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1.
L’équation −2𝑥 + 4𝑥! + 1 = 0 a pour discriminant :
∆ = 24 ∆ = −20 ∆ = −𝟏𝟐
Attention à l’ordre des termes dans l’expression −2𝑥 + 4𝑥! + 1 ! Ici 𝑎 = 4, 𝑏 = −2 et 𝑐 = 1. Ainsi, ∆ = 𝑏! − 4𝑎𝑐 = −2 ! − 4 × 4 × 1 = 4− 16 = −12.
2.
On considère la représentation graphique ci-‐contre, d’une fonction polynôme du second degré 𝑔 définie sur ℝ. Le discriminant associé à la fonction 𝑔 est :
strictement négatif Nul strictement positif
D’après le représentation graphique, 𝑔 𝑥 = 0 admet deux solutions réels distinctes. Donc le discriminant associé à la fonction 𝑔 est strictement positif.
3.
Le coefficient multiplicateur correspondant à l’évolution globale d’une baisse de 5 % suivie d’une baisse de 10 % et enfin d’une hausse de 15 % est :
1 0,98325 0,01675
1−5100 × 1−
10100 × 1+
15100 = 0,95 × 0,90 × 1,15 = 0,98325
4.
On considère une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale ℬ(3 ; 0,7).
La probabilité d’avoir trois succès est égale à 3 × 0,7.
Le nombre 0,7 représente la probabilité de l’échec L’espérance E[X] = 2,1.
E[X] = 𝑛 × 𝑝 = 3 × 0,7 = 2,1. 𝑛 représente le nombre de répétitions identiques et indépendantes d’épreuves de Bernoulli et 𝑝 représente la probabilité du succès.
Exercice 2
On considère la fonction 𝑓 définie par 𝑓 𝑥 = −5 𝑥 + 3
1. Détermine le domaine de définition de la fonction 𝑓 que l’on note 𝐷!.
La fonction 𝑓 est définie si et seulement si 𝑥 + 3 ≥ 0, c’est à dire lorsque 𝑥 ≥ −3. Donc le domaine de définition est : 𝑫𝒇 = [−𝟑 ; + ∞[.
2. Calcule l’image de 6 par la fonction 𝑓.
Exercice 1
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3. Détermine les variations de la fonction 𝑓 sur 𝐷! (pensez à justifier chaque étape). / ! \ Raisonnement faux !!
Attention, ici la fonction proposée n’est pas une fonction affine de la forme 𝒂𝒙+ 𝒃 ! 𝑓 est une fonction composée de plusieurs fonctions usuelles.
Pour −3 ≤ 𝑎 < 𝑏, on a 𝑓 𝑎 > 𝑓(𝑏), donc la fonction 𝑓 est décroissante sur l’intervalle [−𝟑 ; +∞[
L’argument ici, c’est la monotonie de la fonction. On « compose » avec la fonction racine carrée qui est croissante sur ℝ!donc le sens de l’inégalité est conservé.
dans l’intervalle [−𝟑 ; +∞[
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4. Encadre 𝑓(𝑥) pour tout réel 𝑥 de 1 ; 7 .
/ ! \ Raisonnement faux !!
En calculant 𝑓 1 et 𝑓 7 , on peut seulement affimer que 𝑓 1 > 𝑓 7 . C’est tout… On ne peut pas en faire une généralité pour tous les nombres réels dans l’intervalle [1 ; 7]. Pour 1 ≤ 𝑥 ≤ 7, on a montré à la question 3., que la fonction 𝑓 est décroissante. Ainsi, on peut en tirer que 𝑓 1 ≥ 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 7 . C’est à dire : −5 10 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ −10, pour 𝑥 ∈ [1 ; 7].
Exercice 3
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑥 + 3. Détermine une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction 𝑓 au point d’abscisse 2.
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Exercice 4
Une entreprise, dont la production de casques audio varie entre 50 et 250 pièces par jour, estime que le coût de fabrication (en €) est donné par :
𝐶 𝑞 = 0,08𝑞! − 1,6𝑞 + 108, où 𝑞 est le nombre de casques produits. Chaque casque est vendu 15 € l’unité.
1. a) Combien coûte la fabrication de 80 casques audio ? b) Calcule la recette associée à la vente de 80 casques. L’entreprise réalise-‐t-‐elle des bénéfices pour 80 casques produits et vendus ?
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2. a) Exprime la recette 𝑅(𝑞), en €, en fonction de la quantité 𝑞 de casques fabriqués et vendus en un jour. b) Montre que le bénéfice sur une journée correspondant à la fabrication et à la vente de 𝑞 casques est :
𝐵 𝑞 = −0,08𝑞! + 𝟏𝟔,𝟔𝒒− 108 (erreur dans l’énoncé)
3. Combien faut-‐il construire et vendre de casques pour que le bénéfice sur une journée soit supérieur ou égal à 400 € ? On peut utiliser la calculatrice pour répondre à cette question ou bien y aller à tâtons mais la réponse reste incomplète.
Bénéfice = Recette – Coût
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Méthode experte : « En français » : Combien faut-‐il construire et vendre de casques pour que le bénéfice sur une journée soit supérieur ou égal à 400 € ?
« En mode mathématique » : on cherche le ou les valeur(s) de 𝑞 tels que 𝐵 𝑞 ≥ 400. D’après la question précédente, on sait que 𝐵 𝑞 = −0,08𝑞! + 13,4𝑞 − 108. (Je repars avec l’expression fausse de l’énoncé).
−0,08𝑞! + 13,4𝑞 − 108 ≥ 400 est équivalent à −0,08𝑞! + 13,4𝑞 − 508 ≥ 0
On calcule le discriminant ∆ avec les coefficients 𝑎 = −0,08, 𝑏 = 13,4 et 𝑐 = −508. ∆ = 𝑏! − 4𝑎𝑐 = 13,4 ! − 4 × −0,08 × −508 = 17
∆ = 113 > 0 donc l’équation 𝐵 𝑞 = 0 admet deux solutions distinctes :
𝑞! =−𝑏 − ∆2𝑎 =
−13,4− 172 × −0,08 ≈ 109 et 𝑞! =
−𝑏 + ∆2𝑎 =
−13,4+ 172 × −0,08 ≈ 58
Donc 𝐵 𝑞 est du signe inverse de 𝑎 (c’est à dire positif) entre les racines, donc pour tous les nombres réels dans l’intervalle [58 ; 109]. Il faut donc construire entre 58 et 109 casques