coordenadas curvilíneas implaplace.us.es/campos/teoria/grupo1/t1/leccion_i_1_g1.pdf · sistema de...
TRANSCRIPT
®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2009/10 mez, 2009/10 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn
I. Fundamentos I. Fundamentos matemmatemááticosticos
1. Coordenadas curvil1. Coordenadas curvilííneasneas
2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
ano
Góó m
ez,
09/1
0m
ez,
09/1
0
1.1. Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneasneasIntroducción.Descripción del espacio físicoCoordenadas curvilíneas: propiedadesLíneas y superficies coordenadasElementos de geometría diferencial
2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalares4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales5.5. Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales
I. FundamentosI. Fundamentos matemmatemááticosticos
3Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
ano
Góó m
ez,
09/1
0m
ez,
09/1
0
Magnitudes fMagnitudes fíísicassicasdescripción cuantitativa de las propiedades de los fenómenos (electromagnéticos)
susceptibles de medidacorrespondencia con entes matemáticos
necesidad de un álgebratipos de magnitudes:
escalarvectorialtensorial
Campos escalares y vectorialesCampos escalares y vectorialesdescriben magnitudes con valores distintos en cada punto del espacio (P∈ 3)
se pueden expresar como funciones de la posición:
T=T(r); v=v(r) (estacionarios)…y también del tiempo: T=T(r;t); v=v(r;t)
TT((PP;;tt)) vv((PP;;tt))
IntroducciIntroduccióónn
T T ∈∈v ∈∈ 33
W ∈∈ 33×× 33
OX Y
Z
vv((PP))
r
vv
P
TT((PP))TT
Temperatura (T) y velocidad (v) en un fluido
en movimiento
4Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
ano
Góó m
ez,
09/1
0m
ez,
09/1
0
O
R3
υ3
υ2υ1
P(x,y,z)
O
E3
Δ2
Δ1
Δ3Π1
Π2P q1q2
q3r
y
zxP1
P3
P2
X
Y
Z
r(x,y,z)
{x,y,z}: Coordenadas cartesianas
Π3
P ∈ r ∈ , tal que r = OP
=y=x
=z
r =x+y+z =x υ1+y υ2 +z υ3
y
z
x
DescripciDescripcióón del espacio (I)n del espacio (I)
5Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
ano
Góó m
ez,
09/1
0m
ez,
09/1
0
O
Π3
Δ2
Δ1
Δ3Π1
Π2 P
=z
= ϕ
= ρ
{ρ,ϕ,z}: Coordenadas cilíndricas
E3P ∈ r ∈ , tal que r = OP
rz
xX
Y
Z
υ3υ2υ1
r =x+y+z =ρ cosϕ υ1
P(ρ,ϕ,z)
ρϕ
z
y
q1
q2
q3r(ρ,ϕ,z)
+ρ senϕ υ2+z υ3
O
R3
DescripciDescripcióón del espacio (II)n del espacio (II)
6Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
ano
Góó m
ez,
09/1
0m
ez,
09/1
0
O
Π3
Δ2
Δ1
Δ3Π1
Π2 P
=ϕ
{r,θ,ϕ}: Coordenadas esféricas
=θ
=rO
R3E3P ∈ r ∈ , tal que r = OP
z
x
υ3υ2υ1
yX
Y
Z
q1
q2
q3
r =x+y+z
(r,θ,ϕ)rr
ϕ
θ
=rsenθ cosϕ υ1+rsenθ senϕ υ2+r cosθ υ3
P(r,θ,ϕ)
r sen θ
DescripciDescripcióón del espacio (III)n del espacio (III)
7Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
ano
Góó m
ez,
09/1
0m
ez,
09/1
0
¿¿QuQuéé son?son?{q1, q2, q3}: terna de números reales (qi ∈ R)
valores de parámetros geométricos:
{υ1 ; υ2 ;υ3}, vectores ortogonales unitarios fijos
RequisitosRequisitosdescripción continua del espacio:
sólo si x (q1,q2,q3), y (q1,q2,q3), z (q1,q2,q3) son funciones continuas y derivables
descripción de todo entorno de P:ei(P)=[∂r/∂qi]P linealmente independientes
(no coplanarios):
= x(qq1, q, q22, q, q33) υ1 + y(qq1, q, q22, q, q33) υ2++z(qq1, q, q22, q, q33) υ3
r=r (qq1, q, q22, q, q33)Δr
Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneas. Propiedades (I)neas. Propiedades (I)
O
P ∈E3 OP=r ∈ R3
υ3
υ2υ1
XY
Z
r(q1,q2,q3)
P
P'r(q'1,q'2,q'3 )
Δr 1 2 31 2 3P P P
q q qq q q
∂ ∂ ∂Δ + Δ + Δ
∂ ∂ ∂r r r
1 2 3
0q q q
∂ ∂ ∂≠
∂ ∂ ∂r r r
z
xy
( )i i iq q q′ = + Δ
( 1, 2, 3)0i iq =Δ → 0⇒ Δ →r
8Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
ano
Góó m
ez,
09/1
0m
ez,
09/1
0
Base fBase fíísicasica:
vectores ortogonales unitarios
Base natural. Sistema de referencia localBase natural. Sistema de referencia localtres vectores linealmente independientes (no coplanarios) son basebase de R3
en particular, dr=dq1e1+dq2e2+dq3e3
base natural y punto P forman sistema localsistema local
Coordenadas ortogonalesCoordenadas ortogonalessu base natural es ortogonal en todo P
factor de escala:
O
υ3
υ2υ1
XY
Z
r(q1,q2,q3)
[ ]1 2 3
1 2 3; ; ; ; P
Pq q q∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦
r r r e e e
1 2 3( , , )ii P
q q qq
′
′ ′ ′∂=
∂r e
1 2 3 1⊥ ⊥ ⊥e e e e
1 2 3( , , ) 1i ih q q q= ≠e
e3
e2e1e'3
e'1
e'2
r(q'1,q'2,q'3)
P'P
v
31 1 2 2 3 3
tal que ;v v v= + + ∀ ∈v e e e v
1 2 3( , , )ii P
q q qq
∂≠ =
∂re
2 00;
i i i
i j
hi j
⎧ = >⎪⇔ ⎨ = ≠⎪⎩
⋅⋅
e ee e
1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) i i iq q q q q q h=u e
[ ]1 2 3 tal que; ;P
u u u
1; 0i i i i j= = =⋅ ⋅u u u u u
Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneas. Propiedades (II)neas. Propiedades (II)
9Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
ano
Góó m
ez,
09/1
0m
ez,
09/1
0
r(q1=a;q2=b;q3=c)
O
υ3υ2υ1
XY
Z
Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)0R3 P(q1,q2,q3)0E3
1
1Pq
∂
∂=
reCoordenadas Coordenadas ortogonalesortogonales
[ ] [ ]i iP PΔ ⊥ Π
P(a,b,c)
LLííneaneacoordenadacoordenada
RectaRectatangentetangente
SuperficieSuperficiecoordenadacoordenada
PlanoPlanotangentetangente
2e 3e
LLííneas y superficies coordenadas (I)neas y superficies coordenadas (I)
10Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
ano
Góó m
ez,
09/1
0m
ez,
09/1
0
Coordenadas Coordenadas ortogonalesortogonales
Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)0R3 P(q1,q2,q3)0E3
LLííneas y superficies coordenadas (II)neas y superficies coordenadas (II)
11Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
ano
Góó m
ez,
09/1
0m
ez,
09/1
0
Elementos geomElementos geoméétricostricosestudio local de magnitudes en torno a P∈ 3
elementos geométricos de dicho entorno
Diferencial de caminoDiferencial de caminovariación infinitesimal de vector posición, “dr”
elemento de arco ds:longitud de dr
ddrr1 1 2 2 3 3d dq dq dq= + +r e e e
{ } 1,2,3i i i iq q dq
=′ = +
ddrr22ddrr11
ddrr33
dsds
Elementos de geometrElementos de geometríía diferencial (I)a diferencial (I)
ds d d d= = ⋅r r r
12Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
ano
Góó m
ez,
09/1
0m
ez,
09/1
0
Diferencial de superficieDiferencial de superficieparalelogramo con lados “dri”y “drj”; descrito por:
área y orientación:
Diferencial de volumenDiferencial de volumenparalelepípedo con aristas “dr1”, “dr2” y “dr3”:
ddrr11ddττ
ddrr33ddrr22
1 2 3d d d= ×S r r2 3 1d d d= ×S r r3 1 2d d d= ×S r r
ddSS11
Elementos de geometrElementos de geometríía diferencial (II)a diferencial (II)
sin
,i j k i
i j k
i j kd d d
d
θ≠ ≠
⎫= ⎪⎬
⊥ ⎪⎭
S r r
S e e
i id d dτ = ⋅r S( )1 2 3d d d dτ = ×r r ri
θθ11