Corso di Formazione per docenti di Scuola Superiore:

Il calcolo infinitesimale nei licei

Marzo-Aprile 2012LaboratorioDidattico effediesse

Dipartimento diMatematica – Politecnico di Milano

Prof. Marco Bramanti

Pagina web del corso (materiale scaricabile ecc.): www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/corso_formazione_analisi_2012.htm

Raggiungibile anche dalla pagina web effediesse:http://fds.mate.polimi.it/

formazione, formazione docenti, calcolo infinitesimale, link a fondo pagina.

Lezione 2. Funzioni, limiti.

Dalle indicazioni nazionali per il 5° anno dei licei non scientifici.

Matematica, Relazioni e funzioni

“Lo studente approfondirà lo studio delle funzioni fondamentali dell’analisi anche attraverso esempi tratti dalla fisica o da altre discipline. Acquisirà il concetto di limite di una successione e di una funzione e apprenderà a calcolare i limiti in casi semplici”.

Preparare la strada al calcolo infinitesimale negli anni precedenti

La miglior preparazione al calcolo infinitesimale negli anni precedenti è:

un giusto spazio dato al concetto di funzione, con le sottolineature che poi dettaglieremo;

un certo spazio dato alle sottolineature di tipo logico (“esiste”, “per ogni”, uso di variabili, negazioni,...);

(in minor misura) uso di valori assoluti e disuguaglianze.

Il concetto di funzione

Dal numero (quantità costante) vogliamo passare alla descrizione matematica di grandezze variabili.

Idea: dietro il concetto (fisico, geometrico, ecc.) di grandezza variabile sta sempre una relazione tra due grandezze.

L'altra idea forte di funzione è quella di univocità di questa corrispondenza.

Il concetto di funzione si è evoluto:

Newton: la funzione è implicitamente assunta continua e regolare;

Dirichlet: corrispondenza arbitraria tra insiemi numerici;

Attuale: corrispondenza arbitraria tra insiemi qualsiasi.

Centralità del concetto di funzione reale di variabile reale

Il punto di vista moderno di funzione come corrispondenza insiemistica arbitraria è un concetto quadro, che va comunicato, ma chiarendo subito cos'è che interessa a noi:

il concetto di funzione reale di variabile reale.

Questo dev’essere l'esempio guida per comprendere tutti concetti fondamentali sulle funzioni (composta, inversa, iniettiva, suriettiva): perché spiegarli con diagrammi o tabelline?

Ci interessano funzioni numeriche.

Centralità del concetto di funzione reale di variabile reale

Il concetto di funzione come corrispondenza arbitraria è utile per:

Avere un linguaggio unitario con cui indicare funzioni di più variabili che talvolta si incontrano: es. in algebra o geometria analitica i polinomi in due variabili, in fisica la legge oraria di un punto mobile nel piano o nello spazio…;

Comunicare che il concetto di funzione è più ampio della piccola lista di operazioni con cui solitamente fabbrichiamo funzioni;

Evidenziare che, nello sviluppo della teoria, non possiamo dare per scontate proprietà (continuità, derivabilità) che valgono per le funzioni elementari, ma dobbiamo metterle in ipotesi, se ci servono. (Il nome “analisi” nasce da questa consapevolezza).

Un discorso analogo andrebbe fatto per insiemi / intervalli.

Il concetto di funzione come elemento

unificante della matematica “di base” Introdurre presto il concetto di funzione dà uno strumento per fare sintesi tra argomenti matematici che sembrano indipendenti.

1. Algebra, “calcolo letterale”, polinomi

Premessa. Non parliamo di “lettere” come se fossero oggetti a sé, diverse dai numeri; parliamo di “variabili”, in un'espressione o una funzione, che possono indicare qualsiasi numero in un dato insieme.

L’uso delle variabili ci interessa per:

affermare identità (o disuguaglianze) di valore generale;

esprimere (e calcolare il valore di) grandezze che variano al variare di altre (“in funzione” di altre).

Algebra, “calcolo letterale”, polinomi

Per fare deduzioni teoriche, semplificare espressioni, trasformarle, accorgersi che un'affermazione è equivalente a un'altra o implica un'altra, è utile il calcolo letterale:

calcolo eseguito su espressioni contenenti sia delle costanti (numeri) sia delle variabili, in base alle proprietà che sappiamo valere nell'insieme numerico considerato.

In questo quadro non ha senso definire i monomi, poi i polinomi, come oggetti algebrici indipendenti: sono particolari funzioni o espressioni.

Il concetto di funzione unifica e semplifica (purché si privilegino i polinomi in una variabile). I polinomi ci interessano:

come particolari funzioni (semplici da calcolare); per le equazioni algebriche (scomposizione, divisione, fattorizzazioni…).

Geometria analitica

Rette, parabole (e certe iperboli) sono particolari funzioni.

Ci sono curve che non sono (globalmente) grafico di funzione, come ellisse, circonferenza (per l'iperbole dipende):

dicotomia tra locale (analisi) e globale (geometria).

Le coniche hanno equazione polinomiale in due variabili. Idea che un polinomio anche di grado alto, in due variabili, rappresenti una curva.

Radici e potenze a esponente qualsiasi

Capirne le proprietà e i grafici.

Perché x2 ha quel grafico e x1/2 ha quel grafico? Si possono fare confronti con le rette y=mx…

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Conoscerne le proprietà e i grafici.

Usare la monotonia nel risolvere le disequazioni.

Le funzioni esponenziali rappresentano particolari fenomeni di crescita veloce, in cui la velocità di crescita è proporzionale alla grandezza stessa. Ad esempio…

Probabilità (5° anno): distribuzioni continue (esponenziale, Gaussiana).

Scale logaritmiche e funzioni logaritmiche in fisica (es. musica, altezza e intensità).

Cercare una relazione lineare tra logx e logy permette di trovare una relazione non lineare tra x e y. (Es. 3a legge di Keplero). (Secondo biennio, regressione lineare).

Una parentesi: variabili aleatorie continue

Legge esponenziale. Sia Y l’ “istante del primo arrivo” in un processo di Poisson di intensità ν (ossia in un intervallo di tempo T mi aspetto in media νT arrivi). Allora (per t > 0),

Densità normale standard:

Regressione lineare e 3a legge di Keplero

Funzioni trigonometriche

Il concetto di funzione trigonometrica non va secondo me sovrapposto eccessivamente allo studio della trigonometria, con i suoi significati geometrici.

La trigonometria va anzitutto spiegata e capita per ciò che è, utilizzo delle similitudini geometriche e delle informazioni sugli angoli.

Poi, nello studio dell'analisi, imparerò anche a “pensare” seno e coseno come funzioni.

Utile ad es. per le disequazioni trigonometriche: sono “difficili” perché coinvolgono funzioni non monotone.

Funzioni trigonometriche

Ma il vero significato delle funzioni trigonometriche come funzioni si capirà solo studiando il calcolo differerenziale:

il fatto che seno e coseno soddisfino la relazione f”=-f è ciò che le rende fondamentali per la fisica e quindi per l'analisi.

Si possono anticipare esempi di funzioni fisiche periodiche, moto armonico, ecc., e suggerire l’idea che questi siano l’abc di tutti i fenomeni vibratori, ondulatori, ecc.

Alcuni concetti logici legati alle funzioni

Funzione composta. 1. Comporre funzioni

Funzione come algoritmo, sequenza univoca di istruzioni; sequenza di “tasti da pigiare” in un ordine prestabilito;

Esempio: saper scrivere correttamente

Esempio: dire se una funzione composta è pari o dispari (o nessuna delle due cose), calcolando f(-x).

Alcuni concetti logici legati alle funzioni

Funzione composta. 2. Scomporre funzioni

Determinare l’insieme di definizione di una funzione: è una questione logica. Ad esempio, occorre imparare che:

“La radice quadrata è definita quando il radicando è non negativo” e non che:

“La radice quadrata è definita quando x è non negativo”.

Occorre imparare che:

“Il logaritmo è definito quando l’argomento è positivo” e non che:

“Il logaritmo è definito quando x è positivo”.

Problema analogo: discutere i moduli: |x-2| = x-2 per x>2, non per x>0.

Alcuni concetti logici legati alle funzioniFunzione invertibile, funzione inversa

Scrivere l’inversa è saper risolvere un’equazione (esercizio molto utile di ripasso della matematica elementare!)

Tuttavia:

Stabilire che una funzione è invertibile è diverso dal saper scrivere l’inversa. Ad esempio x + ex è invertibile perché è strettamente crescente.

Funzione definita “a tratti”

Significa che oltre alle funzioni matematiche possiamo usare anche la funzione logica “se…allora”. Insegnare a scrivere una funzione che ha n casi annidando n “se…allora”.

E’ istruttivo determinare l’insieme di definizione di queste funzioni.

Alcuni concetti logici legati alle funzioni:operazioni sui grafici

Costruire, a partire dal grafico di f(x), il grafico di…

f(x+c); f(x) +c

f(ax); af(x)

f(|x|); |f(x)|

f(-x); -f(x)

Il problema non è solo eseguire una di queste operazioni assegnate, ma saper analizzare una funzione composta e capire in quale ordine devo eseguire le operazioni per ottenerla a partire da funzioni elementari.

Verso il concetto di limite

Uso di variabili e quantificatori (“esiste”, “per ogni”). Occorre:

Imparare a percepire quando una frase contiene variabili libere e quindi “non è ancora” una proposizione (finché non si quantificano le variabili).

L’errore più comune nell’uso dei quantificatori da parte degli studenti non è il quantificatore errato ma il quantificatore mancante.

Esercizi si possono costruire col linguaggio comune, con la geometria, con l’aritmetica… (v. libro Bramanti-Travaglini).

Imparare a negare proposizioni contenenti quantificatori.

Verso il concetto di limite

Uso di valori assoluti e disuguaglianze. Occorre riprendere:

Il concetto di valore assoluto;

modulo della differenza come distanza sulla retta, significato geometrico di disuguaglianze come

Il modulo del prodotto (quoziente) è il prodotto (quoziente) dei moduli, mentre il modulo della somma...

disuguaglianza triangolare.

Come si scrive una catena di disuguaglianze. (v. Bramanti-Travaglini, il capitolo “maggiorazioni”).

Limiti. (Prima parte)Premessa. Il concetto di limite è il fondamento concettuale del calcolo infinitesimale.

Quindi è un concetto importante ma anche, in un certo senso, un concetto ausiliario: nell’economia complessiva del calcolo infinitesimale, è più un mezzo che un fine, la sua utilità è mediata.

Una volta introdotto, risulta però avere anche un’utilità immediata (v. studio di funzione, asintoti).

Limiti: gli obiettivi

Queste due osservazioni delineano anche gli obiettivi con cui insegniamo i limiti:

Concettuale: comprendere la definizione di continuità, derivata, integrale, e la dimostrazione di alcuni teoremi (almeno) di calcolo differenziale;

Computazionale: saper trovare gli asintoti di una funzione, capire come si ricavano le formule di derivazione delle funzioni elementari.

Limiti di funzioni / limiti di successioni“Acquisirà il concetto di limite di una successione e di una funzione e apprenderà a calcolare i limiti in casi semplici.”

Non ci sono forti motivazioni per parlare a scuola di limiti di successioni. In analisi infatti i limiti di successioni servono:

1) per introdurre le serie numeriche (ma a scuola non si fanno) e per dare una delle possibili definizioni di integrale definito;

2) per dimostrare certi teoremi (teorema degli zeri o di Weierstrass) (ma a scuola non si dimostrano);

3) per sottolineare gli aspetti algoritmici, numerici, di approssimazione (e nei licei non scientifici…).

Se si devono fare i limiti di successioni, meglio utilizzarli per avere maggior gradualità nell'introdurre il concetto di limite: prima limiti di successioni (più facili) poi di funzioni.

La definizione di successione

Definizione di successione come funzione da N a R.

“Grafico” (punteggiato).

Successione come elenco di termini. (Per una funzione su R non è possibile).

Gli ingressi sono infiniti, le uscite possono non esserlo: (-1)n

Gli ingressi sono “ordinati”, le uscite possono non esserlo: sinn definizione di successione monotona.

Ci interessa capire cosa fa an al crescere di n. Esplorazione numerica, grafica.

Verso la definizione di limite di successione

Problema logico: capire che {an} contiene una variabile:

dire ad esempio “an è maggiore di 5” non è una proposizione di senso compiuto: devo sempre quantificare la variabile, cioè dire per quale n succede una certa cosa. (v. “variabili e quantificatori”).

Questo aspetto può pregiudicare la comprensione delle dimostrazioni.

Si possono fare domande vero/falso o ha senso / non ha senso.

Esempi…

Verso la definizione di limite di successione

Problema logico: usare bene l’espressione “per n abbastanza grande”. Ragionamento ricorrente:

Se per n abbastanza grande è vero p(n) e per n abbastanza grande è vero q(n), allora per per n abbastanza grande sono vere simultaneamente p(n) e q(n).

Per ogni n>N è vero p(n) e per ogni n>M è vero q(n), allora per n>max(N,M) è vero p(n) e q(n).

Definizione di limite di successione

Definizione di limite (finito). Si dice che

Si dice anche che

Attenzione al linguaggio:

il limite è uguale a…, la successione tende a…

(La successione è un corridore, si muove, il limite il traguardo, sta fermo).

Definizione di limite di successione

Esempio.

Prima di “risolvere la disequazione” ragionarci intuitivamente: è vero che per abbastanza grande si avrà 7/(n+3) piccolo quanto si vuole? Solo dopo che se ne è convinti, risolvere.

Altri esempi…

Pochi esempi di definizione di limite.

Devono servire a capire la definizione, non sono “un tipo di esercizio”: i limiti non si calcolano con la definizione!

Prime proprietà dei limiti di successioni

Teorema di unicità del limite.

Definizione di successione convergente.

Definizione di limite infinito. (Io farei solo + e – infinito).

Esempi…

Successioni che non ammettono limite. Esempi…

Successioni notevoli: potenze ed esponenziali.

Teorema sull'algebra dei limiti (finiti).

Prime proprietà dei limiti di successioni

Primi limiti di quozienti di polinomi, con raccoglimento delle parti principali;

resta escluso il caso in cui il numeratore ha grado maggiore; questo motiva:

teorema sull'algebra dei limiti con limiti anche infiniti.

Teorema del confronto, casi particolari, esempi.

Teorema di permanenza del segno.

Perché tutto questo?

Così facendo non c’è troppa teoria?

Ruolo concettuale, teorico, dei limiti di successioni.

In questa prima fase l’obiettivo non è il saper calcolare limiti (o “verificare la definizione di limite”):

esercizio, per lo studente, è anche andare alla lavagna e ripetere una definizione o una dimostrazione, curando linguaggio, simbolismo, uso delle variabili, dei quantificatori:

lo studente deve capire che questo è ciò che è a tema.