controlli automatici a - computer engineering group - … · 2004-10-21 · controlli automatici a...
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5. Il Metodo del Luogo delle Radici
Controlli Automatici A – Prof. Aurelio Piazzi 11 maggio 2003
Controlli Automatici A
Corsi di laurea triennali in Ingegneria Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni
a.a. 2001/2002Docente: Prof. Aurelio Piazzi
Email: [email protected]://www.ce.unipr.it/people/piazzi/
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5. Il Metodo del Luogo delle Radici
Controlli Automatici A – Prof. Aurelio Piazzi 11 maggio 2003
5.1 Il luogo delle radici
5.2 Proprietà del luogo delle radici
5.3 Esempi di luoghi delle radici
5.4 Il contorno delle radici
5.5 Complementi
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5. Il Metodo del Luogo delle Radici
Controlli Automatici A – Prof. Aurelio Piazzi 11 maggio 2003
5.1 Il luogo delle radici
Il progetto di un sistema in retroazione richiede la conoscenza dei poli retroazionati e delle variazioni di questi al variare dei più importanti parametri di progetto: fra questi c’è la costante di trasferimento K1 del guadagno di anello L(s).
11
1
( ) ( )( )
( ) ( )m
n
s z s zL s K
s p s p
− −=− −
Equazione caratteristica del sistema in retroazione: 1 1
11
1
1 ( ) 0
( )( )
( ) : :( ) ( )
m
iin
ii
K G s
s zz s
G sp s s p
=
=
+ =
−= =
−
∏
∏
4
5. Il Metodo del Luogo delle Radici
Controlli Automatici A – Prof. Aurelio Piazzi 11 maggio 2003
Definizione:
Luogo delle radici (diretto) è il luogo geometrico descritto dalle radici dell’eq. 1 + K1G1(s) = 0 al variare di K1 da 0 a +∞.
Luogo delle radici (inverso) è il luogo geometrico descritto dalle radici dell’eq. 1 + K1G1(s) = 0 al variare di K1 da 0 a −∞.
{ }
{ }
1
1
1 11
1
1
1
1 11
1
Se 0 allora:
arg ( ) mod 2
1 ( ) 0 1( )
Se 0 allora:
arg ( ) 0 mod 2
1 ( ) 0 1( )
K
G s
K G sG s
K
K
G s
K G sG s
K
π π
π
>=
+ = ⇔ =<
=+ = ⇔ = −
5
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Esempio: 0, (0, )Kτ > ∈ +∞
−K ( )
1
1s sτ+
1 1
eq. car.: 1 0(1 )
11 0
1
1, ( )
1
K
s s
K
s s
KK G s
s s
τ
ττ
ττ
+ =+
+ ⋅ = +
= = +
1
2
1
1 2
2
1arg mod 2
1
1
j
j
s s
s e
s e
ϕ
ϕ
π π
τρ
ϕ ϕ πρ
τ
= +
= ⇒ + =
+ =
s
1ρ
1ϕ2ϕ
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5.2 Proprietà del luogo delle radici
Proprietà 1: Il luogo ha tanti rami quanti sono i poli di G1(s). Ogni ramo parte da un polo di G1(s) e termina in uno zero di G1(s) o in un punto all’infinito. I rami si intersecano in corrispondenza delle radici multiple.
1 1 1
1 1
1 1
Dim.: (si ricorda che )
1+K ( ) 0 p(s)+K ( ) 0 (eq. polinomiale di grado )
K 0 G ( ) , 1,
K G ( ) 0 , 1, oppure
i
i
m n
G s z s n
s s p i n
s s z i m s
≤= ⇔ =
→ ⇒ → +∞ ⇔ → =
→ +∞ ⇒ → ⇔ → = → +∞
…
…
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Proprietà 2: Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale.
Dim.: Le radici complesse di un'eq. polinomiale a coefficienti reali si presentano a coppie coniugate.
Proprietà 3: Nel luogo delle radici diretto (K1 > 0) un punto dell’asse reale fa parte del luogo se si lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli di G1(s). Nel luogo delle radici inverso (K1 < 0) un punto dell’asse reale fa parte del luogo se si lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli di G1(s).
Esempio:
Luogo diretto Luogo inverso
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Dim. P. 3 (cenno): Per il luogo diretto la proprietà discende facilmente dalla condizione
arg G1(s) = π mod 2 π ; analogamente per il luogo inverso…
• Def.: Angoli di partenza e di arrivo nel luogo
angolo di partenza da ip
angolo di arrivo su iz
iz
ip
tangente al luogo
tangente al luogo
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Proprietà 4: Nel luogo delle radici diretto (K1 > 0) l’angolo di partenza da un polo pi semplice è dato dalla relazione:
l’angolo di arrivo sullo zero zi semplice è dato da
Se il luogo delle radici è inverso (K1 < 0) nelle relazioni si sostituisce 0 a π.
{ }1
angolo di p. da arg( ) arg( )m
i i j i jj j i
p p z p pπ= ≠
= + − − −∑ ∑
{ }1
angolo di a. su arg( ) arg( )n
i i j i jj j i
z z p z zπ= ≠
= + − − −∑ ∑
( )
1
Dim. (cenno): Determinazione dell'angolo di p. da
Si impone il cambio di variabile , 0
Quindi si valuta al limite la la relazione arg ( ) mod 2 ...
i
i i
ji
p
s p e
G s
ϕ
ϕ
ρ ρπ π
= + → +=
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• Nota sulla Proprietà 4 [luogo diretto]
Se il polo pi è multiplo con molteplicità h > 1 gli h angoli di partenza φi da pi si determinano con la relazione:
1
arg( ) arg( ) mod 2m
i i j i jj j i
h p z p pϕ π π= ≠
= + − − −∑ ∑
Se lo zero zi è multiplo con molteplicità h > 1 gli h angoli di arrivo ψi su zi si determinano con la relazione:
1
arg( ) arg( ) mod 2n
i i j i jj j i
h z p z zψ π π= ≠
= + − − −∑ ∑
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Proprietà 5: Una radice del luogo di molteplicità h corrisponde a un punto comune ad h rami in cui oltre all’eq. 1 + K1 G1(s) = 0 sono soddisfatte le relazioni Di G1(s) = 0, i = 1, … ,h − 1.
( )1 1 1
Dim.:
1 ( ) 0 , 1, , 1 ( ) 0 , 1, , 1 QEDi iD K G s i h D G s i h+ = = − ⇒ = = −… …
• Una radice doppia del luogo soddisfa l’eq.:
1 1
1 10
n m
i ii is p s z= =
− =− −∑ ∑
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Proprietà 6: In corrispondenza di una radice di molteplicità h il luogo presenta h rami entranti ed h rami uscenti, alternati fra loro, le cui tangenti suddividono lo spazio circostante in settori uguali di π/h radianti.
Esempi:
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• n rami partano dai poli di G1(s), di questi m terminano sugli zeri di G1(s), i rimanenti n − m divergono all’infinito adagiandosi ad asintoti rettilinei.
Proprietà 7: Gli asintoti del luogo delle radici formano una stella di raggi con centro nel punto dell’asse reale di ascissa
Se il luogo è diretto (K1 > 0) gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli:
Se il luogo è inverso (K1 < 0) gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli:
( )1 1
n m
a i ii i
p z n mσ= =
= − − ∑ ∑
( ) ( ), 2 1 , 0,1, , 1.a n m n mνϑ ν π ν= + − = − −…
( ), 2 , 0,1, , 1.a n m n mνϑ νπ ν= − = − −…
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• Asintoti del luogo diretto (K1 > 0)
aσ
aσ
aσ
1ρ =
2ρ =
3ρ =
aσ4ρ =
aσ5ρ =
60
45
36
( )1: ordine relativo di ( )n m G sρ = −
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• Asintoti del luogo inverso (K1 < 0)
aσ
aσ
aσ
1ρ =
2ρ =
3ρ =
aσ4ρ =
aσ5ρ =
12072
( )1: ordine relativo di ( )n m G sρ = −
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5.3 Esempi di luoghi delle radici
• Luoghi (diretti) del primo ordine
• Luoghi (diretti) del secondo ordine
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• Luoghi (diretti) del secondo ordine
R
1d
2d1 2R d d=
R
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5.4 Il contorno delle radici
• É un luogo delle radici (dell’eq. carat.) per variazioni di un parametro diverso dalla costante di trasferimento del guadagno di anello.
• Questa tecnica è applicabile quando l’eq. caratteristica 1+L(s;p) = 0 con p parametro variante è riconducibile all’eq. carat. standard 1 + K1G1(s) = 0 con K1 = K1 (p) funzione biunivoca di p.
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• Contorno delle radici per variazione di un polo
( )( ; ) , ( ) funzione razionale
1( )
1 ( ; ) 0 1 0 1+ ( ) 01
R sL s R s
sR s
L s s R ss
ττ
τ ττ
=+
+ = + = + =+
1 01 ( )
s
R sτ+ =
+
( ; ) bipropria ( ) impropria bipropria1 ( )
( ; ) stret. propria ( ) propria impropria1 ( )
sL s R s
R s
sL s R s
R s
τ
τ
⇒ ⇒+
⇒ ⇒+
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2
2
Esempio:
( ; )(1 )
per 0 1 0
per 0 1+ 0(1 )
0
1 0
KL s
s s
K
sK
s s
s s K
s
s K
ττ
τ
ττ
τ
τ
=+
= + =
> =+
+ + =
+ =+
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• Contorno delle radici per variazione di uno zero
( )( )
( ; ) ( ) 1 , ( ) funzione razionale
1 ( ; ) 0 1 ( ) 1 0 1 ( )+ ( ) 0
L s R s s R s
L s R s s R s sR s
τ ττ τ τ= +
+ = + + = + =
( )1 0
1 ( )
sR s
R sτ+ =
+
( )( ; ) propria ( ) stret. propria propria
1 ( )
sR sL s R s
R sτ ⇒ ⇒
+
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• L’eq. caratteristica 1+L(s;p) = 0 è riconducibile alla forma standard quando trasformata in equazione polinomiale i suoi coefficienti sono funzioni affini del parametro p.
( )
( )
( )
2
2
Esempio:
51 0
3
3 5 0
3 51 0
531 3 01
s pp
s s p
s ps s p
p s
s s
sp
s s
+++ = ∈+
+ + + =+
+ =+
++ =
+
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5.5 Complementi
• Teorema del baricentro del luogo delle radici
( )
{ }( )
11 1 1 1
1
1 2
1 1
( )1 0 1 ; , , 0
( )
, , , siano le radici dell'eq. carat.
; , ,
m
ii
mn
ii
C C Cn
Ci Ci m
s zK K G s z z
s p
p p p
p p K z z
=
=
−+ = + =
−
≡
∏
∏…
…
…
11 1
Se il guadagno di anello ha ordine relativo 2 vale la relazione:
e , 1, , .n n
Ci i ii i
p p K z i m
ρ
= =
≥
= ∀ ∈ ∀ ∈ =∑ ∑ …
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11
1
2 12 1
1 21
1
1
1
Dim.: (si ricorda che )
( ) ( )1 0
( ) ( )
0 se 21 0
1 se 2
0 eq. carat. polinomiale
m
m
n nn n
nnn n
ii
nn n
ii
ni
i
n m
s z s zK
s p s p
s sK
s p s
s p s
s p
ρ
ρβ β βρ
− −− −
−−
=
−
=
= −− −+ =− −
>+ ++ = = =− +
+ − + =
+ −
∑
∑
( ) ( ) ( )11 2
1
1 1
QED
nn
C C Cn
n n
i Cii i
s s p s p s p
p p
−
=
= =
+ = − − −
⇒ − = −
∑
∑ ∑
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• Sensibilità delle radici a variazioni di K1
1
1
1 1
1 11
1
1
1 11
1
Sia una radice del luogo:
1:
( ) 1 dove ( )
( )
K
K
s
dsK ds KsS
dK dKs dK sK ds
K dK sS K s
s ds G s
−
= = ⋅ = ⋅
= ⋅ = −
1: Se è una radice multipla del luogo allora .Ks S = ∞Proprietà
1 1( ) ( )Dim.: Se è una radice multipla 0 0 .
dG s dK ss
ds ds⇒ = ⇒ =
• Conseguenza: può non essere opportuno assegnare (progettare) un valore di K1 corrispondente ad una sensibilità infinita …
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• Grado di stabilità
Sia dato un sistema Σ asintoticamente stabile ( Re pi < 0, i = 1, .. ,n ; dove i pi sono i poli di Σ ):
Def.: Si definisce grado di stabilità di Σ (nel piano complesso)
{ }1 2: max Re , Re , , ReS nG p p p= − …
• È la distanza minima dei poli di Σ dall’asse immaginario (ovvero dal piano “instabile”).
• Nell’ipotesi che fra i poli di Σ esista una coppia dominante vale approssimativamente: 3
aS
TG
≈