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CORRIGE à compléter Examen blanc janvier 2018 G.Bernet-R.

n°1 (1 point) Le triangle EGH est rectangle et isocèle en , Le triangle AFC est équilatéral. n°2 (2,5 points) Factorisons : =++= 4129 2 xxT ( )223 +x ;

( ) ( ) =+−+−++=−−+= )624)(624(624 22 xxxxxxZ .

n°3 (6 points) Partie I : A l’aide du graphique : Complétons les pointillés : 1) L’ensemble de cette fonction est : [ ]5,2;3−=fD

2) Le maximum de f surDf est 5 atteint en 3−=x ,

3) Et le minimum de f sur Df est – 4 atteint en 0=x .

4) a) L’image par f de −1 est : – 3.

b) Les antécédents de 2 sont : – 2,4 et 2,4. 5) Graphiquement l’inéquation 3)( −≥xf a pour solutions : les abscisses des points situés sur ou au-dessus de la droite d’équation y = −3 , donc les réels appartenant à : [ ] [ ]5,2;11;3 ∪−− . 6) Complétons le tableau de variation :

x -3 0 2,5 f(x)

5 2,2

– 4

Partie II : Calculons l’ordonnée de A, cela revient à calculer l’image de 2 :

=−=−= 4242)2(2

f 2−

n°4 (3 points) Complétons avec les symboles ∈ ou ∉ :

a) 1..∈ ... −0,2 ; 3⎤⎦ ⎤⎦ b) π..∉ .. 0,5 ; 3,14⎤⎦ ⎤⎦ c) 2..∈ .. 1 ; 2⎤⎦ ⎤⎦

d) 164..∈ .. −4 ; 4⎤⎦ ⎡⎣ e) 1

3..∉ .. 0 ; 0,33⎤⎦ ⎡⎣

f) On appelle « a » la solution de l’équation 2x +7 = 0 ; on a alors : a ..∉ .. 3 ; 4⎡⎣ ⎤⎦

Et quelques commentaires

- La qualité de la rédaction était prise en compte : donc des phrases en français (et pas juste vrai ou faux au n°9 par exemple) et lisibles ; ce n’est toujours pas au correcteur de deviner ce qui est écrit.

- Attention aussi parfois aux incohérences : 1kg de truffes à 1 €…

- Plusieurs imprécisions sur des points vus en classe et travaillés en exercices aussi.

Factorisations de niveau 3ème en s’aidant des identités remarquables. Et revues cette année.

Ne pas oublier le signe « = » devant l’intervalle.

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n°5 (8 points) Partie I : 1) Plaçons A , B et C dans le repère,

Il semble que le triangle ABC soit rectangle et isocèle A. 2) Dans le repère (O, J, I), les coordonnées des points B et J sont : B(2 ; 3) . et . . . J(1 ; 0)

3) a) Calculons : AB = xB − xA( )2 + yB − yA( )2 = 3− (−4)( )2 + 2−3( )2 = 49+1= 50

b) Vérifions la conjecture du 1) : Comme alors le triangle est donc isocèle en A. De plus, le côté le plus grand est : , BC2 =102 =100

AB2 + AC2 = 5 2( )2+ 5 2( )

2=100

Comme alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore ce triangle est aussi rectangle en A. Donc la conjecture est bien vérifiée. Partie II : 1) Calculons les coordonnées de M milieu de [BC] :

MxB + xc2

;yB + yC2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

3−52;2− 42

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−22;−22

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −1 ; −1( )

2) Calculons les coordonnées de D afin que ABDC soit un parallélogramme : Dans un les diagonales ont même , il faut donc que M soit milieu de . Soit à résoudre :

xM =xA + xD2

et yM =yA + yD2

−1=−4+ xD2

−1=3+ yD2

−1× 2 = −4+ xD −1× 2 = 3+ yD

−2+ 4 = xD −2−3 = yD

xD = 2 yD = −5 donc D( 2 ; – 5).

Conjecturer c’est forcément une incertitude, donc le verbe ETRE est impossible. Il y avait 2 informations.

Il fallait travailler avec des valeurs EXACTES pour pouvoir aussi comparer avec exactitude.

C’est seulement après les calculs que l’on sait que l’on utilise la RECIPROQUE de Pythagore ou pas.

Ne pas oublier le codage du milieu d’un segment.

Un parallélogramme n’a pas toujours des diagonales de même longueur. Ce sont seulement les rectangles et carrés.

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n°6 (4 points) 1) Ecrivons un système de deux équations à deux inconnues traduisant la situation de l’énoncé : Soit « t » le nombre de trèfles à trois feuilles et q celui à quatre feuilles, on a alors : t + q = 963t + 4q = 293

⎧⎨⎩

2) Résolvons le système, par substitutions : t = 96− q3 96− q( )+ 4q = 293⎧⎨⎪

⎩⎪ ⇔ t = 96− q

288−3q+ 4q = 293

⎧⎨⎩

⇔t = 96− qq = 293− 288 = 5

⎧⎨⎩

⇔t = 96−5 = 91q = 5

⎧⎨⎩

Il y a donc 91 trèfles à 3 feuilles et 5 trèfles à 5 feuilles. n°7 (3 points) Tableaux de signes :

f (x) = 5x +3 g(x) = − 13x

La fonction s’annule et change de signe en : . . . . La fonction s’annule et change de signe en : . . . . . ..

. . −35= −0,6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −

−13

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pour cette fonction affine, le coefficient . . . . . . . . . . . ..Pour cette fonction affine, le coefficient directeur

directeur 5 est positif, alors la fonction est . . . . . . . . . . − 13

est , alors la fonction est

croissante et le tableau de signe est donc : . . . . . . . . . décroissante et le tableau de signe est donc : . .

x −∞ –0,6+∞ x −∞ +∞ f(x) 0 g(x) + 0 – n°8 (5 points) Technologie :

1) a) Déterminons la valeur exacte du volume V1 du métal enlevé :

V1= π× rayon2 × hauteur = π× 22 × 6 = 24π cm3

b) Déduisons la valeur exacte du volume V2 de la pièce après le perçage :

Soit le volume du pavé droit moins celui du cylindre, d’où :

V2 = longueur × largeur × hauteur −V1= 6× 6× 4− 24π = 144− 24π cm3

2) Déterminons la valeur exacte de l’aire S de la surface qui doit être recouverte :

Soit la surface extérieure du pavé ajouté de la surface intérieure du cylindre, d’où :

S = (EF × FG + FG × FB + EF × FB − π× rayon2)× 2+ 2π× rayon × hauteurS = (6× 6+ 6× 4+ 6× 4− 4π)× 2+ 4π× 6S = (84− 4π)× 2+ 24π =

n°9 (2 points)

1) Les droites (AB) et (HG) sont parallèles : affirmation vraie. 2) Les droites (AF) et (GB) sont parallèles : affirmation fausse.

Des valeurs exactes étaient demandées.

Et ne pas oublier les unités.

Encore une fois, inutile de mettre des calculs longs et « compliqués ».

Les signes sont à placer de manière centrée.

2 questions nécessitent 2 réponses.

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3) Les droites (AB) et (DH) sont sécantes : affirmation fausse. 4) Les droites (BK) et (CG) sont sécantes : affirmation vraie.

n°10 (5,5 points) Economie dans le Périgord

1) Comme la fonction f est définie sur , alors le nombre maximal de kilogrammes de truffes que la productrice peut traiter par semaine est : kg.

2) Estimons, à l’aide de la calculatrice, le nombre de kilogrammes à conditionner dans chacun des cas suivants : a . Cas 1 : Pour que le coût unitaire de revient reste inférieur ou égal à 300 € : Cela revient à résoudre graphiquement f(x) , soit : x2 – 60x + 975 ≤ 300 Soit à trouver les abscisses des points de la courbe y= x2 – 60x + 975 situés sur ou au dessous de la droite y = 300. La calculatrice me donne les abscisses des points d’intersections des graphiques : 15 et 45. Donc le nombre de kilogrammes à conditionner sont les réels de l’intervalle : . b . Cas 2 : Pour que le coût unitaire soit minimal et donnons ce coût : Cela revient à déterminer graphiquement le de la courbe y = x2 – 60x + 975 dans l’intervalle [0 ; 45]. La calculatrice indique environ 30 kg à conditionner par semaine pour un coût unitaire de revient de . 3) a. Justifions que le coût de production total est : C(x) = x3 – 60x2 + 975x. Le coût de production est : C(x) = f(x).x = (x2 – 60x + 975).x = x3 – 60x2 + 975x b . Exprimons le bénéfice B(x) réalisé par le producteur pour x kg de truffes conditionnés et vendus : B(x) = – = = B(x) = – x3 + 60x2 – 525x

c. Questions facultatives, bonus (2 points) : A l’aide de la calculatrice graphique : c1. Estimer pour quelles productions de truffes l’exploitation est bénéficiaire : Cela revient à résoudre à la calculatrice B(x) , soit à trouver les abscisses des points de la courbe B(x) situés au-dessus de la droite y = 0. Donc la production doit être comprise, entre environ : 10,6 kg et kg. c2. Estimons le bénéfice maximal : Cela revient à trouver à la calculatrice le maximum de la courbe de B(x) est atteint en quelle valeur. On trouve environ €.

Un minimum de rédaction était demandé ; donc des phrases en français…

La démarche de ce qu’il fallait faire était demandée.

Il y avait 2 réponses à donner, clairement ; avec les unités.