Coordenadas polares

Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por

un ángulo y una distancia.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una

recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del

sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de

medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo

punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es

el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O aP. El valor θ crece

en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la

«coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o

«ángulo polar».

En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se

adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

Representación de puntos con coordenadas polares

Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia

(punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la

distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un

ángulo de 60º sobre OL.

El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º

sobre OL.

Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano

puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el

sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay

una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas

polares. Esto ocurre por dos motivos:

Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese

mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el

punto ( , θ) se puede representar como ( , θ ±  ×360°) o (− , θ ± (2  + 1)180°), donde   es

un número entero cualquiera.4

El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los

ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para

representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con

radio 0 se encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para

evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de

un punto, se suele limitar   a números nonegativos   ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o

(−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).6

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del

contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados,

mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte

del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.7

Conversión de coordenadas

Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de

coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de

coordenadas, y el ángulo   del vector de posición sobre el eje x.

[editar]Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo   sobre el eje x, y su distancia r al centro

de coordenadas, se tiene:

[editar]Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la

coordenada polar r es:

 (aplicando el Teorema de Pitágoras)

Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:

Para   = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.

Para   ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de

tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( denota la inversa de la función tangente):

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

o equivalentemente

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que

almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados

para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la

coordenada x (como ocurre en Lisp).

Coordenadas polares y cartesianas

Para indicar dónde estás en un mapa o gráfico hay dos sistemas:

Coordenadas cartesianas

Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:

Coordenadas polares

Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:

Convertir

Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:

De cartesianas a polares

Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.

Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):

r2 = 122 + 52

r = √ (122 + 52)

r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13

Usa la función tangente para calcular el ángulo:

tan( θ ) = 5 / 12

θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:

r = √ (x2 + y2)

θ = atan( y / x )

 

De polares a cartesianas

Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:

Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?

 

Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98

Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08

 

Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:

x = r × cos( θ )

y = r × sin( θ )