controllo dei robotย ยท 2019-03-29ย ยท paolo lino ๐ฟ= โ lagrangiana del sistema meccanico...
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Paolo Lino
Controllo dei Robot
Controllo dei Robot
Table of contents
Introduction
Paolo LinoDipartimento di Ing. Elettrica e dellโInformazione (DEI)
Politecnico di Bari
e-mail: paolo.lino [at] poliba.it
Dinamica
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
๐ฟ = ๐ โ ๐ Lagrangiana del sistema meccanico
๐ Energia cinetica totale del sistema
๐ Energia potenziale totale del sistema
Equazioni di Lagrange
๐ = 1,2, โฆ , ๐
๐ป๐ รจ la forza generalizzata associata alla coordinata generalizzata ๐๐
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Dinamica del manipolatore
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐๐โ๐๐ฟ
๐๐๐= ๐๐
Paolo Lino
Per un manipolatore a catena aperta la scelta piรน naturale per le coordinate
generalizzate รจ data dalle variabili di giunto ๐ = ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐๐
Alle forze generalizzate daranno contributo le forze non conservative che
compiono lavoro su ๐๐, in altre parole le coppie generate ai giunti dagli attuatori,
le coppie dโattrito dei giunti, nonchรฉ le coppie ai giunti indotte da forze esplicate
dallโorgano terminale sullโambiente in situazione di contatto.
Nota: Il termine coppia รจ usato come sinonimo della forza generalizzata al giunto.
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐๐โ๐๐ฟ
๐๐๐= ๐๐
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐
๐
โ๐๐ฟ
๐๐
๐
= ๐ป
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Dinamica del manipolatore
Paolo Lino
Cm
Fm
ฯm
ฯ
I
Im
mg
lF
Braccio attuato
mediante riduttore
meccanico
Le coppie ai giunti sono fornite dai motori
tramite opportuni organi di trasmissione
meccanica del moto.
In alternativa, si possono avere giunti azionati
con motori calettati direttamente sullโasse di
rotazione senza organi di trasmissione.
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Dinamica del manipolatore - Esempio
๐๐ =๐
๐๐=๐๐๐
=๐๐
๐rapporto di trasmissione
della coppia cinematica
Paolo Lino
๐๐ =๐
๐๐=๐๐๐
=๐๐
๐rapporto di trasmissione
della coppia cinematica
๐ถ๐ = ๐ผ๐ ๐๐ + ๐น๐๐๐ + ๐๐๐
๐๐ = ๐ผ ๐ + ๐น๐ +๐๐๐ sin ๐
๐ถ๐ = ๐ผ๐๐ ๐๐ + ๐น๐๐๐๐ +๐๐๐
๐๐sin
๐๐๐๐
๐ผ๐๐ = ๐ผ๐ +๐ผ
๐๐2
๐น๐๐ = ๐น๐ +๐น
๐๐2
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Dinamica del manipolatore - Esempio
Cm
Fm
ฯm
ฯ
I
Im
mg
lF
Braccio attuato
mediante riduttore
meccanico
Paolo Lino
๐ =1
2๐ผ ๐2 +
1
2๐ผ๐๐๐
2 ๐2
๐ = ๐๐๐ โ 1 โ cos ๐
๐ฟ = ๐ โ ๐ =1
2๐ผ ๐2 +
1
2๐ผ๐๐๐
2 ๐2 โ๐๐๐ โ 1 โ cos ๐
๐ผ + ๐ผ๐๐๐2 ๐ + ๐๐๐ sin ๐ = ๐
๐ = ๐ โ ๐น ๐ โ ๐น๐๐๐2 ๐
๐ผ + ๐ผ๐๐๐2 ๐ + ๐น + ๐น๐๐๐
2 ๐ + ๐๐๐ sin ๐ = ๐
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐๐โ๐๐ฟ
๐๐๐= ๐๐
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Dinamica del manipolatore - Esempio
Braccio attuato
mediante riduttore
meccanico
Cm
Fm
ฯm
ฯ
I
Im
mg
lF
Paolo Lino
vettore
velocitร lineare
densitร della particella
elementare di volume ๐๐
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Determinazione dellโenergia cinetica
energia cinetica
del braccio ๐
๐ =
๐=1
๐
๐โ๐ + ๐๐๐
energia cinetica
del motore che
aziona il giunto ๐
๐โ๐ =1
2 ๐โ๐
๐๐โ ๐ ๐๐
โ๐๐๐
Paolo Lino
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Determinazione dellโenergia cinetica
๐โ๐ =1
๐โ๐
๐โ๐
๐๐โ๐๐๐ baricentro
particella
elementare๐๐ =
๐๐๐ฅ๐๐๐ฆ๐๐๐ง
= ๐๐โ โ ๐โ๐
Paolo Lino
Sostituendo in
traslazione
mutuo
rotazione
regola di composizione delle velocitร
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Determinazione dellโenergia cinetica
๐๐ = ๐๐โ1 + ๐ฃ๐โ1,๐ + ๐๐โ1 โง ๐๐โ1,๐
๐๐โ = ๐โ๐ + ๐๐ โง ๐๐ = ๐โ๐ + ๐ ๐๐ ๐๐
๐โ๐ =1
2 ๐โ๐
๐๐โ ๐ ๐๐
โ๐๐๐
1
2 ๐โ๐
๐โ๐๐ ๐โ๐๐๐๐ =
1
2๐โ๐ ๐โ๐
๐ ๐โ๐
21
2 ๐โ๐
๐โ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ = 2
1
2 ๐โ๐
๐๐ ๐๐
๐โ๐
๐๐โ โ ๐โ๐ ๐๐๐ = 0
1
2 ๐โ๐
๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ =
1
2๐๐
๐ ๐โ๐
๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐
Paolo Lino
Tensore dโinerzia relativo al baricentro del braccio ๐ espresso in terna base
PoichรฉIl contributo rotazionale si
puรฒ esprimere come:
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Determinazione dellโenergia cinetica
๐ ๐๐ =
0 โ๐๐๐ง ๐๐๐ฆ๐๐๐ง 0 โ๐๐๐ฅโ๐๐๐ฆ ๐๐๐ฅ 0
1
2 ๐โ๐
๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ =
1
2๐๐
๐๐ผโ๐๐๐
๐ผโ๐ =
๐๐๐ฆ2 + ๐๐๐ง
2 ๐๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐๐๐ฆ๐๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐๐๐ง๐๐๐
โ ๐๐๐ฅ๐๐๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐ฅ2 + ๐๐๐ง
2 ๐๐๐ โ ๐๐๐ฆ๐๐๐ง๐๐๐
โ ๐๐๐ฅ๐๐๐ง๐๐๐ โ ๐๐๐ฆ๐๐๐ง๐๐๐ ๐๐๐ฆ2 + ๐๐๐ฅ
2 ๐๐๐
=
๐ผโ๐๐ฅ๐ฅ ๐ผโ๐๐ฅ๐ฆ ๐ผโ๐๐ฅ๐ง๐ผโ๐๐ฅ๐ฆ ๐ผโ๐๐ฆ๐ฆ ๐ผโ๐๐ฆ๐ฅ๐ผโ๐๐ฅ๐ง ๐ผโ๐๐ฆ๐ง ๐ผโ๐๐ง๐ง
Paolo Lino
La posizione del braccio ๐ dipende dalla configurazione del manipolatore
Se la velocitร del braccio ๐ viene espressa con riferimento ad una terna
solidale al braccio ๐ (secondo a convezione di DโH), si ottiene:
Se la terna solidale al braccio ๐ coincide con la terna centrale (principale)
dโinerzia, ๐ prodotti dโinerzia sono nulli e il tensore dโinerzia relativo al
baricentro (allโorigine della terna) รจ una matrice diagonale
funzione della configurazione๐ผโ๐
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Determinazione dellโenergia cinetica
๐๐๐ = ๐ ๐
๐๐๐
matrice di rotazione dalla terna solidale al braccio ๐ alla terna base
๐ผโ๐ = ๐ ๐๐ผโ๐๐ ๐ ๐
๐
tensore espresso con riferimento alla terna ๐ (tensore costante)
Paolo Lino
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Determinazione dellโenergia cinetica
๐โ๐ =1
2๐โ๐ ๐โ๐
๐ ๐โ๐ +
1
2๐๐
๐๐ ๐๐ผโ๐๐ ๐ ๐
๐๐๐
๐๐๐โ๐
๐๐๐โ๐
=
๐ง๐โ10
๐ง๐โ1 โง ๐โ๐ โ ๐๐โ1๐ง๐โ1
๐ฝ๐โ๐
๐ฝ๐โ๐
=๐๐1โ๐ โฏ ๐๐๐
โ๐ 0 โฏ 0
๐๐1โ๐ โฏ ๐๐๐
โ๐ 0 โฏ 0
๐โ๐ =
๐=1
๐
๐๐๐โ๐ ๐๐ = ๐ฝ๐
โ๐ ๐ ๐๐ =
๐=1
๐
๐๐๐โ๐ ๐๐ = ๐ฝ๐
โ๐ ๐
๐โ๐ =1
2๐โ๐ ๐
๐ ๐ฝ๐โ๐
๐๐ฝ๐โ๐ ๐ +
1
2 ๐๐ ๐ฝ๐
โ๐๐๐ ๐๐ผโ๐
๐ ๐ ๐๐๐ฝ๐
โ๐ ๐
Paolo Lino
Energia cinetica dellโattuatore
Il motore del giunto ๐ si ritiene posto sul
braccio ๐ โ 1 (in modo da alleggerire il
carico dinamico dei primi giunti della
catena)
In alternativa, giunti azionati con motori
calettati direttamente sullโasse di
rotazione senza organi di trasmissione.
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Determinazione dellโenergia cinetica
Coppie ai giunti sono fornite dai motori tramite organi di trasmissione
meccanica
Paolo Lino
velocitร angolare
del rotore
๐๐ =๐
๐๐=๐๐๐
=๐๐
๐
velocitร lineare del baricentro del rotore tensore dโinerzia del rotore relativo al baricentro
velocitร angolare del rotore
velocitร angolare
del braccio ๐ โ 1versore dellโasse
del rotore
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Determinazione dellโenergia cinetica
๐๐๐=1
2๐๐๐
๐๐๐
๐ ๐๐๐
+1
2๐๐๐
๐๐ผ๐๐๐ ๐๐๐
massa del rotore
๐๐๐ ๐๐ = ๐๐๐
๐๐๐= ๐๐โ1 + ๐๐๐ ๐๐๐ง๐๐
Paolo Lino
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Determinazione dellโenergia cinetica
๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐
=
๐ง๐โ1
๐๐๐โ๐
๐ง๐โ1 โง ๐๐๐โ ๐๐โ1
๐๐๐๐ง๐๐
๐ฝ๐๐๐
๐ฝ๐๐๐
=๐๐1๐๐ โฏ ๐๐๐โ1
๐๐ 0 โฏ 0
๐๐1๐๐ โฏ ๐๐๐
๐๐ 0 โฏ 0
๐๐๐= ๐ฝ๐
๐๐ ๐
๐๐๐= ๐ฝ๐
๐๐ ๐
๐๐๐=1
2๐๐๐
๐๐ ๐ฝ๐๐๐
๐๐ฝ๐๐๐ ๐ +
1
2 ๐๐ ๐ฝ๐
๐๐๐๐ ๐๐
๐ผ๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฝ๐
๐๐ ๐
๐๐๐=1
2๐๐๐
๐๐๐
๐ ๐๐๐
+1
2๐๐๐
๐๐ผ๐๐๐ ๐๐๐
๐ = 1,2, โฆ , ๐ โ 1
๐ = ๐
Paolo Lino
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Determinazione dellโenergia cinetica
๐๐๐=1
2๐๐๐
๐๐ ๐ฝ๐๐๐
๐๐ฝ๐๐๐ ๐ +
1
2 ๐๐ ๐ฝ๐
๐๐๐๐ ๐๐
๐ผ๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฝ๐
๐๐ ๐
๐โ๐ =1
2๐โ๐ ๐
๐ ๐ฝ๐โ๐
๐๐ฝ๐โ๐ ๐ +
1
2 ๐๐ ๐ฝ๐
โ๐๐๐ ๐๐ผโ๐
๐ ๐ ๐๐๐ฝ๐
โ๐ ๐
๐ =
๐=1
๐
๐โ๐ + ๐๐๐๐ =
1
2
๐=1
๐
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ =1
2 ๐๐๐ต ๐ ๐
๐ต ๐ =
๐=1
๐
๐โ๐ ๐ฝ๐โ๐
๐๐ฝ๐โ๐ + ๐ฝ๐
โ๐๐๐ ๐๐ผโ๐
๐ ๐ ๐๐๐ฝ๐
โ๐ +๐๐๐๐ฝ๐๐๐
๐๐ฝ๐๐๐ + ๐ฝ๐
๐๐๐๐ ๐๐
๐ผ๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฝ๐
๐๐
Paolo Lino
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Determinazione dellโenergia cinetica
๐ =1
2
๐=1
๐
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ = ๐๐๐ต ๐ ๐
๐ต ๐ =
๐=1
๐
๐โ๐ ๐ฝ๐โ๐
๐๐ฝ๐โ๐ + ๐ฝ๐
โ๐๐๐ ๐๐ผโ๐
๐ ๐ ๐๐๐ฝ๐
โ๐ +๐๐๐๐ฝ๐๐๐
๐๐ฝ๐๐๐ + ๐ฝ๐
๐๐๐๐ ๐๐
๐ผ๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฝ๐
๐๐
๐ต ๐ matrice dโinerzia, di dimensione ๐ ร ๐
โข Simmetrica
โข Definita positiva
โข Dipendente dalla configurazione
Paolo Lino
vettore accelerazione gravitazionale riferito alla terna base
(e.g. ๐0 = 0 0 โ๐ ๐ se lโasse ๐ง รจ quello verticale)
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
energia potenziale del braccio ๐
๐ =
๐=1
๐
๐โ๐ + ๐๐๐
energia potenziale del motore che aziona il giunto ๐
๐โ๐ = โ ๐โ๐
๐0๐ ๐๐
โ๐๐๐ = โ๐โ๐ ๐0๐๐โ๐
Determinazione dellโenergia potenziale
๐๐๐= โ๐๐๐
๐0๐๐๐๐
๐ = โ
๐=1
๐
๐โ๐ ๐0๐๐โ๐ ๐ + ๐๐๐
๐0๐๐๐๐
๐
Paolo Lino
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐
๐
โ๐๐ฟ
๐๐
๐
= ๐ป
๐ฟ ๐, ๐ = ๐ ๐, ๐ โ ๐ ๐
๐ต ๐ ๐ + ๐ ๐, ๐ = ๐ป
๐ ๐, ๐ = ๐ต ๐ ๐ โ1
2
๐
๐๐ ๐๐๐ต ๐ ๐
๐
+๐๐ ๐
๐๐
๐
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Equazioni del moto
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐๐
๐
โ๐๐ฟ
๐๐๐
๐
= ๐๐
Paolo Lino
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Equazioni del moto
๐๐ฟ
๐๐๐=1
2
๐=1
๐
๐=1
๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ
๐=1
๐
๐โ๐๐0
๐๐๐โ๐ ๐
๐๐๐+๐๐๐
๐0๐๐๐๐๐
๐
๐๐๐
๐๐ฟ
๐๐๐=1
2
๐=1
๐
๐=1
๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ
๐=1
๐
๐โ๐ ๐0๐๐๐๐
โ๐ ๐ + ๐๐๐๐0
๐๐๐๐๐๐ ๐
๐ฟ ๐, ๐ = ๐ ๐, ๐ โ ๐ ๐, ๐ =1
2
๐=1
๐
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ +
๐=1
๐
๐โ๐ ๐0๐๐โ๐ ๐ +๐๐๐
๐0๐๐๐๐
๐
๐๐ ๐ contributo gravitazionale
๐๐ฟ
๐๐๐=1
2
๐=1
๐
๐=1
๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐ ๐๐ + ๐๐ ๐
Paolo Lino
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Equazioni del moto
๐ฟ ๐, ๐ = ๐ ๐, ๐ โ ๐ ๐, ๐ =1
2
๐=1
๐
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ +
๐=1
๐
๐โ๐ ๐0๐๐โ๐ ๐ +๐๐๐
๐0๐๐๐๐
๐
๐๐ฟ
๐ ๐๐=
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐๐
๐
=
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ +
๐=1
๐๐๐๐๐ ๐
๐๐ก ๐๐
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐๐
๐
=
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ +
๐=1
๐
๐=1
๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐ ๐๐
Paolo Lino
Posto
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Equazioni del moto
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ +
๐=1
๐
๐=1
๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ
1
2
๐=1
๐
๐=1
๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐ ๐๐ + ๐๐ ๐ = ๐๐
โ๐๐๐ =๐๐๐๐
๐๐๐โ1
2
๐๐๐๐
๐๐๐
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ +
๐=1
๐
๐=1
๐
โ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ + ๐๐ ๐ = ๐๐
Paolo Lino
Termini di accelerazione
โข ๐๐๐ momento dโinerzia
visto dallโasse del giunto
๐ , nella configurazione
corrente, quando gli altri
giunti sono bloccati
โข ๐๐๐ tiene conto dellโeffetto
dellโaccelerazione del
giunti ๐ sul giunto ๐.
Termini dipendenti solo
dalla configurazione
๐๐ ๐ rappresenta le
coppie generate allโasse
del giunto ๐ nella
configurazione per effetto
della gravitร
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Equazioni del moto โ Interpretazione fisica
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ +
๐=1
๐
๐=1
๐
โ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ + ๐๐ ๐ = ๐๐
Termini quadrati in
velocitร
โข โ๐๐๐ ๐๐2 rappresenta lโeffetto
centrifugo indotto al giunto ๐dalla velocitร del giunto ๐
โ๐๐๐ = 0 poichรฉ๐๐๐๐
๐๐๐= 0
โข โ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ rappresenta
lโeffetto di Coriolis indotto al
giunto ๐ dalle velocitร dei
giunti ๐ e ๐
Paolo Lino
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Forze non conservative
Coppie di
attuazione
ai giunti
๐ โ ๐น๐ฃ ๐ + ๐น๐ ๐ ๐๐ ๐ โ ๐ฝ๐๐ โ
Coppie di attrito
viscoso
Coppie di attrito
statico
Coppie di attuazione
a bilanciamento di
forze di contatto
esterne
Forze non conservative che compiono lavoro sui giunti
Paolo Lino
Modello dinamico nello spazio dei giunti
๐ถ รจ una matrice scelta (non univoca) in modo tale da soddisfare :
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ +
๐=1
๐
๐=1
๐
โ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ + ๐๐ ๐ = ๐๐
๐ต ๐ ๐ + ๐ถ ๐, ๐ ๐ + ๐น๐ฃ ๐ + ๐น๐ ๐ ๐๐ ๐ + ๐ ๐ = ๐ โ ๐ฝ๐ ๐ โ
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ =
๐=1
๐
๐=1
๐
โ๐๐๐ ๐๐ ๐๐
Paolo Lino
Proprietร notevoli delle equazioni della dinamica
Possibile scelta per la matrice ๐ช
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
๐=1
๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ =
๐=1
๐
๐=1
๐
โ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ =
๐=1
๐
๐=1
๐๐๐๐๐
๐๐๐โ1
2
๐๐๐๐
๐๐๐ ๐๐ ๐๐
=1
2
๐=1
๐
๐=1
๐๐๐๐๐
๐๐๐ ๐๐ ๐๐ +
1
2
๐=1
๐
๐=1
๐๐๐๐๐๐๐๐
โ1
2
๐๐๐๐
๐๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐๐ =
๐=1
๐
๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ =1
2
๐๐๐๐
๐๐๐+๐๐๐๐๐๐๐
โ๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
simboli di Christoffel del primo tipo
Paolo Lino
La scelta effettuata genera una matrice ๐ ๐, ๐ antisimmetrica
In particolare, ๐๐๐ ๐, ๐ ๐ = 0 per qualunque scelta della matrice ๐ถ
Si puรฒ dimostrare che tale relazione รจ una diretta conseguenza
del principio di conservazione dellโenergia (La derivata totale
dellโenergia cinetica bilancia la potenza generata da tutte le forze
agenti ai giunti del manipolatore)
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Proprietร notevoli delle equazioni della dinamica
๐ ๐, ๐ = ๐ต ๐ โ 2๐ถ ๐, ๐
Antisimmetria della matrice ๐ฉ โ ๐๐ช
Posto:
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
y0
x0
ฮธ1
ฮธ2
โ1
โ2
๐โ๐ massa del braccio ๐
๐๐๐massa del rotore del motore ๐
๐ผโ๐ momento di inerzia del braccio ๐relativo al baricentro intorno a ๐ง0
๐ผ๐๐momento di inerzia del rotore ๐intorno allโasse
Si assume che i due motori siano sugli assi dei giunti, con baricentro in
corrispondenza delle origini delle rispettive terne
โ๐ distanza del baricentro del
braccio ๐ dal giunto ๐
๐๐ lunghezza del braccio ๐
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐๐๐โ๐ = ๐ง๐โ1 โง ๐โ๐ โ ๐๐โ1
๐๐๐โ๐ = ๐ง๐โ1
๐โ๐ = ๐ฝ๐โ๐ ๐ = ๐๐1
โ๐ ๐๐2โ๐ โฏ ๐๐๐
โ๐ 0 โฏ 0 ๐
๐๐ = ๐ฝ๐โ๐ ๐ = ๐๐1
โ๐ ๐๐2โ๐ โฏ ๐๐๐
โ๐ 0 โฏ 0 ๐
๐ฝ๐โ1 = ๐๐1
โ1 0 = ๐ง0 โง ๐โ1 โ ๐0 0
๐ฝ๐โ1 = ๐๐1
โ1 0 = ๐ง0 0
๐ฝ๐โ2 = ๐๐1
โ2 ๐๐2โ2 = ๐ง0 โง ๐โ2 โ ๐0 ๐ง1 โง ๐โ2 โ ๐1
๐ฝ๐โ2 = ๐๐1
โ2 ๐๐2โ2 = ๐ง0 ๐ง1
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
๐ต ๐ =
๐=1
๐
๐โ๐ ๐ฝ๐โ๐
๐๐ฝ๐โ๐ + ๐ฝ๐
โ๐๐๐ ๐๐ผโ๐
๐ ๐ ๐๐๐ฝ๐
โ๐ +๐๐๐๐ฝ๐๐๐
๐๐ฝ๐๐๐ + ๐ฝ๐
๐๐๐๐ ๐๐
๐ผ๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฝ๐
๐๐
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ง0 =001
๐ง1 =001
๐0 =000
๐1 =๐1๐1๐1๐ 10
๐โ1 =โ1๐1โ1๐ 10
๐โ2 =๐1๐1 + โ2๐12๐1๐ 1 + โ2๐ 12
0
๐ง0 โง ๐โ1 โ ๐0 =โโ1๐ 1โ1๐10
๐ โง ๐ =
๐๐ฆ๐๐ง โ ๐๐ง๐๐ฆ๐๐ง๐๐ฅ โ ๐๐ฅ๐๐ง๐๐ฅ๐๐ฆ โ ๐๐ฆ๐๐ฅ
๐ โก ๐๐ฅ, ๐๐ฆ , ๐๐ง
๐ โก ๐๐ฅ, ๐๐ฆ , ๐๐ง
๐ง0 โง ๐โ2 โ ๐0 =โ๐1๐ 1 โ โ2๐ 12๐1๐1 + โ2๐12
0
๐ง1 โง ๐โ2 โ ๐1 =โโ2๐ 12โ2๐120
prodotto vettoriale
tra due vettori
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ฝ๐โ1 = ๐ง0 โง ๐โ1 โ ๐0 0 =
โโ1๐ 1 0โ1๐1 00 0
๐ฝ๐โ1 = ๐ง0 0 =
0 00 01 0
๐ฝ๐โ2 = ๐ง0 ๐ง1 =
0 00 01 1
๐ฝ๐โ2 = ๐ง0 โง ๐โ2 โ ๐0 ๐ง1 โง ๐โ2 โ ๐1 =
โ๐1๐ 1 โ โ2๐ 12 โโ2๐ 12๐1๐1 + โ2๐12 โ2๐12
0 0
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ฝ๐๐1 = 0 0 =
0 00 00 0
๐ฝ๐๐1 = ๐๐1๐ง๐1
0 =0 00 0๐๐1 0
๐ฝ๐๐2 = ๐๐1
โ2 ๐๐2๐ง๐2=
0 00 01 ๐๐2
๐ฝ๐๐2 = ๐ง0 โง ๐๐2
โ ๐0 0 =โ๐1๐ 1 0๐1๐1 00 0
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ฝ๐โ1
๐๐ฝ๐โ1 = โ1
2 00 0
๐ฝ๐โ2
๐๐ฝ๐โ2 =
โ๐1๐ 1 โ โ2๐ 12 ๐1๐1 + โ2๐12 0โโ2๐ 12 โ2๐12 0
โ๐1๐ 1 โ โ2๐ 12 โโ2๐ 12๐1๐1 + โ2๐12 โ2๐12
0 0
=
=๐12 + โ2
2 + 2๐1โ2๐2 โ2๐1๐2โ2๐1๐2 โ2
2
๐ฝ๐๐1
๐๐ฝ๐๐1 =
0 00 0
๐ฝ๐๐2
๐๐ฝ๐๐2 =
โ๐1๐ 1 ๐1๐1 00 0 0
โ๐1๐ 1 0๐1๐1 00 0
= ๐12๐ 1
2 + ๐12๐1
2 00 0
= ๐12 00 0
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
๐ต ๐ =
๐=1
๐
๐โ๐ ๐ฝ๐โ๐
๐๐ฝ๐โ๐ + ๐ฝ๐
โ๐๐๐ ๐๐ผโ๐
๐ ๐ ๐๐๐ฝ๐
โ๐ +๐๐๐๐ฝ๐๐๐
๐๐ฝ๐๐๐ + ๐ฝ๐
๐๐๐๐ ๐๐
๐ผ๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฝ๐
๐๐
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ผโ๐ =
๐ผโ๐๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ๐๐ฅ๐ฆ โ๐ผโ๐๐ฅ๐งโ๐ผโ๐๐ฅ๐ฆ ๐ผโ๐๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ๐๐ฆ๐งโ๐ผโ๐๐ฅ๐ง โ๐ผโ๐๐ฆ๐ง ๐ผโ๐๐ง๐ง
๐ฝ๐โ1
๐๐ผโ1๐ฝ๐
โ1 =0 0 10 0 0
๐ผโ1๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ1๐ฅ๐ฆ โ๐ผโ1๐ฅ๐งโ๐ผโ1๐ฅ๐ฆ ๐ผโ1๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ1๐ฆ๐งโ๐ผโ1๐ฅ๐ง โ๐ผโ1๐ฆ๐ง ๐ผโ1๐ง๐ง
0 00 01 0
=๐ผโ1๐ง๐ง 0
0 0
๐ฝ๐โ2
๐๐ผโ2๐ฝ๐
โ2 =0 0 10 0 1
๐ผโ2๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ2๐ฅ๐ฆ โ๐ผโ2๐ฅ๐งโ๐ผโ2๐ฅ๐ฆ ๐ผโ2๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ2๐ฆ๐งโ๐ผโ2๐ฅ๐ง โ๐ผโ2๐ฆ๐ง ๐ผโ2๐ง๐ง
0 00 01 1
=๐ผโ2๐ง๐ง ๐ผโ2๐ง๐ง๐ผโ2๐ง๐ง ๐ผโ2๐ง๐ง
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
๐ต ๐ =
๐=1
๐
๐โ๐ ๐ฝ๐โ๐
๐๐ฝ๐โ๐ + ๐ฝ๐
โ๐๐๐ ๐๐ผโ๐
๐ ๐ ๐๐๐ฝ๐
โ๐ +๐๐๐๐ฝ๐๐๐
๐๐ฝ๐๐๐ + ๐ฝ๐
๐๐๐๐ ๐๐
๐ผ๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฝ๐
๐๐
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ฝ๐๐1
๐๐ ๐1
๐ผ๐1
๐1๐ ๐1๐ ๐ฝ๐
๐1 =0 0 ๐๐10 0 0
โ โ 0โ โ 00 0 ๐ผ๐1๐ง๐ง
0 00 0๐๐1 0
=๐๐12 ๐ผ๐1๐ง๐ง
0
0 0
๐ผ๐๐
๐๐ =
๐ผ๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ 0 0
0 ๐ผ๐๐๐ฆ๐ฆ๐๐ 0
0 0 ๐ผ๐๐๐ง๐ง๐๐
๐ ๐1=
โ โ 0โ โ 00 0 1
๐ ๐2=
โ โ 0โ โ 00 0 1
๐ฝ๐๐2
๐๐ ๐2
๐ผ๐2
๐2๐ ๐2๐ ๐ฝ๐
๐2 =0 0 10 0 ๐๐2
โ โ 0โ โ 00 0 ๐ผ๐2๐ง๐ง
0 00 01 ๐๐2
=๐ผ๐2๐ง๐ง
๐๐2๐ผ๐2๐ง๐ง
๐๐2๐ผ๐2๐ง๐ง๐๐22 ๐ผ๐2๐ง๐ง
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
๐ต ๐ =
๐=1
๐
๐โ๐ ๐ฝ๐โ๐
๐๐ฝ๐โ๐ + ๐ฝ๐
โ๐๐๐ ๐๐ผโ๐
๐ ๐ ๐๐๐ฝ๐
โ๐ +๐๐๐๐ฝ๐๐๐
๐๐ฝ๐๐๐ + ๐ฝ๐
๐๐๐๐ ๐๐
๐ผ๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฝ๐
๐๐
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ต ๐ =๐11 ๐ ๐12 ๐
๐21 ๐ ๐12 ๐=
๐11 ๐2 ๐12 ๐2๐21 ๐2 ๐12 ๐2
๐11 = ๐ผโ1 +๐โ1โ12 + ๐๐1
2 ๐ผ๐1+ ๐ผโ2 +๐โ2 ๐1
2 + โ22 + 2๐1โ2๐2 + ๐ผ๐2
+๐๐2๐12
๐12 = ๐21 = ๐ผโ2 +๐โ2 โ22 + ๐1โ2๐2 + ๐๐2๐ผ๐2
๐22 = ๐ผโ2 +๐โ2โ22 + ๐๐2
2 ๐ผ๐2
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐๐๐ =
๐=1
๐
๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ =1
2
๐๐๐๐
๐๐๐+๐๐๐๐๐๐๐
โ๐๐๐๐
๐๐๐
๐11 = ๐ผโ1 +๐โ1โ12 + ๐๐1
2 ๐ผ๐1+ ๐ผโ2 +๐โ2 ๐1
2 + โ22 + 2๐1โ2๐2 + ๐ผ๐2
+๐๐2๐12
๐12 = ๐21 = ๐ผโ2 +๐โ2 โ22 + ๐1โ2๐2 + ๐๐2๐ผ๐2
๐22 = ๐ผโ2 +๐โ2โ22 + ๐๐2
2 ๐ผ๐2
๐111 =1
2
๐๐11๐๐1
= 0 ๐112 = ๐121 =1
2
๐๐11๐๐2
= โ๐โ2๐1โ2๐ 2 = โ
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐122 =๐๐12๐๐2
โ1
2
๐๐22๐๐1
= โ ๐211 =๐๐21๐๐1
โ1
2
๐๐11๐๐2
= โโ
๐212 = ๐221 =1
2
๐๐22๐๐1
= 0 ๐222 =1
2
๐๐22๐๐2
= 0
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐๐๐ =
๐=1
๐
๐๐๐๐ ๐๐
๐111 = 0 ๐112 = ๐121 = โ ๐122 = โ
๐211 = โโ ๐212 = 0 ๐222 = 0
๐ถ ๐, ๐ =โ ๐2 โ ๐1 + ๐2
โโ ๐1 0
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐0 =0โ๐0
๐๐ ๐ = โ
๐=1
๐
๐โ๐๐0๐๐ฝ๐๐
โ๐ ๐ +๐๐๐๐0๐๐ฝ๐๐
๐๐ ๐
๐1 = ๐โ1โ1 +๐๐2๐1 +๐โ2๐1 ๐๐1 +๐โ2โ2๐๐12
๐2 = ๐โ2โ2๐๐12
๐ฝ๐โ1 =
โโ1๐ 1 0โ1๐1 00 0
๐ฝ๐โ2 =
โ๐1๐ 1 โ โ2๐ 12 โโ2๐ 12๐1๐1 + โ2๐12 โ2๐12
0 0
๐ฝ๐๐1 =
0 00 00 0
๐ฝ๐๐2 =
โ๐1๐ 1 0๐1๐1 00 0
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ผโ1 +๐โ1โ12 + ๐๐1
2 ๐ผ๐1+ ๐ผโ2 +๐โ2 ๐1
2 + โ22 + 2๐1โ2๐2 + ๐ผ๐2
+๐๐2๐12 ๐1 +
+ ๐ผโ2 +๐โ2 โ22 + ๐1โ2๐2 + ๐๐2๐ผ๐2
๐2 โ 2๐โ2๐1โ2๐ 2 ๐1 ๐2 โ๐โ2๐1โ2๐ 2
๐22 +
+ ๐โ1โ1 +๐๐2๐1 +๐โ2๐1 ๐๐1 +๐โ2โ2๐๐12 = ๐1
๐ผโ2 +๐โ2 โ22 + ๐1โ2๐2 + ๐๐2๐ผ๐2
๐1 + ๐ผโ2 +๐โ2โ22 + ๐๐2
2 ๐ผ๐2 ๐2 +
+๐โ2๐1โ2๐ 2 ๐12 +๐โ2โ2๐๐12 = ๐2
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Si vogliono descrivere le equazioni del moto direttamente nello
spazio operativo, legando le forze generalizzate agenti sul
manipolatore e lโinsieme minimo di variabili che descrivono posizione
e orientamento dellโorgano terminale nello spazio operativo
La caratterizzazione con la lagrangiana nello spazio operativo non
consente di trattare con manipolatori ridondanti, in quanto le variabili
non costituiscono un set di coordinate generalizzate
Non รจ infatti possibile descrivere in questo caso i moti interni della
struttura provocati da un insieme di forze generalizzate ai giunti il cui
effetto sul moto dellโorgano terminale sia nullo
Modello dinamico nello spazio operativo
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Trascurando le forze di attrito ai giunti:
Modello dinamico nello spazio operativo
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
๐ต ๐ ๐ + ๐ถ ๐, ๐ ๐ + ๐น๐ฃ ๐ + ๐น๐ ๐ ๐๐ ๐ + ๐ ๐ = ๐ โ ๐ฝ๐ ๐ โ
๐ = โ๐ตโ1 ๐ ๐ถ ๐, ๐ ๐ โ ๐ตโ1 ๐ ๐ ๐ + ๐ตโ1 ๐ ๐ โ ๐ฝ๐ ๐ โ
๐ = ๐ฝ๐ ๐ โ ๐ = โ๐ตโ1 ๐ ๐ถ ๐, ๐ ๐ โ ๐ตโ1 ๐ ๐ ๐ + ๐ตโ1 ๐ ๐ฝ๐ ๐ ๐พ โ โ
๐ฅ = ๐ฝ๐ด ๐ ๐ + ๐ฝ๐ด ๐, ๐ ๐ ๐ฅ = ๐ฝ๐ด ๐ ๐
๐ฅ = โ๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ถ ๐, ๐ ๐ โ ๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ ๐ +
+๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ฝ๐ ๐ ๐พ โ โ + ๐ฝ๐ด ๐, ๐ ๐
Paolo Lino
Legame tra Jacobiano
analitico e geometrico
Ponendo:
Modello dinamico nello spazio operativo
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
๐ฅ = โ๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ถ ๐, ๐ ๐ โ ๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ ๐ + ๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ฝ๐ ๐ ๐พ โ โ + ๐ฝ๐ด ๐, ๐ ๐
๐ฝ = ๐๐ด ๐ ๐ฝ๐ด ๐ ๐ฝ๐ = ๐ฝ๐ด๐ ๐ ๐๐ด
๐ ๐
๐ฅ = โ๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ถ ๐, ๐ ๐ โ ๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ ๐ +
+๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ฝ๐ด๐ ๐ ๐๐ด
๐ ๐ ๐พ โ โ + ๐ฝ๐ด ๐, ๐ ๐
๐๐ด๐ ๐ ๐พ = ๐พ๐ด ๐๐ด
๐ ๐ โ = โ๐ด
๐ฅ = โ๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ถ ๐, ๐ ๐ โ ๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ ๐ +
+ ๐ฝ๐ด ๐, ๐ ๐ + ๐ฝ๐ด ๐ ๐ตโ1 ๐ ๐ฝ๐ด๐ ๐ ๐พ๐ด โ โ๐ด
Paolo Lino
Modello dinamico nello spazio operativo
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Posto:
๐ต๐ด = ๐ฝ๐ด๐ตโ1๐ฝ๐ด
๐ โ1
๐ถ๐ด ๐ฅ = ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ตโ1๐ถ ๐ โ ๐ต๐ด ๐ฝ๐ด ๐
๐๐ด = ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ตโ1๐
๐ต๐ด ๐ฅ = โ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ตโ1๐ถ ๐ โ ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ต
โ1๐ + ๐ต๐ด ๐ฝ๐ด ๐ + ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ตโ1๐ฝ๐ด
๐ ๐พ๐ด โ โ๐ด
๐ต๐ด ๐ฅ = โ๐ถ๐ด ๐ฅ โ ๐๐ด + ๐พ๐ด โ โ๐ด
๐ต๐ด ๐ฅ ๐ฅ + ๐ถ๐ด ๐ฅ, ๐ฅ ๐ฅ + ๐๐ด ๐ฅ = ๐พ๐ด โ โ๐ด
Paolo Lino
Il modello รจ formalmente analogo a quello nello spazio dei giunti
Come nello studio della cinematica differenziale, nel caso di
singolaritร non รจ possibile effettuare lโinversa dello jacobiano e quindi
la trattazione necessita di particolari accorgimenti
Il modello รจ valido anche per manipolatori ridondanti, benchรฉ le
variabili ๐ฅ non costituiscano un insieme di coordinate generalizzate
In questo caso la matrice ๐ต๐ด caratterizza una pseudo-energia cinetica
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Modello dinamico nello spazio operativo
Paolo Lino
Dinamica diretta: determinare le accelerazioni allโorgano terminale
assegnando le coppie ai giunti e le forze/coppie applicate allโorgano
terminale. Per un manipolatore ridondante il modello dinamico nello
s.o. non รจ direttamente utilizzabile in quanto ๐ = ๐ฝ๐ ๐ ๐พ ha soluzioni
in ๐พ solo se ๐ โ ๐ผ๐ ๐ฝ๐
In modelli di simulazione, si lavora nello spazio dei giunti per poi
ottenere le variabili dello s.o. tramite la cinematica diretta
Dinamica diretta e inversa nello spazio operativo
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Dinamica Inversa: determinare le coppie ai giunti necessarie alla
generazione di un moto specifico assegnato (in termini di posizione,
velocitร , accelerazione dellโorgano terminale)
Si puรฒ invertire la cinematica e lavorare successivamente nello
spazio dei giunti (calcolo delle coppie mediante modello dinamico
nello spazio dei giunti)
In alternativa si puรฒ usare il modello nello s.o. per calcolare le ๐พ๐ด e
poi calcolare le ๐ tramite trasposta dello Jacobiano.
Con tali tecniche la ridondanza non viene sfruttata, in quanto le
coppie calcolate non generano moti interni per la struttura
Dinamica diretta e inversa nello spazio operativo
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
Paolo Lino
Eโ possibile risolvere la ridondanza a livello dinamico
Ricordando che:
Il modello nello spazio operativo
puรฒ essere scritto come
Dinamica diretta e inversa nello spazio operativo
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
๐ต๐ด = ๐ฝ๐ด๐ตโ1๐ฝ๐ด
๐ โ1
๐ถ๐ด ๐ฅ = ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ตโ1๐ถ ๐ โ ๐ต๐ด ๐ฝ๐ด ๐
๐๐ด = ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ตโ1๐
๐ต๐ด ๐ฅ = โ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ตโ1๐ถ ๐ โ ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ต
โ1๐ + ๐ต๐ด ๐ฝ๐ด ๐ + ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ตโ1๐ฝ๐ด
๐ ๐พ๐ด โ โ๐ด
๐ต๐ด ๐ฅ โ ๐ฝ๐ด ๐ + ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ตโ1๐ถ ๐ + ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ต
โ1๐ = ๐พ๐ด โ โ๐ด
๐ฅ = ๐ฝ๐ด ๐ ๐ + ๐ฝ๐ด ๐, ๐ ๐
๐ฅ โ ๐ฝ๐ด ๐, ๐ ๐ = ๐ฝ๐ด ๐ ๐
๐ต๐ด๐ฝ๐ด ๐ ๐ + ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ตโ1๐ถ ๐ โ ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ต
โ1๐ = ๐พ๐ด โ โ๐ด
Paolo Lino
Posto
Dinamica diretta e inversa nello spazio operativo
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
๐ต๐ด๐ฝ๐ด ๐ ๐ + ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ตโ1๐ถ ๐ โ ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ต
โ1๐ = ๐พ๐ด โ โ๐ด
๐ฝ๐ด = ๐ตโ1๐ฝ๐ด๐๐ต๐ด ๐ฝ๐ด
๐ = ๐ต๐ด๐๐ฝ๐ด ๐ต๐ โ1 = ๐ต๐ด๐ฝ๐ด๐ต
โ1
๐ฝ๐ด๐ ๐ต ๐ + ๐ถ ๐ + ๐ = ๐พ๐ด โ โ๐ด
modello dinamico
nello spazio dei giunti
๐ฝ๐ด๐ ๐ โ ๐ฝ๐ด
๐โ๐ด = ๐พ๐ด โ โ๐ด
๐ฝ๐ด๐๐ = ๐พ๐ด
La soluzione in ๐ di questa equazione รจ
๐ = ๐ฝ๐ด๐ ๐ ๐พ๐ด + ๐ผ โ ๐ฝ๐ด
๐ ๐ ๐ฝ๐ด๐ ๐๐
Paolo Lino
โข La soluzione si ottiene tenendo conto del fatto che ๐ฝ๐ด๐ รจ una
pseudo-inversa destra di ๐ฝ๐ด๐ pesata secondo la matrice ๐ตโ1
โข Il vettore ๐๐ non dร contributo di forza allโorgano terminale, ma
genera moti interni della struttura da impiegare per la gestione
della ridondanza a livello dinamico
Dinamica diretta e inversa nello spazio operativo
Corso di Controllo dei Robot Dinamica
๐ = ๐ฝ๐ด๐ ๐ ๐พ๐ด + ๐ผ โ ๐ฝ๐ด
๐ ๐ ๐ฝ๐ด๐ ๐๐