REVISTA (2017) 4–3,15-20. ISSN 2395-8510

Contenido disponible en http://www.iteshu.edu.mx/conamti/    

CONAMTI  2017  Mecatrónica-Energías Renovables-Sistemas Computacionales-Innovación Agrícola

Control PID de Velocidad para un Robot Móvil Diferencial Semiautónomo.

Chávez Juárez M. A1, Hernández Paredes J. M1, Serna-Hernández L. F1,*

1División de Ingeniería en Mecatrónica. Instituto Tecnológico Superior de Huichapan. Conocido s/n El Saucillo, Huichapan, Hgo. C.P, 42411, México. * correspondencia: lfserna@iteshu.edu.mx, Tel: (761) 72 4 80 79

A R T ÍCULO

Acceptado 30 Octubre 2017

Palabras clave: Robótica, Sintonización, Odometría, Motores, Ziegler - Nichols.

RESUMEN El motor de corriente continua es esencialmente una máquina que convierte energía eléctrica en movimiento o trabajo mecánico. Es por ello que en la actualidad, el uso de los motores de corriente continua (directa CD) en muchos sistemas es indispensable, y por lo tanto poder manipular su velocidad de reacción y operación también es necesario, para esto se requiere sintonizar controladores de acción proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Sintonizar un controlador PID significa establecer el valor que debe tener los parámetros de ganancia proporcional, tiempo derivativo y tiempo integral, para que el sistema responda en forma adecuada, el presente trabajo describe el método adecuado que se utilizó para sintonizar, el control de acción PID para el motor de corriente directa CD y mediante previas pruebas se obtuvieron sus parámetros. La obtención de los parámetros de Kp, Ki y Kd con el método de sintonización presentado en este documento se llevó a cabo mediante Ziegler y Nichols, y se muestra un análisis comparativo entre el PWM y la u de control obtenida con los resultados.

1.  INTRODUCCIÓN

Con el fin de poder realizar estudios teóricos sobre un robot móvil, se requiere disponer de un modelo matemático completo. Esto permite observar, a través de simulaciones, los efectos de diferentes eventos sobre el robot, y así planear estrategias de control para afrontar una tarea cualquiera [10].

Los robots móviles se pueden construir basándose en diferentes diseños de plataformas, que se diferencian por los diversos sistemas de tracción que utilizan. Las plataformas más comunes utilizan el sistema de tracción diferencial, este utilizan motores independientes para cada una de las ruedas pero situados sobre el mismo eje, además utiliza ruedas locas o puntos de sostenimiento para proporcionar estabilidad mecánica a la plataforma [11].

El estudio de la estabilidad de controladores de robots manipuladores

es un campo que adquiere cada vez una mayor importancia. Cada controlador es propuesto siempre debe ir acompañada por su respectivo análisis de estabilidad, a fin de comprobar matemáticamente que el objetivo de control es satisfecho [5-8]. Dado que las ecuaciones que describe el modelo matemático de un robot manipulador son no lineales, con más frecuencia se utiliza el método de Ziegler y Nichols para sintonizar el controlador [9-11].

La estimación de la posición y orientación de un robot móvil a través

de la técnica de odometría es el método que se utiliza con mayor frecuencia en el control de movimiento en este tipo de sistemas robóticos, como principal ventaja es que solo se utilizan sensores de cuadratura digitales, lo que permite tener la posición y orientación con bajo recurso computacional, sin embargo, la desventaja principal de este método es que si por algún motivo una o más ruedas pierden contacto con el suelo el cálculo odometrico pierde precisión y exactitud, lo que se traduce en un error acumulativo en la posición y orientación de robot [7-9].

El propósito fundamental de este trabajo es mostrar cómo se puede realizar un análisis geométrico de un robot móvil diferencial con el que se pueda generar un modelo cinemático que represente de manera aceptable el comportamiento del vehículo para una posterior aplicación al sistema de navegación del mismo.

2.  MATERIALES Y MÉTODOS

En un robot móvil de ruedas de tipo diferencial la velocidad y dirección del móvil dependen de manera directa de la velocidad actual de cada una de las ruedas que se definen como 𝑤"   y 𝑤$ el robot avanza en línea recta. El desplazamiento de total de robot se define como:

16 REVISTA (2017) 4-3, 15-20 ISSN 2395-8510

𝐷 = '()'*+

(1) donde: 𝐷" es el desplazamiento de la rueda derecha y 𝐷$ es el desplazamiento de la rueda izquierda. En la Fig. 1 los elementos denotados como 𝐷"  son parte de una circunferencia de radio d +b y el primero de esta circunferencia está dada por la ecuación (2). 𝐶$ = 2𝜋 𝑑 + 𝑏         (2) donde 𝐶$ es el primero de la circunferencia por la rueda izquierda, d es la distancia entre las ruedas, b define el giro con respecto al eje del robot y 𝜃 es el ángulo de giro que define la orientación de móvil.

Fig. 1 Guiado direccional del robot móvil.

La ecuación (3) relaciona la distancia que recorre la rueda izquierda con el perímetro y el ángulo de giro con toda la circunferencia. '*3*= 4

+5 (3)

Despejando 𝜃 de (3) y sustituyendo (2): 𝜃 = '*

6)7   (4)

La distancia 𝐷" representa una posición de la circunferencia de radio b y 𝐶" = 2𝜋𝑏 define el perímetro de la rueda derecha y 𝜃   el ángulo de giro con toda la circunferencia: '(3(=   4

+5 (5)

Si se despeja 𝑏 y se sustituye en la ecuación (5) se obtiene el radio de giro con respecto al eje del robot, ecuación (6). 𝑏 = '(

4 (6)

Sustituyendo 𝑏 en (4) se puede definir el ángulo de giro del robot como:

𝜃 = '*6)

8*9

= '*  :'(6

(7)

La ecuación (7) define la orientación de robot en función de los desplazamientos de las ruedas izquierda y derecha, además es indispensable el cambio que el robot tome. [1] y [2] En ocasiones el radio 𝑟<  de la rueda no es el real cuando la rueda toca el piso, es decir, el radio puede disminuir debido al peso que se ejerce el robot, este efecto se muestra en la Fig. 2.

Fig. 2 Radio de efecto de la rueda. Entonces el radio efectivo 𝑟= está en función de la compliancia de las ruedas y se puede determinar empíricamente. Entonces la distancia que recorre la rueda derecha e izquierda al tomar en cuenta el efecto de compliancia se define en (8) y (9). 𝐷" =  

+54(>?@°

(8) 𝐷$ =

+54*>?@°

(9) donde: 𝜃" y 𝜃$  corresponde al angulo de giro de las ruedas derechas e izquierda respectivamente en grados. Para calcular la posición en un plano de referencia (x, y) se utiliza la Fig.3.

Fig. 3 Posición del robot en un plano de referencia.

La obtención de las coordenadas en el eje x y en el eje y es trivial ya que se trata de un simple triangulo rectángulo. 𝑥 = 𝐷 ∗ sin  (𝜃) (10) 𝑦 = 𝐷 ∗ cos 𝜃 (11) donde: D es el desplazamiento total del robot que define la ecuación (1). Si el radio de la rueda es 𝑟= , las velocidades lineales correspondientes son 𝑣$ = 𝑤$𝑟= y 𝑣" =  𝑤"𝑟= . En este caso la velocidad lineal y angular en el modelo se define como [8]: 𝑣 = M()M*

+= (N()N*)"O

+ (12)

𝑤 = M()M*

6= (N(:N*)"O

6 (13)

Por otro lado si se especifica la velocidad lineal v y ángulo w del robot, las velocidades de giro que hay que aplicar a las ruedas izquierda y derecha son: 𝑤$ =

M:(PQ)N

"O (14)

𝑤" =

M)(PQ)N

"O (15)

REVISTA (2017) 4-3,15-20. ISSN 2395-8510 17

La velocidad lineal y angular puede definirse en variables de control como [6-9]:

𝒙𝒚𝜽=  

− 𝒓𝒆 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐

𝒓𝒆 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐

− 𝒓𝒆𝒃

− 𝒓𝒆 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐

𝒓𝒆 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐𝒓𝒆𝒃

𝒘𝒍𝒘𝒓

(16)

A)   Calculo de la velocidad 𝑤$  y 𝑤" . En la velocidad angular se necesita conocer la posición del eje de giro por una unidad de tiempo, en este se realizó una prueba, en la siguiente figura se muestra la velocidad angular que realizo el robot al controlarlo y haciendo la prueba de una trayectoria no lineal, para obtener los resultados se hizo uso de la ecuación (12) por el cual se obtiene a: 𝑡  𝑦  𝜔 [11]. El cálculo de estas dos velocidades angulares de las redas izquierda y derecha respectivamente, es de suma importancia puesto que si se conoce es posible controlarlas para darle el movimiento deseado al robot. Las velocidades angulares de cualquiera de las ruedas se determinan a través de la observación de un sensor del tipo digital que esta acoplado al eje de cada motor que permite el movimiento de la rueda, a este sensor se le conoce como encoder de cuadratura incremental. La idea básica para la estimación de la velocidad angular de cada rueda es trivial puesto que sólo se debe contar cuantos pulsos de encoder existieron en un periodo de muestreo establecido, esta relación se muestra en la ecuación (17) [3-8]. 𝑤",$ = 2𝜋 d*,(

de∆𝑡 (17)

donde: 𝑤",$es la velocidad angular en [rad/s], 𝑃$,"es el número de pulsos resultantes de la velocidad en la rueda izquierda y derecha respectivamente, 𝑃h el número total de pulsos por vuelta de encoder y ∆𝑡 el periodo de muestreo en [Hz]. La variable 𝑃h puede tomar tres valores distintos para un mismo sensor puesto que se puede leer en modo x1, x2 o x4 lo que dará mayor o menor precisión en la estimulación de la velocidad angular siendo x4 el preciso [8-11].

B)   Control PID de velocidad angular. Como se mencionó se debe controlar la velocidad de las ruedas de tal forma que el robot siga un perfil o trayectoria deseada que se definirá más adelante. Para la tarea de controlar la velocidad de cada una de las ruedas se implementó una técnica de control PID, con la finalidad de acercar a cero el error de velocidad, se justifica la aplicación de un controlador PID en el control de robots [5] y [6]. La ley de control PID se puede expresar como: 𝜏 =  𝐾k𝑤 + 𝐾M𝑤 +  𝐾l 𝑤 𝑡 𝑑𝑡h

@ (18) done 𝑤    𝑦  𝑤 representan el error entre las velocidad angular deseada y la real medida 𝑤, las constantes 𝐾k, 𝐾M, 𝐾m   ∈  ℝ, llamadas respectivamente ganancias proporcional, derivativa e integral, son variables definidas positivas[5].

C)   Sintonización del controlador PID. La obtención de cálculos para las ganancias 𝐾k, 𝐾M, 𝐾m se realizan con el método de Ziegler y Nichols, estas reglas funcionan con sistemas que al

aplicar un escalón unitario la respuesta es en forma de S, en la Fig. 4 se muestra la respuesta típica de este tipo de sistemas [6-8].

Fig. 4 grafica respuesta del sistema.

Dicha curva en forma de S se caracteriza por dos constantes, tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. El tiempo de retardo y la constante de tiempo son determinadas por la línea tangente que cruza por el punto de inflexión en el cual se genera la curva de forma de S como se muestra en la Fig. 4 con estas constantes L y T es posible determinar las ganancias del controlador PID con la [Tabla I].

Tabla 1. Método Zeigler y Nichols

2.1 DISEÑO DEL EXPERIMENTO

Se realizaron dos pruebas para validar experimento, una de la cual consiste en aplicar la señal PWM al 100 % a las dos ruedas, la segunda prueba se aplicó un controlador PID de velocidad a cada rueda. Estas pruebas se realizaron en una área de trabajo plana, en ella se trazaron tres líneas rectas, cada línea mide 3 metros de largo por un metro y medio de ancho, tomando en cuenta el centro geométrico del robot, con unas de las líneas marcadas, para visualizar el error de la posición con los datos obtenidos, se aplicó el PWM y se midió del punto de origen al punto final se capturaron datos para comparar los datos obtenidos con los medidos, en la segunda prueba se aplicó en la misma área se aplicó el control poniéndolo en marcha al robot, posteriormente se mido y se comparó con los datos obtenidos, para la odometría se realizaron pruebas en la misma área y se capturaron los valores para después comparar con los valores obtenidos manualmente. En la Fig. 5 se muestra la primera prueba se realizó con el robot, que fue con el PWM donde se muestra el desplazamiento al aplicarle solo la señal del PWM al 100%. En la cual se usó la ecuación (12). Por el cual también se usó el radio de las llantas y la distancia que hay entre llanta y llanta para obtener esta gráfica.

Tipo de Controlador

Ki Ti Td

P T/L ∞ 0 PI 0.9*(T/L) L/0.3 0 PID 1.2*(T/L) 2*L 0.5*L

18 REVISTA (2017) 4-3, 15-20 ISSN 2395-8510

Fig. 5 La velocidad angular se expresa en esta figura por el eje “X” en radianes / segundos y por el eje “Y” esta dado en tiempo, segundos.

Fig. 6 La velocidad lineal del robot en esta el eje “Y” esta dado en radianes / segundos, y sobre el eje “X”, está dado en metros / segundos.

La velocidad lineal es la que se tiene cuando se mueve en una trayectoria recta. En la siguiente figura se muestra el comportamiento del robot al aplicarle el PWM a los motores con el control para los límites marcados y la gráfica se observó cuanto cambio, para esta se uso la ecuación (13) para poder determinar a t y v.

Fig. 7 Diagrama a bloques del control del robot.

Fig. 8 Desplazamiento del robot con el PWM al 100%, en la gráfica muestra la trayectoria donde está dada por el eje “Y”. La velocidad

angular en radianes / segundos, y en el eje “X”. En la segunda prueba que se realizó igual con el mismo PWM pero en este se le aplico la parte del control, donde se puede ver los dos motores que funcionan de igual manera. En donde se usa la ecuación (13) para obtener la gráfica.

3.  RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Como el robot móvil de sistema diferencial se compone de 2 motores D.C, el proceso de construcción del modelo del sistema se inició en la implementación del control y de la odometría. Se realizaron pruebas con la cuales se obtuvieron gráficas de la posición que se hizo al realizar la prueba. Donde la posición del robot está dada por la posición del eje “Y” la posición “Y”, y del otro eje “X” la posición en “X”, por el cual está dado las dimensiones en milímetros. La línea roja indica la trayectoria que siguió al realizar la prueba.

Fig. 9 Desplazamiento del robot con el control y el PWM, el eje “Y” está dado por la velocidad angular en radianes / segundos. Para el eje

“X” esta dado en el tiempo en segundos.

REVISTA (2017) 4-3,15-20. ISSN 2395-8510 19

Fig. 10 Trayectoria de la posición del robot con dimensiones en milímetros. En la Fig. 10 se muestra la gráfica de la velocidad lineal que genera al implementarlo con el control de los 2 motores, haciendo la prueba lineal y angular. La gráfica muestra dos perturbaciones, la roja representa la rueda izquierda y la azul la rueda derecha. En la gráfica está dada los valores del eje “Y” las velocidades angulares en metros sobre segundos, y del eje “X” está dado por tiempo en segundos.

Fig. 11 Grafica de la velocidad lineal y angular representada segundos y metros / segundos.

En la señal de control se representa las pulsaciones de los motores, cuando se le aplica una velocidad y se presenta ya sea lineal o no lineal. En la Fig. 12 se muestra dos perturbaciones en la cual representa desde el punto de arranque

Fig. 12 Grafica señal de control. Presenta la línea roja la rueda izquierda y la azul la rueda derecha. Esta grafica está dada por el eje “y” la velocidad

angular en radianes / segundos, por el eje x está dada en tiempo en segundos. Además de la posición es necesario definir la orientación con respecto al sistema de referencia. Como se muestra en la Fig. 13.

Fig. 13 Orientación del robot, en el eje y está definida por la orientación angular en radianes y el eje x está dada por tiempo en segundos.

4. CONCLUSIONES

El presente artículo se ha descrito la metodología experimentalmente, utilizada para evaluar el control. El objetivo principal de este sistema es proporcionar un mejor manejo del control para ser manipulado por un operador o una PC.

Tabla 2. Error de pruebas

Coordenada PWM Control

x 8 cm 2.7 cm

y 5 cm 1.9 cm

Mediante el análisis desarrollado pudimos corroborar que el mejor método de control para la operación y mejora del comportamiento del robot.

Por lo que podemos concluir que el control propuesto es mejor desde un punto de vista de desempeño [Tabla II].

Los resultados que se muestran en el presente artículo, nos permite comprobar que la metodología desarrollada de odometria para la estimación de orientación y posición de objetos fue satisfactoria a los resultados obtenidos y comprobar su funcionalidad [Tabla II].

REFERENCES

[1]   Bermúdez Bohórquez Giovanni Rodrigo. Modelamiento Cinematico y Odometrico de Robots Moviles. Revista Temura Numero 12. 2003.

[2]   M. W. Spong and M. Vidyasagar, Robot Dynamics and Control, (New York: John Wiley and Sons Inc, 1976).

[3]   Barahona J., Espinosa L., Villegas G. “Controlador de posicion con acciones acotadas para robots manipuladores”, Sexto Congreso sobre Innovacion y Desarrollo Tecnologico (CIIDENT), IEEE Seccion Morelos, pag. 1-8.

20 REVISTA (2017) 4-3, 15-20 ISSN 2395-8510

[4]   ROBOTICA Manipuladores y Robots Moviles, Anibal Ollero Batrurone, Catedratico de ingenieria de sistemas y automatic de la escuela superior de Ingenieros (Universidad de Sevilla).

[5]   “Control of Nonholonomic System”. Ting Yung Wen, J. (1997) The Control Handbook, CRC Press, IEEE Perss. S. Scheding G. Dissanayake, E. M. Nebot, H. Durant- Whyte, An experiment in autonomous navigation of an underground mining vechicle, IEEE. Transactions on Robotics and Automation, vol. 15, no. 1, 1999, pp,85-99.

[6]   S. Scheding G. Dissanayake, E. M. Nebot, H. Durant- Whyte, An experiment in autonomous navigation of an underground mining vechicle, IEEE. Transactions on Robotics and Automation, vol. 15, no. 1, 1999, pp,85-99.

[7]   Ingenieria de control moderna, Katsuhiko Ogata PEARSON EDUCACION, S.A., Madrid 2010 pag. 577-595.

[8]   Anibal Ollero Baturone, Robotica – Manipuladores y Robots Moviles, Ed. Marcombo, ISNB: 2001.

[9]   M.A. Zamora, L.M. Tomas- Balibera, H.Martinez, A.G. Skarmeta, “Navegacion Plantificada de un Robot Movil en Entornos Interiores Desconocidos”, Universidad de Murcia, 200.

[10]   Javier Gonzales Jimenez y A nibal Ollero Baturone, “Estimacion de la Posicion de un Robot Movil” Universidad de Malaga y Universidad de Sevilla, 2015

[11]   Hernandez Paredes Jose Miguel.- REIA 2017, VOL3, ISSN 2448-6817