corso di dinamica delle strutture dispense - parte...

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Corso di Dinamica delle Strutture Dispense - parte #3 A.A. 20152016 Versione 1.0.0 Indice 1 Sistema a due gradi di libert` a 2 1.1 L’oscillatore con due gradi di libert` a ......................... 2 1.1.1 La matrice di rigidezza ............................. 4 1.1.2 Esempio: matrice di rigidezza di un telaio a due piani ........... 4 2 Moto del sistema a pi` u gradi di libert` a 5 2.1 Moto libero non smorzato ............................... 5 2.2 I modi naturali di vibrazione ............................. 7 2.3 Le Condizioni Iniziali .................................. 9 2.3.1 Esempio #1: 2 gdl ............................... 10 2.4 Moto forzato senza smorzamento ........................... 11 2.4.1 Esempio #2 ................................... 12 2.4.2 Esempio #3: battimenti ............................ 13 2.5 Moto libero con smorzamento ............................. 15 2.6 Moto forzato con smorzamento ............................ 16 3 Bibliografia 16 z z z 1

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Corso di Dinamica delle Strutture

Dispense - parte #3

A.A. 2015∼2016

Versione 1.0.0

Indice

1 Sistema a due gradi di liberta 21.1 L’oscillatore con due gradi di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 La matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Esempio: matrice di rigidezza di un telaio a due piani . . . . . . . . . . . 4

2 Moto del sistema a piu gradi di liberta 52.1 Moto libero non smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 I modi naturali di vibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Le Condizioni Iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Esempio #1: 2 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Moto forzato senza smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.1 Esempio #2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2 Esempio #3: battimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Moto libero con smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Moto forzato con smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Bibliografia 16

z z z

1

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1 Sistema a due gradi di liberta

La studio dei sistemi con 2 gdl e cruciale: verranno messe in luce molte analogie con i sistemi adun solo gdl e si introdurranno alcune nozioni chiave che hanno senso solo per sistemi con n > 1gdl; il prossimo passo cruciale sara il passaggio ai problemi con ∞ gdl.

Il risultato fondamentale che dobbiamo tenere a mente e il seguente: un sistema con ungrado di liberta ha una sola pulsazione naturale ed un solo fattore si smorzamento; ilvalore di questi due parametri determina la soluzione omogenea. Anticipando quanto scopriremonel seguito, l’aspetto fondamentale dei sistemi ad n gradi di liberta e il seguente: un sistemaad n gradi di liberta ha n pulsazioni naturali ed n fattori si smorzamento; inoltre,ad ogni pulsazione naturale risulta associata una particolare configurazione dettamodo di vibrare .

1.1 L’oscillatore con due gradi di liberta

Ripartiamo dall’esempio usato per introdurre il problema dell’isolamento dalle vibrazioni, conqualche modifica. Dati quattro punti xi, solo i punti x1 e x2 sono mobili, mentre x0 e x3 sonovincolati a restare fissi: tale sistema ha due gradi di liberta, e le sue configurazioni sono descrittedalle funzioni x1(τ) e x2(τ). Nella Fig.(1) abbiamo indicato solo le forze interne che agisconosui punti 1 e 2: fij e la forza agente sul punto i dovuta al punto j, e come ben noto, fji = −fij .

x0 x1(τ) x2(τ) x3f10

f10 = c1 x1 + k1 x1

f12

f12 = c2 (x2 − x1) + k2 (x2 − x1)

f21 f23

f23 = c3 x2 + k3 x2

Figura 1: Schema di un sistema con due gradi liberta in cui sono indicate le forze interne agentisui punti x1 e x2. Il verso positivo e il destro.

Le equazioni di bilancio per ogni punto xi si scrivono come al solito:

f inei (τ) = f ini (τ) + fexti (τ) . ∀τ ∈ T . (1)

Nel nostro caso abbiamo (omettiamo di indicare la dipendenza di xi da τ):

f inei (τ) = mi xi , forza d’inerzia,

f in1 (τ) = f12 − f10 = c2 (x2 − x1) + k2 (x2 − x1)− c1 x1 − k1 x1 , forza interna su x1,

f in2 (τ) = −f12 − f23 = −c2 (x2 − x1)− k2 (x2 − x1)− c3 x2 − k3 x2 , forza interna su x2.(2)

Allora, le due equazioni di bilancio (1) si riscrivono come segue:

m1 x1 + (c1 + c2) x1 − c2 x2 + (k1 + k2)x1 − k2 x2 = fext1 ,

m2 x2 + (c2 + c3) x2 − c2 x1 + (k2 + k3)x2 − k2 x1 = fext2 ,∀τ ∈ T . (3)

Le (3) costituiscono un sistema lineare di due equazioni accoppiate tra loro. Le (3) possonoessere convenientemente riscritte adottando una notazione matriciale: ∀τ ∈ T devono valere:[m1 00 m2

] [x1x2

]+

[c1 + c2 −c2−c2 c2 + c3

] [x1x2

]+

[k1 + k2 −k2−k2 k2 + k3

] [x1x2

]=

[fext1

fext2

]

(4)

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Possiamo introdurre una notazione ancora piu compatta che sara molto utile nel seguito; iniziamodefinendo le seguenti matrici e vettori:

|M| =[m1 00 m2

], matrice di massa,

|C| =[c1 + c2 −c2−c2 c2 + c3

], matrice di viscosita,

|K| =[k1 + k2 −k2−k2 k2 + k3

], matrice di rigidezza,

|x(τ)| =[x1(τ)x2(τ)

], vettore delle incognite,

|f(τ)| =[fext1 (τ)fext2 (τ)

], vettore dei carichi.

(5)

Utilizzando le precedenti definizioni, le (3) si riscrivono in un sola riga:

M x(τ) + C x(τ) + K x(τ) = f(τ) , ∀τ ∈ T . (6)

alla quale vanno aggiunte le condizioni iniziali:

x(0) = xo , x(0) = vo , dove |xo| =[x10x20

], |vo| =

[v10v20

], (7)

E importante notare che le tre matrici appena introdotte sono tutte simmetriche; inoltre, M eK sono anche definite positive: M e simmetrica e definita positiva perche le forze d’inerzia sonoenergetiche, ossia, perche esiste l’energia cinetica; C e K sono simmetriche perche descrivonoforze interne per le quali vale la ‖fij‖ = ‖fji‖. Ad esempio, l’elemento C12 della matrice diviscosita C descrive la forza viscosa che agisce sul punto x1 dovuta alla velocita del punto x2;l’elemento C21 descrive la forza viscosa che agisce sul punto x2 dovuta alla velocita del puntox1; poiche tali forze hanno stessa intensita, deve essere C12 = C21; lo stesso discorso vale per K.Inoltre, K oltre che simmetrica e anche definita positiva perche la forza elastica e energetica,ossia, esiste l’energia elastica. Le due energie menzionate si scrivono:

K(x(τ)) =1

2M x(τ) · x(τ) , energia cinetica;

E(x(τ)) =1

2K x(τ) · x(τ) , energia elastica.

(8)

L’essere definita positiva vuol dire che, qualunque sia la velocita x, positiva o negativa, madiversa da zero, o qualunque sia lo spostamento, positivo o negativo, ma diverso da zero, leenergie associate saranno sempre positive; tale proprieta si esprime in formule come segue:

1

2M x · x > 0⇔ x 6= o ,

1

2K x · x > 0⇔ x 6= o . (9)

Osservazione #1: (repetita juvant) le notazioni K(x(τ)), E(x(τ)) alludono al fatto che l’e-nergia dipende dal moto x(τ), incluse le sue derivate; per semplificare la notazione scriveremosia K(x), oppure K(τ) per evidenziare la dipendenza dal tempo; lo stesso per E.

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Possiamo dunque affermare che la simmetria delle matrici che descrivono il moto diun sistema con n gradi di liberta, e la positiva definitezza delle matrici di massa edi rigidezza, e un aspetto tanto fondamentale quanto imprescindibile.Osservazione #2: Non confondere le applicazioni lineari od i vettori con le loro rappresenta-zione in componenti. Abbiamo usato la seguente notazione per evidenziare tale distinzione: Ae un’applicazione lineare, |A| e la sua rappresentazione matriciale; le componenti della matrice|A| dipendono dalla scelta della base.

1.1.1 La matrice di rigidezza

Osserviamo in dettaglio il significato meccanico della matrice di rigidezza; per un problemastazionario le equazioni (6) assumono la forma semplificata

K x = f , ossia,

[k11 k12k21 k22

] [x1x2

]=

[fext1

fext2

]. (10)

La matrice di rigidezza trasforma il vettore spostamento x nel vettore forza f : ogni componentekij della matrice ha un significato immediato, che viene messo in luce esaminando come vengonotrasformati gli n vettori spostamento che costituiscono la base naturale, ossia, i vettori che hannouna sola componente pari ad uno e tutte le altre uguali a zero. Nel nostro esempio, essendon = 2, occorre considerare due soli vettori x:

[k11 k12k21 k22

] [10

]=

[k11k21

]=

[fext1

fext2

],

[k11 k12k21 k22

] [01

]=

[k12k22

]=

[fext1

fext2

]. (11)

Dalle (11)1 si evince che k11 e la forza esterna che occorre applicare sul punto 1 per provocarneuno spostamento unitario, mantenendo il punto 2 fermo; analogamente, k21 e la forza da ap-plicare sul punto 2 per tenerlo fermo mentre il punto 1 subisce uno spostamento unitario. Inquesto modo, le forze associate allo spostamento x = (1, 0) evidenziano la prima colonna dellamatrice, e le forze associate ad x = (0, 1) evidenziano la seconda colonna.

Quanto detto vale per ogni componente della matrice di rigidezza, qualunque sia il numeron di gdl: l’elemento kij e la forza da applicare al punto i quando il solo punto j subisce unospostamento unitario. Dato uno schema strutturale modellato come un sistema ad n gdl, lamatrice di rigidezza si costruisce per colonne, risolvendo n problemi stazionari in cui il datoe lo spostamento x = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) con 1 al j-esimo posto, e l’incognita e la forza f =(f1, f2, . . . , fn) trovate le forze, abbiamo semplicemente f = (k1j , k2j , . . . , knj).

1.1.2 Esempio: matrice di rigidezza di un telaio a due piani

Sotto le stesse ipotesi che abbiamo gia formulato per modellare un telaio con un solo traversorigido usando un sistema ad 1 gdl, il telaio con due traversi rigidi di Fig.(2) viene visto come unsistema con 2 gdl: x = (x1, x2), dove xi e lo spostamento del’i-esimo traverso. Per determinarele componenti della matrice di rigidezza dobbiamo risolvere due problemi stazionari in cui unosolo dei traversi subisce uno spostamento unitario mentre l’altro rimane fermo. Supponiamoper semplicita che tutti i pilastri abbiano la stessa rigidezza flessionale B e la stessa altezza h;dunque, la rigidezza equivalente di ogni pilastro sara kp = 12B/h3. Quando x = (1, 0), vengonoinflessi 4 pilastri: tutti e 4 sono collegati al primo traverso, ma solo 2 sono collegati al secondotraverso, e dunque: per spostare in avanti il primo traverso serve una forza positiva pari ak11 = 4 kp; per mantenere fermo il secondo traverso serve una forza negativa pari a k21 = −2 kp;

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quando x = (0, 1), vengono inflessi solo i 2 pilastri che collegano primo e secondo traverso edunque: k12 = −2 kp, k22 = 2 kp. Possiamo allora scrivere:

|K| = 12B

h3

[4 −2−2 2

]. (12)

Appunti per il corso di Dinamica delle Strutture. A.A. 2011-2012 62

Il telaio e un sistema conservativo a due gradi di liberta; le equazioni ora scritte de-scrivono i suoi moti liberi. I moti forzati sono quelli in cui ai traversi sono applicateulteriori forze; in tal caso l’equazione (vettoriale) del moto diventa

Aδ + Bδ = f , con f = [fi] =

f1

f2

.

In caso di applicazione statica delle forze fi, si ha l’equazione di equilibrio Bδ = f ,che in componenti diviene

2j=1 Bijδj = fi. Questa ultima equazione mostra che la

prima colonna della matrice elastica e uguale alle forze che bisogna applicare ai traversiper ottenere lo spostamento δ1 = 1, δ2 = 0, e la seconda colonna e uguale alle forzeche bisogna applicare ai traversi per ottenere lo spostamento δ1 = 0, δ2 = 1. Le due

!1= 1

!2= 0

B21

!1= 0

!2= 1

B11

B22

B12

Figura 42: Costruzione per colonne della matrice elastica.

configurazioni del telaio sono illustrate in Figura 42. I valori delle forze applicate aitraversi sono quelli degli elementi della matrice B nell’equazione (60).

La coincidenza della i-esima colonna della matrice elastica con il vettore delle forzeche determina la deformata in cui l’i-esimo parametro di spostamento ha valore unitarioe tutti gli altri sono nulli, vale per qualsiasi sistema e fornisce un utile metodo percostruire la matrice B.

Il telaio a due campate e tre piani di Figura 43 ha traversi rigidi e pilastri dimassa e deformabilita assiale trascurabili; la sua configurazione e individuata daglispostamenti orizzontali dei traversi δ1, δ2 e δ3. La deformazione dei pilastri del livelloinferiore dipende dallo spostamento δ1, quella dei pilastri del livello intermedio da

x1

x2

h

h

L

|x| =[x10

]|x| =

[0x2

]

Figura 2: Schema del portale con due traversi rigidi. Le linee tratteggiate mostrano la configu-razione di riposo; a sinistra e a destra sono mostrate le configurazioni assunte quando si spostasolo il primo od il secondo traverso, rispettivamente.

2 Moto del sistema a piu gradi di liberta

Lo studio di un sistema del tipo (6, 7) verra effettuato seguendo esattamente gli stessi passi giafatti per l’analisi dello oscillatore semplice: 1) moto libero (senza forzanti) non smorzato; 2)moto non smorzato e con forzanti armoniche; 3) moto non smorzato e con forzanti periodiche;4) moto libero smorzato; 5) moto smorzato e con forzanti armoniche;

2.1 Moto libero non smorzato

Il primo passo consiste nello studio del moto in assenza di smorzamento e senza forzanti, ossiadel sistema:

M x(τ) + K x(τ) = o , ∀τ ∈ T ; x(0) = xo , x(0) = vo . (13)

dove M e K sono due operatori simmetrici e definiti positivi. Utilizziamo la tecnica vista perl’oscillatore semplice, adattata al caso senza smorzamento:

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1. Il sistema di equazioni di bilancio (13)1 e un sistema lineare che conviene riscrivere informa compatta, mettendo in evidenza l’operatore lineare L che lo descrive:

L x(τ) = o , ∀τ ∈ T , con L = Md2

dτ2+ K . (14)

2. Si cercano le auto-funzioni dell’operatore lineare, ossia quelle funzioni che vengono trasfor-mate in se stesse, a meno di una costante; in questo caso, poiche il vettore delle funzioniincognite x(τ) ha n componenti, cerchiamo auto-funzioni del tipo:

q(τ) = uϕ(τ) , con |u| =

u1...un

. (15)

Le n componenti di queste auto-funzioni sono dette sincrone poiche hanno lo stesso anda-mento temporale e possono differire tra loro solo per le costanti ui. La (15) inserita nella(14) fornisce

L q(τ) = ϕ(τ) M u + ϕ(τ) K u . (16)

3. Le auto-funzioni sono il punto di partenza per costruire le soluzioni dell’equazione omoge-nea, ossia, per risolvere il caso con forzante nulla:

L x(τ) = o , ∀τ ∈ T ⇒ L q(τ) = ϕ(τ) M u + ϕ(τ) K u = o , ∀τ ∈ T . (17)

Quest’ultima espressione da le indicazioni utili per caratterizzare la funzione incognitaϕ(τ): moltiplichiamo scalarmente il vettore L q(τ) per u in modo da ottenere un’equazionescalare

ϕ(τ) M u · u + ϕ(τ) K u · u = o , ∀τ ∈ T . (18)

A questo punto possiamo definire il rapporto

K u · uM u · u

= λ > 0 (19)

che e sicuramente uno scalare positivo, in quanto sia numeratore che denominatore so-no positivi: si ricordi che gli operatori M e K sono simmetrici e definiti positivi. Perevidenziare che λ e un numero reale positivo, poniamo:

λ = ω2 , ω ∈ R . (20)

La (18) si riscrive semplicemente:

ϕ(τ) + ω2 ϕ(τ) = 0 , ∀τ ∈ T ; (21)

quindi, la funzione incognita ϕ(τ) e tale che, derivata due volte, ritorna se stessa moltipli-cata per −ω2, con ω reale. Questo caso e identico a quello trovato per l’oscillatore semplice:la ϕ(τ) deve essere la somma di due funzioni armoniche con pulsazione ω, definite a menodi due costanti; tale somma puo essere riscritta in termini di una sola funzione armonicacon sfasamento:

ϕ(τ) = a cos(ω τ) + b sin(ω τ) = c cos(ω τ − φ) . (22)

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A questo punto dobbiamo determinare il valore di ω: riprendiamo l’equazione di bilancio(17) e riscriviamola utilizzando il risultato (21) appena trovato

(−ω2 M + K )uϕ(τ) = o , ∀τ ∈ T ; (23)

per verificare tale equazione ad ogni istante abbiamo due sole possibilita:

soluzione banale con auto-funzione nulla: u = o ,

soluzione interessante con auto-funzione non nulla: (−ω2 M + K ) u = o , u 6= o .(24)

4. La ricerca di soluzioni non banali fa emergere la differenza fondamentale rispetto al casodell’oscillatore semplice: non abbiamo piu una equazione, ma dobbiamo esaminare unsistema di equazioni, che riscriviamo per comodita:

(−ω2 M + K ) u = o , u 6= o . (25)

Cio che vogliamo sono dei vettori u, diversi dallo zero, che vengano trasformati nello zero;questo e possibile solo se il sistema di equazioni e singolare, ossia, solo se il determinantedella matrice dei coefficienti e nullo. Allora, la ricerca di soluzioni non banali porta allaequazione polinomiale in ω2

p(ω2) = det (−ω2 M + K ) = 0 , (26)

detta determinante caratteristico. Questa equazione prende il posto della equazione ca-ratteristica associata all’oscillatore semplice: ora si devono trovare gli zeri del polinomiop(ω2) di grado n, pari al numero dei gradi di liberta del sistema.

Le proprieta delle matrici M e K assicurano che tale polinomio ha sempre n radici positive: unsistema ad n gradi di liberta ha dunque n pulsazioni naturali che indicheremo con ω1, . . . , ωn;ricordiamo che e possibile risolvere in modo esplicito l’equazione p(ω2) = 0 solo solo per n < 5,ossia, solo per i sistemi con 4 gradi di liberta; negli altri casi si deve ricorrere a tecniche numeriche.

2.2 I modi naturali di vibrazione

Ad ogni pulsazione naturale ωi corrisponde un vettore ui, soluzione del sistema (25) che riscri-viamo come segue

ω2i M ui = K ui , ui 6= o . (27)

Tali vettori sono detti modi naturali, oppure modi propri, modi di vibrazione, od anche vettorimodali, e sono tanti quante sono le pulsazioni; poiche le pulsazioni naturali rendono singolareil sistema, i modi ui potranno essere determinati solo a meno di una costante. Una proprietaimportante dei modi naturali e la seguente:

M ui · uj = 0 ⇔ i 6= j , (28)

ossia, i modi sono ortogonali rispetto alla matrice di massa. Tale proprieta e una direttaconseguenza della simmetria di M e K; infatti, moltiplicando la (27) per il modo uj , abbiamo

ω2i M ui · uj = K ui · uj = ui ·K uj = ω2

j ui ·M uj = ω2j M ui · uj ,

| | |K ∈ Sym, K uj = ω2

j M uj , M ∈ Sym;(29)

7

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sottraendo il termine di destra da quello di sinistra si ottiene:

(ω2i − ω2

j ) M ui · uj = 0 ⇒ ωi = ωj OR M ui · uj = 0 . (30)

Dopo aver verificato che i modi siano ortogonali rispetto alla massa, ossia, che valga le (27),possiamo renderli anche ortonormali rispetto la massa: i modi sono stati determinati a meno diuna costante arbitraria, che puo essere scelta in modo da verificare la richiesta

M ui · uj = δij . (31)

Esempio: supponiamo di avere a che fare con i seguenti due modi ui, determinati a meno dellecostanti α e β, e della seguente matrice di massa M:

|u1| = α

[11

], |u2| = β

[1−1

], |M| =

[m1 00 m2

]; (32)

Le costanti possono essere determinate richiedendo che sia verificata la (31), ossia, per il primomodo:

M u1 · u1 =

[m1 00 m2

[11

]· α[

11

]= α2 (m1 +m2) = 1 ⇒ α =

1√m1 +m2

. (33)

e per il secondo modo

M u2 · u2 =

[m1 00 m2

[1−1

]· β[

1−1

]= β2 (m1 +m2) = 1 ⇒ β =

1√m1 +m2

.

(34)Dunque, i due modi resi ortonormali rispetto la massa saranno:

|u1| =1√

m1 +m2

[11

], |u2| =

1√m1 +m2

[1−1

]. (35)

Possiamo ora scrivere la soluzione completa del problema omogeneo come combinazione linearidei modi naturali, ognuno partecipante con la corrispondente auto-funzione; abbiamo:

• n pulsazioni naturali ωi, univocamente determinate;

• n auto-funzioni ϕi(τ) = Ci cos(ωi τ − φi), definite a meno di due costanti;

• nmodi naturali ui, inizialmente determinati a meno di una costante, e normalizzati rispettola matrice di massa.

La soluzione sara data dunque:

xom(τ) =

n∑

i=1

uiCi cos(ωi τ − φi) . (36)

dove si intende che la costante arbitraria che definisce i modi naturali e assorbita dalla costanteCi con cui rappresentiamo l’ampiezza delle componenti armoniche ϕi(τ). Infine, le costantiCi e le fasi φi saranno determinate dalle condizioni iniziali xo e xo. La matrice U costruitagiustapponendo per colonne i vettori modali e detta matrice modale:

U =

∣∣∣∣∣∣∣

u1...un

∣∣∣∣∣∣∣1

. . .

∣∣∣∣∣∣∣

u1...un

∣∣∣∣∣∣∣n

, ovvero, in breve U = (u1 . . .un) . (37)

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La matrice modale ha un ruolo molto importante in quanto consente di trasformare le matricidi massa e rigidezza in matrici diagonali; tale effetto si dimostra direttamente a partire dallaproprieta (31): invece di fare un prodotto scalare per volta, possiamo moltiplicare scalarmentetra loro tutti i modi usando la matrice modale:

M ui · uj = δij ⇔ U>M U = I . (38)

Allora, dalla (27) discende immediatamente:

U>K U = Ω , |Ω| =

ω21 0 0

0 . . . 00 0 ω2

n

. (39)

La (36) riscritta in forma matriciale mostra l’utilita della matrice modale U nel rappresentareil vettore delle incognite x(τ):

x1(τ)

...xn(τ)

=

∣∣∣∣∣∣∣

u1...un

∣∣∣∣∣∣∣1

∣∣∣∣∣∣∣

u1...un

∣∣∣∣∣∣∣2

. . .

∣∣∣∣∣∣∣

u1...un

∣∣∣∣∣∣∣n

ϕ1(τ)

...ϕn(τ)

⇔ x(τ) = U Φ(τ) . (40)

dove con Φ(τ) abbiamo indicato il vettore delle funzioni armoniche: Φ(τ) = (ϕ1(τ), . . . , ϕn(τ)).Si noti che l’operazione x(τ) = U Φ(τ) e un cambiamento di base: xi(τ) sono le componentidi x(τ) rispetto la base canonica, mentre ϕi(τ) sono le componenti di x(τ) rispetto alla basemodale:

|x(τ)| =

x1(τ)x2(τ)

...xn(τ)

= x1(τ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

10...0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ . . . + xn(τ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0...01

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ϕ1(τ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u1u2...un

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1

+ ϕn(τ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u1u2...un

∣∣∣∣∣∣∣∣∣n

(41)

I modi di naturali rappresentano la base piu comoda per rappresentare il vettore del motox(τ); analogamente, anche le operazioni del tipo U>A U rappresentano un cambio di base perle matrici: |U>M U| e |U>K U| sono le matrici che rappresentano gli operatori di massa e dirigidezza nella base modale.

2.3 Le Condizioni Iniziali

Come gia visto, ognuna delle n funzioni armoniche ϕi(τ) e definita a meno di 2 costanti chevanno determinate dalle condizioni iniziali:

ϕi(τ) = Ci cos(ωi τ − φi) = ai cos(ωi τ) + bi sin(ωi τ) . (42)

Vanno dunque trovate n ampiezze Ci ed n fasi φi, oppure, gli n + n scalari ai e bi. Usando larappresentazione modale del moto, abbiamo

x(τ) = U Φ(τ) , ⇒ x(0) = U Φ(0) = xo , x(0) = U Φ(0) = vo (43)

Le condizioni iniziali (43) rappresentano un sistema lineare in 2n incognite; tale sistema ha unastruttura a blocchi piuttosto semplice: innanzitutto, osserviamo che

ϕi(0) = Ci cos(−φi) = Ci cosφi = ai ,

ϕi(0) = −ωiCi sin(−φi) = ωiCi sinφi = ωi bi .(44)

9

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Usando la rappresentazione di ϕi in termini di ampiezza e fase, abbiamo

(U 0

0 U

) [ccoscsin

]=

[xo

vo

], |ccos| =

C1 cosφ1

...Cn cosφn

, |csin| =

ω1C1 sinφ1

...ωnCn sinφn

. (45)

Usando la rappresentazione di ϕi in termini delle costanti ai e bi abbiamo invece

(U 0

0 U

) [a

b

]=

[xo

vo

], |a| =

a1...an

, |b| =

ω1 b1

...ωn bn

. (46)

2.3.1 Esempio #1: 2 gdl

Consideriamo un sistema con 2 gdl definito dalle seguenti matrici

|M| =[m1 00 m2

], |K| =

[k11 −k12−k12 k22

]. (47)

Le due pulsazioni naturali si trovano cercando gli zeri del polinomio di secondo grado in ω2:

p(ω2) = det (−ω2 M + K ) = m1m2 ω4 − ( k11m2 + k22m1 )ω2 + k11 k22 − k212 . (48)

Le radici di p(ω2) = 0 sono date da:

ω21,2 =

1

2

(k11m1

+k22m2

)± 1

2

√(k11m1

+k22m2

)2

− 4k11 k22 − k212

m1m2. (49)

Si noti che se il sistema fosse disaccoppiato, k12 = 0 si otterrebbero le due pulsazioni naturalitipiche dell’oscillatore semplice: ω2

1 = k11/m1 e ω22 = k22/m2. Per trovare i modi di vibrazione,

scriviamo la (25) per componenti

|ui| =[u1u2

]

i

,

[−ω2

i

(m1 00 m2

)+

(k11 −k12−k12 k22

)] [u1u2

]

i

=

[00

]. (50)

Come gia detto, in modi non sono univocamente determinati; usiamo la (50) per ricavare ilrapporto tra le componenti per i due modi:

(u2u1

)

i

=k11 − ω2

i m1

k12=

k12k22 − ω2

i m2. (51)

I due modi saranno rappresentati a meno di una costante arbitraria, ad esempio la primacomponente (u1)i; possiamo allora scrivere:

|u1| = u11

1k11 − ω2

1m1

k12

, |u2| = u12

1k11 − ω2

2m1

k12

. (52)

I modi definiti dalla (52) sono ortogonali tra loro rispetto l’operatore di massa, e rimane ora darenderli orto-normali; quest’ultima richiesta determina le due costanti u11 ed u12

M ui · uj = δij ⇒ u11 =1√

m1 +m2

(k11 − ω2

1

k12

)2, u12 =

1√m1 +m2

(k11 − ω2

2

k12

)2.

(53)

10

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La soluzione del problema omogeneo sara data dunque:

xom(τ) = u1C1 cos(ω1 τ − φ1) + u2C2 cos(ω2 τ − φ2) . (54)

Le costanti Ci e le fasi φi sono determinate dalle condizioni iniziali: poniamo xo = (x1o, x2o) exo = (v1o, v2o); allora, dalla (54) si ottiene un sistema di 4 equazioni che consente di trovare le4 costanti:

x1o = (u1)1C1 cosφ1 + (u1)2C2 cosφ2 ,

x2o = (u2)1C1 cosφ1 + (u2)2C2 cosφ2 ,

v1o = ω1 (u1)1C1 sinφ1 + ω2 (u1)2C2 sinφ2 ,

v2o = ω1 (u2)1C1 sinφ1 + ω2 (u2)2C2 sinφ2 .

(55)

Il sistema (55) ha la tipica struttura a blocchi (45):

(U 0

0 U

) [ccoscsin

]=

[xo

xo

], ccos =

[C1 cosφ1C2 cosφ2

], csin =

[ω1C1 sinφ1ω2C2 sinφ2

]. (56)

Posto Ju = det (U), determinante della matrice modale, abbiamo

C1 cosφ1 =(u2)2 x1o − (u1)2 x2o

Ju, C2 cosφ2 =

−(u2)1 x1o + (u1)1 x2oJu

,

C1 sinφ1 =(u2)2 v1o − (u1)2 v2o

ω1 Ju, C2 sinφ2 =

−(u2)1 v1o + (u1)1 v2oω2 Ju

.

(57)

Per utilizzare direttamente quanto appena trovato usiamo la seguente relazione trigonometrica

cos(ω τ − φ) = cos(ω τ) cos(φ) + sin(ω τ) sin(φ) . (58)

La (54), con le (57, 58), si riscrive:

x(τ) = u1

((u2)2 x1o − (u1)2 x2o

Jucos(ω1 τ) +

(u2)2 v1o − (u1)2 v2oω1 Ju

sin(ω1 τ)

)

+ u2

((u2)1 x1o − (u1)1 x2o

Jucos(ω2 τ) +

(u2)1 v1o − (u1)1 v2oω2 Ju

sin(ω2 τ)

).

(59)

2.4 Moto forzato senza smorzamento

Possiamo ora affrontare il problema moto forzato in assenza di smorzamento

M x(τ) + K x(τ) = f(τ) , x(0) = xo , x(0) = vo . (60)

La (60) costituisce un sistema di equazioni accoppiate tra di loro; possiamo cercare la soluzionein termini della matrice modale ponendo x(τ) = U Φ(τ)

M U Φ(τ) + K U Φ(τ) = f(τ) , x(0) = U Φ(0) = xo , x(0) = U Φ(0) = vo . (61)

Moltiplicando a sinistra la (61)1 per U> otteniamo un sistema disaccoppiato

U>M U Φ(τ) + U>K U Φ(τ) = U>f(τ) ⇒ I Φ(τ) + Ω Φ(τ) = U>f(τ) . (62)

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Il vettore f(τ) = U>f(τ) e il vettore dei carichi rappresentato nella nuova base, duale a quelladei modi; per rendersene conto, scriviamo la potenza spesa dalle forze f sulle velocita x:

f · x = f ·U Φ = U> f · Φ = f · Φ ; (63)

dunque, f e il vettore dei carichi che spende potenza su Φ Il sistema (62) e un insieme di nequazioni indipendenti:

ϕ1(τ) + ω21 ϕ1(τ) = f1 ,

ϕ2(τ) + ω22 ϕ2(τ) = f2 ,

......

ϕn(τ) + ω2n ϕn(τ) = fn .

(64)

Per la soluzione di ognuna di tali equazioni si procede come nel caso dell’oscillatore semplice,ossia, la soluzione generale sara la somma della soluzione omogenea piu l’integrale particolare:

ϕi(τ) = ϕi,om(τ) + ϕi,f (τ) . (65)

2.4.1 Esempio #2

Risolviamo esplicitamente l’esempio di Fig.1, senza considerare lo smorzamento e ponendo m1 =m2 = m, k1 = k2 = k3 = k. La (4) si riscrive

m

[1 00 1

] [x1x2

]+ k

[2 −1−1 2

] [x1x2

]=

[fext1

fext2

](66)

Il polinomio caratteristico fornisce:

p(ω2) = det (−ω2 M + K ) = m2 ω4 − 4 kmω2 + 3 k2 = 0 ⇒ ω1 =√k/m , ω2 =

√3 k/m .

(67)Per trovare i modi dobbiamo risolvere il sistema singolare

(−ω2

i m

[1 00 1

]+ k

[2 −1−1 2

]) [u1u2

]

i

=

[00

]; (68)

ossia, dividendo tutto per k e ponendo ωi = αi

√k/m

(−α2

i

[1 00 1

]+

[2 −1−1 2

]) [u1u2

]

i

=

[00

], con α2

1 = 1 , α22 = 3 . (69)

I due modi sono dunque:

[u1u2

]

1

=

[11

],

[u1u2

]

2

=

[−1

1

]. (70)

Al primo modo corrisponde lo stesso spostamento per entrambe i gradi di liberta; nel secondomodo, invece, i due gradi di liberta sono uno opposto all’altro.

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2.4.2 Esempio #3: battimenti

Consideriamo due pendoli di lunghezza L e massa m connessi da una molla di rigidezza k postaa distanza a dal punto di sospensione. La posizione di ogni pendolo e individuata dell’angolo ϑiche esso forma con la verticale; le equazioni di bilancio (del momento) del sistema si scrivonocome segue

mL2 ϑ1 + k a2 (ϑ1 − ϑ2) = −mgLϑ1 ,

mL2 ϑ2 + k a2 (ϑ2 − ϑ1) = −mgLϑ2 .(71)

In questo esempio si considera come unica azione esterna la coppia dovuta al peso, coppia cherisulta proporzionale alla posizione; per tale motivo, portiamo tale contributo nel membro sini-stro dell’equazione e lo inglobiamo nelle azioni elastiche. Riscrivendo il tutto in forma matricialeabbiamo

mL2

[1 00 1

] [ϑ1ϑ2

]+

[k a2 +mgL −k a2−k a2 k a2 +mgL

] [ϑ1ϑ2

]=

[00

](72)

Si noti che il sistema e accoppiato per il solo tramite della molla di rigidezza k; nel caso k = 0avremmo due pendoli indipendenti, ognuno con pulsazione naturale pari a

√g/L. Il polinomio

caratteristico fornisce:

p(ω2) = det (−ω2 M + K ) = (mgL+ k a2 − ω2mL)2 − (k a2)2 . (73)

Le due pulsazioni naturali sono fornite dagli zeri del polinomio caratteristico: risolvendo p(ω2) =0, si trova

ω1 =

√g

L, ω2 =

√g

L+ 2

k a2

mL2. (74)

Per trovare i modi dobbiamo risolvere il sistema singolare

(−ω2

i mL2

[1 00 1

]+

[k a2 +mgL −k a2−k a2 k a2 +mgL

]) [ϑ1ϑ2

]

i

=

[00

], (75)

che ha soluzioni analoghe al caso precedente:

[ϑ1ϑ2

]

1

=

[11

],

[ϑ1ϑ2

]

2

=

[−1

1

]. (76)

13

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Nel primo modo i due pendoli si muovono appaiati e la molla rimane indeformata; nel secondomodo il movimento dei due pendoli e in opposizione di fase e la molla viene allungata e poiaccorciata. Il moto complessivo sara la somma dei due moti armonici

[ϑ1(τ)

ϑ2(τ)

]= c1

[1

1

]cos(ω1 τ − φ1) + c2

[−1

1

]cos(ω2 τ − φ2) . (77)

Le 4 contanti ci, φi, con i = 1, 2, possono essere determinate usando le condizioni iniziali;assumendo ϑ1(0) = 0, ϑ2(0) = ϑo, ϑ1(0) = ϑ2(0) = 0, si ottiene

c1 =1

2ϑo , c2 =

1

2ϑo , φ1 = 0 , φ2 = 0 . (78)

Inserendo questi valori nella (77) si ottiene infine

ϑ1(τ) =1

2ϑo [ cos(ω1 τ)− cos(ω2 τ) ] ,

ϑ2(τ) =1

2ϑo [ cos(ω1 τ) + cos(ω2 τ) ] .

(79)

Possiamo rappresentare la soluzione (79) appena trovata in una forma piu significativa che mettein luce una peculiare caratteristica; utilizziamo le formula trigonometriche che trasformano lasomma di due funzioni armoniche in un prodotto:

1

2(cosβ − cosα ) = sin

α+ β

2sin

α− β2

,1

2(cosβ + cosα ) = cos

α+ β

2cos

α− β2

. (80)

La (79) si puo quindi riscrivere come segue

ϑ1(τ) = ϑo sin

(ω2 − ω1

)sin

(ω2 + ω1

),

ϑ2(τ) = ϑo cos

(ω2 − ω1

)cos

(ω2 + ω1

).

(81)

Se k a2 e molto piccolo rispetto al termine mgL, il sistema risulta debolmente accoppiato; inquesto caso e utile definire una pulsazione media ωm, ed una detta di battimento: ωb

ωm =ω2 + ω1

2'√g

L+

1

2

k

m

a2√g L3

, ωb =ω2 − ω1

2' 1

2

k

m

a2√g L3

. (82)

In termini di ωm ed ωb, possiamo riscrivere

ϑ1(τ) = ϑo sin(ωb τ) sin(ωm τ) , ϑ2(τ) = ϑo cos(ωb τ) cos(ωm τ) . (83)

Le due equazioni (83) possono essere considerate come due funzioni armoniche con pulsazioneωm e con ampiezza variabile lentamente pari a ϑo sin(ωb τ); la modulazione dell’ampiezza vienechiamata battimento, vedi Fig.3. Nel nostro caso, l’intervallo di tempo tra due massimi e Tm =2π/ωm, mentre il periodo del battimento, ossia, dell’inviluppo e Tb = 2π/ωb.

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0 20 40 60 80 100

−1

0

1

τ

ϑ1ϑ2

0 20 40 60 80 100

−1

0

1

τ

ϑ1Inviluppo

Figura 3: Il fenomeno del battimento e ben rappresentato dalla figura. Sinistra: le due oscillazio-ni mostrano una variazione periodica dell’ampiezza; inoltre, quando un gdl raggiunge l’ampiezzamassima, l’altro ha ampiezza minima e viceversa. L’energia totale del sistema viene conservata,ma viene trasferita periodicamente da un gdl all’altro. Destra: viene mostrato solo il moto ϑ1 edil suo inviluppo. Il grafico e stato prodotto ωm = 2.077 ed ωb = 0.077, cui corrispondo periodiTm ' 3 e Tb ' 82.

2.5 Moto libero con smorzamento

Riscriviamo le equazioni (6) che regolano il moto di un sistema ad n gradi di liberta in presenzadi smorzamento

M x(τ) + C x(τ) + K x(τ) = 0 , ∀τ ∈ T . (84)

Usiamo la rappresentazione del moto (40), ossia, poniamo x(τ) = U Φ(τ), dove U e la matricemodale associata ad M e K ricavata risolvendo il problema (25); le equazioni di bilancio delsistema smorzato si possono riscrivere come segue

U>M U Φ(τ) + U>C U Φ(τ) + U>K U Φ(τ) = 0 , ∀τ ∈ T . (85)

Questa rappresentazione, senza ulteriori assunzioni circa la matrice di smorzamento C, non emolto utile in quanto le equazioni rimangono accoppiate: la matrice modale rende diagonali lematrici di massa e di rigidezza, ma non quella della viscosita. In generale, non e possibile trovaredei modi ui che rendano diagonali contemporaneamente tutte e tre le matrici; tale problemarisiede nel fatto che le azioni viscose non sono energetiche e quindi la matrice C non e definitapositiva.

Una ipotesi molto usata per ovviare a questo problema assume che lo smorzamento siaproporzionale alla massa ed alla rigidezza: C = αM + βK; allora, possiamo diagonalizzarecontemporaneamente tutte e tre le matrici e riscrivere la (86) come segue:

I Φ(τ) + (α I + βΩ) Φ(τ) + Ω Φ(τ) = 0 , ∀τ ∈ T . (86)

Il precedente sistema rappresenta un insieme di n equazioni disaccoppiate:

ϕi(τ) + 2 ζi ωi ϕ(τ) + ω2i ϕ(τ) = 0 , ∀τ ∈ T , con ζi =

α+ β ω2i

2ωi. (87)

A questo punto, ognuna delle equazioni (87) si risolve con la tecnica vista per l’oscillatoresemplice con smorzamento.

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2.6 Moto forzato con smorzamento

Riscriviamo le equazioni (84) con la presenza di una forzante

M x(τ) + C x(τ) + K x(τ) = f(τ) , ∀τ ∈ T . (88)

Tale sistema presenta lo stesso problema appena menzionato e viene affrontato facendo le stesseipotesi sulla viscosita C gia viste in precedenza. La (88) si trasforma nella

I Φ(τ) + (α I + βΩ) Φ(τ) + Ω Φ(τ) = f , ∀τ ∈ T , con f = U>f . (89)

Il precedente sistema rappresenta un insieme di n equazioni disaccoppiate:

ϕi(τ) + 2 ζi ωi ϕ(τ) + ω2i ϕ(τ) = fi(τ) , ∀τ ∈ T , con ζi =

α+ β ω2i

2ωi. (90)

A questo punto, ognuna delle equazioni (90) si risolve con la tecnica vista per l’oscillatoresemplice smorzato in presenza di forzante.

3 Bibliografia

L. Meirovitch. Fundamentals of Vibrations, McGraw Hill, 2001.

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