convezione forzata. equazioni dello strato limite regime stazionario; r, c p costanti; fluido...

CONVEZIONE FORZATA

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE

• Regime stazionario;

• r, cp costanti;

• fluido incomprimibile;• assenza di generazione interna di calore;

• approssimazione di strato limite.

u >> v

x

v

y

v

x

u

y

u

,,

x

T

y

T

equazione di continuità: 0

y

v

x

u

equazione dell’energia

y

u

yx

p

y

uv

x

uu M

1

quantità di moto lungo x:

y

u

ycy

Ta

yy

Tv

x

Tu M

pH 1

Condizioni al contorno:

per y = 0 u = v = 0 T = Tp(x)

per y = d u = u 0y

u

per y = dt T = T(x) 0y

T

per x = x0 u = u0(y) T = T0(y)

VISCOSITA’ TURBOLENTA E PROFILO DI VELOCITA’ 1/3

L’ipotesi di PRANDTL (1875-1903) e VON KARMAN (1888-1963)

,,, yf sM

ovvero

yfM

sy

vy

y *con

velocità di attrito alla parete

Da evidenze sperimentali emerge una variazione lineare del coefficiente eM con y, mentre, in prossimità della parete, l’effetto smorzante tende ad annullare le fluttuazioni.


La relazione proposta da Van Driest è la seguente:

2

1141

2

12

2 2

A

yM eyK

dove K = 0,40 (costante di Von Karman) e A = 0,25 (per moto su lastra piana o nei tubi)

Si distinguono 3 distinte zone in funzione della distanza dalla parete:

y+ ≤ 5: sottostrato viscoso

22

4

A

yKM

5 < y+ < 40: stato di transizione eM confrontabile con n

y+ 40: strato logaritimico KyM


Su lastra piana, con gradiente di pressione nullo nel senso della corrente, si ha:

xy

uyx sM

, (definizione di sforzo tangenziale)

In forma adimensionale:

My

u

1

1*v

uu

con

Dall’integrazione di questa equazione con l’equazione di Van Driest e la condizione al contorno di scorrimento nullo alla parete (u+ = 0 per y+ = 0) si ottiene il profilo di velocità:

y

M

dyu

0 1

Il calcolo si ottiene per vie numeriche, con i risultati del grafico di seguito riportato:

DIFFUSIVITA’ TURBOLENTA E PROFILO DI TEMPERATURA 1/2

Le osservazioni di REYNOLDS (1842-1912) mettono in luce che le fluttuazioni turbolente originano trasporto di calore e di quantità di moto, evidenziando la similitudine tra i due processi:

HM e definendo H

Mt

Pr l’analogia di

Reynolds diventa: 1Pr t

Dati sperimentali mostrano che in realtà:9,0

9,0Pr MHt

Con questa relazione e con la

y

u

yx

p

y

uv

x

uu M

1

si ricava il profilo di temperatura turbolento

Con le ipotesi di:• modesti gradienti di pressione;• termini convettivi trascurabili.

Lo sforzo tangenziale alla parete risulta praticamente

costante;

ciò implica che nella regione vicina alla parete risulti

costante anche il flusso termico (equazione dell’energia).

DIFFUSIVITA’ TURBOLENTA E PROFILO DI TEMPERATURA 2/2

La costanza del flusso termico si traduce nella:

dy

dTac

dy

dTckqq HpHpp

Separando le variabili ed integrando:

y

Hp

pp a

dy

c

qTT

0

Introducendo poi:

*vyy Pra

t

MH Pr

si ottiene:

y

t

Mp

pp

dy

q

vcTTT

0

*

Pr1

Pr1

L’integrazione numerica dell’equazione attraverso la formula di Van Driest e la relazione Prt = 0,9, è graficata nella figura seguente:

PrlnPr

AyK

TKy tM

M

CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICILastra piana con deflusso parallelo - Moto laminare 1/6

• Regime stazionario;• fluido incomprimibile e di proprietà costanti;• dissipazione viscosa trascurabile;• assenza di generazione interna di calore.

0

y

v

x

u

2

2

y

u

y

uv

x

uu

2

2

y

Ta

y

Tv

x

Tu

Con le prime 2 equazioni si ricava il campo di moto che, introdotto nella III relazione, fornisce il campo termico.

La soluzione analitica proposta da BLASIUS introduce la funzione di corrente ψ(x,y) definita dalle relazioni:

yu

xv


Con la funzione di corrente, l’eq. di continuità è automaticamente soddisfatta;

l’equazione della quantità di moto diventa: 3

3

2

22

yyxyxy

Si opera un cambio di variabili:

x

uy

u

xu

yxf

,

Ottenendo le espressioni seguenti per u e v:

d

dfu

x

u

d

df

u

xu

yyu

f

d

df

x

uf

dx

dfx

x

u

xuf

u

dx

df

u

xu

xv

2

12

2

1

2

trasformando l’equaz. della q.d.m. in un’equaz. differenziale

ordinaria, del III ordine, non lineare:

VARIABILE DI

SIMILITUDINE

022

2

3

3

d

fdf

d

fd


Le condizioni al contorno si scrivono:

ovvero:

La soluzione si ottiene attraverso metodi numerici.

00,0, xvxu uxu ,

000

fd

df

1

ddf

Lo spessore dello strato limite d (dove u/u = 0,99) si ottiene per h = 4,92 ed è pari a:

x

x

x

u Re

92,492,4

mentre il gradiente di veolcità trasversale è:2

2

d

fd

x

uu

y

u

da cui si ottiene l’espressione dello sforzo tangenziale alla parete: 2

2

0

d

fd

x

uu

y

u

y

s

quindi x

uus

332,0 e il coefficiente di

attrito locale: x

sxf u

CRe

664,0

2

2,


EQUAZIONE DELL’ENERGIA

Si ipotizza una soluzione del tipo:

e

p

P

TT

TT

e si sostituisce nell’equazione dell’energia

Introducendo la variabile adimensionale:

02

Pr2

2

d

df

d

dcon le condizioni al contorno 00 1

Confrontandola con la 022

2

3

3

d

fdf

d

fdsi evidenzia come per Pr 1

le equazioni risultino identiche

ddf

u

u gas, vapore acqueo, acqua liquida ad elevate T e P

Nel caso più generale (Pr ≠ 1) si può ricavare il gradiente di temperatura alla parete:

3

1

0

Pr332,0

dd


Dal gradiente di temperatura si ricava il coefficiente locale di scambio termico:

3

1

0

Pr332,0x

uk

dy

d

TT

TTk

TT

qh

yp

p

px

quindi 3

1

3

2

PrRe332,0 xx

x k

xhNu

Attraverso I valori locali dello sforzo tangenziale:x

uus

332,0

si può ottenere il valore medio

dello sforzo su una estensione L:

L

SLsL

uudx

L 0

, 664,01

il coefficiente di attrito medio:2

1

2

,, Re328,1

2

L

LsLf

uC

Il coefficiente di scambio

termico medio: LxL

LL

xL hh

x

dxu

L

kdxh

Lh

2Pr332,0

1

0 2

1

2

1

0

3

1


Si può esprimere una relazione che leghi i coefficienti di attrito e di scambio termico:

Definendo il numero di Stanton:

risulta: ovvero:

(analogia di Reynolds-Colburn)

2

1, Re332,0

2

x

xfC3

1

2

1

PrRe332,0 xxNu

PrRe x

x

p

xx

Nu

uc

hSt

3

2

2

1

PrRe332,0

xxSt

2Pr ,3

2xf

x

CSt

Dalla misura del coefficiente di attrito si risale al coefficiente di scambio termico.

CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI

Lastra piana con deflusso parallelo - Moto turbolento 1/2Il moto su lastra piana assume caratteristiche diverse in funzione del numero di Reynolds:

Moto laminare5105Re x

65 104Re105 x transizione

6104Re x Moto turbolento

5

1

Re37,0

xx

5

1

, Re0592,0

xxfC

laminare turbolentotransizione

u u u

u


Lastra piana con deflusso parallelo - Moto turbolento 2/2

Rispetto al moto laminare, lo strato limite turbolento cresce più rapidamente:

2

1

Re

92,4x

x

xlam 5

4

xturb

Il coefficiente di attrito decresce più gradualmente:5

1

,,

xC turbxf

2

1

,,

xC lamxf

Attraverso l’analogia di Reynolds si ricava l’espressione dello scambio termico:

3

1

5

4

PrRe0296,0 xxNu

I coefficienti di convezione risultano più elevati rispetto al moto laminare

3

1

2

1

PrRe332,0 xxNu


Deflusso trasversale su superfici cilindriche 1/4

Il parametro guida è il numero di Reynolds definito come: VD

Re

Per Re > 5 avviene la separazione dello stato limite con distacco e formazione di vortici:



Partendo dal punto di ristagno, la pressione diminuisce nella parte frontale del cilindro,

per poi aumentare nella parte posteriore.

Successivamente si verifica anche un flusso invertito: il moto diventa vorticoso e con

una forte componente di casualità.

Parallelamente, la velocità subisce un incremento nella zona anteriore, per poi rallentare

quando la pressione cresce: in questa fase può avvenire che il gradiente di velocità

lungo y si annulli, ed è proprio qui che avviene il distacco.

00

yy

u



La complessità del fenomeno suggerisce un approccio sperimentale per ciò che

concerne l’analisi dello scambio termico:

Cilindro investito da aria

• Per bassi valori di Re (i primi due) il moto si

mantiene laminare fino al distacco (q = 80°);

successivamente il coefficiente cresce per

l’instaurarsi di moti vorticosi.

• Al crescere di Re le curve presentano due

minimi: uno per il passaggio da moto laminare a

turbolento; l’altro in corrispondenza della separazione

(q = 140°).



Il valore medio del coefficiente di scambio termico sull’area complessiva del

cilindro soddisfa la relazione:

TTDLhq ss con Ts temperatura della superficie del cilindro

Un espressione di tale coefficiente è stata ottenuta da Whitaker:

4

1

4,03

2

2

1

PrRe06,0Re4,0

sDDD k

DhNu

Valida per:

2,525,0

10Re10

300Pr67,05

s

D


Deflusso trasversale su banchi di tubi 1/4

BANCO DI TUBI ALLINEATI

Passo longitudinale Passo trasversale

Tale configurazione dà origine a flussi termici non troppo elevati e a modeste

cadute di pressione;

il numero di Reynolds significativo è:DumaxRe con DS

Suu

T

T

max



BANCO DI TUBI SFALSATI

Passo trasversale

Tale configurazione dà origine a flussi termici molto elevati e ad altrettanto elevate

cadute di pressione;

il numero di Reynolds significativo è:DumaxRe con

Passo longitudinale Passo diagonale

DS

Suu

D

T

2maxse

2

DSS T

D

altrimenti vale la relazione dei tubi allineati.



Il coefficiente di scambio termico per tali configurazioni è definito dalla relazione di Zukauskas:

valida per un numero di schiere N > 10, per 1000 < ReD < 2x106 e per 0,7 < Pr < 500.

Tubi sfalsati

n

S

mDD CNu

Pr

PrPrRe 36,0

n = 0 per i gas e 0,25 per I liquidi; C ed m variano come segue:

5102Re100 D

LT

LTL

T

SSC

SSS

SC

m

2 se 4,0

2 se 35,0

6,02,0

5102Re D

022,0

84,0

C

m

Tubi allineati

5102Re D021,0

84,0

C

m

5102Re100 D72,0

63,0

C

m



La caduta totale di pressione si può valutare attraverso una correlazione sperimentale, proposta sempre da Zukauskas:

Tubi sfalsati

in cui f è il fattore d’attrito e Z è un fattore di correzione che dipende dalla

configurazione della schiera:

Zu

fNp2

2max

Tubi allineati


Deflusso parallelo a banchi di tubi

Risultati sperimentali suggeriscono la valutazione del coefficiente di scambio termico come segue:

in cui C risulta pari a:

4,08,0 PrReDD CNu

Tubi sfalsati

(configurazione triangolare con interasse pari a SD)

006,0026,0 D

SC D

Tubi allineati

(SL= ST)

024,0042,0 D

SC L

CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI

)r

ur(

rrx

p1

r

u

x

uu

x

Tu

Valgono considerazioni simili al deflusso esterno alle superfici, considerando semplicemente che vi sono frontiere che condizionano lo sviluppo dello strato limite.

Dopo una regione di ingresso in cui avviene l’accrescimento dello strato limite, il moto nel resto del condotto diventa completamente sviluppato.

Nel moto laminare c.s., ricordando l’equazione della q.d.m. in coordinate cilindriche:

Con le condizioni di strato limite sviluppato:

dx

dp1

dr

dur

dr

d

r

1

Integrando due volte rispetto ad r:

212 CrlnCr

dx

dp

4

1u

CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTILe condizioni al contorno per il calcolo delle due costanti:

0u Rr aderenza alla parete

0dr

du

0r

simmetria della velocità rispetto all’asse

Si ottiene dunque:

22

R

r1

dx

dp

4

Ru

Con velocità massima per r=0:

dx

dp

4

Ru

2

max

La velocità massima pari al doppio della velocità media: mmax u2u

Quindi:

2

m R

r12

u

u

Il caso di maggior interesse per la maggioranza delle applicazioni pratiche è comunque il moto turbolento.

Nei condotti la transizione da moto laminare a turbolento si ha per ReD > 2000.

Per ReD > 10000 il moto è completamente turbolento.

C’è una zona di ingresso in cui lo strato limite è ancora laminare, la sua estensione è:

CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI

Introducendo il fattore di attrito f:

2

u

Ddx

dp

f2m

si ottiene:

DRe

64f

60D

x10

La distribuzione di velocità (moto turbolento) è:

CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTISi utilizzano i risultati della geometria piana, con gli stessi coefficienti del moto laminare:

2m

2

m

*

2m

sf

u

2

u

v2

u2

1C

k

hDNu

mp TT

qh

con: v* velocità di attrito alla parete; Tm temperatura di miscela*m

m v

uu

0,5yln5,2u con

*s vyy

y

y è la distanza dalla parete del condotto.

75,1R

ln5,2u s*m

85,0CReln5,275,12

CRuln5,2u fD

fm*m

e poichè 2

C fs

CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTISostituendo nell’espressione di Cf si ottiene: 6,0CRelog07,4

C

1f

f

e ricordando che nei tubi il fattore di attrito è:fC4f

si ottiene, per tubi lisci: 91,0fRelog035,2f

1

L’effetto della rugosità si riassume con la scabrezza assoluta e, che modifica l’espressione del fattore d’attrito come segue (COLEBROOK):

fRe

51,2

7,3Dlog0,2

f

1DIAGRAMMA DI MOODY

D

11,1

Re

9,6

D7,3log8,1

f

1 HAALANDformulazione esplicita, errore dell’1,5%

2,0Re

184,0f

forma semplificata

CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTIDIAGRAMMA DI MOODY

CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTISCAMBI TERMICI

Nel moto laminare vale la relazione:2

CPrSt x,f3

2

x

Tale relazione si può applicare anche al moto turbolento, infatti:

y

uM

tot

SFORZO TANGENZIALE

y

T

PrPrc

q

t

M

P

tot

y

Ta

c

qH

P

tot

FLUSSO TERMICO con:H

MtPr

Se Pr = Prt = 1 le due equazioni sono analoghe a dal loro sviluppo si deduce:

Ipotizzando valida questa relazione anche per 1Pr 2

CPrSt f3

2

Sostituendo l’espressione di COLEBROOK semplificata: 2,0Re

184,0f

8

fPrSt 3

2

si ottiene

2,03

2

Re023,0PrSt ovvero 3

18,0 PrRe023,0Nu (COLBURN)


Per tenere conto del differente comportamento delle caratteristiche del fluido in riscaldamento ed in raffreddamento:

con: n

Se la viscosità varia considerevolmente con la temperatura:

DITTUS - BOELTERn8,0 PrRe023,0Nu

0,4 per TP > Tm (riscaldamento)

0,3 per TP < Tm (raffreddamento)

14,0

p

m3

18,0 PrRe027,0Nu

SIEDER E TATE


Le precedenti relazioni valgono per tubi lisci; per condotti rugosi si utilizza la :

PETUKHOV

n

p

m

3

2

1Pr8

f7,1207,1

PrRe8

f

Nu

con: n

0,11 per riscaldamento

0 flusso termico uniforme alla parete

0,25 per rarreddamento

Lo scambio termico nella zona di ingresso, quando cioè il moto non è completamente sviluppato, è descritto dalla:

055,0

3

18,0

L

DPrRe036,0Nu

NUSSELT

CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTICONDOTTI A SEZIONE NON CIRCOLARE

Valgono tutte le correlazioni viste finore a patto che si sotituisca il diametro D del

condotto con il diametro idraulico:

con:

p

A4D c

h

Ac = sezione trasversale del condotto

p = perimetro bagnato del condotto

convezione forzata. equazioni dello strato limite regime stazionario; r, c p costanti; fluido...

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