contribution a la modelisation des enroulements du

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J .M. MOUTSAMBOTE et al Ann. Univ. M. NGOUABI, 2011-2012 ; 12-13 (4)

Annales de l’Université Marien NGOUABI, 2011-2012 ; 12-13 (4) : 47-60Sciences et Techniques

ISSN : 1815 – 4433www.annales-umng.org

CONTRIBUTION A LA MODELISATION DES ENROULEMENTSDU TRANSFORMATEUR A TROIS ENROULEMENTS

M. GOGOM, T. MOFFO, El TOKOH, J. NGUNDAM

Automation and Control Laboratory, Ecole Nationale Supérieure Polytechnique,

BP 8390, Yaoundé, Cameroun, Email: [email protected]

RESUME

Cet article propose un modèle simple etréduit du transformateur à troisenroulements qui supprime le nœud fictifcréé dans le modèle existant pour lesbesoins de calcul de répartition de charge.Notre objectif est de réduire la taille desmatrices et des équations du réseau pourla précision des résultats du load flow.L’approche proposée est testée sur leréseau électrique congolais et les résultatssont excellents et fiables.

Mots-clés : Transformateur à troisenroulements ; Modélisation desenroulements ; Nœud fictif et load flow.

ABSTRACT

This article proposes a simple and reducedmodel of the three-winding transformerwhich cancels the virtual node created inthe existing model in order to compute theload flow. Our purpose is to reduce thepower system’s equations and matrices inorder to bring load flow’s results moreaccurate. The proposed approach isapplied on the Congolese power systemand the results are good and reliable.

Key words: Three-Winding Transformer;Winding Modeling; Virtual Node andLoad Flow.

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M. GOGOM et al Ann. Univ. M. NGOUABI, 2011-2012 ; 12-13 (4)

INTRODUCTION

L’analyse du comportement des réseauxélectriques exige le calcul de répartition descharges classique. Ce calcul permet de disposerles flux de puissance et les pertes à travers lesouvrages de transit d’une part, et les modules etphases de tension aux nœuds d’autre part. Lesrésultats obtenus sont utiles pour le planningd’exploitation, le contrôle-commande et d’autresapplications telles que le calcul des courants decourt circuit et des régimes transitoires.Cependant, force est de constater que, beaucoupde réseaux électriques sont dopés destransformateurs à trois enroulements connectés ensérie avec les lignes de transmission, dont lamodélisation est obtenue en créant un nœud fictif.La création de ce nœud supplémentaire à chargenulle pose d’énormes problèmes, notamment :

- L’augmentation du volume du travail traduitepar l’augmentation du nombre d’équationsnon linéaires et la taille des matricesd’admittances et jacobienne. Par exemple,pour un transformateur à trois enroulements,connecté dans un réseau électrique, il y a deuxéquations non linéaires supplémentaires , unecolonne et une ligne qui s’ajoutent pour lamatrice d’admittances d’une part, deuxcolonnes et deux lignes qui s’ajoutent pour lamatrice jacobienne d’autre part [6] ;

- Le manque de sens physique d’une desimpédances des enroulements primaire,secondaire ou tertiaire, obtenue par calculavec le signe négatif ; alors que parconvention cette impédance de signe négatifprend la valeur nulle, rendant incompatible lesprogrammes informatiques.

A cet effet, le calcul de répartition decharges classique dans les réseaux électriquesréalisé grâce aux programmes informatiques trèsréputé pour ce genre d’opérations est assujetti auxerreurs, dont le taux est considérable.

En effet, une approche a été proposée [6].Elle consiste à réduire la taille de matricesd’admittances par la méthode du pivot de Gauss.De cette manière le nœud fictif est supprimé, leséquations aux nœuds du réseau et la taille desmatrices d’admittance et jacobienne sont réduites.

Malgré cette approche, le problème de lanégativité d’une des impédances des enroulements

du transformateur reste entier et est sujet desdoutes. Le fait d’affecter la valeur nulle à cetteimpédance négative continue à générer les erreursdans les calculs et ne permet pas aux programmesinformatiques de bien tourner et fournir lesrésultats fiables.

Dans ce document, un modèle appropriédu transformateur à trois enroulements en régimepermanent du réseau électrique est proposé poursimplifier l’écriture de ces programmesinformatiques et rendre plus fiables les résultats.Ce modèle supprime le nœud fictif et réduit parconséquent la taille des matrices d’admittances etjacobienne d’une part, et le nombre d’équationsnon linéaires aux nœuds du réseau électriqued’autre part. Les impédances utilisées dans lesdifférents programmes de calcul sont obtenuesexpérimentalement et approuvées par les calculs[5].

L’objectif visé dans cette étude est dedévelopper un modèle simple et réduit dutransformateur à trois enroulements qui garderaitla même configuration du réseau électriqueconsidéré afin de minimiser le volume du travail,de réduire les erreurs de calcul et de faciliterl’écriture et l’exécution des programmesinformatiques.

I. - MODELE A NŒUD FICTIF

1. Principe du transformateur a troisenroulements

Un transformateur à trois enroulementsest constitué d’un enroulement primaire et dedeux enroulements secondaires. Il peut êtremonophasé ou triphasé et permet de transférer dela puissance entre trois niveaux de tension. Lesens du transfert de la puissance dépend de ce quiest connecté (générateur ou récepteur).Contrairement à un transformateur à deuxenroulements, dont la puissance nominale quientre par l’un ressort par l’autre aux pertes près,dans le transformateur à trois enroulements, lespuissances nominales des divers enroulementssont généralement différentes.

Nous représentons schématiquement à lafigure 1 les transformateurs à trois enroulementsmonophasé et triphasé.

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a) monophasé b) triphasé

Figure1 : Transformateur à trois enroulements

Avec :

1 : noyau magnétique

2 : enroulement primaire

3 : enroulement secondaire (1)

4 : enroulement secondaire (2) ou tertiaire

, et sont les nombre de spiresrespectivement aux primaire, secondaire ettertiaire

, et sont les trois phases du primaire

, et les trois phases du secondaire

, et les trois phases du tertiaire

1.1. Lignes de champ et flux magnetique

Cas du transformateur monophasé a troisenroulements

Les lignes de champ magnétique

créées par les courants , et sontesquissés à la figure 2. Comme l’indiquelafigure, la majeur partie de ces lignes sontontenues dans le noyau magnétique et coupentles trois enroulements. Cependant, certaineslignes de champ se ferment à l’extérieur dunoyau en ne coupant les spires que d’un seulcoté de l’enroulement.

Notons par , et les fluxtotaux embrassés respectivement par lesenroulements primaire, secondaire et tertiaire

et par le flux mutuel à la section droite dunoyau magnétique. Ce flux est lié aux courants

, et par la relation [1, 7, 13] :

(1)

Où est la reluctance du noyaumagnétique.

Compte tenu de l’existence des deuxtypes de lignes de champ, on peut

décomposer , et en :

(2)

50


En combinant l’équation (1) et le système (2),on obtient :

Posons maintenant :

(3)

On obtient :

Avec :

; ; et .

; et

(4)

; et

; et

Le système (4) ci-dessus peut s’écrire sous laforme matricielle ainsi qu’il suit :

(5)

Cas d’un transformateur triphase a troisenroulements

Le schéma de base d’un transformateurtriphasé à trois enroulements est le même qu’à la

figure 1.b. Les bornes ; etappelées phases constituent l’enroulement

primaire, tandis que , et

puis , et constituentrespectivement les enroulements secondaire ettertiaire.

Lorsque le transformateur triphasé à troisenroulements est supposé symétrique, les étudesdes lignes de champ et du flux qui en résulte dupassage du courant peuvent portées sur un seulnoyau, faisant office d’un transformateurmonophasé à trois enroulements. En effet, onretrouve les mêmes phénomènes et surtout lamême équation matricielle de flux pour une phaseet dont les deux autres seront les mêmes,

seulement décalées de .

51


1.2. Tensions aux bornes des enroulements

Cas d’un transformateur monophasé a troisenroulements

Figure 2 : Schéma indiquant le sens des lignes

Champ magnétique

Les courants , et qui circulent danschaque enroulement du transformateur sont

liés aux tensions , et aux bornesde ses enroulements par les relations (1), (4)et (5):

En combinant les équations (4) et (6), nous obtenons :

(6)

(7)

Cas d’un transformateur triphase a troisenroulements

Lorsque le transformateur triphasé àtrois enroulements est supposé équilibrer,l’examen des tensions aux bornes desenroulements peut être porté sur un seulnoyau magnétique comme dans le cas desétudes des lignes de champ et du fluxmagnétiques.

En effet, nous retrouvons les mêmesexpressions de tension aux bornes desenroulements pour chaque phase. Parconséquent, chaque phase peut être considéréecomme un transformateur monophasé.

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2. Modèle à nœud fictif

Le modèle à nœud fictif est le modèleexistant et couramment utilisé dans lesprogrammes informatiques. Il est déduit dusystème d’équations (7). En examinantchaque équation du système, on obtientaisément le schéma représenté à la figure 3(équations 5 et 6).

En effet, les impédances , et ,chacune considérée dans sa base de tension,sont utilisées dans l’écriture des programmes

informatiques à l’instar de celles des lignes de

transmission et le point fictif est un nœud decharge nulle.

2.1. Relations entre courants et tensions

Exprimons d’abord les relationsexistant entre les courants et tensions. Entenant compte des sens du courant indiquéssur la figure 3, on a (équation 6):

La forme matricielle de ce systèmed’équations est donnée par:

(8)

2.2. Equations d’écoulement de puissance

(9)

Les équations d’écoulement de flux de puissance pour ce modèle sont donnéespar :

(10)

53


Après le développement et séparation enpuissances active et réactive, nous obtenons :

;

;

;

;

;

;

;

Avec :

; et

II. - MODELE PROPOSE

;

secondaire et au tertiaire tel que c’estreprésenté à la figure 4 (équations 4 et 5).

Le modèle proposé est le modèle à deuxtransformateurs. Il est déduit du modèle ànœud fictif. Il est réduit le volume dutravail et permet de gagner en temps et deminimiser les erreurs de calcul. A partir duschéma de la figure 3, on ramène lesimpédances des enroulements secondaire ettertiaire au primaire ou on ramènel’impédance du primaire respectivement au

1. Relations entre courants et tensions

Lorsque l’impédance du primaire est ramenéerespectivement aux secondaire et tertiaire; lescourants primaire, secondaire et tertiairepeuvent s’exprimés en fonction des tensions àces bornes ainsi qu’il suit (équations 6, 8 et10):

(13)

54


Ce système sous la forme matricielle s’écrit :

(14)

Les équations d’écoulement de puissance à chaque nœud sont définies par lesrelations ci-après :

(15)

Après avoir développé et séparé en puissances actives et réactives les expressions15, on obtient :

;

Avec :

;

;

;

;

.

; et

Lorsque les impédances du secondaireet du tertiaire sont ramenées au primaire; les

courants primaire, secondaire et tertiairepeuvent s’exprimés en fonction des tensions àces bornes ainsi qu’il suit:

(17)

55


La forme matricielle de ce système estdonnée par l’expression ci-après :

2. Equations d’écoulement de puissance

(18)

Les équations d’injection et d’absorption des puissances sont paranalogie :

(19)

Le développement et la séparation en puissances actives et réactives de ceséquations donnent :

;

;

;

;

;

.

Avec :

.

Nous remarquons que les systèmes 12, 16et 20 sont des systèmes d’équations non linéaires,par conséquent, elles doivent être résolues

itérativement par la méthode de Newton-Raphsonou de Gauss-Seidel.

56


Figure 3 : Modèle à nœud fictif

Où , et sont les tensions respectivement aux primaire, secondaire et tertiaire ;

Les branches , et représentent, respectivement, les enroulements primaire,

secondaire et tertiaire, et font office des lignes de transmission, étant le point fictif.

est l’impédance complexe de l’enroulement primaire définie par ;

est l’impédance magnétisante complexe définie par ;

est le transformateur idéal primaire-secondaire ;

est l’impédance complexe de l’enroulement secondaire définie par ;

est le transformateur idéal primaire-tertiaire ;

est l’impédance complexe de l’enroulement tertiaire définie par .

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Figure 4 : Modèle à deux transformateurs :

a) Paramètres ramenés au secondaire et au tertiaire b) Paramètres ramenés au primaire.

est l’impédance magnétisante, gardant la même valeur que précédemment ;

et sont respectivement les transformateurs idéaux primaire-secondaire et primaire-tertiaire ;

est l’impédance ramenée au secondaire définie par :

;

est l’impédance ramenée au tertiaire définie par :

;

Lorsque les paramètres sont ramenés au primaire :

, et sont les mêmes ;

est l’impédance du primaire lorsque l’impédance du secondaire est ramenée au primaire:

;

est l’impédance du primaire lorsque l’impédance du tertiaire est ramenée au primaire :

;

En effet, ce sont ces impédances et ou et qui sont utilisés pour écrire lesprogrammes informatiques à l’instar de celles des lignes de transmission.

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4

3

2

21 20 191

22 17

2324 26

2527

18 5

16

68 9 10

7 11

28 1315 14 12

29 30

Figure 5 : Réseau électrique congolais interconnecté 30 nœuds

III. - SIMULATIONS ET RESULTATS

Le test de validation de notre approche estfait sur le réseau électrique congolaisinterconnecté. Ce réseau comporte trente nœuds;vingt trois lignes de transmission ; cinqtransformateurs montés en série avec les lignes detransmission, dont trois à trois enroulements etdeux à deux enroulements.

Le réseau électrique congolaisinterconnecté est représenté à la figure 5, il estparfaitement modélisé et tous les paramètres sont

exprimés en pu. Les transformateurs à troisenroulements sont modélisés de deux façons pourles besoins de comparaison. Nous simulonsl’ensemble du réseau électrique congolais,d’abord lorsque tous les transformateurs à troisenroulements sont modélisés en ajoutant un nœudfictif et en suite nous le simulons également dansle cadre de l’approche proposée.

Au regard de la nature non linéaire deséquations d’écoulement de flux de puissance,nous utilisons l’algorithme itératif de NewtonRaphson pour le calcul de répartition de charges

59


classique à cause de sa précision de calcul parrapport celui de Gauss-Seidel. Cet algorithme estimplémenté dans l’environnement Matlab.

Les résultats de simulations de deuxmodèles du transformateur à trois enroulements

sont présentés dans le tableau I et exprimés en pu.Dans ce tableau, nous faisons ressortir les tensionsaux bornes de chaque enroulement et les pertesdans le transformateur. Nous avons fait le test surles transformateurs à trois enroulements raccordésrespectivement aux nœuds : 8-9-10 ; 18-19-20 et24-25-26.

Tableau 1 : Comparaison des résultats de simulation du réseau compensé

nœuds V1 V2 V3 Pt Qt

Nœud

fictif

Deux

transf

nœudfictif

deuxtransf.

nœudfictif

deuxtransf.

nœudfictif

deuxtransfo

nœudfictif

deuxtransf.

8-9-10 1.0182 1.0177 0.9929 0.9824 0.9947 1.0207 0.0008 0.0006 0.0238 0.0210

18-19-20 1.0211 1.0213 1.0203 1.0080 1.0140 1.0060 0.0003 0.0002 0.0085 0. 0057

24-25-

26

0.9723 0.9882 0. 9451 0. 9566 0. 9452 0. 9955 0.0009 0. 0004 0.0162 0. 0067

CONCLUSION

Le tableau ci-dessus, dans lequel sontprésentés les résultats de simulations justifiebien l’approche proposée. Les tensionsprimaire, secondaire et tertiaire et les pertestotales pour chaque transformateur à troisenroulements sont en duo. D’abord, les valeursde tensions pour le modèle à nœud fictif et ensuite les valeurs de tensions pour le modèleproposé. D’après ce tableau, nous remarquonsque :

Les écarts de tensions entre les deuxméthodes sont de quelques centièmes prèsd’une part, et les pertes totales dans letransformateur pour l’une ou l’autre méthodes’écartent de quelques millièmes près d’autrepart ;

Le modèle à nœud fictif convergepresqu’à 15 itérations pour une duréeapproximative de 16 secondes ; cependant, le

Ces imperfections sont dues :

- d’une part, à la mauvaiseappréciation d’une des impédancesdes enroulements dutransformateur, souvent de valeurnégative, adoptée comme nulle parconvention, entraînant enconséquence les erreurs de calcul ;

- d’autre part, à l’augmentation de lataille des matrices d’admittances etjacobienne, occasionnant un tempsde calcul important, malgré lenombre d’itérations réduit.

Dans le cadre de la recherche de laperformance, le modèle à deux transformateursest mieux indiqué par rapport au modèle ànœud fictif à cause de la précision des résultatset de la réduction du temps de calcul.D’ailleurs, cela est justifié part ladétermination expérimentale des impédances

modèle à deux transformateurs converge à 19itérations pour une durée relative de 12 ramenées Z12 , Z13 et Z23 ou Z21 , Z31 et Z32

secondes. plus aisée que celle des impédances Z1 ,


60

Z2 et Z3 de chaque enroulement qui sont9. Mathys P. et Prohoroff S., 2000. Modélisation

et simulation de transformateur pourdéduites des impédances ramenées ou une surtrois est de signe négatif perdant ainsi le sensphysique.

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