CORSO di AGGIORNAMENTO di FISICA

IL “PARADOSSO”

Dei

GEMELLI

MATHESIS _ ROMA

I.T:T. “COLOMBO” via Panisperna, 255

Adriana Lanza

9 marzo 2016

IL “PARADOSSO” DEI GEMELLI

• Il cosiddetto paradosso dei gemelli è forse una delle conseguenze più popolari della teoria della relatività di Einstein. In realtà non si tratta di un vero e proprio paradosso, bensì di un esperimento ideale volto ad illustrare come alcuni aspetti della teoria di Einstein siano contrari al senso comune, ma trovano ugualmente una spiegazione nell’ambito della teoria.

• L'esperimento ideale è il seguente: sulla terra vi sono due gemelli, uno parte per un viaggio interstellare di andata e ritorno per una stella lontana, mentre l'altro rimane ad aspettarlo sulla terra. Assumendo che il viaggio interstellare possa essere compiuto a velocità prossime a quelle della luce, la teoria prevede che, al ritorno sulla terra, il gemello ``viaggiatore‘’ sia invecchiato molto meno di quello ``terrestre”.

• L'aspetto che forse può sembrare paradossale nella storia dei due gemelli è l'apparente simmetria del sistema: scegliendo l'astronave come sistema di riferimento è la terra che si allontana o si avvicina a velocità prossime a quelle della luce.

• Dunque perché alla fine del viaggio c'è una differenza tra i tempi misurati dai due gemelli? La soluzione è molto semplice: i due sistemi di riferimento, la terra e l'astronave, NON sono equivalenti

• Notiamo che, nonostante l'apparente irrealizzabilità, il paradosso dei gemelli è stato verificato sperimentalmente! Questo grazie a degli orologi atomici collocati a bordo di due aerei che volavano in direzioni opposte rispetto al pianeta: l'aereo che viaggia in direzione est somma la sua velocità a quella di rotazione della terra, dunque viaggia più velocemente di quello che viaggia in direzione ovest, e quindi deve segnare un tempo inferiore di alcune frazioni di secondo.

• Un'altra verifica sperimentale fu invece eseguita nel 1966 in un acceleratore di particelle al CERN a Ginevra.iI questo caso i viaggiatori erano muoni, fatti correre per mezzo di campi magnetici lungo percorsi circolari con velocità pari al 99,6% della velocità della luce. Si trovò che al loro ritorno i muoni erano più giovani, perché erano decaduti più lentamente dei muoni in quiete nel laboratorio

Esperimento di Hafele Keating da http://www.treccani.it/scuola/lezioni/fisica/relativita_generale.html

L'interpretazione di questi risultati non è elementare, richiede nozioni sia sulla relatività speciale, sia sulla relatività generale.

:

Relatività speciale: la dilatazione temporale è dovuta alla velocità relativa.

Relatività generale:. La differenza di potenziale gravitazionale terrestre introduce inoltre un ritardo tra gli orologi a bordo e l'orologio a terra.

Per il principio di equivalenza, tutti i sistemi di riferimento accelerati sono fisicamente equivalenti a un campo gravitazionale della stessa forza.

Secondo la relatività generale, la dilatazione gravitazionale del tempo è collegata all'esistenza di un sistema di riferimento non inerziale ..

Un caso particolare, ma di attualità, sono i sistemi di navigazione satellitare come il Global Position System (GPS), che è fondato su misure d’intervallo di tempo tra osservatori a terra ed orologi atomici su satelliti. Affinché il GPS funzioni in modo corretto è necessario tener conto degli effetti relativistici

Illustriamo il fenomeno con un esempio, spiegando i risultati in modo dettagliato , anche se in alcuni punti semplificato.

O e O’ sono due gemelli • O rimane a terra mentre O’ si

muove con velocità 4c /5 e raggiunge una stella lontana 8 anni luce (8c) dalla terra (b = 4/5 g= 5/3)

• Se O’ ritorna sulla terra con la stessa velocità, la durata complessiva del viaggio dovrebbe essere pari a 20 anni rispetto ad O e 12 anni rispetto ad O’.

• O si ritrova, pertanto, di 8 anni più vecchio di O’.

La durata del viaggio di andata è pari a 8c/v = 10 anni (tempo improprio) rispetto ad O e 10/ g = 6 anni (tempo proprio ) rispetto ad O’

• Per il Principio di Relatività si può considerare O’ fermo ed O, assieme alla terra, in moto rispetto ad O’.

• Quando O’ incontra la stella sono passati 6 anni. Nel frattempo O si è spostato di 4,8c , ma rispetto agli orologi del riferimento di O’, l’orologio di O ritarda e misura 6*3/5 = 3,6 anni.

• Quando i due gemelli si ritroveranno, O dovrebbe essere invecchiato solo di 7,2 anni, quindi risulterebbe più giovane di O’.

• Come si risolve il paradosso?

PROBLEMA

• I due gemelli Oreste e Omero hanno accettato di partecipare ad un esperimento per verificare l’EFFETTO GEMELLI:

• <<Se O’ fa un lungo viaggio di andata e ritorno , a velocità confrontabile con quella della luce, mentre il suo gemello O resta a terra, al suo ritorno trova il gemello molto più invecchiato rispetto a lui.

• Il risultato non contraddice il Principio di Relatività in quanto i sistemi di riferimento di O e O’ non sono equivalenti: O’ , nel momento che inverte il suo moto , non è più un osservatore inerziale.>>

• Oreste rimane a terra ( riferimento Ω) mentre Omero intraprende un viaggio con un’ astronave che si muove con velocità 4c/5 , raggiunge una stella lontana dalla terra 8 anni –luce (8c) e torna subito indietro ripercorrendo la stessa distanza con la stessa velocità.

• L’orologio di Oreste è sincronizzato con quelli della terra . • I due gemelli sincronizzano i loro orologi in modo che segnino il valore 0

nell’istante in cui Omero inizia il suo viaggio (Evento A ) Continua

a) Dal punto di vista di Oreste e secondo le leggi della Relatività speciale,

dopo quanti anni Omero tornerà sulla terra? di quanto sarà invecchiato ?

Ciascuno di loro fa da

origine al proprio riferimento

spaziale,e saranno indicati con O e O’ rispettivamente

• Su ciascuno dei riferimenti spaziali sono posti sistemi di orologi tra loro sincronizzati.

• Orologi sincronizzati in un riferimento non lo sono nell’altro se ciascun riferimento si muove rispetto all’altro

VIAGGIO DI ANDATA

DATI:

Distanza OS a riposo = 8c

Velocità relativa tra i due riferimenti 4/5 c

EVENTI

Punto di vista di ORESTE Punto di vista di Omero

Ricordiamo che un osservatore ῼ può misurare nel suo riferimento, la distanza temporale tra due eventi con un solo orologio solo se gli eventi hanno la stessa coordinata spaziale di ῼ con due orologi se avvengono in luoghi diversi; in quest’ultimo caso i due orologi devono essere tra loro sincronizzati, pertanto devono essere solidali con ῼ,

Misura della distanza temporale: tra i due eventi

S

x

• O è in quiete rispetto alla retta OS, quindi può calcolare tranquillamente la distanza temporale dividendo 8c/v = 10 anni

• Può anche leggere sul suo orologio l’istante di partenza e far leggere ad un suo collaboratore, sull’orologio di S , l’orario di arrivo. L’orologio di S segnerà 10 anni.

• L’orologio di O’ invece segna 6 anni

6

10

10

ORESTE

8c

QUALI SARANNO LE MISURE EFFETTUATE DA OMERO?

• I risultati essere coerenti con le leggi della relatività ristretta

Legge di dilatazione del tempo To = T/ g Tempo improprio = g tempo proprio

tempo proprio = 10 * 3/5 = 6 Infatti il tempo proprio è quello misurato con

un solo orologio, quindi da O’, il quale assiste ai due eventi sempre nello stesso luogo

Il tempo improprio è quello misurato da O, con due orologi, in quanto i due eventi avvengono, per lui, ad una distanza di 8c.

Contrazione delle lunghezze L= Lo/ g Lunghezza propria= g lunghezza impropria

lunghezza impropria = 8c *3/5 =4,8 c in quanto il segmento OS è in moto

rispetto a O’ Ovvero la misura del tempo proprio permette ad

O’e di misurare la lunghezza del segmento OS nel suo riferimento

6* v= 6* 4/5 c= 4,8 c

I risultati sono in accordo con le trasformazioni di

Lorentz

Punto di vista di Oreste

Quando O’ giunge in S, gli orologi del riferimento di O segnano tutti 10 anni.

L’orologio di S rileva che invece l’orologio di O’ segna 6 anni.

Oreste conclude che • L’orologio di Omero ritarda rispetto ai suoi • Omero è invecchiato solo di 6 anni , mentre sulla terra

sono passati 10 anni • E’ verificata la legge di dilatazione del tempo

Punto di vista di Omero

• Di quanto si è spostato O, rispetto ad O’, e in quanto tempo, secondo il riferimento Ω1?

• Verifica che la distanza spazio-temporale tra i due eventi

A{O’≡O} e B{ O’ ≡S}

è la stessa in entrambi i riferimenti

O’ può usare solo il suo orologio Nell’istante in cui sta affiancato con O il suo orologio segna 0 Nell’istante in cui è affiancato con S l suo orologio segna 6 anni

Nel frattempo O ha percorso una distanza pari a 6*v= 6*4/5 c = 4,8 c

Quale valore segna l’orologio di O?

OMERO

10 6

4,8c O

S

?

O’

Legge di dilatazione del tempo

tempo improprio = g tempo proprio

tempo proprio = 6* 3/5 = 3,6

Infatti

il tempo proprio è quello misurato

con un solo orologio, quindi da O, il

quale assiste ai due eventi sempre nello

stesso luogo

Il tempo improprio è quello misurato

da O’, con due orologi, in quanto i due

eventi avvengono, per lui, ad una

distanza di 4,8c.

Contrazione delle lunghezze

lunghezza propria= g lunghezza impropria

lunghezza impropria = 4,8c *3/5 =2,88 c in quanto il segmento O’S’ è in moto rispetto a O Ovvero La misura del tempo proprio permette

ad O di misurare anche la lunghezza del

segmento O’S’ nel suo riferimento

3,6* v= 3,6* 4/5 c= 2,88 c

Nell’istante in cui l’orologio di O’ segna 6 anni, O’ è affiancato ad S il cui orologio segna 10 anni. Se vuol sapere dov’è O e di quanto è invecchiato ,ha bisogno di un altro orologio.

S

x

6 O’

10

6

3,6 O

S’

4,8c

Nel riferimento di O’ possono esserci infiniti orologi, tra loro sincronizzati ,che segnano 6 anni. Tra questi ce ne sarà uno, S’, che si trova affiancato ad O.

S’ si trova a distanza -4,8 c da O’ e rileva che l’orologio di O segna 3,6 anni

.

Secondo il riferimento Ω1 gli orologi di S e di O non sono

sincronizzati

• Quale orologio anticipa e quale ritarda? Qual è la differenza fra i tempi segnati dai due orologi ?

Relatività della Simultaneità

• L’evento B { O’ incontra S}

è simultaneo dell’ evento

{ l’orologio di O in O segna 10}

nel riferimento di O

invece

è simultaneo dell’evento

{l’orologio di O, a distanza -4,8 c , segna 3,6}

nel riferimento di O’

In relazione agli eventi A e B

• Disegna, in un riferimento xOt, – la linea universo e la linea di simultaneità di O’ – la linea universo e la linea di simultaneità di O – la linea universo e la linea di simultaneità di S

In relazione all’evento B calcola • le coordinate del punto So in cui la linea di simultaneità di S incontra la

linea universo di O • le coordinate del punto S1 in cui la linea di simultaneità di O’ incontra la

linea universo di O • Commenta i risultati alla luce della relatività della simultaneità

Linea universo e linea di simultaneità

• Nel riferimento xOt, avendo posto c=1, solidale con O, la linea universo di O è la retta x=0

• La linea universo di S è la retta x=8

• Le rette di simultaneità sono rette parallele

all’ asse x (t=costante)

Linea universo e linea di simultaneità

• Nel riferimento xOt, avendo posto c=1, solidale con O, la linea universo di O’ è la retta t=x/v

• La linea universo di un raggio di luce che parte da O è la retta t=x (linea-luce)

• Le rette di simultaneità di O’ sono rette simmetriche rispetto alle corrispondenti linee-luce , cioè aventi coefficiente angolare uguale a v ( t’= costante)

Diagramma spazio-temporale ANDATA (c=1)

Confronto tra gli eventi B’ ≡B→ incontro tra Omero e la Stella A’→incontro tra Oreste e l’orologio S’

Punto di vista di Omero

• Quando O’ giunge in S, il suo orologio segna 6, l’orologio di S segna 10 e l’orologio di O segna 3,6 ( come gli comunica S’)

Omero conclude che L’orologio di O ritarda rispetto ai suoi O è invecchiato solo di 3,6 anni , mentre per lui

sono passati 6 anni Gli orologi del riferimento di O sono tra loro

desincronizzati di 6,4 anni . Quello di S è in anticipo e quello di O in ritardo

CHI HA RAGIONE?

• Se il moto relativo, di O’ rispetto ad O e viceversa, continua in modo rettilineo e uniforme, i due riferimenti sono equivalenti per il Principio di relatività

• Le misure effettuate in ciascun riferimento sono coerenti con le leggi della Relatività Ristretta

Che succede , però se Omero fa una virata e torna indietro?

• Non appena inizia la virata, O’ si trasferisce in

un riferimento che si allontana dalla terra che utilizza un altro sistema di orologi!

In questo nuovo riferimento Omero non sarà indicato con O’, bensì con O”

Che succede , però se Omero fa una virata e torna indietro?

d)Appena raggiunge S , O’ inverte il suo moto istantaneamente.

Un’altra serie di stazioni spaziali affianca l’astronave di O’ e costituisce un riferimento spaziale ad essa solidale che indicheremo con Ω2.

• Disegna nel piano xOt, In relazione all’ evento B la nuova linea-universo e la nuova linea di simultaneità di O’e determina i punti R e S2 in cui ciascuna di esse incontra la linea –universo di O.

• Cosa rappresentano le coordinate di ciascuno di questi punti?

Omero diventa O”

• Cambia la sua linea universo, ma anche la sua linea di simultaneità!

• Linea universo di O” t-10= - (x-8)/v • Linea di simultaneità di O” t-10= -v(x-8) • La nuova linea universo incontra

la linea universo di O nel punto di ordinata 20 ( evento R: Omero ritorna da Oreste)

• La nuova linea di simultaneità, di O”, incontra la linea universo di O nel punto S2 di ordinata 16,4 .

• Nel periodo di tempo , trascurabile per Omero, dell’inversione di marcia, sulla terra sono passati 16,4-3,6 = 12,8 anni che, aggiunti ai 7,2 anni , danno come risultato 20.

Diagramma spazio temporale-RITORNO (c=1)

RITORNO

• Non appena inizia la virata, Omero si trasferisce in un riferimento per cui gli orologi della terra sono in anticipo di 6,4 anni rispetto a quelli della stella!

• Tutti gli eventi appartenenti al segmento S1S2, prima della virata erano al di sopra della retta di simultaneità di O’, cioè nel futuro di O’. Dopo la virata passano al di sotto della retta di simultaneità, cioè nel passato

• Questo fatto è sorprendente ma non paradossale.

• I suddetti eventi dovevano ancora essere registrati dagli orologi del primo riferimento di O’ ( quello del viaggio di andata) mentre erano stati già registrati dagli orologi del riferimento di O”, quello su cui Omero si trasferisce nel viaggio di ritorno.

Dal punto di vista di Omero, di quanto è invecchiato Oreste quando si ricongiungono?

Quando si ricongiungono i due gemelli concordano sul fatto che:

Oreste è invecchiato di 20 anni e Omero è invecchiato di 12 anni.

Mathesis Roma 9 marzo 2016

PROBLEMA. L’EFFETTO GEMELLI

Adattamento da P.A. Tipler –Invito alla Fisica 3 E.F.Taylor-J.A.Wheeler –

Fisica dello Spazio-Tempo Zanichelli

Obiettivi

Presentare una soluzione semplificata del “Paradosso dei Gemelli”

Utilizzare in modo consapevole le trasformazioni di Lorentz e i

diagrammi spazio-temporali

Riconoscere il carattere relativo della simultaneità

Utilizzare il concetto di tempo proprio, distanza propria, intervallo

Spazio-temporale

I due gemelli Oreste e Omero hanno accettato di partecipare ad un

esperimento per verificare l’EFFETTO GEMELLI:

<<Se O’ fa un lungo viaggio di andata e ritorno , a velocità confrontabile

con quella della luce, mentre il suo gemello O resta a terra, al suo ritorno

trova il gemello molto più invecchiato rispetto a lui.

Il risultato non contraddice il Principio di Relatività in quanto i sistemi di

riferimento di O e O’ non sono equivalenti: O’ , nel momento che inverte il

suo moto , non è più un osservatore inerziale.>>

Oreste rimane a terra ( riferimento Ω) mentre Omero intraprende un viaggio

con un’ astronave che si muove con velocità 4

5 𝑐, raggiunge una stella

lontana dalla terra 8 anni –luce (8c) e torna subito indietro ripercorrendo la

stessa distanza con la stessa velocità.

L’orologio di Oreste è sincronizzato con quelli della terra .

I due gemelli sincronizzano i loro orologi in modo che segnino il valore 0

nell’istante in cui Omero inizia il suo viaggio

(Evento A )

a) Dal punto di vista di Oreste e secondo le leggi della Relatività speciale,

dopo quanti anni Omero tornerà sulla terra? di quanto sarà

invecchiato?

b) Una serie di stazioni di guardia affianca l’astronave di Omero e costituisce

un riferimento spaziale ,ad essa solidale , che indicheremo con Ω1.

I due riferimenti hanno l’origine in comune, nel punto in cui Omero è

partito.

Le stazioni sono munite di orologi tra loro sincronizzati.

Indicheremo Oreste,Omero e la stella con O, O’ , S rispettivamente.

Quando è affiancato a S, O’confronta il tempo del suo orologio con quello

di S.

Una delle stazioni spaziali, S’, registra il passaggio della Terra e confronta il tempo del suo orologio con quello dell’orologio di O. Di quanto si è spostato O, rispetto ad O’, e in quanto tempo, secondo il riferimento Ω1? Verifica che la distanza spazio-temporale tra i due eventi A{O’≡O} e B{ O’ ≡S} è la stessa in entrambi i riferimenti Secondo il riferimento Ω1 gli orologi di S e di O non sono sincronizzati. Quale orologio anticipa e quale ritarda? Qual è la differenza fra i tempi segnati dai due orologi? c) In relazione agli eventi A e B Disegna, in un riferimento xOt,

la linea universo e la linea di simultaneità di O’ la linea universo e la linea di simultaneità di O la linea universo e la linea di simultaneità di S

In relazione all’evento B calcola le coordinate del punto So in cui la linea di simultaneità di S incontra la linea universo di O le coordinate del punto S1 in cui la linea di simultaneità di O’ incontra la linea universo di O Commenta i risultati alla luce della relatività della simultaneità

d)Appena raggiunge S , O’ inverte il suo moto istantaneamente. Un’altra serie di stazioni spaziali affianca l’astronave di O’ e costituisce un riferimento spaziale ad essa solidale che indicheremo con Ω2. Disegna nel piano xOt, In relazione all’evento B la nuova linea-universo e la nuova linea di simultaneità di O’e determina i punti R e S2 in cui ciascuna di esse incontra la linea –universo di O. Cosa rappresentano le coordinate di ciascuno di questi punti? Dal punto di vista di Omero, di quanto è invecchiato Oreste quando si ricongiungono?