convergencia uniforme

Lecciones de Analisis Complejo. G. Vera 280

A.3. Convergencia uniforme

Sea X un conjunto no vacıo, (E, ρ) un espacio metrico y EX el conjunto de todas lasfunciones f : X → E. Si ∅ 6= K ⊂ X y f, g ∈ EX se define

ρK(f, g) = supρ(f(x), g(x)) : x ∈ K (≤ +∞)

Definicion A.3.1 Una sucesion fn en EX converge puntualmente hacia f ∈ EX silımn ρ(fn(x), f(x)) = 0 para cada x ∈ X. Si ademas se verifica que lımn ρK(fn, f) = 0 sedice que fn converge hacia f uniformemente sobre K

Proposicion A.3.2 Si E es un espacio metrico completo, una condicion necesaria ysuficiente para que la sucesion (fn) sea uniformemente convergente sobre K es que secumpla la condicion de Cauchy para la convergencia uniforme:

Para cada ǫ > 0 existe nǫ ∈ N tal que si q > p ≥ nǫ entonces ρK(fpfq) < ǫ.

Dem: La necesidad se sigue de la desigualdad. ρK(fp, fq) ≤ ρK(fp, f) + ρK(f, fq). Paraprobar que la condicion es suficiente observese que para cada x ∈ K es ρ(fp(x), fq(x)) ≤ρK(fp, fq) luego (fn(x)) es una sucesion de Cauchy que converge hacia un punto f(x) ∈ E.Dado ǫ > 0 tomando q > p ≥ nǫ se cumple que ρ(fp(x), fq(x)) < ǫ para todo x ∈ K.Fijando x ∈ K y pasando al lımite en la ultima desigualdad cuando q → +∞ se obtieneque para todo x ∈ K y todo p > n(ǫ) se verifica ρ(fp(x), f(x)) ≤ ǫ es decir p > n(ǫ)implica ρK(fp, f) ≤ ǫ.

Teorema A.3.3 Si X es un espacio topologico y fn : X → E una sucesion de funcionescontinuas que converge hacia f : X → E uniformemente sobre X entonces f es continua.

Dem: La prueba de que f es continua en cualquier punto a ∈ X se basa en la desigualdadtriangular:

ρ(f(x), f(a)) ≤ ρ(f(x), fn(x)) + ρ(fn(x), fn(a)) + ρ(fn(a), f(a)) (A.1)

Dado ǫ > 0 en virtud de la convergencia uniforme existe n ∈ N tal que para todo x ∈ X esρ(fn(x), f(x)) ≤ ǫ/3. Por la continuidad de fn existe un entorno Va de a tal que para todox ∈ Va se cumple ρ(fn(x), fn(a)) ≤ ǫ/3. Entonces, con la desigualdad A.1 se concluye quepara todo x ∈ Va se cumple ρ(f(x), f(a)) ≤ ǫ/3 + ǫ/3 + ǫ/3 = ǫ

Realmente, para obtener la continuidad de la funcion lımite de una sucesion de fun-ciones continuas basta que haya convergencia uniforme local, e.d. cada x ∈ X posee unentorno Va sobre el que la sucesion converge uniformemente. Cuando X es un espaciometrico, para obtener la continuidad de la funcion lımite f basta que la sucesion sea uni-formemente convergente sobre cada compacto K ⊂ X.

Para funciones con valores reales o complejos (E = R o C) se pueden considerar seriesde funciones

∑∞n=1 fn, donde fn : X → E. La serie se dice que converge puntualmente

(resp. uniformemente) sobre K si la sucesion de sumas parciales Sm(x) =∑m

n=1 fn(x)tiene la correspondiente propiedad. En ese caso queda definida sobre K la funcion suma

f(x) =∞∑

n=1

fn(x)


Proposicion A.3.4 [Criterio de Weierstrass] Una condicion suficiente para que la serie∑

n=1 fn(x) sea uniformemente convergente sobre K es que exista m ∈ N tal que

∞∑

n≥m

‖fn‖K < +∞

Dem: Para cada x ∈ K la serie numerica∑∞

n=1 fn(x) es absolutamente convergenteporque |fn(x)| ≤ ‖fn‖K . Si f : K → C es su suma y Sn =

∑nk=1 fk, para todo n ≥ m y

todo x ∈ K se cumple

|f(x) − Sn(x)| = |∑

k>n

fk(x)| ≤∑

k>n

|fk(x)| ≤∑

k>n

‖fk‖K

luego ‖f − Sk‖K ≤ ǫn donde ǫn :=∑

k>n ‖fk‖K es una sucesion que tiende hacia 0. Estosignifica que Sn converge hacia f uniformemente sobre K.

Al aplicar el criterio de Weierstrass, generalmente no es preciso calcular explıcitamen-te los valores ‖fn‖K . Basta encontrar una serie numerica convergente

∑∞n=1 Mn tal que,

desde un valor de n en adelante, se cumpla |fn(x)| ≤ Mn para todo x ∈ K.

Los criterios de Abel y Dirichlet proporcionan condiciones suficientes bastante utilespara establecer convergencia uniforme de series de funciones que no son absolutamenteconvergentes:

Teorema A.3.5 (Abel y Dirichlet) Sea fn(z) = an(z)bn(z) una sucesion de funcionescomplejas definidas en un conjunto K. Cada una de las siguientes condiciones es suficientepara que la serie de funciones

∑∞n=1 fn(z) sea uniformemente convergente sobre K:

a) La serie∑∞

n=1 an converge uniformemente sobre K y bn es una sucesion de funcionesreales uniformemente acotada sobre K tal que para cada z ∈ K la sucesion bn(z) esmonotona.

b) La serie∑∞

n=1 an converge uniformemente sobre K y existe C > 0 tal que para todoz ∈ K se cumple

|b1(z)| +∞∑

n=1

|bn(z) − bn+1(z)| ≤ C

c) La sucesion de sumas∑m

n=1 an esta uniformemente acotada sobre K, la sucesion bn

converge hacia 0 uniformemente sobre K y para cada z ∈ K la sucesion bn(z) esmonotona.

d) La sucesion de sumas∑m

n=1 an esta uniformemente acotada sobre K, la sucesion bn

converge hacia 0 uniformemente sobre K y la serie∑∞

n=1 |bn(z)− bn+1(z)| convergeuniformemente sobre K.

Dem: La prueba se basa en la formula de sumacion parcial de Abel:

F mn (z) = bm(z)Am

n (z) +

m−1∑

j=n

Ajn(z)(bj(z) − bj+1(z)) [*]


donde

F mn (z) =

m∑

j=n

fj(z), y Amn (z) =

m∑

j=n

aj(z)

Para establecerla se supone, por comodidad, que n = 1:

bm(a1+a2+· · ·+am)+a1(b1−b2)+(a1+a2)(b2−b3)+· · ·+(a1+a2+· · ·+am−1)(bm−1−bm) =

= a1(b1 − bm)+ a2(b2 − bm)+ a3(b3 − bm)+ · · ·+ am−1(bm−1 − bm)+ bm(a1 + a2 + · · ·+ am)

= a1b1 + a2b2 + · · ·+ ambm = f1 + f2 + · · · + fm = F m1

Utilizando [*] se va a demostrar si se cumple b) o c) entonces se cumple la condicion deCauchy para la convergencia uniforme sobre K: Para ello se introducen las sucesiones

ǫ(n) = supm≥n

‖Amn ‖K ; δ(n) = sup

m≥n‖F m

n ‖K

b) La condicion de Cauchy para la convergencia uniforme sobre K de la serie∑

n an(z) setraduce en que lımn ǫ(n) = 0. Por otra parte, para todo z ∈ K y todo m ∈ N se verifica

|bm(z)| ≤ |b1(z)| + |bm(z) − b1(z)| ≤ |b1(z)| +m−1∑

i=1

|bi+1(z) − bi(z)| ≤ C

Para cada j ≥ n y todo z ∈ K se cumple |Ajn(z)| ≤ ǫ(n) y aplicando [*] se obtiene

|F mn (z)| ≤ ǫ(n)C + ǫ(n)

m−1∑

j=1

|bj(z) − bj+1(z)| ≤ 2Cǫ(n)

luego δ(n) ≤ 2Cǫ(n) y por lo tanto lımn δ(n) = 0, lo que significa que la serie∑

n fn(z)cumple la condicion de Cauchy para la convergencia uniforme sobre K.

d) Segun la hipotesis existe R > 0 tal que para todo z ∈ K y todo m ∈ N se cumple|Am

1 (z)| ≤ R, luego |Amn (z)| ≤ 2R para todo z ∈ K y todo m ≥ n. Utilizando [*] se

obtiene que para z ∈ K y m ≥ n se verifica:

|F mn (z)| ≤ 2R

(

‖bm‖K +∞∑

j=n

|bj(z) − bj+1(z)|)

luego δ(n) ≤ 2C(α(n) + β(n)) donde las sucesiones

α(n) = supz∈K

∞∑

j=n

|bj(z) − bj+1(z)|, β(n) = supm≥n

‖bm‖K

convergen hacia 0 en virtud de las hipotesis. Se sigue que lımn δ(n) = 0 y se concluyecomo antes que la serie

∑

n fn(z) cumple la condicion de Cauchy para la convergenciauniforme sobre K.


Para terminar basta ver que a) ⇒ b) y que c) ⇒ d): Si se cumple a) y |bn(z)| ≤ Mpara todo n ∈ N y todo z ∈ K como la sucesion bn(z) es decreciente se tiene:

m∑

n=1

|bn(z) − bn+1(z)| = b1(z) − b2(z) + b2(z) − b3(z) + · · · + bm(z) − bm+1(z) =

= b1(z) − bm+1(z) ≤ 2M

luego |b1(z)| +∑∞n=1 |bn(z) − bn+1(z)| ≤ M + 2M = 3M para todo z ∈ K.

Por otra parte, si se cumple c) y la sucesion bn(z) es decreciente para cada z ∈ K,entonces la sucesion

∑mn=1 |bn(z) − bn+1(z)| = b1(z) − bm+1(z) converge uniformemente

sobre K hacia b1(z) y por lo tanto se verifica d).

nota: El apartado a) del teorema A.3.5 proporciona el clasico criterio de Abel, [2,Ejer.9.13]; y el apartado b) es una ligera mejora de este. El apartado c) es el clasicocriterio de Dirichlet, [2, teo. 9.15], y el apartado d) es una version algo mas general delmismo.

A.3.1. Ejercicios

Los siguientes ejercicios sobre convergencia uniforme de sucesiones sirven, entre otrascosas, para insistir en el manejo y las propiedades de las funciones elementales devariable compleja. Se suponen conocidas la funcion exponencial ez, la validez de laecuacion funcional ez+w = ezew, la funcion Log(1 + z), su desarrollo en serie depotencias alrededor de 0 ası como las funciones

sen z =eiz − e−iz

2i, cos z =

eiz + e−iz

2, tg z =

sen z

cos z, cot z =

cos z

sen z

Ejercicio A.3.6 Se supone que la sucesion fn : K → C converge uniformemente sobreK hacia una funcion f = u + iv cuya parte real u esta acotada superiormente sobre K.Demuestre que la sucesion efn(z) converge uniformemente sobre K.

solucion

Se supone que u(z) ≤ M para todo z ∈ K. Entonces cuando z ∈ K se cumple

|efn(z) − ef(z)| = |ef(z)||efn(z)−f(z) − 1| ≤≤ eu(z)|efn(z)−f(z) − 1| ≤ eM |efn(z)−f(z) − 1|

Como ez es continua en z = 0, dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que

|w| < δ ⇒ |ew − 1| < ǫe−M .

Por la convergencia uniforme de fn existe n(δ) ∈ N tal que si n ≥ n(δ) entonces paratodo z ∈ K se cumple |fn(z) − f(z)| < δ. Combinando las dos afirmaciones anteriores seconcluye que para todo n ≥ n(δ) y todo z ∈ K se verifica

|efn(z) − ef(z)| ≤ eM |efn(z)−f(z) − 1| ≤ eMǫe−M = ǫ


Ejercicio A.3.7 Establezca las desigualdades

|ez −(

1 +z

m

)m

| ≤ e|z| −(

1 +|z|m

)m

≤ |z|2e|z|m

Deduzca de ellas que, para cada R > 0, la sucesion (1 + z/n)n converge hacia ez unifor-memente sobre z : |z| ≤ R.

solucion

ez − (1 + z/m)m = Dm + Rm donde

Dm(z) =

m∑

n=0

zn

n!−(

1 +z

m

)m

, Rm(z) =

+∞∑

n=m+1

zn

n!.

Usando la formula del binomio de Newton

Dm(z) =z2

2!

(

1 − m − 1

m

)

+z3

3!

(

1 − (m − 1)(m − 2)

m2

)

+ · · ·+ zm

m!

(

1 − m!

mm

)

Aplicando la desigualdad triangular y teniendo en cuenta que en la expresion anterior losparentesis son positivos se obtiene que |Dm(z)| ≤ Dm(|z|).

Por otra parte, es inmediato que |Rm(z)| ≤ Rm(|z|), luego

∣

∣

∣ez −

(

1 +z

m

)m∣∣

∣≤ Dm(|z|) + Rm(|z|) = e|z| −

(

1 +|z|m

)m

En virtud de la desigualdad 1 + x ≤ ex, valida para todo x ∈ R, se cumple

(

1 +x

m

)m

≤ ex,(

1 − x

m

)m

≤ e−x,

y cuando 0 ≤ x ≤ m se obtienen las desigualdades

0 ≤ ex −(

1 +x

m

)m

≤ ex[

1 − e−x(

1 +x

m

)m]

≤

≤ ex[

1 −(

1 − x

m

)m (

1 +x

m

)m]

= ex

[

1 −(

1 − x2

m2

)m]

=

= ex x2

m2

[

1 +

(

1 − x2

m2

)

+

(

1 − x2

m2

)2

+ · · · +(

1 − x2

m2

)m−1]

≤

≤ ex x2

m2m =

x2ex

m

Con x = |z| se obtiene la segunda desigualdad del enunciado. En virtud de las desigual-dades establecidas, si |z| ≤ R, se verifica

∣

∣

∣ez −

(

1 +z

m

)m∣∣

∣≤ R2eR

m


luego

lımm

(

1 +z

m

)m

= ez uniformemente en z : |z| ≤ R.

nota: En el ejercicio A.3.8 se puede ver otra solucion que utiliza el desarrollo en serie depotencias de Log(1 + z)

Ejercicio A.3.8 Para cada w ∈ C \ 0 sea fw(z) la determinacion principal de la po-tencia (1 + z/w)w, definida para |z| < |w|. Demuestre que lımw→∞ fw(z) = ez, y que ellımite es uniforme sobre compactos.

solucion

La determinacion principal de (1 + z/w)w es ew Log(1+z/w), luego

|fw(z) − ez| = |ez||ehw(z) − 1|, donde hw(z) = w Log(1 + z/w) − z.

Si |z| < |w|, usando el desarrollo en serie de potencias de Log(1 + z) en el disco D(0, 1)se obtiene

hw(z) = −1

2

z2

w+

1

3

z3

w2− 1

4

z4

w3+ · · ·

Si |w| > 2R, para todo z ∈ D(0, R) se cumple

|hw(z)| ≤ R2

|w|

(

1

2+

1

3

|z||w| +

1

4

|z|2|w|2 + · · ·

)

≤ C

|w| con C = R2∞∑

n=2

1

n2n−2< +∞

Como ez es continua en z = 0, dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que

|a| < δ ⇒ |ea − 1| < ǫ/eR.

Cuando |w| > max2R, C/δ se cumple |hw(z)| < δ para todo z ∈ D(0, R), luego

|fw(z) − ez| ≤ eR|ehw(z) − 1| ≤ eRe−Rǫ = ǫ

es decir, lımw → ∞ fw(z) = ez uniformemente sobre D(0, R).(Un resultado analogo se puede ver en el ejercicio A.3.7.)

Ejercicio A.3.9 Demuestre que lımn→∞ tg nz = −i, y que para cada ǫ > 0 el lımite esuniforme sobre el semiplano Hǫ := z : Im z < −ǫ.

solucion

tg nz =sen nz

cos nz=

1

i

einz − e−inz

einz + e−inz=

1

i

ei2nz − 1

ei2nz + 1

luego

| tg nz + i| =

∣

∣

∣

∣

tg nz − 1

i

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

ei2nz − 1

ei2nz + 1− 1

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

2

ei2nz + 1

∣

∣

∣

∣


de donde se sigue que para todo z ∈ Hǫ se verifica

| tg nz + i| ≤ 2

|ei2nz| − 1=

2

e−2ny − 1≤ 2

e2nǫ − 1

Como la sucesion 2/(e2nǫ − 1) converge hacia 0, la ultima desigualdad nos asegura quelımn tg nz = −i, uniformemente sobre Hǫ.

Ejercicio A.3.10 Demuestre que la sucesion fn(x) = cotg(x + in) converge hacia −iuniformemente en R. Deduzca que para todo m ∈ N la sucesion αn(x) = [cot(x + in)]m

converge uniformemente sobre compactos hacia (−i)m.

solucion

Para todo z = x + iy se cumple

| cotg z + i| =

∣

∣

∣

∣

ieiz + e−iz

eiz − e−iz+ i

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

2ei2z

ei2z − 1

∣

∣

∣

∣

≤ 2e−2y

1 − e−2y

donde la funcion h(y) = 2e−2y/(1− e−2y) converge hacia 0 cuando y → +∞. Como paratodo x ∈ R se cumple la desigualdad | cot(x + in) + i| ≤ h(n) se concluye que la sucesionfn(x) = cot(x + in) converge hacia −i uniformemente respecto de x ∈ R.

La segunda afirmacion se obtiene, por induccion sobre m, utilizando que el productode dos sucesiones de funciones continuas que convergen uniformemente sobre compactostambien converge uniformemente sobre compactos.

A continuacion se expone un repertorio de ejercicios sobre convergencia uniforme rela-cionados con las series de potencias. Los recursos para resolverlos son, esencialmente,el criterio de Weierstrass A.3.4 y los criterios de Abel-Dirichlet A.3.5

Ejercicio A.3.11 Demuestre que la serie de potencias∑∞

n=0 anzn converge unifor-memente en cada conjunto donde la serie derivada

∑∞n=1 nanzn−1 es uniformemente

convergente.

solucion

Basta aplicar el apartado a) de A.3.5.

Ejercicio A.3.12 Sea an ∈ R una sucesion decreciente que converge hacia cero. De-muestre que la serie de potencias

∑∞n=0 anzn converge uniformemente sobre

Aδ = z : |z| ≤ 1, |z − 1| ≥ δ, 0 < δ < 1

y que la convergencia no es uniforme sobre Bδ = z : |z| < 1, 0 < |z − 1| ≤ δ cuando∑∞

n=0 an = +∞.


solucion

Para todo z ∈ Aδ se cumple

|1 + z + z2 + · · ·+ zn| =|1 − zn+1||1 − z| ≤ 2

δ

y aplicando el criterio de Dirichlet (apartado c) de A.3.5) se obtiene la convergenciauniforme sobre Aδ.

Por otra parte, la condicion de Cauchy para la convergencia uniforme sobre Bδ implicala condicion de Cauchy para la convergencia uniforme sobre Bδ. Por lo tanto, si la serieno converge en z = 1 ∈ Bδ, no puede haber convergencia uniforme sobre Bδ.

Ejercicio A.3.13 Si la serie de potencias∑∞

n=0 anzn converge uniformemente sobreE ⊂ z : |z| = 1, demuestre que tambien converge uniformemente sobre el conjuntoH = tz : 0 ≤ t ≤ 1, z ∈ E. Deduzca el teorema de Abel: Si la serie

∑∞n=0 an converge

entonces∞∑

n=0

an = lımr→1

∞∑

n=0

anrn.

Como aplicacion calcule∑∞

n=1(−1)n+1/n.

solucion

La hipotesis implica que el radio de convergencia ρ, es mayor o igual que 1. Si ρ > 1entonces H es un subconjunto compacto de D(0, ρ), y por lo tanto hay convergenciauniformemente sobre H . Si ρ = 1 basta probar la convergencia uniformemente sobreM = H \ 0, pues entonces tambien habra convergencia uniforme sobre H = M .

Por hipotesis, la serie∑∞

n=1 an(z/|z|)n converge uniformemente sobre M y aplicandoel criterio de Abel (apartado a) de A.3.5) se obtiene que

∞∑

n=0

anzn =∞∑

n=0

an(z/|z|)n|z|n

converge uniformemente sobre M .Si la serie

∑∞n=0 an converge, con E = 1 se obtiene que la serie

∑∞n=0 anrn converge

uniformemente sobre [0, 1], luego f(r) =∑∞

n=0 anrn define en [0, 1] una funcion continua,y por ello

∞∑

n=0

an = f(1) = lımr → 1

f(r)

En particular, si a0 = 0 y an = (−1)n+1/n, para n ≥ 1, resulta una serie alternadaconvergente (en virtud del criterio de Leibniz) En este caso

f(r) = r − 1

2r2 +

1

3r3 − · · · = ln(1 + r)

luego∞∑

n=0

(−1)n+1

n= lım

r → 1f(r) = ln 2.


Ejercicio A.3.14 Sea f(z) =∑∞

n=0 anzn, definida en D(0, ρ), donde ρ es el radio deconvergencia. Si la serie

∑∞n=0 an converge, demuestre que

lımEr∋z→1

f(z) =∞∑

n=0

an

donde Er = z : |z| < 1, |1 − z| ≤ r(1 − |z|), y r > 1.Se dice que M ⊂ D(0, 1) es un conjunto de Stolz si M ⊂ Er para algun r > 1. Si

M esta contenido en un conjunto como el indicado en la figura, compruebe que M es unconjunto de Stolz.

10

M

solucion

La convergencia de la serie∑∞

n=0 an implica que ρ ≥ 1. Cuando ρ > 1 es inmediato quehay convergencia uniforme sobre el compacto Er ⊂ D(0, ρ).

Si ρ = 1 la serie tambien converge uniformemente sobre Er. En efecto, para cadaz ∈ Er se cumple

1 +∞∑

n=0

|zn − zn+1| = 1 + |z − 1|∞∑

n=0

|z|n = 1 +|z − 1|1 − |z| ≤ 1 + r

y aplicando el criterio de Dirichlet (apartado c) de A.3.5) se obtiene la convergenciauniforme sobre Er. Usando la condicion de Cauchy es claro que la convergencia uniformesobre Er implica la convergencia uniforme sobre Er.

En virtud de la convergencia uniforme, la funcion suma f es continua sobre Er. En-tonces, teniendo en cuenta que 1 ∈ Er (pues r > 1 ⇒ [0, 1) ⊂ Er) se obtiene

lımEr∋z→1

f(z) = f(1) =

∞∑

n=0

an

Para demostrar que el conjunto M de la figura es un conjunto de Stolz basta ver quela funcion h(z) = |z − 1|/(1 − |z|) esta acotada sobre M . Como h es continua sobre elcompacto M \ D(1, δ), 0 < δ < 1, basta ver que h esta acotada sobre M ∩ D(1, δ) paraalgun δ > 0.

Si m = v/(1−u) y z = x+ iy ∈ M se verifica |y/(1−x)| ≤ m, luego z = x+ i(1−x)pcon |p| ≤ m. Por lo tanto

|1 − z|1 − |z| =

|1 − x|√

1 + p2

1 −√

x2 + (1 − x)2p2≤ |1 − x|

√1 + m2

1 −√

x2 + (1 − x)2m2= ϕ(x)


Como lımx → 1 ϕ(x) =√

1 + m2 se obtiene δ ∈ (0, 1) tal que h esta acotada en [1− δ, 1),lo que lleva consigo que h esta acotada sobre M ∩ D(1, δ).

w = u + iv

z = x + iy

M

0 1

W

δ

Ejercicio A.3.15 Demuestre que la serie de potencias∑∞

n=0

(

1/2n

)

zn converge absoluta yuniformemente sobre z : |z| ≤ 1. Deduzca de ello que existe una sucesion de polinomiosreales que converge hacia |x| uniformemente sobre [−1, 1].

solucion

La sucesion an =(

1/2n

)

verifica lımn |an/an+1| = 1, luego el radio de convergencia de la seriede potencias es 1. Segun el criterio de Weierstrass para obtener la convergencia uniformesobre z : |z| ≤ 1 basta ver que

∑∞n=0 |an| < +∞.

Para todo n ≥ 1 se cumple an = (−1)n+1|an|, lo que permite calcular, para 0 < r < 1,la suma de la serie

∞∑

n=0

|an|rn = 1 −∞∑

n=1

an(−r)n = 1 − (√

1 − r − 1) = 2 −√

1 − r ≤ 2

La desigualdad∑m

n=0 |an|rn ≤ 2 es valida para todo m ∈ N y pasando al lımite cuandor → 1 se obtiene

∑mn=0 |an| ≤ 2, luego

∑∞n=0 |an| ≤ 2.

En virtud de lo que se acaba de establecer y del criterio de Weierstrass la serie∑∞

n=0 antn converge uniformemente sobre [−1, 1] donde define una funcion continua f queverifica f(t) =

√1 + t, si |t| < 1. Por continuidad tambien se cumple que f(t) =

√1 + t

para todo t ∈ [−1, 1]. Entonces, si x ∈ [−1, 1] se tiene t = x2 − 1 ∈ [−1, 1], luego

|x| =√

1 + (x2 − 1) =∞∑

n=0

an(x2 − 1)n

es decir, |x| = lımn Sm(x2 − 1) donde Sm(t) =∑m

n=0 antn. Como Sm(t) converge haciaf(t) =

√1 + t uniformemente en [−1, 1] se sigue que la sucesion de polinomios Sm(x2−1)

converge hacia |x| uniformemente sobre [−1, 1].

Ejercicio A.3.16 Sea Ω = z : |z(1 + z)| < 2 y fn(z) = (z(1 + z)/2)4n

.

i) Demuestre que la serie f(z) =∑∞

n=0 fn(z) converge uniformemente sobre cada sub-conjunto compacto de Ω y que su suma f admite un desarrollo en serie de potenciasalrededor de 0 con radio de convergencia 1.


ii) Sea Am(z) =∑m

n=0 anzn la sucesion de las sumas parciales de la serie de poten-cias considerada en i). Compruebe que la subsucesion Am(n)(z), con m(n) = 22n+1,converge hacia f(z) uniformemente sobre cada compacto K ⊂ Ω.

solucion

Dado un compacto K ⊂ Ω, como esta recubierto por la sucesion creciente de abiertosΩk = z : |z(z + 1)| < 2 − 1/k, existe m ∈ N tal que K ⊂ Ωm, luego para todo z ∈ K ytodo n ∈ N se cumple

|fn(z)| ≤∣

∣

∣

∣

1

2

(

2 − 1

m

)∣

∣

∣

∣

4n

= ρ4n

con ρ < 1. Aplicando el criterio de Weierstrass se concluye que la serie del enunciadoconverge uniformemente sobre K.

Desarrollando fn(z) mediante la formula del binomio, la serie se escribe ası:

1

2(z + z2) +

1

24(z4 + 4z5 + 6z6 + 4z7 + z8) +

1

216(z16 + 16z17 + · · ·+ 16z31 + z32) + · · ·

donde las potencias de z en los sucesivos parentesis no se solapan. Quitando los parentesisresulta una serie de potencias

∑∞n=0 anzn que cumple

n∑

k=0

fk(z) = Am(n)(z) con m(n) = 22n+1.

Si 0 < r < 1 entonces r ∈ Ω, luego

m(n)∑

k=0

|ak|rk =

m(n)∑

k=0

akrk = Am(n)(r) =

n∑

k=0

fk(r) ≤ f(r) < +∞

Se sigue que∑∞

k=0 |ak|rk < +∞, de modo que el radio de convergencia es ≤ 1.Por otra parte, como Am(n)(1) =

∑nk=0 fk(1) = n+1, la serie de potencias no converge

en z = 1, luego su radio de convergencia es exactamente 1. Observese que en los puntosdonde la serie de potencias converge se cumple

∞∑

k=0

akzk = lım

nAm(n)(z) = lım

n

n∑

k=0

fk(z) = f(z)

nota: La frontera de Ω es un ovalo de Casini (el lugar geometrico de los puntos delplano cuyo producto de distancias a los puntos 1 y −1 es constante = 2) y es claro queΩ ⊃ D(0, 1) \ 1. Aunque la serie de potencias no converge en Ω \ D(0, 1), sin embargoexiste una subsucesion de sumas parciales que converge uniformemente sobre compactosen Ω.

Ejercicio A.3.17 Obtenga la region de convergencia de la serie∑∞

n=1 n−1(1 − z2)n yestudie la convergencia uniforme sobre compactos. Obtenga la suma de la serie f(z) y sudesarrollo en serie de potencias alrededor de z = 1.


solucion

Segun el ejercicio A.3.12 para cada δ > 0 la serie de potencias∑∞

n=1 n−1wn convergeuniformemente sobre Aδ = w : |w| ≤ 1, |w−1| ≥ δ. Como δ > 0 es arbitrario, la regionde convergencia de esta serie de potencias es

A = w : |w| ≤ 1, w 6= 1

y la region de convergencia de la serie del enunciado es

B = z : |z2 − 1| ≤ 1, z 6= 0

1−1

√2A−

√2

La convergencia es uniforme sobre cada compacto K ⊂ B. En efecto, como H = 1− z2 :z ∈ K es un subconjunto compacto de A, existe δ > 0 tal que H ⊂ Aδ, luego laserie

∑∞n=1 n−1wn converge uniformemente sobre H y se sigue que la serie del enunciado

converge uniformemente sobre K.Por otra parte, utilizando que

∑∞n=1 n−1wn = −Log(1 − w) se obtiene la suma de la

serief(z) = −Log z2

El desarrollo de f(z) en serie de potencias alrededor de z = 1 se obtiene facilmente apartir del desarrollo de su derivada

f ′(z) = −2

z=

−2

1 − (1 − z)= −2

∞∑

n=0

(1 − z)n si |z − 1| < 1

Como f(1) = 0, se concluye que f(z) =

∞∑

n=0

2(−1)n

n(z − 1)n.

nota: El radio de convergencia de esta serie de potencias es 1, luego la serie converge enpuntos donde no esta definida f .

convergencia uniforme

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