Cose da sapere - elettromagnetismo

In queste pagine c’e` un riassunto di relazioni e risultati che abbiamo discusso e che devono essere conosciuti. Forza di Lorentz agente su una carica q in moto con velocita` v in presenza di un campo magnetico B e di un campo elettrico E

!F = q

!E + q

!v!!B

Contributo infinitesimo al campo magnetico prodotto da un elemento di circuito lineare dl percorso da una corrente i in un punto che si trova nella posizione rr visto da dl (prima legge elementare di Laplace)

d!B = µ0

4!i d!l !!r

r3=µ04!i d!l ! r̂r2

Elemento di forza che agisce su un elemento di corrente idl immerso in un campo magnetico B (seconda legge elementare di Laplace)

d!F = id

!l !!B

Intensita` del campo magnetico a distanza r da un filo rettiline infinito (praticamente molto lungo) percorso da una corrente i (la direzione del campo e` tangenziale alla circonferenza con centro sul filo, perpendicolare al filo, e di raggio r; il verso del campo e la direzione della corrente sono legati dalla regola della mano destra).

B = B(r) = µ0i2! r

Intensita` del campo magnetico nel centro di una spira di raggio r percorsa da una corrente i.

0

2iBr

µ=

Intensita` del campo magnetico nel vuoto all’interno di un solenoide percorso dalla corrente i con n spire per unita` di

B = µ0ni

lunghezza Legge di Gauss per il magnetismo (Σ rappresenta una superficie chiusa)

!"(!B) =

!B #!ndA = 0 (forma integrale)

"!$

"% #"B = 0 (forma locale o differenziale)

Legge di Ampere !B !d!r = µ0 ik

k - concatenata

"C!# (forma integrale)

"$%"B = µ0

!J (forma differenziale)

Momento magnetico di una spira piana di area S e versore normale n percorsa da una corrente i

!m = iS

!n

Momento della forza (momento meccanico) che agisce su un dipolo magnetico di momento m immerso in un campo magnetico esterno B

!M =

!m!!B

Energia di un dipolo magnetico di momento m in un campo esterno B

U = !!m "!B

Campo magnetico statico espresso in termini di un potenziale vettore A

!B =!!"!A

(invarianza di gauge: lo stesso !B deriva da

!A' =

!A+!!f )

Equazione per il potenziale vettore (nel gauge in cui !! "!A = 0 )

!!A = "µ0

!J

Soluzione per !A !

A(!r ) = µ0

4!

!J (!r ')!r !!r 'dV '"

Induzione elettromagnetica: legge di Faraday-Lenz (in un circuito la fem indotta e` data dalla derivata rispetto al tempo del flusso del campo magnetico concatenato con il circuito – il concetto di circuito concatenato e` possibile grazie al fatto che il campo magnetico e` a divergenza nulla)

! indotta ! ! = "d#(!B)

dt

Legge di induzione elettromagnetica in forma locale e integrale

!!"!E = # $

!B$t

! =!E !d!r

C"" = #

$!B$t%(C )

" !!ndA

Dati 2 circuiti 1 e 2 accoppiati, il coefficiente di mutua induzione M12=M21 fornisce il flusso del

!2(!B1 ) = M12i1

campo magnetico concatenato a un circuito dovuto a una corrente che circola nell’altro circuito f.e.m. indotta tra due circuiti accoppiati ! = !M di

dt

Coefficiente di autoinduzione (induttanza)

!(!B) = Li

f.e.m. di autoinduzione ! = !L di

dt

Induttanza di un solenoide lungo l, con N spire (n spire per unita` di lunghezza), ciascuna di area A (V=volume del solenoide)

L = µ0AN 2

l= µ0Al !n

2 = µ0Vn2

Serie di n induttanze disaccoppiate (coefficienti di mutua induzione trascurabili rispetto alle induttanze)

Lserie = Lkk=1

n

!

Parallelo di n induttanze disaccoppiate (coefficienti di mutua induzione trascurabili rispetto alle induttanze)

Lparallelo

-1 = Lk

!1

k=1

n

"

Energia magnetica di una induttanza U =

12Li2

Densita` di energia magnetica nel vuoto (energia magnetica per unita` di volume)

uB (!r ) = 1

2µ0

!B(!r )

2

Corrente di spostamento (aggiunta alla corrente di conduzione impone la validita` dell’equazione di continuita` della carica elettrica)

!JS = !0

!!E!t

Equazioni di Maxwell !! "!E = !

"0

!!#!E = $ %

!B%t

!! "!B = 0

!!#!B = µ0

!J +!0

%!E%t

&

'(

)

*+

Campi elettrico e magnetico in termini dei potenziali scalare e vettore

!E = !

!"#!

$!A$t!

B =!"%!A

Invarianza di gauge (i campi elettrico e magnetico non cambiano se si trasformano i potenziali scalare e vettore

!A!

!A' =

!A+!"f

#!#' =#$%f%t

secondo questa regola: f e` una funzione arbitraria – purche` derivabile – del tempo e del punto nello spazio) Equazioni dei potenziali (derivate dalle equazioni di Maxwell) !

!A"µ0!0

#2!A

#t 2= "µ0

!J (corrente di conduzione)

!$"µ0!0#2$

#t 2= "

!"0

Soluzione (potenziali ritardati) !A(!r , t) = µ0

4!dV '

!J (!r ', t !

!r !!r 'c

)!r !!r '"

#(!r , t) = µ0

4!dV '

#(!r ', t !

!r !!r 'c

)!r !!r '"

Equazione delle onde per i potenziali (nel vuoto, in regioni in cui densita` di carica e correnti di conduzione sono nulle) – valida nel gauge di Lorentz, nel quale i potenziali soddisfano la

relazione: !! "!A+µ0!0

#$#t

=0

!!A"µ0!0

#2!A

#t 2= 0

!$"µ0!0#2$

#t 2= 0

Equazione delle onde per i campi nel vuoto, in assenza di cariche e correnti

!!E "µ0!0

#2!E

#t 2= 0

!!B "µ0!0

#2!B

#t 2= 0

c2 = 1µ0!0

c $ 3%108 m/s

Onda piana !E(!r , t) =

!E0e

! i (!t!!k "!r )

!B(!r , t) =

!B0e

! i (!t!!k "!r )

Frequenza, Periodo ! =

"2#, T = 1

!

Numero d'onda, lunghezza d'onda k =|

!k |, ! = 2!

k

Velocita` di fase c = !T=!k

Le onde sono trasversali (rispetto alla direzione di propagazione) e i campi e la direzione di propagazione formano una terna destrorsa

!k !!E = 0 (

!! "!E = 0)

!k !!B = 0 (

!! "!B = 0)

!k !!E =!

!B (!!"!E = ! "

!B!t)

Vettore di Poynting !S =!E !!B

µ0

Conservazione dell'energia: il campo elettromagnetico trasporta energia. La densita` di energia e` data da

u(!r , t) = !0

2|!E |2 + 1

2µ0|!B |2 .

!u!t+!! "!S +!J !!E!

"#$= 0

Dimensione fisica di S: [S]/L = E/L3T ==> [S]=Energia/(Superficie x Tempo) J/m2s

Intensita` dell'onda I ! |!S |