copy of hpt mu va logarit
TRANSCRIPT
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 1
HÖ ph−¬ng tr×nh mò vµ l«garit
A. Ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng.
Ph−¬ng ph¸p:
B−íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa.
B−íc 2: Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®Ó nhËn ®−îc mét ph−¬ng tr×nh mét Èn.
B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh mét Èn nhËn ®−îc tõ hÖ.
B−íc 4: KÕt luËn.
Bµi tËp: Gi¶i c¸c hÖ sau:
1. Bµi 1.
)1(1)1(
2
22
=+
=+++xxy
yx
Gi¶i.
§iÒu kiÖn y > −1.
==
⇔
==+
⇔
=++
>+=+=+
⇔0
2
0
2
02
01
11
2
)1(
2
y
x
y
yx
xx
y
y
yx
2. Bµi 2.
=
=⇔>
=
=−
−−+−+ −−
)2()0,:(
1 2
)1()(2
2
22
xy
xxyx
yx
yx xxxxyxyx
K§
−==
⇔
=+
=⇔
−−=+
=⇔ −− )(1
1
033
1
)(2
1)1(
322 lo¹ix
x
x
x
xxxx
x
Thay x = 1 vµo (2) ta cã cÆp nghiÖm (1,1).
3. Bµi 3.
−==+−⇔
−==+⇔
=+=+ −
xyxyyx
xxxxyx
1
022.32
1
322
1
322 21
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 2
−=
=
=⇔
xy
x
x
1
22
12
==
==
⇔
0
1
1
0
y
x
y
x
4. Bµi 4.
=+=+ −−
1
1)44(2 22
yx
yx
5. Bµi 5.
)1(12
99
=
= −+
yx
yx yxyx
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
=
=⇔
=
=⇔
−
−−+
−
−+ −−
)3(
)2()1(
2
)9(29
2
99 22
xy
xx
xy
yx xxxxyxyx
==
⇔
−−=+
=⇔ −− 3/1
1
)9(29
1)2(
22 x
x
xxxx
x.
Thay vµo (3) ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm: (1,1); (1/3,9).
6. Bµi 6.
+=++=+
⇔
=
=⇔
=
=3log213log.
3log23log
18log)2.3(log
12log)3.2(log
182.3
123.2
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Gi¶i hÖ trªn b»ng ph−¬ng ph¸p ®Þnh thøc ta cã cÆp nghiªm: (2,1).
7. Bµi 7 (HVNH 99).
+−=
+=⇔
−=
=−⇔
=−
=⇔
=−
=+ +
312
312
222
2)22(2
222
22
222
1
y
x
xy
xx
yx
yx
yx
yx
+−=
+=⇔
)31(log
)31(log
2
2
y
x
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 3
8. Bµi 8 (§HSP II 98).
+=++
=+ +−+
)2(113
)1(2.322
2
3213
xxyx
xyyx
−=−≥
=⇔
=−+−≥
⇔
+=++
≥+⇔
xy
x
x
yxx
x
xxyx
x
31
1
0
0)13(
1
113
01)2(
2
Víi x = 0 thay vµo (1) ta cã cÆp nghiÖm: )11
8log,0( 2
Víi
−=−≥
xy
x
31
1, thay vµo (1) ta cã:
31)31(3113 2.322 +−−−+ =+ xxx
Gi¶i ra ta ®−îc cÆp nghiÖm: ))83(log2,1)83([log3
1( 22 +−−+
9. Bµi 9 (§HKTQD 99).
=
=−
−+
)2(
)1(13
)3
(54
yx
yx
xy
xy
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
Tõ (2) ta cã: y = x− 3, thÕ vµo (1) ta ®−îc:
==
⇔
−−=+
=⇔= −−
−−+−
−
2
1
)3
(154
1
33
)3
(154
33
x
xx
xxx
xxx
xx
xx
Thay vµo (2) ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm: (1, 1) vµ (2, 1/8).
10. Bµi 10 (§HQG 95).
=+
+−=−
)2(2
)1()2)((2222 yx
xyyxyx
Th¸y (2) vµo (1) ta ®−îc: 333322 2222))((22 yxyxxyyxyx yxyxyx −=−⇔−=−⇔++−=−
Nh©n xÐt: x = y tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh trªn.
NÕu x > y cã: 33 22 yx yx +>+
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 4
NÕu x < y cã: 33 22 yx yx +<+
Nh− vËy, tõ ph−¬ng tr×nh trªn ta cã x = y.
Thay vµo (2) ta cã
−====
1
1
yx
yx
11. Bµi 11.
==+⇔
==+⇔
=+=+
4
17
2).(log
17
2loglog
17 22
2
22
22
22
xy
yx
yx
yx
yx
yx
Gi¶i ra ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm (1, 4); (4, 1).
12. Bµi 12.
)1(loglog2
42
=
=
xy
x
yx
y
§iÒu kiÖn: x > 0, 0 < y ≠ 1.
=−
=⇔
=−
=⇔
y
yyy
yx
y
xyx
yx
2
222
22
2
222
42
22
log
log2loglog2
log2log
log
logloglog
loglog)1(
==
==
⇔
==
=⇔
=−
=⇔
4
16
1
1
4
1
log2log
0log2log
log2log 22
222
22
y
x
y
x
y
y
yx
yy
yx
13. Bµi 13.
)1(1)2(log)2(log
24
22
22
=−−+=−
yxyx
yx
§iÒu kiÖn: 2x+y > 0, 2x − y > 0.
=−−+=−++
⇔1)2(log)2(log
1)2(log)2(log)1(
22
22
yxyx
yxyx
==
⇔
=−=+
⇔
=−=+
⇔2/1
4/3
12
22
0)2(log.2
2)2(log.2
2
2
y
x
yx
yx
yx
yx
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 5
14. Bµi 14 (§HM§C 99).
)1(1log)4224(log)1(log
)3(log1)2(log)(log
42
44
4422
4
−=+−+−+
+=+−+
y
xxyyxy
yxxyx
§iÒu kiÖn:
(*)
0
04224
01
03
0
2
>>+−+
>+>+
>
y
xyy
xy
yx
x
=+−+
+
+=+
⇔
=+−+
+
+=+
⇔
y
x
xyy
xy
yxx
yx
y
x
xyy
xy
yxx
yx
44224
1
32
)(4
4log
4224
1log
)3(log2
)(4log
)1(
2
22
424
4
22
4
==
=⇔
==
=⇔
=−−=−−
⇔
=−+−
=+−⇔
1
2
2
20)2)((
0)2)((
0442
0232
22
y
x
yx
x
yx
yx
xyx
yxyx
xyxyx
yxyx
KiÓm tra l¹i ®iÒu kiÖn (*) ta cã nghiÖm:
==
∈=
1
2
y
x
Ryx
15. Bµi 15 (§HQG Khèi −−−−D 95).
)1(
)(log1)(log
324
33
+−=−=
+
yxyx
x
y
y
x
§iÒu kiÖn:
≠>+>−
0
0
0
xy
yx
yx
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 6
=−
=−−⇔
=−
=+⇔
=−
=+⇔
3
0)2)(2(
3
5)(2
1)(log
5)(2)1(
222222
3yx
xyyx
yx
x
y
y
x
yx
x
y
y
x
(*))(1
2
33
2
33
2
2
2
doy
x
y
xy
y
yx
==
⇔
=−
=
=
=
⇔
nghiÖm)(V«
16. Bµi 16 (§HBK 94).
)1(813).122(
3log
23
=+−
=+
yyy
yx
x
§iÒu kiÖn: y > 0.
=−+
+−=⇔
=+−
+−=⇔ − 012
3log
81.27).122(
3log)1(
23
123
yy
yx
yyyy
yx
==
⇔
<−==
+−=⇔
3
2
)(04
3
3log3
y
x
y
y
yx
lo¹i
17. Bµi 17 (§HTL 2000).
)1(
3
2loglog2log.
2
3loglog3log.
333
222
+=+
+=+
yyxx
xyyx
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
=
=⇔
=
=⇔
=
=⇔
−− xyyx
yx
xy
yx
yx
yxxy
xy
xy
yx
xy
23
2.33.2
2.33.2
2.33.2
3.3
22.
2.2
33.
)1(
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 7
==
⇔
=
=
⇔
=
=⇔
− 1
12
3
2
3
16
2.33.2
y
x
yx
xyx
yx
yx
18. Bµi 18 (§HTCKT 2000).
)1(1loglog
4
44
loglog 88
=−=+
yx
yx xy
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
==+⇔
=
=+⇔
yx
yx
y
x
yx xyxy
4
4
1log
4)1(
8888
loglog
4
loglog
=
=⇔
=
=⇔
==⇔
−23
32
log
2
2
4
2loglog3
1
4
28
y
x
yx
x
yx
x xx
( do x = 1 kh«ng lµ nghiÖm)
19. Bµi 19.
−−
=−
−=
⇔
−=
=−
⇔
−=
=⇔
−=+
= −
5)1(2
1
31
523
1
523
33
423
93
92
11
2
x
x
x
xx
xy
y
x
x
y
y
x
x
x
y
x
x
y
y
x
x
yx
y
x
xy
xx
20. Bµi 20 (§HXD 94). Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
=+
−=⇔
=+
−=⇔
=+
−=⇔
=+
=+−− )2(1222
)1(2
122
2
122
2
142
22 xaxxaxyxyx
xayxayxayayx
§Æt xt 2= , t > 0 thay vµo (2) ta cã: 022 =+− att (3)
a2.41∆ −= .
NÕu 202.410∆ −>⇔<−⇔< aa : Ph−¬ng tr×nh(3) v« nghiªm ⇔ hÖ v« nghiÖm.
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 8
NÕu 202.410∆ −=⇔=−⇔= aa : Ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm t = 1/2, suy ra x = −1, y= −1/2.
NÕu 202.410∆ −>⇔>−⇔> aa : Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm:
−+=
−−=⇔
−+=
−−=⇒
−+=
−−=
2
2.411log
2
2.411log
2
2.4112
2
2.4112
2
2.411
2
2.411
2
2
a
a
ax
ax
a
a
x
x
t
t
Thay vµo (1) ta tÝnh ®−îc y.
21. Bµi 21 (§HM§C 2000). Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
=
−−=⇔
=
=++−−−−−−+−+ 22 1))1(1(2 22
1
24.2
1
axaxxaxxyyxa
xayayx
−=−−−−−+
−−=⇔
)2(21))1(1(2
)1(1
axaxxax
xay
22. Bµi 22 (§Ò 135). Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
)1(
0
0loglog2
1
23
32
3
=−+
=−
myyx
yx
a) Gi¶i hÖ víi m = 2. b) T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm.
§iÒu kiÖn: (*)0
0
>≠
y
x
=−+=
=⇔
=−+
=⇔
)3((*))(0)(
)2(
0
loglog)1(
223
33
domyyyf
yx
myyx
yx
a) Víi m = 2, gi¶i ra ta cã c¸c cÆp nghiÖm (1, 1); (−1, 1).
b) (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm y > 0. Do (3) cã −b/a= −1 nªn
(3) cã nghiÖm d−¬ng khi vµ chØ khi f(0) < 0 ⇔ −m < 0 ⇔ m > 0.
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 9
23. Bµi 23.
)1(2)3(log
2)3(log
=+=+
kxy
kyx
y
x
§iÒu kiÖn:0 <x, y ≠ 1, 3x + ky > 0, 3y + kx > 0 (*).
=−−−−=+⇔
=+
=+⇔
0)3)(()1(
yxkyx
2
2
2x ky 3x
y kx 3y
x ky 3x
−−==+
==+
⇔
−−==
=+⇔
)3(3
)2(
3xky
yx
xky
yx2
22
x ky 3x
x ky 3xx ky 3x
a) Víi k = 2.
==
⇔
==−⇔
5
505)2(
2
y
x
yx
xx
−=
=−=
⇔
−==−−⇔
xy
x
x
yy
xx
1
2
1
1
02)3(
2(lo¹i)
b) BiÖn luËn:
=
+==
⇔
==−−
⇔yx
kx
x
yx
kxx3
)(00)3(
)2(
lo¹i
=+=
⇔yx
kx 3
lµ nghiÖm cña hÖ khi vµ chØ khi tho¶ m·n (*), hay 0 < 3+k ≠ 1⇔ −3 < k ≠ −2.
−−==−+−+⇔
)5(3
)4(0)3()3()3(
2
xky
kkxkx
XÐt ph−¬ng tr×nh (4) 0)3()3()( 2 =−+−+= kkxkxxf cã:
�’ = −3(k − 3)(k + 1).
+ NÕu �’< 0 ⇔ k > 3 ho¨c k < −1: (4) v« nghiÖm ⇔ (3) v« nghiÖm.
+ NÕu �’= 0 ⇔ k = 3 ho¨c k = −1:
+ k = 3: (4) cã nghiÖm x = 0 kh«ng tho¶ m·n (*) ⇔ (3) v« nghiÖm.
+ k = −1: (4) cã nghiÖm x = 2, thay vµo (5) cã y = 2 ⇔ (2,2) lµ nghiÖm cña (3).
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 10
+ NÕu �’> 0 ⇔ −1 < k < 3 (**): (4) cã 2:
+−−−−==
+−−+−==
2
)1)(3(33
2
)1)(3(33
2
1
kkkxx
kkkxx
Víi x = x1, thay vµo (5) ta cã y1 = x2.
Víi x = x2, thay vµo (5) ta cã y1 = x1.
Do ®ã, (3) cã nghiÖm tho¶ m·n 0 < x, y ≠ 1 khi vµ chØ khi:
−≠
<⇔
≠−++−>−
>−⇔
≠>+
>
31
0
0)3(31
03
0)3(
0)1(
0
0
21
21
k
k
kkk
k
kk
f
xx
xx
KÕt hîp (**) ta cã
−≠
<<−
31
01
k
k
KÕt luËn: + Víi k ≤ −3 hoÆc k = −2 hÖ v« nghiÖm.
+ Víi }2{\),0[}31{]1,3( −+∞∪−∪−−∈k hÖ cã nghiÖm x=y=3+k.
+ Víi }31{\)0,1( −−∈k hÖ cã 3 nghiÖm:
==
==
+=+=
1
2
2
1;3
3
xy
xx
xy
xx
ky
kxvµ
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 11
B. Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô I. Ph−¬ng ph¸p:
B−íc 1: §Æt ®iÖu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa.
B−íc 2: Lùa chän Èn phô ®Ó biÕn ®æi hÖ ban ®Çu vÒ hÖ ®¹i sè ®· biÕt (hÖ ®èi xøng, hÖ ®¼ng cÊp, ...).
B−íc 3: Gi¶i hÖ.
B−íc 4: KÕt luËn.
II. Bµi tËp. Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau:
24. Bµi 24.
)1(82.33.2
17231
2222
=+
=++
++
yx
yx
§Æt: )2(0,,2
3>
=
=vu
v
uy
x
,thay vµo (1) ta cã:
=+=+
836
1749 22
vu
vu, gi¶i ra ta ®−îc:
=−=
⇒
==
1
1
2
3/1
y
x
v
u
25. Bµi 25.
−=−
−=−+
2232
22.3222
212
x
xx
yy
y
§Æt 1,2 ≥= uux
, thay vµo hÖ ta cã:
−=−
−=−
232
23222
22
uyy
yuu, gi¶i ra ta ®−îc y = u = 2, suy ra hÖ cã c¸c cÆp
nghiÖm: (0, 1); (1, 2); (−1, 2).
26. Bµi 26.
)1(42.4.32
122.4.44
162.32
1424
12
21)1(2
222
222
2
22
2
22
=−
=+−⇔
=−
=+−−
−−
++
+−
yxy
yyxx
yxy
yyxx
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 12
§Æt: (*)0,,2
4 12
>
=
= −vu
v
uy
x
, thay vµo (1) ta cã:
−=
=−+−−−⇔
=−
=+−
v
vu
vvvvv
uvv
vuvu
3
4
099)4(12)4(
43
142
242222
2
22
==
⇔
−=
=⇔
−=
=−−⇔
1
4
3
4
16
3
4
0163122
2
2
24
u
v
v
vu
v
v
vu
vv
Thay vµo (*) ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm: (1, 2); (−1, 2).
27. Bµi 27.
=+++
=−
)2(1)1()1(
)1()(23922
3log)(log 22
yx
xyxy
§iÒu kiªn: xy > 0.
§Æt: txytxy 2)(log 2 =⇒= , thay vµo (1) ta cã:
2133033.23)2.(239 23log2 =⇒=⇔=⇔=−−⇔=− xytttttt (3)
03)(2)(012)(2)()2( 22 =−+++⇔=+−+++⇔ yxyxxyyxyx
−=+=+
⇔3
1
yx
yx (4)
KÕt hîp (3) vµ (4) ta cã c¸c cÆp nghiÖm: 1, 2); (2, 1).
28. Bµi 28.
=−−+
+=
)2(233
)1()(2422
2log)(log 33
yxyx
xyxy
§iÒu kiªn: xy > 0.
§Æt: txytxy 3)(log3 =⇒= , thay vµo (1) ta cã:
)3(31220222)3(24 22log3 =⇒=⇔=⇔=−−⇔+= xytttttt
018)(3)(0122)(3)()2( 22 =−+−+⇔=−−+−+⇔ yxyxxyyxyx
)4(3
6
−=+=+
⇔yx
yx
Tõ (3) vµ (4) ta cã c¸c cÆp nghiÖm )63,63( −+ , )63,63( +− .
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 13
29. Bµi 29.
=−
=−
723
723
22
2
2
yx
yx
30. Bµi 30.
)1(299
39.9
2819
39cot2sin
sincot2
cotsin
sincot2
=−
=⇔
=−
=+
gxy
ygx
gxy
ygx
§Æt: 0,,9
9sin
cot2
>
=
=vu
v
uy
gx
, thay vµo (1) ta cã:
==
⇒
==
⇔
+==+
⇔
=−=
2/1sin
0cot
3
1
2
3)2(
2
3.
y
gx
v
u
uv
uu
uv
vu
31. Bµi 21 (§HDL TL 98).
)1(1lg6
3lg2
1lg3
3lg22
=−=+⇔
=−
=+
yx
yx
yx
yx ®iÒu kiÖn:x ≥ 0, y > 0.
§Æt Èn phô, gi¶i ra ta ®−îc cÆp nghiÖm: )10,4( .
32. Bµi 32 (§HNN I 98).
)1()3()4(
43lg4lg
lglg
=
=y
yx
yx
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
)2(4lg3lg3lg.lg4lg.lg
04lg.lg3lg.lg
)3lg()4lg(
)4lg()3lg()1(
223lg4lg
lglg
−=−
=−⇔
=
=⇔
yx
yx
yx
yx
§Æt:
==
yv
xu
lg
lg, thay vµo (2) ta cã:
−=−
=−
4lg3lg3lg.4lg.
04lg.3lg.22vu
vu.
Gi¶i ra b»ng ph−¬ng ph¸p ®Þnh thøc ta ®−îc:
==
⇒
−=−=
3/1
4/1
3lg
4lg
y
x
v
u
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 14
33. Bµi 33 (§HQG TPHCM 97).
=+++
=++++−
−+
−+
)2(2)21(log)21(log
)1(4)21(log)21(log
11
21
21
xy
xxyy
yx
yx
§iÒu kiÖn:x > −1/2, x ≠ 0, −1/2 < y < 1, y ≠ 0.
2)1(log
1)1(log2)1(log)1(log)1(
1111 =
−+−⇔=++−⇔
++−+ y
yxyx
xyx
yxyxyx −=⇔−=+⇔=−⇔ + 111)1(log1 . Thay vµo (2) ta cã:
5
2
5
2)1(412)41(log 222
1 =⇒−=⇔+=−⇔=−+ yxxxxx
34. Bµi 34 (§HTCKT 2000).
)1(1loglog
4
44
loglog 88
=−=+
yx
yx xy
§iÒu kiÖn:x, y > 0.
)2(
2
1loglog
4)1(
22
log3
1log
3
122
=−
=+⇔
yx
yxxy
§Æt:
=
=⇒
==
v
u
y
x
yv
xu
2
2
log
log
2
2 , thay vµo (2) ta cã:
=−
=⇔
=−
=⇔
=−
=+
2
1
3
2
1
22
2
1
4)2()2( 33
1
3
1
vu
uv
vuvu
uvu
vv
u
=
=
=
=
⇒
−=
−=
−=
−=
⇔
8
1
2
12
18
1
2
3
2
22
3
y
x
y
x
v
u
v
u
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 15
35. Bµi 35 (§Ò 56). Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
)1(4)(log).(log
4)(log)(log
=++
=+++
bxaybyax
bxaybyax
yx
yx
a) Gi¶i hÖ khi a = 3, b = 5. b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ khi a, b > 0.
§iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1, ax + by > 0, ay + bx > 0.
§Æt:
+=+=
)(log
)(log
bxayv
byaxu
y
x, thay vµo (1) ta cã:
)2(2)(log
2)(log
2
2
4.
4
=+=+
⇒
==
⇔
==+
bxay
byax
v
u
vu
vu
y
x
a) Víi a = 3, b = 5: §iÒu kiÖn: §iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1. Tõ (2) ta cã:
=++−=+⇔
=+
=+⇔
=+=+
0)2)((
53
53
53
2)53(log
2)53(log 2
2
2
yxyx
xyx
yxy
xyx
xy
yx
y
x
==
⇔
=++
−−=
=−
=
⇔8
8
)(0108
2
08
2
2
y
x
VNxx
xy
xx
yx
b) Víi a, b > 0: §iÒu kiÖn: §iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1 (*). Tõ (2) ta cã:
=+−+−=+⇔
=+
=+⇔
=+=+
0))((2)(log
2)(log 2
2
2
bayxyx
xbyax
ybxay
xbyax
bxay
byax
y
x
=+−+=+
==+
⇔
=+−+=
=+
)4(0
)3(
02
22
bayx
xbyax
yx
xbyax
bayx
yx
xbyax
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 16
+=+=
⇔
=+=
=⇔
=+−
=⇔
bay
bax
x
bax
yx
xbax
yx
)(00)(
)3(2
lo¹i
NghiÖm cña (3) lµ nghiÖm cña (1) khi vµ chØ khi tho¶ m·n (*), hay a + b ≠1
=+−−+
−−=⇔
)5(0)()4(
22 babxabx
xbay
Do 0 < x, y ≠ 1 nªn a − b > x > 0. Khi ®ã nÕu (5) cã:
0))(3()(4)(∆22 >−+=−+−= babababab , 02 <+− bab , nªn (5) cã
hai nghiÖm tr¸i dÊu:
0
)¹(02
))(3(
02
))(3(
21
2
1
<=⇒
<−+−−
=
>−++−
=xy
ilobababa
x
bababax
.
VËy hÖ (4) kh«ng cã nghiÖm tho¶ m·n (*).
KÕt luËn: + Víi a + b = 1 hÖ v« nghiÖm.
+ Víi a + b ≠1, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt x = y = a + b.
36. Bµi 36. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
)1(1232.
33.2
+=+
=+
mm
mmyx
yx
§Æt: (*)0,,3
2>
=
=vu
v
uy
x
.Thay vµo (1) ta cã: )2(12
3
+=+=+
mvmu
mmvu
123,22,1 222 ++−=+−=−= mmmmm vu DDD
+ NÕu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 vµ m ≠ −1: HÖ (2) cã nghiÖm duy nhÊt:
++=
+=
⇔
−
++−=
−
+−=
m
mv
m
mu
m
mmv
m
mmu
1
131
2
1
123
1
22
2
2
2
2
V× ®iÒu kiÖn (*) nªn ®Ó u, v lµ nghiÖm cña (2) ta ph¶i cã:
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 17
>−<
⇔
−>−<
>−<
⇔
>+
+
>+
0
1
3/1
1
0
1
01
13
01
2
m
m
m
m
m
m
m
mm
m
. Khi ®ã (1) cã nghiÖm:
++=
+=
m
my
m
mx
1
13log
1
2log
2
2
+ NÕu
−==
⇔=−⇔=1
1010 2
m
mmD
+ Víi m = 1: Dx ≠ 0 nªn hÖ (2) v« nghiÖm.
+ Víi m = −1: D = Du = Dv = 0: Mäi cÆp (u, v) tho¶ m·n u + v = 3 lµ
nghiÖm cña (2), suy ra mäi cÆp (x, y) tho¶ m·n x + y = 3 lµ nghiÖm cña (1). KÕt luËn:
∗ Víi
>−<0
1
m
m, hÖ cã nghiªm duy nhÊt:
++=
+=
m
my
m
mx
1
13log
1
2log
2
2
∗ Víi m = −1: mäi cÆp (x, y) tho¶ m·n x + y = 3 lµ nghiÖm cña (1).
∗ Víi −1 < m < 0: hÖ (1) v« nghiÖm.
37. Bµi 37. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
)1(12.3
223.
1
1
+=+
=++
+
mm
mm
yx
yx
a) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. (−2≤ m < −1)
b) T×m m nguyªn ®Ó nghiÖm duy nhÊt cña hÖ lµ nghiÖm nguyªn. (m = −2)
38. Bµi 38. Gi¶i vµ biªn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
)1(22.2
2.2.22
22.
2.2.22
2
12
12
+=+
+=+⇔
+=+
+=++
+
xx
xxx
xx
xxx
myyy
ymy
myyy
ymy
§Æt: 0,2 >= tt x (*). Thay vµo (1) ta cã:
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 18
=+−+−+=+⇔
+=+
+=+
0)1)((
2
2
2 2
2
2
mytyt
ymtytt
tmyyty
ymtytt
−+−=+=+
=+=+
⇔
−+−==
+=+⇔
)3(1
2
)2(2
1
2
2
22
mty
ymtytt
yt
ymtytt
mty
yt
ymtytt
+=
==
⇔
=+−
=⇔
3
1
)(0
0)1(3)2(
2 mt
t
yt
tmt
yt lo¹i
Do t > 0 nªn: 103
1 −>⇔>+m
m, khi ®ã
3
1log2
+= mx
=−+−−
−+−=⇔
)4(01)1(
1)3(
2 mtmt
mty
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (4):
)5)(1(56)1(4)1(∆22 −−=+−=−−−= mmmmmm
+ NÕu
<>
⇔>−−⇔>1
50)5)(1(0∆
m
mmm , ph−¬ng tr×nh (4) cã 2 nghiªm
ph©n biÖt:
==
⇒
+−−−=
+−+−=
12
21
2
2
2
1
2
561
2
561
ty
ty
mmmt
mmmt
Víi m < 1, ph−¬ng tr×nh (4) cã hai nghiªm tr¸i dÊu, nªn t1 > 0, t2 < 0. Do ®ã hÖ (3) cã nghiÖm duy nhÊt:
+−−−=
+−+−=⇒
+−−−=
+−+−=
2
561
2
561log
2
561
2
561
2
2
2
2
2
mmmy
mmmx
mmmy
mmmt
Víi m > 5, ph−¬ng tr×nh (4) cã hai nghiÖm t1, t2 tho¶ m·n:
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 19
>>
⇒
>−=>−=+
0
0
01.
01
2
1
21
21
t
t
mtt
mtt, nªn hÖ (3) cã c¸c cÆp nghiÖm:
==
==
1
2
2
1
ty
tt
ty
ttvµ
+ NÕu
==
⇔=−−⇔=1
50)5)(1(0∆
m
mmm
Víi m = 5, ph−¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm duy nhÊt t = 4 ⇒ y = 4 ⇒ hÖ (3) cã nghiªm duy nhÊt 4,24log2 === yx .
Víi m = 1, ph−¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm duy nhÊt t = 0 (kh«ng tho¶ m·n (*)) ⇒ hÖ (3) v« nghiÖm.
+ NÕu 510)5)(1(0∆ <<⇔<−−⇔< mmm , ph−¬ng tr×nh (4) v« nghiÖm
⇒ hÖ (3) v« nghiÖm.
KÕt luËn:
NÕu m ≤ −1, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:
+−−−=
+−+−=
2
561
2
561log
2
2
2
mmmy
mmmx
NÕu −1 < m < 1 hÖ cã 2 nghiÖm:
+=
+=
3
13
1log2
my
mx
vµ
+−−−=
+−+−=
2
561
2
561log
2
2
2
mmmy
mmmx
NÕu 1 < m < 5, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:
+=
+=
3
13
1log2
my
mx
NÕu m = 5, hÖ cã hai nghiÖm:
==
==
4
2
2
1
y
x
y
xvµ
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 20
NÕu m > 5, hÖ ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm:
+=
+=
3
13
1log2
my
mx
+−+−=
+−−−=
+−−−=
+−+−=
2
561
2
561log
2
561
2
561log
2
2
2
2
2
2
mmmy
mmmx
mmmy
mmmx
vµ
39. Bµi 39. Gi¶i vµ biªn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
)1(
263
242
−=−
−=−++
−−
nnnn
mmmmyxyx
yxyx
XÐt víi m, n > 0.
§Æt:
=
=+
−
6
4
yx
yx
nv
mu(*). Thay vµo (1) ta cã:
)2(22
22
−=−
−=−
nnvv
mmuu
XÐt hµm sè: xxxf −= 2)( lµ hµm ®ång biÕn trªn (0, +∞), nªn víi x≠y th×
)()( yfxf ≠ . Do ®ã
==
⇔nv
mu)2( . Thay vµo (*) ta cã:
∈==
≠=
=−
=≠
=−
≠≠
=+
=−
⇔
=
=−
−
Ryx
n
m
nm
yx
nm
yx
nm
yx
yx
nn
mmyx
yx
,
1
1
1,1
16
1,1
14
1,1
16
14
6
4
hoÆchoÆchoÆc
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 21
∈==
≠==−
=≠=−
≠≠==
⇔ryx
n
m
nm
yx
nm
yx
nm
y
x
,
1
1
1,1
6
1,1
4
1,1
1
5
hoÆchoÆchoÆc
KÕt luËn: XÐt víi m, n > 0
+ Víi m = n = 1: Mäi x, y ∈ R lµ nghiÖm cña hÖ.
+ Víi m = 1, n ≠ 1: Mäi (x, y) tho¶ m·n x − y = 6 lµ nghiÖm cña hÖ.
+ Víi m ≠ 1, n = 1: Mäi (x, y) tho¶ m·n x − y = 4 lµ nghiÖm cña hÖ.
+ Víi 0 < m, n ≠ 1: HÖ cã nghiªm duy nhÊt (5,1).
40. Bµi 40. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
)1(221
112122
1
+−=−
++−−=++
+
my
myyxx
x
a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi m = 0.
b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiªm.
c) T×m m ®Ó hÖ coa nghiªm duy nhÊt.
Gi¶i.
§Æt: 0,2,1
2 1
≥≥
−== +
vuyv
u x
(*), thay vµo (1) ta cã:
−++−−=−+−=⇔
+−=
+−=
)())((
2
2
2
vuvuvuvu
mvvu
muuv
mvvu
−=+−=
=+−=
⇔
=+−+−=⇔
(*))(
)2(
0))(( 2
2
2
t/mnghiÖmcãkh«ngvu
mvvu
vu
mvvu
vuvu
mvvu
a) Víi m = 0, (2) trë thµnh:
====
⇔
=−=
⇔
−=
=
2
)(0
0)2(2 vu
vu
uu
vu
vvu
vu lo¹i
Thay u = v = 2 vµo (*) ta cã:
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 22
==
⇔
==
≥≥⇔
=−=
≥≥⇔
=−=+
5
1
5
1
1,0
41
1
1,0
21
22 1
y
x
y
x
yx
y
x
yx
y
x
b)
=+−=
=⇔
=+−
=⇔
)3(02)()2(
22 mvvvf
vu
vmvv
vu
HÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm v ≥ 2
0)(
212
0)2(
0'∆
0)2(
≤⇔
>=−>
≥
≤
mVN
a
b
f
f
VËy víi m ≤ 0 th× hÖ cã nghiÖm.
c)
=+−=
=⇔
=+−
=⇔
)4(02)()2(
22 mvvvf
vu
vmvv
vu
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi (3) chØ cã 1 nghiÖm v ≥ 2
0
0)2(
212
0)2(
≤⇔
<
≤=−=
m
fa
b
f
VËy víi m ≤ 0 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
41. Bµi 41. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
)1(4.242
4.2.2)42(
242
42 2
2
22
=++
=−+⇔
=++
=++ m
m
m
myxyx
yxyx
yxyx
yx
a) Gi¶i hÖ víi m = 1.
b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm.
Gi¶i.
§Æt: 0,,4.2
42>
=
+=uu
v
uyx
yx
(*).Thay vµo (1) ta cã:
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 23
+−=−=+−⇔
+−=−=⇔
=+=−+
mvu
mmmvv
mvu
mmuv
mvu
muvvu 222 )(222)(
+−==−+−=⇔
mvu
mmmvvvf )2(022)( 22
a) Víi m = 1 ta cã:
)(0
1
1
1
)(0
1
022 2
lo¹i
lo¹i
==
⇔
+−=
==
⇔
+−==−
u
v
vu
v
v
vu
vv
VËy víi m = 1, hÖ v« nghiÖm.
b) NhËn xÐt: Víi m ≤ 0, ph−¬ng tr×nh thø hai cña (1) v« nghiÖm nªn hÖ v«
nghiÖm. Ta xÐt víi m > 0. Khi ®ã hÖ (1) cã nghiªm khi vµ chØ khi ph−¬ng
tr×nh (2) cã nghiªm v tho¶ m·n 0 < v < m
)(
2/1
0
0
2/1
0
0)(2
0)(
2
1
20
0)(
0)0(
0'∆
0)().0(
2
2
2
22
22
vn
m
mm
mm
m
mm
mmm
mm
ma
b
mf
f
mff
>>−
<−
⇔
>>−
>−−
<−
⇔
<=−<
>>
><
⇔
VËy kh«ng cã gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm.
42. Bµi 42. Gi¶i vµ biªn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
)1(3lg2lg)6(
1lglg4
+=++−−=−
myxm
mymx
Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p ®Þnh thøc.
43. Bµi 43.T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:
)1(lglg
1lglg
lg
1lglg 22
=−=+⇔
=
=+
myx
x
my
x
x yy
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
§Æt:
==
yv
xu
lg
lg, thay vµo (1) ta cã:
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 24
+−==−+−⇔
+−==++−⇔
=−=+
mvu
mvv
mvu
vmv
mvu
vu )2(01221)(1 222222
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (2) cã nghiªm duy nhÊt
220240)1(20'∆ 222 ±−=⇔=−+−⇔=−−⇔=⇔ mmmmm
Bµi 43.T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
)1(lnlnln
lnlnln
ln)ln(
ln)ln(2
2
2
2
+=+
+=+⇔
+=
+=
myyx
mxyx
myxy
mxxy
§iÒu kiÖn: x, y > 0
§Æt:
==
yv
xu
lg
lg, thay vµo (1) ta cã:
−=
−=
=+−
=
⇔
−==
+=+⇔
+=+
+=+
)()3(
)()2(02
2
22
2
2
II
I
mu
vu
muu
vu
vu
vu
muvu
mvvu
muvu
HÖ (1) cã nghiªm khi vµ chØ khi
⇔
nghiÖmcã)(
nghiÖmcã(2)
nghiÖmcã)(I
nghiÖmcã)(
3i
i
10
1
0
01
0
0'∆ )2( ≤⇔
≤≤
⇔
≤≥−
⇔
≤
≥⇔ m
m
m
m
m
m
44. Bµi 44.T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã 2 nghiÖm:
)1()(
1)(log
2
22)(2
=+
=++
myx
yxyx
§iÒu kiÖn:
>+
≠+<
0
2/1022 yx
yx
)2()(
0)(22)(
)(
)(2)1(
2
2
2
22
=+
=+−−+⇔
=+
+=+⇔
myx
yxxyyx
myx
yxyx
+ Víi m ≤ 0, (2) v« nghiÖm, suy ra (1) v« nghiÖm. + Víi m > 0:
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 25
)3(2
2)2(
=+
−=⇔
myx
mmxy
(1) cã nghiªm khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm
9
16
0
043
0
24
0
2)( 2
>⇔
>≥−
⇔
>−≥
⇔
>≥+⇔ m
m
mm
m
mmm
m
xyyx
C. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p hµm sè.
Ph−¬ng ph¸p:
B−íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa.
B−íc 2: Rót ra tõ hÖ mét ph−¬ng tr×nh d¹ng f(x) = f(y).
B−íc 3: Sö dông ph−¬ng ph¸p hµm sè: NÕu f(x) lµ hµm sè lu«n ®ång biÕn hoÆc nghÞch biÕn th× tõ ph−¬ng tr×nh f(x) = f(y) ta cã x = y.
B−íc 4: Sö dông kÕt qu¶ trªn ®Ó gi¶i hÖ. Bµi tËp: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
45. Bµi 45.
)()2(3232
322
2222
322
322
322I
yx
yx
yxyx
yx
xy
yxyx
x
yx
x
y
x
+=+
+=+⇔
+−=−+−
+=+⇔
+=+
+=+
XÐt hµm sè: xxf x 32)( += lµ hµm sè ®ång biÕn trªn R, nªn tõ ph−¬ng
tr×nh (2) ta cã: f(x) = f(y) ⇔ x = y. Khi ®ã hÖ (I) trë thµnh:
)()3(32322
322II
+−=
=⇔
+=+
=⇔
=+=+
x
yx
xx
yx
yx
yxxx
x
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (3): NhËn xÐt: + x = 1 lµ nghiªm cña (3).
+ Víi x > 1: VT(3) > 2, TP(3) < 2 nªn ph−¬ng tr×nh (3) kh«ng cã
nghiÖm x > 1.
+ Víi x < 1: VT(3) < 2, TP(3) > 2 nªn ph−¬ng tr×nh (3) kh«ng cã
nghiÖm x < 1.
VËy ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm duy nhÊt x = 1, do ®ã tõ hÖ ph−¬ng tr×nh (II) ta cã (1, 1) lµ nghiªm cña hÖ (1).
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 26
46. Bµi 46.
=++
+=+⇔
=++
−=−
)2(12
)1(33
12
332222 yxyx
yx
yxyx
xy yxyx
XÐt hµm sè: xxf x +=3)( lµ hµm sè ®ång biÕn trªn R, nªn tõ ph−¬ng tr×nh
(1) ta cã: f(x) = f(y) ⇔ x = y. Khi ®ã hÖ (1) vµ (2) trë thµnh:
±==
⇔
=
=⇔
=++
=
212312 222 x
yx
x
yx
yxyx
yx
VËy nghiªm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ (2, 2) vµ −2, −2).
47. Bµi 47.
+=+
=⇔
=
=
)2(2222
)1(22
22
22
yx
y
x
yyx
x
y
x
XÐt hµm sè xxf x 22)( += lµ hµm sè ®ång biÕn trªn R, nªn tõ (2) ta cã:
yxyfxf =⇔= )()( . KÕt hîp víi (1) ta cã hÖ:
==
=⇔
=−
=⇔
=
=
2
102222
x
x
yx
x
yx
y
yxxx
( do hµm sè
xxf x 22)( −= lµ hµm låi, nªn ph−¬ng tr×nh: 022 =− xx cã ®óng hai
nghiÖm.
D. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ.
Ph−¬ng ph¸p:
¸p dông co c¸c bµi to¸n:
1. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
2. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña mét tham sè.
C¸c b−íc:
B−íc 1. §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa.
B−íc 2. T×m ®iÒu kiÖn cÇn cho hÖ dõa vµo tÝnh ®èi xøng hoÆc ®¸nh gi¸.
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 27
B−íc 3. KiÓm tra ®iÒu kiªn ®ñ.
Bµi tËp.
48. Bµi 48. T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt.
)1()1(22
22
=+
+−=−
myx
mxyyx
NhËn xÐt: NÕu x0 lµ nghiÖm cña hÖ th× − x0 còng µ nghiÖm cña hÖ. Do ®ã ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt th× x0 = − x0 ⇔ x0 = 0. Víi x = 0, thay vµo hÖ ta cã:
)(0
0)2(212
biÕn nghÞch VT(2)biÕn,d«ng VP(2)do
==
⇔
=
=−m
y
my
yy
Víi m = 0 thay vµo (1) ta cã:
=+
+=+⇔
=
−=−
)4(0
)3(222222 yx
yx
xy
xy yxyx
XÐt hµm sè: ttf t += 2)( lµ hµm sè ®ång biÕn trªn R. Nªn tõ (3) ta cã:
yxyfxf =⇔= )()( , kÕt hîp (4) ta cã:
002
==⇔
=+
=yx
yx
yx.
VËy víi m = 0 hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
49. Bµi 49. T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt:
)1(1
222
2
=+
++=+
yx
mxyxx
NhËn xÐt: NÕu x0 lµ nghiÖm cña hÖ th× − x0 còng µ nghiÖm cña hÖ. Do ®ã ®Ó
hÖ cã nghiÖm duy nhÊt th× x0 = − x0 ⇔ x0 = 0. Víi x = 0, thay vµo hÖ ta cã:
−==
==
⇔
=
+=
1
2
1
0
1
12
y
m
y
m
y
my
Víi m = 0 thay vµo (1) ta cã:
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com 28
=+
+=+
)3(1
)2(222
2
yx
xyxx
Tõ (3) ta cã: 22
21211
10xyx
y
xx
y
x x
x+≥+⇒
≥≥
≥⇒
≤≤−≤≤
. Do ®ã:
==
⇔
==
=⇔
1
0
12)2(
2
y
x
y
xxx
, tho¶ m·n (3), suy ra m = 0 tho¶ m·n.
Víi m = 2 thay vµo (1) ta cã:
=+
++=+
1
2222
2
yx
xyxx