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Controlli Automatici LB Reti correttrici
10/29/08
Prof. Carlo Rossi 1
Controlli Automatici LB Parte 2 – Regolatori standard e Metodi di taratura
Reti Correttrici Rete di Anticipo Rete di Ritardo
Rete di Ritardo/Anticipo
Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093020 Email: [email protected]
URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi
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Indice 1. Introduzione alle Reti Correttrici 2. Rete di Anticipo 3. Rete di Ritardo 4. Rete di Ritardo/Anticipo 5. Rete correttrici - sommario delle regole di taratura 6. Problemi di code di assestamento con le reti correttrici 7. Riferimenti Bibliografici
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Introduzione alle Reti Correttrici Risultati dell'analisi di Scenario
regolatori senza poli nell'origine individuati si utilizzano con specifica di errore a regime costante non nullo
R s( )= k
1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( )
Scenario A
Scenario B reti correttrici
Rd s( )=
1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( )
regolatore statico
regolatori dinamici
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Introduzione alle Reti Correttrici Sviluppo del progetto
fase preliminare al progetto di regolatori senza polo nell'origine si progetta il regolatore statico Rs(s) = k per imporre la più severa
tra la specifica statica e quella sulla attenuazione di un eventuale disturbo caratterizzato spettralmente si progetta quindi la rete correttrice (regolatore dinamico ) a
guadagno unitario si progetta sull'impianto già compensato staticamente L* = k G
le formule per la compensazione statica e di attenuazione del disturbo sono già state illustrate nel capitolo sulle Specifiche dei sistemi di controllo
salvo diversa indicazione, in questo capitolo non ci si occuperà quindi della scelta del guadagno statico k
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Introduzione alle Reti Correttrici Sviluppo del progetto
si considerano reti correttrici a guadagno unitario si progettano sull'impianto già compensato staticamente L* = k G
rete di ritardo
rete di anticipo
R s( )=
1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( ) rete di ritardo/anticipo
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intervallo di frequenze di utilizzo della rete
Rete di Anticipo Rete di anticipo a guadagno unitario
Re
Im
due effetti sulla L zero
polo
anticipo di fase
aumento del guadagno L'effetto utile è l'anticipo di fase tra zero e polo
1/τ 1/ατ
10-1 100 101 102
0
10
20
30
40
0
20
40
60
80
ω
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Caratteristiche principali
Reti correttrici 7
0
5
10
15
20
10-1 100 101 102 0
10
20 30 40
50 60
ω = 1/τ ω = 1/ατ
una decade oltre il polo la fase residua è < 5°
errore < 10°
α = 0.1 τ = 1
max 70-75°
Rete di Anticipo
Re
Im
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Rete di Anticipo Ruolo dei parametri
10-2 10-1 100 101 102
0
5
10
15
20
25
30
0
10
20
30
40
50
60
Re
Im
α = .1 τ = 3.3
α = .1 τ = 10
α = .15 τ = 3.3
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Formule utili
Reti correttrici 9
guadagno max (in alta frequenza)
pulsazione del massimo anticipo
α per ottenere un dato ϕmax
Rete di Anticipo
guadagno in corrispondenza di ω*
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 α 15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
ϕmax°
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Formule utili
Reti correttrici 10
α per ottenere ϕmax
Rete di Anticipo
guadagno in ω*
0 10 20 30 40 50 60 70 ϕmax° 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 |R(ω*)|dB
Se nel progetto si sceglie una frequenza di attraversamento in cui il guadagno richiesto e l'anticipo di fase sono sulla curva, la rete progettata avrà minimo guadagno in alta frequenza
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Rete di Anticipo Razionale del progetto
si tracciano i diagrammi di Bode dell'impianto già compensato staticamente (kG(s))
si sceglie la frequenza di attraversamento ωc desiderata all'interno dell'intervallo di specifica
ad es. ωc = 4 rad/s
100 101
-30
-20
-10
0
10
20
-200
-150
-100
-50
0
50
100 specifiche
Mf >70°
2 < ωc < 7 rad/s kG
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Rete di Anticipo Razionale del progetto
si valutano sui diagrammi il guadagno ⏐R (jωc) ⏐dB per imporre l'attraversamento in ωc l'anticipo di fase Arg(R (jωc)) per imporre il margine di fase
desiderato
100 101
-30
-20
-10
0
10
20
-200
-150
-100
-50
0
50
100 specifiche
Mf >70°
2 < ωc < 7 rad/s
⏐R (j4) ⏐dB= +10dB
Arg(R (j4))= +60°
kG
ad es. ωc = 4 rad/s
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Rete di Anticipo Razionale del progetto
si sviluppa il progetto nel corso verrà illustrato un metodo analitico
basato sull'uso di formule, dette di inversione
100 101
-30
-20
-10
0
10
20
-200
-150
-100
-50
0
50
100 specifiche
Mf >70°
2 < ωc < 7 rad/s
⏐R (j4) ⏐dB= +10dB
Arg(R (j4))= +60°
ad es. ωc = 4 rad/s
kG
L
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Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione
Problema progettare una rete di anticipo a guadagno statico unitario k= 1
scegliere cioè τ e ατ che in ω = ωc garantisca
un guadagno ⏐R (jωc) ⏐ (in unità lineari) pari a M (M>1) un anticipo di fase Arg(R (jωc)) pari a ϕ (0°< ϕ<90°)
l'espressione del regolatore in ωc è
in termini generali di funzione complessa
eguagliando le due espressioni si ha
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Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione
dal lucido precedente, evidenziando le variabili τωc e ατωc
sviluppando
si svolgono le parentesi
si separano parte reale e parte immaginaria
si eguagliano a zero parte reale e parte immaginaria
M cosϕ + jM sinϕ( ) 1+ jατω c( ) = 1+ jτω c
1+ jτω c
1+ jατω c
= M cosϕ + jM sinϕ
M cosϕ + jM cosϕ(ατω c ) + jM sinϕ + j2 M sinϕ(ατω c ) = 1+ j(τω c )
M cosϕ − M sinϕ(ατω c ) −1+ j M cosϕ(ατω c ) + M sinϕ −τω c( ) = 0
Re Im
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Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione
dal lucido precedente
Im = 0
Re = 0
in forma matriciale
M cosϕ − M sinϕ(ατω c ) −1+ j M cosϕ(ατω c ) + M sinϕ −τω c( ) = 0
Re Im
M cosϕ(ατω c ) + M sinϕ −τω c = 0
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Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione
dal lucido precedente
risolvendo per τωc e ατωc
invertendo la matrice
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Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione
dal lucido precedente
sviluppando l'equazione matriciale
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Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione
dal lucido precedente
dividendo per il parametro già scelto ωc si ottengono le Formule di inversione
non tutte le scelte della coppia M e ϕ, con M > 1 e 0° < ϕ < 90°
garantiscono una soluzione ammissibile 0 < α < 1 τ > 0
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Rete di anticipo Esempio di progetto con le formule di inversione
Step 1 - traccio diagramma di L*=kG
Specifiche dinamiche Margine di fase > 70° 10 ≤ ωc ≤ 50 rad/s
Impianto
ωc ≅ 12 rad/s Mϕ ≅ 40° (insufficiente)
Step 2 - Scelgo una nuova frequenza ωc* (superiore a quella propria del sistema) nell'intervallo di specifica ωc* = 20 rad/s
Step 3 - Calcolo (in ωc* ) il guadagno M e l'anticipo di fase ϕ necessari ad imporre l'attraversamento ed il margine di fase richiesti
10-1 100 101 102
-40
-20
0
20
40
-200
-100
0
100
ωc
L*
⏐L*⏐dB = -8 dB ⇒ MdB = - ⏐L*⏐dB ⇒ M = 10(8/20) = 2.5 ϕ = +50°
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Rete di anticipo Esempio di progetto con le formule di inversione
Specifiche dinamiche Margine di fase > 70° 10 ≤ ωc ≤ 50 rad/s
Impianto
Step 4 - Calcolo i parametri della rete
Le specifiche sono soddisfatte ωc = 21 rad/s Mf = 78.5°
-40
-20
0
20
40
-200
-100
0
100
10-1 100 101 102
L R
ωc* = 20 rad/s M = 2.5 ϕ = +50°
L*
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Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 22 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 -50
-40 -30 -20 -10
0 10 20 30 40 50
Rete di anticipo Verifica
Specifiche Mf > 70° 10 ≤ ωc ≤ 50 rad/sec
Impianto
coda di assestamento residuo piccolo
δ ≅ .83
vera ωn ≅ 40
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
risposta al gradino
undershoot
attesa con δ ≅ .83 ωn ≅ 40
-40
-20
0
20
40
-200
-100
0
100
10-1 100 101 102
δ ≅ .8
L
ωc ≅ 21
dinamica dominante
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Rete di anticipo Coda di assestamento
la presenza di una coda di assestamento è fisiologica quando si usa una rete anticipatrice la rete contiene uno zero collocato di solito a frequenza inferiore a
quella di attraversamento nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione, lo
zero fungerà da attrattore per un polo dell'impianto la dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di
quella imposta con la frequenza di attraversamento se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di
assestamento potrebbe comunque essere più corta del tempo di assestamento
per valutare l'importanza della coda nella risposta occorre stimarne il tempo di assestamento e confrontarlo con quello
del sistema in retroazione senza considerare la coda se è superiore a quello imposto al sistema, la presenza della coda
può portare al mancato soddisfacimento delle specifiche.
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Rete di anticipo Coda di assestamento
per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad un progetto per cancellazione si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo
dell'impianto per questo tipo di rete è opportuno scegliere il polo a
frequenza inferiore alla ωc prescelta più vicino ad essa
il progetto per cancellazione non è sempre possibile occorre verificarne la fattibilità lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo
poli dell'impianto
ωc Zero
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Rete di anticipo Progetto per cancellazione - formule utili
lo zero del regolatore è collocato in corrispondenza di un polo dell'impianto
τc è quindi già fissato per imporre la cancellazione resta da considerare il polo, la cui f.d.t. è
dalla prima
dalla seconda
Rp dB= −20log 1+ ωτ( )2⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
ϕ Rp( ) = −arctg ωτ( )
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Rete di anticipo Progetto per cancellazione - formule utili
dal lucido precedente
da cui modulo in funzione della fase
fase in funzione del modulo
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10
0
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Modulo (dB)
Fase
(gra
di)
Polo
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Rete di anticipo Esempio di progetto per cancellazione
impianto
Specifiche dinamiche Margine di fase > 70° 10 ≤ ωc ≤ 50 rad/s
Step 1- diagramma di L*=kG ωc ≅ 12 rad/s Mf ≅ 40°
Step 2 - introduco lo zero in cancellazione di un polo dell'impianto di solito quello più vicino (a frequenza inferiore) alla ωc scelta
Step 3 - diagramma di Bode della L' compensata con lo zero
10-1 100 101 102 103
-100
-50
0
50
-200
-100
0
100
L*
non fisicamente realizzabile !!
L'
ωc 12rad/s
40°
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Rete di anticipo Esempio di progetto per cancellazione
Specifiche dinamiche Margine di fase > 70° 10 ≤ ωc ≤ 50 rad/s
Step 4 - rilevo la frequenza di attraversamento ed il µαργινε δι φασε χηε ρισυλτανο
ωc = 20 rad/s Mf = 90°
Step 5 - valuto la fattibilità del progetto per cancellazione la nuova frequenza di attraversamento e la fase sono all'interno
dei rispettivi intervalli di specifica posso procedere
10-1 100 101 102 103
-100
-50
0
50
-200
-100
0
100
ωc
L*
20rad/s (o.k.)
L'
90° (o.k.)
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Rete di anticipo Esempio di progetto per cancellazione
Specifiche dinamiche Margine di fase > 70° 10 ≤ ωc ≤ 50 rad/s
Step 6 - introduco il polo di fisica realizzabilità in modo da rispettare le specifiche
non ridurre troppo la frequenza di attraversamento
non introdurre sfasamenti che pregiudichino il margine di fase
se il polo è collocato una decade dopo ωc i suoi effetti sono nulli sul modulo e trascurabili sulla fase
scelta conservativa il regolatore ha un guadagno in alta frequenza
più alto del necessario
-40 -20
0 20
10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -180
-90 0
90
polo
zero
L
R
+25dB
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Rete di anticipo Esempio di progetto per cancellazione
Specifiche dinamiche Margine di fase > 70° 10 ≤ ωc ≤ 50 rad/s
per limitare il guadagno in alta frequenza conviene posizionare il polo il più possibile vicino alla ωc
attenzione a sfasamento ed attenuazione introdotti
la specifica richiede Mf > 70° e lo zero mi ha portato a +90° posso accettare che il polo introduca uno sfasamento
ϕ = -20° in ωc= 20 rad/s la relazione tra la fase e la costante di tempo nel polo è
da cui
-60 -40 -20
0 20
10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -180 -135
-90 -45
0 45
polo
zero R
L' L
+15dB
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-60 -40 -20
0 20
10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -180 -135
-90 -45
0 45
Rete di anticipo Esempio di progetto per cancellazione verifica
specifiche dinamiche Margine di fase > 70° 10 ≤ ωc ≤ 50 rad/s
ωc = 18
-50 -40 -30 -20 -10 0
-20
-10
0
10
20
50 40 30 20 10
0.985
0.94 0.87 0.78 0.64 0.5 0.34 0.16
0.985
0.94 0.87 0.78 0.64 0.5 0.34 0.16
ωn ≅ 33 δ ≅ .84
L
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 s 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
risposta al gradino
Mf = 75° δ ≅ .75
con cancellazione
senza cancellazione δ ≅ .83 ωn ≅ 40
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Rete di ritardo Rete di ritardo a guadagno unitario
Re
Im
due effetti sulla L
polo
zero
ritardo di fase
attenuazione
1/τ 1/ατ
10-1 100 101 102
-40
-30
-20
-10
0
-80
-60
-40
-20
0
ω
L'effetto utile è l'attenuazione
oltre lo zero
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-20
-15
-10
-5
0
10-1 100 101 102 -60 -50
-40 -30 -20
-10 0
ω = 1/τ ω = 1/ατ
una decade oltre il polo
la fase residua è < 5° errore < 10°
Re
Im
α = 0.1 τ = 1
Rete di ritardo Descrizione della rete
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-20
-15
-10
-5
0
10-1 100 101 102 -60 -50
-40 -30 -20
-10 0
ω = 1/τ ω = 1/ατ
una decade oltre il polo
la fase residua è < 5° errore < 10°
α = 0.3 τ = 1
α = 0.1 τ = 1
Rete di ritardo Ruolo dei parametri
Re
Im
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Rete di ritardo Formule utili
pulsazione del massimo anticipo
attenuazione in corrispondenza di ω*
attenuazione max (in alta frequenza)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 α -65
-60
-55
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15°
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Rete di Ritardo Razionale del progetto
si tracciano i diagrammi di Bode dell'impianto già compensato staticamente (kG(s))
si sceglie la frequenza di attraversamento ωc desiderata all'interno dell'intervallo di specifica
si valutano sui diagrammi l'attenuazione ⏐R (jωc) ⏐dB per imporre l'attraversamento in ωc il ritardo di fase Arg(R (jωc)) per imporre il margine di fase
desiderato si sviluppa il progetto
nel corso verrà illustrato un metodo analitico basato sull'uso di formule, dette di inversione
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10/29/08
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Rete di Ritardo Progetto della rete con formule di inversione
Problema Progettare una rete di ritardo a guadagno statico unitario k = 1
scegliere τ e ατ che in ω = ωc garantisca
una attenuazione (in unità lineari) pari a M (0<M<1) ed un ritardo di fase pari a ϕ (-90°< ϕ<0°)
il procedimento è analogo a quello per le reti di anticipo
R jω c( ) = 1+ jατω c
1+ jτω c
M cosϕ + jM sinϕ( ) 1+ jτω c( ) = 1+ jατω c
svolgendo le parentesi e separando la parte reale e quella immaginaria
= Me jϕ = M cosϕ + jM sinϕ
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Rete di Ritardo
Non tutte le coppie M, ϕ
garantiscono una soluzione con
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10-2 10-1 100 101 102
-60 -40 -20
0 20 40
-200
-150
-100
-50
0
Rete di ritardo Esempio di progetto con le formule di inversione
Specifiche dinamiche Margine di fase > 60° 4 < ωc < 20 rad/s
Impianto
-10°
-14 dB
ωc*
Step 1 - traccio diagramma di L*=kG ωc ≅ 20 rad/s Mϕ ≅ 30°
Step 2 - Scelgo una nuova frequenza ωc* (inferiore a quella propria del sistema) nell'intervallo di specifica dove la fase propria dell'impianto soddisfa le specifiche (scenario A) ωc* = 6 rad/s
Step 3 - Calcolo (in ωc* ) l'attenuazione M necessaria ad imporre l'attraversamento ed il massimo ritardo di fase ϕ che la rete può introdurre senza pregiudicare il margine di fase
L*
MdB = 14 dB ⇒ M = .2 ϕ = -10°
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Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 40
10-2 10-1 100 101 102
-60 -40 -20
0 20 40
-200
-150
-100
-50
0
Rete di ritardo Esempio di progetto con le formule di inversione
Specifiche dinamiche Margine di fase > 60° 4 < ωc < 20 rad/s
Impianto
Step 4 - Calcolo i parametri della rete con le formule di inversione
Le specifiche sono soddisfatte ωc = 6 rad/s Mf = 65°
L R ωc* = 6 rad/s M = .2 ϕ = -10°
Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 41 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
risposta al gradino
Rete di ritardo Verifica
vera
Specifiche dinamiche Mf > 60° 4 < ωc < 20 rad/s
Impianto
10-2 10-1 100 101 102
-60 -40 -20
0 20 40
-200
-150
-100
-50
0
L
ωc ≅ 7
δ ≅ .65
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
ωn ≅ 9
δ ≅ .6
undershoot
attesa con δ ≅ .6 ωn ≅ 9
coda di assestamento
coda di assestamento residuo piccolo
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Rete di ritardo Coda di assestamento
la presenza di una coda di assestamento è fisiologica quando si usa una rete di ritardo essa contiene uno zero collocato strutturalmente a frequenza
inferiore a quella di attraversamento nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione, lo
zero fungerà da attrattore per un polo dell'impianto la dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di
quella imposta con la frequenza di attraversamento se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di
assestamento potrebbe comunque essere più corta del tempo di assestamento
per valutare l'importanza della coda nella risposta occorre stimarne il tempo di assestamento e confrontarlo con quello
del sistema in retroazione senza considerare la coda se è superiore a quello imposto al sistema, la presenza della coda
può portare al mancato soddisfacimento delle specifiche
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Rete di ritardo Coda di assestamento
per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad un progetto per cancellazione si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo
dell'impianto per questo tipo di rete è opportuno scegliere il polo a
frequenza inferiore escluso un eventuale polo nell'origine
il progetto per cancellazione non è sempre possibile occorre verificarne la fattibilità lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo
ω
poli dell'impianto
ωc Zero
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Rete di ritardo Progetto per cancellazione - formule utili
lo zero del regolatore è collocato in corrispondenza di un polo dell'impianto
τc è quindi già fissato per imporre la cancellazione resta da considerare il polo, la cui f.d.t. è
dalla prima
dalla seconda
Rp dB= −20log 1+ ωτ( )2⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
ϕ Rp( ) = −arctg ωτ( )
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Rete di ritardo Progetto per cancellazione - formule utili
dal lucido precedente
da cui modulo in funzione della fase
fase in funzione del modulo
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10
0
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Modulo (dB)
Fase
(gra
di)
Polo
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Esempio di progetto per cancellazione impianto
Specifiche dinamiche Margine di fase > 60° 4 ≤ ωc ≤ 20 rad/s
Step 1- diagramma di L*=kG ωc ≅ 20 rad/s Mf ≅ 30°
Step 2 - introduco lo zero in cancellazione di un polo dell'impianto di solito quello a frequenza inferiore
Step 3 - diagramma di Bode della L' compensata con lo zero
-180 -135
-40 -20
0 20
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
-90 -45
0
Rete di ritardo
L* L'
non fisicamente realizzabile !!
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Rete di ritardo Esempio di progetto per cancellazione
Specifiche dinamiche Margine di fase > 60° 4 ≤ ωc ≤ 20 rad/s
Step 4 - scelgo la frequenza di attraversamento ωc
ωc = 7 rad/s Step 5 - calcolo l'attenuazione necessaria per imporre ωc
⏐Rp ⏐ = -26dB e valuto il margine di fase
Mf = 148° il polo di fisica realizzabilità può introdurre un ritardo di fase pari a 148° - 60° = 88°
-180 -135
-40 -20
0 20
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
-90 -45
0 L*
ωc
L'
Mf
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Rete di ritardo Esempio di progetto per cancellazione
Specifiche dinamiche Margine di fase > 60° 4 ≤ ωc ≤ 20 rad/s
Step 6 - verifica di fattibilità calcolo il ritardo di fase
introdotto dal polo che garantisce una attenuazione ⏐Rp ⏐ = -26dB
dalle formule utili
il progetto per cancellazione è fattibile (di misura)
-180 -135
-40 -20
0 20
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
-90 -45
0
ωc
L'
-87°
-26dB
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Esempio di progetto per cancellazione Specifiche dinamiche
Margine di fase > 60° 4 ≤ ωc ≤ 20 rad/s
Step 7 - introduco il polo in modo da imporre in ωc= 7 una attenuazione di -26dB
dalle formule utili
le specifiche sono soddisfatte (di misura!) si poteva scegliere una ωc inferiore, (ad es. 5rad/s) che avrebbe
consentito una soluzione con un margine più ampio
Rete di ritardo
-180 -135
-40 -20
0 20
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
-90 -45
0
L R
-26dB
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Rete di ritardo Esempio di progetto per cancellazione verifica
specifiche dinamiche Margine di fase 6 70° 4 ≤ ωc ≤ 20 rad/s
0 0.5 1 1.5 2 2.5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
risposta al gradino
con cancellazione
senza cancellazione
ωn ≅ 9 δ ≅ .6
-180 -135
-40 -20
0 20
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
-90 -45
0
ωc ≅ 6
δ ≅ .62
-10 -8 -6 -4 -2 0
-5
0
5
10 8 6 4 2
0.97
0.88 0.76 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12
0.97
0.88 0.76 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12 8
-8
δ ≅ .6 ωn ≅ 8.5
L
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Regolatori per lo Scenario B condizioni di utilizzo
situazioni dopo la compensazione statica L* = RsG
la frequenza di attraversamento della funzione L* = RsG è esterna συπεριορµεντε ο νελλα παρτε συπεριορε δελλ∍ιντερϖαλλο δι σπεχιφιχα περ c la sola rete di anticipo non basta perchè porterebbe la
frequenza di attraversamento fuori dall'intervallo di specifica occorre un regolatore che oltre all'anticipo di fase introduca
anche una attenuazione a frequenza comunque superiore ad dmax
Rete di ritardo-anticipo
ωcmin ωcmax
L* L*
R s( )= k
1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( )
|R| ωdmax ω
arg(R)
ωc
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Rete di ritardo-anticipo Rete di Ritardo/Anticipo a guadagno unitario
R s( )=
1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( ) Re
Im
-20
-10
0
10
20
10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -90 -45
0 45 90
2 effetti utili
1τ1
<ω<1α1τ1
⇒ attenuazione
1τ2
<ω<1α2τ2
⇒ anticipo di fase
è la cascata di: • una rete di ritardo • una rete di anticipo
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Rete di ritardo-anticipo Scomposizione della rete
composta dalla cascata di due reti
Rete di Ritardo
Rete di Anticipo
R s( )=
1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( ) Re
Im
Rrr s( )=
1+α1τ1s( )1+ τ1s( )
Rra s( )=
1+ τ2s( )1+α2τ2s( )
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Rete di ritardo-anticipo - taratura Progettazione della rete
per il progetto della rete procederemo per passi, progettando le due sottoreti una dopo l'altra utilizzando, per ciascuna, una delle tecniche di taratura già illustrate come sempre, il progetto della seconda dovrà tenere conto delle
azioni già introdotte dalla prima alcune domande lecite
quale delle due reti va progettata per prima ? a priori non fa differenza
c'è qualche vantaggio a scegliere un ordine piuttosto che l'altro ? si, in entrambi i casi
prima di procedere è opportuno analizzare meglio questa problematica
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Rete di ritardo-anticipo - taratura Ordine di progettazione e gradi di libertà
il regolatore ha 4 parametri (α1, α2, τ1, τ2 ) per soddisfare le due specifiche frequenza di attraversamento e margine di fase
i 4 parametri non possono però essere scelti liberamente il progetto presenta comunque almeno 1 grado di libertà
entrambe le reti componenti possono essere progettate per fornire, ad una ωc assegnata, un effetto utile di entità rilevante (dipende da α)
rete di anticipo ⇒ anticipo di fase rete di ritardo ⇒ attenuazione
un effetto parassita di lieve entità (dipende da α e da τ) rete di anticipo ⇒ guadagno rete di ritardo ⇒ ritardo di fase
ciascuna delle due reti è quindi in grado di compensare l'effetto parassita introdotto dall'altra
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Rete di ritardo-anticipo - taratura Ordine di progettazione e gradi di libertà
rete progettata per prima si utilizza esclusivamente per il suo effetto utile il valore dell'effetto parassita non va imposto perchè potrà essere
compensato dalla seconda rete nel progetto c'è quindi un grado di libertà
rete progettata per seconda deve imporre al sistema già compensato con Rra sia il modulo che
la fase in ωc non ha quindi gradi di libertà
ad es. prima Rra ⇒ poi Rrr
si progetta Rra per imporre l'anticipo di fase richiesto in ωc quello rilevato dall'analisi di scenario incrementato del ritardo di
fase introdotto successivamente in ωc dal Rrr si progetta Rrr per imporre l'attraversamento in ωc
Rrr può introdurre un ritardo di fase aggiuntivo pari a quello già considerato nel progetto di Rra
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Rete di ritardo-anticipo - taratura Possibili utilizzi del grado di libertà
caso A – La rete di anticipo viene progettata per prima progetto della Rete di anticipo
si può progettare per minimizzare il guadagno in alta frequenza fissato l'anticipo ϕ desiderato in ωc si sceglie il guadagno della
rete di anticipo con la formula
ricordarsi di aggiungere qualche grado per compensare il ritardo introdotto poi dalla Rete di Ritardo
la rete di anticipo viene poi progettata con le formule di inversione e presenta il massimo anticipo di fase proprio in ωc
progetto della Rete di ritardo dal diagramma della RraL* si valutano in ωc
l'attenuazione necessaria per imporre l'attraversamento il ritardo di fase massimo ammissibile
si progetta la rete di ritardo con le formule di inversione
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Rete di ritardo-anticipo - taratura Possibili utilizzi del grado di libertà
caso A – La rete di anticipo viene progettata per prima progetto della Rete di anticipo
si può progettare per minimizzare il guadagno in alta frequenza metodo alternativo
fissati ωc e l'anticipo ϕ desiderato si progetta la rete utilizzando alcune formule utili presentate in precedenza
da
progetto della Rete di ritardo dal diagramma della RraL* si valutano in ωc
l'attenuazione necessaria per imporre l'attraversamento il ritardo di fase massimo ammissibile
si progetta la rete di ritardo con le formule di inversione
se si impone ω* = ωc si ha
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Rete di ritardo-anticipo - taratura Possibili utilizzi del grado di libertà
caso B – La rete di ritardo viene progettata per prima progetto della rete di ritardo
si può utilizzare il grado di libertà relativo allo sfasamento introdotto dalla rete di ritardo in ωc per minimizzare le code di assestamento nella risposta al gradino si progetta la rete di ritardo per cancellazione
progetto della rete di anticipo dal diagramma della RraL* si valutano in ωc
l'anticipo di fase necessario il guadagno per imporre l'attraversamento
si progetta la rete di anticipo con le formule di inversione
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
-20
0
20
10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135
-90 -45
0
Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90°
L*
Analisi di Scenario ⇒ Scenario B occorre una rete di anticipo ⇒ la ωc andrà oltre l'intervallo di
specifica
scelgo la frequenza di attraversamento nell'intervallo di specifica, ad es ωc = 1.3 rad/s ⇒ occorrono 45° di anticipo di fase aggiungo 5° per il ritardo di fase parassita della rete di ritardo ⇒ ϕ = +50°
caso A - Progetto per prima la rete di anticipo non dovendo imporre specifiche sul modulo scelgo la taratura a minimo guadagno in alta frequenza
devo quindi progettare una rete di ritardo-anticipo ⇒ aggiusterò la ωc con una rete di ritardo
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
-20
0
20
10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135
-90 -45
0
Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90°
L*
la rete a minimo guadagno in alta frequenza che assicura + 50° di anticipo di fase ha guadagno in centro banda di +9dB Per il progetto analitico scelgo ωc = 1.3 rad/s M = 2.8 (9 dB) ϕ = +50° 0 10 20 30 40 50 60 70 ϕmax°
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
|R(ω*)|dB
Scelta del guadagno MdB
Caso A – Rete di anticipo prima
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ωc = 1.3 rad/s M = 2.8 (9 dB) ϕ = +50°
Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90° Progetto ora la Rete di Anticipo con le formule di inversione
Dalle formule di inversione per la rete di anticipo τ = 2.16s ατ = .28 s
-60 -40 -20
0 20
10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180
-90 0
90
L*
L'
Rra
in ωc = 1.3 rad/s la funzione L'=RraL*: • ha la fase corretta • ha il modulo troppo alto ⇒ serve la rete di ritardo
come da scelta di progetto la rete di anticipo ha il massimo sfasamento
proprio in ωc = 1.3 rad/s
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dal diagramma della L'=RraL* in ωc = 1.3 rad/s occorre M = 0.18 (-15 dB) ammetto uno sfasamento ϕ = -5° (già considerato nella Rete di anticipo)
Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90°
Progetto della Rete di Ritardo con formule di inversione
Dalle formule di inversione per la rete di ritardo
τ = 40s ατ = 7.2 s
in ωc = 1.3 rad/s la funzione L=RrrRraL*: • ha la fase corretta • ha il modulo unitario (0 dB)
-20
0
20
10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135
-90 -45
0
-15dB
L' L Rrr
le specifiche sono soddisfatte
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Verifica
-60
-30
0
30
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180
-90 0
90
Rrra
L
-4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.975 0.91 0.82 0.7 0.56 0.42 0.28 0.14
0.975 0.91 0.82 0.7 0.56 0.42 0.28 0.14
0 5 10 15 20 s 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
per eliminare la coda potrei progettare Rrr per cancellazione
+3 dB
Ta5 = 8s
atteso 2.3s
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90°
caso B - Progetto per prima la rete di ritardo scelgo il progetto per cancellazione
-20
0
20
10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135
-90 -45
0
-22dB
Introduco lo zero in cancellazione del polo più lento ατ = 5 Traccio il diagramma della L' = (1+ατ s)L* scelgo la frequenza di attraversamento nell'intervallo di specifica, ad es: in ωc = 1.3 rad/s
L* L'
occorrono -22dB di attenuazione per imporre l'attraversamento in ωc = 1.3 rad/s considero altri -6 dB (scelta ragionevole, ma arbitraria) per compensare il guadagno spurio introdotta dalla rete di anticipo. in totale occorrono -28dB
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90°
caso B - Progetto per prima la rete di ritardo scelgo il progetto per cancellazione
-40
-20
0
20
10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135
-90 -45
0 L* L'=RrrL*
ωc = 1.3 rad/s ατ = 5 ⎢Rp⎢ = - 28 dB
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90°
caso B - Progetto ora la rete di anticipo scelgo il progetto con le formula di inversione
-40
-20
0
20
10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135
-90 -45
0 L* L'=RrrL*
dai diagrammi della L' (in ω = 1.3 rad/s) ho ϕ = +55° M = 2 (+6 dB)
+55°
+6dB
dalle formule di inversione
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90° -60
-40 -20
0 20
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180
-90 0
90 L*
Le specifiche sono soddisfatte
R L
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Rete di ritardo-anticipo - taratura
Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90° -60
-40 -20
0 20
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180
-90 0
90
+15dB
0 1 2 3 4 5 6 s 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-15 -10 -5 0 -4
-2
0
2
4
16 14 12 10 8 6 4 2
0.996 0.986
0.965 0.93 0.87 0.78 0.6 0.35
0.996 0.986
0.965 0.93 0.87 0.78 0.6 0.35
verifica
R L
Ta5 = 3s
atteso 2.3s
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Rete correttrici - sommario delle regole di taratura Regole di taratura analizzate
rete di anticipo progetto con formule di inversione progetto per cancellazione
rete di ritardo progetto con formule di inversione progetto per cancellazione
rete di ritardo/anticipo (rete a sella) progetto in sequenza delle due reti componenti
rete di anticipo progettata per prima progetto della rete di anticipo a minimo guadagno in alta
frequenza progetto della rete di ritardo con formule di inversione
rete di ritardo progettata per prima progetto della rete di ritardo per cancellazione progetto della rete di anticipo con formule di inversione
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Step 2 alla frequenza di attraversamento scelta si ricavano: il guadagno M e lo sfasamento ϕ che la rete deve avere a quella frequenza per imporre le specifiche
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Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto analitico mediante formule di inversione
Step 1 Si sceglie una frequenza di attraversamento:
0 10 20 30 40 50 60 70 ϕmax° 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
|R(ω*)|dB
per avere una rete a guadagno ridotto in alta frequenza.
• interna all'intervallo di specifica
• maggiore di quella dell'impianto
• cercando di garantire in ωc una coppia guadagno/sfasamento sulla curva
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Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto analitico mediante formule di inversione
Step 3 si calcolano i parametri della rete mediante le formule di inversione
Step 4 si tracciano i diagrammi di Bode del regolatore R e della funzione d'anello L e si verifica il soddisfacimento delle specifiche Step 5 si verifica il progetto analizzando il sistema in retroazione mediante il luogo delle radici e la risposta al gradino
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1a verifica di fattibilità del progetto Se all'interno dell'intervallo di specifica per la frequenza di attraversamento non esiste nessuna frequenza in cui L' rispetta la specifica sul margine di fase, il progetto per cancellazione non è fattibile (il polo di fisica realizzabilità non può migliorare la fase).
Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione
Step 1 Si compensa il sistema con uno zero in cancellazione del polo più vicino, ma a frequenza inferiore, alla frequenza di attraversamento scelta
Step 2 si tracciano i diagrammi di Bode del sistema compensato con il solo zero in cancellazione (L').
A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna all'intervallo di specifica
A2) la frequenza di attraversamento di L' è esterna (superiormente) all'intervallo di specifica
Se la 1a verifica di fattibilità dà esito positivo ci sono due alternative
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Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione
A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna all'intervallo di specifica
Il polo della rete deve essere posizionato il più possibile vicino allo zero per garantire il minimo valore di guadagno in alta frequenza L'avvicinamento del polo allo zero introduce uno sfasamento aggiuntivo ed una attenuazione crescente, che abbassa la frequenza di attraversamento Le espressioni
consentono di valutare le relazioni tra sfasamento ed attenuazione introdotti dal polo.
Rp dB
= −20log 1+ tgϕ( )2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Come si vede dal diagramma, la funzione mostra una maggiore sensibilità nei confronti della variazione della fase, che per prima va considerata nel progetto
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10
0
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Ampiezza (dB)
Fase
(gra
di)
Polo
ϕ Rp( ) = −arctg( 10−
Rp dB10 −1)
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Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione
Step 3 In ωc si rileva il massimo sfasamento ϕp che il polo di fisica realizzabilità può introdurre senza pregiudicare il margine di fase
Step 4 si calcola la costante di tempo τ del polo di fisica realizzabilità che lo posizioni in modo da introdurre in ωc lo sfasamento ϕp
Verifica si valuta l'attenuazione che verrebbe introdotta, per verificare che la ωc non esca dall'intervallo di specifica.
Se esce si sceglie uno sfasamento inferiore
A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna all'intervallo di specifica - continua
Step 5 si verifica il progetto tracciando i diagrammi di Bode di R e di L
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Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione
A2) la frequenza di attraversamento di L' è esterna (superiormente) all'intervallo di specifica
Il polo della rete deve introdurre una attenuazione M per imporre una ωc all'interno dell'intervallo di specifica. Si sceglie come ωc l'estremo superiore dell'intervallo e si valuta graficamente l'attenuazione da introdurre 2a verifica di fattibilità del progetto per cancellazione Lo sfasamento introdotto dal polo, aggiunto a quello della L' non deve compromettere la specifica sul margine di fase.
Se la verifica di fattibilità non dà esito positivo il progetto per cancellazione non è fattibile. Diversamente si procede con lo step 3 -90
-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10
0
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Ampiezza (dB)
Fase
(gra
di)
Polo
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Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione
A2) la frequenza di attraversamento è esterna (superiormente) all'intervallo di specifica
Step 3 In ωc si rileva il massimo sfasamento ϕp che il polo di fisica realizzabilità può introdurre senza pregiudicare il margine di fase
Step 4 si calcola la costante di tempo τ del polo di fisica realizzabilità che lo posizioni in modo da introdurre in ωc lo sfasamento ϕp
Verifica si valuta l'attenuazione che verrebbe introdotta, per verificare che la ωc non esca dall'intervallo di specifica.
Se esce si sceglie uno sfasamento inferiore
Step 5 si verifica il progetto tracciando i diagrammi di Bode di R e di L
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Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura Progetto analitico mediante formule di inversione
Step 2 Si sceglie una frequenza di attraversamento: • interna all'intervallo di specifica • minore di quella propria dell'impianto
Step 4 si calcolano i parametri della rete mediante le formule di inversione
Step 3 alla frequenza di attraversamento scelta si ricavano:
• l'attenuazione M che la rete deve avere a quella frequenza per imporre l'attraversamento
• il massimo ritardo di fase ammissibile ϕ
Step 1 Si traccia il diagramma di Bode della L*=R1G
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Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione
Step 2 Si compensa il sistema con uno zero in cancellazione del polo dell'impianto a frequenza più bassa, escludendo un eventuale polo nell'origine
Step 4 alla frequenza scelta per l'attraversamento
• si rileva il guadagno dell'impianto e quindi l'attenuazione (⏐Rp ⏐dB) che il polo deve introdurre per imporre l'attraversamento
• si rileva lo sfasamento in ωc (lo chiamiamo ϕ(L*(ωc)))
Step 3 si tracciano i diagrammi di Bode del sistema compensato (L*) e si sceglie la frequenza di attraversamento ωc
Step 1 Si traccia il diagramma di Bode della L*=R1G
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Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione
Step 5 si calcola la costante di tempo τ del polo mediante la relazione
Verifica di fattibilità si verifica la fattibilità del progetto per cancellazione, calcolando il ritardo di fase complessivo in ωc (quello della L* sommato a quello introdotto dal polo)
se ϕ(ωc) soddisfa le specifiche il progetto per cancellazione è fattibile.
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dal diagramma della L*=kG • si sceglie la frequenza di attraversamento ωc • si valuta l'anticipo di fase (+ϕa) necessario per garantire il margine di fase • si fissa il valore del ritardo che sarà introdotto in ωc dalla rete di ritardo (-Δϕ) • si sceglie per la rete ϕ = ϕa - (-Δϕ) • si sceglie il guadagno (M) della rete in ωc con le formule
Reti correttrici 81
Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di anticipo progettata per prima
nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare il guadagno in alta frequenza Step 1 – progetto della rete di anticipo
0 10 20 30 40 50 60 70 ϕmax 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
|R(ω*)|dB
• dati M, ϕ e ωc si progetta la Rete di Anticipo con le formule di inversione
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Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di anticipo progettata per prima
nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare il guadagno in alta frequenza Step 2 – progetto della rete di ritardo
dal diagramma della L'=RrakG • si valuta l'attenuazione (in dB) necessaria per garantire la frequenza di
attraversamento ωc • si calcola il corrispondente valore M in scala lineare • si sceglie per la rete ϕ = -Δϕ già fissato al passo 1 • dati M, ϕ e ωc si progetta la Rete di Ritardo con le formule di inversione
Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 83
Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di ritardo progettata per prima
nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare le code di assestamento Step 1 – progetto della rete di ritardo
dal diagramma della L*=kG • si sceglie la frequenza di attraversamento ωc • si introduce lo zero in cancellazione (ωc) • dai diagrammi della L'=(1+ωcs)L* si valuta l'attenuazione ArdB (valore
negativo) necessaria per imporre l'attraversamento in ωc • si fissa il guadagno aggiuntivo ΔkdB (valore positivo) introdotto
successivamente dalla Rete di Anticipo • si calcola AdB = ArdB -ΔkdB • si posiziona il polo della rete in modo da garantire l'attenuazione AdB in ωc
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Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di ritardo progettata per prima
nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare le code di assestamento Step 2 – progetto della rete di anticipo
dal diagramma della L'=RrrkG • si valuta l'anticipo di fase (ϕ) necessario per imporre l'attraversamento in ωc • si calcola il guadagno (in dB) delle rete per imporre l'attraversamento in ωc
(ΔkdB) (a meno di errori è il valore già fissato al passo 1) • si trasforma il valore del guadagno in scala lineare
• dati M, ϕ e ωc si progetta la Rete di Anticipo con le formule di inversione
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Sistemi con polo nell'origine Polo nell'origine presente nell'impianto
Si ricorda che la rete di ritardo viene impiegata per ridurre il guadagno (limitare la frequenza di attraversamento) quando non si può utilizzare un regolatore proporzionale.
se non ci sono vincoli sull'attenuazione di un disturbo caratterizzato spettralmente l'uso della rete di ritardo perde di significato perché la frequenza di
attraversamento scelta si può impostare con un regolatore statico del tipo R = k
Rete di ritardo - sistemi con polo nell'origine
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Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Stima del tipo di effetto
da modulo LA si ricorda l'antitrasformata della risposta al gradino di un sistema del secondo ordine a polo reali distinti ed uno zero
y t( ) = µ 1− τ1 −Tτ1 −τ 2
e−tτ1 + τ 2 −T
τ1 −τ 2e−tτ2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
se T = 5 τ1 = 4 τ2 = 1
r1 è il residuo associato alla dinamica τ1
r2 è il residuo associato alla dinamica τ2
r2
r1
la dinamica dominante è quella di τ2 la dinamica della coda è quella di τ1
r1 ≅ 1/3 r2 < - 4/3
t
1
-1
r2e-t/τ2
y
r1e-t/τ1
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Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Stima del tipo di effetto
per l'analisi si ricorre al luogo delle radici la coda di assestamento si può manifestare come:
undershoot se nella coppia polo/zero in bassa frequenza il polo viene
prima dello zero overshoot
se nella coppia polo/zero in bassa frequenza il polo viene dopo lo zero
la presenza di uno zero in bassa frequenza garantisce che un polo del sistema sarà attratto da questo la presenza di una coda di ampiezza significativa non è certa. Se il
guadagno di anello è elevato il polo e lo zero si troveranno molto vicini, dando luogo (nell'antitrasformata) ad un residuo di modesta entità rispetto a quello relativo alla dinamica principale la valutazione del baricentro del luogo può essere di aiuto
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Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Alcune situazioni tipiche
-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 -2
-1.5 -1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
Imag
Axe
s
-2 -1.5
-1 -0.5
0 0.5
1 1.5
2
-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
La dinamica residua genera un undershoot con coda di assestamento
di ampiezza modesta
La dinamica residua genera un undershoot con coda di
assestamento di ampiezza rilevante
Il polo residuo sarà collocato tra lo zero (-0.25) ed il polo del regolatore (-0.1). In entrambi i casi la costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda) è
quindi compresa tra 4s (-1/-.25) e 10s (-1/-.1)
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Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Alcune situazioni tipiche
La dinamica residua genera un overshoot con coda di assestamento
di ampiezza rilevante
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -4
-3
-2 -1
0
1 2
3
4
Il polo residuo sarà collocato tra il polo dell'impianto (-2.5) e lo zero (-1). La costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda)
è quindi compresa tra 0.4s (-1/-2.5) e 1s (-1/-1)
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Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Alcune situazioni tipiche
La dinamica residua genera un overshoot con coda di assestamento
di ampiezza non eccessivamente rilevante
il ragionamento per determinare la costante di tempo del polo residuo è
un po' più complicato
-10 -8 -6 -4 -2 0 -6
-4
-2
0
2
4
6
Il baricentro normalizzato del luogo è in
Il punto di emergenza degli asintoti è in
Ne consegue che il terzo polo sarà necessariamente a dx del baricentro normalizzato ed a sx dello zero (-1.5).
B
ovviamente a dx del punto di emergenza degli asintoti.
la costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda) è compresa tra
0.27s (-1/-3.6) e 0.66s (-1/-1.5)
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Riferimenti bibliografici Per approfondimenti
Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli Automatici", McGraw-Hill, II edizione Capitolo 11
Marro "Controlli Automatici", Zanichelli, V edizione, Capitolo 6
Controlli Automatici Parte 2 – Regolatori standard e Metodi di taratura
Reti Correttrici Rete di Anticipo Rete di Ritardo
Rete di Ritardo/Anticipo FINE
Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093020 Email: [email protected]
URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi