corrección primer parcial, semestre i03, cálculo iii

8/14/2019 Correccin Primer Parcial, Semestre I03, Clculo III

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Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas

Correccion Primer Parcial de Calculo III 1, 2, 3, 4 14 de abril de 2003

Tabla de Respuestas

1.- (25 puntos)Determine el valor de y(1), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial

(x2 1)y 2xy + 2y = (x2 1)2,y(0) = 1,y(0) = 0.

Observe que y = x es una solucion no nula de la ecuacion lineal homogenea asociada.Respuesta:

De acuerdo a la observacion del enunciado, y = x es una solucion no nula de la ecuacion linealhomogenea

(x2 1)y 2xy + 2y = 0.

Para encontrar otra solucion linealmente independiente, planteamos y = c(x)x = cx, derivando yremplazando en la ecuacion, obtenemos

(x2 1)(cx + 2c) 2x(cx + c) + 2cx = 0 x(x2 1)c + (2x2 2x2 2)c = 0.,

de donde, planteando z = c, tenemos

z =2

x(x 1)(x + 1)z z = (

2

x+

1

x 1+

1

x + 1)z,

por lo tanto

z = e2 ln x+ln(x1)+ln(x+1) = elnx21

x2 = 1 1

x2.

Por consiguiente

c = x + 1x y = x2 + 1 SF = {x, x2 + 1}.

Para encontrar una solucion particular de la ecuacion diferencial del problema, utilizamos el metodode variacion de constantes, pero antes ponemos la ecuacion en su forma estandar.

y 2x

x2 1y +

2

x2 1y = (x2 1).

Para aplicar el metodo planteamos y = c1(x)x + c2(x)(x2 + 1) = c1x + c2(x

2 + 1), lo que nos lleva aresolver el sistema lineal siguiente

x x2 + 11 2x

c1c2

=

0

x2 1

.

Aplicando la regla de Cramer obtenemos

c1 =

0 x2 + 1

x2 1 2x

x x2 + 1

1 2x

=

x4 1

x2 1= x2 1 c1 = (

1

3x3 + x),

c2 =

x 01 x2 1

x2 1= x c2 =

1

2x.


2/22

Por lo tanto la solucion particular encontrada es

y = (1

3x3 + x)x +

1

2x2(x2 + 1) =

1

6x4

1

2x2,

y la solucion general esta dada por

y = c1x + c2(x

2

+ 1) +

1

6 x

4

1

2 x

2

.

Ahora determinemos la solucion del problema a valor inicial, remplazando se obtiene

y(0) = c2 = 1y(0) = c1 = 0

y(x) = x2 + 1 +

1

6x4

1

2x2 =

1

6x4 +

1

2x2 + 1

Por lo tanto y(1) = 106 =53 .

2.- (25 puntos)Hallar la solucion general de

xy = y + 2xex

y .

Respuesta:

Dividiendo por x la ecuacion diferencial se convierte en

y =y

x+ 2ex/xy ,

ecuacion de tipo homogeneo. Planteamos z = y/x, de donde la ecuacion se convierte en

xz + z = z + 2e1/z xz = 2e1/z e1/zz =2

x,

ecuacion separable, integramos para obtener

e1/zdz = ln(cx2),remarcamos que la integral dependiente de z no puede expresarse como composicion de funcioneselementales, de donde planteamos f(z) =

e1/zdz, de donde la solucion es

f(y

x) = ln(cx2)).


y =y xy2

x + x2y

Respuesta:Factorizemos el lado derecho de la ecuacion, se tiene

y =y(1 xy

x(1 + xy),

planteamos z = xy, de donde z = xy + y, remplazamos en la ecuacion diferencial

z y =y yz

1 + z z =

2y

1 + z=

2z

x(z + 1)

2


3/22

ecuacion de tipo separablez + 1

zz =

2

x ln z + z = ln(cx2)

de donde remplazando z = yx obtenemos

xy = ln(cx

y) x = cyexy.

4.- (25 puntos)Bosquejar las graficas de las soluciones de

y = y + x2

por el metodo de las isoclinas.

Respuesta:Para resolver este problema, graficamos la fa-milia de parabolas

y + x2 = m,

donde m representa la pendiente, ver primerafigura de la izquierda.Luego representamos las isoclinas con segmen-tos de pendiente m, ver ultima figura de laizquierda.Finalmente trazamos las soluciones.

3


4/22


Correccion Primer Parcial de Calculo III 1 14 de abril de 2003

Tabla de Respuestas

1.- d

2.- e

3.- e

4.- a


(x2 1)y 2xy + 2y = (x2 1)2,y(0) = 1,y(0) = 0.


a) y(1) = 1, b) y(1) = 0,c) y(1) = 23 , d) y(1) =

56

,e) Ninguna de las anteriores.


xy = y + 2xex

y .

Respuesta:

a) y = ln(ln(cx)), b) y = x ln(ln(cx2)),c) y = x ln(cx), d) y = ex ln y,e) Ninguna de las anteriores.


y =y xy2

x + x2y

Respuesta:

a) 2 + 5xy2 = cx5

2 , b) y = cxey

x ,

c) x = cyex

y , d) x = cexy2

,e) Ninguna de las anteriores.


5/22


y = y + x2


Respuesta:

a) b) c) d)

e) Ninguna de las anteriores.

2


6/22



Tabla de Respuestas

1.- c

2.- e

3.- e

4.- b


(x2 1)y 2xy + 2y = (x2 1)2,y(0) = 1,y(0) = 0.


a) y(1) = 0, b) y(1) = 23 ,c) y(1) = 56 , d) y(1) = 1,e) Ninguna de las anteriores.


xy = y + 2xex

y .

Respuesta:

a) y = x ln(ln(cx2)), b) y = x ln(cx),c) y = ex ln y, d) y = ln(ln(cx)),e) Ninguna de las anteriores.


y =y xy2

x + x2y

Respuesta:

a) x = cexy2

, b) 2 + 5xy2 = cx5

2 ,

c) y = cxey

x , d) x = cyex

y ,e) Ninguna de las anteriores.


7/22


y = y + x2


Respuesta:

a) b) c) d)


2


8/22



Tabla de Respuestas

1.- b

2.- e

3.- e

4.- c


(x2 1)y 2xy + 2y = (x2 1)2,y(0) = 1,y(0) = 0.


a) y(1) = 23 , b) y(1) =56

,c) y(1) = 0, d) y(1) = 23 ,e) Ninguna de las anteriores.


xy = y + 2xex

y .

Respuesta:

a) y = x ln(cx), b) y = ex ln y,c) y = ln(ln(cx)), d) y = x ln(ln(cx2)),e) Ninguna de las anteriores.


y =y xy2

x + x2y

Respuesta:

a) x = cyex

y , b) x = cexy2

,

c) 2 + 5xy2 = cx5

2 , d) y = cxey

x ,e) Ninguna de las anteriores.


9/22


y = y + x2


Respuesta:

a) b) c) d)


2


10/22


11/22


y = y + x2


Respuesta:

a) b) c) d)


2


12/22


Correccion Primer Parcial de Calculo III 5, 6, 7, 8 16 de abril de 2003

Tabla de Respuestas


(1 x)y + xy y = (x 1)2,y(0) = 1,y(0) = 1.


De acuerdo a la observacion del enunciado, y = x es una solucion no nula de la ecuacion linealhomogenea

(1 x)y + xy y = 0.

Para encontrar otra solucion linealmente independiente, planteamos y = c(x)x = cx, derivando y

remplazando en la ecuacion, obtenemos

(1 x)(cx + 2c) + x(cx + c) cx = 0 x(1 x)c + (2 2x + x2)c = 0.,

de donde, planteando z = c, tenemos

z =x2 2x + 2

x2 xz z = (1

x 2

x(x 1))z z = (1

2

x+

1

x 1)z

por lo tanto

z = ex2 lnx+ln(x1) = exx 1

x2=

ex

x

ex

x2= 1

1

x2.

Por consiguiente, integrando por partes c, obtenemos

c =

ex

xdx +

ex

x

ex

xdx =

ex

x y =

ex

xx SF = {x, ex}.

Para encontrar una solucion particular de la ecuacion diferencial del problema, utilizamos el metodode variacion de constantes, pero antes ponemos la ecuacion en su forma estandar.

y +x

1 xy

1

1 xy = (1 x).

Para aplicar el metodo planteamos y = c1(x)x + c2(x)ex = c1x + c2ex, lo que nos lleva a resolver elsistema lineal siguiente

x ex

1 ex

c1c2

=

0

1 x

.

Aplicando la regla de Cramer obtenemos

c1 =

0 ex

1 x ex

x ex

1 ex

=

(x 1)ex

(x 1)ex= 1 c1 = x,

c2 =

x 01 1 x

(x 1)ex= xex c2 = xe

x + ex


13/22


14/22

ecuacion lineal de primer orden no homogenea. La solucion general de la ecuacion lineal homogeneaasociada es

z = ce3 lnx =c

x

3.

La solucion particular de la ecuacion lineal, la obtenemos por variacion de constantes, planteamosz = c(x)/x3 o simplemente z = c/x3. Remplazamos en la ecuacion

c

x3

3c

x4 =

3

x

c

x3 + 3 cos x c

= 3x3

cos x.

c obtenemos de c integrando por partes

c = 3x3 sin x9

x2 sin x dx = 3x3 sin x+9x2 cos x18

x cos dx = 3x3 sin x+9x2 cos x18x sin x+18cos x,

por lo tanto la solucion particular es

z =c(x)

x3= 3 sin x +

9

xcos x

18

x2sin x +

18

x3cos x.

y la solucion general

z = 3 sin x +9

xcos x

18

x2sin x +

18

x3cos x +

c

x3,

y la solucion de la ecuacion de Bernouilli

y3 = 3 sin x + 9x

cos x 18x2

sin x + 18x3

cos x + cx3

.


y =1

2

x2 + y2 1


Respuesta:Para resolver este problema, graficamos la fa-milia de circunferencias

1

2x2 + y2 1 = m

donde m representa la pendiente, ver primerafigura de la izquierda.Luego representamos las isoclinas con segmen-tos de pendiente m, ver ultima figura de laizquierda.Finalmente trazamos las soluciones.

3


15/22


16/22


y =1

2

x2 + y2 1


Respuesta:

a) b) c) d)


2


17/22



Tabla de Respuestas

1.- a

2.- b

3.- c

4.- d


(1 x)y + xy y = (x 1)2,y(0) = 1,y(0) = 1.


a) y(1) = 3, b) y(1) = 0,c) y(1) = 53 , d) y(1) = 2,e) Ninguna de las anteriores.


y =2x + 3y 1

4(x + 1).

Respuesta:

a) (x + 1)(x + 2y 1)2 = c, b) (2x y + 3)4 = c(x + 1)3,c) (2x + 3y 1)2 = c(y + 1)3, d) (x + 2y)(x 1)4 = c,e) Ninguna de las anteriores.


xy2y

+ y3 = x cos x.

Respuesta:

a) y = 3 sin x 9x cos x +18x2 sin x

18x3 cos x +

cx3

, b) y = 3x cos x + 3x sin x x3,c) y3 = 3 sin x + 9x cos x

18x2 sin x

18x3 cos x +

cx3 , d) y = cx

2 + 3 sin x + 3x cos x + 18x2,e) Ninguna de las anteriores.


18/22


y =1

2

x2 + y2 1


Respuesta:

a) b) c) d)


2


19/22



Tabla de Respuestas

1.- c

2.- b

3.- d

4.- b


(1 x)y + xy y = (x 1)2,y(0) = 1,y(0) = 1.


a) y(1) = 53 , b) y(1) = 2,c) y(1) = 3, d) y(1) = 0,e) Ninguna de las anteriores.


y =2x + 3y 1

4(x + 1).

Respuesta:

a) (x + 1)(x + 2y 1)2 = c, b) (2x y + 3)4 = c(x + 1)3,c) (2x + 3y 1)2 = c(y + 1)3, d) (x + 2y)(x 1)4 = c,e) Ninguna de las anteriores.


xy2y

+ y3 = x cos x.

Respuesta:

a) y = cx2 + 3 sin x + 3x cos x + 18x2, b) y = 3 sin x 9x cos x +18x2 sin x

18x3 cos x +

cx3

,c) y = 3x cos x + 3x sin x x3, d) y3 = 3 sin x + 9x cos x

18x2 sin x

18x3 cos x +

cx3 ,



20/22


y =1

2

x2 + y2 1


Respuesta:

a) b) c) d)


2


21/22



Tabla de Respuestas

1.- b

2.- d

3.- a

4.- c


(1 x)y + xy y = (x 1)2,y(0) = 1,y(0) = 1.


a) y(1) = 2, b) y(1) = 3,c) y(1) = 0, d) y(1) = 53 ,e) Ninguna de las anteriores.


y =2x + 3y 1

4(x + 1).

Respuesta:

a) (2x + 3y 1)2 = c(y + 1)3, b) (x + 2y)(x 1)4 = c,c) (x + 1)(x + 2y 1)2 = c, d) (2x y + 3)4 = c(x + 1)3,e) Ninguna de las anteriores.


xy2y

+ y3 = x cos x.

Respuesta:

a) y3 = 3 sin x + 9x cos x 18x2 sin x

18x3 cos x +

cx3

, b) y = cx2 + 3 sin x + 3x cos x + 18x2,c) y = 3 sin x 9x cos x +

18x2 sin x

18x3 cos x +

cx3 , d) y = 3x cos x + 3x sin x x

3,e) Ninguna de las anteriores.


22/22


y =1

2

x2 + y2 1


Respuesta:

a) b) c) d)


corrección primer parcial, semestre i03, cálculo iii

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