Corrige du TD asservissement n◦10

3 decembre 2003

1 Calcul d’une reponse indicielle

La fonction de transfert du systeme peut s’ecrire :

T (p) =2

p + 1− 2

p + 2

La representation d’etat utilisant les variables canoniques est :

X =[−1 00 −2

].X +

[11

].U Y =

[2 −2

].X

Avec les conditions initiales nulles, le vecteur d’etat vaut :

X(t) =∫ τ=t

τ=0

eA.(t−τ).B.u(τ).dτ

A est diagonale ⇒ eAt =[

e−t 00 e−2t

]X(t) =

[e−(t−τ)

12 .e−2(t−tau)

]τ=t

τ=0

⇒ X(t) =[

1− e−t

12 (1− e−2t

]Y =

[2 −2

].X ⇒ y(t) = 1− 2e−t + e−2t

C’est ce qu’on aurait trouve si l’on avait utilise la table de transformees inversesa partir de T (p).U(p).

2 Etude de stabilite

C’est un systeme d’ordre 2 qui a 1 entree et 2 sorties. Les valeurs propres dela matrice A sont λ1 = 1 et λ2 = −5. D’apres le cours,

eA.t = Φ(t) = α0(t).I + α1(t).A

avec α0 et α1 solution du systeme :

et = α0 + α1

e−5t = α0 − 5α1 Ce qui donne : eAt =16

[4et + 2e−5t 2e−5t − 2et

4e−5t − 4et 2et + 4e−5t

]

1

Ce systeme est instable car A a une valeur propre positive. Autre preuve :limt→∞ eAt →∞ et non 0.

3 Commande des 3 bacs d’eau

Les equations d’evolution des volumes d’eau dans les bacs donnent :

S1.n1 = u1 −R1(n1 − n2)S2.n2 = R1(n1 − n2)−R2(n2 − n3)S3.n3 = u3 + R2(n2 − n3)−R3n3

Ces equations peuvent se mettre sous la forme d’une representation d’etat enprenant les variables n1, n2 et n3 comme variables d’etat.

X =

−R1S1

R1S1

0R1S2

−R1+R2S2

R2S2

0 R2S3

−R2+R3S3

.X+

1S1

00 00 1

S3

.U Y =[

0 1 0].X

Pour mettre en place une commande par retour d’etat, il faut mesurer lesniveaux des trois bacs. Dans une approche par fonction de transfert, vous n’uti-liseriez que la sortie, c’est a dire le niveau du bac 2.

4 Calcul d’une boucle fermee

– Equation differentielle du systeme :

mx = F − kx− bx

– Representation d’etat de ce systeme (on choisit x et x comme variablesd’etat) :

X =[

0 1− k

m − bm

].X +

[01m

].U Y =

[1 0

].X

– Fonction de transfert en BO :

T (p) =1

p2 + 5p + 10

– Representation d’etat de ce systeme boucle :

X = A.X + B(R− Y ) = A.X −B.C.X + B.R⇒ ABF = A−B.C

ABF =[

0 1−11 −5

]– Fonction de transfert en BF (la representation est toujours sous la forme

variables de phase)

H(p) =1

p2 + 5p + 11

C’est bien ce que l’on obtiendrait si l’on calculait T (p)1+T (p) .