corrección segundo parcial, semestre i05, cálculo iii

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Segundo Parcial de Calculo III 1, 2, 3, 4 22 de junio de 2005

Tabla de Respuestas

1. (25 puntos)Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El area limitada por la curvadesde el origen al punto (x, y) y el eje x es un tercio del area del rectangulo que tiene como verticesopuestos el origen y el punto (x, y). Los lados del rectangulo son paralelos a los ejes de coordenadas.Determinar la ecuacion de la curva.Respuesta:

��

�

�

��

Por el curso de Calculo I, dictado por el Ing. Oscar AntezanaMendoza, se tiene que el area de la figura limitada por la curva yel eje x, en la figura achurada con rojo, esta dada por

AF =∫ x

0

y(t) dt.

El area del rectangulo limitado cuyos vertices opuestos son el ori-gen y el punto (x, y) es AR = xy, (en “Tercero de Primaria”, seaprende que el area de un rectangulo es igual al producto de basepor la altura). Por consiguiente, se tiene

AF =13·AR,⇒

∫ x

0

y(t) dt = xy.

Derivando esta ultima expresion y por Calculo I, se obtiene la consiguiente ecuacion diferencial

y =13y +

13xy′ ⇒ 1

3xy′ =

23y ⇒ y′ =

2x

y,

ecuacion diferencial lineal homogenea de primer orden, cuya solucion es

y = ce2 ln x = cx2.

Por consiguiente la ecuacion de la curva es y = cx2.

2. (25 puntos)H allar la solucion general de la ecuacion

(2xy2 − y) dx + x dy = 0.

Respuesta:Veamos si la ecuacion admite primitiva, verifiquemos las condiciones de existencia

∂

∂y(2xy2 − y) = 4xy − 1,

∂x

∂x= 1.

Como no son iguales, la ecuacion no admite primitiva. Para resolver, podemos realizar manipulacionescon diferenciales

(2xy2 − y) dx + x dy = 0 ⇒ 2xy2 dx− (y dx− x dy) = 0 ⇒

2x dx− (y dx− x dy)y2

= 0 ⇒ d(x2)− d(x

y) = 0 ⇒ d(x2 − x

y) = 0

x2 − x

y= c ⇒ x2 + c =

x

y⇒ y =

x

x2 + c.

3. (25 puntos)H allar la solucion general del sistema diferencial{x = x + 2y + t− 1y = 3x + 2y − 5t− 2

Respuesta:Para cambiar la costumbre, esta vez resolveremos convirtiendo el sistema sistema diferencial en unaecuacion diferencial ordinaria con una sola funcion incognita. Derivamos la primera ecuacion, obtenemos

x− x− 2y = t− 1 (1)

Introducimos y de la segunda ecuacion del sistema a (1). Obtenemos

x− x− 2(3x + 2y − 5t− 2) = 1x− x− 6x− 2(2y) = −10t− 3. (2)

Despejamos (2y) de la primera ecuacion del sistema

2y = x− x− t + 1, (3)

introducimos a la ecuacion (2), lo que da

x− x− 6x− 2(x− x− t + 1) = −10t− 3,

x− 3x− 4x = −12t− 1. (4)

Ahora resolvamos la ecuacion (4). El polinomio caracterıstico esta dado por

p(λ) = λ2 − 3λ− 4 = (λ− 4)(λ + 1) ⇒ SF = {e4t, e−t}.

La solucion particular la realizamos por tanteo, planteando x = αt + β, de donde

−3α− 4αt− 4β = −12t− 1 ⇒ α = 3, β = −2 ⇒ x = 3t− 2.

Por consiguiente la solucion general de la ecuacion (4) es

x = c1e4t + c2e

−t + 3t− 2. (5)

Introducimos (5) a la ecuacion (3)

2y = (4c1e4t − c2e

−t + 3)− (c1e4t + c2e

−t + 3t− 2)− t− 1 = 3c1e4t − 2c2e

−t − 4t− 6

⇒ y =32c1e

4t − c1e−t − 2t− 3.

Para no tener fracciones en las soluciones remplazamos c1 por 2c1, de donde la solucion general delsistema es {

x = 2c1e4t + c2e

−t + 3t− 2,y = 3c1e

4t − c2e−t − 2t + 3.

4. (25 puntos)H allar y(ln 2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial{x = 3x + yy = −2x

, x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:El sistema diferencial escrito de manera matricial es(

xy

)=

(3 1−2 0

) (xy

),

2

calculamos los valores propios de la matriz asociada al sistema diferencial:∣∣∣∣ λ− 3 −12 λ

∣∣∣∣ = λ2 − 3λ + 2 = (λ− 1)(λ− 2).

Los valores propios encontrados son: λ1 = 1 y λ2 = 2, de donde la solucion buscada es de la forma

x = c11et + c12e

2t,

y = c21et + c22e

2t.

Determinemos los valores de las constantes, remplazando en la segunda ecuacion diferencial del sistema,se tiene

c21et + 2c22e

2t = −2c11et − 2c12e

2t ⇒ c21 = −2c11, c12 = −c22.

Planteando c11 = c1 y c22 = c2, la solucion general del sistema es

x = c1et − c2e

2t,

y = −2c1et + c2e

2t.

Ahora utilicemos las condiciones iniciales,

x(0) = c1 − c2 = 1y(0) = −2c1 + c2 = 0

}⇒ c1 = −1, c2 = −2 ⇒ y(t) = 2et − 2e2t.

De dondey(ln 2) = 2eln 2 − 2e2 ln 2 = 4− 8 = −4.

3

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Segundo Parcial de Calculo III 1 22 de junio de 2005

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. d

2. d

3. a

4. a

1. (25 puntos) Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El area limitada por la curvadesde el origen al punto (x, y) y el eje x es un tercio del area del rectangulo que tiene como verticesopuestos el origen y el punto (x, y). Los lados del rectangulo son paralelos a los ejes de coordenadas.Determinar la ecuacion de la curva.Respuesta:

a) y = cx, b) y2 = cx,

c) y2 = cx3, d) y = cx2,

e) Ninguna de las anteriores.

2. (25 puntos) H allar la solucion general de la ecuacion

(2xy2 − y) dx + x dy = 0.

Respuesta:

a) y = x(x2 + c), b) y =x2

x + c,

c) y =x + c

x2, d) y =

x

x2 + c,


3. (25 puntos) H allar la solucion general del sistema diferencial{x = x + 2y + t− 1y = 3x + 2y − 5t− 2

Respuesta:

a){

x = 2c1e4t + c2e

−t + 3t− 2y = 3c1e

4t − c2e−t − 2t + 3 , b)

{x = c1e

2t + 2c2e−t + 2

y = 3c1e2t − c2e

−t − 2t,

c){

x = 2c1e−t + c2e

4t − 2t + 3y = 3c1e

−t − c2e4t + 3t− 2 , d)

{x = c1 + c2e

t + t− 1y = 3c1 − c2e

t − 4t + 2 ,


4. (25 puntos) H allar y(ln 2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial{x = 3x + yy = −2x

, x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:a) y(ln 2) = −4, b) y(ln 2) = 6,

c) y(ln 2) = 0, d) y(ln 2) = 4,


2












Tabla de Respuestas

1. b

2. b

3. c

4. c


a) y2 = cx3, b) y = cx2,

c) y = cx, d) y2 = cx,



(2xy2 − y) dx + x dy = 0.

Respuesta:

a) y =x + c

x2, b) y =

x

x2 + c,

c) y = x(x2 + c), d) y =x2

x + c,



Respuesta:

a){

x = 2c1e−t + c2e

4t − 2t + 3y = 3c1e

−t − c2e4t + 3t− 2 , b)

{x = c1 + c2e

t + t− 1y = 3c1 − c2e

t − 4t + 2 ,

c){

x = 2c1e4t + c2e

−t + 3t− 2y = 3c1e

4t − c2e−t − 2t + 3 , d)

{x = c1e

2t + 2c2e−t + 2

y = 3c1e2t − c2e

−t − 2t,



, x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:a) y(ln 2) = 0, b) y(ln 2) = 4,

c) y(ln 2) = −4, d) y(ln 2) = 6,


2












Tabla de Respuestas

1. c

2. c

3. b

4. b


a) y2 = cx, b) y2 = cx3,

c) y = cx2, d) y = cx,



(2xy2 − y) dx + x dy = 0.

Respuesta:

a) y =x2

x + c, b) y =

x + c

x2,

c) y =x

x2 + c, d) y = x(x2 + c),



Respuesta:

a){

x = c1 + c2et + t− 1

y = 3c1 − c2et − 4t + 2 , b)

{x = 2c1e

4t + c2e−t + 3t− 2

y = 3c1e4t − c2e

−t − 2t + 3 ,

c){

x = c1e2t + 2c2e

−t + 2y = 3c1e

2t − c2e−t − 2t

, d){

x = 2c1e−t + c2e

4t − 2t + 3y = 3c1e

−t − c2e4t + 3t− 2 ,



, x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:a) y(ln 2) = 4, b) y(ln 2) = −4,

c) y(ln 2) = 6, d) y(ln 2) = 0,


2












Tabla de Respuestas

1. a

2. a

3. d

4. d


a) y = cx2, b) y = cx,

c) y2 = cx, d) y2 = cx3,



(2xy2 − y) dx + x dy = 0.

Respuesta:a) y =

x

x2 + c, b) y = x(x2 + c),

c) y =x2

x + c, d) y =

x + c

x2,



Respuesta:

a){

x = c1e2t + 2c2e

−t + 2y = 3c1e

2t − c2e−t − 2t

, b){

x = 2c1e−t + c2e

4t − 2t + 3y = 3c1e

−t − c2e4t + 3t− 2 ,

c){

x = c1 + c2et + t− 1

y = 3c1 − c2et − 4t + 2 , d)

{x = 2c1e

4t + c2e−t + 3t− 2

y = 3c1e4t − c2e

−t − 2t + 3 ,



, x(0) = 1, y(0) = 0.

Respuesta:a) y(ln 2) = 6, b) y(ln 2) = 0,

c) y(ln 2) = 4, d) y(ln 2) = −4,


2

corrección segundo parcial, semestre i05, cálculo iii

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