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s ♣r♦è♠s ♦♥trô qté sr q ♥♦s r♦♥s à rés♦r ♣♥têtr é♥s ♣r rr ♦r♦♥♥♥♠♥t t ♦♥trô ①ét♦♥ ♥ ♣♣t♦♥ sr ♥ ♠♥ ♠♦♥♦♣r♦ssr ♣tr ♣r♠ttr é♥r ♠♥èr♥ré♠♥t ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦♥sst à tr♦r ♥ ♦rr ①ét♦♥ ♥ ♥s♠ tâs ♦ t♦♥s ♥ rs♣t♥t rs ♦♥tr♥ts ♣réé♥ t t♠♣♦rs t②♣ éé♥ st ♥ ♣r♦è♠ s♠♣ t ♦♥♥ q ♣♦ssè éà ♥ ♦♥ ♥♦♠r s♦t♦♥s st♦♥ ♦s ♦♥s ét♥r ♥ ♦t♥t ♥ ♣r♠ètr qtéss♦é ① t♦♥s ♥s tt ①t♥s♦♥ ♥♦s ♦♥sérr♦♥s q s rés ①ét♦♥s t♦♥s s♦♥t ♦♥♥s tt ♣r♠èr ♣rt ♦♥♥r s ♥♦tt♦♥s ♠♣♦rt♥ts qsr♦♥t tsés t♦t ♦♥ ♠♥srt ♣r♠ttr ss ♦♥♥r s ss ♣r♦è♠ s♦s ♥rtt

♥ t ♥ ①è♠ ♣rt é♥r ♥ ①t♥s♦♥ ♣r♦è♠ ♥s q srés ①ét♦♥ ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s s r♣♣r♦ ♣s ♠♦♥ s ♣♣t♦♥s♠t♠é rés ♦ù ♣rétté ♦♠♣♦rt♠♥t ♥st ♣s ♣♦ss s rés①ét♦♥ sr♦♥t ♦r♥és ♣r s rs ♣rs t ♥♦s ♦♥sérr♦♥s q st ♣♦ss ♦♥♥îtr s rés ①ét♦♥ rés ♥ ♦s t♦♥ ①été ♦rrs♣♦♥♦♥ à ♥ ♣r♦è♠ ♦r♦♥♥♥♠♥t ♣r♠étré ②♥♠q ♦ ♦♥trô qté sr ♥s r s ♣♣t♦♥s ♠t♠é ♠rqés t résr ♥♦r♦♥♥♥♠♥t ré♣♦♥♥t à tr♦s ♣r♦♣rétés

♥ ♣r♦♣rété rt à sûrté ♦♠♠ rs♣t s éé♥s ♥ ♣r♦♣rété rt à ♦♣t♠té q st ①♣♦tt♦♥ ♦♣t♠ s rss♦rs

♥s t ♠①♠sr qté sr ♥ ♣r♦♣rété ♣r♦♣r ① ♣♣t♦♥s ♠t♠é q st ♦r ♥ rt♥ ré

rté ♥s ♦① s qtés❯♥ tr ♣rt sr ♦♥sré à é♥♦♥é s♦t♦♥ q été ♣r♦♣♦sé ♣♦r ré

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♣♦tq à ss ♠♥èr ♥ré♠♥t ♥ t ♥♦s ♦♠♠♥r♦♥s ♣r ♣r♦♣♦sr ♥♣♦tq ♦♥trô ssr♥t ♥q♠♥t sûrté tt ♣♦tq st ♥q♠♥t sé sr s rés ①ét♦♥ ♣rs t ♣♦ssè ♦♥ s ♠tt♦♥s ♥ q ♦♥r♥♦♣t♠té ♥st ♥♦s ♣r♦♣♦sr♦♥s ♥ ♣♦tq ♠é♥♥t s rés ①ét♦♥♣rs ♥ st♠t♦♥ s rés ①ét♦♥ ♠♦②♥♥s tt ♣♦tq ♣r♠ttr s r♣♣r♦r ♦♣t♠té t r♥tr sûrté s ♥♦s rr♦♥s s♠tt♦♥s q ♣t ♦r ♥ q ♦♥r♥ rérté s ♦① ♥ qté ♦s ♥r♦♥s ♣r ♣rés♥tt♦♥ ♣♦tq ♠①t q rés ♥ ♠é♥ s♦♠♣♦rt♠♥ts ♣rs t ♠♦②♥s ♦♣ ♣s ♥s t q ♣r♠t ♥s ré♣♦♥r♦♥♥♠♥t ♣r♦è♠ ♦♥trô qté sr q ♥♦s ♦♥s é♥

♦♥trô qté sr

Pr♦è♠ ♦♥trô qté ♣♦r s rés ①ét♦♥

♦♥♥s

♦s ♣rés♥t♦♥s ♥ ♣r♦è♠ ♦r♦♥♥♥♠♥t sr ♥ ♠♥ ♠♦♥♦♣r♦ssr st ♦r♦♥♥♥r ♥ ♥s♠ ♥ A tâs ♦ t♦♥s ♦♥t s rés ①ét♦♥ s♦♥t ♦♥♥s t ♣r♠étrés ♣r s ♥① qté Q s rés ①ét♦♥s♦♥t ♦♥♥és ♣r ♦♥t♦♥ C : A×Q→ R+ ♦rr ①ét♦♥ s t♦♥s st ♦♥tr♥t♣r ♥ r♣ ♣réé♥ G t s ts éé♥ s♦s ♦♥♥és ♣r ♦♥t♦♥D : A→ R+∪ +∞ és♦r ♣r♦è♠ r♥t à tr♦r ♥ ♦rr ①ét♦♥ ♠sss ♥ tt♦♥ qté q rs♣t s ♦♥tr♥ts ♣réé♥ t t q ♣♦rt♦t t♦♥ a s t tr♠♥s♦♥ s♦t ♥érr à s♦♥ éé♥ D(a)

♣r♦è♠

❯♥ r♣ ♣réé♥ st tsé ♣♦r érr ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t♦♥♥ ♣♣t♦♥ ♦ ♠♦és s é♣♥♥s ♥tr ss t♦♥s ♦♥t♦♥s ♥ à♣rtr sqs st ♣♦ss ①trr t♦s s ♦r♦♥♥♥♠♥ts ♣♦sss

é♥t♦♥ r♣ ♣réé♥

❯♥ r♣ ♣réé♥ st ♥ ♦♣ G = (A,≺) ♦ù A r♣rés♥t ♥s♠ s

t♦♥s t ≺⊆ A×A st ♥ ♦rr ♣rt sr A

sé♠♥tq r♣ ♣réé♥ G = (A,≺) é♥t ♥ s②stè♠ tr♥s

t♦♥ (S, A,−→) ♦ù S st ♥ ♥s♠ étts t −→⊆ S × A × S st ♥ rt♦♥

tr♥st♦♥ étqté é♥ ♣r

♥ étt si ⊆ A st ♥ ♥s♠ r♠é ♥ rrèr t♦♥s stàr ♣♦r t♦t

a1 ∈ si a2 ≺ a1 ⇒ a2 ∈ si

♣♦r ① étts si t sj ♥♦s ♦♥s sian−→ sj s si = a1, . . . , an−1 t sj =

a1, . . . , an−1, an

♦♥trô qté sr

❯♥ séq♥ t♦♥ a1 .. an st ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t G s n = |A| t s ①st

s étts s0 sn ts q s0a1−→ s1

a2−→ . . .an−→ sn ♦t♦♥s q s n = |A| ♥♦s ♦♥s

s0 = ∅ t sn = A

♦s r♣rés♥t♦♥s ♣r Σ(G) ♥s♠ s ♦r♦♥♥♥♠♥ts G ♦t ♥ étt

si−1 = a1, . . . , ai−1 G ♥ séq♥ t♦♥s ai .. an st ♥ ♦r♦♥♥♥

♠♥t à ♣rtr étt si−1 s ①st s étts si sn ts q n = |A| t

si−1ai−→ si

ai+1

−→ . . .an−→ sn ♦s r♣rés♥t♦♥s ♣r Σ(G, si−1) ♥s♠ s ♦r♦♥

♥♥♠♥ts à ♣rtr étt si−1 ♦t♦♥s q Σ(G, s0) = Σ(G)

♦♥t G = (A,≺) ♥ r♣ ♣réé♥ t A′ ♥ s♦s♥s♠ t♦♥s t q

A′ ⊆ A ♥♦s é♥ss♦♥s rstrt♦♥ G ♣r A′ ♣r G/A′ = (A′,≺ ∩(A′ ×A′))

①♠♣ ♦♥sér♦♥s r♣ ♣réé♥ G = (A,≺) ♥q t♦♥s A =

Quant, IQuant, IntraP, IDCT, Coding r r♣ ♣réé♥ st ♥

r♠♥t ♠♦è ♥♦r é♦ ♣rés♥té ♥s ♣tr

rt♦♥ ≺ st ♥ r♠tr tr♥st rt♦♥ =

(Quant, IQuant), (Quant, IntraP), (IntraP, Coding), (IQuant, IDCT) r♣rés♥té

sr r

Psq s = Quant, IntraP, Coding st ♥ ♥s♠ r♠é ♥ rrèr t♦♥s

st ♥ étt G t séq♥ IQuant IDCT st s ♦r♦♥♥♥♠♥t ♣♦ss à

♣rtr t étt séq♥ t♦♥s Quant IntraP Coding IQuant IDCT st ♦♥ ♥

♦r♦♥♥♥♠♥t G

Quant

IDCT Coding

IntraPIQuant

r ①♠♣ r♣ ♣réé♥

❯♥ s②stè♠ ♣r♠t ♠♦ésr ♥ ♣♣t♦♥ ♦ s①ét♥t sr ♥ ♣t♦r♠ s②stè♠ st r♣rés♥té ♣r ♥ r♣ ♣réé♥ é♥ss♥t ♥s♠t♦♥s ♦♥t st ♦♠♣♦sé s rés ①ét♦♥ s s♦♥t ♦♥♥s t ♣r♠étrés ♣r s ♥① qté P♦r ♥r q t♦♥ st ♦♥tr♥t ♣r ♥éé♥

é♥t♦♥ ②stè♠

❯♥ s②stè♠ st ♥ ♥♣t SY = (G, Q, C, D) ♦ù

G st ♥ r♣ ♣réé♥


Q = [qmin, qmax] st ♥ ♥tr ♥ ♥tr ♦rrs♣♦♥♥t ① ♥① q

té

C : A×Q→ R+ R+ r♣rés♥t ♥s♠ s rés ♣♦sts st ♥ ♦♥t♦♥ q

♦♥♥ ré ①ét♦♥ C(a, q) ♥ t♦♥ a ♣♦r ♥ ♥ qté q

♦s s♣♣♦s♦♥s q ♣♦r t♦t a ∈ A q 7→ C(a, q) st ♥ ♦♥t♦♥ r♦ss♥t

D : A → R+ ∪ +∞ st ♥ ♦♥t♦♥ q ♣♦r q t♦♥ a ♦♥♥ s♦♥

éé♥ D(a)

sé♠♥tq s②stè♠ SY é♥t ♥ s②stè♠ tr♥st♦♥ (S×R+, A×Q,−→)

t q

s étts s♦♥t ♦♥♥és ♣r s ♦♣s (si, ti) ♦ù si st ♥ étt G t ti ∈ R+ st

♥ r t♠♣s ♥♦s ♣r♥♦♥s t0 = 0 ♣♦r s0 = ∅

♣♦r ① étts (si, ti) t (sj , tj) ♥ t♦♥ a t ♥ ♥ qté q ♥♦s ♦♥s

(si, ti)a,q−→ (sj , tj) s si

a−→ sj ♥s G t tj − ti = C(a, q)

♦♠♣♦rt♠♥t s s②stè♠s ♣t rr s♦♥ ① ♣♦♥ts ♦r♦♥♥♥♠♥t st♦♥s ♠s ss ♦① s ♥① qté P♦r rstr♥r s ♦♠♣♦rt♠♥ts st ♥éssr tsr s ♦♥trôrs ♣r♠tt♥t érr ♦♠♣♦rt♠♥t s②stè♠t♦t ♥ rs♣t♥t s ♣r♦♣rétés sr s ♥① qté

é♥t♦♥ ♦♥trôr

❯♥ ♦♥trôr ♥ s②stè♠ SY = (G, Q, C, D) st ♥ ♦♥t♦♥ Γ : S × R+ → A × Q

q ♣♦r q étt (si, ti) ♦♥♥ ♥ t♦♥ ai+1 t s♦♥ ♥ qté qi+1 t q

①st (si, ti) t (si−1, ti−1)ai,qi−→ (si, ti)

SY ||Γ r♣rés♥t s②stè♠ ♦♥trôé ♦t♥ ♦♠♠ ♦♠♣♦st♦♥ s②stè♠

SY t ♦♥trôr Γ ♣♦ssè ♥ séq♥ ①ét♦♥ s♠♣ (si−1, ti−1)ai,qi−→

(si, ti) 1≤i≤|A| t q (ai, qi) = Γ(si−1, ti−1)

P♦r ♥ s②stè♠ SY = (G, Q, C, D) ♥ tt♦♥ qté st ♥ ♦♥t♦♥θ : A → Q q ♣♦r ♥ t♦♥ a ♦♥♥ s qté q ❯♥ ♦♥trôr Γ SY ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t a1 .. an t ♥ tt♦♥ qté θ ts q SY ||Γ ♣♦ssè ♥

séq♥ ①ét♦♥ (si−1, ti−1)ai,θ(ai)−→ (si, ti) 1≤i≤|A|

♥s ♣r♦è♠ ♦r♦♥♥♥♠♥t ♥ t s②stè♠ ♥♦s r♦♥s ♥♦♥ s♠♥t àrs♣tr s éé♥s ♠s ss à tsr ♠① s rss♦rs ♣r♠r♣♦♥t ♦rrs♣♦♥ rs♣t s ♦♥tr♥ts t♠♣s é♥s ♣r tstr ♥ q♦♥r♥ tst♦♥ s rss♦rs ♥♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ① ① rtèrss♥ts

♣r♠r ♦♥r♥ tst♦♥ ♣t♦r♠ q ♥♦s ♠sr♦♥s râ ① rés ①ét♦♥ séq♥ t♦♥s r♣rés♥t♥t s②stè♠ Psq s rés①ét♦♥ s♦♥t s ♦♥t♦♥s r♦ss♥ts ♥ qté ♥ s ♠①♠s♥t♥♦s ♠①♠s♦♥s ss s ♥① qté q s♦♥t ♦ss ♣r ♦♥trôr ♦ss♣♣♦s♦♥s ♣s q ♣rés♦♥ s trt♠♥ts t s q s♦♥t ♠♣é♠♥tés

♦♥trô qté sr

♥s ♣♣t♦♥ ♦rrs♣♦♥ ss à ♥ ♦♥t♦♥ r♦ss♥t s ♥① qté s♦♥ rtèr st rérté tt♦♥ qté ♥ ét♥t s t

t♦♥s s ♥① qté ♦ss ♣r ♦♥trôr ♥♦s r♦♥s à r♥tr ♥qté ♦♥st♥t s trt♠♥ts ♠s ♥ ♦r ♥s ♣♣t♦♥

é♥t♦♥ Pr♦è♠ ♦♥trô qté ♣♦r s rés ①ét♦♥ ♦♥♥s

♦t ♥ s②stè♠ SY = (G, Q, C, D) tr♦r ♥ ♦♥trôr Γ q ♥ ♦r♦♥♥♥

♠♥t a1 .. an t ♥ tt♦♥ qté θ ts q

♦♥trôr st sûr stàr s éé♥s s t♦♥s ♥ s♦♥t ♣s ♦és

q s♥ q ♣♦r q étt (si, ti) SY ||Γ ♥♦s ♦♥s D(ai) ≥ ti st

rtèr sûrté

t① tst♦♥ t t♠♣s st ♠①♠ stàr q ♣♦r

q ♦♥trôr sûr Γ′ tn ≥ t′n ♦ù tn rs♣ t′n st ré ①ét♦♥

r♥èr t♦♥ SY ||Γ rs♣ SY ||Γ′ st ♥ rtèr ♦♣t♠té

tt♦♥ qté θ st ♣s réèr ♣♦ss stàr q s t

t♦♥s s ♥① qté s♦♥t ♠♥♠s ♣r♠ s ♦r♦♥♥♥♠♥ts q ♠①

♠s♥t t① tst♦♥ t t♠♣s st rtèr rérté

①♠♣ ♦♥sér♦♥s s②stè♠ SY = (G, Q, C, D) ♦♥♥é ♣r r ♦s

♣r♥♦♥s Q = qmin, qmax ♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ C t ♥ éé♥ D

r

t♦♥ a C(a, qmin) C(a, qmax) D(a)

Quant +∞

IQuant +∞

IDCT D1

IntraP +∞

Coding D2

r ♦♥t♦♥s ré ①ét♦♥ C t éé♥ D

D(IDCT) = D1 = 180 t D(Coding) = D2 = 240 ♥ ♦♥trôr Γ ♥t ♥

♦r♦♥♥♥♠♥t Quant IntraP Coding IQuant IDCT t tt♦♥ qté θ = qmax

♥st ♣s sûr ♥ t ♦♥

C(Quant IntraP Coding IQuant IDCT, qmax) = 20 + 75 + 75 + 25 + 25 = 220

C(Quant IntraP Coding IQuant IDCT, qmax) > D(IDCT) = D1 = 180 .

❯♥ s♦t♦♥ ♣♦r ♣r♦è♠ ♦♥trô qté ♣♦r SY st ♥ ♦♥trôr Γ ♥t

♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t Quant IQuant IDCT IntraP Coding ♥ tt♦♥ qté

♦♥st♥t θ = qmax Psq s ♥① qté s♦♥t ♠①♠① ré ①ét♦♥

t♦t tn = 220 st ♠①♠ ♣s ♦♥trôr st sûr

C(Quant IQuant IDCT, qmax) = 170 ≤ D(IDCT) = D1 = 180 t

C(Quant IQuant IDCT IntraP Coding, qmax) = 220 ≤ D(Coding) = D2 = 240 .


♦♠♠ C : A ×Q → R+ st ♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♦♥♥ ♦♥trôrΓ ♣t êtr é sttq♠♥t ♥t♥♥t q s ss ♣r♦è♠ ♦♥trô qté ♦♥t été ♣♦sés ♥♦s ♦♥s ♣rés♥tr ♥ ♦rt♠ ♣r♠tt♥t r ♥♦r♦♥♥♥♠♥t a1 .. an t ♥ tt♦♥ qté θ q st ♥ s♦t♦♥ ♣♦r ♣r♦è♠ ♦♥trô qté

♦♥♣t♦♥ ♦♥trôr qté sr ♣♦r s rés ①ét♦♥ ♦♥♥s

♦s ♦♥s rés♦r ♣r♦è♠ ♦♥trô qté s♥s ♥rtt é♥t♦♥ ♥ ts♥t ♥ ♦rt♠ ♦♥trô ♦ r♥r st sé sr ♣r♥♣rst ♥ rst q ♦♥sst à ♦r♦♥♥♥r ♥ ♣r♦rté s t♦♥s ♦♥téé♥ st ♣s ♣r♦

♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s é♥r♦♥s ♣♦tq st♦♥ qté tp q ♣r♠t r♣rés♥tr ré ♥ séq♥ ①ét♦♥ ♣♦r ♥ ♥ qté ♦♥♥étt ♣♦tq ♥♦s ♣r♠ttr étr♠♥r s séq♥ ①ét♦♥ st sûr ♥s t♠♣s q rst à ♣♣t♦♥ ♣♦r s①étr ♦s é♥r♦♥s ♥st ♥♦t♦♥♦r♦♥♥♥♠♥t t rr♦♥s q ts ♦r♦♥♥♥♠♥ts s♦♥t ♦♣t♠①


P♦r ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t a1 . . . an t ♥ tt♦♥ qté θ ♣♦tq st♦♥ qté tp(a1 . . . an, θ) r♣rés♥t ♠r ♥s ♥ ①ét♦♥ s♥s t♠♣s♠♦rt s♦♥ ♦rr s t♦♥s t é♠rr♥t à t ♥s s tp(a1 . . . an, θ) st ♥ét♦r♦♥♥♥♠♥t ♥st ♣s sûr ♦♥trr s tp(a1 . . . an, θ) st ♣♦st st ♣♦ss rtrr t é♠rr à tp(a1 . . . an, θ) t♦t ♥ rs♣t♥t s éé♥s

é♥t♦♥ ♣♦tq st♦♥ qté

♦♥t ♥ s②stè♠ SY = (G, Q, C, D) ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t a1 .. an t ♥ tt♦♥

qté θ ♣♦tq st♦♥ qté st é♥ ♣r

tp(a1 .. an, θ) = min1≤k≤n

D(ak)− C(a1 .. ak, θ),

♦ù C(a1 .. ak, θ) r♣rés♥t ré ①ét♦♥ séq♥ t♦♥s a1 .. ak ♣♦r

♥ qté θ stàr

C(a1 .. ak, θ) =∑

1≤i≤k

C(ai, θ(ai)) .

r tp(a1 .. an, θ) r♣rés♥t ♠r ♣s tr à q ♦r♦♥♥♥♠♥t a1 .. an ♣t s①étr t♦t ♥ rs♣t♥t s éé♥s ♣♦r tt♦♥ qtéθ

♦♥trô qté sr

Pr♦♣♦st♦♥

♦t SY = (G, Q, C, D) ♥ s②stè♠ t Γ ♥ ♦♥trôr SY q ♥ ♦r♦♥♥♥

♠♥t a1 .. an t ♥ tt♦♥ qté θ ♦♥trôr Γ st sûr s t s♠♥t s

tp(a1 .. an, θ) ≥ 0

Pr ♣r♦♣♦st♦♥

♦s ♦♥s

tp(a1 .. an, θ) ≥ 0

⇔ min1≤k≤n

D(ak)− C(a1 .. ak, θ) ≥ 0

⇔ ∀k ∈ 1, . . . , n . D(ak) ≥ C(a1 .. ak, θ)

⇔ ∀k ∈ 1, . . . , n . D(ak) ≥ tk .

①♠♣ P♦r ① ♦r♦♥♥♥♠♥ts s②stè♠ ♦♥♥é ♥s ①♠♣

Quant IntraP Coding IQuant IDCT t Quant IQuant IDCT IntraP Coding ♥♦s ♦♥s

tp(Quant IntraP Coding IQuant IDCT, qmax)

= min D2 − C(Quant IntraP Coding, qmax) , D1 − C(Quant IntraP Coding IQuant IDCT, qmax)

= min 240− 70 , 180− 220 = −40 t

tp(Quant IQuant IDCT IntraP Coding, qmax)

= min D1 − C(Quant IQuant IDCT, qmax) , D2 − C(Quant IQuant IDCT IntraP Coding, qmax)

= min 180− 170 , 240− 220 = 10 .

♦s ♣♦♦♥s ♦♥r q ♦r♦♥♥♥♠♥t Quant IntraP Coding IQuant IDCT ♦

éé♥ D1 t♦♥ IDCT ♣♦r ♥ ♥ qté ♦♥st♥t qmax ♦rs q ♦r

♦♥♥♥♠♥t Quant IQuant IDCT IntraP Coding rs♣t t♦ts s éé♥s ♣♦r ♥

♠ê♠ ♥ qté qmax

P♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦♣t♠

♥s q ♣réè ♥♦s ♦♥s ♦♥♥é é♥t♦♥ ♥ ♣♦tq st♦♥ qté ♥ é♥r ♦rrt♠♥t ♥ ♣♦tq ♦♥trô ♥♦s ♦♥s à ♣rés♥té♥r ♥♦t♦♥ ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦♣t♠ st é♥ ♣r ♥♦♥t♦♥ Best❴Sched q ♦r♥t ♣♦r ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t a1 . . . an t ♥ tt♦♥ qté θ ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦♣t♠ aθ

1 .. aθn stàr ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t s

t♦♥s q ♥♦♥t ♣s ♥♦r été ①étés ♥ t q tt ♦r♦♥♥♥♠♥t st ♦♣t♠r q ♦r♦♥♥♥♠♥t aθ

1 .. aθn st ♦♣t♠sé ♣r r♣♣♦rt ♥ qté q st

àr q ♠①♠s ♦♥t♦♥ tp q ♣r♠t ♦♣t♠sr ♥s♠ s ♥① qté ♠sss


é♥t♦♥ P♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦♣t♠

P♦r ♥ s②stè♠ SY = (G, Q, C, D) ♥ ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦♣t♠ st

é♥ ♣r ♥ ♦♥t♦♥ Best❴Sched q ♣♦r q tt♦♥ qté θ ♦♥♥ ♥

♦r♦♥♥♥♠♥t aθ1 .. aθ

n = Best❴Sched(θ) t q aθ1 .. aθ

n ♠①♠s tp(aθ1 .. aθ

n, θ)

stàr

tp(aθ1 .. aθ

n, θ) = max tp(a1 .. an, θ) | a1 .. an ∈ Σ(G) .

♦t θ ♥ tt♦♥ qté ♥ ♣t ♦♥sttr q ♣♦r q ♦r♦♥♥♥♠♥ta1 .. an ré ①ét♦♥ t♦t C(a1 .. an, θ) st ♥é♣♥♥t a1 .. an ♦sr♣rés♥t♦♥s ♣r ≪ rt♦♥ ♥r sr Θ t q θ ≪ θ′ ⇔ C(a1 .. an, θ) < C(a1 ..

an, θ′) rt♦♥ ≪ st ♥ ♦rr t♦t strt sr s sss tt♦♥ qté θ | C(a1 .. an, θ) = ♦♥st♥t

♦s ♦♥s ♠♥t♥♥t ♣rés♥tr ♥ ♦rt♠ ré♣♦♥♥t ♣r♦è♠ ♦♥trô qté s♥s ♥rtt t ♦rt♠ ♣r♠t ♦♠♥r s ① ♥♦t♦♥s q♥♦s ♦♥s ♣réé♠♠♥t q s♦♥t ♦① ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦♣t♠ ♥s q st♦♥ s ♥① qté tsés

Pr♦♣♦st♦♥

P♦r ♥ s②stè♠ ♦♥♥é SY = (G, Q, C, D) t ♥ r♦♥♥♥r ♦♣t♠ Best❴Sched

♦rt♠ ♦r♥t ♥ s♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♦♥trô qté ♣♦r s rés

①ét♦♥ ♦♥♥s é♥t♦♥

♦r θ ∈ Θ ♦

aθ1 .. aθ

n := Best❴Sched(θ)

♥

θM = max≪ θ : A→ Q | tp(aθ1 .. aθ

n, θ) ≥ 0

rtr♥ (aθM

1 .. aθMn , θM )

♦rt♠ ♦rt♠ ♦♥trô ♣♦r s rés ①ét♦♥ ♦♥♥s


♦t a1 . . . an ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t t ♥ tt♦♥ qté θ ér♥t tp(a1 . . . an, θ) ≥

0 Pr é♥t♦♥ Best❴Sched ♦♥

tp(aθ1 . . . aθ

n) ≥ tp(a1 . . . an) ≥ 0 .

♦♠♠ θM = max≪ θ : A→ Q | tp(aθ1 .. aθ

n, θ) ≥ 0 ♦♥ θ ≪ θM

r♦♥♥♥♠♥t

♦s ♦♥s ♠♥t♥♥t é♥r ♣r♥♣ ♦r♦♥♥♥♠♥t ♣s ♠♦♥trr

♦♥trô qté sr

q st ♦♣t♠ ♦♥ st sé sr ♥ ♣r♦♣t♦♥ rrèr s éé♥s rtqs♥s r♣ ♣réé♥

é♥t♦♥ r♦♥♥♥♠♥t

♦t ♥ s②stè♠ SY = (G, Q, C, D) ♥♦s é♥ss♦♥s ♦♥t♦♥ éé♥ ♦D∗ : A→ R+ ♣r

D∗(a) = min D(a′) | a ≺ a′ ∪ D(a) .

❯♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t a1 .. an G st ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t s ♣♦r t♦t i ∈

1, . . . , n− 1 ♥♦s ♦♥s D∗(ai) ≤ D∗(ai+1) ♦s r♣rés♥t♦♥s ♣r E . D . F . (G, D)

♥s♠ s ♦r♦♥♥♥♠♥ts G q rs♣t♥t ♦♥t♦♥ éé♥ D

①♠♣ ♦♥sér♦♥s ♥ s②stè♠ SY = (G, Q, C, D) ♦♥♥é ♥s s ①♠♣s

t ♦♥t♦♥ éé♥ ♦ D∗ st t q D∗(Quant) = min D1, D2

D∗(IQuant) = D(IDCT) = D1 t D∗(IntraP) = D(Coding) = D2 r P♦r

s t♦♥s IDCT t Coding s ♦♥t♦♥s D∗ t D s♦♥t ♥tqs

D1 < D2 s ♦r♦♥♥♥♠♥t st ♦♥♥é ♣r séq♥ t♦♥s

Quant IQuant IDCT IntraP Coding D1 > D2 s ♦r♦♥♥♥♠♥t st

♦♥♥é ♣r séq♥ t♦♥s Quant IntraP Coding IQuant IDCT

Quant

IDCT Coding

IntraPIQuant

Quant

IDCT Coding

IntraPIQuant

(+∞)

(+∞)

(+∞)

(D1)

(D2)

(min D1, D2 )

(D1)

(D1)

(D∗)(D)

(D2)(D2)r ♦♥t♦♥s éé♥s D t D∗

Pr♦♣♦st♦♥

s s②stè♠s SY = (G, Q, C, D) t SY ∗ = (G, Q, C, D∗) ♣♦ssè♥t ♠ê♠ ♣♦tq

♦♥trô

tp(a1 .. an, θ) = min1≤k≤n

D(ak)− C(a1 .. ak, θ) = min1≤k≤n

D∗(ak)− C(a1 .. ak, θ) .


♣r sr ♦ ♦♥trt♦♥ ♥s ♣rt é♥érté ♥♦s s♣♣♦s♦♥s q C > 0

♣♣♦s♦♥s q

min1≤k≤n

D∗(ak)− C(a1 .. ak, θ) 6= min1≤k≤n

D(ak)− C(a1 .. ak, θ) .

♦♠♠ D∗ ≤ D ♥♦s ♦t♥♦♥s

min1≤k≤n

D∗(ak)− C(a1 .. ak, θ) < min1≤k≤n

D(ak)− C(a1 .. ak, θ) .


①st ♥ ♥① i t q

D∗(ai)− C(a1 .. ai, θ) = min1≤k≤n

D∗(ak)− C(a1 .. ak, θ) .

t

D∗(ai)− C(a1 .. ai, θ) < D(ai)− C(a1 .. ai, θ)

stàr D∗(ai) < D(ai) . Pr é♥t♦♥ D∗ ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥r q ①st

j > i t q D∗(ai) = D∗(aj) ♦rs ♥♦s ♦t♥♦♥s

D∗(aj)− C(a1 .. aj , θ) = D∗(aj)− C(a1 .. ai, θ)− C(ai+1 .. aj , θ)

D∗(aj)− C(a1 .. aj , θ) < D∗(aj)− C(a1 .. ai, θ)

D∗(aj)− C(a1 .. aj , θ) < D∗(ai)− C(a1 .. ai, θ)♦♥trt♦♥

♣r♦♣♦st♦♥ ♣r♠t ♥ ♦♥t♦♥ Best❴Sched q r♥♦ ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t a1 .. an = Best❴Sched(θ) ♦t♦♥s q tt ♦♥t♦♥ Best❴Sched

st ♦♥st♥t t s♦♥ ♣t êtr résé ♥s ♥ t♠♣s ♣♦②♥♦♠ P♦r é♠♦♥trr ♣r♦♣♦st♦♥ ♥♦s r♦♥s s♦♥ ♠♠ s♥t

♠♠

♦t a1 .. an ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t t q ①st ① t♦♥s ♦♥séts t ♥é♣♥♥ts

ai t ai+1 ai ⊀ ai+1 t ai+1 ⊀ ai t q D(ai) ≥ D(ai+1) P♦r q tt♦♥

qté θ ♥♦s ♦♥s

tp(a1 .. ai−1ai+1aiai+2 .. an, θ) ≥ tp(a1 .. an, θ) .

Pr ♠♠

♦t I1 I2 t I3 s s♦s♥s♠s ♥① ts q I1 = 1, . . . , i− 1 I2 = i, i + 1

t I3 = i + 2, . . . , n ♦s ♦♥s

tp(a1 .. an, θ) = min D(ak)− C(a1 .. ak, θ) | k ∈ I1 ∪ I2 ∪ I3 t

tp(a1 .. ai−1ai+1aiai+2 .. an, θ) =

min D(ak)− C(a1 .. ak, θ) | k ∈ I1 ∪ D(ai+1)− C(a1 .. ai−1ai+1, θ) ∪

D(ai)− C(a1 .. ai−1ai+1ai, θ) ∪ D(ak)− C(a1 .. ai−1ai+1aiai+2 .. ak, θ) | k ∈ I3 .

♦♠♠ C(a1 .. ai−1ai+1aiai+2 .. ak, θ) = C(a1 .. ak, θ) ♣♦r q k ∈ I3 ♥♦s

♦♥s

D(ak)−C(a1 .. ai−1ai+1aiai+2 .. ak, θ) | k ∈ I3 = D(ak)−C(a1 .. ak, θ) | k ∈ I3 .

♦♥ ♠♠ rst r s

D(ai+1)− C(a1 .. ai−1ai+1, θ) ≥ min D(ak)− C(a1 .. ak, θ) | k ∈ I2 t

D(ai)− C(a1 .. ai−1ai+1ai, θ) ≥ min D(ak)− C(a1 .. ak, θ) | k ∈ I2 .

♦♥trô qté sr

♦♠♠ C(a1 .. ai−1ai+1, θ) ≤ C(a1 .. ai+1, θ) ♥♦s ♦♥s

D(ai+1)− C(a1 .. ai−1ai+1, θ) ≥ D(ai+1)− C(a1 .. ai+1, θ) .

é♠♦♥tr

Psq D(ai) ≥ D(ai+1) t C(a1 .. ai−1ai+1ai, θ) = C(a1 .. ai+1, θ) ♥♦s ♦♥s

D(ai)− C(a1 .. ai−1ai+1ai, θ) ≥ D(ai+1)− C(a1 .. ai+1, θ) .

é♠♦♥tr

Pr♦♣♦st♦♥

♦♥t SY = (G, Q, C, D) ♥ s②stè♠ t a1 .. an ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t G P♦r

q tt♦♥ qté θ ♥♦s ♦♥s

tp(a1 .. an, θ) = max tp(a′1 .. a′n, θ) | a′1 .. a′n ∈ Σ(G) .


♦s ♣♣q♦♥s ♠♠ ♦♠♠ st ♦t a1 .. an ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t t

a′1 .. a′n ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t rtrr ♦s ♣♦♦♥s ♦t♥r a1 .. an à ♣rtr a′1 .. a′n ♣r

é♥s ssss ① t♦♥s ♦♥séts ♥é♣♥♥ts ts q rs éé♥s

D∗ s♦♥t ♥rsés

①♠♣ ♦♥sér♦♥s ♥ s②stè♠ SY = (G, Q, C, D) ♦♥♥é ♥s s ①♠♣s

t t ♥ ♦♥t♦♥ éé♥ D t q D(IDCT) = D1 = 180 t D(Coding) =

D2 = 240 s ♦r♦♥♥♥♠♥t st Quant IQuant IDCT IntraP Coding t

♥♦s ♦♥s tp(Quant IQuant IDCT IntraP Coding, qmax) = 10 ①♠♣ q st

♠①♠ ♣♦r ♥ qté qmax ♦s ♦♥♥♦♥s ♥s st ♥ ♣r

♦♥sér♦♥s ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t rtrr a1 .. a5 G t s♦t i ∈ 1, . . . , 5

♥① t q ai = IDCT t♥t ♦♥♥é s ♦♥tr♥ts ♣réé♥ G Quant t

IQuant ♦♥t êtr ①étés ♥t IDCT t ♦♥

C(a1 .. ai, qmax) ≥ C(Quant, qmax) + C(IQuant, qmax) + C(IDCT, qmax) = 170 .

é♠♦♥tr q

tp(a1 .. a5, qmax) ≤ D(ai)− C(a1 .. ai, qmax) ≤ 180− 170 = 10 .

Pr♦è♠ ♦♥trô qté s♦s ♥rtt

s rés ①ét♦♥ ♣♥t rr ♦♥sér♠♥t r♥t ér♦♠♥t ♥♣♣t♦♥ ét♥t ♦♥♥é qs é♣♥♥t s ♦♥t♥s s ♦♥♥és ♣s ♥♦♥♣résté ♦♠♣♦rt♠♥t ♣t♦r♠ st ♥ tr t♦♥♥ tt ♥rtt ♦s ♦♥s ♥♦s ♥térssr ♥s tt st♦♥ à ♥ ①t♥s♦♥ ♣r♦è♠ ♦♥trô qté st♦♥ ♣réé♥t


♣r♦è♠

♥s ♥♦ ♣r♦è♠ s rés ①ét♦♥ ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s ♠s s♠♥t♦r♥és ♣r s rés ①ét♦♥ ♣rs ♥s ♦♥t♦♥ C s rés ①ét♦♥rés ♥st ss ♣s ♦♥♥ ♣♥♥t ♥♦s ♦♥♥ss♦♥s ♥ ♦♥t♦♥ Cwc tq C ≤ Cwc ♣s s rés ①ét♦♥ rés C ♣♥t êtr ♦♥♥s à ♣♦str♦rstàr ♣rès ①ét♦♥ q t♦♥

é♥t♦♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥

❯♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ st ♥ ♥♣t SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♦ù

• G st ♥ r♣ ♣réé♥

• Q = [qmin, qmax] st ♥ ♥tr ♥ ♥trs ♦rrs♣♦♥♥t ① ♥①

qté

• Cwc : A×Q→ R+ st ♥ ♦♥t♦♥ q ♣♦r ♥ t♦♥ a t ♥ ♥ qté

q ♦♥♥ s ré ①ét♦♥ ♣rs Cwc(a, q) ♦s s♣♣♦s♦♥s q ♣♦r t♦t

a ∈ A q 7→ Cwc(a, q) st ♥ ♦♥t♦♥ r♦ss♥t

• D : A→ R+∪ +∞ st ♥ ♦♥t♦♥ q ♣♦r ♥ t♦♥ a ♦♥♥ s♦♥ éé♥

D(a)

• ♣r♠ètr C : A×Q→ R+ st ♥ ♦♥t♦♥ q ♣♦r ♥ t♦♥ a t ♥ ♥

qté q ♦♥♥ s ré ①ét♦♥ ré C(a, q) ♦s s♣♣♦s♦♥s q ♣♦r

t♦t a ∈ A q 7→ C(a, q) st ♥ ♦♥t♦♥ r♦ss♥t t q C ≤ Cwc

sé♠♥tq s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPI(C) é♥t ♥ ♠ s②stè♠

tr♥st♦♥ (S × R+, A×Q,−→) é♣♥♥t ♣r♠ètr C

• s étts s♦♥t ♦♥♥és ♣r s ♣rs (si, ti) ♦ù ♣♦r i > 0 si st ♥ étt G t

ti ∈ R+ st ♥ r t♠♣s ♥♦s ♣r♥♦♥s t0 = 0 ♣♦r s0 = ∅

• ♣♦r ① étts (si, ti) t (sj , tj) ♥ t♦♥ a t q ♥♦s ♦♥s (si, ti)a,q−→ (sj , tj)

s sia−→ sj ♥s G t tj − ti = C(a, q)

♥♦t♦♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ st s♠r à q ♥♦s ♦♥s ♦♥♥é ♣♦r s s②stè♠s ♣r♦♣♦st♦♥ stàr q♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t a1 . . . an st sûr s s éé♥s s♦♥t rs♣tés ♣r r♣♣♦rt ① rés①ét♦♥ rés stàr s q s♦♥t ♦♥♥és ♣r ♣r♠ètr C ♣♥♥ts rés ①ét♦♥ rés ♥ét♥t ♣s ♦♥♥s rr ♦r♦♥♥♥♠♥t sûr♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ ♥ ♣t s r ♥ ♦♠♣r♥t s♠♣♠♥t s ♦r♦♥♥♥♠♥ts ♣♦sss Psq C ≤ Cwc s ♦r♦♥♥♥♠♥ts sûrs ♣♦r♥ s②stè♠ SY = (G, Q, Cwc, D) s♦♥t ss sûrs ♣♦r ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) stàr q ♥♦s ♣♣r♦♦♥s ré ①ét♦♥ ♥♦♥♥ C ♣r ré ①ét♦♥ ♣rs Cwc tt ♠ét♦ ♦♥♥ ♣♥♥t sréstts s♦♥t très é♦♥és ♦♣t♠té t srst♠t♦♥ s rés ①ét♦♥ ♣rs ♣r r♣♣♦rt ① rés ①ét♦♥ rés

①♠♣ ♦♥sér♦♥s ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C)

♦♥trô qté sr

t q A = QUANT, IQUANT, IDCT, IntraP, Coding G = (A,≺) r♣rés♥té ♣r r

D(IDCT) = D1 = 180 D(Coding) = D2 = 240 t Q = qmin, qmax ♦♥sér♦♥s

♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ré C = Cwc ♦rs (QUANT · IQUANT · IDCT, qmin, 20) st

♥ étt SPI(C) ♣sq QUANT ·IQUANT ·IDCT st ♥ tr G t C(QUANT ·IQUANT ·

IDCT, qmin) = 115

Quant

IDCT Coding

IntraPIQuant

t♦♥ a Cwc(a, qmin) Cwc(a, qmax) D(a)

Quant +∞

IQuant +∞

IDCT D1

IntraP +∞

Coding D2

r ①♠♣ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥

é♥t♦♥ ♥ ♦♥trôr ♣♦r ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ st ♥tq à ♦♥♥é ♣♦r ♣r♦è♠ s♥s ♥rtt é♥t♦♥

é♥t♦♥ ♦♥trôr

♦t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPI(C) ♥ ♦♥trôr st ♥ ♦♥t♦♥ Γ : S ×

R+ → A×Q q ♣♦r ♥ étt (si−1, ti−1) SPI(C) ♦♥♥ ♥ t♦♥ ai t s♦♥ ♥

qté qi t q ①st (si, ti) t (si−1, ti−1)ai,qi−→ (si, ti)

s rés ①ét♦♥ rés ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s à ♣r♦r ♥♦s s♣♣♦s♦♥s ♣r♦♥tr q st ♣♦ss ♦♥♥îtr ré ①ét♦♥ ♥ t♦♥ à ♣♦str♦r stàr ♣rès ♦r été ①été ♥s ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♥♦s ♦♥s ♠ttr ♥♦r s t♥qs ♣tts q ♦♥sst♥t à ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s ♥♦r♠t♦♥s ♦rs ①ét♦♥ s②stè♠ ❯♥ ♦♥trôr ss♦ ♦♥ à t♦t étt ♥ ♦① ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦♥r♥♥t ♣r♦♥ t♦♥ à ①étr étr♠♥ ♥s ①ét♦♥ ♥s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ t s♦rt q ♣♦r ♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥C ♦♥♥é ♥①st q♥ t ♥ s séq♥ ①ét♦♥ ♦♠♣èt ♣♦ss

é♥t♦♥ ②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ ♦♥trôé

♦♥t SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ t Γ ♥ ♦♥trôr

SPI(C) ♦s é♥ss♦♥s s②stè♠ tr♥st♦♥s étqtés ss♦é s②stè♠

♣r♠étré ♥rt♥ ♦♥trôé ♥♦té SPI(C)||Γ ♣r

s étts SPI(C)||Γ s♦♥t s ♠ê♠s q ① SPI(C)

P♦r ♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ré C SPI(C)||Γ ♣♦ssè ♥ ♥q sé

q♥ ①ét♦♥ (si−1, ti−1)ai,qi−→ (si, ti) 1≤i≤|A| t q (ai, qi) = Γ(si−1, ti−1)

♣r♦è♠ ♦♥trô qté ♣♦r ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ ♦♥♥éSPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♦♥sst à tr♦r ♥ ♦♥trôr Γ t q s②stè♠ ♦♥trôé


rs♣t s éé♥s t♦t ♥ r♥t ♥ ♥ qté ♠①♠ t rér ♦s♣♦♦♥s ♦r♠sr ♦♠♠ st

é♥t♦♥ Pr♦è♠ ♦♥trô qté s♦s ♥rtt

♦t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPI(C) t tr♦r ♥ ♦♥trôr Γ t q ♣♦r

q ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ré C ≤ Cwc

Γ st sûr s éé♥s ♥ s♦♥t ♣s ♦és stàr q ♣♦r t♦t étt

(si−1, ti−1) SPI(C)||Γ ♥♦s ♦♥s (ai, qi) = Γ(si−1, ti−1) st à r

(si−1, ti−1)ai,qi−→ (si, ti) t D(ai) ≥ ti

t① tst♦♥ ♣t♦r♠ st ♠①♠ stàr q ♣♦r t♦t ♦♥trô

r sûr Γ′ tn ≥ t′n ♦ù tn rs♣ t′n st ré ①ét♦♥ r♥èr t♦♥

SPI(C)||Γ rs♣ SPI(C)||Γ′

tt♦♥ ♥ qté st réèr Pr ①♠♣ ♥♦s rr♦♥s à

q ért t②♣ ♦ r♥ tt♦♥ ♣ss♥t êtr tsés ♣♦r ♠srr

rérté tt♦♥ qté

tr♦sè♠ ♣r♦♣rété ♣r♦è♠ ♥ sr ♣s ♦r♠sé ♠s rst ss♥t♥s r s ♣♣t♦♥s ♠t♠é ❬ ❪

t♥t ♦♥♥é q s rés ①ét♦♥ rés ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s ♦♥trôr q♥♦s r♦♥s ♥ ♦t ♣s é♣♥r C ♥s ♥ t ♦♥trôr ♥ ♣♦rr ♣s tt♥r①t♠♥t ♦♣t♠ st rs♦♥ ♣♦r q ♣r♦è♠ sr tr♦r ♥ ♦♥trôr Γ ♦♥t s ♣r♦r♠♥s s♦♥t s ♣s ♣r♦s ♣♦sss ♦♣t♠ P♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ♦r♥tés rs ♥ ♣♣r♦ q ♦♥sst à ♦♥♦r ♥♦♥trôr ♦ stss♥t ♥ ♣r♦♣rété ♦♥♥t ♦rs érr q s②stè♠♦♥trôé ér ♣r♦♣rété é♣rt ♥s s ♦ù ♣r♦♣rété ♥ srt ♣s stst st ♥éssr ♠♦r ♦♥trôr t érr à ♥♦ s s②stè♠ stst ♣r♦♣rété é♣rt ♦♥trôr ♠♦é ♣r♦sss tért ♣t ♣r♥r ♥t♠♣s ♥♦♥ ♥é

♦♥♣t♦♥ ♦♥trôr qté sr s♦s ♥rtt

t ♥rtt sr s rés ①ét♦♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t t tt♦♥ qté q ♦♥ ♣t ss♦r st t ♥ ♥ ♦s ♣t♦♥s♦rt♠ strt ♣r♦♣♦sé ♥s st♦♥ ♣r♦♣♦st♦♥ P♦r r ♣r♦è♠ ①♣♦s♦♥ étt ♦rt♠ ♦♥sèr à q étt s tt♦♥s qté ♦♥st♥ts ♣♦r s t♦♥s rst♥ts tt ②♣♦tès ♥ rstr♥t ♣s ♣rt♥♥ ♣r♦è♠ ♥s s♥s ♦ù ♦♥ r à ♦t♥r ♥ tt♦♥ qté réèr

♦rt♠ ♣r♦♣♦sé st ♣r♠étré ♣r ♥ ♣♦tq X rtérsé ♣r ♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ CX ♦♥♥é ♣♦r ♥ séq♥ t♦♥s a1 . . . an t ♥ ♥ qté q r♣rés♥t ♥ st♠t♦♥ CX(a1 . . . an, q) ré ①ét♦♥ a1 . . . an ♣♦r ♥ qté q ♦rt♠ ts ♥ st♠t♦♥ éqt tXp tp t

♦♥trô qté sr

Best❴SchedX Best❴Sched é♥ à ♣rtr ♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ CX

sé sr ♥ ♣♦tq X st♦♥ qté

é♥t♦♥ P♦tq X st♦♥ qté

♦♥t SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ t CX ♥ ♦♥t♦♥

q ♦♥♥ ♣♦r ♥ séq♥ t♦♥s ai .. an t ♥ ♥ qté q ♥ st♠t♦♥

CX(ai .. an, q) ré ①ét♦♥ ai .. an ♣♦r ♥ qté q

♦♥t ♥ étt si−1 G ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t ai .. an à ♣rtr si−1 t ♥ ♥

qté q ♦s é♥ss♦♥s ♣♦tq X st♦♥ qté tXp ss♦é à ♦♥t♦♥

ré ①ét♦♥ CX ♣r

tXp (ai .. an, si−1, q) = mini≤k≤n

D(ak)− CX(ai .. ak, q) .

é♥t♦♥ ré ①ét♦♥ r♦ss♥t

♦t CX : A∗ × Q → R+ ♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♦s r♦♥s q CX st

r♦ss♥t s ♣♦r t♦ts séq♥s a1 . . . an . . . am t ♣♦r t♦t ♥ qté q ♥♦s

♦♥s

CX(a1 . . . an, q) ≤ CX(a1 . . . am, q) .

❯♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ r♦ss♥t CX st t q ré ①ét♦♥♥ séq♥ ♠♥t s s t♦♥s s♦♥t ♦tés q s♠ ♥ ②♣♦tèsrs♦♥♥ ♥s st s ♦♥t♦♥s CX q srr♦♥t à âtr s ♦♥t♦♥s ♦r♦♥♥♥♠♥t ♣r♦♣♦sés sr♦♥t t♦♦rs r♦ss♥ts

é♥t♦♥ P♦tq X ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦♣t♠

P♦r ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) t ♥ ♣♦tq

st♦♥ qté tXp ♥ r♦♥♥♥r ♦♣t♠ Best❴SchedX st ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥

♥♥t ♣♦r ♥ étt si−1 G t ♣♦r ♥ ♥ qté q ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t

aqi .. aq

n = Best❴SchedX(si−1, q) à ♣rtr étt si−1 t q aqi .. aq

n ♠①♠s

♣♦tq st♦♥ qté tXp stàr

tXp (aqi .. aq

n, si−1, q) = max tXp (ai .. an, si−1, q) | ai .. an ∈ Σ(G, si−1) .

r ♠♦♥tr ♥trt♦♥ ♥tr ♦♥trôr Γ t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPI(C) r♣rés♥t♥t ♥ ♣♣t♦♥ s①ét♥t sr ♥ ♣t♦r♠ ♦♥trôrst ♦♠♣♦sé ① ♥ttés q ♦♥t♦♥♥♥t ♥ ♥trt♦♥ st♦♥♥r tét r♦♥♥♥r ♦r r

♦t (si−1, ti−1) étt ♦r♥t s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPI(C) =

(G, Q, Cwc, D, C)

st♦♥♥r té rô st♦♥♥r té st étr♠♥r ♥ qté ♦r♥t q ∈ Q

♦① q st sé sr ♥ rtèr ♠ss♦♥ ♦r♠ tXp (aqi . . . aq

n, si−1, q) ≥

ti−1 ♥s q aqi . . . aq

n r♣rés♥t ♦rr ①ét♦♥ s t♦♥s q rst♥t à


♦♥trôr Γ

aqi .. a

qn | q ∈ Q

qi := max q | tXp (aqi .. a

qn, si−1, q) ≥ ti−1

st♦♥♥r té

aqi .. a

qn = Best❴SchedX(si−1, q)

r♦♥♥♥r

(si−1, ti−1)Γ(si−1, ti−1) := (aqi

i , qi)

s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥

étt ♦r♥t (si−1, ti−1)

SPI(C)

r rttr ♦♥trôr

①étr si−1 ♥ étt ♣♣t♦♥ ♦ t q r ♥ qté ♦♥t♦♥ tXp : A × S × Q → R+ é♥ ♣♦tq st♦♥ qté ♦♥trôrΓX ♦rsq t♠♣s té♦rq tXp (aq

i . . . aqn, si−1, q) é♣ss t♠♣sré ti−1 ♥♦s

♦♥sér♦♥s q aqi . . . aq

n st ♠ss ♥ qté q stàr q ♣♣t♦♥ st ss♠♠♥t ♥ ♥ ♣♦r ♣♦♦r ♦r♦♥♥♥r ♥ qtéq t s♦♥ ♦rr ♠♣♦sé ♣r aq

i . . . aqn ♥s st ♦♥ ♣♦ss tr♠♥r ①é

t♦♥ ♣♣t♦♥ ♦♥trôé s♥s ♦r éé♥s ♥ ♥ qté ♥♣r♠t ♦t♥r ♦r♦♥♥♥♠♥ts ♠sss st♦♥♥r té ♦sr ♥ qté ♠♥♠ qmin Ps ♦r♠♠♥t st♦♥♥r té♦st ♥ qté ♦r♥t t q

qi := max(q|tXp (ai . . . an, si−1, q) ≥ ti−1 ∪ qmin)

r♦♥♥♥r rô r♦♥♥♥r st r ♣♦r q ♥ qté q ∈ Q ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦♣t♠sé aq

i . . . aqn = Best❴SchedX(si−1, q) ♣♦r

♥ qté q ♦♥t♦♥ Best❴SchedX é♥t ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t

♦♥trôr ΓX Psq rtèr ♠ss♦♥ st♦♥♥r té st ♦r♠ tXp (aq

i . . . aqn, si−1, q) ≥ ti−1 ♦♣t♠st♦♥ ♦♥sst à tr♦r ♥ ♦r♦♥

♥♥♠♥t aqi . . . aq

n q ♠①♠s tXp (aqi . . . aq

n, si−1, q) ♣r♠t ♠①♠sr♥s♠ s rs t♠♣sré t ♣♦r sqs aq

i . . . aqn st ♠ss

♥ qté q à ♣rtr étt si−1 ♣♣t♦♥ ♦

♥ q ♥♦s ♠t♦♥s ①♣♦rt♦♥ ① ♦r♦♥♥♥♠♥ts ♦r♠ (aqi . . . aq

n, q)stàr ♦♥t ♥ qté st ♦♥st♥t ♥♦s ♦t♥♦♥s q♥ ♠ê♠ ♦♥s réstts q♥t à tst♦♥ s rss♦rs ♥ t ♦♥trô ét♥trésé à r♥ ♥ s ♦① ♦♥trôr t ♥ ♣rtr ① q ♦♥r♥♥t ♥① qté s♦♥t r♠s ♥ s t rééés ♣rès ①ét♦♥ qt♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ étt ♦r♥t s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥

♦♥trôr sr étt ♦r♥t (si−1, ti−1) SPI(C) t ♣r♦♥t♦♥ ai ♥s q ♥ qté qi ss♦é à ♦♠♠ s♣éé ♣r ♦rt♠s♥t q é♥érs ♣r♠r ♦♥♥é ♥s ♣r♦♣♦st♦♥


ΓXsi−1ti−1

qm := qmin

♦r q ∈ Q ♦

aqi .. aq

n := Best❴SchedX(si−1, q)

tXp (aqi .. aq

n, si−1, q) ≥ ti−1 ∧ q > qm t♥

qm := q

♥

♥

rtr♥ (a, q) := (aqm

i , qm)

♦rt♠ ♦rt♠ ♦♥trôr ΓX

♦rt♠ ♦♥trô st ♦♥♥é ♣r ♦rt♠ ♣r♥ ♥ ♥tré étt ♦r♥t (si−1, ti−1) s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ ♦♥séré SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C)P♦r q ♥ qté q r♦♥♥♥r s ♦r♦♥♥♥♠♥ts ♠sss ♣r r♣♣♦rt à ♣♦tq X st♦♥ qté ♥ é♥t rtèr ♠ss♦♥tXp (aq

i . . . aqn, si−1, q) ≥ ti−1 ♦rt♠ r♥♦ ♥♠♥t ♣r♠èr t♦♥ a = aqm

i t ♥ qté qm q r♣rés♥t ♥ qté ♠①♠ ♣r♠ s ♥① qté q ♦ù ♦r♦♥♥♥♠♥t aq

i . . . aqn st ♠ss ♥①st ♣s ♦r♦♥♥♥♠♥t

♠ss st ♥ qté ♠♥♠ qmin q st ♦s

rst ♣tr sr ♦♥sré à é♥t♦♥ t à ét ér♥ts ♣♦tqs ♦♥trô ♣r♠tt♥t rés♦r ♣r♦è♠ ♦s ♣rés♥t♦♥s ♣srs ♥st♥t♦♥s ♦♥trôr ΓX ♥♦t♠♠♥t Γsf Γsp t Γmx q ♦rrs♣♦♥♥t rs♣t♠♥t ①♣♦tqs ♦♥trô sûr s♠♣ t ♠①t


♥s tt st♦♥ ♥♦s é♥ss♦♥s ♥ ♣♦tq X st♦♥ qté tXp q ♣r♠t ré♣♦♥r ♣r♦è♠ ♦♥trô s♦s ♥rtt é♥ ♥s st♦♥ ♣réé♥t é♥t♦♥ Ps ♦♥rèt♠♥t ♥♦s ♦♥s ♣rés♥tr ♥ ♣♦tq ♣r♠tt♥t stsr à ♦s s rtèrs ♦♣t♠té t sûrté ♦♣t♠té ♦♥sst ♥ ①♣r♦♣rétés q s♦♥t tst♦♥ ♠①♠ t t♠♣s s♣♦♥ t rértés ♥① qté ♦ss ♣r ♦♥trôr

♦t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♦♠♠ s ♦r♦♥♥♥♠♥ts s♦♥t és t ♦r♥s st♦♥♥r té ♣r r♦♥♥♥r♥♦s ♦♥sér♦♥s s♥s ♣rt é♥érté s ♣♦tqs st♦♥ qté ♣♦r s♦r♦♥♥♥♠♥ts sttqs a1 .. an


P♦tq ♦♥trô sûr

♦s ♦♥s ♦r ♥ ♣r♠èr ♣♦tq ♣r♠tt♥t ♠♦♥trr ♦♠♠♥t ♦♥tr♥r ♣♦tq st♦♥ qté ♥ ssrr q s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ rs♣tss éé♥s ♦s ♣♣♦♥s ♣♦tq st♦♥ qté sûr

P♦tq st♦♥ qté sûr

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ sûr

♦t SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ ♦s ♣♣♦♥s ♦♥t♦♥

ré ①ét♦♥ sûr ♦♥t♦♥ ♣rt Csf : A∗ × Q → R+ é♥ ♣♦r t♦t

séq♥ t♦♥s a1 . . . an t t♦t tt♦♥ qté q ♣r

Csf (ai .. ak, q) = Cwc(ai, q) + Cwc(ai+1 .. ak, qmin) .

♦ù Cwc(ai+1 .. ak, qmin) r♣rés♥t ré ①ét♦♥ t♦t séq♥ ai+1 ..

akstàr

Cwc(ai+1 .. ak, qmin) =∑

i+1≤j≤k

Cwc(aj , qmin) .

é♥t♦♥ P♦tq st♦♥ qté sûr

♣♦tq st♦♥ qté sûr st ♦♥♥é ♣r ♦♥t♦♥ ♣rt tsfp :

A∗ ×Q :→ R ss♦é à ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ sûr Csf

♦♠♠ ♦♥trôr ♣t ♥r ♥ qté ♣rès ①ét♦♥ ♣r♠èrt♦♥ ai ♥♦s ♣r♥♦♥s ♥ qté q ♣♦r ♣r♠èr t♦♥ t qmin ♣♦r st♦♥s rst♥ts ♦♥ tsfp (si−1, q) ≥ ti−1 r♥tt q ♣r♠èr t♦♥ ai ststs♦♥ éé♥ q♥ ♦♥ ①ét ♥ qté q t s t♦♥s rst♥ts ♦r♦♥♥♥♠♥t sts♦♥t s ss rs éé♥s ♥ s①ét♥t qté qmin st r♥t ♣r tst♦♥ s rés ①ét♦♥ ♣rs ♣♦tq st♦♥ qté sûr srt s à ♦♥strt♦♥ ♦♥trôrs sûrs stàr qs ssr♥tà ♦♣ sûr rs♣t s éé♥s Pr s ♥♦tt♦♥ ♦♥ ♥♦tr tsfp ≥ t t q∀i ∈ 1, . . . , n , tsfp (ai . . . an, si, qi) ≥ ti−1

Pr♦♣♦st♦♥ ûrté

♦t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) t q s éé♥s s♦♥t sts

ts ♣♦r ♥ qté ♠♥♠ t s rés ①ét♦♥ ♣rs stàr

∀k ∈ 1, . . . , n . D(ak) ≥ Cwc(a1 .. ak, qmin) .

♦rs ♦♥trôr Γsf q st ♣♦tq st♦♥ qté tsfp ≥ t st sûr

tt ♣r♦♣♦st♦♥ st r ♣♦r t♦t ♣♦tq st♦♥ qté tXp ≥ t t q

tsfp ≥ tXp


♠♠

P♦r q ♦♥trôr Γsf stss♥t s ②♣♦tèss ♣r♦♣♦st♦♥ ♥♦s

♦♥s qmin ∈ q | tsfp (ai . . . an, si−1, q) ≥ ti−1 à q étt tt♥ (si−1, ti−1)

SPI(C)||Γsf

Pr ♠♠

♣r st résé ♣r ♥t♦♥ sr i ∈ 0, . . . , n− 1 ♦t P(i) ssrt♦♥ qmin ∈

q | tsfp (si, q) ≥ ti

P(0) : ♥♦s ♦♥s

tsfp (s0, qmin) = min1≤k≤n

D(ak)− Cwc(a1 .. ak, qmin) .

♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♣♦r t♦t k ∈ 1, . . . , n D(ak) ≥ Cwc(a1 .. ak, qmin) ♥♦s

♣♦♦♥s ♦♥r à ♣rtr q ♦♠♠ t0 = 0 tsfp (s0, qmin) ≥ t0 stàr

P(0)

P(i) ⇒ P(i + 1) : ♦t (a, q) = (ai+1, qi+1) = Γsf (si, ti) t ♠♦♥trr q

tsfp (ai+2 . . . an, si+1, q) ≥ t ♦s ♦♥s ♣♦r ①♠♥r ① s q = qmin t

q > qmin

s q = qmin

Pr ②♣♦tès ♥t♦♥ ♥♦s ♦♥s tsfp (ai+1 . . . an, si, qmin) ≥ ti stàr

mini+1≤k≤n

D(ak)− Csf (ai+1 .. ak, qmin) ≥ ti

stàr

∀k ∈ i + 1 . . . n D(ak)− Csf (ai+1 .. ak, qmin) ≥ ti

⇒ ∀k ∈ i + 2 . . . n D(ak)− Cwc(ai+1, qmin)− Cwc(ai+2 .. ak, qmin) ≥ ti

♣r é♥t♦♥ Csf

⇒ ∀k ∈ i + 2 . . . n D(ak)− Cwc(ai+2 .. ak, qmin) ≥ ti + Cwc(ai+1, qmin) ≥ ti+1 .

♦♥ tsfp (ai+2 . . . an, si+1, qmin) ≥ ti+1

s q > qmin

♦s ♦♥s tsfp (ai+1 . . . an, si, q) ≥ ti st à r

mini+1≤k≤n

D(ak)− Csf (ai+1 .. ak, q) ≥ ti

st à r

∀k ∈ i + 1 . . . n D(ak)− Csf (ai+1 .. ak, q) ≥ ti

⇒ ∀k ∈ i + 2 . . . n D(ak)− Cwc(ai+1, q)− Cwc(ai+2 .. ak, qmin) ≥ ti

⇒ ∀k ∈ i + 2 . . . n D(ak)− Cwc(ai+2 .. ak, qmin) ≥ ti + Cwc(ai+1, q) ≥ ti+1 .

♦♥ tsfp (ai+2 . . . an, si+1, q) ≥ ti+1



♣rtr ♠♠ ♥♦s ♦♥s

qmin ∈ q | tsfp (ai . . . an, si−1, q) ≥ ti−1

♣♦r q étt SPI(C)||Γsf stàr q | tsfp (ai . . . an, si−1, q) ≥ ti−1

st ♥ ♥s♠ ♥♦♥ ♦t (a, q) = (ai, qi) = Γsf (si−1, ti−1) ♦rs ♥♦s ♦♥s

tsfp (ai . . . an, si−1, q) ≥ ti−1 t t♦♥ a stss♥t s♦♥ éé♥

tsfp (ai . . . an, si−1, q) = mini≤k≤n

D(ak)− Csf (ai .. ak, q) ≥ ti−1

⇒ D(ai)− Cwc(a, q) ≥ ti−1

⇒ D(ai) ≥ ti−1 + Cwc(a, q) ≥ ti .

é♠♦♥tr q q t♦♥ a stst s♦♥ éé♥

♣r♦♣♦st♦♥ st ♥térss♥t ♥s ♠sr ♦ù ♣r♠t rtérsr♥ ss ♣♦tqs ♦♥trô q ssr♥t rs♣t s éé♥s s ♣♦tqs ♦♥trô X q ♣♣rt♥♥♥t à tt ss s♦♥t ts q r ♣♦tq st♦♥ qté st ♠♦♥s ss ♦♥tr♥♥t q ♣♦tq st♦♥ qté sûrstàr tXp ≥ tsfp

♠tt♦♥s ♣♦tq sûr

♦♥trôr Γsf sé sr ♣♦tq ♦♥trô sûr ssr à ♦s rs♣t séé♥s t ♥ ♦♥ t① tst♦♥ s rss♦rs ♦s ♦♥stt♦♥s ♣♥♥t q s♥① qté ♦ss ♣r ♦♥trôr ♥ s♦♥t ♣s rérs ♥ t ♥ ét♥t tr♦♣♣r♠ss ♣♦tq st♦♥ qté sûr ♦♥t st♦♥♥r té à♦sr s ♥① qté très éés ♣♦r s ♣r♠èrs t♦♥s t ♦♥ s ♥①très s ♣♦r s r♥èrs t♦♥s ♥ ssrr rs♣t s éé♥s

①♠♣ s♥t ♠♦♥tr q ♣♦tq st♦♥ qté sûr ♣t ♠♥r à♥ rét♦♥ ♥ qté ♥t ♥ éé♥ rtq

①♠♣ ♦♥sér♦♥s ♥ SPI(C) tr♦s t♦♥s QUANT, IQUANT, IDCT qtr

qtés Q = 1, . . . , 4 t ♥ éé♥ ♥q D = 9 ♣♦r t♦t i D(ai) = 9 ♣

♣♦s♦♥s q SPI(C) ♣♦ssè ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t Quant IQuant IDCT t q s

rés ①ét♦♥ rés t ♣rs s♦♥t ♦♥♥és ♣r t r ♦ù

a ∈ Quant, IQuant, IDCT

♦① s ♥① qté ♣♦r ♦r♦♥♥♥♠♥t ♥ ts♥t ♣♦tq

st♦♥ qté sûr tsfp ≥ t ♥st ♣s rér ♦r r ♥ t ♥♦s ♦②♦♥s

q s ♥♦s ér♦♦♥s ♣♦r ♥ s t♦♥s ♣♣t♦♥ ♥♦s ♦t♥♦♥s


♥ ♥ qté é à ♣♦r t♦♥ QUANT t ♥ ♥ qté ♣♦r

s t♦♥s s♥ts

rés ①ét♦♥

q Cwc(a, q) C(a, q)

= Cav(a, q)

3

2

1

4

♥t ♥t

θ

♣♦tq sûr

r ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ①ét♦♥ ♦♥trôé ♣r ♣♦tq st♦♥ qté sûr

♥s q st ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♠é♦rr ♦♥trôr ♥ ♦t♥r ♥ ♠rrérté s ♥① qté ♦ss ♣r ♦♥trôr P♦r r ♥♦s ♠♦♦♥s ♣♦tq ♦♥trô ♥s t ♦t♥r ♥ ♠r ♣rés♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♥s ♣♦tq ♦♥trô sr ♥♦♥ s♠♥t sé sr ♥ st♠t♦♥s rés ①ét♦♥ ♣rs ♠s é♠♥t sr ♥ st♠t♦♥ s rés ①ét♦♥♠♦②♥♥s

P♦tq ♦♥trô s♠♣

♣♦tq ♦♥trô s♠♣ st sé ♥♦♥ s♠♥t sr s st♠t♦♥s ♣rs s rés ①ét♦♥ ♠s é♠♥t sr s st♠t♦♥s ♠♦②♥♥s s rés①ét♦♥ s st♠t♦♥s ♣♥t êtr ♦t♥s ♣r ♥②s sttq t♦ ♣r st♥qs ♣r♦♥ ❬❪

P♦tq st♦♥ qté s♠♣

tst♦♥ s rés ①ét♦♥ ♣rs st très ♣é♥s♥t ♣♦♥t s♣r♦r♠♥s ♠s ss ♥ ♣♦♥t rérté s ♥① qté st♦♥ st r q ♥♦s ♥ ♣♦♦♥s ♣s ♥♦s ♣ssr s rés ①ét♦♥♣rs ♣♦r r♥tr rs♣t s éé♥s ♠s st t♦t ♠ê♠ ♣♦ss tsrtrs st♠t♦♥s ♥ ♠① r♥s♥r ♦♥trôr ♥s s ♣♦tqs ♣rés♥tés♥s q st sr♦♥t ♥♦♥ s♠♥t sés sr s rés ①ét♦♥ ♣rs stàr Cwc ♠s é♠♥t sr s st♠t♦♥s ♠♦②♥♥s ♥♦tés Cav s r♥èrsr♣rés♥t♥t s rés ①ét♦♥ ♣r♦s ♦ t②♣qs s t♦♥s

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♠♦②♥♥

♦t SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ ♦s ♣♣♦♥s ♦♥


t♦♥ ré ①ét♦♥ ♠♦②♥♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♦r♠ Cav : A × Q → R+ t

q

Cav ≤ Cwc

P♦r t♦t t♦♥ a ∈ A ♦♥t♦♥ q 7→ Cav(a, q) st r♦ss♥t

♦s ♣♦♦♥s à ♣rtr tt ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♦♥strr ♣♦tq st♦♥ qté ♠♦②♥♥ tav

p st ♦♥srtr ♣r r♣♣♦rt ① rés ①é

t♦♥ ♠♦②♥♥ ♠s ét♥t ♦♥♥é q ♥♦s ♥♦♥s ♣s tavp ≤ tsfp ♥ r♥tt ♣s

q ♦♥trôr ♦sss s qtés ♣r♠tt♥t rs♣t s éé♥s ♦s ♦♥s♦♥ ♦r ♦♠♠♥t ♠é♥r s rés ①ét♦♥ ♠♦②♥♥s t ♣rs ♥ stsrs tr♦s rtèrs ①qs ♥♦s ♥♦s ♥térss♦♥s stàr rs♣t s éé♥s♥ tst♦♥ ♠①♠ s rss♦rs ♠s ss ♥ ♦♥♥ rérté s ♥① qté

♣♦tq st♦♥ qté s♠♣ st ♦♥strt ç♦♥ à ♣r♥r ♥ ♦♠♣tà ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♣rs ♣♣t♦♥ ♠s ss s♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠♦②♥ ♦♠♥s♦♥ s ① ♦♠♣♦rt♠♥ts ♣r♠t ♠é♦rr rérté s ♥① qté ♦ss ♣r st♦♥♥r té ♣♦tq st♦♥ qté s♠♣é♥ ♣rès ♣t ♦♥ êtr tsé ♣♦r ♠é♦rr tt rérté t♦t ♥ rs♣t♥ts ♦♥tr♥ts t♠♣s t tst♦♥ ♣♦tq st♦♥ qté sûr

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ s♠♣

♦t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) t ♥ ♦♥t♦♥ ré ①é

t♦♥ ♠♦②♥♥ Cav : A×Q→ R+ ♣♦tq st♦♥ qté s♠♣ tspp ♦rrs♣♦♥

à ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ s♠♣ Csp : A+ ×Q→ R+ é♥ ♣r

Csp = max Csf , Cav .

Pr♦♣♦st♦♥

♣♦tq st♦♥ qté s♠♣ tspp stst tspp = min tsfp , tavp


P♦r t♦t i ∈ 0, . . . , n− 1 t q ∈ Q ♥♦s ♦♥s

tspp (ai . . . an, si−1, q) = mini≤k≤n

D(ak)− Csp(ai .. ak, q)

= mini≤k≤n

D(ak) −max Cav(ai .. ak, q) , Csf (ai .. ak, q)

= mini≤k≤n

min D(ak)− Cav(ai .. ak, q) , D(ak)− Csf (ai .. ak, q)

= min mini≤k≤n

( D(ak)− Cav(ak, q) ) ,

mini≤k≤n

(D(ak)− Csf (ai .. ak, q) )

tspp (si−1, q) = min tavp (ai . . . an, si−1, q), t

sfp (ai . . . an, si−1, q) .


♥str ♣♦tq st♦♥ qté sûr ♣♦tq st♦♥ qtés♠♣ ♥st ♦♥srtr ♥ ♣r r♣♣♦rt à ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♠♦②♥♥ ♥♣r r♣♣♦rt à ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♣rs

①♠♣ ♦♥sér♦♥s ♥ s②stè♠ ♥s q ♣♦r t♦ts s t♦♥s a ∈ A t t♦s

s ♥① qté q ∈ Q = 0, 1 ♥♦s ♦♥s Cav(a, q) = q + 1 Cwc(a, q) = 2q + 1

t D(a) = 4 ♦♥s ♦r tspp (a1a2, s0, 1)

tspp (a1a2, s0, 1) = D(a2)−maxCav(a1a2, 1), Csf (a1a2, 1)

= D(a2)−maxCav(a1a2, 1), Cwc(a1, 1) + Cwc(a1, 0)

= D(a2)−max4, 3 + 1

= 4−max4, 4 = 0 .

♥st ♥♦s ♦♥s tspp (a2, s1, 1)

tspp (a2, s1, 1) = D(a2)−maxCav(a2, 1), Csf (a2, 1)

= 4−max2, 3 = 1 < 2 = Cav(a1, 1) .

♥s ♣♦tq st♦♥ qté s♠♣ ♥st ♣s ♦♥srtr ♣r r♣♣♦rt à ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♠♦②♥♥ Psq Cav ≤ Cwc ♥st ♣s ♥♦♥ ♣s♦♥srtr ♣r r♣♣♦rt à Cwc

s ♠tt♦♥s ♣♦tq s♠♣

♣♦tq ♦♥trô s♠♣ ♣rés♥t ♥térêt t♥r ♦♠♣t à ♦s ♥ rtèr sûrté t tst♦♥ ♦♥t♦♥ s rés ①ét♦♥ ♣rs t ♥rtèr rérté s ♥① qté t tst♦♥ s rés ①ét♦♥♠♦②♥♥s ♣♥♥t ♣t ♦♥r ♥s rt♥s s à s tt♦♥s qtétrès rréèrs t ♥ ♣rtr à ♥ rét♦♥ ♥ qté ♥t ♥ éé♥rtq

①♠♣ ♥ r♣r♥♥t ①♠♣ ♥♦s ♣♦♦♥s ♦r q ♦r♦♥♥♥♠♥t é

♥ ts♥t ♣♦tq st♦♥ qté s♠♣ tsfp ≥ t ♦♥♥ s tt♦♥s

qté ♣s réèrs q ♣♦tq st♦♥ qté sûr

♥s ♦♥trôr Γsp ♦st ♣r♦s ♥ ♥ qté q à ♥ ♥st♥t ♦♥♥é ♠ê♠s ♥st ♣s ♣ t♥r ♥ qté ♣r st ♥ q s rés ①ét♦♥ rés s♦♥t és ♦ ♠ê♠ ♥érrs ① rés ①ét♦♥ ♠♦②♥♥s ♦s♦♥sér♦♥s q ♣é♥♦♠è♥ ♥st ♣s ♣t ♥s ♠sr ♦ù s rés ①ét♦♥s ♠♦②♥♥s ét♥t ♦♥♥s ♥ ♦♥trôr rt êtr ♣ ♥t♣r t♦sr s ♥① qté rérs ♦rsq s rés ①ét♦♥ rés s♣♣r♦♥ts rés ♠♦②♥♥s

♦s ♦♥s ♥s st♦♥ s♥t ♣rés♥tr ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t


3

2

1

4

♥t

θ

♣♦tq s♠♣

♥t

r ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ①ét♦♥ ♦♥trôé ♣r ♣♦tq st♦♥ qté s♠♣

q ♣r♠t ♣r à ♣é♥♦♠è♥ ♥ ♦♠♥♥t ss s rés ①ét♦♥♠♦②♥♥s t ♣rs

P♦tq ♦♥trô ♠①t

♦s ♣rés♥t♦♥s ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t ♥str ♣♦tq st♦♥ qté s♠♣ ♣♦tq ♠①t st ♦♥strt à ♣rtr ♥ ♠é♥ ♥trs st♠t♦♥s ♣rs t s st♠t♦♥s ♠♦②♥♥s t ♣s ♣résé♠♥t ♥tr s ♦♥t♦♥sCav t Csf ♣♥♥t ♠é♥ st résé ç♦♥ ♦♣ ♣s ♥ ♥s s ♣♦tq ♠①t r str ér♥ ♥tr ♦♥t♦♥ Csp

t ♦♥t♦♥ Cmx ♦s ♦t♥♦♥s s♦rt ♥ ♠r st♠t♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ t ♦♥ ♥ ♣s r♥ rérté s ♥① qté♦ss ♣r ♦♥trôr r ♦♠♣r ♦♥strt♦♥ ♣♦tq ♦♥trôs♠♣ t ♣♦tq ♦♥trô ♠①t ♦♥trr♠♥t à ♣♦tq s♠♣ q♦st ♠①♠♠ ♥tr ré ①ét♦♥ sûr t ré ①ét♦♥ ♠♦②♥♥ ♣♦rt♦♥ ♦r♥t ♣♦tq s♠♣ t ♥ st♠t♦♥ q ♣t rrr ♣r st ♥ t ♣♦tq ♠①t t ♥ ♠é♥ ♥tr s rés ①ét♦♥ sûrst ♠♦②♥♥s ♣♦r t♦ts s t♦♥s rst♥t à ①étr ♥s ♦r♦♥♥♥♠♥t st àr q ♣♦tq ♠①t ♦sr ♠①♠♠ ♥tr ré ①ét♦♥ sûr ré①ét♦♥ ♠♦②♥♥ t s ♠é♥s ♥tr s

P♦r ♦♥strr ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t ♥♦s ♥tr♦s♦♥s ♦r ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♠①t Cmx ♦♠♥ tst♦♥ s ① ♦♥t♦♥s ré ①ét♦♥ Csf t Cav tt r♥èr st tsé ♣♦r ♠é♦rr rérté♥s ♦① s ♥① qté

é♥t♦♥ r sérté

♦s ♥tr♦s♦♥s δmax ♦♠♠ ♠①♠♠ ér♥ ♥tr ♦♠♣♦rt♠♥t ♣r

s t ♦♠♣♦rt♠♥t ♠♦②♥ stàr

δmax(ai .. ak, q) = maxi≤j≤k δ(aj .. ak, q),

♦ù δ(aj .. ak, q) = Csf (aj .. ak, q)− Cav(aj .. ak, q)


Csf (a2 . . . an, q)Cav(a1, q)

Cav(a1a2, q) Csf (a3 . . . an, q)

Csf (a4 . . . an, q)Cav(a1 . . . a3, q)

Cav(a1 . . . an−1, q)

Cav(a1 . . . an, q)

Csf (a1 . . . an, q)

Csf (an, q)

Cmx(a1 . . . an, q)

Csf (a1 . . . an, q)

Cav(a1 . . . an, q)

Csp(a1 . . . an, q)

= ♠①

= ♠①

r ♦♠♣rs♦♥ ♥tr s ♣♦tqs ♦♥trô ♠①t t s♠♣


①♠♣ ♦t ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t α = abcdefg t q > qmin ♥ ♥ qté ts

q s rés ①ét♦♥ s t♦♥s s♦♥t ♦♥♥és ♣r r ♥s s s ♦♥

t♦♥s k 7→ δ(ak . . . an, q) t k 7→ δmax(ak . . . an, q) s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r

t♦♥ x Cwc(x, q)− Cav(x, q) Cwc(x, qmin)− Cav(x, q)

a b c d e f g

r rés ①ét♦♥

♦t♦♥s q ♣♦r ♥ séq♥ t♦♥ ai .. ak t ♥ ♥ qté q δmax(ai ..

ak, q) st ♥ s♦rt ♠r sérté ♦♥t ♦♥trôr s♦♥ ♣♦r rs♣tr séé♥s st û à ♥rtt sr s rés ①ét♦♥

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♠①t

♦s ♣♣♦♥s ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♠①t ♦♥t♦♥ ♣rt Cmx : A∗ ×

Θ→ R+ é♥ ç♦♥ s♥t

Cmx = Cav + δmax .

é♥t♦♥ P♦tq st♦♥ qté ♠①t

♣♦tq st♦♥ qté ♠①t st é♥ ♣r ♦♥t♦♥ ♣rt tmxp :

A∗ ×Θ→ R ss♦é à ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♠①t Cmx

♣♦tq st♦♥ qté ♠①t st ♥ ♥t♥ sé sr ♦♥t♦♥ ré①ét♦♥ ♠①t tt r♥èr st ss ♥ ♠é♥ à r♥ ♥ ♥tr s ♦♥t♦♥s ré ①ét♦♥ ♠♦②♥♥s t sûrs t ♠é♥ st ♥t♣r sr♦ût♥t ♣r sûrté ♣r r♣♣♦rt ♦♠♣♦rt♠♥t ♠♦②♥ ♣♣t♦♥ sr♦ûtst ♠sré ♣r ♦♥t♦♥ δmax ♦♥t ♥♦s ♦♥s ♦♥♥é é♥t♦♥ sss

♣♦tq st♦♥ qté s♠♣ ♥st ♣r ♦♥srtr ♣r r♣♣♦rt ①st♠t♦♥s ♠♦②♥♥s q ①♣q ♠♥q rérté s ♥① qté♦t♥s ♣r♦s ♦♥trôr Γsp ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t st q♥tà ♦♥srtr ♣r r♣♣♦rt ① rés ①ét♦♥ ♠♦②♥♥s ♦♥r à ♥♠r rérté s ♥① qté

①♠♣ ♥ r♣r♥♥t ①♠♣ ♥♦s ♣♦♦♥s ♦r q ♦r♦♥♥♥♠♥t é

♥ ts♥t ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t tmxp ≥ t ♦♥♥ s tt♦♥s

qté ♣s réèrs q s ① trs ♣♦tqs st♦♥ qté


0

−10

−20

−30

−40

−50

10

20

30

4044

−54

k1 2 4 5 6 7 83

δmax(ak . . . an, q)

δ(ak . . . an, q)

r ♦♥t♦♥s k 7→ δ(ak . . . an, q) t k 7→ δmax(ak . . . an, q)

3

2

1

4

♥t ♥t

θ

♣♦tq ♠①t

r ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ①ét♦♥ ♦♥trôé ♣r ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t


♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥ ♣r♦è♠ ♦♥trô qté sr st à ♣rtr ♥ s②stè♠ ♦♥stté t♦♥s ♣r♠étrés ♣r s ♥① qté ♦♥tr♥ts ♣réé♥ t t♠♣s ♦r♥r ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t t ♥ ♦① qté stss♥t s ♣r♦♣rétés ♣r♠r é♥♦♥é ♣r♦è♠ étt sé sr ♦♥♥ss♥ s rés ①ét♦♥ s t♦♥s

♦s ♦♥s ♥st ét♥ ♣♦r ♣rés♥tr ♥s ♥ ♦♥t①t ♣s rést t ♣s♣r♦ s ♣♣t♦♥ q ♥♦s ét♦♥s ♥ t ♥s r s ♣♣t♦♥s ♠t♠é ré ①ét♦♥ s t♦♥s ♥st ♣s ♣rés st ♥♥é ♣r ♥♦♠r① ♣é♥♦♠è♥s q r♥ rt♠♥t ét♦r ♦s ♦♥s ♦♥ ♣rés♥té ♥♣r♦è♠ ♦ù s rés ①ét♦♥ ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s ♠s ♦r♥és ♣r ♥ ♣rs

P♦r rés♦r ♥♦s ♦♥s ♦♥sérr tr♦s ♣♦tqs ♦♥trô ♣r♠èr ♣♦tq sûr ♣r♠t stsr ♥q♠♥t ① ①♥s s ♣r♦♣rétés sûrté♥st ♥♦s ♦♥s ♣rés♥té ♣♦tq s♠♣ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♦♥trô ♥♦♥ s♠♥t sûr ♠s ss ♦♣t♠ ♦s ♦♥s ♠♦♥tré q s ① ♣♦tqs ♥ét♥t ♣sstss♥ts t qs ♣♦ssé♥t s ♠ts st rs♦♥ ♣♦r q ♥♦s ♦♥s♣r♦♣♦sé ♣♦tq ♦♥trô ♠①t

tt t♥q ♣r♠t à ♦s ré♣♦♥r ① ♣r♦♣rétés sûrté t ♦♣t♠té♠s ♣r♠t ss ♦r ♥ rérté ♥ ♦① s ♥① qté st sé sr ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ s rés ①ét♦♥ ♠♦②♥♥s t ♣rs ♣r♠t ♦t♥r ♥ ♠r st♠t♦♥ s rés ①ét♦♥ rés stss sé sr ♦♥strt♦♥ ♥ ♠r sérté ♣r♠tt♥t ♥ ♣s rérst♠♥t ♥ qté

t tst♦♥ tt ♠r t s ♠ét♦ ♦♠♥s♦♥ s rés①ét♦♥ tt t♥q ♥st ♣s ♠♥t ♥tr♣rét ♥ t ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♦♥trôé ♥st ♣s ♥tt ♣s s♦♥ st ♦♠♣① t t♦r ♥ ♦♥trô à r♥ ♥ ♠è♥ à ♥ sr♦ût ♦♥trôr tr♦♣ ♠♣♦rt♥t ♣♦r êtr♣♣qé rt♠♥t

♥s st ♥♦s ♦♥s ♣r♦♣♦sr ♥ ♦t ♣r♠tt♥t ♦♠♣r♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♣♣t♦♥ ♦♥trôé ♣r ♣♦tq ♠①t Ps ♥♦s rr♦♥s à ♣rtr t♦t ♦♠♠♥t rér sr♦ût é à tt ♣♦tq

♦♥trô s②♠♦q qté srP

♣tr ♣r♠s é♥r ♥♦♥ s♠♥t s ss ♣r♦è♠ ♦♥trô qté sr ♠s ss ♥ ♦♥♥r ♥ s♦t♦♥ ♣♦tq ♠①t ♣r♠t ré♣♦♥r ① tr♦s ♣r♦♣rétés sûrté ♦♣t♠té t rérté s tt♦♥s ♥ qté ♣♥♥t tt ♣♦tq ♥st ♣s ♥tt t ♦♥ s ♦♠♣ré♥s♦♥rst ♥ t ♠é♥ ♥tr s rés ①ét♦♥ ♣rs t ♠♦②♥♥s strésé à r♥s ♥s ♠s q ♦♠♣♦rt♠♥t ♥t ♦♠♠♥t ♣♣t♦♥ s♦♠♣♦rtt ré♠♥t st ♥ ♣rt s qst♦♥s q rst ♥ ss♣♥s t q♦q ♦♥ tst♦♥ ♥ t t♥q ♦♥trô ♣s s rés①ét♦♥ ♠①ts st ♦ût① ♥ tr♠ t♠♣s ♥ t t r s ♠rs sérté ♣♦r ♥ s t♦♥s rst♥ts t♥t ♦♥♥é q ♦♥trô st té♣♦r q t♦♥ sr résé ss à q t♦♥ t ♥trî♥r ♥sr♦ût ♦♥trôr ♣♦r ①ét♦♥ ♣♣t♦♥ ♥♦♥ ♥é

♣♦tq ♦♥trô st ♦♠♣♦sé ① t♦♥s ér♥ts ♣r♠èr st♦r♦♥♥♥♠♥t t ①è♠ ♦♥r♥ tt♦♥ qté ♥s ♣tr ♥♦s♥♦s ♦sr♦♥s sr ①è♠ ♣rt à s♦r ♦♠♠♥t ♥ qté st ♦sP♦r s ① ♣r♥♣s rs♦♥s q ♥♦s ♥♦♥s tr ♣tr ♣r♦♣♦sr étr ♥ r♣rés♥tt♦♥ r♣q à ① ♠♥s♦♥s r♠♠ s tsss ♣r♠t sé♠tsr é♦t♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♦♥trôé t ♦srr s ♦① ts ♣r st♦♥♥r qté ♣rtr tt r♣rés♥tt♦♥ r♣q♥♦s ♦♥♥r♦♥s ♥ ♥tr♣rétt♦♥ ♣♦tq ♦♥trô ♠①t

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♦s ♦♥s ♦sré à ♣rtr s ré♦♥s q ♥s ♣♣rt s ①ét♦♥s st ♣♦ss q ♦♥trôr ♦sss ♠ê♠ ♥ qté r♥èr ♣rt♣r♦♣♦sr ♦♥ ♥ ♠ét♦ ♣r♠tt♥t ♦♥strr sr r♠♠ s tsss sré♦♥s râ♠♥t stàr s ré♦♥s ♦ù st♦♥♥r té ♦st ♥♥ qté ♦♥st♥t ♣♦r ♥ rt♥ ♥♦♠r t♦♥s ♦s ♣r♦♣♦sr♦♥s ♣♦r ♥r♥ ♦rt♠ râ♠♥t ♦♥trôr sé sr s ♦♠♣rs♦♥s ♥tr t♠♣s ré


♣♣t♦♥ t s ♦r♥s s ③♦♥s râ♠♥t

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♥s ♣tr ♥♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ♦① st♦♥♥r qté ♥s♣rt é♥érté ♥♦s ♦♥sérr♦♥s ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t ① a1 . . . an t♥t ♦♥♥é♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) t ♥ séq♥ ①ét♦♥ (si, ti)

ai,qi−→ (si+1, ti+1) s ♦♠♣♦s♥ts si s♦♥t ♥q♠♥t étr♠♥és ♣r ♣tr

r♠♠ s ❱tsss

t♥q ♦♥trô é♥♠ért ♣réé♥t ♥tr♦t ♦♣ ♦♥♥és s à ♥tr♣rétr ♥ t ♦♣ éé♠♥ts ♥♦① s♦t♥t ♣r♦è♠ ♦s♣♦♦♥s tr ♠r sérté é♥t♦♥ t♦t ♦♠♠ ♦♠♥s♦♥ tt ♠r ré ①ét♦♥ ♠♦②♥♥ Psrs qst♦♥s ♥♥♥t ♦♥ ♣rtrr ♦♠♣ré♥s♦♥ tstr

q♦ ♦rrs♣♦♥ ♠r sérté ♥tr♦t ♣réé♠♠♥t st ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♣♣t♦♥ ♦♥trôé tt ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t

♥tr♣rétt♦♥ ♣t ♦♥ ♦♥♥r ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t tst♦♥ ♥ ♠r sérté ♣r♠t rs♣tr ♣r♦♣rété ♦♣t♠té

P♦r ré♣♦♥r à s qst♦♥s ♥♦s ♦♥s éé ♦♥♥r ♥ ♦t ♥♦s ♣r♠tt♥t r ♥ ♥②s tt ♣♦tq ♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♦♥ ♥ r♠♠ tsssq st ♥ r♣rés♥tt♦♥ r♣q s♣ étt ♣♣t♦♥ ♦♥trôé ttr♣rés♥tt♦♥ r♣q ♥♦s ♣r♠ttr ♠♦ésr s ♦① st♦♥♥r té ♣♦r ♣♦tq ♠①t P♦r ♥♦s ♦♥s ♥s tt st♦♥ ♣rés♥tr ♠♥èr ♦♥t st ♦♥strt r♠♠ Pr♠èr♠♥t ♥♦s é♥r♦♥s r♣rés♥tt♦♥r♣q ♣s ♥♦s ♥tr♦r♦♥s ♥♦t♦♥ tsss ♥st ♥♦s ♦♥♥r♦♥s ♥♥tr♣rétt♦♥ s ♦① st♦♥♥r té

é♥t♦♥ r♠♠ s tsss

s r♠♠s tsss r♣rés♥t♥t ♥s ♥ s♣ à ① ♠♥s♦♥s é♦t♦♥♥ s②stè♠ ♣r♠étré SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) t s♦♥ st♦♥♥r téré ♣r ♣♦tq ♠①t ① s ssss ♦rrs♣♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ réstàr à é♦t♦♥ t♠♣s ♦rs ①ét♦♥ ♣♣t♦♥ ① s♦r♦♥♥és r♣rés♥t t♠♣s rt é à ♣rtr t♠♣s ①ét♦♥ ♠♦②♥ t séé♥s t♠♣s rt ♦rrs♣♦♥ à é♦t♦♥ à ♥térr ♣♣t♦♥

♥s q st ♥♦s ♦♥s é♥r ♦r♠♠♥t s r♠♠s tsss ♠s

r♠♠ s ❱tsss

ss ♦♥♥r qqs réstts sr ♥tr♣rétt♦♥ ♣♦tq ♠①t ♥ tr♠s trs tss

♣rés♥tt♦♥ étt s②stè♠

♦♥t SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ t Γmx ♥♦♥trôr SPI(C) sé sr ♣♦tq ♦♥trô ♠①t ♦t (si, ti) ♥ étt SPI(C)||Γmx ♦♥t q ∈ Q ♥ ♥ qté t k ♥ éé♥ rtqD(ak) ♥ t♦♥ ♥s séq♥ t♦♥s rst♥ts ai+1 ak an

♦s ♦♥s trr r♠♠ s tsss ♦rrs♣♦♥♥t à éé♥ D(ak) t ♥ qté q st ♥ r♣rés♥tt♦♥ r♣q ♥ ① ♠♥s♦♥s sétts ♣♦sss s②stè♠ t s ♦① ♦♥trôr ♥ ♦♥t♦♥ s étts sss r♠♠ ♦rrs♣♦♥ à ♥é ré t♠♣s ♦ t♠♣sré t ♦s ♦♥s♦ré♠♥t D(ak) ≥ t ♦r♦♥♥é r♠♠ ♦rrs♣♦♥ à ♥ t♠♣s té♦rq sésr ♠♦è s rés ①ét♦♥ ♠♦②♥♥s t♠♣s té♦rq ♣r♠t ♠srr♥é ♣♣t♦♥ ♥s s s ♦s t♦♥s ♥ ♥♦r♠st♦♥ ♣r r♣♣♦rtà éé♥ D(ak) t s♦rt q r♠♠ t ♥ ♦r♠ rré ôté D(ak)Ps ♣résé♠♥t étt (si, ti) ♦rrs♣♦♥ à ♣♦st♦♥ (ti, yi(q)) ♥s r♠♠ stsss ♦ù yi(q) st ♦♥♥é ♣r

yi(q) =Cav(a1 .. ai, q)

Cav(a1 .. ak, q)·D(ak)

♥tt♠♥t yi(q) st rt♦ t♠♣s ♦♥s♦♠♠é à étt si ♣r r♣♣♦rt t t♠♣s s♣♦♥ D(ak) ♦t♦♥s q ♥♦r♠st♦♥ ♣r r♣♣♦rt à éé♥ ♠♣qq yk(q) = D(ak) ♦r r

♥s r♠♠ s tsss r ♥é ré t♠♣s à ♥é té♦rq t♠♣s ♥♦s ♣♦♦♥s ♥♦t♠♠♥t r q ♦♥ r♣ ♦rrs♣♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♣t♠ ♠s ss q s ♣♦♥ts (ti, yi(q)) s♦s ♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t① étts ♦ù ①ét♦♥ st é ♥ rtr ♣r r♣♣♦rt t♠♣s rt t ♥rs♠♥t♣♦r s ♣♦♥ts sss ♦♥ ♥♦s ♦♥sér♦♥s q ♣♣t♦♥ st ♥ ♥

é♥t♦♥

♦♥t (si, ti) t (sj , tj) ① étts SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) t q j > i ♦♥sé

r♦♥s rs ♣♦st♦♥s ♦rrs♣♦♥♥ts (ti, yi(q)) t (tj , yj(q)) sr r♠♠ s tsss

♣♦r ♥ qté q t ♥ ♦♥tr♥t t♠♣s D(ak) k ≥ j tr tss

vi,j(q) ♥tr (ti, yi(q)) t (tj , yj(q)) st ♦♥♥é ♣r rt♦♥

vi,j(q) =yj(q)− yi(q)

tj − ti.

①♠♣ r ♥♦s ♠♦♥tr ♠♥èr ♦♥t ♦♥ ♣t r♣rés♥tr é♦t♦♥

♣♣t♦♥ ♦s ♣♦♦♥s ♦♠♣r♥r sr t ①♠♣ t♥q tsé ♣♦r ♦♥trôr


ti

yi(q)

D(ak)

D(ak)

r ♣rés♥tt♦♥ r♠♠ tsss ♣♦r qté q t ♣♦r éé♥D(ak)

♥ ♣♣t♦♥ ♥s r é♥ér ♥ t ♥♦s ♦♥s tré ♦♥ t ♥tt

♠♥t ♥♦s ♦♦♥s ♦t♥r ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t q s r♣♣r♦ ♣s ♣♦ss

Pr♥♦♥s ①♠♣ ♣♦♥t (ti, yi(q)) ♦♥trôr ♦srr ♣♦st♦♥ ♣♦♥t t

♣tr tr qté ♥ ♦♥t♦♥ s ♣♦st♦♥ ♣r r♣♣♦rt à ♦♥ ♥s

s ♣rés st sss ♦♥ ♦♥ ♥ ♥ ♦♥trôr ♦rs ss②r

r♥tr ♣♣t♦♥

t ①♠♣ ♥♦s ♣r♠t ♦♠♣r♥r ♥tt♠♥t q t ♥ ♦♥trôr♣♣t♦♥ ♥s s é♥ér ♦s ♦♥s ♥s s ① st♦♥s s♥ts ♦♥♥r① é♥t♦♥s tsss ♣r♠tt♥t ①♣qr ♣s ♥ éts ♦♥t♦♥♥♠♥t ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t

❱tr tss é

P♦r ♥ ♥ qté q t ♥ ♣♦st♦♥ (ti, yi(q)) ♥s r♠♠ s tsss tr tss é vidl(q) ♦rrs♣♦♥ à tss s②stè♠ ♥s s ♦ùs rés ①ét♦♥ rés s♦♥t ①t♠♥t és ① rés ①ét♦♥ ♠♦②♥♥sCav P♦r ♥ ♥ qté q ♦♥♥é tss é vidl(q) ♥ é♣♥ ♣s ♣♦st♦♥ ♦r♥t (ti, yi(q)) ♠s ♥q♠♥t éé♥ rtq ♦♥séré ♥st♥t q éé♥ rtq ♥ ♥ ♣s s tsss és rst♥t s ♠ê♠s s♦rrs♣♦♥♥t à s rs ♥tr♥sèqs ♠♦è ♣♣t♦♥

é♥t♦♥

♦t SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ ♣♣♦s♦♥s q C =

Cav t qi+1 = . . . = qj = q ♦s ♦♥s tj − ti = C(a1 .. aj , q)−C(a1 .. ai, q) = C(ai+1 ..

aj , q) = Cav(ai+1 .. aj , q) = Cav(a1 .. aj , q)−Cav(a1 .. ai, q) ♦t k ♥ éé♥

rtq s t♦♥s k ≥ j ≥ i ♦t k ♥ éé♥ rtq s t♦♥s k ≥ j ≥ i

r♠♠ s ❱tsss

♦rs tr tss é vidl(q) ♥tr (ti, yi(q)) t (tj , yj(q)) st é à

vidl(q) =yj(q)− yi(q)

tj − ti

=D(ak)

Cav(a1 .. ak, q)·Cav(a1 .. aj , q)− Cav(a1 .. ai, q)

Cav(a1 .. aj , q)− Cav(a1 .. ai, q)♣rès

=D(ak)

Cav(a1 .. ak, q).

tr tss é vidl(q) st ♥é♣♥♥t ♦① i t j é♣♥s♠♥t éé♥ D(ak) t ♥ qté q s♥ q ♣♦r ♥tt♦♥ qté ♦♥st♥t trt♦r s②stè♠ sr r♠♠ st ♥ér♥s ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t é stàr C = Cav

❱tr tss ♦♣t♠

P♦r ♥ ♥ qté q t ♥ ♣♦st♦♥ (ti, yi(q)) ♥s r♠♠ s tsss tr tss ♦♣t♠ vopt(q) st ♦t♥ ♦♠♠ tr tss ♥tr ♣♦st♦♥♦r♥t (ti, yi(q)) t ♣♦♥t ♦♦r♦♥♥és (D(ak) − δmax(ai+1 .. ak, q), D(ak)) ♥②♥t ♣♦r ♣♦♥t (D(ak)− δmax(ai+1 .. ak, q), D(ak)) (D(ak), D(ak)) st♦♥♥r té rs♣t ♠r sérté δmax(ai+1 .. ak, q) q st ss♥t♣♦r ssrr tr♠♥s♦♥ ♣♣t♦♥ ♥t éé♥ D(ak) r δmax(ai+1 ..

ak, q) st ♥ ♠r sérté rtérsé ♣r ♦♠♣r♦♠s ♥tr sté t♦♣t♠té ♣♦r ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t

r ♦♥♥ ♥ ①♠♣ r♠♠ s tsss ♥s q s tsssés t ♦♣t♠s ♦♥t été r♣rés♥tés ♣♦r ♥ qté q st ♦♥ ♥♦♠♣♦rt♠♥t ♦♣t♠ ♥s ♠sr ♦ù ♦rrs♣♦♥ à ♥ qté ♦♥st♥t t ♥tst♦♥ ♠①♠ s rss♦rs stàr q t♦♥ αq(k) tr♠♥ ①t♠♥tà t D(αq(k)) q st s♦♥ éé♥

é♥t♦♥

♦t SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ ♦s ♣♣♦♥s

tsss ♦♣t♠s sûrs à étt (si, ti) SPI(C) ♣r r♣♣♦rt à éé♥ D(ak) ♣♦r

k ≥ i s tsss vopt(q) é♥s ♣♦r t♦t ♥ qté q ♣r

vopt(q) =D(ak)

Cav(a1 .. ak, q)·

Cav(ai+1 .. ak, q)

D(ak)− δmax(ai+1 .. ak, q)− ti

= vidl(q) ·Cav(ai+1 .. ak, q)


s é♥t♦♥s r♠♠ tsss t s trs tsss ♦♣t♠s tés ♦♥t ♥♦s ♣r♠ttr ♦♥♥r ♥ ♥tr♣rétt♦♥ ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t ♦s ♦♥s ♥s ♣rt s♥t ♦♥♥r ♥ ♣r♦♣♦st♦♥ ♣r♠tt♥t


ti

yi(q)

D(ak)

D(ak)

δmax

vidl(q)

vopt(q)

r ♣rés♥tt♦♥ s trs tsss és t ♦♣t♠s

♦♠♣rr s trs tsss ♦♣t♠s t és tt ♦♠♣rs♦♥ ♥♦s r à♦♠♣r♥r ♠é♥s♠ st♦♥ qté ♣♦r ♣♦tq ♠①t

♥tr♣rétt♦♥ ♣♦tq ♠①t

♥térêt tt r♣rés♥tt♦♥ r♣q ♥♦s ♦♥s ♦r rés ♥s ♦♠♣ré♥s♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥trôr ♥ t s é♥t♦♥s ♣réé♥ts ♦♥t ♥♦s♣r♠ttr ①♣qr s ♦① qté s♠♥t ♣r♦♣♦st♦♥ s♥t ♦♥♥ ♥♥tr♣rétt♦♥ ♣♦tq ♠①t ♥ tr♠s ♦♠♣rs♦♥ ♥tr s tsss ést s tsss ♦♣t♠s

♦♥t♦♥ ♠ssté tmxp ≥ t ss♦é à ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t

♣t s①♣r♠r s♠♣♠♥t ♥ tr♠s ♦♠♣rs♦♥ ♥tr tss é vidl(q) t tss ♦♣t♠ vopt(q) ss♦é Ps ♣résé♠♥t ♦♥t♦♥ ♠ssté st rs t s♠♥t s tss é vidl(q) st s♣érr ♦ é à tss ♦♣t♠ss♦é ♥ vopt(q) réstt st ♥térss♥t ♥s ♠sr ♦ù ♣r♠t trr s ♦① ♥ qté ♦t♥s ♣♦tq st♦♥ qté♠①t rt♠♥t ♥s r♠♠ s tsss Pr ①♠♣ ♥s r étt s②stè♠ ♦rrs♣♦♥♥t à ♣♦st♦♥ (t, y(q)) st t q ♥ qté q st♠ss ♥ t sr tt r tss é vidl(q) st s♣érr à tss♦♣t♠ vopt(q)

Pr♦♣♦st♦♥

♦♥t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♥ étt (si, ti) SPI(C)

♥ ♥ qté q t ♥ éé♥ D(ak) k > i ♥♦s ♦♥s

vidl(q) ≥ vopt(q) ⇐⇒ D(ak)− Cmx(ai+1 .. ak, q) ≥ ti .

r♠♠ s ❱tsss


♦s ♦♥s

vidl(q) ≥ vopt(q)

⇐⇒ vidl(q) ≥ vidl(q) ·Cav(ai+1 .. ak, q)


⇐⇒ 1 ≥Cav(ai+1 .. ak, q)

D(ak)− δmax(ai+1 .. ak, q)− ti⇐⇒ D(ak)− δmax(ai+1 .. ak, q)− ti ≥ Cav(ai+1 .. ak, q)

⇐⇒ D(ak)− δmax(ai+1 .. ak, q)− Cav(ai+1 .. ak, q) ≥ ti

⇐⇒ D(ak)− Cmx(ai+1 .. ak, q) ≥ ti . ♣rès é♥t♦♥ Cmx = Cav + δmax

♥s s ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t sttq t t♥t q éé♥ rtq♥ ♥ ♣s ♣r♦♣♦st♦♥ ♥♦s ♣r♠t r♣rés♥tr ♥s♠ s ♣♦st♦♥s(t, y(q)) t q ♥ qté q s♦t ♠ss ♣r r♣♣♦rt à ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t ♦s ts♦♥s tss ♦♣t♠ q ♥ ♦rrs♣♦♥ ♣s à ♥ tst♦♥♠①♠ s rss♦rs ♠s D(ak)−δmax ♥tés t♠♣s sr s D(ak) s♣♦♥s♥s ♣s r δmax sr ♣tt ♣s tst♦♥ s rss♦rs sr ♣r♦ ♠①♠♠ s♦rt ♥♦s s♦♥s ♣♣rîtr t q rs♣t s éé♥s♠t ♥ét♠♥t ♠①♠st♦♥ t t♠♣s ♦♥trôr ♣ré♦t ♣rr δmax ♥tés t♠♣s s s rés ①ét♦♥ rés s♦♥t ♥tqs ① rés①ét♦♥ ♠♦②♥♥s ♥ ♥t♥ s♦♥ s rés ①ét♦♥ s②stè♠ ♣rtré ♣t êtr ér♥t tt r

♥tt♠♥t ♥♦s ♦②♦♥s ♥s r♠♠ s tsss q r δmax strtérstq ♥s ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t ♥ t ♠sr ér♥ ♥tr ♦♠♣♦rt♠♥t ♣rs t ♦♠♣♦rt♠♥t ♠♦②♥ t ♦♥ ♥ ♥ ♥rtt q ①st sr s rés ①ét♦♥ rés ♦s ♦♥s ♦r q ①trs ♠t♥t tst♦♥ t t♠♣s ♣r♠r st st♠♥t ♥rttsr s rés ①ét♦♥ sr ♠sré râ à ♦♥t♦♥ δmax s♦♥ ♦♥r♥ r♥rté ♦♥trô ♥ t ♣s r♥rté ♦♥trô st ♥ t ♣s ♦♥trôr sr ♥ ♠sr ♠①♠sr t t♠♣s ♥ s♣♣r♦♥t ♣s ♣rèss éé♥s ♥s r♠♠ s♥tr♣rèt ♣r ♥ ♠r ♣♣r♦①♠t♦♥ tss é ♣r s ♥① qté srts s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥

r♠♠ s tsss ♥♦s ♣r♠t ♦r ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♦♥trôé ♦s ♣♦♦♥s à ♣rtr tt r♣rés♥tt♦♥ r♣q s♦rq ♥ qté sr ♦s ♣♦r s ♣r♦♥s t♦♥s ♠s ss ♣r♠ttr ♥♠r ♦♠♣ré♥s♦♥ ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t ♥ q ♦♥r♥ t t♠♣s ♦s ♦♥s ♥s q st ♥♦s ♥térssr à ♠♦ést♦♥ s


♥① qté ♥s tt r♣rés♥tt♦♥ t ♥s ♣r♦♣♦sr ♥ t♥q ♦♥trôsé sr


r♠♠ s tsss é♥ ♣réé♠♠♥t ♥♦s ♣r♠t sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♦♥trôé ♣♦r q étt ♥s tt st♦♥ ♥♦s ♦♥s ♣r♦♣♦sr ♥ r♣rés♥tt♦♥ ♣s ♣rés s ♦① ♦♥trôr tt r♣rés♥tt♦♥ ♥♦s♦♥r à ♥ ét s②♠♦q t♥q ♦♥trô

r♠♠ s tsss ♦t êtr ♦♥strt ♣♦r q étt SPI(C)||Γav t♣♦r q ♥ qté ♥s rst ♣tr ♥♦s ♦♥s ♦♥sérr ♥ s♣rtr ♥s q ♥♦s ♣♦rr♦♥s ♦♠♣rr s ér♥ts étts s②stè♠ t sér♥ts qtés sr ♥ ♥q r♠♠ s tsss

é♦♣ r♠♠ s tsss ♥ ré♦♥s qté

r♣rés♥tt♦♥ r♣q ♥♦s ♣r♠s ♦♠♣r♥r ♠♥èr ♦♥t st t ♦① s ♥① qté s ♦① s♦♥t résés ♥ tr♠s ♦♠♣rs♦♥ ♥trs trs tsss ♦♣t♠s t s trs tsss és ♥s q st♥♦s ♦♥s ♠♦♥trr q st ♣♦ss ♠♦ésr s ré♦♥s qté s r♥èrsr♣rés♥t♥t s ③♦♥s r♠♠ s tsss ♦ù ♦♥ st q ♦♥trôr ♦sts ♥① qté ♦♥st♥ts

é♥t♦♥

♦♥t SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ t Γmx ♥ ♦♥trôr

ts♥t ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t ♠①t ❯♥ ré♦♥ qté Rq ♣♦r ♥ ♥

qté q st ♥ s♦s♥s♠ étts (si, ti) SPI(C) é♥ ♣r

Rq =

(si, ti) | Γmx(si, ti) = (ai+1, q)

.

♥tt♠♥t sr r ♥♦s ♦②♦♥s q tt ré♦♥ st é♠té ♣rs r♦♥tèrs ♦♥t (si, ti) ♥ étt ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPI(C) =

(G, Q, Cwc, D, C) t (ti, yi(q)) ♣♦♥t r♠♠ s tsss ♦rrs♣♦♥♥t à étt♦r♥t s②stè♠ ♣♦r ♥ éé♥ D(ak) k ≥ i st ♣♦ss ♠♦♥trr q tmx

p

st ♥ ♦♥t♦♥ ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ q ♥ s s♥t sr t q Cmx st ♥♦♥t♦♥ r♦ss♥t

q ♠♣q q ♣♦r q < qmax Γmx(si, ti) = (ai+1, q) s t s♠♥t s tmx

p (ai+1 . . . an, si, q) ≥ tit ti > tmx

p (ai+1 . . . an, si, q + 1)


D(ak)

D(ak)

Rq

yi(q)

tmxp (ai+1 . . . an, si, q)tmx

p (ai+1 . . . an, si, q + 1)

r é♦♥ qté ♣♦r ♥ ♥ qté q

♣♦r q = qmax Γmx(si, ti) = (ai+1, q) s t s♠♥t s tmxp (ai+1 . . . an, si, q) ≥ ti

♣rès ♣r♦♣♦st♦♥ q ♠è♥ à ♣r♦♣♦st♦♥ s♥t

Pr♦♣♦st♦♥

P♦r ♥ ♥ qté ♦♥♥é t ♥ étt (si, qi) (si, ti) ∈ Rq s t s♠♥t s

ti ∈]

tmxp (ai+1 . . . an, si, q + 1) , tmx

p (ai+1 . . . an, si, q)]

♣♦r q < qmax

ti ∈]

−∞, tmxp (ai+1 . . . an, si, q)

]

♣♦r q = qmax .

tt ♣r♦♣♦st♦♥ ♣r♠t r s ré♦♥s qté Rq

❱rs ♥ t♥q ♦♥trô s②♠♦q

♣rtr s é♥t♦♥s s ré♦♥s qté s ♦① ♦♥trôr ♥♥♥té♥t ♣♦r q étt Pr♥♦♥s ♥ ①♠♣ ♠♦♥tr♥t ①ét♦♥ ♥tèr ♥ ♣♣t♦♥ ♦♥trôé

①♠♣ r ♥♦s ♣rés♥t ♥ r♠♠ s tsss q été r♦té

s ré♦♥s qté ♥s tt ①♠♣ ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ s②stè♠ ♦♠♣♦rt♥t qtr

qtés q = 0, 1, 2, 3 ♣rtr r♠♠ ♥♦s ♣♦♦♥s rt♠♥t ♦♠♣r♥r

♠♥èr ♦♥t sr t ♦① ♥ qté ♥ t ♣r♥♦♥s ①ét♦♥

♣♣t♦♥ sq ♣♦♥t (yi(q), ti) ré♦♥ ♥s q s stt tr ①é

t♦♥ étt qté ♣♥♥t ♥ ts♥t tt qté ♣♣t♦♥ tt♥t

♥ ♣♦♥t ré♦♥ qté ♥érr ♠♦♠♥t à ♦♥trôr ♦♥ ♦sr

qté q ♣r♠ttr stsr s ♣r♦♣rétés sûrté t ♦♣t♠té


3

2

1 0

D(ak)

D(ak)

yi(q)

ti

r ①♠♣ r♠♠ s tsss ♠♥ ss ré♦♥s qté

tst♦♥ r♠♠ s tsss é♦♣é ♥ ré♦♥s s♠♣ ♦♠♣ré♥s♦♥ t♥q ♦♥trô ♣r♠t érr t♦s s ♦① ♦♥trôr ♣♦ssss ré♦♥s qté Rq ♥♦s ♣r♠tt♥t ♦♠♣r♥r ①t♠♥t ♦♥t♦♥♥♠♥t st♦♥♥r té ♥ t s♦♥ étt ♦ù ♣♣t♦♥ s st st ss③s♠♣ ♣r ♦♥strt♦♥ r♠♠ s tsss s♦r q ♥ qté ♦♥trôr ♦sr

♣♥♥t r♠♠ s tsss ♥st ♣♦r ♥st♥t q♥ r♣rés♥tt♦♥ r♣q ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♦♥trôé ♣rtr s ré♦♥s q ♦♥ ♥t é♥r s ♦① s ♥① qté ♥♥♥t é♥ts ♣♦r tstr ♥ss ♣♣t♦♥ s tr♦ ♥s ré♦♥ qté Rq ♦♥trôr t♦♠tq♠♥t♦sr qté q ♦s ♦♥s ♦r q st ♣♦ss tsr tt ♦srt♦♥ ♣♦r♠♦r ♠ét♦ ♣r♠tt♥t ♦♥trôr ♣♣t♦♥

t♥q ♦♥trô tsé st t é♥♠ért qt st û à s♦♥rtèr t♦r ♣♦r q ♣s ♦♥trô tt t♥q st t très♦ûts ♥ t ♣♦r q étt st ♥éssr rr tmx

p q ♠♣q rr ♣srs rs ♥♦t♠♠♥t δmax ♠♥ ♦♥ ♣r♦rr ♣srs♦s séq♥ t♦♥s q rst à ①étr ♣s t♥q st♦♥ qtés♣♣♦s q st♦♥♥r té st ♣♣é ♥t ①étr q t♦♥ ♣♣t♦♥ Psq st♦♥♥r té t ♣♣t♦♥ s♦♥t ♦♠♣♦sés ♥s♠s ② ♥ sr♦ût ♣♦r ①étr st♦♥♥r té ❯♥ ♣r♦è♠ ♠♣♦rt♥t st rér sr♦ût

P♦r rér ♦ût ♣t êtr ♥térss♥t tsr ♥ t♥q ♣s t♦♠tq ♠s rs♣t♥t s ♠ê♠s ♣r♦♣rétés q ♠ét♦ é♥♠ért ♥ s s♥tsr s ♦srt♦♥s résés ♣♦r s r♠♠s tsss ♥♦s ♦♥s ♣r♦♣♦sé ♥♠ét♦ t s②♠♦q tt ♠ét♦ ts rt♠♥t r♠♠ s tsss ♥♠♦és♥t s ré♦♥s qté st ♣♦ss ♣♦r ♦♥trôr r s ♦① ♥


♦sr♥t s♠♣♠♥t ré♦♥ ♥s q s tr♦

♦rt♠ ♣r♦♣♦s ♥ ♦♥trôr Γmx sé sr s ré♦♥s qtét ♦rt♠ ♣r♥ ♥ ♥tré s t♦♥s rst♥t à ①étr ai . . . an t♠♣s t t t é♥t♦♥ s ré♦♥s qté RQ RQ r♣rés♥t ♥s♠ s ré♦♥s ♣♦r qqté t ♦rt♠ ♦♥t♦♥♥ ♦♠♠ ♣rés♥té ♥s st♦♥ ♦rt♠ ♥ t rr à q ♥ qté t♦♥ ai ♦t êtr ①été ♣♦rq ♣♣t♦♥ ♣ss ♥r ♥s s t♠♣s ♥ ts♥t ♠①♠♠ t t♠♣s s ér♥ rés ♥s ♠♥èr ♦sr tt qté ♥ t t♥q♦♠♣r t♠♣s t à ♦♥t♦♥ tmx

p q t r ♣♦r q étt ♦rs q♣♦r ♠ét♦ s②♠♦q ♥♦s ér♦♥s q t♠♣s t t st ♥s ré♦♥ qté Rq

Γmxai . . . anRQti

qm = qmin

♦r q ∈ Q ♦

ti ∈ Rq t♥

qm = q

♥

♥

rtr♥ (a, q) = (ai, qm)

♦rt♠ ♦rt♠ ♦♥trôr Γmx sé sr s ré♦♥s qté

♥s ♣tr ♥♦s ♣r♦♣♦sr♦♥s s ①♣ér♠♥tt♦♥s ♣r♠tt♥t ♦♠♣rrs ① t♥qs ♦♥trô t♥q é♥♠ért t t♥q s②♠♦q♦s ♠♦♥trr♦♥s té ♠ét♦ s②♠♦q t ♠é♦rt♦♥ ♥ réstt ♣♣t♦♥ ♦♥trôé q st ♣♦ss ♦t♥r


♦s ♦♥s ♥s st♦♥ ♣réé♥t q ♣♣ st♦♥♥r té♦t ♥ sr♦ût à ①ét♦♥ ♣♣t♦♥ ♦s ♦♥s ♦♥ ♣r♦♣♦sé ♥ ♠ét♦s②♠♦q ♣r♠tt♥t rér ♦♠♣①té s t♦♥s q rés ♦♥trôr ♥stt st♦♥ ♥♦s ♦♥s ①♣qr ♦♠♠♥t r①r r♥rté ♦♥trô stàrrér ♥♦♠r ♣♣s st♦♥♥r té

❱rs ♥ râ♠♥t ♦♥trôr

t♥q ♦♥trô s②♠♦q ♣r♠t ♦rs t éà rér ♥♦♠rs♦♣ért♦♥s résés à q ♣♣ ♦♥trôr st éà ♥ ♥é ♥s


t♥q ♦♥trô ♥ t ♣♣t♦♥ ♣♦♦r ♠é♦rr qté q ♦st♥ ②♥t ♣s t♠♣s ♣♦r s①étr ♥ t s t♠♣s ♠♣rt ♦♥trôr strét ♠♥t à ♥rs t♠♣s q ♣♣t♦♥ ♣♦ssè ♣♦r résr ss♦rt♠s ♦ s t t tt t♥q ♣r♠t ♠♥tr qté réstt ♣♣t♦♥ ♦♥trôé ♣♥♥t ♥♦s ♦♥s ♦r q ♥s rt♥sstt♦♥s srt ♣♦ss ♠♥r s ♣♣s ♦♥trôr s♥s ♦r s ♣r♦♣rétés sûrté t ♦♣t♠té

①♠♣ ①♠♣ r ♥♦s ♠♦♥tr tr ①ét♦♥ ♥ ♣♣

t♦♥ ♦♥trôé ♥♦s s♦♥s ①ét♦♥ sr r♠♠ s tsss ♥♦s ♣♦♦♥s

♦srr s ③♦♥s ♦ù ♦♥trôr t ♥ ♦① sr s ♥① qté ♥tq ♣♦r

s t♦♥s ♦♥séts Pr ①♠♣ ♦st ♥ qté 2 ♣♦r séq♥

t♦♥s a0 . . . ai t ♦st ♥ qté ♣♦r ai . . . aj ♦♠♣♦rt♠♥t

♥t♦ré ♥s tt stt♦♥ ♣♣ ♦♥trôr ♥t ♦♥ r♦♥♥t srt

tr ♥ qté éqt ♣♦r ♥s♠ tt séq♥ ♣♦r ♦t♥r ♥

réstt ♥tq

3

2

1 0

D(ak)

D(ak)y0(q)

yj(q)

yi(q)

r ①♠♣ râ♠♥t ♦♥trôr

t ①♠♣ ♠t ♥ ♥t t q st ♣♦ss ♦t♥r rt♥s stt♦♥s ♦ù ♦♥trô à q t♦♥ ♥st ♣s sté ♥ t ♣♦r ♣srs t♦♥s ♦♥séts ♦♥trôr ♦sr ♠ê♠ qté ♥s ♦♥ ♣t s ♠♥r s ♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ♥st ♣s ♣rés st s ♦rs st ♣♦ss râr s ♣♣s ♦♥trôr

♥tt♠♥t ♦♥ ♣t s r q st ♣♦ss rér s ré♦♥s râ♠♥tà ♣rtr s ré♦♥s qté ♥ t r♣r♥♦♥s ①♠♣ r ♣♦r séq♥ a0 . . . ai srt ♣♦ss r ♣♣ ♦♥trôr ♣♦r t♦♥ a0 ♣s rr ♣♣ ♦♥trôr s♠♥t à ♣rtr t♦♥ ai ♥ t st ♠♦♠♥t①étr t♦♥ ai q st ♣♦ss ♥r ♥ qté P♦r rst♥t séq♥ ♦♥trôr ♣t ttrr t♦♠tq♠♥t stàr s♥s ♦♠♣rs♦♥


♥ ♥ qté ♦s ♣♦r t♦♥ a0 ♦♥ st ♣♦ss ♠♥r ♥③♦♥ râ♠♥t i ♣s stàr q ♣♦r s i ♣r♦♥s t♦♥s ♦♥ st sûrq ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♥ ♣t ♣s s♦rtr ré♦♥ qté Rq ♥sq s st ♠♦♠♥t ♣♣ ♦♥trôr

♦s ♦♥s éé rér s ré♦♥s râ♠♥t ♦♥trôr à ♣rtr sré♦♥s qté s ré♦♥s r♦♥t ♥♦s ssrr ré♣♦♥r ① ♠ê♠s ♣r♦♣rétésq t♥q é♥♠ért stàr q t qs s♦♥t ♦♥strts ts♦rt q s ♥♠♥ts ♥ qté ♥tr♥♥♥t ① ♠ê♠s ♥st♥ts qs ♦♥trô étt sé sr t♥q é♥♠ért P♦r t q t♥q râ♠♥t ♣ré♦t s s ①trê♠s stàr s stt♦♥s ♦ù ♣♣t♦♥ ♣♦ssté s♦rtr ré♦♥ qté ♦r♥t ♥ ♣t ♦♥sttr q ♣♦r s♦rtr tt ré♦♥ t s♦t q ♣♣t♦♥ t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠r q st♠é s♦t ♠♦♥s ♦♥ stàr q ♦♥ ♣t ér ① s

♣♦r t♦♥ ♦r♥t ai ♥♦s ♦♦♥s ♦♥♥îtr ♥♦♠r ♣s ♥t q♣♣t♦♥ ♣♦rr tt♥r ré♦♥ qté s♣érr à qté♦r♥t stàr ré♦♥ qté R3 ♥s ①♠♣ P♦r t ♦r♥ st♠t♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ ♠rs ♥♦s ♣r♠ttrt ♦r♥ ♦r♥ ♥érr s rés ①ét♦♥ t♦♥ P♦r r ♥♦♠r ♣s râ♠♥t ♦♥ ♦♠♣tr ♥♦♠r t♦♥s q ♦♥ ♣t ①étr à ♣rtr t♦♥ ♦r♥t ♥ ♣r♥♥t ♦♠♠ st♠t♦♥ s rs s rés ①ét♦♥♠rs ♦rrs♣♦♥ tré ♦♠♣♦rt♠♥t BC r

♣♦r t♦♥ ♦r♥t ai ♥♦s ♦♦♥s ♦♥♥îtr ♥♦♠r ♣s ♥t q♣♣t♦♥ ♣♦rr tt♥r ré♦♥ qté ♥érr à qté♦r♥t stàr ré♦♥ qté R1 ①♠♣ ♦s ♦♥♥ss♦♥s ♣♦rq t♦♥ s ré ①ét♦♥ ♣rs ♥♦s ♣r♠ttr r ♥♦♠r t♦♥s q ♦♥ ♣t râr ♥t tt♥r ré♦♥ qté♥érr ♦rrs♣♦♥ tré ♦♠♣♦rt♠♥t WC r

♣rtr s ① rs st ♣♦ss r ♥♦♠r t♦♥s q ♥♦s♣♦rr♦♥s râr ♥ ét♥t sûr rs♣tr ♠ê♠ ♦♠♣♦rt♠♥t q ♦♥trôré♥♠ért ♥ t s ① stt♦♥s ♣réé♥ts r♣rés♥t♥t s stt♦♥s ♥r♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♦ss ♣♣t♦♥ ♦♥ s ♦♥ ♦r♥ ①ét♦♥ ♥ ♣r♥♥t ♥♦♠♣t s ① ♦♠♣♦rt♠♥ts ♥♦s s♦♠♠s sûrs rs♣tr s ♠ê♠s ♣r♦♣rétésq ♦♥trôr é♥♠ért P♦r ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s ① ♦♠♣♦rt♠♥ts ♥♦s♣r♥r♦♥s ♣♦r ♥♦♠r ♣s râ♠♥t ♠♥♠♠ ♣s ♦t♥s ♥s s ①s

s ré♦♥s râ♠♥t ♦♥trôr

♦s ♦♥s sss ♠ét♦ ♥tt râ♠♥t ♦♥trôr ♦s♦♥s ♣r♦♣♦sr ♥s tt st♦♥ ♥ ♦r♠st♦♥ s ré♦♥s râ♠♥t Ps♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥ ♦rt♠ râ♠♥t ♦♥trôr sé sr s ré♦♥s


3

1 0

2

BC

WC

D(ak)

D(ak)

yi(q)

ti

r ♥tt♦♥ sr râ♠♥t ♦♥trôr

é♥t♦♥s

♦s é♥ss♦♥s s ré♦♥s râ♠♥t ♦♥trôr q s♦♥t ♥s♠ sétts ♥s sqs st♦♥♥r té ♣t êtr râé s♥s érr qté ♦♥trô

♦t (si, ti) ♥ étt s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C)♣♣♦s♦♥s q st♦♥♥r té Γmx ♦sss ♥ qté q ♣♦r étt(si, ti) ♦rrs♣♦♥ à (si, ti) ∈ Rq ♦s ♦♥sér♦♥s ♥ t♥q ♦♥srt râ♠♥t ♦♥trôr st♦♥♥r té ♣t êtr râé ♣♦r r ≥ 1 ♣s s ♥♦s ssr♦♥s q ♥ qté q ♦♥ ♦st ♣♦r t♦ts s ♣r♦♥sr t♦♥s ai+1 ai+2 ai+r st q

é♥t♦♥

♦♥t SPI(C) = (G, Q, Cwc, D, C) ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ t Γmx ♥ ♦♥trôr

ts♥t ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t ♠①t ❯♥ ré♦♥ râ♠♥t ♦♥trô

r Rrq ♣♦r ♥ ♥ qté q t ♥ ♥tr r ≥ 1 st é♥ ♣r

(si, ti) ∈ Rrq ⇔ (si, ti) ∈ Rq ∧ ∀(sj , tj) ∈ postr−1

q (si, ti), (sj , tj) ∈ Rq

♦ù postrq(si, ti) = ∀p ∈[

1, r]

(si+p, ti+p) | ti+p ∈[

ti, ti + Cwc(ai+1 . . . ai+p, q)]

st ♥

s♠ s sssrs ♣♦sss (si, ti) ♣rès r t♦♥s

♦s ♦♥sér♦♥s s étts (sj , tj) j ∈ i, i + 1, . . . , i + r − 1 SPI(C) =

(G, Q, Cwc, D, C)||Γmx t tr♦♦♥s ♥ ♦♥t♦♥ ♣♦r s étts êtr ♥s Rq ♦rr P♦r ♥st♥t r ♠♦♥tr s ♦ù ♣r♦♣rété ♥st ♣s ststt st♦♥♥r té ♥ ♣t ♣s râr ♦♥trôr à ♣rtr étt (si, ti)

♣♦r r ♣s


Régions accessibles

D(ak)

D(ak)

Rq

yi(q)

yi+r−1(q) à ♣rtr (yi(q), ti)

♣rès r t♦♥s

ti + Cwc(ai+1 . . . ai+r, q)ti

r â♠♥t ♦♥trô ♣r♥♣

Pr♦♣♦st♦♥

P♦r ♥ ♥ qté q ♥ ♥tr r ≥ 1 t ♥ étt (si, qi) (si, ti) ∈ Rrq s t s♠♥t

s

ti ∈]

tmxp (ai+r . . . an, si+r−1, q + 1) , tmx,r

p (ai+1 . . . an, si, q)]

♣♦r q < qmax

ti ∈]

−∞ , tmx,rp (ai+1 . . . an, si, q)

]

♣♦r q = qmax,

♦ù tmx,rp (ai+1 . . . an, si, q) = mintmx

p (ai+1 . . . an, si, q), mini+1≤j≤i+r−1 tmxp (aj+1 . . . an, sj , q)−

Cwc(ai+1 .. aj , q)


♥ ♣r é♥t♦♥

(si, ti) ∈ Rrq ⇔ (si, ti) ∈ Rq ∧ ∀(sj , tj) ∈ postr−1

q (si, ti), (sj , tj) ∈ Rq

♦s ♦♥s st♥r ① s

• q = qmax

♣rès ♣r♦♣♦st♦♥ ♥♦s ♦♥s

(si, ti) ∈ Rrq ⇔ ti ∈

]

−∞, tmxp (ai+1 . . . an, si, q)

]

∧

∀(sj , tj) ∈ postr−1q (si, ti), tj ∈

]

−∞, tmxp (aj+1 . . . an, sj , q)

]

⇔ ti ∈]

−∞, tmxp (ai+1 . . . an, si, q)

]

∧

∀j ∈[

i + 1, i + r − 1]

∀tj ∈[

ti, ti + Cwc(ai+1 . . . aj , q)]

,

tj ∈]

−∞, tmxp (aj+1 . . . an, sj , q)

]


t♥t ♦♥♥é q tj ∈[

ti, ti + Cwc(ai+1 . . . aj , q)]

♦♥ ♣t érr


]

−∞, tmxp (ai+1 . . . an, si, q)

]

∧

∀j ∈[

i + 1, i + r − 1]

,[

ti, ti + Cwc(ai+1 . . . aj , q)]

⊆]

−∞, tmxp (aj+1 . . . an, sj , q)

]

⇔ ti ∈]

−∞, tmxp (ai+1 . . . an, si, q)

]

∧

∀j ∈[

i + 1, i + r − 1]

,

ti + Cwc(ai+1 . . . aj , q) ≤ tmxp (aj+1 . . . an, sj , q)

⇔ ti ≤ tmxp (ai+1 . . . an, si, q) ∧

∀j ∈[

i + 1, i + r − 1]

,

ti ≤ tmxp (aj+1 . . . an, sj , q)− Cwc(ai+1 . . . aj , q)

⇔ ti ≤ mintmxp (ai+1 . . . an, si, q),

mini+1≤j≤i+r−1

tmxp (aj+1 . . . an, sj , q)− Cwc(ai+1 .. aj , q)

♦♥ ♣r é♥t♦♥ tmx,rp ♥♦s ♦♥s ♣♦r q = qmax


]

−∞, tmx,rp (ai+1 . . . an, si, q)

]

• q < qmax

♣rès ♣r♦♣♦st♦♥ ♥♦s ♦♥s


]

tmxp (ai+1 . . . an, si, q + 1), tmx

p (ai+1 . . . an, si, q)]

∧

∀(sj , tj) ∈ postr−1q (si, ti),

tj ∈]

tmxp (aj+1 . . . an, sj , q + 1), tmx

p (aj+1 . . . an, sj , q)]

⇔ ti ∈]

tmxp (ai+1 . . . an, si, q + 1), tmx

p (ai+1 . . . an, si, q)]

∧

∀j ∈[

i + 1, i + r − 1]

∀tj ∈[

ti, ti + Cwc(ai+1 . . . aj , q)]

,

tj ∈]

tmxp (aj+1 . . . an, sj , q + 1), tmx

p (aj+1 . . . an, sj , q)]

t♥t ♦♥♥é q tj ∈[

ti, ti + Cwc(ai+1 . . . aj , q)]

♦♥ ♣t érr


]

tmxp (ai+1 . . . an, si, q + 1), tmx

p (ai+1 . . . an, si, q)]

∧

∀j ∈[

i + 1, i + r − 1]

,[

ti, ti + Cwc(ai+1 . . . aj , q)]

⊆]

tmxp (aj+1 . . . an, sj , q + 1), tmx

p (aj+1 . . . an, sj , q)]

⇔ tmxp (ai+1 . . . an, si, q + 1) < ti ≤ tmx

p (ai+1 . . . an, si, q) ∧

∀j ∈[

i + 1, i + r − 1]

,

tmxp (aj+1 . . . an, sj , q + 1) < ti ≤ tmx

p (aj+1 . . . an, sj , q)− Cwc(ai+1 . . . aj , q)


♥ ♣rtr ♥♦s ♦♥s

tmxp (ai+r . . . an, si+r−1, q + 1) < ti

♥s ♣r é♥t♦♥ tmx,rp ♥♦s ♦♥s ♣♦r q < qmax


]

tmxp (ai+r . . . an, si+r−1, q + 1), tmx,r

p (ai+1 . . . an, si, q)]

♦♥ ♦♥ ♣t ♦♥r q

(si, ti) ∈ Rrq ⇔

ti ∈]

tmxp (ai+r . . . an, si+r−1, q + 1) , tmx,r

p (ai+1 . . . an, si, q)]

♣♦r q < qmax

ti ∈]

−∞ , tmx,rp (ai+1 . . . an, si, q)

]

♣♦r q = qmax,

D(ak)

D(ak)

Rq

Rrq

r é♦♥ râ♠♥t ♦♥trôr

♦rt♠ ♦♥trôr râé

♠ét♦ s ré♦♥s râ♠♥t ts s ♦♣ért♦♥s t♥q ♦♥trô é♥♠ért P♦r tt rs♦♥ st ♦♥ ♥éssr ♣rér ♥é♥t♦♥ s ré♦♥s Rr

q ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t s rs râ♠♥t ♣rt♥♥tss ré♦♥s râ♠♥t ♦♥t ♣r♠ttr ♦♥strt♦♥ ♥ ♦♥trôr Γmx râéP♦r ♥ ♦♠♣r♥r ♠ét♦ q ♦♥ tsr ♥♦s ♦♥s ♣r♥r ♥ ①♠♣♣r♠tt♥t ♦srr ♥tt♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥trôr râé

①♠♣ P♦r t ①♠♣ ♥♦s ♦♥s ♣r♥r ♦♠♠ r♣rés♥tt♦♥ r

♥♦s ♣rés♥t ♥ r♠♠ s tsss sr q été r♣rés♥té ♥ ré♦♥


D(ak)

D(ak)

Rq

Rr1

q

Rr2

q

Rr3

q

r ♦♥strt♦♥ s ré♦♥s râ♠♥t ♣♦r ♥ ré♦♥ qté

qté Rq ♦s ♦♥s ♦♥strt tr♦s ③♦♥s râ♠♥t Rr1q Rr2

q Rr3q P♦r êtr

♣s ♣rés s ♦♥ ♣♣q ♦♥trôr sr ♥ étt s②stè♠ ét♥t ♥s ré♦♥

qté Rr1q ♦♥ ♣♦rr râr s ♣♣s ♦♥trôr ♣♥♥t r1 ♣s stàr ♣♦r

s r1 ♣r♦♥s t♦♥s

Pr♥♦♥s ♥ ①♠♣ ①ét♦♥ ♣♣t♦♥ tt♥t étt (ti, yi(q)) t ♥st♥t

♦♥trôr ♦♥♥ît ré♦♥ qté ♦ù s st Rq ♥tt♠♥t st ♣♦ss

♦srr ① stt♦♥s ♣♦r ♦♥trôr râé

♥s ♣r♠èr ♥♦♠r t♦♥s q ♦♥ ♣t râr st é à ③ér♦

♠♦♠♥t à ♦♥trôr ♦t ♦♥ rr qté ♥ ♦sr♥t ré♦♥

qté ♦ù s tr♦ s ss s♦r ♦♠♥ t♦♥s à ♣rtr t étt

♣t râr tt ♦♣ért♦♥ st t ♥ ♦sr♥t ré♦♥ râ♠♥t ♦ù

étt ♦r♥t (ti, yi(q)) s st

①è♠ s st ♦ù rst s t♦♥s à râr ♥s s ♣rés

♦♥trôr s♥s ért♦♥ tr à t♦♥ s♥t qté t♦♥

♦r♥t q ♥s q♥ ♥♦♠r ♣s râ♠♥t r − 1

♣rtr t ①♠♣ st ss③ s♠♣ ér ♠♥èr ♦♥t ♦♥trôr♦♥t♦♥♥r ♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♦♥ ♥ ♦rt♠ ♦♥trôr Γmx sé srs ré♦♥s r①t♦♥

♦rt♠ ♥♦s ♠♦♥tr ♠ét♦ râ♠♥t ♦♥trôr ♣r♥ ♥♥tré séq♥ t♦♥ rst♥t à ①étr ♥s q t♠♣s ti q ♣♣t♦♥ tt♥t ♣s ♦♥ ♦r♥t ♥ ♥s♠ ré♦♥s râ♠♥t RR

Q ♦rrs♣♦♥ ré♦♥s râ♠♥t ♣♦r t♦ts s qtés ♥s q ♣♦r t♦s s ♣s râ♠♥t r q ♦♥ ♦ss ♥ ♣t é♥r ♣r

RRQ = Rr

q|r ∈ R, q ∈ Q

♦♥s♦♥

Γmxai . . . an RRQ t r① qt②

qm = quality

rm = relax− 1

r① = 0 t♥

♦r q ∈ Q ♦

♦r r ∈ R ♦

ti ∈ Rrq t♥

qm = qi

rm = r

♥

♥

♥

♥

rtr♥ (a, q, r) = (ai, qm, rm)

♦rt♠ ♦rt♠ ♦♥trôr Γmx sé sr s ré♦♥s r①t♦♥

st ss ♥éssr ♦r♥r ♥ ♥tré ① trs rs r♣rés♥t♥t ♥♦♠r ♣s râ♠♥t r① q rst à tr ♥s q qté à qt♦♥ ♣réé♥t été ①été ♦rt♠ rt♦r♥ qté t♦♥ ♣réé♥tt ♥♦♠r ♣s râ♠♥t ♠♥é ♥ ♣s ♥s s ♦ù ♣r♠ètr r①

st ér♥t 0 ♥♦♥ ré♣èr s ♥♦r♠t♦♥s ♥éssrs à s♦r qté à♦sr t ♥♦♠r ♣s râ♠♥t ♥ ♦♠♣r♥t étt ♦r♥t s ré♦♥s râ♠♥t RR

Q

♦♥s♦♥

r♠♠ s tsss st ♥ r♣rés♥tt♦♥ r♣q ♣r♠tt♥t ♠♦ésr ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♦♥trôé r♠♠ ♣r♠t ♥♦t♠♠♥t sr①ét♦♥ ♣♣t♦♥ ♠s ♦♥♥ ss ♣♦ssté ♦♠♣r♥r s ♣♦tqs st♦♥ qté ♥s tt st♦♥ ♥♦s ♦♥s ①♣qé ♣s s♣éq♠♥t ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t ♦s ♦♥s ♣ ①♣qr s♦♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ s ♦① qté t ♠♦♥trr sr ♥ r♠♠ q r♣rés♥tt ♠r sérté δmax

♣s tt r♣rés♥tt♦♥ r♣q sr ♣♦♥t é♣rt à é♦rt♦♥ ♥t♥q ♦♥trô rés♥t sr♦ût é ① ♣♣s ♦♥trôr tt t♥qst sé sr ♦♥strt♦♥ ré♦♥s qté stàr s ré♦♥s ♦ù ♦♥trôr♦sr ♥ qté ♦♥st♥t ♦rt♠ ss tt t♥q ♦♥trô t tst♦♥ ss ré♦♥s ♦rrs♣♦♥ à ♥ ét s②♠♦q étt s②stè♠ r♥t à ♦srr ♥s q ré♦♥ qté s st ♣♣t♦♥ ♦♥trôé


♥② ♦♥ ♣s ♥ té q rét t♠♣s ♦♥trô

♣rtr tt t♥q ♦♥trô s②♠♦q ♥♦s ♦♥s ♣ ♦srr q ♦♥trôr t ♥s rt♥s stt♦♥s ♣♦ssté rétsr ♥ qtéq t éà ♦s ♣r♥t st rs♦♥ ♣♦r q ♥♦s ♦♥s ♣r♦♣♦sé ♥t♥q ♦♥trô s②♠♦q râ♠♥t ♥s ♦♣tq ♦♣t♠sr ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t ♥ rés♥t s♦♥ sr♦ût ♦s ♦♥s ♣r♦♣♦sé♥ r♣rés♥tt♦♥ ré♦♥s râ♠♥t t♦♦rs ♥ s♥t ♥♦tr ♣♣r♦ sr r♠♠ s tsss tt t♥q ♣r♠t r♦îtr ♥ qté q♦st ♦♥trôr râ à ♥ sr♦ût ♦rt♠♥t ♠♥é t♦t ♥ rs♣t♥t s ♠ê♠s♣r♦♣rétés q t♥q ♦♥trô

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s ♦♥♥r ♥ ♦♠♣rs♦♥ s tr♦s t♥qs ♦♥trô ♥s ♥♦s ♣♦rr♦♥s ♠ttr ♥ é♥ sr s ♠é♦rt♦♥s q ♣r♦♣♦s t♥q ♦♥trô s②♠♦q

♦t♦♥ rs ♥ ♣♣r♦ st♦stqP

♣♦tq ♦♥trô ♠①t ♣rés♥té ♥s ♣tr st sé sr ♥ ♠é♥♥tr s rés ①ét♦♥ ♣rs t ♠♦②♥♥s s t♦♥s ♣♣t♦♥ s① t②♣s ♦♠♣♦rt♠♥ts s♦♥t ♥éssrs ♣♦r r♥tr rs♣t s ♦♥tr♥ts sûrté t ♦♣t♠té ♥ ♠♥èr é♥ér s rés ①ét♦♥ ♣rs ♣r♠tt♥t rstr♥r é♥t s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♣♦sss ♠s s ♥ ♣r♠tt♥t ♣s ♦♥♥îtr ♦♠♣♦rt♠♥t ♣s ♣r♦ s rés ①ét♦♥ ♠♦②♥♥s q♥t às ♣r♠tt♥t r♣♣r♦r s st♠t♦♥s ♦♥trôr ♦♠♣♦rt♠♥t ré ♣♣t♦♥ ♣♥♥t s rés ①ét♦♥ ♣rs s♦♥t é♥ér♠♥t sréés st♦♥ t rs tst♦♥s ♦♥s♥t à ♥ ♦ ♣♣r♦①♠t♦♥

meilleur cas

estimé

meilleur cas

"réel"

Probabilité

casmoyen pire−cas

"réel"pire−casestimé

Durée d’exécution

r strt♦♥ t②♣q ré ①ét♦♥ ♥ t♦♥

♥ ♣rt s rés ①ét♦♥ rés s♦♥t s♦♥t très ♥érrs ① rés①ét♦♥ ♣rs

tr ♣rt st très r sttq♠♥t r ré ①ét♦♥♣rs ♥s s rés ♦r♥s ♥ s♦♥t q s ♦r♥s s♣érrs s rés①ét♦♥ ♣rs rés r str ♣é♥♦♠è♥ ♥ r♣rés♥t♥t


♥ strt♦♥ t②♣q s rés ①ét♦♥ ♥ t♦♥ ♣♦r ♥ ♥ qté ♦♥♥é

tt ♦ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♣t s réér très ♣é♥s♥t ♣♦♥t s ♣r♦r♠♥s ♦♥trôr ♦s ♥ ♣♦♦♥s ♣s ♥♦s ♣ssr s rés ①ét♦♥ ♣rs♦rsq st r♥tr rs♣t s éé♥s ♣♥♥t ♣♦r s ♣♣t♦♥s ♠t♠é ♠rqés ♥ ♣♦ssé♥t ♣s rtèr rtq s s éé♥s s♦♥t ♦és ② r ♥q♠♥t ♥ ért♦♥ qté sr ♥ ♣t ♦♥ s ♠♥rs r♥tr t♦ts s ♣r♦♣rétés sûrté st ♣rt♥♥t t tst♦♥ s rés①ét♦♥ ♣rs t♥t sréés ♥st ♣s ♦ré♠♥t éqt é♥♠♦♥s stt♦t ♠ê♠ ♣♦ss tsr s ♠♦ès t♠♣s ♣s ♣r♦s ♦♠♣♦rt♠♥tré ♣♣t♦♥ ♥ ♠① r♥s♥r ♦♥trôr

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s ♣r♦♣♦sr ♥ t♥q ♦♥trô qté srq sr sé sr ♥ ♠♦è t♠♣s r♣rés♥té ♣r s strt♦♥s s rés ①ét♦♥ s t♦♥s ♣rtr s strt♦♥s st ♣♦ss é♥r ♥ ♣r♦è♠ qté sr éèr♠♥t ér♥t q été ♣rés♥té ♥s st♦♥ ♥ t st ♥éssr ♣♣♦rtr s ♠♦t♦♥s r ♥♦s ♥r♦♥s ♣s rés①ét♦♥ ♣rs sréés t ♦♥ ♣s ♣♦ssté r s st♠t♦♥s sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♥ r♥tss♥t sûrté st ♣♦rq♦ ♥♦s ♦♥s♣r♦♣♦sr à tstr ①r à ♣rtr s strt♦♥s s ♣rs st♦stqs sr résé à ♣rtr ♥ s t♦ér♥ q r♣rés♥t ♣♦r♥t rs sr strt♦♥ ♦♠♣rs ♣rès ré ①ét♦♥ ♣rs ♣rtr tt r♥èr st♣♦ss tsr ♣♦tq ♠①t ♠s ♥ ♦♥sér♥t q rt♥s éé♥s ♣♥têtr ♠♥qés

s t♦ér♥ ♣r♠ttr é♥érr s rés ①ét♦♥ ♣rs st♦stqs ♣♦r q t♦♥ ♣♥♥t ♥♦s rr♦♥s q ♥st ♣s é♥t ♦♥♥îtr à♣rtr tt r ♥ ♣r♦té é♣ssr s éé♥s st rs♦♥ ♣♦r q ♥♦s ♦♥s ♦♥strr strt♦♥ ♣♣t♦♥ ♣♦r s t tr♠♥s♦♥♥ ♦♠♣♦s♥t s strt♦♥s q t♦♥ tt ♦♥strt♦♥ ♥♦s ♣r♠ttr r ♥ ét ♣r♦r♠♥s ♥ ♦♥t♦♥ r q r été ♦♥♥é ♣♦r s t♦ér♥ ♥ t ♥♦s ♣♦rr♦♥s ♦r♥r à ♦s ♥ st♠t♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ t t♠♣s ♠s ss ♥ ♣r♦té ♥ q ♦♥r♥ ♥♦♠r éé♥sq ♣♦rr♦♥t êtr ♦és s réstts ♦♥t ♣r♠ttr à tstr ♠îtrsr t♦t♠♥t ♦♥t♦♥♥♠♥t ♣♣t♦♥ t ♣♦rr ♥ ♦♥t♦♥ ① ♠♦r s t♦ér♥ ♥ ♣♦rr ♦rs ♣rr t♠♣sré s♦♣ ♠s ♠îtrsé

♦tt♦♥s

tt st♦♥ ♣rés♥t s ♠♦tt♦♥s é♠r ♦s ♦♥♥r♦♥s ♥ ♣r♠r s ♠tt♦♥s ♠ét♦ ♣rés♥té ♥s ♣tr ♥ ♣rtr ♥♦s ①♣qr♦♥s ♣♦rq♦ s rés ①ét♦♥ ♣rs ♥ ré♣♦♥♥t ♣s t♦♦rs ♦♠♥ s

♦tt♦♥s

♣♣t♦♥s ♠t♠é t♠♣sré ♦s ①♣qr♦♥s ♥st ♥térêt ♥ ♥♦♣♣r♦ sé sr ♥ ♠♦è t♠♣s st♦stq

t♠♣s ①ét♦♥ ♣rs

♦♥♥ss♥ s rés ①ét♦♥ ♣rs st ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♣réé♠♠♥t ♥éssr ♣♦r r♥tr s ♦♥tr♥ts t♠♣s st ♣♥♥t très ♦t♥r s ♣rs ♣♦r s ♣♣t♦♥s ♦♥t ♦ t ♠tér s♦♥t ss♠♠♥t ♦♠♣①s st♦♥ t ♥♦s ts♦♥s ♦♥ s ♣♣r♦①♠t♦♥s s♣rs q s♦♥t s♦♥t sréés ❯♥ qst♦♥ s ♣♦s ♦♥ ♣r r♣♣♦rt à ♥♥q ♣t ♦r ♥ ♠♦è t♠♣s ♦♥strt à ♣rtr s srét♦♥s sr s ♦①q t ♦♥trôr ♥ qté ♥ trs tr♠s ♦♠♠♥t ré ♣rés♦♥ st♠t♦♥ ♣rs ♥♥ t♥q ♦♥trô ①♠♣ s♥t♠♦♥tr s ♥① qté ♦t♥s ♣♦r ér♥ts rés ①ét♦♥ ♣rs

①♠♣ ♦s r♣r♥♦♥s s ♥♦tt♦♥s s ♥s ♣tr t ♥♦s ♦♥sé

r♦♥s ♥ s②stè♠ ♣r♠étré P tr♦s t♦♥s ④❯ ❯ ⑥ ♥

♥s♠ qtr qtés ④⑥ t ♥ éé♥ ♥q D = 9 ♦s s♣♣♦s♦♥s

q P ♣♦ssè ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t ♣♦ss ❯ • ❯ • t q

t♠♣sré t t♠♣s ♣rs s♦♥t ♦♥♥és ♥s t r ♦s ♦♥sé

r♦♥s ss q t♠♣s ♠♦②♥ st é t♠♣sré ♦s ♥tr♦s♦♥s ♣♦r t ①♠♣

♥ t♠♣s ♣rs q ♥♦s ♣♣r♦♥s t♠♣s ♣rs ♦sré ♦rrs♣♦♥ t♠♣s

♠①♠ q ♥♦s ♦♥s ♣ ré♣érr ♦rs s ①ét♦♥s ♣♣t♦♥ α r♣rés♥t

séq♥ ❯ • ❯ •

q Cwc(a, q) Cwc(a, q) C(a, q)

srst♠és ♦srés = Cav(a, q)

r rés ①ét♦♥ ♣rs srst♠és ♣rs ♦srés t ♠♦②♥♥s♣♦r s t♦♥s ❯ ❯ t

♥♦s ♣♣q♦♥s ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t ért à st♦♥


♣rs srst♠é ♦♥trôr r s s s♥ts

pour q = 4 : tmxp (α, s0, 4) = D − (Cav(α, 4) + δmax(α, 4))

= 9− (15 + 3) = −9

tmxp (α, s0, 4) < 0


= 9− (9 + 3) = −3

tmxp (α, s0, 3) < 0


= 9− (6 + 3) = 0

tmxp (α, s0, 2) ≥ 0

rs♣t t éé♥ ♥st ♦t♥ q ♣♦r ♦① ♥ ♥ qté

é ♦ ♥érr à ♥s ♦sr ♥ qté ♣♦r t♦♥ ❯ t ♥

ér♦♥t ♣♦r q t♦♥ ss♥ tt ♠ê♠ qté ♣♦r q t♦♥

Pr ♦♥tr ♥ ♣♣q♥t ♣rs ré ♦① srt tr


= 9− (15 + 1) = −7

tmxp (α, s0, 4) < 0


= 9− (9 + 0) = 0

tmxp (α, s0, 3) ≥ 0

rt ♦♥ ♦s ♥ ♠r qté r

3

2

1

4

♦① qté ♣♦r ♣rssrést♠é

♥t ♥t

qté

t♠♣s

3

2

1

4

♦① qté ♣♦r ♣rsré

♥t ♥t

qté

t♠♣s

r ♦♠♣rs♦♥ ♥tr ♥ ♣rs srst♠é t ♥ ♣rs ré

tt ①♠♣ ♠t ♥ é♥ q ♣♦r s ♣♣t♦♥s ♠t♠é srt ♥éssr s r♣♣r♦r s rés ①ét♦♥ rés t ♥♦♥ sr s s sr s♣rs tr♦♣ éés

♦tt♦♥s

♥tr t♠♣sré r t t♠♣sré ♠♦

♦♥trôr ♣♣t♦♥ t q été résé ♣r♠t rs♣tr s ♣r♦♣rétés s① ♠♦♥s t♠♣sré t♠♣sré ♠♦ ♦ s♦♣ t t♠♣sré r ♦r st♦♥ Pr♠èr♠♥t t ♦r s rés ①ét♦♥ ♣rs t ♥ éé♥à ♥ ♣s é♣ssr ré♣♦♥r ① tt♥ts ♣r♦♣rété sûrté q st ♥ ♣s♦r s éé♥s ♣r♦♣rété t♠♣sré r ♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♦♥trôr ♣♦r ♦t tt♥r ♥ tst♦♥ ♠①♠♠ t t♠♣s q ♦rrs♣♦♥ ① tt♥ts rtèr ♦♣t♠té q t ♣rt s ♣r♦♣rétés t♠♣sré♠♦

❯♥ ♣♣t♦♥ ♠t♠é st ♣s s♦♥t ♦♥séré ♦♠♠ r♥t t♠♣sré ♠♦ ♥ t st rr ♦r s s♣ts rtqs sr s s♦♦♥ér♥s ♦ s① ♥ rés t②♣ ♣♣t♦♥ st ♦té ♠é♥s♠s ♣r♠tt♥t rttr♣r sé♣ss♠♥ts éé♥s ♣s ♥♦♥ rs♣t s ♦♥tr♥ts t♠♣s ♥ ♥q♠♥t sr qté sr t ♥ ♥ ♦♥séq♥ r♠tq s ♣♣t♦♥ss♦♠♠♦♥t ♥♦♥rs♣t s ♦♥tr♥ts t♠♣♦rs ♥s rt♥s ♠ts àsqs s②stè♠ ♥t ♥ts Pr♥♦♥s ①♠♣ ♥ ♣♣t♦♥ s♦♦♥ér♥ ♥♦ ♥ ♠ r ♣s ♦♥t♠♣s q ♣ré ♦rs ♥ sss♦♥P♦r rttr♣r rrr s②stè♠ ♣♦ssté ♥ ♣s ♥♦r ♠ s♥t q ♠♣q ♥ ♠♥t♦♥ t① ♠s ♣r s♦♥ t ♦♥ ♥ séq♥ é♦ sé ♣é♥♦♠è♥ st ♣t s st ♣ réq♥t ssr ♣♦ssté s②stè♠ ♦r s ♦♥tr♥ts t♠♣sré ♥ésst s ♠é♥s♠s t♦♥♥ss♦t ♣♦r rér t① ♦♥tr♥ts ♦és s♦t ♣♦r étr q s②stè♠ ♥ ♣♥t♦rsq s ♦♥tr♥ts ♥ s♦♥t ♣s rs♣tés ❯♥ s②stè♠ t♠♣sré ♠♦ ♦t rs♣trs ♦♥tr♥ts ♣♦r ♥ ♠♦②♥♥ ss ①ét♦♥s ❯♥ é♣ss♠♥t ①♣t♦♥♥ stt♦éré ♥ t sr ♣têtr ré♣éré à ①ét♦♥ s♥t P♦r s ♣♣t♦♥s♠t♠é ♥térêt r♥tr s ♣r♦♣rétés t♠♣sré ♠♦ st ♠é♦rr qté sr s ♥ ♦♥tr♣rt ♥② ♥ ♠♦②♥ ♣♦r tstr ♣ré♦rrs ♦♠♣♦rt♠♥ts stàr ♦♥♥îtr à ♣r♦r ♥♦♠r éé♥s ♦és ♣r①♠♣ ♥ é♥ér t① ♦♥tr♥ts t♠♣sré ♦és ♥st ♣s ♣rés P♦rtt rs♦♥ ♥♦s ♦♥s ♥s ♣♣r♦ ♥t ♦s ♥ ♣s é♣ssr s éé♥st ♥s ♦♥trôr ①t♠♥t t① ♦rrs♣♦♥ à trtr ♣r♦è♠ s♣♣r♦s t♠♣sré r

s ♣♣r♦s t♠♣sré r ♥ t♦èr♥t ♥ é♣ss♠♥t s ♦♥tr♥ts ss♦♥t s♦♥t tsés ♦rsq ts é♣ss♠♥ts ♣♥t ♦♥r à s stt♦♥srtqs s r♥t à sssrr q s②stè♠ ♦♥t♦♥♥r ♦rrt♠♥t ♥s t♦ss s r s s♦♥t ♣s s♦♥t tsés ♥s s s②stè♠s ts rtqs ♣r①♠♣ ♣♦r s ♣♣t♦♥s ♠rqés ♥s s ♦♥s s tr♥s st♦♥ P♦r s ♣♣t♦♥s ♠t♠é t ♦♥sérr s ♣♣r♦s ♣r♠ttr ♥ ♣s ♦r ♣é♥♦♠è♥ ért ♣réé♠♠♥t ♣♦r s s♦♦♥ér♥s stàr rs♣tr s ♦♥tr♥ts t♠♣s ♥s t♦ts s stt♦♥s rts ♥ t ♣♣r♦


st ♥térss♥t ét♥t ♦♥♥é q ♥st ♣s ♥éssr r ♣♣ à s ♠é♥s♠s ré♣ért♦♥ s②stè♠ ♦♠♠ ♥♦s ♣♦rr♦♥s r s ♣♣r♦s t♠♣sré♠♦ ♣♥♥t rét ♦♥sér♠♥t qté sr q s②stè♠ rt s r♥èrs

s ♣♣t♦♥s ♠t♠é ♠rqés ♥ésst♥t ♦♥ ré♣♦♥r ① ①♠♦♥s t♠♣sré ♦s ♦♥s ♦♥ ♣rés♥té ♥s st♦♥ ♥ ♣♦tq ♦♥trô ♣r♠tt♥t r♥tr à ♦s s ♣r♦♣rétés sûrté ♠s ss ♦♣t♠té ♥s t♥q ♣r♠s r♣♣r♦r s ① ♠♦♥s ♣♥♥t rstt♦t♦s ss③ ♦♥tr♥♥t ♣♦r s ♣♣t♦♥s ♥♦♥ rtqs ♥s s r♥èrs ♦♥♥ t ♣s r♥tr rs♣t t♦ts s ♦♥tr♥ts t♠♣s ♠s s♠♥t qs♥ rs♣t♥t ss♠♠♥t ♣♦r ♥ ♦♥t♦♥♥r ♣♦rrt ♦♥ êtr ♥térss♥t ♣♦rtstr ♣♦♦r ♦♥trôr t① ♦t♦♥ s éé♥s ♥ ♣♦rrt ♥s ♣r♠ttr tr♦r ♥ ♦♠♣r♦♠s ♥tr t① ♦♥tr♥ts t♠♣sré ♠♥qés t t① tst♦♥ ♣t♦r♠

❱rs ♥ ♠îtrs s t♠♣s ①ét♦♥ ♣rs

s♣t t♠♣sré r s ♣♣t♦♥s ♠t♠é ♠rqés ♣t s♠r ♥éssr ♦♠♠ ♥♦s ♥♦♥s ♦r ♣♥♥t ♣t êtr ♥térss♥t ♣♦r s ♣♣t♦♥s ♦r rt♥s ♦♥tr♥ts à ♦♥t♦♥ ♥ ♦r ♠♦♥s ♣♦ss ♥ t ♣t ♠é♦rr ♥ rt♥ ♠♥èr qté sr s ♦♥tr♥ts t♠♣♦rss♦♥t rs♣tés râ ① ét♦♥s ♣rs s rés ①ét♦♥ s t♦♥s ♦s♦♥s q s s♦♥t sréés t q ♦s♦♥♥ ♥ ért♦♥ ♥ qté ♣♣t♦♥ ♥ ♣t ♦♥ s ♠♥r ♦♠♠♥t ♠é♦rr é♥ért♦♥ s rs

❯♥ ①è♠ ♣♦♥t q ♥♦s ♣♦♦♥s ♠ttr ♥ é♥ st té ♠îtrsr ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ stàr ♦♥♥îtr à ♣r♦r ♥♦♠r éé♥s qsr♦♥t ♦és ♥s ♦♥ ♣t ♦♥♥r à tstr ♥ ♠♦②♥ ①r s rés ①ét♦♥♣rs t ♦♥♥îtr ♣r r♣♣♦rt à ① ♦♠♣♦rt♠♥t qr ♣♣t♦♥♦♥trôé ♣r♠ttr ♣tr s ♣rs ① ♣r♦r♠♥s tt♥s s♦♥♣♣t♦♥

é st ♥s ♦♥strr ♥ ♠♦è t♠♣s sé sr s strt♦♥s ♣r♦tés s rés ①ét♦♥ q t♦♥ ♣rtr s tstr ♣t①r ♠ê♠ s ♣rs q ♥ t ♣s é♣ssr st à r s rés ①ét♦♥♣rs sqs sr♦♥t résés s s ♣♦tq ♦♥trô P♦r s ①r♦♥ ♣r♦♣♦s tsr ♥ s t♦ér♥ q éqt à ♥ r r♣rés♥t♥t ♣r♦té q ré ré ♥ t♦♥ é♣ss ♣rs ♥st t♥q ♦♥trô ♣♦rr êtr ♠ê♠ q ♣réé♠♠♥t ♠s ♥♦s ♣♦rr♦♥s ♦r♥r ♥ ♠♦②♥ ♠îtrsr ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♦♥trôé ♥ ♦r♥ss♥t s st♠t♦♥s ♣r♦r♠♥s sés sr strt♦♥ t tr♠♥s♦♥ tn t♦♥ an ♥ ♦♥t♦♥ s t♦ér♥


♥s st ♣tr ♥♦s ♦♥s ♣r♦♣♦sr ♥ ♠ét♦ ♣r♠tt♥t ①rs t♠♣s ①ét♦♥ ♣rs s♦♥ s ♦① tstr ① ♦♥sstr♦♥t s♦tà rs♣tr s ♣r♦♣rétés sûrté s♦t à r♥tr s ♣r♦♣rétés ♦♣t♠té ♦s♣♦♦♥s qr tt ♣♣r♦ t♠♣sré ♠♦ ♠s ♠îtrsé ♥ t ♥♦s ♦♥s♣r♠ttr s②stè♠ é♣ssr s ♦♥tr♥ts t♠♣s ♠s ét♥t ♦♥♥é q ♥♦s①♦♥s ♣♦r♥t rrr ♥♦s ♠îtrs♦♥s ♥♦♠r s é♣ss♠♥ts


♥s tt st♦♥ ♥♦s ♦♥s é♥♦♥r qqs r♣♣s sr té♦r s ♣r♦tés① ♦♥t ♥♦s ♣r♠ttr ①r s é♥t♦♥s ts ♣♦r ♦♥strt♦♥ t♥q ♦♥trô st♦stq

♦t♦♥s s s ♣r♦tés

té♦r s ♣r♦tés s♥térss à ♠♦ést♦♥ s ♣é♥♦♠è♥s ét♦rs❯♥ ♠♦ést♦♥ ♠♣q rt♥♠♥t ♥ s♠♣t♦♥ s ♣é♥♦♠è♥s ♠s tts♠♣t♦♥ ♦♥t à ♥ q♥tt♦♥ ♦♥ à ♣♦ssté r s s tà ♣rér ♠♦ést♦♥ t s ♣r♦tés s♦♥t ts à ♣rtr ♦ts♠té♠tqs (Ω,A, P ) q ♥♦s ♦♥s érr ♥s q st

é♥t♦♥

♥s♠ Ω ♦♥t♥♥t t♦s s réstts ♣♦sss s ♦srt♦♥s ♥ ♣é♥♦♠è♥ st

♣♣é ♥s♠ s ♦srs s éé♠♥ts ω ∈ Ω s♦♥t ♣♣és ♦srs

♦s ♦♥♥r♦♥s qtr ♥ ①♣ér♥ ♦rrs♣♦♥ à sét♦♥♥r ♣r ♥ ♣r♦éé q♦♥q ♥ éé♠♥t ω ♥s ♥s♠ Ω

①♠♣ tr ♥ é r♥t à sét♦♥♥r ♥ éé♠♥t Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 sr

r ré ①ét♦♥ ♥ t♦♥ ♣♦r ♥ qté r♥t à sét♦♥♥r ♥ éé♠♥t

Ω = [0,+∞[.

♦t♦♥s P(Ω) = A ⊆ Ω ♥s♠ s ♣rts Ω

é♥t♦♥

♦♥t Ω ♥ s♣ ♦srs t A ♥ s♦s♥s♠ P(Ω) A st ♥ tr sr Ω

s

Ω ∈ A

A st st ♣r ♣ss ♦♠♣é♠♥tr stàr A ∈ A ⇒ Ω \A ∈ A

A st st ♣r ré♥♦♥ é♥♦♠r stàr ∀i ∈ N, Ai ∈ A ⇒⋃

i≥1 Ai ∈ A

♦♣ Ω,A ♦r♠é ♥ ♥s♠ Ω t ♥ tr A sr Ω sr ♣♣é ♥ s♣

♠sr s éé♠♥ts A s♦♥t ♣♣és ♥s♠s ♠srs


é♥t♦♥

♦t éé♠♥t P(Ω) ♣t êtr ♦♥séré ♦♠♠ r♣rés♥tt♦♥ ♥ éè♥♠♥t

①♠♣ P♦r ①♠♣ ♥r é r ♥ ♥♦♠r ♣r st ♥ éè♥♠♥t

♠ê♠ A = 1, 3, 5 st éè♥♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ réstt ♠♣r

s ♣r♦tés ♦♥sst à ss♦r ① éè♥♠♥ts r ♣r♦té ♥s s é♥ér ♦♥ ♥ss♥ ♣s ♥ ♣r♦té à t♦s s éè♥♠♥ts ♣♦sss ♠s à ♥♦t♦♥ éè♥♠♥ts ♥♦té A

é♥t♦♥

♦♥t Ω,A t E,B ① s♣s ♠srs ♦t f ♥ ♦♥t♦♥ é♥ ♣r

f : Ω → E ♥ t q f st ♥ ♦♥t♦♥ ♠sr ♣♦r A t B s f−1(B) ∈

A ∀B ∈ B

é♥t♦♥

t♥t ♦♥♥é ♥ s♣ ♠sr Ω,A ♥ ♠sr ♣r♦té P st ♥ ♣♣t♦♥

A ♥s [0, 1] ♦♥ ♥ ♣r♦éé q ss♦ à t♦t éè♥♠♥t ♠sr A ♥ ♥♦♠r

P (A) ♦♠♣rs ♥tr t ♣♣é ♣r♦té A t q stst ① ①♦♠s s♥ts

éè♥♠♥t rt♥ st ♣r♦té P (Ω) = 1 .

①♦♠ tté é♥♦♠r ♣♦r t♦t st A1, A2, . . . , An . . . éè♥♠♥ts

A q s♦♥t ♣s ① à ① s♦♥ts stàr ts q Ak ∩ Aj = ∅ s

k 6= j, ♦rs sér∞

∑

k=1

P (Ak) ♦♥r t ♣♦r s♦♠♠ P (⋃

k≥1 Ak) .

tr♣t (Ω,A, P ) st ♦rs ♣♣é ♥ s♣ ♣r♦té ♥ t ss q P st ♥

♦ ♣r♦té

①♠♣ ♣r♥♦♥s ①♠♣ ♥é é ♦♥ ♣♦r t♦t ♥s♠ A ⊂ Ω =

1, 2, 3, 4, 5, 6 ♦♥t♦♥

P (A) =|A|

|Ω|=|A|

6

st ♥ ♠sr ♣r♦té sr (Ω, P (Ω))

Pr♦♣rété

♦t s♣ ♣r♦té (Ω,A, P ) A t B s♦♥t ♠srs t s ♣♦r t♦t n ∈ N

s An s♦♥t ♠srs ♦rs

A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B) .

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) .

P (⋃

n∈NAn) ≤

∑

n∈NP (An) .

①♠♣ ♥s ♥r é s ♦♥ ♥♦t

éé♥♠♥t t♥r stàr A = 6

éé♥♠♥t t♥r ♥ réstt s♣érr ♦ é à stàr B =


2, 3, 4, 5, 6

♥

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) =1

6+

5

6−

1

6=

5

6♥ ♦♥stt q ♦r♠ t♥t ♦♠♣t t q st éà ♦♠♣té ♥s t ♣r♠t

♥ ♣s ♦♠♣tr ① ♦s

é♥t♦♥

(Ω,A, P ) st ♥ s♣ ♣r♦té s♦t B ∈ A ♥ éè♥♠♥t t q P (B) > 0 ♥

é♥t ♦rs ♥♦ ♣r♦té PB sr A ♣r

PB(A) =P (A ∩B)

P (B),

q♦♥ ♥♦t ss PB(A) = P (A|B), t q s t ♣r♦té A ♦♥t♦♥♥é ♣r B

♦ s♥t B ♦ s♥t q B st résé

é♥t♦♥

r ♥ s♣ ♣r♦sé (Ω,A, P ) ① éè♥♠♥ts s♦♥t t ♥é♣♥♥ts s

P (A ∩B) = P (A) · P (B)

① éè♥♠♥ts s♦♥t ts ♥é♣♥♥ts s ♣r♦té q A s♦t r ♦ ♥♦♥♥st ♣s ♥♥é ♣r t q B s♦t r ♥ ♦rs P (A ∩ B) = P (A)P (B) tP (A|B) = P (A)

①♠♣ ♦♦rs ♣♦r ①♣ér♥ ♥r é ♦♥sér♦♥s s tr♦s éè♥♠♥ts

s♥ts

ω st ♣r

ω st ♠t♣

ω st ♥érr ♦ é à

♥ ♣♦r ♠sr ♣r♦té P é♥ à ①♠♣ P (A) = 3/6 P (B) = 2/6

P (C) = 3/6 ♦♥ s ♣r♦tés ♦♥t♦♥♥s ss♦és ♦♥

P (A|B) =1/6

2/6= P (A), P (A|C) =

1/6

3/66= P (A), P (B|C) =

1/6

3/6= P (B) .

♥ ♦♥stt ♦♥ q s éè♥♠♥ts t s♦♥t ♥é♣♥♥ts ♠ê♠ q s éè♥

♠♥ts t ♠s ♣s s éè♥♠♥ts t

♣s st ♥é♣♥♥t s éè♥♠♥ts t ♣rs sé♣ré♠♥t ♠s r♠♥t

♣s éè♥♠♥t A ∩ C r P (B|A ∩ C) = 0

é♥t♦♥

♥ ♣♣ r ét♦r t♦t ♦♥t♦♥ ♠sr ♥ s♣ ♣r♦sé (Ω,A, P )

à r ♥s R ♠♥ s tr ♦ré♥♥ é♥t ♦♠♠ ♣s ♣tt tr sr R

♦♥t♥♥t t♦s s ♥trs


st s tsr X, Y, ... ♣♦r ♥♦tr s rs ét♦rs ❯♥ r ét♦r srt à ss♦r ① réstts ♦srs ω ∈ Ω ♥ rt♥ r ♦♥t♦♥ ωq ♥♦s ♥térssr

①♠♣ ♣♣♦s♦♥s q ♦♥ s♥térss t♦♦rs à ♥ ♥r és ♠s tt ♦s

♥s r ♥ t ét♥t r ♣s r♥ s♦r s és sr ♥ t♦t

tr♦s ♥és ♦t Ω = a, b, c ♦♥ ♦rs ss♦r à q réstt ♥ s♦r ♣r

①♠♣ s♦♠♠ s rs és t ♦♥t♦♥

X : Ω 7→ N

(a, b, c) → a + b + c

st ♥ r ét♦r

s ♦s ♣r♦té

♦t X ♥ r ét♦r réstàr X : Ω→ R é♥ sr ♥ s♣ ♣r♦té (Ω,A, P )

é♥t♦♥

♥ ♣♣ ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥ X t ♦♥ ♥♦t FX ♦♥t♦♥ sr R é♥ ♣r

FX(x) = P [X ≤ x] x ∈ R .

❯♥ ♦ ♣r♦té ♦ strt♦♥ ért s ré♣rtt♦♥s t②♣qs s réq♥s♣♣rt♦♥ s réstts ♥ ♣é♥♦♠è♥ ét♦r s rtérs ér♥ts♠♥èrs ♣s s♦♥t ♦♥ ts ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥ ♣♦r rtérsr ♥ ♦♥s s srt s ♣r♦tés éé♠♥trs ss♥t à rtérsr tt ♦

①♠♣s ♦s srètss réstts r ét♦r X s♦♥t srts ♦♥ ♣t é♥r r ♣r♦té

P (X = n)

♥ ♣t tr ♦ r♥♦ q ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♥r ♣ ♦

P (X = 1) = p

P (X = 0) = q

①st ss ♦ ♥♦♠ q ♦rrs♣♦♥ à N é♣rs r♥♦ ♥tqs

P (X = k) = Cknpk(1− p)n−k ♣♦r t♦t à ♥ ♣ ét♥t ♥ ré ♦♠♣rs ♥tr t

♦s ♣♦♦♥s ss tr ♦♠♠ rè ♦♥♥ ♦ P♦ss♦♥

P (X = n) =λn

n!exp(−λ) n ∈ N, λ ∈ R∗

+


r ①♠♣ strt♦♥ srèt ♦ ♣♦ss♦♥

♣rtr s strt♦♥s st ♣♦ss é♥r s ♠♦②♥♥s t tr♦r s♣r♦tés s éè♥♠♥ts ♣♥♥t ♥s s s ♣r♦tés st s♦♥t ♥éssr ♣♦♦r r ♣r♦té ① éè♥♠♥ts r s strt♦♥s qss♦♥t srèts ♦ ♦♥t♥s ♥ r♣rés♥t♥t q♥ s éè♥♠♥t st ♦♥ t é♥r ♥ ♦t ♣r♠tt♥t ♦t♥r ♥ strt♦♥ à ♣rtr trs strt♦♥s t♦t s ♥♦♠♠ ♣r♦t ♦♥♦t♦♥

Pr♦t ♦♥♦t♦♥

♥ ♠té♠tqs t ♥ ♣rtr ♥s ♥②s ♦♥t♦♥ ♥ ♣r♦t ♦♥♦t♦♥ st ♥ ♦♣értr q ♣r♥ ♦♥t♦♥s f t g q ♦♥ ♦♥sérr srèts t♣r♦t ♥ tr♦sè♠ ♦♥t♦♥ q ♥ ♥ s♥s r♣rés♥t q♥tté ♠♥t♥tr t ♥ rs♦♥ ♥rsé t tr♥sté g

é♥t♦♥

♣r♦t ♦♥♦t♦♥ ① ♦♥t♦♥s srèts t sért

(f ∗ g)(x) =

∞∑

k=−∞

f(k)g(x− k)

♥ ♣t ♦♥sérr tt ♦r♠ ♦♠♠ ♥ é♥érst♦♥ é ♠♦②♥♥♠♦ st ♥ t②♣ ♠♦②♥♥ sttstq tsé ♣♦r ♥②sr s sérs ♦r♦♥♥és ♦♥♥és ♣s s♦♥t s sérs t♠♣♦rs ♥ s♣♣r♠♥t s tt♦♥s tr♥st♦rs ç♦♥ à ♥ s♦♥r s t♥♥s à ♣s ♦♥ tr♠ tt ♠♦②♥♥ st t ♠♦♣r q st ré ç♦♥ ♦♥t♥ ♥ ts♥t à q ♥ s♦s♥s♠éé♠♥ts ♥s q ♥ ♥♦ éé♠♥t r♠♣ ♣s ♥♥ ♦ s♦t s♦s♥s♠


♣r♦t ♦♥♦t♦♥ ♣r♠t ♥s ♥♦tr s ♦♥strr strt♦♥ ① t♦♥s ♦♥séts t ♥s ♦t♥r strt♦♥ ♥ ♣♣t♦♥ ♥tèr

s é♥t♦♥s é♥érs ♦♥t ♥♦s ♣r♠ttr rér ♥ ♠♦è t♠♣s sé srs ♣r♦tés


♣♦tq st♦♥ qté ♣r♦♣♦sé ♥s tt ♣rt st ♥ ♣tt♦♥ st♦stq ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t st ♦t♥ tt r♥èr ♥r♠♣ç♥t s rés ①ét♦♥s ♣rs ♣r s st♠t♦♥s ♣rs st♦stqs

♥s tt st♦♥ ♥♦s ♦♥s ♣rés♥tr ♥♦ ♣r♦è♠ st♦♥ qté♥ ♥tr♦s♥t s strt♦♥s é♥s ♣♦r q t♦♥ t q qté t ♥ s

t♦ér♥ q ♥♦s ♣r♠ttr r s rés ①ét♦♥ ♣rs st♦stqs

é♥t♦♥ ♣r♦è♠

♦s ♦♥s ♦♠♠ ♣♦r ♣tr ♥ ♣r♥r ♥ ♦♠♣t q st♦♥♥r té ♥ t ♥s tt ♣rt ♥♦s ♥ ♣rr♦♥s ♣s s ♣r♥♣s ♦r♦♥♥♥♠♥t

♦t ♦r ♥♦s é♥ss♦♥s s♣ ♣r♦té (Ω,A, P ) q ♥♦s ♦♥s trtrt♦t ♦♥ tt ét

♥s♠ s ♦srs r♣rés♥t ♥s♠ s rés ①ét♦♥s ♣♦sssss♦és à ♥ t♦♥ stàr Ω = R+

A r♣rés♥t s ♥trs s rés ①ét♦♥ s t♦♥s s♦t p : Ω → [0, 1] stss♥t

∑

ω∈Ω p(ω) = 1 ♦♥ ♠sr ♣r♦téP : A → [0, 1] é♥t ♣r P (A) =

∑

ω∈A p(ω) t♥q ♦♥trô é♦♣♣é ♥s st♦♥ ♥ésst ♦♥♥îtr s

rés ①ét♦♥ ♠♦②♥♥s t ♣rs ♦s ♥ ♠♦r♦♥s ♣s ♣♦tq ♠①t♣♥♥t ♥♦s ♣tr♦♥s tt t♥q ♥ ♣r♥♥t ♥ ♠♦è t♠♣s ér♥t sésr s strt♦♥s

♦è t♠♣s st♦stq

♥s ♣tr st ♦♥♥r à tstr ♥ ♠ét♦ ♣r♠tt♥t ♠îtrsr ♦♠♣♦rt♠♥t s♦♥ ♣♣t♦♥ P♦r ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s érr ♠♦è t♠♣s ♦r♥ ♦♥trôr ♣r s ♣r♦tés sr s rés ①ét♦♥ ♣rs♦s ♦♥s ♦♥ ♦♥strr ♥ ♠♦è t♠♣s st♦stq

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ strt♦♥ ♣r♦té

P♦r q t♦♥ ai ∈ A t q ♥ qté q ∈ Q ♥♦s s♣♣♦s♦♥s q

dqai : N → [0, 1] st ♦♥t♦♥ strt♦♥ ♣r♦té C(ai, q) stà


r

dqai

(k) = P[

C(ai, q) = k]

dqai

= 0 ♣rsq ♣rt♦t

♦ù P[

C(ai, q) = k]

r♣rés♥t ♣r♦té C(ai, q) = k t stst

+∞∑

k=0

dqai

(k) = 1 .

♦t ♥ ♦♥t♦♥ strt♦♥ ♣r♦té d : N → [0, 1] ♥♦s r♣rés♥t♦♥s♣r len(d) ∈ N ∪ +∞ ♥① ♠①♠ ♣♦r q d ♥st ♣s ♥ stàrlen(d) = maxk∈Nd(k) 6= 0 ♦s ♣♦♦♥s ♦♥ r q♥ strt♦♥ d st ♥ slen(d) < +∞ ♥s st ♥♦s ♦♥sérr♦♥s q s strt♦♥s ♣r♦té dq

ai

s♦♥t ♥s

P♦r ♦t♥r s strt♦♥s t ♦r ♥ é♥t♦♥ s rés ①ét♦♥r♣rés♥tt ♥♦tr ♣♣t♦♥ ♣rtr à st s♠♣ ♦t♥r ♥ strt♦♥r♣rés♥t♥t ré♣rtt♦♥ s réq♥s ♣♣rt♦♥ s rés ①ét♦♥

♦s ♦♥s à ♣rtr s strt♦♥s é♥r ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥st♦stq SPIS(C) = (G, Q, d, D, C)

é♥t♦♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ st♦stq

❯♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ st♦stq st ♥ ♥♣t SPIS(C) =

(G, Q, d, D, C) ♦ù

• G st ♥ r♣ ♣réé♥

• Q = [qmin, qmax] st ♥ ♥tr ♥ ♥trs ♦rrs♣♦♥♥t ① ♥①

qté

• P♦r q t♦♥ ai ∈ A t q ♥ qté q ∈ Q ♥♦s s♣♣♦s♦♥s q

dqai : N→ [0, 1] st ♦♥t♦♥ strt♦♥ ♣r♦té C(ai, q)

• D : A→ R+∪ +∞ st ♥ ♦♥t♦♥ q ♣♦r ♥ t♦♥ a ♦♥♥ s♦♥ éé♥

D(a)

• ♣r♠ètr C : A×Q→ R+ st ♥ ♦♥t♦♥ q ♣♦r ♥ t♦♥ a t ♥ ♥

qté q ♦♥♥ s ré ①ét♦♥ ré C(a, q) ♦s s♣♣♦s♦♥s q ♣♦r

t♦t a ∈ A q 7→ C(a, q) st ♥ ♦♥t♦♥ r♦ss♥t t q C ≤ Cwc

♦♥trôr ♥ésst ♦♥♥îtr ré ①ét♦♥ ♠♦②♥♥ Cav P♦r ♥strt♦♥ st r♣rés♥té ♣r ♠♦②♥♥ ♣♦♥éré ♦ s♣ér♥

♦t ♥ t♦♥ ai t ♥ ♥ qté q ♥♦s é♥ss♦♥s ré ①ét♦♥♠♦②♥♥ ♣r r ♠♦②♥♥ (dq

ai) ♦♥t♦♥ strt♦♥ ♣r♦té dqai

st ♦♥♦r♠ à ♥tt♦♥ r tt♥ ♣♦r ♥ ♦♥t♦♥ strt♦♥srèt

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♠♦②♥♥

♦t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ SPIS(C) ♥♦s é♥ss♦♥s ♦♥t♦♥ ré


8 104Temps d’exécution

0.3

0.2

0.1

53210 6 7 9

m

r ①♠♣ ♠♦②♥♥ ♣♦♥éré

①ét♦♥ ♠♦②♥♥ Cav : A×Q→ N ♣r

Cav(ai, q) = (dqai

) =

+∞∑

k=0

kdqai

(k) .

①♠♣ P♦r ①♣qr ♠♦②♥♥ ♣r♥♦♥s ♥ ①♠♣ strt♦♥

srèt tt r ♥♦s ♠♦♥tr ♥ strt♦♥ ♥q rés ①ét♦♥

Pr ①♠♣ ♥♦s ♦♥s ♥ ♣r♦té q ré ①ét♦♥ t♦♥ s♦t

é à ♥tés t♠♣s ♣rtr ♥♦s ♦♦♥s r ♠♦②♥♥ tt♥ Cav

tt strt♦♥

Cav(ai, q) = (dqai

)

=

10∑

k=0

kdqai

(k)

= 0 ∗ dqai

(0) + . . . + 10 ∗ dqai

(10)

= 3 ∗ 0 . 2 + 4 ∗ 0 . 3 + 5 ∗ 0 . 1 + 8 ∗ 0 . 3 + 10 ∗ 0 . 1

Cav(ai, q) = 5 . 7 .

♦s ♦♥s ♠♥t♥♥t é♥r ré ①ét♦♥ ♣rs st♦stq ♦♥ st ♣r♠étré ♣r ♥ s t♦ér♥ τ ∈ [0, 1] tt st♠t♦♥ ♣rs st é t s♦rt q ♣r♦té s é♣ssr st ♥érr à τ ♦♥t à é♥t♦♥s♥t

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♣rs st♦stq

♦♥t A ♥s♠ s t♦♥s ♥ r♣ ♣réé♥ G Q ♥ ♥s♠ ♥①

qté t ♥ s t♦ér♥ τ ♦s é♥ss♦♥s ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥


♣rs st♦stq Cwcτ : A × Q → N t q P

[

C(ai, q) > Cwcτ (ai, q)

]

≤ τ st

àr

Cwcτ (ai, q) = mink ≥ 0 |

[

+∞∑

l=k+1

dqai

(l) ≤ τ]

.

Pr♦è♠ st♦♥ qté st♦stq

s ♥♦s ♦♥♥és ♦♥t ♣r♠ttr é♥r ♥ ♥♦ ♣r♦è♠ st♦♥ qté ♥ t t tst♦♥ tst♦♥ rés ①ét♦♥ ♣rsst♦stqs ♣r♦♣rété sûrté ♥ ♣t ♣s êtr r♥t ♥s ♥♦s ♦♥s ssr ♣♦ssté à ♣♣t♦♥ ♦♥trôé ♦r s éé♥s ♠s ♥ sssr♥t ♥♣s é♣ssr ♥ rt♥ t① ♦t♦♥

é♥t♦♥ t① ♦t♦♥ s éé♥s

♦t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ st♦stq SPIS(C) ♦s r♣rés♥t♦♥s ♣r

µ(Γmxτ ) t① ♦t♦♥ s éé♥s ♣♦r st♦♥♥r té Γmx

τ

st é♥ ♣r ♣r♦té ♦r éé♥ rtq SPIS(C)||Γmxτ stà

r µ(Γmxτ ) = P

[

tn ≥ D]

♦ù tn st t tr♠♥s♦♥ r♥èr t♦♥

SPIS(C)||Γmxτ

♣r♦è♠ st♦♥ qté ♣♦r ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ st♦stqSPIS(C) ♦♥sst à tr♦r ♥ st♦♥♥r té Γmx

τ stss♥t s ♣r♦♣rétés qté sr stàr q s éé♥s ♣♥t êtr ♦és ♥ ♣r♦té ♠♥♠ t ♥ qté ♦♣t♠ t ♥ ②♥t ♥ tt♦♥ ♥ qtéréèr

é♥t♦♥ Pr♦è♠ st♦♥ qté st♦stq

♦♥t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ st♦stq SPIS(C) t ♥ t① é ♦t♦♥

éé♥ rtq λ ∈ [0, 1] r♦r ♥ st♦♥♥r té Γmxτ t q

Γmxτ ♣♦ssè ♥ t① ♦t♦♥ s éé♥s q st ♠①♠♠ é à λ st

àr µ(Γmxτ ) ≤ λ

t♠♣s ①ét♦♥ ♦ st ♠①♠ stàr q ♣♦r q st♦♥

♥r té Γ′mxτ ♥ t① ♦t♦♥ s éé♥s ♠①♠ λ ♥♦s

♦♥s tn ≥ t′n ♦ù tn rs♣ t′n st t tr♠♥s♦♥ r♥èr t♦♥

SPIS||Γmxτ rs♣ SPIS||Γ′mx

τ

tt♦♥ ♥ qté st réèr Pr ①♠♣ ♥♦s rr♦♥s à

q ért t②♣ ♦ r♥ tt♦♥ s♦t ♠♥♠

st ♠♥t♥♥t tr♦r ♥ ♣♦tq st♦♥ qté ♣r♠tt♥t rés♦r ♣r♦è♠ ♦s ♦♥s ♦♥ ♥s st♦♥ s♥t ♣r♦♣♦sr ♥ ♣♦tq ♦♥trô ♠①t st♦stq q ér q t① ♦t♦♥ s éé♥s st ♠①♠♠ é à λ



♥s tt st♦♥ ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♥ ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t st♦stq Cmx

τ ré♣♦♥♥t ♣r♦è♠ sss tt ♣♦tq st ♥ ♣tt♦♥ ♣♦tq st♦♥ qté ♠①t Cmx ♣rés♥té ♥s st♦♥ st sésr ♥ ♣r♠ètr τ q ♦♥ ♥♦♠♠ s t♦ér♥ ♣r♠ttr ♣r s♦♥♣tt♦♥ é♥érr ♥ ♦♥trôr Γmx

τ t q t① ♦t♦♥ s éé♥s st ♠①♠♠ é à λ ①st ♦♥ ♥ ♥ ♥tr s t♦ér♥ t t① ♦t♦♥s éé♥s ♦s étr♦♥s ♥ ♥s st♦♥

é♥t♦♥ ♣♦tq st♦♥ qté st♦stq

♣♦tq st♦♥ qté st♦stq Cmxτ ♦♥séré st ♥ ♣tt♦♥

♣♦tq st♦♥ qté ♠①t Cmx st ♦t♥ tt r♥èr ♥ r♠

♣ç♥t s rés ①ét♦♥ ♣rs ♣r s rés ①ét♦♥ ♣rs st♦stqs

stàr

Cmxτ = Cav + δmax

τ

♦ù δmaxτ (ai .. an, q) = max 0 ∪ Csf

τ (aj .. an, q) − Cav(aj .. an, q) | i ≤ j ≤ n t

Csfτ (aj .. an, q) = Cwc

τ (ai, q) + Cwcτ (ai+1, qmin)+ .. +Cwc

τ (an, qmin)

Psq ré ①ét♦♥ ré ♥ t♦♥ ♣t é♣ssr s st♠t♦♥s ♣rsst♦stqs tst♦♥ ♣♦tq st♦♥ qté st♦stq ♣t ♠♥rà s éé♥s ♦és ♦s ♦♥s ♠♦♥trr ♦♥t♦♥♥♠♥t s t♦ér♥ ts♦♥ ♥♥ q♥t rs♣t s éé♥s

♥ ①♥t τ à 0 ♠♣q q ♣r♦té é♣ssr s rés ①ét♦♥♣rs Cwc

0 st ♥ ♥ trs tr♠s Cwc0 ♦rrs♣♦♥ ① rés ①ét♦♥ ♣r

s ①ts stàr q t♠♣s ré ♥ s é♣ssr ♠s s♦s ②♣♦tès q ♦♥t♦♥ strt♦♥ ♣r♦té dq

ai st ♥ ♠♦è è rés ①ét♦♥ st♦♥s P♦r τ = 0 ♣♦tq st♦♥ qté st♦stq st ♦♥ éq♥t à ♣♦tq ♠①t t ♥s ♥ éé♥ ♥st ♦é

♦♥trr ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♣rs st♦stq Cwcτ t♥ rs 0

s τ t♥ rs 1 ♥s tst♦♥ ♥ τ = 1 stàr Cwc1 = 0 ♦rrs♣♦♥ à

♣♦tq st♦♥ qté ♠♦②♥♥ stàr q ♥ r ♣s à rér t① s éé♥s ♦és ♠s ♦♥t s♠♣♠♥t à ♥ tst♦♥ ♠①♠ t t♠♣s

♣♦tq st♦♥ qté st♦stq ♣r♠t ♥ ①té ♥s ♦♠♥s♦♥ ♥tr s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♠♦②♥s t s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♣rs s t♦ér♥étr♠♥r ♠♥èr ♦♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♣rs st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♣r ♣♦tqst♦stq ♣t rr ♥tr ♥ ♣s t♥r ♦♠♣t s st♠t♦♥s ♣rs q♦rrs♣♦♥ à s ♦♠♣♦rt♠♥ts t②♣ t♠♣sré ♠♦ τ = 1 t ♦♥trr ♣r♥r♥ ♦♠♣t ♣rs ré stàr ré♣♦♥r ① tt♥ts t♠♣s ré r ♥éé♥ ♥ sr ♠♥qé τ = 0 ♥ ♥ s♥s ♣r♠ètr τ st tsé ♣♦r ①♣r♠r

♥②s ♣r♦r♠♥s

s♦♣ss éé♥ D♦r r

012 1

♠♦r

τ

é♥

r ♥♥ s t♦ér♥ τ

♦tr ♠ét♦ ♣r♠t ① ♣r♦r♠♠rs ♦t♥r ♥ ♦♠♣r♦♠s ♥tr t① ♦t♦♥ s éé♥s t tst♦♥ s rss♦rs ♥ ♦sss♥t s t♦ér♥

♦s ♦♥s ♣r♥r ♥ ①♠♣ tst♦♥ tt t♥q ♣r♠tt♥t ♦♠♣r♥r ♣s ①♣t♠♥t tst♦♥ s t♦ér♥ tstr é ♣r♠ttr à s♦♥ ♣♣t♦♥ é♣ssr s éé♥s ♥s s stt♦♥s P♦r ①r s t♦ér♥ à stàr ♥s♠ s rs s♣érr Cwc

τ

é sr strt♦♥ ♦rrs♣♦♥ à s rs ♣♦sss q ♣t ♣r♥r t♦♥ ai ♣♦r qté q s♣rç♦t ♦rs ①ét♦♥ s♦♥ ♣♣t♦♥ q réstt♦t♥ ♥ ♣s qté q rt ♦ t q t① ♦t♦♥ s éé♥srst ♣t ♦rs ér réstr s s t♦ér♥ ♣♦r ♣r ① ♣é♥♦♠è♥s q r♥♦♥trés ♥s ♦♥ ♣t r q λ(Γmx

τ ) st ♥ ♦♥t♦♥ r♦ss♥t s t♦ér♥ τ

♦s ♦②♦♥s ♥ sr t ①♠♣ q srt ♥éssr ♦♥♥îtr à ♥ t① tst♦♥ s rss♦rs tt♥s t t① ♦t♦♥ s éé♥s tt♥♥ ts♥t s t♦ér♥ ♥s ♥s st♦♥ s♥t ♥♦s ♦♥s é♥r ♥rt♦♥ ♥tr ♣r♠ètr τ t t① é♣ss♠♥t s éé♥s

♥②s ♣r♦r♠♥s

tt st♦♥ ♣rés♥tr ① s♦s ♣rts ♣r♠èr ♦♥♥r ♥ rt♦♥ ♥tr s t♦ér♥ t t① ♦t♦♥ s éé♥s ①è♠ ♣r♦♣♦sr ♥t♥q ♥②s ♣r♦r♠♥s ♣r♠tt♥t ♣r♦r♠♠r ♠îtrsr ♣♣t♦♥ ♦♥trôé

t① ♦t♦♥ s éé♥s

♥s tt ♣rt ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ♣♦tq st♦♥ qté st♦stq st ♥ ①t♥s♦♥ ♣♦tq ♠①t ♣rés♥té à st♦♥ ♥s ♥①è♠ t♠♣s ♥♦s ssr♦♥s r ♣r♦té é♣ssr éé♥ rtq♥ ♦♥♥♥t t♦t ♦r ♥ ♦♥t♦♥ ♥éssr à é♣ss♠♥t ♣s ♥ ♣r♦♣♦s♥t♥ tt ♣r♦té


♦♥t♦♥ ♦t♦♥ s éé♥s

♦t ♣♣r♦ st♦stq st ♦r♥r à tstr ♥ ♠♦②♥ ♦♥trôr t① éé♥s ♦és râ s ♣r♦té τ P♦r ♦♥♥îtr tt ♣r♦té t s♦r ♥s qs s s ♦♥tr♥ts t♠♣s s♦♥t é♣ssés ét ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♣r♠ttr ♥tr♣r♥r ♣r♦tétt♥r s ♦♥t♦♥s é♣ss♠♥t t ♥s ♥♦s ♣♦rr♦♥s r ♥ t① ♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts t♠♣s ♣r r♣♣♦rt s t♦ér♥

♦s s♦♥s ♣r ♦♥strt♦♥ ♣♦tq ♠①t q tmxp ≤ tsfp ♣s ♣♦tq

♠①t ts ♦♥strt♦♥ ♣♦tq sûr ♣♦r ré♣érr s②stè♠ ♥s s s①ét♦♥ ♠ss ♦s ♣♦♦♥s ♦♥ ♥ ér q ♣♦r é♣ssr s éé♥s t q ♣♦tq sûr ♥ ♣ss êtr stst ♣rtr à ♥♦s ♣♦♦♥s st♥r① stt♦♥s ♥♦♥rs♣t s éé♥s ♦s é♥ss♦♥s ♣♦tq st♦♥ qté sûr st♦stq ♣r tsfτ sé sr ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♣rsst♦stq Csf

τ t sr ♣♦tq st♦♥ qté sûr tsfp

♦s ♦♥s ♣rés♥tr ① s strés rs♣t♠♥t ♣r s rs t s① s ♣♦s♥t s ss ♥ ♦♥♥ ♦♠♣ré♥s♦♥ s ♦♥t♦♥s é♣ss♠♥t

s ① rs r♣rés♥t♥t ①ét♦♥ ♥ ♥s♠ t♦♥s a1 . . . an ♦ts st♦♥s ♦♥t êtr résés ♥t tt♥r ♥ éé♥ D st ♠ê♠ ♣♦rq t♦♥ st à r D = D(a1) = . . . = D(an) P♦r q t♦♥ ♥♦s ♥♦t♦♥s qté q été ♦s ♣r ♦♥trôr t sss s t♦♥s ♥♦s r♣rés♥t♦♥s♥s♠ Qi s qtés stss♥t rt♦♥

Qi = q|tmxτ (ai . . . an, si−1, q) ≥ ti−1 .

♥t♥♥t q r♣rés♥tt♦♥ ①ét♦♥ été ♥tr♦t ♥♦s ♦♥s ♠♦♥trr s ① stt♦♥s ♠ss ①ét♦♥s stàr s ① stt♦♥s ♦ù♣♣t♦♥ ♥ rs♣t ♣s s éé♥s

Pr♠r s tsfτ (an, sn−1, qmin) ≥ tn−1 st à r ♥tr ①ét♦♥

an−1 t an

♦rs r♥r ♣♦♥t ♦♥trô ♦♥trôr ♦st qté qmin ♠s ♥①ét♥t t♦♥ an éé♥ st é♣ssé stàr tn > D ♦s ♦♥s♥♦♠♠r tt éè♥♠♥t ∆ t é♥r ♣r

∆ = tn > D ∧ tsfτ (an, sn−1, qmin) ≥ tn−1

t éè♥♠♥t st ♣♦ss t tst♦♥ s rés ①ét♦♥ ♣rsst♦stqs ♥ t ss ♣♦ssté à ♣♣t♦♥ é♣ssr ré ①ét♦♥ ♣rs q ♦♥trôr t ♣ré

♥②s ♣r♦r♠♥s

q1

a1 a2

q2 . . . qi

ai

. . . qn−1 qn

an−1 anai+1

D

qn .. qminqn−1, .., qminqi, .., qminq1, .., qmin q2, .., qminQ

r é ♦rs r♥èr t♦♥

♥s s r ♣♣t♦♥ ♦♥trôé tt♥t ♥ étt s②stè♠ (sn, tn) ér♥t

tn = tn−1 + C(an, qmin) > D

D ≥ tn−1 + Csfτ (an, qmin)

r qn ér

tmxτ (an, sn−1, qmin) ≥ tn−1

⇒ tsfτ (an, sn−1, qmin) ≥ tn−1 ♣r ♦♥strt♦♥ tmxp

⇒ D − Csfτ (an, qmin) ≥ tn−1

⇒ D − Cwcτ (an, qmin) ≥ tn−1

⇒ D ≥ tn−1 + Cwcτ (an, qmin) .

♥ ♣t érr

tn−1 + C(an, qmin) > D

tn−1 + C(an, qmin) > tn−1 + Cwcτ (an, qmin)

♦♥ ♦♥ ♣t ♥ ♦♥r q ♥s s ♣♣t♦♥ é♣ssr éé♥ s

C(an, qmin) > Csfτ (an, qmin) = Cwc

τ (an, qmin)

tr♠♥t t s éé♥ ♥st ♣s rs♣té ré ①ét♦♥ ré r♥èr t♦♥ st ♣s r♥ q ré ①ét♦♥ ♣rs st♦stq ♥s ♣r♦té é♣ssr éé♥ ♠s ♦r tsf (an, sn−1, q) ≥ t st

P [∆] = P [C(an, qmin) > Cwcτ (an, qmin)] = τ

①è♠ s tsfτ (an, sn−1, qmin) < tn−1

tt ♦s ♦♥trôr ♣t ♦sr ♥q♠♥t qté ♠♥♠ ♣r ét


stàr qà ♣rtr ♥ rt♥ étt i ♦♥ rt♦♥ tsfτ (ai . . . an, si−1, qmin) < t

♣♦r t♦t ♥ ♥s♠ r i ♦s ♦♥s ♥♦tr t éè♥♠♥t ∆i t érr ♣r

∆i = tn > D ∧ tsfτ (an, sn−1, qmin) < tn−1 ∧ i = j|∀k > j Qk = ∅

t t éè♥♠♥t ♦♥trôr é tsr ♥ qté qmin ♣♦rt♦s s i stàr tsfτ (ai . . . an, si−1, qmin) < t ♣♥♥t ♠ê♠ ♥ ts♥t ♥ qté ①ét♦♥ é♣ss éé♥ r

qi, .., qminq2, .., qmin

q1

a1 a2

q2 . . . qi qmin qmin

ai+1ai

qmin qmin

anan−1

D

Q q1, .., qmin

r é ♦rs ♥ ♥s♠ t♦♥s

r ♥♦s ♠♦♥tr s ♦① ts ♣r ♦♥trôr ♥ qtésqà t♦♥ i ér♦♠♥t st ♥♦r♠ ♦♥trôr ♣t r s ♦① qtéstss♥ts ♣rtr étt i + 1 ♥♦s ♣♦♦♥s ♦srr q♥ qté ♥ értsfτ ≥ t Pr ♦♥séq♥t ♦♥trôr é tsr qté ♠♥♠ ♣♦r s t♦♥ss♥ts sqà q tr♦ ♥ étt ♦ù ♣t ♦sr ♥ qté ♦♥♥ Pr♥♦♥s ♣r s s ♦ù é♦t♦♥ ♣♣t♦♥ ♥ ♣r♠t ♣s r♥r ♥s ♥ étt♣r♦♣♦s♥t ♥ ♦① qté ♦♥trôr ♦♥ à ♣rtr étt i s②stè♠ ♥ ♣êtr ré♣éréPs ♦r♠♠♥t ♥♦s ♦♥s ♣♦r t♦♥ i rt♦♥

ti−1 + Csfτ (ai . . . an, qi) ≤ D

s rété ♥ ♦rrs♣♦♥ ♣s ① ♣rés♦♥s ♦♥trôr t ♥♦s ♦t♥♦♥s ♣♦rt♦♥ s♥t rt♦♥

ti−1 + C(ai, qi) + Cwcτ (ai+1 . . . an, qmin) > D

Pr é♥t♦♥ ♣♦tq st♦♥ qté sûr ♥♦s ♦♥s ♦♥ C(ai, qi) >

Cwcτ (ai, qi) ♣♥♥t ♣♦r q ♣♣t♦♥ ♥rr ♣s à rttr♣r t♠♣s ♣r

t ss q C(ai+1 . . . an, qmin) ≥ Cwcτ (ai+1 . . . an, qmin)

♥s ♥♦s ♣♦♦♥s r ♣r♦té éè♥♠♥t ∆i ♦♠♠ st

P [∆i] = P [C(ai, qi) > Cwcτ (ai, qi) ∧ C(ai+1 . . . an, qmin) ≥ Cwc

τ (ai+1 . . . an, qmin)]

t ♥é♣♥♥ s t♦♥s ♦♥

P [∆i] ≤ P [C(ai, q) > Cwcτ (ai, q)] . P [C(ai+1 . . . an, qmin) > Cwc

τ (ai+1 . . . an, qmin)]

♥②s ♣r♦r♠♥s

P [∆i] ≤ τ . P [C(ai+1 . . . an, qmin) > Cwcτ (ai+1 . . . an, qmin)] ♣rès é♥t♦♥

P♦r q C(ai+1 . . . an, qmin) > Cwcτ (ai+1 . . . an, qmin) t q ①st ♠♦♥s ♥

t♦♥ ♦♥t ré ①ét♦♥ ♣♦r qmin s♦t s♣érr à ré ①ét♦♥ ♣rs♥s ♥♦s ♦♥s ♦♥

P [∆i] ≤ τ2

s ① stt♦♥s ♣réé♥ts ♥♦s ♣rés♥t♥t s ♦♥t♦♥s é♣ss♠♥t séé♥s ♣♦r ♣♦tq st♦♥ qté♠①t ♣rtr à ♥♦s ♦♥s ♣r♦♣♦sr♥ ♣r♦té é♣ssr s éé♥s ♥ ♦♥t♦♥ s ① éè♥♠♥ts q♥♦s ♦♥s tés

Pr♦té é♣ssr s éé♥s

♠♥èr ①r s rés ①ét♦♥ ♣rs ♥ ♣r♠t ♣s ①t♠♥t ♠îtrsr ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♥s s♥s ♦ù s ♣r♦tés s♦♥t és♣♦r ♥ t♦♥ t ♥ qté t ♥♦♥ sr ♣r♦té é♣ssr s ♦♥tr♥ts t♠♣s à ♥ ①ét♦♥ ♥t ♦♥ ♥ ♠îtrs ♣♣t♦♥ ♦ t ♥♦♥♦ t st ♥térss♥t ♣r♦♣♦sr ♥ rt♦♥ ♥tr s t♦ér♥ t t① é♣ss♠♥t s éé♥s

♣r♦té é♣ssr s éé♥s ♦rrs♣♦♥ à ♥♦♥ s ① éè♥♠♥ts érts ♣réé♠♠♥t ♥s ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥♥r rt♦♥ ♦r♠ λ(Γmx

τ ) s♥t

λ(Γmxτ ) = P [∆ ∨∆1 ∨ . . . ∨∆n−1]

t ♥é♣♥♥ s éè♥♠♥ts ♥♦s ♦♥s

λ(Γmxτ ) ≤ P [∆] +

n−1∑

i=1

P [∆i]

λ(Γmxτ ) ≤ τ +

n−1∑

i=1

τ2

λ(Γmxτ ) ≤ τ + (n− 1)τ2

st ss ♥♦♠rss ♣♣r♦①♠t♦♥s ♣r♠èr rés ♥s ♠♦rt♦♥ ♦♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♠①t ♣r ♣♦tq sûr ♦rs t éà♥♦s ♥♦♥s ♣s ♣♦ssté ♦♥♥r ♥ réstt ①t ♠s s♥ ♣♣r♦♥t ❯♥①è♠ ♣♣r♦①♠t♦♥ été t ♦rs ♣r♦té ∆i ♦s ♦♥s♠♦ré tt ♣r♦té ♥ é♥ss♥t ♥ stt♦♥ ♦ù t♦ts s rés ①ét♦♥rés ét♥t s♦t és s♦t s♣érrs ① rés ①ét♦♥ ♣rs st♦stqs t ♥♦s ♦♥s ♣rs ♥ s ①ét♦♥ ①trê♠ ♣♣t♦♥ ♣rtr à t① éé♥s ♦és été sréé


P♦r tt rs♦♥ ♥♦s ♦♥s ♣r♦♣♦sr ♥ ♠ét♦ ♣r♠tt♥t r rt♠♥t t① ♦t♦♥ s éé♥s ①t tt ♠ét♦ ♥ sr ♣s ss ♥s♠♣t♦♥ ♣r♦té ♠s ♥ s♥t ♥ ♦♥strt♦♥ strt♦♥ t tr♠♥s♦♥ tn r♥èr t♦♥ an tt ♠ét♦ ♥♦s ♣r♠ttrss étr♠♥r t① tst♦♥ s rss♦rs tt♥

♥②s ♣r♦r♠♥s

♥s tt st♦♥ ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♥ ♠ét♦ ♣r♠tt♥t ♣rét♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ ♦♥trôé ♦s ♦♥s é♦♣♣é ♥ ♦rt♠ q strt♦♥ ♣r♦té ♣♦r t tr♠♥s♦♥ s t♦♥s ♥st ♦♥t♦♥ strt♦♥ ♣r♦té t tr♠♥s♦♥ r♥èr t♦♥ st tsé♣♦r r t① ♦t♦♥ éé♥ tt♥ ♥ ♣♦rr ss r t①tst♦♥ s rss♦rs ♥ tr♠s t t♠♣s

éstts ♣ré♠♥rs

♦t ♥ s②stè♠ ♣r♠étré ♥rt♥ st♦stq SPIS(C) ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥tsttq s0

a1−→ s1a2−→ . . .

an−→ sn ♦♥t ♥ éé♥ D t ♥ st♦♥♥r téΓmx

τ t tr♠♥s♦♥ ti t♦♥ ai s②stè♠ ♦♥trôé SPIS(C)||Γmxτ st

é♥ rérs♠♥t ♣r

t0 = 0 tti = ti−1 + C(ai, qi),

♦ù qi st s♠♥t étr♠♥é ♣r r ti−1 stàr (ai, qi) = Γ′mxτ (si−1, ti−1)

♦♥ ti st ♥ r ét♦r srèt ♦s r♣rés♥t♦♥s ♣r di : N → [0, 1] ♦♥t♦♥ strt♦♥ ♣r♦té ti st é♥ ♣r di(k) = P

[

ti = k]

♦ùP

[

ti = k]

st ♣r♦té ti = k

P[

ti = k]

♦t k ♥ ♥tr ♦s s♣♣♦s♦♥s q ti = k∧ti−1 = l l∈N s♦♥t s ♥♦♥s s♦♥tséè♥♠♥ts ♦rs ♥♦s ♦t♥♦♥s

P[

ti = k]

= P[

+∞∨

l=0

ti = k ∧ ti−1 = l]

P[

ti = k]

=

+∞∑

l=0

P[

ti = k ∧ ti−1 = l]

.

♥②s ♣r♦r♠♥s

♦♠♠ ti = ti−1 + C(ai, qi) ♥♦s ♦♥s

P[

ti = k ∧ ti−1 = l]

= P[

ti−1 = l ∧ C(ai, qi) = k − l]

.

Psq ti = C(a1, q1) + . . . + C(ai−1, qi−1) ♥♦s ♦t♥♦♥s

P[

ti = k ∧ ti−1 = l]

= P[

ti−1 = l]

P[

C(ai, qi) = k − l]

.

éqt♦♥ sss t ♠è♥♥t à rt♦♥ s♥t ♥tr s strt♦♥s

di(k) =

+∞∑

l=0

di−1(l)dqiai

(k − l) .


♦rt♠ st ♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ ♣r♥♣ ért ♣réé♠♠♥tstàr éqt♦♥ ♦s s♣♣♦s♦♥s q s rs ♥♦♥ ♥tsés s♦♥t ésà 0 ♦rr ♥s ♦rt♠ st éèr♠♥t ér♥t

♦♥♦t♦♥❴♣r♠étré dqiai 1≤i≤nΓmx

τ

i = 1

d0(0) = 1

♦r i← 1 t♦ n ♦

♦r l t q di−1(l) 6= 0 ♦

(ai, qi) = Γmxτ (si−1, l)

♦r t t q dqiai(t) 6= 0 ♦

di(l + t) ← di(l + t) + di−1(l) ∗ dqiai(t)

♥

♥

♥


♦t ① ♥trs l t t ♥♦s ♥ré♠♥t♦♥s r di(l + t) ♣r di−1(l)dqiai(t)

q st éq♥t à

q ♣s t ♣♦r q strt♦♥ di ♥♦♠r rs di(k)

ér♥t 0 st ♥ ♥ t st ♦r q

len(di) = len(di−1) + maxqi∈Qlen(dqiai

)

♣rs

♦♥ r di à ♣rtr di−1 t dqiai ♥ésst s♠♥t ♥ ♥♦♠r ♥ t♦♥s

♥ ♥♥té ♦♠♠ ♣réé♠♠♥t

♦rt♠ ♦♥♦t♦♥ ♣r♠étré ♦rt♠ ♣r♥ ♥ ♥tré s strt♦♥s ♣♣t♦♥ dqi

ai 1≤i≤n t st♦♥♥r té Γmxτ ♣rtr s


♦♥♥és ♥ ♣rt♥t ♥ strt♦♥ d0 ♥tsé à r tért♠♥t strt♦♥ ♣♣t♦♥ ♣♦r t tr♠♥s♦♥ P♦r ♣r♦rt t♦ts st♦♥s ♥ Ps ♣♦r q t♦♥ st♦♥♥r qté ♥ qté q ♦♥trôr ss♥r à t♦♥ s♥t ♣♦r r ré ①ét♦♥ l t♦♥ ♦r♥t ♥ ♥st ♣♦r tt r l rés ♣r♦t ♦♥♦t♦♥ q r strt♦♥ s♥t ♣♦r qté ♦s ♥

râ à t ♦rt♠ ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥strr strt♦♥ ♣r♦té ♦rrs♣♦♥♥t à t tr♠♥s♦♥ tn r♥èr t♦♥ an ♦s ♦♥s étr ♥s ♣rt s♥t ♦♠♣①té t ♦rt♠ ♦♥♦t♦♥ Ps ♥♦s ♦♥♥r♦♥s ♥①♠♣ str♥t

♦♠♣①té ♦rt♠

♥♦♠r t♦♥s ♦rt♠ ♣♦r di st ♥s ♣r s sé à

(

1 + len(di−1))(

1 + maxqi∈Qlen(dqiai

))

s♥ q ♥♦♠r t♦♥s ♠①♠ ♣♦r dn st

n∑

i=1

(

1 + len(di−1))(

1 + maxqi∈Qlen(dqiai

))

.

♦♠♣♦rt♠♥t ♣rs st ♦♥♥é ♣r

(N + 1)

n∑

i=1

(

1 + len(di−1))

,

♦ù N = maxai∈A,qi∈Qlen(dqiai) st ♦♥r ♠①♠ s strt♦♥s rés ①é

t♦♥ C(ai, qi) ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♠♥s♦♥ rtérstq s ♥trés ♣r♦è♠♥ ts♥t t len(d0) = 0 ♥♦s ♦t♥♦♥s ♥s ♣r s s len(di) = iN ♥s ♥♦♠r ♠①♠ t♦♥s st

(N + 1)

n∑

i=1

(

(i− 1)N + 1)

=1

2N(N + 1)n(n− 1) = O(N2n2) .

s♥ q ♦rt♠ ♣r♦♣♦sé st ♣♦②♥♦♠ ♣r r♣♣♦rt ♥♦♠r t♦♥s t à ♦♥r s strt♦♥s s rés ①ét♦♥ ♣♥♥t ♣t êtrééré tst♦♥ s tr♥s♦r♠és ♦rr ♣♦r s ♦♥♦t♦♥s

①♠♣ ①ét♦♥ ♦rt♠

♥②

s♣r♦r♠

♥s

10

15

20

25

0

5

0 5 10 15 20 0

5

0

10

15

20

25

5 10 15 20 0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20

d1

ai

ré ①ét♦♥

%

ré ①ét♦♥

d0

ai

%

ré ①ét♦♥

d2

ai

%

di

ré ①ét♦♥

%

di−1

%

ré ①ét♦♥

Γmxτ (si−1, l) = 2 Γmx

τ (si−1, l) = 1 Γmxτ (si−1, l) = 0

r

①♠

♣

♦♥♦t♦♥♣r♠

étré


①♠♣ r ♥♦s ♣r♠ttr ♠① ♦♠♣r♥r ♥tt♦♥ ♦♥♦t♦♥ ♣r♠étré

①♠♣ r ♥♦s ♣rés♥t ①ét♦♥ ♦rt♠ ♣♦r t♦♥ ai−1

stàr q strt♦♥ di−1 éà été é ♦s ♦♥sér♦♥s ♥s t ①♠♣

♥ ♣♣t♦♥ ②♥t ♥q♠♥t tr♦s qtés ♦s ♦♥s r♣rés♥té ♦① qté

♦♥trôr Γmxτ sr strt♦♥ di−1 ♣rtr à ♦rt♠ t ♦♥♦t♦♥

t♦ts s rs ♦ù st♦♥♥r té ♦st qté 2 strt♦♥

t♦♥ s♥t ai ♣♦r qté 2 t ♠ê♠ ♣♦r s qtés 1 t 0 ♥s

♦t♥t strt♦♥ di ♦rrs♣♦♥♥t à t tr♠♥s♦♥ ti t♦♥ ai

t ♦rt♠ ♥♦s ♣r♠t ♦♥strr strt♦♥ s rés ①ét♦♥ ♣♦r t tr♠♥s♦♥ tn ♣♣t♦♥ é♣♥ s t♦ér♥ q ♦♥t♦♥♥ s rés ①ét♦♥ ♣rs tsés ♣r st♦♥♥r té tt strt♦♥ ♣r♠t résr s ♥②ss à ♣r♦r sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥♦♥trôé

t ♣r♦r♠♥s

♥s tt st♦♥ ♥♦s ♦♥s ♥♦s ♥térssr ① ♣r♦r♠♥s ♣♣t♦♥♦♥trôé ♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ① t②♣s réstts ♣r♠r ♦♥r♥ t① ♦t♦♥ éé♥ ①è♠ ♥♦s ♦♥♥r s ♥t♦♥s sr t t♠♣s qrt tsr ♣♣t♦♥

♥s st ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ éé♥ rtq D t ♥ st♦♥♥r téΓmx

τ q ♣♣q ♣♦tq st♦♥ qté st♦stq Cmxτ st♦♥♥r

té ♣r♦♣♦sé ♣r♠t ré♣♦♥r à ① rtérstqs ♥ ér♥ts ♣r♠èr st rs♣tr s ♦♥tr♥ts t♠♣♦rs stàr q t♠♣s①ét♦♥ t♦t tn st ♥érr à éé♥ D ♥ ♣r♦té ♠♥♠ λ

①è♠ st ♦r ♥ tst♦♥ ♦♣t♠ s rss♦rs stàr ♠①♠sr ♥ qté ♦s ♣r st♦♥♥r té ♣t êtr♦r♠sé ♣r ♠①♠st♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ t♦t tn st♦♥

♣r♦r♠♠r ♣♣t♦♥ ♠t♠é ♣t râ à tt ♠ét♦ ♦sr ♥♦♠♣r♦♠s ♥ s ① rtérstqs ♥s ♥②s ♣r♦r♠♥s êtr t♣♦r r t① ♦t♦♥ s éé♥s ♠s ss sr tst♦♥ t t♠♣s tt♥

① ♦t♦♥ éé♥

t① ♦t♦♥ éé♥ µ(Γmxτ ) ♣♦r st♦♥♥r té Γmx

τ st

♦t♦♥ t♥q s②♠♦q

é♥ ♣rµ(Γmx

τ ) = P[

tn ≥ D]

.

Psq dn st ♦♥t♦♥ strt♦♥ s ♣r♦tés ♣♦r r ét♦r tn t① ♦t♦♥ éé♥ ♣♦r ♣♣t♦♥ ♦♥trôé st é♥ ♣r

µ(Γmxτ ) =

+∞∑

k=D+1

dn(k) .

♦t♦♥s q t q strt♦♥ dn st ♥ s♦♠♠ ♥♥ sss ♣t êtrrét à s♦♠♠ s♥t

µ(Γmxτ ) =

len(dn)∑

k=D+1

dn(k) .

① tst♦♥ t t♠♣s tt♥

t① tst♦♥ t t♠♣s tt♥ st é ♦♠♠ s♣ér♥ strt♦♥ dn stàr

(tn) =

len(dn)∑

k=0

kdn(k) .

♦t♦♥ t♥q s②♠♦q

♥s tt st♦♥ ♥♦s ♦♥s ♣rés♥tr ♣♣r♦ st♦stq ♣♦♥t ♠ét♦ s②♠♦q ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♠♦♥trr♦♥s ♥♥ ♠♦è t♠♣s st♦stq sr ♦♥strt♦♥ ♦♥t♦♥ tmx,r

p ♥st ♥ ①è♠ ♣rt♠♦♥trr ♦♠♠♥t ♦t♥r ♥ ♣s r♥ ♣rés♦♥ ♥ s ré♦♥s râ♠♥t

♥♥ ♣♣r♦ st♦stq

♥s ♣rt ♥♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥ ♠ét♦ ♣r♠tt♥t rs♣tr ①t♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥trôr ♥♦♥ râé t♦t ♥ ♥ s♥t ♣s ♣♣ à àq ♣♦♥t ♦♥trô ♦s s♦♥s q ♠♦è t♠♣s st♦stq ♥♥ ♦♥trôr s♥s râ♠♥t ♥ t ♣r♠t r♥r ss st♠t♦♥s ♣s ♣r♦ rété ♠s ♥ ♦♥tr♣rt ♣r♠t ♦r qqs ♦♥tr♥ts t♠♣s ♣rtr à ♥♦s ♣♦♦♥s ♥♦s ♣♦sr s ♠ê♠s qst♦♥s ♣♦r ♣♣r♦ s②♠♦qstàr qs s♦♥t s ♣♣♦rts ♠♦è t♠♣s st♦stq sr râ♠♥t ♦♥trôr t à ♥rs à q ♦♠♣♦rt♠♥t ♦t ♦♥ stt♥r s s rés ①ét♦♥ ♣rs s♦♥t é♣ssés ♣r s rés ①ét♦♥ rés


♦♠♠ ♣♦r ♦♥trôr ♥t ♥♥ ♠♦è st♦stq sr ♠ét♦s②♠♦q rés ♥s t ♦r s rés ①ét♦♥ ♣rs ♣s ♣r♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s rés ①ét♦♥ ♦♥t rt♠♥t ♠♣tr sr s ♦♥strt♦♥ss ③♦♥s râ♠♥t

♣r♥♦♥s é♥t♦♥ s ③♦♥s râ♠♥t ♣réé♠♠♥t ért ♥s ♣tr ♥ ts♥t ♣♦tq st♦♥ qté st♦stq

ti ∈ ]tmxτ (si+r−1, q + 1), tmx,r

τ (si, q)] pour q < qmax

ti ∈ ]−∞, tmx,rτ (si, q)] pour q = qmax

tmx,rτ (si, q) = mini≤j≤i+r−1t

mxτ (sj , q) − Cwc

τ (ai+1 . . . aj , q) ♦♥t♦♥ tmx,rτ ♦r

rs♣♦♥ à ♦r♥ s♣érr ③♦♥ râ♠♥t stàr ♦♠♣♦rt♠♥t♣rs♥s s é♥t♦♥ ♥♦s r♠rq♦♥s ♥♥ s rés ①ét♦♥ ♣rs s rés ①ét♦♥ s♦♥t ♣s ♣r♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ st é♥tq ③♦♥ râ♠♥t s♥r t ♣♦♦r ré♠♥t ♦rrs♣♦♥r à s st♠t♦♥s ♣s ♣r♦s q ♣♦r ♠♦è t♠♣s ♣réé♥t

♣♥♥t t♦t ♦♠♠ ♣♦r ♦♥trôr ♥t ♥s q ♥♦s ss♦♥s ♣♦ssté ♦r qqs éé♥s ♥♦s ♦♥s ♣♦r tt ♣♣r♦ s②♠♦q s étts ♦ù ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ sr ♣s ♦ré♠♥t é ♥ t é♣ss♠♥t s rés ①ét♦♥ ♣rs ss ♣r♠ttr ♠ ér t s♦rtr s ③♦♥s râ♠♥t♥s tst♦♥ ré♦♥s râ♠♥t st♦stqs ♣r♠ttr ♦r ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ér♥t ♦♥trôr ♥t ♠s ♥ ♣r♦té ①é ♣r s t♦ér♥ τ

D(ak)

yk(q)

ai

ai+1

ai+2

ai+3

R2q

Rq

r ①♠♣ ①ét♦♥ ♣♣t♦♥ râé ♥ ♠♦è t♠♣sst♦stq

①♠♣ r ♥♦s ♠♦♥tr ♥ ①♠♣ ①ét♦♥ ♣♣t♦♥ ♦♥trôé

♦t♦♥ t♥q s②♠♦q

t♥q râ♠♥t ♦s ♦♥s é ♥ ③♦♥ R2q ♦rrs♣♦♥♥t à ♣s

râ♠♥t ♣♦r qté q P♦r t♦♥ ai ♦♥trôr ♦sr q ♣t râr

♦♥trôr ♣♦r s ① ♣r♦♥s ♣♦♥ts ♦♥trô ①ét ai ai+1 ♣s ai+2

♠♦♠♥t à ♦sr s♦♥ étt t s♣rç♦t q st s♦rt ré♦♥ qté Rq

st ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t q ♥t ♣s ♣ré ♥ t ♦rs s t♦♥s ai ai+1 t

ai+2 ♦♥trôr t ♣ré tst♦♥ ♦t♦r qté q r sr r

♥♦s ♦②♦♥s q rt été ♣réér tsr qté q − 1 ♣♦r t♦♥ ai+2 tt

♠s ♣rét♦♥ st t q ♦rs ♠♦♥s ♥ s tr♦s t♦♥s ré

①ét♦♥ été s♣érr à ré ①ét♦♥ ♣rs ♣ré

t ①♠♣ ♥♦s ♠♦♥tr ♥ q t♥q ♦♥trô s②♠♦q ♣t êtr♠♣rés s ♦♥ ts ♣♣r♦ st♦stq s t②♣ ①ét♦♥ rst q♥♠ê♠ très rr t t♦t ♦♠♠ ♣é♥♦♠è♥ ♦t♦♥ s éé♥s st ♠îtrsé ♣rtstr

ré ①ét♦♥ ♠rs

♣♣r♦ st♦stq ♣r♠t é♥érr s♠♣♠♥t ♥ ♠♦è t♠♣s sé srs rés ①ét♦♥ ♣rs t ♠♦②♥♥s ♦s s♦♥s q s ③♦♥s râ♠♥t♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♣r♦♥s t♦♥s ♣♦r s rés ①ét♦♥♣rs ♠s ss ♣♦r ♥ ♠rs q ♥♦s ♦♥s ♣ré♠♥t é♥ à ♥té t♠♣s st♦♥ s♠♣t ♣r♦è♠ ét♥t ♦♥♥é q ♥♦s ♥♦♥s ♣sé♥ ♥s ♠♦è t♠♣s ♣réé♥t tt ♦r♥

♣rtr ♠♦è t♠♣s st♦stq st ss③ s♠♣ é♥r ♥ ré①ét♦♥ ♠rs ♣♦r q t♦♥ t q qté ♥ t ♥♦s ♣♦♦♥stsr ♠ê♠ ♠ét♦ q ♥s é♥t♦♥ ré ①ét♦♥ ♣rs st♦♥ ♦s é♥ss♦♥s s rés ①ét♦♥ ♠rs Cbc

τ ♣r

∀i ∈ |A| P [C(ai, q) < Cbcτ (ai, q)] = τ

s t♦ér♥ τ rst ♠ê♠ q ♣♦r s rés ①ét♦♥ ♣rs

st ♠♥t♥♥t ♣♦ss r♦♥sérr ♦♥strt♦♥ s ③♦♥s râ♠♥t ♥s♥t q s rés ①ét♦♥ s♦♥t ♦♠♣rss ♥tr Cbc

τ t Cwcτ ♦♥ ♥♦s ♣♦♦♥s

♦♥♥r s ♦r♥s ♣♦r tj

ti + Cwc(ai+1 . . . aj , q) ≥ tj ≥ ti + Cbc(ai+1 . . . aj , q)

é♥t♦♥

♦t tmx,rp : A ∗ ×Θ→ R+ ♦r♥ ♥érr ③♦♥ râ♠♥t ♦s é♥s

s♦♥s ♣r

tmx,rp (ai+1 . . . an, si, q) = mini≤j≤i+r−1t

mxp (ai+1 . . . an, sj , q)− Cbc(ai+1 . . . aj , q)


tt ♦♥t♦♥ ♣r♠t érr ♦♠♣♦rt♠♥t ♠rs ♣♣t♦♥ ♦♥t à ♣r♦♣♦st♦♥ s♥t

Pr♦♣♦st♦♥

P♦r ♥ ♥ qté ♦♥♥é ♥ ♥tr r ≥ 1 t ♥ étt s②stè♠ (si, qi) (si, qi) ∈

Rrq s t s♠♥t s

ti ∈ ]tmx,rτ (si, q), t

mx,rτ (si, q)]

tt ♥♦ ♦♥strt♦♥ s ③♦♥s râ♠♥t ♣r♠ttr ♥ ♣s r♥①té ♥s s ♦① ♦♥trôr ♥ t ♥♦s ♥ ♦♥sérr♦♥s ♣s s s ①trê♠s s ♣r♦s♥t ♣rsq ♠s t ♥s ♥♦s r♦♥s ♥ ♠r ♦♥♥ss♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♣t♦♥ q ♣r♠ttr r ♠♦♥s ♣♣s ♦♥trôrt♦t ♥ s♥t q ♣♣t♦♥ ♥ ♥r ♣s ré♦♥ qté

meilleur−cas = 0

D(ak)ti

ai

Rq

ai+4

ai+7

yk(q)♠rs Cbc

τ

r ♦♠♣rs♦♥ st♠t♦♥ ♣♦r s t♠♣s ①ét♦♥ ♠rs

①♠♣ r ♥♦s ♠♦♥tr ♥ ♦♠♣rs♦♥ ♥ s st♠t♦♥s

♥♦♠r ♣s râ♠♥t q ♦♥ ♣t r ♥s s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♠rs

❯♥ tré ♦rrs♣♦♥ à ♦♥strt♦♥ q ♦♥ ♣♦r ♥ ré ♠rs éé à

♠♦è t♠♣s ♣t s♠♥t ♣s râ♠♥t Pr ♦♥tr ♥ ♣r♥♥t ♥

ré ①ét♦♥ é à ♣rtr ♣♣r♦ st♦stq ♥♦s ♣♦♦♥s ♦r q

♦♥trôr ♣t râr ss ♣♣s ♣♦r s ♣s s♥ts

①♠♣ ♣réé♥t st ♣♦r ♠♦♥trr ♥térêt ♦r ♥ ♦r♥ ♠rs ♣♦r râ♠♥t ♦♥trôr

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