corrección examen final, ecuaciones diferenciales, semestre i 2007

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Examen Final de Calculo III 1, 2, 3, 4 16 de julio de 2007

Tabla de Respuestas

1. (25 puntos) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construccion de un camino.A 400 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarseen su movilidad.Respuesta:

I(0; 5t) J(x; y)

En el instante t el ingeniero se encuen-tra en el punto I = (0, 5t) y el jaguarse encuentra en el punto J = (x, y), verfigura. Como el jaguar persigue al inge-niero con la vista, la velocidad es coli-neal y tiene el mismo sentido que −→JI,de donde (

xy

)=

10−→JI

−→JI.

Por consiguiente (xy

)=

10√x2 + (5t− y)2

(−x

5t− y

).

Utilizando el hecho que y′ = y/x, se tiene

y′ =y − 5t

x, xy′ = y − 5t;

derivando otra vez, y sabiendo que t′ = 1/x, se obtiene

xy′′ = −5t′ = 5

√x2 − (y − 5t)2

10x=

√x2 + x2y′2

2x.

Como x ≥ 0 se tiene xy′′ =√

1+y′2

2 .Debemos resolver una ecuacion diferencial de segundo orden, reducimos el orden planteando z = y′,obteniendo

z′√1 + z2

=12x⇒ ln(z +

√1 + z2) = ln(Cz1/2) ⇒ z +

√1 + z2 = Cz1/2.

Determinemos C, por las caracterısticas del problema, ver figura, y′(400) = z(400) = 0, de dondeC = 1/20. Despejemos z,

(1 + z2) = (x1/2/20− z)2 ⇒ y′ = z =12

(x1/2

20− 20x−1/2

)Integramos y obtemos

y =160

x3/2 − 20x1/2 + D.

D determinamos utilizando la condicion, ver figura, y(400) = 0, de donde D = 800/3.El ingeniero deberıa recorrer 800/3 m antes de ser atrapado, esto obtenemos calculando y(0). Ahorabien, el jaguar corre dos veces mas rapido que el ingeniero, por que debe recorrer el doble de recorridoen el mismo lapso de tiempo; es decir, 1600/3 m .

2. (25 puntos) Hallar x(ln 4) sabiendo que x e y son soluciones del problema a valor inicial:

x = −2y,

y = x + 3y,

x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:El sistema diferencial es lineal, homogeneo de talla 2. Escribimos bajo la forma matricial

˙(yx

)=

(3 1−2 0

) (yx

).

Hallamos los valores propios de la matriz asociada al sistema∣∣∣∣ λ− 3 −12λ

∣∣∣∣ = λ2 − 3λ + 2 = (λ− 2)(λ− 1).

˙(y0x

)=

(3 1−2 0

) (yx

).

Hallamos los valores propios de la matriz asociada al sistema∣∣∣∣ λ− 3 −12λ

∣∣∣∣ = λ2 − 3λ + 2 = (λ− 2)(λ− 1).

Por consiguiente los valores propios λ = 2 y λ = 1 contribuyen a la solucion con e2t y et.Planteamos para la solucion general

y = c11e2t + c12e

t,

x = c21e2t + c22e

t.

Determinemos los valores de las constantes cij , remplazando primero en las condiciones iniciales

c11 + c12 = 0c21 + c22 = 1

}⇒ c12 = −c11 = −c1

c21 = 1− c22 = 1− c2

Ahora remplazamos en la segunda ecuacion

2(1− c2)e2t + c2et = −2c1e

2t + 2c1et ⇒

{−2c1 + 2c2 = 2c2 = 2c1

⇒{

c1 = 1c2 = 2

Por lo tantox(t) = −e2t + 2et ⇒ x(ln 4) = −e2 ln 4 + 2eln 4 = −16 + 8 = −8.

La solucion es

x(ln 4) = −8

3. (25 puntos) Determine la solucion del problema

yy′′ = y2y′ + (y′)2; y(0) = −12, y′(0) = 1.

Respuesta:La ecuacion diferencial del problema es una ecuacion de segundo orden, en la que no aparece de maneraexplıcita la variable independiente “x”; en consecuencia planteamos u(y) = y′ de donde y′′ = u, con

2

u = du/dy.Se tiene

yuu = y2u + u2 ⇒ yu = y2 + u ⇒ u =1yu + y,

ecuacion lineal no homogenea, cuya solucion general es

u = Cy + y2,

obtenida a partir de la solucion general de la ecuacion lineal homogenea asociada y la solucion particularal tanteo.Las condiciones iniciales, se traduce en u(−1/2) = 1, por lo tanto C = −3/4. Tenemos

y′ = −34y + y2 = y(y − 3

2),

separando las variables, aplicando fracciones parciales e integrando, se obtiene

y′

y(y − 32 )

= 1 ⇒ 23

y′

y − 3/2− 2

3y′

y= 1 ⇒ ln((y − 3/2)2/3)− ln(y2/3) = x + D ⇒ 2y − 3

y= De3x/2.

El valor y(0) = −1/2 da D = 8, de donde la solucion es

2y − 3 = 8ye3x/2.

4. (25 puntos) Resolviendo, halle la solucion general de la ecuacion

x2y′′ − xy′ + y = x2.

Aproveche el hecho que y = x es una solucion no nula de la ecuacion lineal homogenea asociada.Respuesta:Para encontrar una solucion linealmente independiente con la solucion y = x, planteamos y = c(x)x.Derivamos e introducimos en la ecuacion diferencial, obteniendo:

y′ = c + c′x,

y′′ = 2c′ + c′′x,

x2(2c′ + c′′x)− x(c + c′x) + cx = 0,

x3c′′ + x2c′ = 0

De donde c′ es solucion de la ecuacion diferencial de primer orden

c′′ = − 1x

c′,

cuya solucon que nos interesa es c′ = e− ln x = 1/x, integrando se obtiene c = ln x, por lo tanto la otrasolucon linealmente independiente es y = x lnx.Para poder aplicar el metodo de variacion de constantes, escribimos la ecuacon diferencial, de maneraque el coeficiente que acompana y′′ sea 1, es decir

y′′ − 1x

y′ +x2

y= 1.

Planteamos como solucion particular y = c1(x)x + c2(x)x lnx, de donde obtenemos el sistema linealdada por la matriz wronskiana del sistema fundamental(

x x lnx1 lnx + 1

) (c′1c′2

)=

(01

).

3

Resolvemos el sistema lineal, obteniendo

c′1 = − lnxc′2 = 1,

⇒{

c1 = x− x lnx,c2 = x,

lo que da como solucion particular

y(x) = (x− x lnx)x + x(x lnx) = x2.

Utilizando el hecho que {x, x lnx} es un sistema fundamental de la ecuacion lineal homogenea asociaday conociendo la solucion particular encontrada, se tiene que la solucion general es

y = c1x + c2x lnx + x2.

4

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Examen Final de Calculo III 1 16 de julio de 2007

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. d

2. a

3. b

4. c


a) 8003 m, b) 500 m,

c) 400 m, d) 16003 m,

e) Ninguna de las anteriores.


x = −2y,

y = x + 3y,

x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:a) x(ln(4)) = −8, b) x(ln(4)) = 0,

c) x(ln(4)) = 4, d) x(ln(4)) = −4,



yy′′ = y2y′ + (y′)2; y(0) = −12, y′(0) = 1.

Respuesta:a) y = 1 o 3y + x3 = 3, b) 2y − 3 = 8ye3x/2,

c) y = − ln(2e−x − 1), d) x2 + ln y = yx,



x2y′′ − xy′ + y = x2.

Aproveche el hecho que y = x es una solucion no nula de la ecuacion lineal homogenea asociada.Respuesta:

a) y = c1ex + c2x + x2 lnx, b) y = c1 lnx + c2e

x + x lnx,

c) y = c1x + c2x lnx + x2,, d) y = c1x + c2x2 + x3,


2












Tabla de Respuestas

1. c

2. d

3. a

4. b


a) 500 m, b) 400 m,

c) 16003 m, d) 800

3 m,



x = −2y,

y = x + 3y,

x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:a) x(ln(4)) = 0, b) x(ln(4)) = 4,

c) x(ln(4)) = −4, d) x(ln(4)) = −8,



yy′′ = y2y′ + (y′)2; y(0) = −12, y′(0) = 1.

Respuesta:a) 2y − 3 = 8ye3x/2, b) y = − ln(2e−x − 1),

c) x2 + ln y = yx, d) y = 1 o 3y + x3 = 3,



x2y′′ − xy′ + y = x2.


a) y = c1 lnx + c2ex + x lnx, b) y = c1x + c2x lnx + x2,,

c) y = c1x + c2x2 + x3, d) y = c1e

x + c2x + x2 lnx,


2












Tabla de Respuestas

1. d

2. a

3. b

4. c


a) 8003 m, b) 500 m,

c) 400 m, d) 16003 m,



x = −2y,

y = x + 3y,

x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:a) x(ln(4)) = −8, b) x(ln(4)) = 0,

c) x(ln(4)) = 4, d) x(ln(4)) = −4,



yy′′ = y2y′ + (y′)2; y(0) = −12, y′(0) = 1.

Respuesta:a) y = 1 o 3y + x3 = 3, b) 2y − 3 = 8ye3x/2,

c) y = − ln(2e−x − 1), d) x2 + ln y = yx,



x2y′′ − xy′ + y = x2.


a) y = c1ex + c2x + x2 lnx, b) y = c1 lnx + c2e

x + x lnx,

c) y = c1x + c2x lnx + x2,, d) y = c1x + c2x2 + x3,


2












Tabla de Respuestas

1. a

2. b

3. c

4. d


a) 16003 m, b) 800

3 m,

c) 500 m, d) 400 m,



x = −2y,

y = x + 3y,

x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:a) x(ln(4)) = −4, b) x(ln(4)) = −8,

c) x(ln(4)) = 0, d) x(ln(4)) = 4,



yy′′ = y2y′ + (y′)2; y(0) = −12, y′(0) = 1.

Respuesta:a) x2 + ln y = yx, b) y = 1 o 3y + x3 = 3,

c) 2y − 3 = 8ye3x/2, d) y = − ln(2e−x − 1),



x2y′′ − xy′ + y = x2.


a) y = c1x + c2x2 + x3, b) y = c1e

x + c2x + x2 lnx,

c) y = c1 lnx + c2ex + x lnx, d) y = c1x + c2x lnx + x2,,


2

corrección examen final, ecuaciones diferenciales, semestre i 2007

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