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Segnali e trasformate - 1
Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici L
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione Controlli Automatici LA
Segnali e trasformate
Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093020 Email: [email protected]
URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi
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Segnali tempo continui
Sono funzioni reali di variabile reale: la variabile indipendente rappresenta il tempo
descrivono l’andamento temporale delle variabili di interesse importante caratterizzarne le proprietà
Segnali canonici: normalmente nulli per t<0 gradino unitario rampa parabola
Segnali periodici cosinusoide: caratterizzata da ampiezza, pulsazione e fase
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Segnali periodici
Un segnale si dice periodico di periodo T se
1.
2. T è il più piccolo numero reale per cui la 1 è verificata
Un segnale costante è periodico di periodo nullo
Pulsazione caratteristica
Periodica di periodo 2
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periodo periodo
periodo
periodo
periodo
Segnali periodici
Proprietà: date due funzioni periodiche con periodi tra loro commensurabili (ovvero tali che con interi), la loro somma risulta essere una funzione periodica di periodo
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periodo periodo
periodo
periodo
periodo
In generale la combinazione lineare di funzioni sinusoidali
è un segnale periodico di periodo
Segnali periodici
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La serie di Fourier
Risultato fondamentale: Data una funzione complessa di variabile reale periodica con periodo T, si ha
La successione è lo spettro di Fourier del segnale, è lo spettro di ampiezza e è lo spettro di fase
La conoscenza dello spettro di ampiezza e fase permette di ricostruire il segnale originario
Se il segnale è reale, si ha
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La serie di Fourier
Formulazioni alternative
si ottiene la forma trigonometrica
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La serie di Fourier e l’analisi armonica Ogni segnale periodico è scomponibile nella somma di una costante, la
componente continua, e di una infinità numerabile di cosinusoidi, le armoniche, a pulsazioni multiple dell’armonica fondamentale
Il peso di ogni armonica è stabilito dallo spettro di ampiezza Proprietà
Una funzione pari è sviluppabile in soli serie di coseni, cioè Fsn = 0 Una funzione dispari è sviluppabile in soli serie di seni, cioè Fcn = 0 Teorema di Parseval
La potenza media associata al segnale, se esiste, è definita dallo spettro di ampiezza
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La serie di Fourier e l’analisi armonica Per analisi armonica si intende lo studio dello spettro, cioè la
rappresentazione del segnale nel dominio delle frequenze e non del tempo Esistono segnali il cui sviluppo in serie e’ composto da un numero finito
di termini Si definisce banda del segnale l’intervallo di pulsazioni compreso tra la
minima e la massima pulsazione dei termini non nulli Segnali con un numero infinito di termini non nulli sono in principio a
banda illimitata se il segnale è a potenza finita, l’ampiezza dello spettro di fase tende
necessariamente a zero al crescere della pulsazione da un punto di vista pratico, si parla di banda del segnale, la cosiddetta
banda essenziale, intendendo la banda in cui è confinata una percentuale data, solitamente il 95% o il 99%, della potenza totale del segnale
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Spettro serie di Fourier ( ) Segnale temporale
Esempi di spettri
La presenza di armoniche a frequenze elevate è legata alla derivata del segnale temporale: a segnali più “bruschi” corrispondono spettri che si estendono a frequenze più elevate
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Spettri serie di Fourier ( ) Segnale temporale “smussato”
Esempi di spettri
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La trasformata di Fourier
Data un segnale (a valori reali o complessi) si definisce trasformata di Fourier la funzione complessa di variabile reale definita come
Rappresenta l’estensione ai segnali non periodici della serie di Fourier Non tutti i segnali ammettono trasformata, l’integrale deve esistere Trasformazione inversa
Spettro di ampiezza
Spettro di fase
Per segnali reali è sufficiente la conoscenza dello spettro per pulsazioni positive
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La trasformata di Fourier
Linearità
Forma trigonometrica
Un segnale che ammette trasformata di Fourier è esprimibile come somma non numerabile di funzioni elementari cosinusoidali
Si può definire il concetto di banda limitata e banda essenziale di un segnale analogamente a quanto fatto per segnali periodici Un segnale diverso da zero in un intervallo di tempo finito può avere banda
illimitata
Teorema di Parseval
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Esempio
Impulso rettangolare
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La trasformata di Laplace
La trasformata di Fourier ha una chiara interpretazione fisica, ma non tutti i segnali di interesse sono trasformabili
La trasformata di Laplace si applica ad una qualunque funzione a valori complessi coniugati o reali e di variabile reale
esiste per praticamente tutti i segnali di interesse risulta definita per ogni s appartenente al semipiano del piano di Gauss
posto a destra di una retta parallela alla asse immaginario la cui posizione dipende da f(t) (dominio di convergenza)
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Notazione:
Le due funzioni hanno lo stesso contenuto informativo (trasformazione biunivoca).
La trasformata di Laplace
Sotto talune (non restrittive) ipotesi la trasformata di Laplace risulta univoca e la trasformazione inversa risulta definita come
dove è una qualunque ascissa appartenente al dominio di convergenza di
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Linearità
Derivazione
Integrazione
Traslazione temporale
Teorema valore iniziale
Teorema valore finale
Proprietà della trasformata di Laplace
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Trasformazione segnali elementari
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Riferimento a tabella per trasformazioni “meno” elementari
Trasformazione segnali elementari
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Esempi trasformazione funzioni “complesse
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La soluzione delle equazioni differenziali lineari
Trasformata di Laplace strumento utile Esempio: equazione omogenea di ordine 1
Antitrasformazione utilizzo della formula: scomodo si sfruttano funzioni elementari di cui si conosce la trasformata
per ordini più elevati si sfrutta la formula di derivazione ricorsivamente necessario conoscere tutte le condizioni iniziali necessarie
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La soluzione delle equazioni differenziali lineari
A partire da EDO lineari omogenee, si ottengono sempre trasformate di Laplace per la soluzione in forma razionale fratta
Equazioni non omogenee con condizioni iniziali nulle
conoscendo la trasformata della u(t) si ricava Y(s) e poi per antitrasformazione la y(t)
nel caso di U(s) razionale fratta, anche la Y(s) sarà ancora razionale fratta
per quanto visto nella lezione precedente, per calcolare il segnale è sufficiente conoscere l’antitrasformata dei termini elementari
attenzione, se il polo è complesso si ottiene un segnale complesso
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Antitrasformazione di funzioni razionali fratte
Si utilizza lo sviluppo in fratti semplici calcolo dei coefficienti di ogni termine dello sviluppo già visto poli semplici reali
poli semplici complessi coniugati
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Rappresentazione grafica (molteplicità 1)
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Antitrasformazione di funzioni razionali fratte
poli multipli reali
poli multipli complessi coniugati
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Rappresentazione grafica (molteplicità > 1)
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Segnali e trasformate Fine
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