0.0.1 Teorema de Cayley-Hamilton

Recordemos primero que para cualquier matriz cuadrada n�n tal como, A tieneun conjunto de eigenvalores los cuales pueden ser encontrados del determinantesecular

jA� �Ij = 0 (1)

Para encontrar los eigenvalores, uno expande el determinante, obteniendoun polinomio para �, que puede ser escrito como

nXk=0

Ck�k = 0 (2)

Las diferentes raíces � de este polinomio son los eigenvalores de la matriz.Ahora hay un teorema muy conocido del algebra lineal, llamado Teorema deCayley-Hamilton, que establece que dada una matriz cuadrada A con eigenval-ores dados por la ecuación 2 , la siguiente ecuación se satisface

nXk=0

CkAk = 0 (3)

donde los Ck de las ecuaciones 2 y 3 son idénticos.Este teorema puede ser usado para truncar la expansión de series de poten-

cias de la matriz exponencial eAt =1Xk=0

Aktk

k! .

Veamos ahora como funciona todo esto para el problema del oscilador ar-mónico. Recordemos que su matriz de estado es

A =

�0 1�!2n �2z!n

�planteamos la ecuación de eigenvalores jA� �Ij = 0����� 0 1�!2n �2z!n

�� �

�1 00 1

����� = 0llevando a cabo el determinante llegamos a la ecuación de eigenvalores sigu-

iente

�2 + 2z!n�+ !2n = 0 (4)

Aplicamos el teorema de Cayley Hamilton

A2 + 2z!nA+ !2n = 0 (5)

veri�quemos el teorema de Cayley-Hamilton�0 1�!2n �2z!n

�2+ 2z!n

�0 1�!2n �2z!n

�+ !2n =

�0 00 0

�funciona!! y entonces usemos el teorema para cortar la serie in�nita de la

matriz exponencial

1

eAt = 1+At+ 12!A

2t2 + 13!A

3t3 + 14!A

4t4:::de la ecuación 5 despejamos la matriz de mayor potencia, para este caso

A2 = �2z!nA� !2n1 (6)

la ecuación 6 nos permite expresar la matriz A elevada a cuarquier potenciamayor a dos como una combinación lineal de A y la matriz identidad 1, comoa continuacion mostraremos para la matriz A3.A3 = AA2

usando la ecuación 6 en la ecuación anteriorA3 = A

��2z!nA� !2n1

�= �2zA2!n �A!2n

A3 = �2z��2z!nA� !2n1

�!n �A!2n

�nalmente obtenemos la matriz A3 como una combinación lineal de A y lamatriz identidad 1

A3 =�4z2!2n � 1

�A+ 2!nz1

sustituyendo los resultados deA2, A3, A4, A5,... como combinaciones linealesdeA y la matriz identidad 1, la matriz exponencial la podemos �nalmente ponercomo una combinación lineal de A y la matriz identidad 1eAt = 1+At+ 1

2!

��2z!nA� !2n1

�t2+ 1

3!

��4z2!2n � 1

�A+ 2!nz1

�t3+ :::

agrupando términos podemos expresar la matriz exponencial como

eAt = �0(t)1+ �1(t)A (7)

donde�0(t) = 1� 1

2!!2nt2 + 1

3!2!nzt3 + :::

�1(t) = 1� 12!2z!nt

2 + 13!

�4z2!2n � 1

�t3 + :::

para evaluar los coe�cientes �0(t) y �1(t) usaremos la siguiente propiedadde la matriz exponencial

d

dteAt = AeAt (8)

sustituyendo la ecuación 7 en la ecuación 8ddt (�0(t)1+ �1(t)A) = A (�0(t)1+ �1(t)A)ddt�0(t)1+

ddt�1(t)A = �0(t)A+ �1(t)A

2

utilizamos la ecuación 6 en la ecuación anteriorddt�0(t)1+

ddt�1(t)A = �0(t)A+ �1(t)

��2z!nA� !2n1

�ddt�0(t)1+

ddt�1(t)A = ��1 (t)!2n1+ (�0(t)� 2z!n�1(t))A

igualando coe�cientes en ambos lados de la ecuación llegamos al siguientepar de ecuaciones diferenciales acopladas de coe�cientes constantes

ddt�0(t) = ��1 (t)!

2n

ddt�1(t) = �0(t)� 2z!n�1(t)Tarea resolver este par de ecuaciones diferenciales acopladasTambién vimos que la matriz exponencial para sistemas lineales e invariantes

en el tiempo igual a

eAt = L�1h(s1�A)�1

i2

sustituyendo el valor de matriz A

(s1�A)�1 =�s

�1 00 1

���

0 1�!2n �2z!n

���1(s1�A)�1 =

s+2z!n

s2+2zs!n+!2n

1s2+2zs!n+!2n

� !2ns2+2zs!n+!2n

ss2+2zs!n+!2n

!La transformada inversa de Laplace es para z � 1

eAt =

0@ e�z!nt�cosh!n

pz2 � 1t+ z sinh!n

pz2�1tp

z2�1

�e�z!nt

sinhpz2!2n�!2nt

!npz2�1

�!2ne�z!nt sinh!npz2�1t

!npz2�1 L�1

�s

!2n+s2+2sz!n

�1A(9)

si z < 1 podemos usar el hecho de que cosh ix = cosx y sinh ix = i sinx opodemos hacer lo siguiente

(s1�A)�1 =

s+2z!ns2+2z!ns+!2n

1s2+2z!ns+!2n

� !2ns2+2z!ns+!2n

ss2+2z!ns+!2n

!(10)

identi�camos cada uno de los términos en la tablas de transformadas deLaplace y resulta ser que sólo encontramos el resultado siguiente

!2ns2 + 2z!ns+ !2n

! !np1� z2

e�z!nt sin!np1� z2t (11)

sin embargo con este resultado es su�ciente, reescribamos los otros términos,de�nimos la frecuencia natural amortiguada como

!d = !np1� z2 (12)

la ecuación 10 queda entonces como0@ 1!2ns

!2ns2+2zs!n+!2n

+ 2z!n

!2ns2+2zs!n+!2n

1!2n

!2ns2+2zs!n+!2n

�!2n

!de�z!nt sin!dt s 1

!2n

!2ns2+2zs!n+!2n

1A (13)

donde hemos usado 11 y 12. Usando el hecho de que Lhdfdt

i ! sF (s) y de

nuevo el resultado 11 la transformada inversa de los elementos que nos faltande la matriz 13 quedan como0@ 1

!2n

ddt

�!2n!de�z!nt sin!dt

�+ 2z

!n

�!2n!de�z!nt sin!dt

�1!2n

!2n!de�z!nt sin!dt

�!2n

!de�z!nt sin!dt

ddt

1!2n

!2n!de�z!nt sin!dt

1Allevemos a cabo las derivadas temporales (cambie d

dt por@@t para que el

programa no se confunda y haga bien la operacion derivada)1!d

@@t (e

�z!nt sin!dt)+2z!n

!2n!de�z!nt sin!dt =

1!de�z!nt (!d cos!dt+ z!n sin!dt)

llegamos �nalmente a la expresión de la matriz exponencial para el casoz < 1

3

eAt =

1!de�z!nt (!d cos!dt+ z!n sin!dt)

1!de�z!nt sin!dt

�!2n

!de�z!nt sin!dt

1!de�z!nt (!d cos!dt� z!n sin!dt)

!(14)

y por lo tanto la solución del sistema para t > 0 es

X(t) = eAtX0�x1(t)x2(t)

�=

1!de�z!nt (!d cos!dt+ z!n sin!dt)

1!de�z!nt sin!dt

�!2n

!de�z!nt sin!dt

1!de�z!nt (!d cos!dt� z!n sin!dt)

!�x1(0)x2(0)

�para z < 1 para z > 1 usamos el resultado 9.

4