ) .Como vector v generador del proceso tomamos una gaussiana e"Y . El paráme-tro v se ha elegido atendiendo a diversos criterios, tales como minimizar
< H > v U = . y Q ) , ó A y H ( = y.,), o hacer "pequeña" la traza Ir H ^ ^ s ^
(cuando se centra la atención en el conjunto global de los n primeros niveles).Los cálculos se han realizado por el momento con una calculadora HP 9830 A .Como regla general, hemos observado una convergencia más rápida (aproximadamen_te el doble) que la lograda en [_4~] (referencia ésta entre las más recientes yrigurosas), y mucho más que la del método propuesto en [l2].
En las tablas que siguen seleccionamos los resultados para algunos valo-res típicos de los parámetros k,~\ , y-, . Nos reduciremos por brevedad al ca-so del nivel fundamental E . Para u. *c 0 (y por tanto H(k,X ,«_) no semiaco-
—(L) *tado) se observa numéricamente que las raices E. ; tienden a estabilizarse,J
aunque de forma no duradera, pues para L suficientemente grande (tanto mayorcuando menor sea | f V M )> escapan por la izquierda de la zona de estabilidadafluyendo a ésta alguna otra de las E. , j' > j. En los casos ^u-f 0, para
Jl L
los que disponemos tanto del método general (Sección 2) como del explícito dejacobización (Sección 3), los resultados de ambos son, claro está, coinciden_tes si A ^ < 0 y ^ es el apropiado. No así cuando A M . > 0, ya que el es-tado |0/> del método explícito no es gaussiano, en amplitud, como función dex.
A diferencia de las otras técnicas de cálculo dadas en la bibliografía,nuestro método es general y su convergencia es buena para cualesquiera valo-res de los parámetros k,/i , u..
TABLA I : Caso k = 1
A = 0 . 1 , y = 0
Y = 1 . 1 2 5 4 1 8 7 8 3
A = 1 , u = 0
Y = 1
A = 1 , y = 0
Y3 = 2 . 6
A = 1000 , y = 0
Y3 = 40
A = 1 , u = - 0 . 0 1
Y = /T5
A = 1 , y =+0.01
Y = /IÜ
E ^ = 1.0662036180
E ^ = 1.750000000
É ^ = 1.603254438
É ^ = 20.48125000
l ^ = 1.739252713
E ^ = 1.889252713
E^ = 1.065306723
E ^ = 1.549668329
E^2) = 1.409283925
E^2^ =12.97399480
E ^ = 1.393837368
E ^ = 1.497601099
E^15^ = 1.0652855100
É^20) = 1.398579759
^(12) = 1.392351642
É^12^ = 10.63978871
E^6^ =1.372617640
gU5) = L4H327514
EQ= 1.065285509544
[12]
EQ= 1.392351641530
[12]
EQ = 1.392351641530
EQ= 10.63978
[15]
(1)
(2)
(3)
TABLA II : Caso k = 0, A = 1
y = 0
Y3 = 3.5
ü = - 0.001
Y = 2.5
M = 0.001
Y = 2.5
E ^ = 1.811224490
É ^ = 1.3653125000
E ^ = 1.3746875000
l^ = 1.207682213
E ^ = 1.090183791
E ^ = 1.096632877
É^15^ - 1.060362091
E^14^ = 1.058941553
E^15^ = 1.061778095
EQ = 1.060362090484
[20]
(4)
(5)
00I
TABLA III : Caso k = - 1
A = 0.1 , |i
Y = 1.5
A = 1 , ü :
Y = 3.5
A = 0.1 , y =
Y = 1.5
A = 0.1 , M =
Y = 1.5
= o
= 0
-10"6
+10"6
E ^ =0.4500000000
E ^ = 1.668367345
É^l) =0.449998313
É ^ =0.450001688
•?>
-E(2)0
0
= -0
= 0.
= _o
= _o
.239416507
918249523
.239420780
.239412233
§(15)0
¡(13)0
§(15)0
§(15)0
= 0.
= -1
= -1
.265492837
657653005
.265493847
.265491827
E =-1.2654928372140
[21]
(6)
(6)
- 100 -
Comentarlos
(1) Una elección inadecuada de y (= 1 en este caso) retrasa ostensiblemente
la convergencia.
(2) No conocemos resultados de otros autores con los que podamos comparar.
A partir de N = 6 no se aprecia variación en las 10 primeras cifras sig-
nificativas, hasta que llega el momento (N > 11) de la desestabilización
mencionada en el texto. Para y = vio (= |x/y| ) la matriz de Jacobi
calculada por el método general coincide con la explícita de la Sección
3.
(3) A partir de N = 15 no hay variación en las 10 primeras cifras significa-
tivas. El parámetro y = |^/y| utilizado asegura la igualdad de los| |4 4 -1/2
coeficientes de x y p tras la dilatación x -*• y x. Sin embargo, aún
así, la matriz obtenida por el procedimiento general es distinta de la
explícita (Sección 3), y la convergencia de los É¿ ' para esta última es
algo más lenta.
(4) Para yQ = 1.44224957, la convergencia es más lenta (E^15^ = 1.060458207).
Con Yi = 1.535943021, la convergencia mejora, pero no mucho
(jr(15) = 1.060405169). Con la elección ingenua y = 1, E^15^ = 1.066932300.
(5) Con y = 10 ' (parámetro adecuado al procedimiento explícito), la conver-
gencia es también rápida. A partir de N = 15 se alcanza la estabilidad,
y se mantiene hasta N = 49. Para N 1 50 la matriz deja de ser definida
positiva, pese a lo cual siguen apareciendo raices en la zona de estabi-
lidad.
(6) Si estos casos se tratan con el método de jacobización explícita, la con[
secuencia se hace extraordinariamente lenta. Para llegar a la precisión
de la tabla, es preciso remontarse a N = 150 (p < 0), y N = 200 (y > 0).
- 101 -
REFERENCIAS
[1] K. Frankowski, C.L. Pekeris, Phys. Rev. _146_, 46 (1966).
[2] G. Temple, Proc. Roy. Soc. (London) A119, 276 (1928).
[3] M. Reed, B. Simón, "Methods of Modern Mathematical Physics, vol.IV. Ana-
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[6] S. Graffi et al., Phys. Letters 32B_, 631 (1970).
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[8] A. Gal indo, P. Pascual, II Nuovo Cimento 3OA, 111 (1975), 34B_, 155 (1976)
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[12] S.N. Biswas et al., Phys. Rev. D4_, 3617 (1971), J. Math. Phys. _1£, 1190
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[13] G.W. Hill, Acta Math. 8_, 1 (1886).
[14] J.L. Sánchez-Dehesa, Tesis Doctoral, Universidad de Zaragoza (1977).
[15] F.T.Hioe et al. Physics Reports, vol. 43, n° 7 (1978).
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Edición (1966).
- 102 -
[17] B. Simón, Indiana Univ. Math. J. 20_, 1145 (1971).
[18] Este teorema es una pequeña generalización del Teorema XI11.4 en [3l.
[19] M. Reed, B. Simón, "Methods of Modern Mathematical Physics, vol. II.Fourier-Analysis, Self-Adjointness", Academic Press (1975).
[20] K. Banerjee, Lett. Math. Phys. U 323 (1976).
[21] K. Banerjee, S.P. Bhatnagar, Phys. Rev. D_18_, 4767 (1978).
- 103 -
OSCILADOR ANARMONICO: PRIMERA CORRECCIÓN RELATIVISTA Y
APROXIMACIÓN SEMICLASICA
R.F. Alvarez-Estrada
Departamento de Física TeóricaFacultad de Ciencias FísicasUniversidad Complutense,Madrid-3
- 104 -
Consideremos una partícula microscópica de masa m en una dimensión espa_
cial, sometida al potencial anarmónico Ufx)= « * -+-^x 9 donde <* y p
son constantes dadas, con f>>0 y * O . Supondremos que la energía ciné-
tica de la partícula en dicho potencial es pequeña comparada con la asociada
a su masa en reposo me (si
mera puede aproximarse por
4 1Í P > con y = o ? > 0
2a su masa en reposo me (siendo c la velocidad de la luz) de modo que la pri-
D 42m
(obsérvese que I (YAC2-)"-i-(cp)~J - w C ' - r —• - gl^scz. + )• Enotros
términos, la energía cinética se aproxima por la habitual contribución no re-
lativista, — , y se retiene la primera corrección relativista. En consecuen-
cia, el hamiltoniano total aproximado para la partícula en el potencial anar-
mónico es
Un resumen de las propiedades del oscilador anarmónico cuántico unidimensional
cuando íT = o (c-» 0 0 ) puede verse en [lj.
Sea L o = L 0(x) Í^-Jt/
e"' lagrangiano clásico libre asociado al hamij_P2 H
toniano clasico libre ~ — T p . Nótese que:
i) si la partícula está en reposo, x = 0, y es lógico aceptar que
LQ(0) = 0,
ii)p- ±J=±. , y la relación entre hamiltoniano y lagrangiano es
-*r = xp-u (2)
De lo anterior, se deduce directamente que el lagrangiano libre L (x) es
la solución de la ecuación diferencial
- 105 -
con la condición inicial L (0) = 0. No nos detendremos a estudiar en detallela ecuación (3), pues no es necesario para lo que sigue. Simplemente, utiliza_remos el hecho de que dicha solución existe.
Sean:
i ) L = L(x5x) = L (x) - U(x), el lagrangiano t o t a l ,
i i ) x, = x , ( t ' , { t , x | ) , 0 í t ' í t , la solución de la ecuación c l á s i -
ca de Lagrange (-4 ( — ) = — ) tal que x.,(0, í t , x \ ) = 0, xAt, í t , x > ) = x
d t -bx "Sx l l
(t dx1iii) S(x,t) = dt1 L ( — - (f, ít.xl) , xAV , ít,x} )) la acción clá-
Jo dt1 1
sica correspondiente a la solución x, considerada en ii). Como es bien sabido,
j?.,-_u "55._ p , con lo cual S(x,t) = S satisface la ecuación de Hamilton-
Jacobi:
La ecuación (4) admite la integral completa S = S (x) - E.t, donde E re_presenta la energía clásica de la partícula y S (x) satisface
_±_ fjjpíf - ir U&) + U(x) - E = o (5)2W I <ix J ICLY-J
A partir de la ecuación (5), se obtienen fácilmente las soluciones:
(6)
(7)
- 106 -
Si X -> O, es decir, si la primera corrección relativista es desprecia-
ble frente a la energía cinética no-relativista usual, es claro que
Z. 2.(Vg'+) diverge, en tanto que i^p'—) —^ Zw [ E - U ( X ) ] , que es el resulta-
do no-relativista correcto. Dado que el hamiltoniano (1) solo tiene sentido fí_
sico cuando y es pequeño, concluimos que la única solución aceptable es
) , dada en la ecuación (7). Para que f c*-So,-Lj o , es preciso que
se verifiquen las dos condiciones siguientes:
Puesto que oi>yo y p > o , concluimos que
i) el movimiento clásico solo es posible en la región - x < x á x ,
donde
— -V"
ii) las energías posibles para la partícula están acotadas superiormente:
Es obvio que si la primera corrección relativista es despreciable ( X—*o)
no hay restricción sobre E. Dado que X - ^ — Í T T » ^a restricción ii) pasa a
ser E < -i.rn.c^ . La restricción (9) es característica de la aproximación que
consideramos y desaparece en un tratamiento totalmente relativista.
Estudiaremos los movimientos microscópicos posibles de la partícula en
aproximación semiclasica. En virtud de la regla de cuantificacion de Wilson-
Sommerfeld [z], las energías permitidas (cuantificadas) han de satisfacer:
- 107 -
Vz
siendo n = 0,1,2,... y h la constante de Planck. Otros estudios acerca del os-
cilador anarmónico en aproximación semiclásica, cuando X- 0, pueden verse en
Nos concentraremos en la situación física correspondiente a T pequeño,
con lo cual, desarrollando en potencias de í y omitiendo todos los términos
en ^ , r>, i :
1 - (2m)Va [ b - U (x)] VUx (12)1 ^ X o L
4-A»! fE-uCx^Ux (13)
Es conveniente señalar que es posible obtener los resultados dados en
las ecuaciones (10-13) si se realiza un estudio del oscilador anarmónico totajl_
mente relativista, partiendo del hamiltoniano M K ~[(yvvC*)'~ + (cf) J 4- uCx)
y se aproxima convenientemente. La ecuación de Hamilton-Oacobi para la acción
relativista 5^=5Vx,i), que generaliza (4) es:
tz ODxJ CAV. rfc
De aquí, generalizando lo anterior, se obtiene la siguiente regla de cuantifi
cación para las energías En del oscilador anarmónico relativista en aproxima-
ción semiclásica, en lugar de (10):
- 108 -
Haciendo ED = me + E, así comoK
es inmediato obtener la regla de cuantificación (10), con las aproximacionesdadas en (11-13).
Reduciremos las integrales I. e L a las integrales elípticas complatasde primera (K(o)j y segunda (E(O)) especies:
(14)
siendo 0 u .< 1. Por conveniencia, introduciremos
Tras laboriosos cálculos, cuyas lineas fundamentales se esbozan en el Apéndice,
se obtiene:
¡•i(17)
(19)
- 109 -
(20)
: - ( z""o
Combinando las ecuaciones (10-11), (17-22) concluimos que los niveles
permitidos para la energía, E = E , en aproximación semiclásica satisfacen:
[ -E + v A + (- r - T B) ,4 K[ ^
con tal que, además, se verifique P <
Dado que oc^o cuando E crece desde 0 hasta +00 , x± disminuye des-
de + =0 hasta +1, con lo cual u — 4/[l+(*i/>'B) J crece desde 0 hasta
+ 1/2. En Abramowitz y Stegun [4], puede verse que, en este intervalo, es
permisible utilizar las siguientes aproximaciones para K(u) y E(u)
(24)
t ] [|4; ( j ^ u^) + €,(u) (25)
- 110 -
u¿= i-o k = 4, (26)
Las constantes a ,...b, aparecen en la Tabla 1, tomada de [4J.
a =
a, =
ao =
a., =
TABLA 1
1.38629436112
0.09666344259
0.03590092383
0.03742563713
0.01451196212
0.44325141463
0.06260601220
0.04757383546
0.01736506451
bo =
bl =
b2 =
b3 =
b4 =
bi =bp =
bo =
b4 =
0.5
0.12498593597
0.06880248576
0.03328355346
0.00441787012
0.24998368310
0.09200180037
0.04069697526
0.00526449639
Consecuencias:
i) , con lo cual ni E(u) ni K(u) divergen.
ii) K(u) es lentamente creciente en 0 ¿ u 1/2: K(0)±: 1.5708,
K(l/2) = 1.8539
i i i) E(u) es lentamente decreciente en 0 ¿ u ¿ 1/2: E(0) 1.57079,
E(l/2) 2r 1.35058
Es interesante considerar el caso particular c< = 0 (oscilador "cuárti
co" con primera corrección relativista), pues entonces B— °/) *c— ^i-i
- 111 -
Sustituyendo en la ecuación (23), se obtiene una regla de cuantifica-
ción más simple:
(27)
Nótese que si E o=. j~^x^ , entonces i + - ^ - 5 w v z E ^ 4 + ^L -2=4.1 5 es ¿Q_
cir, la corrección debida a X es aún pequeña, lo cual es consistente .
La solución de la ecuación (27) es, despreciando correcciones de orden2
X y superiores:
(28)
K (29)
Las energías permitidas deben satisfacer E < — 7 - — 5 — , es decir, 0 4 n <Nn -4 (íw) o .
donde N viene determinado aproximadamente por la condición h.N ^ ~7~Z—v^f
Eligiendo 2m = 1, h = 2TT, la ecuación (29) adquiere la forma práctica
siguiente
Hemos realizado un estudio numérico de las energías E , dadas implícita-
mente por la ecuación (23) para 2m = 1, h = 2-n , y algunos valores de OÍ , p,
í y n. El-análisis^que hace uso de las aproximaciones (24-26) para las inte-
grales elípticas (ver también la Tabla 1), se ha llevado a cabo en el Centro
de Cálculo de la Junta de Energía Nuclear, Madrid. En las Tablas 2, 3 se resu-
men los resultados obtenidos.
- 112 -
TABLA 2
a = 1 , 6 = 1 , y = 0.001
n
a = 0
0
1
2
3
0 1.25005789
1 4.58214520
2 8.57535742
3 13.03440898
4 17.86037827
5 22.99051541
TABLA 3
= 1 ,
0
3
7
11
Í6
Y = 0.001
n
.86671604
.74390814
.38282546
.535424990% 551003
- 113 -
APÉNDICE
Se tiene
(A.l)
Dado que
Í
— ?•<!
se obtienen las ecuaciones (17-20), en términos de £ y £ ? 5 dadas en (A.1-2)
En £ ecuación (A.l), hagamos sucesivamente los siguientes cambios de2 '2 2variable de integración, i) x —> x' , con x + x = x , ii) x' — > y , con
Y"
y = — # E S fácil, entonces, llegar a la expresión de £ dada directamentexo °
en la ecuación (21). Los mismos cambios de variable en £ ?, ecuación (A.2),conducen directamente a
- 114 -
,. i ..
^ f/íi
de donde se deduce fácilmente la representación (22).
Este trabajo ha sido motivado por diversas conversaciones con A. Gal in-do y G. García Alcaine acerca de osciladores anarmónicos.
Agradezco al Centro de Cálculo de la Junta de Energía Nuclear, Madrid,las facilidades que me han dado para realizar los análisis numéricos presen-tados aquí.
- 115 -
REFERENCIAS
[l] R.F. Alvarez-Estrada y A. Galindo, "Modelos Simples de Vibraciones No-Ar-mónicas: Resumen de Resultados y Posibles Enfoques Nuevos", Memoria delaño 1978 presentada por la Cátedra de Física Teórica en la Junta de Ener-gía Nuclear.
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[4] M. Abramowitz, I.A. Stegun, "Handbook of Mathematical Functions", cap.17,Dover Publications, New York, 1965.
- 116 -
UNA CLASE ESPECIAL DE OSCILADORES ANARMONICOS DE SEXTO ORDEN
R.F. Alvarez-EstradaDepartamento de Física TeóricaFacultad de Ciencias FísicasUniversidad ComplutenseMadrid-3
- 117 -
En este trabajo nos concentraremos en revisar diversas propiedades de
una clase especial de osciladores anarmónicos de sexto orden (anarmonicidad
en x ). En él, procuraremos presentar de manera unificada (aunque sin gran
detalle) una serie de aspectos sobre el problema en cuestión, la mayoría de
los cuales, aunque ya son conocidos en la literatura científicapolo han apa_
recido de forma fragmentaria y dispersa. Para apreciar el interés de los os-
ciladores anarmónicos de sexto orden, es conveniente consultar [1] (en espe-
cial las páginas 61-64), [2]^[3] y las referencias citadas en ellas.
Específicamente, consideremos el problema de autovalores (E) y autofun_
ciones (f = f(x)) siguiente en - oo < x< + oo
+ (x) , p = -iQ/>£. (2)
(3)
donde a y £ son constantes reales y estrictamente positivas y <=< es real.
En general, consideramos únicamente autofunciones reales que se anulan apro-
piadamente si x — > ± ° ° . Formalmente, L puede considerarse como el hamilto
niano de una partícula microscópica unidimensional de masa ^ (tf = constante
reducida de Planck) sometida al potencial anarmónico de sexto orden U(x). Co_
mo veremos, el "potencial" U(x) da lugar a algunas propiedades interesantes.
En general, cabe esperar que la ecuación de autovalores (1) tendrá un conjun_
to infinito numerable de soluciones f = f (x), correspondientes a los autova_
lores E , con n = 0,1,2,...
Los operadores - f ^ ^ x ' , _ 4 ¿ + ^
' + r - ^ son esencialmente autoadjuntos en C ( R ) . La2.U. O
demostración es una aplicación directa del teorema X.28, pag. 184, de [2j .
- 118 -
Sean b, y b? constantes tales que
z ct
para todo x. Generalizando un argumento presentado en [3] se demuestra que
Sean b-, b., b¡- y bfi constantes tales que, para todo x:
En consecuencia, se tiene
(6)
(7)
- 119 -
y,utilizando (4) y (5) respectivamente, se llega a
•3/0 Q/0
Las desigualdades (8) y (9) con 2 ' . t>3 < 1 y 2 • b¡- < 1 permiten estable,cer, cuando se establecen los dominios de definición apropiados para los ope-
radores en cuestión, que ^f-)<Aji~(-£ñ'- o )**-<* y -I^x*-* son pertur.
baciones pequeñas en el sentido de Kato [2J de - p + j--§r x y de
p'1 +it_-!-—¿- respectivamente. En consecuencia, dichas desigualdades¿ <-Q¡¿ '
proporcionan dos formas alternativas de establecer que L es un operador auto-adjunto. Una tercera posibilidad, que omitimos, consiste en desarrollar acota_ciones análogas para el operador ^-p2- •+ -J—-*1 + 'T^'^'
No es dificil demostrar que los autovalores son, necesariamente, no ne_gativos. En efecto, multiplicando la ecuación (1) por f*( = f, trivialmente),integrando en -oo<x<+c-o y manipulando, se obtiene
(iO)
Esta es una propiedad específica de la ecuación (1).
Haciendo
(11)
- 120 -
se obtiene la siguiente ecuación para h(x)
a
Si p ~ o , o<>o es fácil comprobar que los autovalores E y las auto-
funciones h = h de (12.) son, respectivamente:
(13)
siendo Hy,(fe)**"*) ^os habituales polinomios de Hermite.
Si 8^0 , es inmediato comprobar que h (x) = 1 es autofunción corres-pondiente al autovalor E = 0. Esta es una de las propiedades más interesantesde la ecuación (12) y, por tanto, de la ecuación (1).
Sea X > o un cierto parámetro y hagamos explícita la dependencia delos autovalores E de la ecuación (12) respecto a < * y £ : E = E ( < * 5 j 8 ) . Esfácil ver que si h(x) es autofunción de (12) con autovalor E(<* , £ ) , entoncesh(Ax) es también autofunción de la ecuación (12) cuando o¿ , a se sustituyen
por )?~oi y )?p respectivamente, con autovalor EC'XÍ^J \Ap)- ^ EC^^fi).
Por lo tanto, si elegimos \ = fi~ se obtiene la transformación de escala
siguiente para los autovalores:
Supongamos ex > o . Para cada autofunción h(x) con autovalor E, introduzcamos
Derivando (15) y utilizando (12), se obtiene
- 121 -
es decir, <*Ayo si x > O, en tanto que 'áQ^O si x < 0. Esta propiedad,
también especifica de la ecuación (12), es decir, del "potencial" U(x), pue-de ser útil en el estudio de cada autofunción en particular.
Supongamos o ¿ > o y ^ > 0 . Si x—-> 0, es razonable despreciar ^x
en comparación con <xx dkn , con lo cual» salvo constante multiplicativaZx
Estudiemos el comportamiento de una autofunción genérica h (x) para ¡x|suficientemente grande. Haremos la hipótesis de que aquel está determinadopor la ecuación que se obtiene a partir de (12) cuando se omite — Q-^L-k* ,Tras una integración, se obtiene
(18)
siendo h una constante arbitraria. A posteriori, se comprueba que, para !xlsuficientemente grande,es consistente la omisión de — ^-.<jJhy . En efecto
oO
Consideremos el primer estado excitado, cuya correspondiente autofun-ción h,(x) se anula en, y solo en, x = 0. No es difícil ver que, si ~^--~
¿< 1 , el primer estado excitado está dado aproximadamente, para to-
do x, por
con autovalor E,-^o< . Nótese que (19) es consistente con los comportamientosdados en las ecuaciones (17) y (18).
122 -
Los autovalores E pueden obtenerse aproximadamente utilizando el méto_do WJKB. Nos limitaremos a presentar la fórmula fundamental de partida y aindicar la reducción a integrales elípticas completas.
La aproximación WJKB para E es:
donde x es la solución positiva de la ecuación cúbicao
2La transformación básica consiste en hacer y = x , con lo cual, si yc
Puesto que el radicando es un polinomio de cuarto grado, es posible expre-sar la integral que aparece en la ecuación (22) en términos de integraleselípticas completas de primera, segunda y tercera especies, utilizando lasfórmulas de reducción habituales (ver, por ejemplo, [4]). Las expresionesfinales son bastante complicadas y pueden verse en el Apéndice D de la refe-rencia [5],
Siguiendo a Singh, Biswas y Datta [6] buscaremos la solución h (x) dela ecuación (12) con E = E en forma de serie de potencias
= > e >m (23)
- 123
donde e son coeficientes a determinar. Sustituyendo (23) en (12), se ob-n 51 n
tiene la siguiente relación de recurrencia de tres términos
con e , = e 0 = 0n,-l n,-2
La estructura de la relación de recurrencia (24) (0 bien, una conside-
ración directa de la ecuación (12)) muestra que el conjunto de todas las au-
tofunciones h (x) puede clasificarse en los dos subconjuntos siguientes:
a) h (x) , impar (h (-x) = - h (x)). En tal caso, es suficiente res-
tringir la correspondiente relación de recurrencia (24) a valores impares de
m: m = 1,3,5,7,.. . Podemos hacer, entonces, n = 1,3,5,7,..
b) h (x), par (h (-x) = h (x)). Entonces, la relación de recurrencia
(24) se limita a m, par: m = 0,2,4,6,.. y podemos imponer, sin dificultad:
n = 2,4,6,8,...
Puede demostrarse sin dificultad que
s i mVa.
ii) para todo m, e*vw-|-¿ está dado exactamente por la siguiente frac-
ción continua infinita
_ i . _
- 124 -
B....
'
'"(**)
•A _ j n - ^ ^ ^ n _
y que esta fracción continua es convergente. Un estudio detallado de la
fracción continua (25") aparece en [6J.
Si n = 2,4,6,..., los autovalores E vienen dados por la ecuación (24)
para m = 0
F --Q.S^l (27)n, O
Si n = 1,3,5, dichos autovalores pueden obtenerse a partir de (24) para m=l
Los cocientes ~!~ y -—"* son, a su vez, funciones de E dadas por las
fracciones continuas (25) para m = 0 y m = 1, respectivamente. En general,
la determinad'(
numéricamente.
la determinación de E a partir de las ecuaciones (25-28) ha de realizarse
Para concluir, notaremos que
i) generalizando el tratamiento presentado en [?], es posible realizar
un estudio de las trayectorias clásicas de una partícula unidimensional de
- 125 -
masa m = 1 sometida al potencial U(x) (Ecuación (3)). Esto corresponde a tr§_tar L como si fuera un hamiltoniano clásico, siendo P el momento unidimensio_nal clásico. Dicho estudio puede ser útil en relación con el estudio de losautovalores E a través de la aproximación WJKB (recuérdese la ecuación (20))
ii) dado que en [8] se demuestra que es posible usar el método de losaproximantes de Padé al cálculo de las energías de los osciladores anarmóni-cos en x y en x , parece claro que dicho método debe ser también aplicableal de los autovalores E de la ecuación(l).
- 126
REFERENCIAS
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CONSERVED DENSITIES FOR LINEAR AND NON-LINEAR EQUATIONS
A. Galindo and G. García Alcaine
Departamento de Física TeóricaFacultad de Ciencias FísicasUniversidad Complutense
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1. INTRQDUCTION
In recent times there has been some controversy about whether Noether's
theorem can be generalized to cover al 1 known conserved densities for differen_
tial equations Ü-,2,3,4] or not, specially when there is an infinite number of
conserved quantities and/br the equation (or system of equations) can not be
derived from a Lagrangian in the usual sense !j5].
On the other hand, even for the simplest cases (free Klein-Gordon, Di rae
and Maxwell equations) it is not clear that the known conserved quantities are
the only existing ones [1,6",7,8,9] and there are even some erroneous elaims in
the Literature.
Finally, to our knowledge, there are no published analysis on whether a
solution is completely characterized by some set of charges or not.
In this paper, we intend to avoid the first kind of problems by showing
that the conservation laws can be obtained in many cases without any reference
to the Lagrangian formal ism,and we shall solve completely the questions in pa-
ragraphs 2 and 3 for some simple linear cases. In all that follows we shall
assume that the solutions vanish at infinite sufficiently fast and we shall
consider only conserved densitites whose integráis over all space are diffe-
rent from zero.
In section 2 we discuss an identity that allows us to find bilinear con-
served currents, and we use it in some linear and non-linear examples. In many
of them the equations do not seem to be derivable from a Lagrangian (directly
or by any of the usual tricks) and therefore the conserved currents can not
be calculated using Noether's theorem. Also, the method gives inmediately an
infinite number of conserved currents in those cases where one can obtain new
solutions.of the equation in terms of a given solution in a continuous way
(such as in the linear equations with some continuous symmetry group).
In section 3,4,5 and 6 we analize the free Klein-Gordon, Dirac, Spin
1, and Maxwell equations and we prove that the bilinears described previous_
ly are the most general conserved currents depending linearly or quadratically
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in a solution and its derivatives ( éven allowing for explicit de-
pendence on the variables). We also prove that the set of quadratic densities
suppiemented with some linear ones-aives aset of charges that characterize com-
pletely any solution.
2. BILINEAR CONSERVED CURRENTS
In this section we are going to discuss a bilinear identity whicli proves
very useful to find conserved currents. We i Ilústrate the power of the method
in a number of examples. •
Let L =2->-M(x) DM : U N — > UN be a linear differential map on UN (set
of vector-valued smooth functions u s (u ,.., u ) on the variable
x == (x° , x) 6TC n + 1). If u,v 6 UN5 a general i zation of the Lagrange identity
gives
I J + U " (LT Y ^. = D r /(-tL,^) , V < , j-y L (2.1)
where
nM,N,.. denoting mult i- indices, M -Z^^.et'~ > ^ 6 2 ^ > [M] being the combina-
o ' ' *torial number [M^ = iMj ! /f-1 ! ... M i and the symbol cy meaning that both mem
bers tnay differ in a divergenceless term. Note that J ~ ~ 0 > J r^o (de_n_
sity equivalent to zero).
Corollary.
I f Lu = L v = 0,the current in the r ight hand side of (2.1) is conserved.
The correspondíng density is equivalent to
C = ír P*
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ccwhere t = x and the variational derivative [10j must be compu-
0 5 (P , n u r )ted always as if v .¿vas independent of u and i ts derivatives.
In particular, if L < L, u is an arbitrary solution of Lu = 0 and A isany lineal differential operator that maintains stable the set of solutions ofLu = 0 (a sufficient condition for this s tabi l i ty is that [L,Aj = <*i(A)L, andin particularV[L,A] = 0) then v = Au is also a solution of Lv = 0 and thereforethe l . h . s . of (2.1) vanishes. The conserved currents J^(Au, L, u) with diffe-rent choices of A give a set of conserved densities (in many cases an infinitenumber) for the equation (or system of equations) Lu = 0.
Examples:
i) Free Klein-Gordon equation for a complex scalar field
N = 1, G ^3?r Dr = V - Z \ Z
oIn t h i s c a s e , i f we r e p l a c e L = i ( D + m ) in ( 2 . 2 ) we o b t a i n a c u r r e n t
e q u i v a l e n t t o
} (2-5
ii) Higher order Poincaré-invariant linear equations for a scalar field
HU) -A. =0 ( 2 . 6 )
f: "R — > H , N = 1, L = i f ( Q ) , L+ = -L. The following bilinear expression
is a conserved current
- (Dr ak (2.7)
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i i i ) Di rae equation
N = n+1 = 4, y- ^ D r . Let us take L = -i Y° (i y - m) = ^ L+ = -L. Then,the current
3 V , ¿ , u O = vyr a (2.9)
is conserved.
iv) Higher order Poincaré-invariant lineal equations for a spin y field
(2.10)
g,h : "R—> "R, N = n+1 = 4 (as 'W^ = Q there is no loss of generality inconsidering only equations linear in y ) .
If we apply the differential operator - ig(E3)X + h ( Q ) to (2.10) and
denote f(Q) = ( g(D)} D + {_h(Q)| > the components of the spinor u sa-tisfy an equation of the form (2.6). Therefore the currents (2.7) with two ar-bitrary components of u,v are conserved. We can include all of them in a singleexpression
zTs) A
where u = ü y and A is any constant complex 4 x 4 matrix. In the case of theusual Dirac equation in 3 + 1 dimensions we have proved that the set of conser-ved currents of the form (2.11) for a given solution u^and v arbitrary is equi_valent to the set of currents of the form (2.9).
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v) Vector field equation
= o 1
. - IThis system can be written out in the form Lu = 0 i f we take
(2.12)
v \su = / =-
O
0 0
. - . 0
- - - 0
. . . O-z
. - . i)
00
0
0
\\
i1
Note that in this case
\T -— I
I B ° \
f/and the adjoint equation, (L v)' = 0 is
rX O
o a-
0 o
o
(D " = 0
which is not of the form (2.12).
The conserved current in this case is
y'(<r L UL"> -• N . \
o
, o
O O
(2.13)
(2.14)
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vi) Klein-Gordon equation with an externa! scalar potential
• +V(x)) -A. = O (2.15)
The bilinear current (2.5) is again conserved in this case.
vi i) Klein-Gordon field minimally coupled to an externa! vector poten-
tial
{C ){ ce Arj + r^] <JL =0 (2.16)
where AT is a real transverse vector f i e ld , D AT = 0. Let us take
L = i í Q + m + 2 i e A D ^ - e A J . Then L = -L and the conserved b i l inear
current is
All previous examples correspond to linear equations, but the identity
(2.1) is also useful in the non-linear case,whenever we are able to express
the left hand side of the identity as the divergence of a vector. In general
this will not be feasible for two arbitrary functions u,v but it can be done
in many cases if v and u are suitably related. That allows us to find conser-
ved densities (in most cases a finite number of them, in contradistinction
with the linear case) without any reference to the Lagrangian formal ism and in
particular to Noether's theorem.
NLet us consider the equation Lu = F CuJ and an element v G U depending
on u through the relation v = G[uJ . The notation C 3 means that in general
the dependence is non-linear. The left hand side of (2.1) is then
5L<] H (G7C-])1" FW - (L+ b W ) ' u. (2.18)
If we can find an operator G such that g Lu] is of the form D I ^ P u j , Vu solu_
tion of Lu = FFu] , then automatically J ^ = j f - 1 P" (jF" the current in the
r . h . s . of (2 .1)) is a conserved current . The condition for gTu] to be a diver-
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gence is [10]
In particular, le t N=lsusv=G[u] and F[u] real ,L and G commuting linear ope_
rators and L .= L. Then
( u.) F oo -
and having in mind that
(b F[
then
3 O 3 = F C ^ 3 ( ú - G + ) ^ - P ^ k r ( 2 . 2 0 )
Therefore, gfu] is automatically a divergence if G = G, and the current
J -_ = j + ¡V is conserved. In many cases this current will be trivial, butí i
in others this simple method gives nontrivial conserved currents not easily ob-tained in other ways, as we shall see in the following examples.
viii) (• + m z ) ,x _ ^"(2.21)
N = 1, w s. S ^ D I),, u. , S a constant symmetric matrix.
2If we take L = Q + m , v s D w , then
•A (2.22)
Using eq.(2.21) a straightforward computation yields
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Dr ;
and therefore'the conserved current is
- ("O &„ U.) ( 1 \ w-J -+• w2 f u. Dv Dx a - ( p w.)(D^ ^-) i 1 (2.23)
ix)
R u , D t c j = o (2.24)
N = 1, u r ea l , F ( o c , ^ ) : "R x "R —•> "R
With the choice L = D » v = D-. u we obtain
This current is not conserved in general , but i t s divergence equals the diver-
gence of
where H(u,q) satisfies the following P.D.E.
<7 T c c ^
Therefore the currents
or- (2.26)
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(2.27)
a re conserved.
In many cases i t i s p o s s i b l e to so lve e x p l i c i t e l y ( 2 . 2 5 ) . Let g.,g_:"R—>TR
and def ine
Ki*,y) = - x / + 2 { 5 (x) y - g2OO? / _¿£_ _ 2U*h!íi (2.28)
Then for any arbitrary f: IR —=> "R,
F(u.,Du.) = "^Cg/^ Ouc - g2cu)) —-» H('A,Q^j - K(u, Q<*) (2.29)
;)—=^ H(u.,Du.; = - K m ^ , ^J (2.30)
This can be proved in the following way. If F(u, D u ) = f(g,(u) O u - g?(u)),
then the solution of (2.25) is (up to an arbitrary integration constant)
H(u, *; = / ¿ 3 ( (A + 2 3i£fi) qC9) _ lk^> | (2.31)
where q and z are related by the equation F(z,q) = 0. Let the constant A *
be one of the real roots of the algebraic equation f{\) = 0. Then
q = — ^ — is a solution of the equation f(g,(z)q - g9(z)) = 0. Repia-
cing this in (2.31), taking the constant A. out of the integral, replacing
back A = g,(u)q - g2(u) and after some trivial manipulations we obtain (2.29).
This expression does not depend on the form of the function f, and in particu-
lar on the valúes X . of the roots of f(A ) = 0 or even their number.
As an example, let
^) f í ; (2.32)
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In t h i s case the conserved c u r r e n t (2 .26) i s
LA.
J ) •-*-) •+ o. [ IJL -frix) — 2. I cí~ fr&) \ (2 33)o
the usual Energy-Momentum t e n s o r .
Equations ( 2 . 2 9 ) , ( 2 . 3 0 ) , or in general ( 2 . 2 5 ) , a re s p e c i a l l y useful in
those cases where i t can be very d i f f i c u l t to rep lace F(u, Uu) = 0 by an e x p l i -
c i t equat ion G u = f (u) or a s e t , f i n i t e or i n f i n i t e , of branches Qu = f . ( u )
( i f the a l g e b r a i c funct ion F(u ,q) = 0 has more than one s o l u t i o n q = f . ( u ) ) . In
these cases no Energy-Momentum tenso r can obtained in the usual way, by means
of Noether ' s theorem, and neve r the l e s (2.25) i s s t i l l a conserved t e n s o r .
x) A non- l inea r non-local Klein-Gordon equat ion with so lu t ion-dependen t
mass
( D + MaD<!,> ^ =O (2.34)
where M2C-3 = Px £ X y 9V s ícUx
Any bilinear current of the form
(2 .36)
is conserved. In particular the Energy-Momentum tensor (2.35) is conserved and2
therefore the mass M [u] is time independent.
xi) Klein-Gordon equation with externa! EM field and solution-dependentcharge
( O - <r,2 - 32 lXj AA AA ) u. - 2 ; QiXi Ax DA IK. (2.37)
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where
j = _lZlI r^ - " [^^/ us (2>38)
Any bilinear expression of the form
= .L (2.39)
is conserved. In particular, for v = u we obtain the conserved charge current,
whose integral is the time independent charge Q ful . The only difference of
the nonlinear equation (2.37) with the linear one (2.16) is that for each solu
tion u, the arbitrary constant e has been chosen in such a way that it coin-
cides with the time independent charge for this solution (equation (2.38)).
Another very useful method to find conserved densities is to construct
the most general tensor with a given number of Índices that depends on a func-
tion u (solution of some given equation) and its derivatives up to a given or-
der and then to check if such a tensor can be conserved. We shall show this in
the following example.
(2.40)
1, fx,f2: -R > -R
Let us consider second order tensors depending on u and DTu,
\ys-) G í«.,wX) + q ^ / ^ K ^ ^ j (2.41)
A trivial computation using (2.40) shows that the following tensor in this fa-
mily is conserved
(2.42)
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where
eccp [-
Note that equation (2.40) v/ith f~(u) ^ 0 is not directiy derivable from
a Lagrangian, or can be obtained in general from other Lagrangian equations
by a change of the function (for instance, if f,(u) = 0, eq. (2.40) cannot be
obtained from Q w = g(w) by a change w = w(u)).
3. CONSERVED DENSITIES FOR THE KLEIN-GORDON EQUATION
Lu s (•+ m2)u = O
Let us consider the density
¿° = ^* *t ~ 3 * "- (3.1)
where f,g: TCn —* £ and u is a solution of (2.4). Up to equivalence (i.e.
except for terms that are spatial derivatives and therefore give zero charge
when integrated upon) this is the most general density linear in a solution u
and its time derivative u,. Other dependences like Í^-VM. or T'- ziy» can be
reduced to the previous form by adding terms equivalent to zero.
2The density /o is conserved iff g = f and ( u + m )f = 0.
In fact
and therefore ,o, ~ o ^ a, . = f, o =, M _ « : > / _ ,The most general conserved current linear in u,u, is therefore equiva-
lent to
» •
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where v is an arbitrary solution of the K-G equation (2.4).
Exampies:
i) v = e~ , where k is a constant vector such that = m
(3.3)
The corresponding charge, Q(k) = / dnx J . is proportional to the Fourier trans_form u"(k) of the function u(x), defined as usually through the relation
~ C2T!)"'/2
•aloIn particular if m = 0 we can take k = 0 in (3.3) and we obtain
Replacing v in (3.2) we obtain conserved currents that generalize (3.3)
iü)
T2
where c» ,c0 are arbitrary constants, s= t* _ o.tan vector in 1+3 dimensions and
- a/' )i is a cons
I (y,)\
Replacing (3.5) in (3.2) we obtain two other independent families of conser-ved currents depending linearly on a generic solution u and its derivative u
- 141 -
iv) ID = O, V = X ^
The conserved current is
(3>6)
All the previous currents and an infinite number of other possible onesdepend not only on u and its derivatives but al so in the "external" solutionv. It can be argued that they are not entirely intrinsic to the solution u,even if as in (3.4) or (3.6) there are no arbitrary parameters "(the explicitdependence on the coordinates x cannot be used as an argument against thembecause it would disqualify also the angular momentum density). Anyhow, thetime independent charges obtained from these lineal currents allow us to checkthe quality of any numerical computation, and therefore they have at leastsome practica! interest.
The quadratic currents, where both u and v are linearly related to agiven solution <J> , are more interesting, because some of the correspondíngcharges are physically meaningful magnitudes, like Energy and Momentum, Angu-lar Momentum, Charge in the usual sense, etc.
If U is an element of the Poincaré Group (if m f 0) or an element of theConforma! Group (if m = 0 ) , and h is a solution of the Klein-Gordon equation,then U<j) is also a solution. In fact it is enough to consider only elementsof the enveloping algebra (of the Lie algebra) of the group.
Then we obtain the following local conserved quadratic currents
B^- (DrA^rai] (3>7)
cr 8f] (3.8)
L, Qj>c) = ' i í A f / p r e ^ - ÍD^A^f 8 4cj (3.9)
p r v Ó?C - c^A^r sv] (3tl0)
- 142 -
where A, B 6 C. (envoloping algebra of the symmetry group, Poincaré or Confor-
mal) and <pc denotes the charge conjúgate solution, which in the Klein-Gordon
case is simply the complex conjúgate, 4>coc) = f^Cx)
Many of these currents are trivial (<" > vanishing charge), for ins-
tance if B = 1 and A is the producto of an odd number of spatial derivatives
and an even number of time derivatives, but there is still an infinite number
of nontrivial«conserved currents of this kind. Note that A and/or B can con-
tain explicit dependences on the space-time variables ^ r (for instance if
A = i {xpPc- - Xe-Vp'l angular momentum generator, or in the case m = 0,
A = d = i(- y=- + x \ D ^ ), dilatation generator^or A = x d - - ^ x D ^ , genera-
tor of the special conforma! transformations). Therefore the conserved currents
with explicit dependence on x/*- are also included in 3.7-3.10.
Other conserved currents depending on a solution and its derivatives
(but not explicitely on the variables x T ) in v/ays other than linear or quadra_
tically could exist only if m = 0 and n = 1 (space time of dimensión l+l) [ll]
As a mater of fact, the set of charges
(3.12)
associated to (3.7) and (3.8) ((3.9) and (3.10) lead to charges that are just
complex conjúgate to the former ones) characterize almost completely a solution
d> (x) (the remaining ambiguity can be settled with at tnost two linear charges
suitable chosen).
Proposition.
If cj> ( 7 are two solutions of the Klein-Gordon equation, analytical vec-tors under the Poincaré group, then the sets of quadratic charges for both of
- 143 -
them are equal,
A A,<
± toí
iff X+(x) = £ cpj-u; ,where 4+(x) denotes the positive and negativefrequency parts of <J> (x) and x is a real constant.
Proof
Using the Fourier transforms of é and Aj>
j>(k) = <(A<£; f
Then, we have
The last equality is val id for al! A 6 J (enveloping algebra of the Poincarégroup) and therefore al so for any K 6 W*-algebra ÍPX generated by the Poinca-ré group. But the Poincaré group íP is disequivalently irreducible over thetwo sheets il +, fl and therefore the commutant of ÍP^ is of the form
/>a. \ ^. The commutant of the commutant, ¡y itself, is therefore of
the form / + j , where K+, K_ are arbi trary bounded opera tors in H^, (Hi 1 •
bert spaces of the positive and negative frecuency representations). Then,
V K.
±and therefore X + - e i>^ , *+ arbi trary real constants.
On the other hand, having in mind that (cj>cj^. = §Z and the previous re-
sul t , from the equal ity Q [&J = Ñ ÍXl we obtain
í<V
- 144 -
or equivalently
If Qn £?~J f 0 for some A (otherwise é = 0), then ¿ -f-oL = o (mod. 2ir),A,c ^
and therefore
In conclusión, if two solutions (j 1,/ of the K-G equation have the same
set of quadratic charges (3.11) and (3.12) then,
~Xíx)~ j c s i o í + ¿sin* (scjn Ho)j j>oc) ' (3.16)
where H is the Hamiltonian. The arbitrary phase =<: cannot be further determi-
ned with only these quadratic charges.
Now we are going to show how the aditional knowledge of at most a couple
of linear charges (in most cases only one is needed) is enough to fix a. and
therefore to determine completely the solution. Let us take the charge corres-
ponding to (3.3) with k = (m , 0)
= e / o(rx j^H-i'»^] oc ytm, o) = »+c^,o_)_ ij^.o) (3.17)
!,(DThen, Qv !Z$J = C3 L7C7J « +
and using the previous results we obtain
(3.18)
In general |<p+(^.o) j | <i>_i^,o)\ and therefore x = 0 =^ the solution Tí
coincides with j> . On the contrary , if j /'"••ijl = \^j^,o)j (as for ins-
tance when cj>(x) is real > 9>(k) = 4>^^"'<))' ei'ther ^ = 0 or
e = _ cp_o,o) / ^(mn.oj 5 anc¡ we might still have two solutions with the
same set of charges. In this case we can compare the charge (T corresponding
to the solutions (sgn H ) d> (x) = 9+(x) - <4>_(x), (sgn H ) ~X_ (x) =
= "X +u' - /£_(*) : if this charge also coincides, then X = j>
- 145 -
4. CONSERVED DENSITIES FOR THE DIRAC EQUATION
(4.1)
N = 4, n = 3. We sha!1 adopt Bjorken-Drell's conventions for the Y matrices
Any density linear in u is equivalent to
(4.2)
where w is some bispinor. If n is to be conserved,
where H = rn^¿>" ¿#M> is the free Dirac Hamiltonian. The necessary and suffi_
cient condition for o to be conserved in the case m f 0 (al 1 components of u
at a given time are independent) is then iw, = H w, i.e. w is a solution of
the Dirac equation. If m = 0 and u has a given helicity, for instance / s^= -^
the 4 components of u are not independent. But we can aiways repiace u^izZi^i
where u1 is now an arbitrary solution of the Dirac equation, and therefore eq.
(4.3) implies that -*XK */ is also a solution. No condition remains on the
projection illf , but its contribution to the density (4.2) vanishes.
In conclusión, the more general conserved current linear in a solution u
is
3r = (4.4)
where v is an arbitrary solution of the Dirac equation, that in the m = 0
case ought- to be of the same helicity that u (the densities with v and u of
opposite helicities vanish).
As in the Klein-Gordon case there is also an infinite number of cu-
rrents with explicit forms for v and linear in a generic solution u. We shall
not discuss them but shall focus our attention on the quadratic currents (v
obtained from u by means of some linear operator), where the spinor character
of the solutions enriches the results.
- 146 -
Given a solution u of (4.1), the most general linear di f ferent ia l opera_
tor without expl ic i t dependence on the variable xu_,that transforms u into ano_
ther solut ion, is of the form Cll^j
tf £ f J (4.5)
where a,b, a',b! are polynomials on the operators -iD with constant coeffi-
cients, Y- =( -» )> and the sign C , ~] denotes the anticommutator (this
guarantees that [A, H 1 = 0, in order to transform solutions into solutions),
Therefore A can be any linear combination, with coefficients that arepolynomials in -iD, of the following operators
where "p = - iD. These 8 generators form a finite algebra of dimensión 8 overthe ring of polynomials on the operator "p. Its Lie structure is
0 U ( O <g> SUC2) /g) 51^(2; ~ IAU) ®
The operators in (4.6) are elements of the enveloping algebra !? of thePoincaré group. This is not quite evident for the last ones, but a not too dj_ficult cal cu!us shows that
M - K A ? (4 .7 )
/ M + H o K A ^ j - ( n - p j ^ ( 4 . 8 )
—> »where M;K are the generators of the rotat ions and Lorentez boosts, respect i -
vely (M = L + 2-Z , K = t p - xH + ^ -7 ) , and the sign = means that l e f t and
r i g h t hand sides are equal over solut ions of the Dirac equation.
As a matter of fact ,operators l i k e (4.7) and (4 .8 ) , that transform solu_
t ions in to so lu t ions, ex is t not only fo r the Dirac equation but for any re ía -
- 147 -
tivistically covariant equation, and can be written down in general as
SH + K • A p, H [S H + K . A "p7 respectively, where S is the spin
momentum operator and K . is the spin contribution to K.
Again, we have arrived at the conclusión that we only need to consider
v = Au, A 6 & , a result that is val id for any spin, but nevertheles the ex-
plicitexpressjons (4.6)are useful because obviously it is much easier to handle
the l.h.s.'s of (4.7) and (4.8) that the corresponding r.h.s.'s. Also the li-
near independence of the conserved currents is easier to analize expressing A
in terms of the operators in (4.6) than in any other way .
The set of quadratic charges obtained in this way characterize almost
completely a solution. Namely, in the case m f 0
or equivalently
troc) - \ c « * * c ri««fs«»U V ucx) ^- 1 0)
L ~ * e3 HoJ¡ x)
The proof of (4.9) is based again on the irreducibility of the representations
of the Poincaré group in A± , as well as on their disequivalence, and it is
completely analogous to the proof for the Klein-Gordon case.
When m = 0 the presence of the spin brings in some complications. The
representations in ± are not irreducible (due to the coexistence of two he_
licities) and therefore
where Í - ± denotes the sign of the frequencies and 9 = - the sign of the
helicities.
The charge conjugation changes the helicity. Then
A,c A,c Q'f -£,~2
and there are still two arbitrary phases, ? , and s > that can be related
- 148 -
through the charges associated with ys-invariance.
The remaining phase (either for ni f 0 or m = 0) can be determined like in
the K-G case by using some additional linear charges. A solution u stands com-
pletely determined by this enlarged set of charges.
5. CONSERVED DENSITIES FOR THE SPIN 1 RELATIVISTIC EQUATIQN
(N = n+1). The transversal i ty of A r (D,A° = -D . A) implies that the most ge-
neral density linear in A^ , A ^ is equivalent to
e = r-\ - 3 T - * - ^ A ° (5.2
where f,g,h are functions of xr- . if this density is to be conserved
and therefore
The conserved density (5.2) is then equivalent to the zero component of
the current (2.14).
If (B r ,c) is a solution of (2.13), ( 3 ' , c>) = ( B r_^/ , c-(ü^^)f ) ,
with f an arbitrary function,is also a solution. The corresponding conserved
current is
The bracket is a also a conserved current, but if is equivalent to zero, and
therefore j' ~- J . If we choose f in such a way that c = c - (D^rA)f -o
- 149 -
we obtain a new solution (B r, 0) of the adjoint equations (2.13), for wich
the conserved current is equivalent to the original one.
In conclusión, the most general conserved current linear in A and
is equivalent to
J^--l'{ B; Dr AX - C D ^ B ; ) A X] (5.3)
where A P" is a solution of (5.1) and B is a solution of (D + m )B r = 0
(not necessarily transversal).
If m i 0, defining S r = 8 r - P ^ f with f = _ J_ p A B X ^ ( Q ^ ) f
we obtain ( Q J - ^ J S ^ ^ O , D^~&^ -o j" ^i . So, without loss of gene-
rality we can take in (5.3) both A ^ and B <" as solutions of (5.1). This Trans_
versal ity of B^ cannot be obtained in general in the case m = 0.
The analysis of the completitude of the set of quadratic charges is corn
pletely analogous to what we did in the case of Dirac's equation.
6. CONSERVED DENSITIES FOR THE FREE MAXWELL EQUATIONS
The analysis of the previous section with m = 0 and N = n + 1 = 4 is
valid in this case, but it is also desirable to have expressions in terms di-
rectly of the fields E , B, instead of in terms of the potential vector A .
Let us consider Maxwell equations
(6.1)
e, ,where
can be wri tten
- FJ°
down al
i
SO
r
asF
= o
= o
E -o(6.2)
- 150 -
The most general density linear in E ,B is equivalent to
e = S-E+ Ü- B (6.3)
If this density is to be conserved,
(6.4)
E - ( 5j + V
Due to the transversal i t y of E and B , this equivalence implies
t Í = Ve
where e,b are functions of x r . A change £ —^ ¿ '=. £'\\J-f y e —* e' = s + 3) f
HS> — * 3 ' = ¿3 ••" Vq J b —* b1 = b + Dj. gJprovides us wi th new solut ions to
(6.5) fo r which the conserved density i s equivalent to the previous one: there_
fore by a sui table choice of f and g we can always ar r ive at e' = b' = 0 . In
general the f i e l ds €", M' are not a so lut ion of the Maxwell equations
(they are not necessarily t ransversa l ) . Let us perform a new change
£ ' - £ - v - f j S" = 3¿ - ^ 3 where now f s g are such that A f = V • €>/
\/ff = 0, A g = V - 3 7 , Vq = o ( formal ly a so lut ion is f = — C?• s") ,
g = x ( ^ 7 - S ' ) . The new f i e l d s £ , 3" sa t i s fy Maxwell equations (6.2)—» —5
and give a conserved density equivalent to the one obtained for t . S .
In conclusión, the most general conserved current linear in E , B is
J ° = s • E - 3 • $_> _, ^ ^ ^ (6.6)
where both (E , B) and ( £ , 3 ) are solutions of the Maxwell equations.
- 151 -
In order to obtain conserved currents quadratic in (E,B), let us see
how, given a solution of (6.2), we can get now solutions depending linearly
on it. Let
where O ^ is antisymmetric in M.*-»¿J and & <£-* c- . The elements of
G u can be'in general functions of - i D.
I f G ü is to satisfy D ^ G ^ = 0, then
^iMootr - ^ F<°°~ _ o y pp— such that T>p pC^-o
and therefore
where A,E are functions of - iD, and so,
r^ ~- A (A solution to this equation is
Any other solution w i l l d i f fer from (6.8) in a term /Vu_, _ such that
^ • But this implies that N ^ f r = ¿? and therefore (6.G) is the
most general linear operator without exp l ic i t x dependence transforming solu-
tions of D F^ t f i n to new solutions. The tensor G , is then
(6 .9)
a linear combination of F , F . with coeficients A,B that are functions
of -iD. Note that ? r i J = 2A F ^ + 2B f _, and therefore D^ G = 0, and
G is a solution of Maxwell equations (6.1).
- 152 -
REFERENCES
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[2] 0. Rosen, Int. J. Theor. Phys. 4_, 287 (1971), Ann. Phys. 69_, 349 (1972)82_, 54 (1974), 82_, 70 (1974).
[3] L. Martínez Alonso, Lett. Math. Phys. 3_, 419 (1979).; An. Fis. 75., 33
(1979).
[4] H. Steudel, Phys. Lett. 50A, 133 (1974); Ann. Phys. (D.D.R.) 32_, 205,445, 459 (1975).
[5] A. Galindo, An. Fis. 75_, 81 (1979).
[6] D.M. Lipkin, J. Math. Phys. 5_, 696 (1964).
[7] T.W.B. Kibble, J. Math. Phys. 6_, 1022 (1965).
[8] D. Lurié, Y. Takahashi and H. Umezawa, J. Math. Phys. 7_, 1478 (1966).
[9] T. Tsujishita, Conservation laws of free Klein-Gordon Fields, preprintInst. Adv. Stud., Princeton, 1979.
[10] A. Galindo and L. Martínez Alonso, Lett. Math. Phys. 2_, 385 (1978).
[llj A. Galindo and L. Abel!anas, Conserved densitites for linear evolutionsystems, to be published.
J . E . N . 504
Junta de Energía Nuclear. Madrid.
"Algunas contribuciones en Física no-lineal: Proble-mas matemáticos".
Memoria presentada por la Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas (
de la Universidad Complutense de Madrid, (i981) 152 pp. 97 refs.
Los principales resultados contenidos en esta Memoria son los siguientes:
i ) Validez de la universalidad lagrangiana en sentido débi l .
1i) Determinación de las ecuaciones polinomicas de evolución de 5Q orden con leyes
de conservación de alto orden.
i i i ) Formulación hamiltoniana de una clase amplia de ecuaciones no-lineales de evo-
lución.
iv) Algunas propiedades de las simetrías de sistemas t ipo Gardner.
v) Caracterización del rango y el núcleo de i / ¿ u , | « i i - 1
J.E.N. 504
Junta de Energía Nuclear. Madrid.
"Algunas contribuciones en Física no-lineal: Proble-mas matemáticos".Memoria presentada por la Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas
de la Universidad Complutense de Madrid. (1981) 152 pp. 97 refs.
Los principales resultados contenidos en esta Memoria son los siguientes:
i ) Validez de la universalidad lagrangiana en sentido débi l .
11) Determinación de las ecuaciones polinomicas de evolución de 5e orden con leyes
de conservación de alto orden.
111) Formulación hamiltoniana de una clase amplia de ecuaciones no-lineales de evo-
lución.
Iv) Algunas propiedades de las simetrías de sistemas t ipo Gardner.
v) Caracterización del rango y el núcleo de SI Su , | < x | " 1 .
J . E . N . 504Junta de Energía Nuclear. Madrid.
"Algunas contribuciones en Física no-lineal: Proble-mas matemáticos".Memoria presentada por la Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas^
de la Universidad Complutense de Madrid. (1981) 152 pp. 97 refs.
Los principales resultados contenidos en esta Memoria son los siguientes:
i ) Validez de la universalidad lagrangiana en sentido débi l .
11) Determinación de las ecuaciones polinomicas de evolución de 5B orden con leyes
de conservación de alto orden.
i1 i ) Formulación hamiltoniana de una clase amplia de ecuaciones no-lineales de evo-
lución.iv) Algunas propiedades de las simetrías de sistemas t ipo Gardner.
v) Caracterización del rango y el núcleo de £ / ¿ u , , Jo< | - 1 .
J.E.N. 504Junta de Energía Nuclear. Madrid.
"Algunas contribuciones en Física no-lineal: Proble-mas matemáticos".
Memoria presentada por la Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas
de la Universidad Complutense de Madrid. (1981) 152 pp. 97 refs.
Los principales resultados contenidos en esta Memoria son los siguientes:
i ) Validez de la universalidad lagrangiana en sentido débi l .
11) Determinación de las ecuaciones polinomicas de evolución de 52 orden con leyes
de conservación de alto orden.
111) Formulación hamiltoniana de una clase amplia de ecuaciones no-lineales de evo-lución. ,
Iv) Algunas propiedades de las simetrías de sistemas t ipo Gardner.v) Caracterización del rango y el núcleo de £ I $ u , , \oi | - 1 .
vi) Un método variacional generalizado: Aplicación al oscilador anamónico.
v i l ) Aproximación quasi-clásica y corrección re la t iv is ta al oscilador anarmónico.
v l i i ) Propiedades de una clase especial de osciladores anarmónicos de 6a orden,
ix) Un nuevo método para construir densidades conservadas en PDE.
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES: F51. Nonlinear problems. Mathematical models.
Equation of motion. Lagrangian equations. Polynomials. Hamiltoniare. Conservation laws.
Variational methods.
vi ) Un método variación generalizado: Aplicación al oscilador anamónico.
v i l ) Aproximación quasi-clásica y corrección re la t iv is ta al oscilador anarmónico.
vi 11) Propiedades de una clase especial de osciladores anarmónicos de 6e orden,
ix) Un nuevo método para construir densidades conservadas en PDE.
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES: F51. Nonlinear problems. Mathematical models.
Equation of motion. Lagrangian equations. Polynomials. Hamiltonians. Conservation laws.
Variational methods.
v i ) Un método variacional generalizado: Aplicación al oscilador anamónico.
v i l ) Aproximación quasi-clásica y corrección re la t iv is ta al oscilador anarmónico.
vi 11) Propiedades de una clase especial de osciladores anarmónicos de 6S orden.
Ix) Un nuevo método para construir densidades conservadas en PDE.
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES: F51. Nonlinear problems. Mathematical models.
Equation of motion. Lagrangian equations. Polynomials. Hamiltonians. Conservation laws.¡
Variational methods.
v i ) Un método variación generalizado: Aplicación al oscilador anamónico.
v i l ) Aproximación quasi-clásica y corrección re la t iv is ta al oscilador anarmónico.
v i i i ) Propiedades de una clase especial de osciladores anarmónicos de 6e orden.
ix) Un nuevo método para construir densidades conservadas en PDE.
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES: F51. Nonlinear problems. Mathematical models.
Equation of motion. Lagrangian equations. Polynomials. Hamiltonians. Conservation laws
Variational methods.
J.E.N. 504
Junta de Energía Nuclear. Madrid.
"Some contributions to non-linear physics: Mathema-tical problems".
Memoria presentada por la Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas*
de la Universidad Complutense de Madrid. (1981) 152 pp. 97 refs.
The main results contained 1n this report are the followlng:
i ) Lagrangian universality holds in a precisely defined weak sense.
i i ) Isolation of 5th order polynomial evolution equations having high order conser-
vation laws.
i i i ) Hamiltonian formulation of a wide class of non-linear evolution equations.
1v) Some properties of the symmetries of Gardner-11 ke systems.
v) Characterization of the range and Kernel of SIS u ^ , |o¿ | - 1 .
vi) A generalized variational approach and applicatlon to the anharmonic osci l lator .
J.E.N. 504
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"Some contributions to non-linear physics: Mathema-tical problems".Memoria presentada por l a Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas
de l a Universidad Complutense de Madrid. (1981) 152 pp- 9? refs.
The main results contained In th is report are the fol lowing:
i ) Lagrangian universality holds in a precisely defined weak sense.
i i ) Isolation of 5th order polynomial evolution equations having high order conser-
vation laws.
i l i ) Hamiltonian formulation of a wideclass of non-linear evolution equations.
iv) Some properties of the symmetries of Gardner-1ike systems.
v) Characterization of the range and Kemel of SI Su^ , I * I - 1 .
vi) A generalized variational approach and application to the anharmonic osci l lator .
J.E.N. 504
Junta de Energía Nuclear. Madrid."Some contributions to non-linear physics: Mathema-
tical problems".Memoria presentada por la Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicasde la Universidad Complutense de Madrid. (1981) 152 pp. 97 refs.
The main results contained In th is report are the fol iowingj1) Lagrangian universality holds In a precisely defined weak sense.
i i ) Isolation of 5th order polynomial evolution equations having high order conser-vation laws.
i l i ) Hamiltonian formulation of a wide class of non-linear evolution equations.
1v) Some properties of the syininetries of Gardner-1 Ike systems.
v) Characterization of the range and Kernel of i / í u , |<*'| - 1 .
vi) A generalized variational approach and application to the anharmonic osci l lator.
J.E.N. 504
Junta de Energía Nuclear. Madrid.
"Some contributions to non-linear physic: Mathema-tical problems".Memoria presentada por la Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicasde la Universidad Complutense de Madrid. (1981) 152 pp. 97 refs.
The main results contained In th is report are the fol lowing:i ) Lagrangian universality holds in a precisely defined weak sense.
11) Isolation of 5th order polynomial evolution equations having high order conser-
vation laws.
i l i ) llamlltonian formulation of a wide class of non-linear evolution equations.
Iv) Some properties of the symmetries of Gardner-like systems.
v) Characterization of the range and Kernel of SIS u t, , | ~<\ » 1 .
vi) A generalized variational approach and application to the anharmonic osci l lator.
0tI9
•
» vil) Relativistic correction and quasi-classical approximation to the anharmonici osclilator.¡ v i l i ) Properties of a special class of 6th-order anharmonic oscillators.} ix) A new method for constructing conserved densities in PDE.J! INIS CLASSIFICATiON AND DESCRIPTORS: F51. Nonlinear problems. Mathematical models.
, Equation of motion. Lagrangian eqiiations. Polynomlals. Hamiltónians. Consorvation
¡ laws. Variational methods.
!
¡ _i _ _ _ _ _ _ _ |
i v i l ) Relativistic correction and quasi-ciassical approximation to the anharmonic
¡ oscil lator.1 v i l i ) Properties of a special class OT 6th-order anharmonic oscil lators.
i ix) A new method for constructing conserved densities In PDE,
¡ INIS CLASSIFICATION AND KSCRIPTORS: F51. Nonlinear problems. Mathematical models.1 Equation of motion. Lagrangian equations. Polynomials. Hamiltónians. Conservatlon
i laws. Variational methods.
v i l ) Relativistic correction and quasi-classical approximation to the anharmonic
! oscil lator.
v i i i ) Properties of a special class of 6th-order anharmonic oscil lators.
ix) A new method for constructing conserved densities in PDE.
INIS CLASSIFICATION AND DESCRIPTORS: F51. Nonlinear problems. Mathematical models.
Equation of motion. Lagrangian equations. Polynomials. Hamiltónians. Conservatlon
laws. Variational methods.
v i i ) Relativistic correction and quasi-classical approximation to the anhannonic
oscil lator.
v i l i ) Properties of a special class of 6th-order anharmonic oscil lators.
Ix) A new method for constructing conserved densities In PDE.
INIS CLASSIFICATION AND ESCRIPTORS: F51. Nonlinear problems. Mathematical models.
Equation of motion. Lagrangian equations. Polynomials. Hamiltónians. Conservatlon
laws. Variational methods.