copy of provera slaganja sa poasonovom raspodelom

Univerzitet u BeograduSaobraćajni fakultetOdsek za logistiku

Predmet:INDUSTRIJSKI TRANSPORT 1

SEMINARSKI RAD

SNIMANJE I ANALIZA SLUČAJNOG DOGAĐAJA

Profesor:Prof. dr Momčilo Miljuš, dipl. inž.

Asistent:Svetlana Dabić, dipl. inž.

Student:Jović ZlataLO 080050

Beograd, 2011.

2

Industrijski transport 1

Snimanje i analiza slučajnog događaja

SADRŽAJ

1.UVOD......................................................................................................................................3

2.RAZRADA TEME..................................................................................................................4

2.1.Provera slaganja sa Poasonovom raspodelom...............................................................4

2.2.Provera slaganja sa normalnom raspodelom..................................................................6

2.3.Provera slaganja sa eksponencijalnom raspodelom.......................................................8

3.ZAKLJUČAK........................................................................................................................11

5.LITERATURA.......................................................................................................................12

Jović Zlata lo 080050 Saobraćajni fakultet, odsek za logistiku

3



1.UVOD

Tema ovog rada je analiza slučajnog događaja. Događajem se naziva realizacija određenog eksperimenta, a za događaj se može reći da je slučajan kada se, kao rezultat nekog eksperimenta ili posmatranja, njegova realizacija ne može pouzdano predvideti [1]. Takođe je potrebno da na realizaciju nekog događja ne utiču neki faktori koji bi mogli dovesti do toga da on ne bude slučajan.

U ovom radu je izvršena analiza događaja nailazaka motornih vozila kroz Bulevar oslobođenja pored broja 301, 17.05.2011. godine u intervalu od 17h do 17:15h. Posmatrana je desna traka u smeru od grada prema trošarini. Obradom prikupljenih podataka utvrđene su verovatnoće realizacije događaja, empirijske i teorijske frekvencije.

Za događaj se smatra da je slučajan, a kako bi se utvrdila njegova slučajnost, izvršena je provera slaganja sa poasonovom raspodelom verovatnoća. Pored toga izvršena je provera slaganja sa normalnom i eksponencijalnom raspodelom verovatnoća. Za utvrđivanje slaganja korišćen je χ2 test pomoću koga se ispituje nezavisnost dva statistička obeležja, kao i homogenost populacija.

χ2=∑i=1

r ( fti− fi )2

fti

gde su fi eksperimentalne, a fti teorijske frekvencije.

Za svaku raspodelu dat je grafički prikaz empirijskih i teorijskih frekvencija i određen je broj događaja koji se realizuje sa verovatnoćom od 95%.


4


Snimanje i analiza slučajnog događaja 2.RAZRADA TEME

2.1.Provera slaganja sa Poasonovom raspodelom

Vremenski interval u kojem je izvršeno snimanje događaja podeljen je na intervale od 10 sekundi i u svakom intervalu je posmatran broj realizacija događaja. U tabeli 1 prikazane su klase događaja određene prema broju pojavljivanja događaja u pomenutim intervalima.

Tabela 1: provera slaganja sa poasonovom raspodelom

Xi (br. Događaja u jedinici vremena)

Fi (empirijska frekvencija)

Xi*Fi

Pi

verovatnoća

Fti=N*Pi (teorijska frekvencija)

(Fti-Fi)*(Fti-Fi)/Fti

0 19 0 0,225623209

20,30608879

0,084007705

1 33 33 0,335927889

30,23350998

0,253145171

2 21 42 0,25007965 22,50716854

0,100925934

3 11 33 0,124113604

11,17022439

0,00259407

4 4 16 0,046197842

4,157805743

0,005989374

5 2 10 0,013756691

1,238102155

0,468853337

suma 90 134 0,995698884

89,61289959

0,915515591

mi 1,488889

Na osnovu podataka u tabeli dobijeno je poklapanje sa poasonovom raspodelom. U skladu sa definisanim intervalom od 10 s, formirano je 6 klasa i definisane su empirijske frekvencije pojavljivanja događaja. Na osnovu ovih podatka dobijen je proizvod xi * fi, pa je na osnovu sumiranih vrednosti ovog proizvoda i frekvencija pojavljivanja događaja, izračunata vrednost matematičkog očekivanja prema formuli:

μ=∑ x i∗f i

∑ f i .


5


Snimanje i analiza slučajnog događajaNa osnovu izračunatog matematičkog očekivanja i na osnovu podataka o frekvenciji izračunate su verovatnoće pojavljivanja određenog broja događaja u intervalu od 10 s, po poasonovoj raspodeli. Na osnovu izračuntih verovatnoća određene su teorijske frekvencije pojavljivanja događaja. Na grafiku 1 dat je grafički prikaz empirijskih i teorijskih frekvencija za definisane vremenske intervale od 20 s.

grafik 1: grafički prikaz empirijske i teorijske frekvencije za poasonovu aspodelu

Primenom χ2 testa dobijaju se određene vrednosti koje predstavljaju stepen zavisnosti teorijske i empirijske frekvencije, odnosno sumiranjem tih vrednosti utvrđuje se da li je postignuta saglasnost sa Poasonovom raspodelom na taj način što se dobijena suma upoređuje sa određenom vrednošću za χ2 test u tabeli. Na osnovu dobijenog broja klasa utvrđuje se broj stepeni slobode kao k = r-l-1 gde je r- broj klasa (u ovom slučaju 6), l- broj ocenjenih parametara (1). Broj stepeni slobode je k = 6-1-1=4. Za određeni broj stepeni slobode pročitana je vrednost iz tabele za χ2 test i dobijena vrednost 9,488 uz rizik od 5 % (= 0,05). Upoređivanjem ove vrednosti sa dobijenom sumom za χ2 test koja iznosi 0,915515591, dolazi se do zaključka da je, s obzirom da je 0,915515591 < 9,488 , dobijeno slaganje sa Poasonovom raspodelom.

Odsecanjem grafika u tački koja predstavlja desnu granicu 95% površine ispod krive, u preseku sa x- osom (koja predstavlja broj realizovanih događaja u jedinici vremena), dobijen je broj događaja koji će se realizovati sa verovatnoćom od 95% (grafik 2), odnosno broj 3.


0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30

35

dijagram za poasonovu raspodele

empirijske frekvencijeteorijske frekvencije

broj događaja u jedinici vremena

broj

real

izac

ija d

ogađ

aja

6



Grafik 2: broj događaja koji će se realizovati sa verovatnoćom od 95%

2.2.Provera slaganja sa normalnom raspodelom

Provera slaganja sa normalnom raspodelom izvršena je tako što je najpre celokupni vremenski period u kom je izvršeno snimanje događaja podeljen na vremenske intervale u trajanju od 20 s, a potom su formirane klase u koje su svrstani intervali u zavisnosti od toga koliko je realizacija događaja bilo u njima. Formirano je 4 klase za koje su podaci prikazani u tabeli 2.

Tabela 2: provera slaganja sa normalnom raspodelom

leva granica

desna granica

fi (empirijska frekvencija)

Xi (sredina klase)

fi*xi standardno odstupanje

Pi (verovatnoća)

fti=N*Pi (Fti-Fi)*(Fti-Fi)/Fti

0 2 19 1 19 51,37975309 0,29358222 13,2112 2,536499904

2 4 16 3 48 2,022716049 0,79452554 35,75365 10,91375771

4 6 9 5 45 49,93777778 0,97909184 44,05913 27,89757132

6 8 1 7 7 18,9708642 0,99941985 44,97389 42,99612824

45 119 122,3111111 84,34395718

mi 2,644444

sigma 1,648643

U ovom slučaju vrednosti xi predstavljaju sredine klasa. Na osnovu prikazanih podataka dobijene su vrednosti za matematičko očekivanje i standardno odstupanje:

μ=∑ xi∗f i

∑ f i =2,80488 , σ = (1/ΣFi ∙ Σ(Xi-μ)² ∙ Fi)½ = 1,64123


7


Snimanje i analiza slučajnog događajaNa osnovu matematičkog očekivanja i standardnog odstupanja izračunate su verovatnoće pojavljivanja određenog broja događaja u intervalu od 20 s. Dalje su na osnovu verovatnoća izračunate teorijske frekvencije pojavljivanja određenog broja događaja u intervalima od 20 s. Na grafiku 3 dat je grafički prikaz empirijskih i teorijskih frekvencija za definisane vremenske intervale od 20

1 3 5 70

102030405060

dijagram za normalnu raspodelu

empirijske frekvencijeteorijske frekvencije

sredine klasa

frek

venc

ije

Grafik 3: empirijske I teorijske frekvencije kod normalne raspodele

Primenom χ2 testa utvrđuje se stepen međusobne zavisnosti teorijske i empirijske frekvencije, i sumiranjem tih vrednosti dobija se vrednost koja se upoređuje sa vrednošću u tabeli za određeni stepen slobode i za određeni rizik. Za razliku od provere slaganja sa Poasonovom raspodelom gde je broj parametara koji se ocenjuju bio 1, kod provere slaganja sa normalnom raspodelom broj ocenjenih parametara je dva, i to su i . Broj stepeni slobode za koji će se tražiti vrednost χ2 u tabeli je k = 4-2-1=1. Vrednost χ2 za jedan stepen slobode uz rizik od 5% ( = 0,05) je 3,841. Vrednost sume za χ2 koja je dobijena u tabeli 2. je 72,0015837, što je veće od 3,841,

odnosno ne važi χ2≤ χ

α 2 ( 4−2−1 ) , što znači da nije dobijeno slaganje sa normalnom raspodelom.

Odsecanjem grafika u tački koja predstavlja desnu granicu 95% površine ispod krive, u preseku sa x- osom (koja predstavlja sredine klasa), dobijen je broj događaja koji će se realizovati sa verovatnoćom od 95% (grafik 4). Na osnovu proračuna dobijeno je da je to broj 5,35 odnosno broj 5.

P(x<x*)=0,5+Ф((x* - )/ )

Ф((x* - )/ )=0,95-0,5=0,45=Ф(а)

(x* - )/ =а=1,64

(x*-2,64)/1,65=1,64

x*=5,35


8



Grafik 4: broj događaja koji se realizuje sa verovatnoćom od 95%

2.3.Provera slaganja sa eksponencijalnom raspodelom

U ovom delu rada će biti izvršena provera slaganja sa eksponencijalnom raspodelom, tj. klase će se formirati na osnovu vremenskog perioda između dve uzastopne realizacije događaja. Na osnovu formiranih klasa, određuju se frekvencije vremena između pojavljivanja dva uzastopna događaja i ovi podaci su prikazani u tabeli 3. Kod provere slaganja sa eksponencijalnom raspodelom, kao i kod provere slaganja sa normalnom raspodelom, vrednosti xi označavaju sredine klasa u koje su smeštene vrednosti, odnosno vremena između dve uzastopne realizacije događaja (dva uzastopna nailaska vozila). Na osnovu vrednosti xi i fi

izračunt je proizvod xi * fi koji će se koristiti za određivanje matematičkog očekivanja.

Tabela 3:provera slaganja sa eksponencijalnom raspodelom

leva granica klase

desna granica klase

Sredina klase

Xi

Empirijska frekvencija

Fi

Xi*Fi Verovatnoća Pi

Teorijska frekvencija Fti=N*Pi

(Fi-Fti)*(Fi-Fti)/Fti

0 10 5 112 560 0,755222932 100,44465 1,329350206

10 20 15 15 225 0,184861255 24,5865469

3,737893023

20 30 25 5 125 0,045249796 6,01822288

0,172273088

30 40 35 1 35 0,011076112 1,47312295

0,151952917

133 945 5,391469234


9



mi 7,105263158

lambda 0,140740741

disperzija 50,48476454

Izračunate su vrednosti matematičkog očekivanja, parametra i disperzije na sledeći način:

μ=∑ x i∗f i

∑ f i =7,105263158 , =1/ =0,140740741 , D=1/2=50,48476454

Na osnovu tih vrednosti dobijene su verovatnoće realizacije događaja po eksponencijalnoj raspodeli, na osnovu kojih su izračunate teorijske frekvencije vremena između pojavljivanja dva uzastopna događaja, odnosno dva uzastopna nailaska vozila. Na grafiku 5 dat je grafički prikaz empirijskih i teorijskih frekvencija vremena između dva uzastopna nailaska vozila.

5 15 25 350

20

40

60

80

100

120

Dijagram za eksponencijalnu raspodelu

Empirijska frekvencija Fi Teorijska frekvencija Fti=N*Pi

sredine klasa

frek

venc

ije

Grafik 5:empirijska i teorijska frekvencija kod eksponencijalne raspodele

Pprimenom χ2 testa utvrđuje se stepen međusobne zavisnosti teorijske i empirijske frekvencije, i sumiranjem tih vrednosti dobija se vrednost koja se upoređuje sa vrednošću u tabeli za određeni stepen slobode i za određeni rizik. Broj parametara koji se ocenjuje je jedan, odnosno l = 1. To znači da je broj stepeni slobode za koji će se tražiti vrednost χ2 u tabeli biti 6-1-1=4. Vrednost χ2 za četri stepena slobode i uz rizik od 5% je 9,488. Vrednost sume za χ2 koja je dobijena u tabeli 3 je 4.53383137, što je manje od 9,488, odnosno χ2≤ χ

α 2 ( 6−l−1 ) , što znači da je dobijeno slaganje sa eksponencijalnom raspodelom.

Odsecanjem grafika u tački koja predstavlja desnu granicu 95% površine ispod krive, u preseku sa x- osom (koja predstavlja sredine klasa), dobijen je broj događaja koji će se realizovati sa verovatnoćom od 95% (grafik 6). Na osnovu proračuna dobijeno je da je to broj 21,4 odnosno broj 21.


10


Snimanje i analiza slučajnog događaja P(x*)=F(x*)=1-e-x*=0,95 e-x*=0,05 - x*=ln0,05

-0,14x*= -2,996

X*=21,4

Grafik 6: broj događaja koji će se realizovati sa verovatnoćom od 0,95


11



3.ZAKLJUČAK

Kao što je već pomenuto, u ovom radu je analiziran događaj nailazaka motornih vozila kroz Bulevar oslobođenja pored broja 301, 17.05.2011. godine u intervalu od 17h do 17:15h. Ispitano je da li je događaj slučajan, odnosno primenom χ2 testa nezavisnosti utvrđeno je poklapanje sa poasonovom raspodelom, što znači da je događaj slučajan, odnosno da se njegova realizacija ne može pouzdano predvideti i da na realizaciju tog događaja ne utiču neki drugi faktori. Testiranjem je takođe utvrđena nesaglasnost sa normalnom i saglasnost sa eksponencijalnom raspodelom.


12



4.LITERATURA

[1] Svetozar Vukadinović, Jovan Popović, Matematička statistika, Beograd, 2004[2] Momčilo Miljuš, Materijal sa predavanja iz predmeta „Industrijski transport I“, Beograd, 2011[3 ]Svetlana Dabić, Materijal sa vežbi iz predmeta „Industrijski transport I“, Beograd, 2011


copy of provera slaganja sa poasonovom raspodelom

Documents