cottos bustamante carlos - desarrollo de primera práctica de métodos numéricos
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Cottos Bustamante Carlos - Desarrollo de Primera Práctica de Métodos NuméricosTRANSCRIPT
Universidad San Pedro Práctica de Métodos NuméricosFacultad de Ingeniería Ciclo VIEscuela de Mecánica Eléctrica
Práctica de Métodos Numéricos para Ingenieros
METODO GRAFICO
5.a Si f (x)=x3−x+1, al trazar la gráfica, podemos observar que corta al eje x en un punto
ubicado entre <-2,-1> (dentro de [-10,10]),entonces ahi se ubica una raíz.
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EJERCICIO NUMERO 5
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Si hacemos f(x)=g(x)-h(x), donde g(x)=x3, h(x)=x-1 y luego graficamos estas funciones en un mismo
plano, vemos que la intersección de ambas funciones proyectada en el eje x sucede entre <-2 y -1>,
confirmando lo visto en el gráfico anterior.
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5.b. APLICACIÓN DEL METODO BUSCA.- Con este método buscamos raíces. Intervalo en [-10,10] y la amplitud de los subintervalos es de 1 (h=1). Abajo muestro los resultados obtenidos con este método, para la función f (x)=x3−x+1 el cual fue trabajado con la ayuda del Excel. En efecto, el método confirma lo ya mostrado por el método gráfico, existe una raíz entre -2 y -1. Esto lo sabemos porque f(a).f(b)=-5 < 0 justo en ese subintervalo <-2,-1>
h= 1 Donde h es la amplitud del intervalo.
Nro. de intervalos
a b f(a) f(a) f(a)*f(b) Decisión
1 -10 -9 -989 -719 711091 No existe raíz2 -9 -8 -719 -503 361657 No existe raíz3 -8 -7 -503 -335 168505 No existe raíz4 -7 -6 -335 -209 70015 No existe raíz5 -6 -5 -209 -119 24871 No existe raíz6 -5 -4 -119 -59 7021 No existe raíz7 -4 -3 -59 -23 1357 No existe raíz8 -3 -2 -23 -5 115 No existe raíz9 -2 -1 -5 1 -5 Existe raíz
10 -1 0 1 1 1 No existe raíz11 0 1 1 1 1 No existe raíz12 1 2 1 7 7 No existe raíz13 2 3 7 25 175 No existe raíz14 3 4 25 61 1525 No existe raíz15 4 5 61 121 7381 No existe raíz16 5 6 121 211 25531 No existe raíz17 6 7 211 337 71107 No existe raíz18 7 8 337 505 170185 No existe raíz19 8 9 505 721 364105 No existe raíz20 9 10 721 991 714511 No existe raíz
En efecto: Para el intervalo <-2,-1>: a=-2 y b=-1
Luego: Si f (x)=x3−x+1, entonces f (a )=f (−2 )=−5 y f (b )=f (−1 )=1
Luego: f (a ) . f (b )<0 , por lo tanto entre←2 ,−1>existe unaraíz
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5.c) APLICACIÓN DEL MÉTODO DE BISECCIÓN.- a cada intervalo con una tolerancia de 0.0001 para
f (x)=x3−x+1. Este método se aplico con la ayuda del Excel, para el intervalo <-2,-1>
Nro. a b c f(a) f ( c ) p=f(a)*f(c) Abs(a-b) Comentario
1 -2.00 -1.00 -1.500000000 -5.0000 -0.8750 4.3750 0.5000 Continúe iterando
2 -1.50 -1.00 -1.250000000 -0.8750 0.2969 -0.2598 0.2500 Continúe iterando
3 -1.50 -1.25 -1.375000000 -0.8750 -0.2246 0.1965 0.1250 Continúe iterando
4 -1.38 -1.25 -1.312500000 -0.2246 0.0515 -0.0116 0.0625 Continúe iterando
5 -1.38 -1.31 -1.343750000 -0.2246 -0.0826 0.0186 0.0313 Continúe iterando
6 -1.34 -1.31 -1.328125000 -0.0826 -0.0146 0.0012 0.0156 Continúe iterando
7 -1.33 -1.31 -1.320312500 -0.0146 0.0187 -0.0003 0.0078 Continúe iterando
8 -1.33 -1.32 -1.324218750 -0.0146 0.0021 0.0000 0.0039 Continúe iterando
9 -1.33 -1.32 -1.326171875 -0.0146 -0.0062 0.0001 0.0020 Continúe iterando
10 -1.33 -1.32 -1.325195313 -0.0062 -0.0020 0.0000 0.0010 Continúe iterando
11 -1.33 -1.32 -1.324707031 -0.0020 0.0000 0.0000 0.0005 Continúe iterando
12 -1.33 -1.32 -1.324951172 -0.0020 -0.0010 0.0000 0.0002 Continúe iterando
13 -1.32 -1.32 -1.324829102 -0.0010 -0.0005 0.0000 0.0001 Continúe iterando
14 -1.32 -1.32 -1.324768066 -0.0005 -0.0002 0.0000 0.0001 -1.324768066
En este método c=a+b2,entonces
Primera Iteración
c=−2−12
=−1.5
Luego: Si f (x)=x3−x+1, entonces f (a )=f (−2 )=−5 y f (c )=f (−1.5 )=−0.875
Luego: f (a ) . f (c )>0 , entonces|b−c|=0.5000>0.0001 , entonces |a-c| es aun mayor que la tolerancia por lo que debemos continuar iterando.
Segunda Iteración
c=−1.5−12
=−1.25
Luego: Si f (x)=x3−x+1, f (a )=f (−1.5 )=−0.875 y f ( c )=f (−1.25 )=0.2969
Luego: f (a ) . f (c )<0 , entonces|a−c|=0.25>0.0001 , entonces |a-c| es aún mayor que la tolerancia por lo que debemos continuar iterando.
Con el método de la Bisección la raíz es obtenida en la iteración número 14, con un valor de
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-1.324734897 y una tolerancia de 0.0001.
5.d) APLICACIÓN DEL MÉTODO MODIFICADO DE LA REGLA FALSA MODIFICADA.- en <-2,-1>, para
f (x)=x3−x+1, con una tolerancia de 0.0001
n a b f(a) f(b) c f( c) p=f(a)*f( c) abs(a-b) Comentario
1 -2.000 -1.000 -5.0000 1.0000 -1.16666667 0.5787 -2.89351852 0.8333333333 continúe2 -2.000 -1.167 -5.0000 0.5787 -1.32330827 0.0060 -0.03001951 0.6766917293 continúe3 -2.000 -1.323 -5.0000 0.0060 -1.32492949 -0.0009 0.00451151 0.0016212226 continúe4 -1.325 -1.323 -0.0009 0.0060 -1.32455482 0.0007 -0.00000063 0.0003746765 continúe5 -1.325 -1.325 -0.0009 0.0007 -1.32478209 -0.0003 0.00000025 0.0002272762 continúe6 -1.325 -1.325 -0.0003 0.0007 -1.32468204 0.0002 -0.00000004 0.0001000526 continúe7 -1.325 -1.325 -0.0003 0.0002 -1.3247349 -0.0001 0.00000002 0.0000528562 -1.324734897
Si f(a) se repite dos veces, entonces:
c=a−0.5∗f (a ) .(b−a)f (b )−0.5∗f (a)
Si f(b) se repite dos veces entonces:
c=a−f (a ) .(b−a)
0.5∗f (b )−f (a)
De lo contrario:
c=a−f (a ) .(b−a)f (b )−f (a)
Entonces
Primera Iteración
a=-2 y b=-1, entonces Si f ( x )=x3− x+1
f(a)=f(-2)=-5 y f(b)=f(-1)=1, entonces c=-1.16666667
f(a)*f(c)<0, luego |a-c|=0.8333333333<0.0001, por lo tanto debemos continuar iterando.
Segunda Iteración
a=-2 y b=-1.167, entonces Si f ( x )=x3− x+1
f(a)=f(-2)=-5 y f(b)=f(-1.167)=0.5787, entonces, se repite f(a), c=-1.32330827
f(a)*f(c)<0, luego |a-c|=0.8333333333<0.0001, por lo tanto debemos continuar iterando.
Con el método de Regla Falsa Modificada la raíz es obtenida en la iteración número 7, con un valor de
-1.324734897 y una tolerancia de 0.0001.
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5.e) APLICACIÓN DE LA ITERACION DE PUNTO FIJO.- en <-2,-1>, paraf (x)=x3−x+1, con una tolerancia de 0.0001
Nro. It. x0 x1=g(x0) Abs(x1-x0) Comentario
1 -1.5 -1.357208808 0.142791192 Continúe2 -1.35720881 -1.330860959 0.026347849 Continúe3 -1.33086096 -1.325883774 0.004977185 Continúe4 -1.32588377 -1.324939363 0.000944411 Continúe5 -1.32493936 -1.324760011 0.000179352 Continúe6 -1.32476001 -1.324725945 0.000034066 -1.324725945
En este método, haremos a f(x)=0 y despejaremos en función de x, a esa nueva función la llamaremos g(x), luego Si derivada de g(x), osea |g’(x0)|<1, entonces converge, por lo que podremos aplicar el método sin problemas, haciendo x1=g(x0), se evalu x1-x0, si esta es mayor que la tolerancia debemos continuar iterando, en la nueva iteración, x0=x1(de la iteración anterior).
Si f (x)=x3−x+1 , entonces g(x )=3√ x−1, luego g '(x )=1
3∗(x−1)2/3
Primera Iteración
x0=-1.5
Entonces g(-1.5)= -1.357208808, luego | x1-x0|=0.142791192>0.0001, por lo tanto continuar iterando
Segunda Iteración
x0=-1.357208808
Entonces g’(-1.357208808)= -1.330860959, luego | x1-x0|=0.026347849>0.0001, por lo tanto continuar iterando.
Con el método de Iteración de Punto Fijo la raíz es obtenida en la iteración número 6, con un valor de -1.324725945 y una tolerancia de 0.0001.
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5.f) APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON RAPHSON.- en <-2,-1>, paraf (x)=x3−x+1, con una tolerancia de 0.0001
Nro It. x0 x1 Abs(x1-x0) Comentario
1 -1.500000000 -1.370370370 0.129629630 Continúe2 -1.370370370 -1.334325316 0.036045054 Continúe3 -1.334325316 -1.326585668 0.007739648 Continúe4 -1.326585668 -1.325074353 0.001511315 Continúe5 -1.325074353 -1.324785713 0.000288640 Continúe6 -1.324785713 -1.324730829 0.000054884 -1.324730829
En este método debemos calcular x1=x0−f (x)f ' (x)
, luego si
¿ x1−x0∨¿0.00001 , continuar iterando , luego x0=x1
Entonces Si f (x)=x3−x+1, f ' ( x )=3 x2−1
Luego x1=x0−xo3−x0+13 x2−1
Primera iteración:
x0=¿-1.5, entonces x1=¿-1.370370370, luego ¿ x1−x0∨¿0.129629630 > 0.0001, debemos continuar iterando.
Segunda Iteración:x0=¿-1.370370370, entonces x1=−1.334325316, luego ¿ x1−x0∨¿0.036045054 > 0.0001, debemos continuar iterando.
Con el método de Newton Raphson la raíz es obtenida en la iteración número 6, con un valor de -1.324730829 y una tolerancia de 0.0001.
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5.g) APLICACIÓN DEL METODO DE LA SECANTE.- en <-2,-1>, paraf (x)=x3−x+1, con una tolerancia de 0.0001
It. xi-1 xi f(xi-1) f(xi) xi-1-xi xi+1 Abs(xi-1-xi+1) Coment.1 -2.000000000 -1.000000000 -5.000000000 1.000000000 -1.000000000 -1.166666667 0.833333333 Continúe2 -1.000000000 -1.166666667 1.000000000 0.578703704 0.166666667 -1.395604396 0.395604396 Continúe3 -1.166666667 -1.395604396 0.578703704 -0.322630515 0.228937729 -1.313656661 0.146989994 Continúe4 -1.395604396 -1.313656661 -0.322630515 0.046687476 -0.081947735 -1.324016115 0.071588280 Continúe5 -1.313656661 -1.324016115 0.046687476 0.002991141 0.010359454 -1.324725250 0.011068589 Continúe6 -1.324016115 -1.324725250 0.002991141 -0.000031101 0.000709135 -1.324717952 0.000701837 Continúe7 -1.324725250 -1.324717952 -0.000031101 0.000000020 -0.000007298 -1.324717957 0.000007293 -1.324717957
En este método, debemos calcular x i+1, mediante la siguiente fórmula:
x i+1=x i−f (x i)(x i−1−x i)f (x i−1 )−f (xi)
Para este necesitamos dos valores, tanto el valor mínimo y máximo del intervalo donde se encuentra la raíz a calcular (en este ejercicio son -2 y -1).Luego, con estos valores, podemos obtener valores para f (x i ) , f ¿Luego Si |x i−1−x i+1|>tolerancia , continuar iterando ,
Para este ejercicio, tolerancia=0.0001
Primera Iteración.x i−1=−2 y x i=−1, luego x i+1=¿-1.166666667, f (x i )=−1 y f (x i−1 )=−5
Luego x i+1=−1.166666667|x i−1−x i+1|=0.833333333>0.0001, por lo que debemos continuar iterando.
Segunda Iteración.x i−1=−1 y x i=−1.166666667, luego x i+1=−1.395604396,
f (x i )=0.578703704 y f (x i−1 )=1
Luego x i+1=−1.166666667|x i−1−x i+1|=0.395604396>0.0001, por lo que debemos continuar iterando.
Con el método de la Secante la raíz es obtenida en la iteración número 6, con un valor de
-1.324717957 y una tolerancia de 0.0001.
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5.h) ANALISIS Y SUGERENCIA DE METODO A UTILIZAR.
Para la búsqueda de las raíces, ambos métodos, GRAFICO y BUSCA dan los mismos resultados, por lo que podríamos usar cualquiera de los dos. Sin embargo vale resaltar que el método busca no es infalible, dependiendo su eficacia en mucha ocasiones de amplitud (h) del intervalo que se tome, para este ejercicio h=1, lo cual no ocasiono ningún problema.
MÉTODO NÚMERO DE ITERACIONES
VALOR CALCULADO DE LA RAÍZ
ERRORMÉTODO SUGERIDO PARA USO
MOTIVO
BISECCIÓN 14 -1.324768066 0.000061035
REGLA FALSA (MODIFICADA) 7 -1.324734897 0.000052856
PUNTO FIJO 6 -1.324725945 0.000034066 X
Es necesario un número menor de Iteraciones, siendo el error aún menor que el método de Newton.
NEWTON-RAPHSON 6 -1.324730829 0.000054884
SECANTE 7 -1.324717957 0.000007293
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METODO GRAFICO
25.a Si f ( x )=x−lnx−2, al trazar la gráfica, podemos observar que corta al eje x en un dos
puntos, entre <0,1> y <3,4>(dentro de [-10,10]), por lo que podemos decir de que hemos
encontrado la ubicación de dos raíces tal que f(x) será igual a cero.
Si hacemos f(x)=g(x)-h(x), donde g(x)=g ( x )=x, h ( x )=lnx+2 y luego graficamos estas funciones en
un mismo plano, vemos que la intersección de ambas funciones proyectada en el eje x sucede entre
<0,1> y <3,4>, confirmando lo visto en el gráfico anterior.
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EJERCICIO NUMERO 25
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25.b. APLICACIÓN DEL METODO BUSCA.- Con este método buscamos raíces, el intervalo definido es [-10,10] y la amplitud de los subintervalos es de 1 (h=1). Abajo muestro los resultados obtenidos con este método, para la función f ( x )=x−lnx−2 ,el cual fue trabajado con la ayuda del Excel. El método confirma la raíz hallada con el método gráfico en <3,4>. Sin embargo no aplica para poder hallar la raíz entre <0,1>, la cual si fue hallada por el método gráfico. Esto se debe a que el ln(0), no existe en los números naturales, y por lo tanto en <0,1>no se puede calcular f(a) y por ende tampoco f(a)*f(b)
Número de
intervalosa b f(a) f(b) p=f(a)*f(b) Decisión
1 -10 -9 - - - No existe raíz2 -9 -8 - - - No existe raíz3 -8 -7 - - - No existe raíz4 -7 -6 - - - No existe raíz5 -6 -5 - - - No existe raíz6 -5 -4 - - - No existe raíz7 -4 -3 - - - No existe raíz8 -3 -2 - - - No existe raíz9 -2 -1 - - - No existe raíz
10 -1 0 - - - No existe raíz11 0 1 - -1.00 - No existe raíz12 1 2 -1.00 -0.69 0.69 No existe raíz13 2 3 -0.69 -0.10 0.07 No existe raíz14 3 4 -0.10 0.61 -0.06 Existe raíz15 4 5 0.61 1.39 0.85 No existe raíz16 5 6 1.39 2.21 3.07 No existe raíz17 6 7 2.21 3.05 6.74 No existe raíz18 7 8 3.05 3.92 11.97 No existe raíz19 8 9 3.92 4.80 18.83 No existe raíz20 9 10 4.80 5.70 27.36 No existe raíz
En efecto: Para el intervalo <0,1>: a=0 y b=1
Luego: Sif ( x )=x−lnx−2, entonces f (a )=f (0 )=∄ y f (b )=f (1 )=−1
Luego: f (a ) . f (b )=∄ , por lotanto entre<0,1>e stemetodonoaplica
Para el intervalo <3,4>: a=3 y b=4
Luego: Sif ( x )=x−lnx−2, entonces f (a )=f (3 )=−0.10 y f (b )=f (4 )=0.61
Luego: f (a ) . f (b )<0 , por lo tanto existeunaraíz entre<3,4>¿
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25.c) APLICACIÓN DEL MÉTODO DE BISECCIÓN.- a cada intervalo con una tolerancia de 0.0001 para f ( x )=x−lnx−2 . Este método se aplico con la ayuda del Excel, para el intervalo <3,4>
Nro. a b c f(a) f ( c) f(a)*f(c) Abs(a-c) Comentario
1 3.00000 4.00000 3.500000000 -0.098612289 0.247237032 -0.024380610 0.500000000 Continúe
2 3.00000 3.50000 3.250000000 -0.098612289 0.071345004 -0.007035494 0.250000000 Continúe
3 3.00000 3.25000 3.125000000 -0.098612289 -0.014434283 0.001423398 0.125000000 Continúe
4 3.12500 3.25000 3.187500000 -0.014434283 0.028263090 -0.000407957 0.062500000 Continúe
5 3.12500 3.18750 3.156250000 -0.014434283 0.006865386 -0.000099097 0.031250000 Continúe
6 3.12500 3.15625 3.140625000 -0.014434283 -0.003796825 0.000054804 0.015625000 Continúe
7 3.14063 3.15625 3.148437500 -0.003796825 0.001531202 -0.000005814 0.007812500 Continúe
8 3.14063 3.14844 3.144531250 -0.003796825 -0.001133583 0.000004304 0.003906250 Continúe
9 3.14453 3.14844 3.146484375 -0.001133583 0.000198617 -0.000000225 0.001953125 Continúe
10 3.14453 3.14648 3.145507813 -0.001133583 -0.000467531 0.000000530 0.000976563 Continúe
11 3.14551 3.14648 3.145996094 -0.000467531 -0.000134469 0.000000063 0.000488281 Continúe
12 3.14600 3.14648 3.146240234 -0.000134469 0.000032071 -0.000000004 0.000244141 Continúe
13 3.14600 3.14624 3.146118164 -0.000134469 -0.000051200 0.000000007 0.000122070 Continúe
14 3.14612 3.14624 3.146179199 -0.000051200 -0.000009565 0.000000000 0.000061035 3.146179199
En este método c=a+b2
, Entonces:
Primera Iteración
c=3+42
=3.5
Luego: Si f ( x )=x−lnx−2,
entonces f (a )=f (3 )=−0.098612289 y f (c )=f (3.5 )=0.247237032
Luego: f (a ) . f (c )>0 , entonces|a−c|=0.5000>0.0001 , entonces |a-c| es aun mayor que la tolerancia por lo que debemos continuar iterando.
Segunda Iteración: c=3+3.52
=3.25
Luego: Si f ( x )=x−lnx−2, f (a )=f (3 )=−0.098612289 y
f ( c )=f (3.25 )=0.071345004 ,Luego: f (a ) . f (c )<0 , entonces|a−c|=0.25>0.0001 , entonces |a-c| es aún mayor que la tolerancia por lo que debemos continuar iterando.
Con el método de la Bisección la raíz es obtenida en la iteración número 14, con un valor de
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3.146179199 y una tolerancia de 0.0001.
25.d) APLICACIÓN DEL MÉTODO MODIFICADO DE LA REGLA FALSA MODIFICADA.- en <3,4>, para f ( x )=x−lnx−2, con una tolerancia de 0.0001
Nro a b f(a) f(b) c f( c) p=f(a)*f( c) abs(a-b) Comentario
1 3.000 4.000 -0.0986 0.6137 3.13843859 -0.0053 0.0005213 0.8615614 continúe2 3.138 4.000 -0.0053 0.6137 3.15303117 0.0047 -0.0000247 0.0145926 continúe3 3.138 3.153 -0.0053 0.0047 3.14371527 -0.0017 0.0000089 0.0093159 continúe4 3.144 3.153 -0.0017 0.0047 3.14762835 0.0010 -0.0000017 0.0039131 continúe5 3.144 3.148 -0.0017 0.0010 3.14552801 -0.0005 0.0000008 0.0021003 continúe6 3.146 3.148 -0.0005 0.0010 3.14653834 0.0002 -0.0000001 0.0010103 continúe7 3.146 3.147 -0.0005 0.0002 3.14602383 -0.0001 0.0000001 0.0005145 continúe8 3.146 3.147 -0.0001 0.0002 3.1462787 0.0001 0.0000000 0.0002549 continúe9 3.146 3.146 -0.0001 0.0001 3.14615068 0.0000 0.0000000 0.0001280 continúe
10 3.146 3.146 0.0000 0.0001 3.14621454 0.0000 0.0000000 0.0000639 3.14621454
Si f(a) se repite dos veces, entonces:
c=a−0.5∗f (a ) .(b−a)f (b )−0.5∗f (a)
Si f(b) se repite dos veces entonces:
c=a−f (a ) .(b−a)
0.5∗f (b )−f (a)
De lo contrario:
c=a−f (a ) .(b−a)f (b )−f (a)
Entonces
Primera Iteración
a=3 y b=4, entonces Si f ( x )=x−lnx−2
f(a)=f(3)= -0.0986 y f(b)=f(4)= 0.6137, entonces c=3.13843859
f(a)*f(c)>0, luego |b-c|=0.8615614<0.0001, por lo tanto debemos continuar iterando.
Segunda Iteración
a=3.138 y b=4, entonces Si f ( x )=x−lnx−2
f(a)=f(3.138)=-5 y f(b)=f(4.000)= 0.6137, entonces, se repite f(b), c=3.15303117
f(a)*f(c)<0, luego |a-c|=0.0145926<0.0001, por lo tanto debemos continuar iterando.
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Con el método de Regla Falsa Modificada la raíz es obtenida en la iteración número 10, con un valor de 3.14621454 y una tolerancia de 0.0001.
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25.e) APLICACIÓN DE LA ITERACION DE PUNTO FIJO.- en <-2,-1>, para f ( x )=x−lnx−2, con una tolerancia de 0.0001, en el intervalo <3,4>.
Nro It. x0 x1=g(x0) Abs(x1-x0) Comentario
1 3.5 3.252762968 0.247237032 Continúe
2 3.252762968 3.179504779 0.073258189 Continúe
3 3.179504779 3.156725455 0.022779324 Continúe
4 3.156725455 3.149535242 0.007190213 Continúe
5 3.149535242 3.1472549 0.002280342 Continúe
6 3.1472549 3.146530612 0.000724287 Continúe
7 3.146530612 3.146300453 0.000230159 Continue
8 3.146300453 3.146227303 7.31497E-05 3.146227303
En este método, haremos a f(x)=0 y despejaremos en función de x, a esa nueva función la llamaremos g(x), luego Si derivada de g(x), osea |g’(x0)|<1, entonces converge, por lo que podremos aplicar el método sin problemas, haciendo x1=g(x0), se evalu x1-x0, si esta es mayor que la tolerancia debemos continuar iterando, en la nueva iteración, x0=x1(de la iteración anterior).
Si f ( x )=x−lnx−2 , entonces g ( x )=lnx+2, luego g' (x )=1/x
Entonces, ¿ g' (3.5 )∨¿1 , por lotantoconverge y procedeelmétodo .
Primera Iteración
x0=3.5
Entonces g(3.5)= 3.252762968, luego | x1-x0|=0.247237032>0.0001, por lo tanto continuar iterando
Segunda Iteración
x0=3.252762968, Entonces g’(3.252762968)= 3.179504779,
luego | x1-x0|=0.073258189>0.0001, por lo tanto continuar iterando.
Con el método de Iteración de Punto Fijo la raíz es obtenida en la iteración número 8, con un valor de 3.146227303 y una tolerancia de 0.0001.
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25.f) APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON RAPHSON.- en <3,4>, para f ( x )=x−lnx−2, con una tolerancia de 0.0001, en el intervalo <3,4>.
Nro It. x0 x1 Abs(x1-x0) Comentario
1 3.500000000 3.153868156 0.346131844 Continúe2 3.153868156 3.146197563 0.007670593 Continúe3 3.146197563 3.146193221 0.000004343 3.146193221
En este método debemos calcular x1=x0−f (x)f ' (x)
,luego si
¿ x1−x0∨¿0.00001 , continuar iterando , luego x0=x1
Entonces Si f ( x )=x−lnx−2, f ' ( x )=1−1x
Luego, x1=x−
x−lnx−2
1−1x
Primera iteración:
x0=¿3.5, entonces x1=¿3.153868156, luego ¿ x1−x0∨¿0.346131844> 0.0001, debemos continuar iterando.
Segunda Iteración:x0=3.153868156, entonces x1=3.146197563, luego ¿ x1−x0∨¿0.007670593> 0.0001, debemos continuar iterando.
Con el método de Newton-Raphson la raíz es obtenida en la iteración número 3, con un valor de 3.146193221 y una tolerancia de 0.0001.
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25.g) APLICACIÓN DEL METODO DE LA SECANTE.- en <-2,-1>, para f ( x )=x−lnx−2, con una tolerancia de 0.0001, en el intervalo <3,4>.
It. xi-1 xi f(xi-1) f(xi) xi-1-xi xi+1 Abs(xi-1-xi+1) Coment.1 3.00000000 4.00000000 -0.09861229 0.61370564 -1.00000000 3.13843859 0.13843859 Continúe2 4.00000000 3.13843859 0.61370564 -0.00528682 0.86156141 3.14579720 0.85420280 Continúe3 3.13843859 3.14579720 -0.00528682 -0.00027014 -0.00735861 3.14619345 0.00775486 Continúe4 3.14579720 3.14619345 -0.00027014 0.00000016 -0.00039625 3.14619322 0.00039602 Continúe5 3.14619345 3.14619322 0.00000016 -0.000000000005 0.00000023 3.14619322 0.00000023 3.146193221
En este método, debemos calcular x i+1, mediante la siguiente fórmula:
x i+1=x i−f (x i)(x i−1−x i)f (x i−1 )−f (xi)
Para este necesitamos dos valores, tanto el valor mínimo y máximo del intervalo donde se encuentra la raíz a calcular ( en este ejercicio son 3 y 4).Luego, con estos valores, podemos obtener valores para f (x i ) , f ¿Luego Si |x i−1−x i+1|>tolerancia , continuar iterando ,
Para este ejercicio, tolerancia=0.0001
Primera Iteración.x i−1=3 y x i=4, luego x i+1=¿3.13843859, f (x i )=0.61370564 y f (x i−1 )=−0.09861229
Luego x i+1=3.13843859
|x i−1−x i+1|=0.13843859>0.0001, por lo que debemos continuar iterando.
Segunda Iteración.x i−1=4 y x i=3.13843859, luego x i+1=3.14579720,
f (x i )=3.13843859 y f ( xi−1 )=0.61370564
Luego x i+13.14579720
|x i−1−x i+1|=0.85420280>0.0001, por lo que debemos continuar iterando.
Con el método de la Secante la raíz es obtenida en la iteración número 5, con un valor de
3.146193221 y una tolerancia de 0.0001.
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25.h) ANALISIS Y SUGERENCIA DE METODO A UTILIZAR.
Para esta función, el método gráfico en la búsqueda de la ubicación de raíces es la elección correcta, pues encuentra las ubicaciones de dos raíces, mientras el método BUSCA solo encuentra solo la ubicación de una de ellas.
MÉTODO NÚMERO DE ITERACIONES
VALOR CALCULADO DE LA RAÍZ
ERROR MÉTODO MÉTODO
BISECCIÓN 14 3.146179199 0.000061035
REGLA FALSA (MODIFICADA)
10 3.146214540 0.000063863
PUNTO FIJO 8 3.146227303 0.000073150
NEWTON-RAPHSON 3 3.146193221 0.000004343 X Es necesario un Número menor de Iteraciones, siendo también el método con el menor error.
SECANTE 5 3.146193221 0.000000228
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Soluciones para hallar el valor de las raíces realizadas con el uso de MATLAB y una en Excel.
METODO GRAFICO
45.a Si f ( x )=cosh ( x ) cos(x )−1, al trazar la gráfica, podemos observar que corta al eje x
en cinco puntos, entre <-8,-7>, <-5,-4>, raíz exacta <0,0>, <4,5>, <7,8>,(dentro de x:[-
10,10]). Hemos encontrado la ubicación de 4 raíces asi como el valor de una raíz exacta.
Hacemos f(x)=g(x)-h(x), g ( x )=cosh ( x )cos (x), h ( x )=1, graficamos en un mismo plano, vemos
que la intersección de ambas funciones proyectada en el eje x sucede entre <-8,-7>, <-5,-4>, <0,0>,
<4,5>, <7,8>.
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EJERCICIO NUMERO 45
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45.b. APLICACIÓN DEL METODO BUSCA.- Para la función f ( x )= ,cosh ( x ) cos(x )−1 ,el cual fue trabajado con la ayuda del Excel. Este método encuentra 06 ubicaciones para raíces, entre <-8,-7>, <-5,-4>, <-1,0>,<0,1>, <4,5> y <7,8>.En la aplicación de este método para esta función encontramos un error, pues entre <-1,1> existe una raíz exacta igual a 0 (el origen).
Nro. de intervalos
a b f(a) f(b) p=f(a)*f(b) Decisión
1 -10 -9 -9241.890186 -3692.482547 34125518.21 No existe raíz
2 -9 -8 -3692.482547 -217.8647684 804461.8547 No existe raíz
3 -8 -7 -217.8647684 412.3774489 -89842.51738 Existe raíz
4 -7 -6 412.3774489 192.6813602 79457.44775 No existe raíz
5 -6 -5 192.6813602 20.05055618 3863.368437 No existe raíz
6 -5 -4 20.05055618 -18.84985219 -377.9500204 Existe raíz
7 -4 -3 -18.84985219 -10.96690983 206.7246294 No existe raíz
8 -3 -2 -10.96690983 -2.565625835 28.1369872 No existe raíz
9 -2 -1 -2.565625835 -0.166269975 0.426586543 No existe raíz
10 -1 0 -0.166269975 0 0 Existe raíz
11 0 1 0 -0.166269975 0 Existe raíz
12 1 2 -0.166269975 -2.565625835 0.426586543 No existe raíz
13 2 3 -2.565625835 -10.96690983 28.1369872 No existe raíz
14 3 4 -10.96690983 -18.84985219 206.7246294 No existe raíz
15 4 5 -18.84985219 20.05055618 -377.9500204 Existe raíz
16 5 6 20.05055618 192.6813602 3863.368437 No existe raíz
17 6 7 192.6813602 412.3774489 79457.44775 No existe raíz
18 7 8 412.3774489 -217.8647684 -89842.51738 Existe raíz
19 8 9 -217.8647684 -3692.482547 804461.8547 No existe raíz
20 9 10 -3692.482547 -9241.890186 34125518.21 No existe raíz
En efecto: Para el intervalo <-8,-7>: a=-8 y b=-7
Luego: Si f ( x )= ,cosh ( x ) cos ( x )−1, entonces f (a )=f (−8 )=−217.8647684 y
f (b )=f (−7 )=412.3774489
Luego: f (a ) . f (b )=−89842.51738<0 , por lo tanto entre←8 ,−7>existeunaraíz
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45.c) APLICACIÓN DEL MÉTODO DE BISECCIÓN.- a cada intervalo con una tolerancia de 0.0001 para f ( x )= ,cosh ( x ) cos ( x )−1 . Este método se aplico con la ayuda del Excel, para el intervalo <4,5>
Ingrese el valor de a = 4 Ingrese el valor de b = 5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la funciòn: cosh(x)*cos(x)-1
It. a b c Error aprox
1 4.000000000000000 5.000000000000000 4.500000000000000
2 4.500000000000000 5.000000000000000 4.750000000000000 0.250000000000000
3 4.500000000000000 4.750000000000000 4.625000000000000 0.125000000000000
4 4.625000000000000 4.750000000000000 4.687500000000000 0.062500000000000
5 4.687500000000000 4.750000000000000 4.718750000000000 0.031250000000000
6 4.718750000000000 4.750000000000000 4.734375000000000 0.015625000000000
7 4.718750000000000 4.734375000000000 4.726562500000000 0.007812500000000
8 4.726562500000000 4.734375000000000 4.730468750000000 0.003906250000000
9 4.726562500000000 4.730468750000000 4.728515625000000 0.001953125000000
10 4.728515625000000 4.730468750000000 4.729492187500000 0.000976562500000
11 4.729492187500000 4.730468750000000 4.729980468750000 0.000488281250000
12 4.729980468750000 4.730468750000000 4.730224609375000 0.000244140625000
13 4.729980468750000 4.730224609375000 4.730102539062500 0.000122070312500
14 4.729980468750000 4.730102539062500 4.730041503906250 0.000061035156250
15 4.729980468750000 4.730041503906250 4.730010986328125 0.000030517578125
16 4.730010986328125 4.730041503906250 4.730026245117188 0.000015258789063
17 4.730026245117188 4.730041503906250 4.730033874511719 0.000007629394531
18 4.730033874511719 4.730041503906250 4.730037689208984 0.000003814697266
19 4.730037689208984 4.730041503906250 4.730039596557617 0.000001907348633
20 4.730039596557617 4.730041503906250 4.730040550231934 0.000000953674316
21 4.730040550231934 4.730041503906250 4.730041027069092 0.000000476837158
22 4.730040550231934 4.730041027069092 4.730040788650513 0.000000238418579
23 4.730040550231934 4.730040788650513 4.730040669441223 0.000000119209290
24 4.730040669441223 4.730040788650513 4.730040729045868 0.000000059604645
La raíz aproximada es: 4.730040729045868, Con el método de la Bisección la raíz es obtenida en la iteración número 24, con un valor de 4.730040729045868 y una tolerancia de 0.0001.
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45.d) APLICACIÓN DEL MÉTODO MODIFICADO DE LA REGLA FALSA .- en <4,5>, para
f ( x )= ,cosh ( x ) cos ( x )−1, con una tolerancia de 0.0001
Ingrese el valor de a = 4 Ingrese el valor de b = 5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la Funcion f(x) = cosh(x)*cos(x)-1
It. a b c Error aprox
1 4.000000000000000 5.000000000000000 4.484566948759856
2 4.500000000000000 5.000000000000000 4.750000000000000 0.265433051240144
3 4.500000000000000 4.750000000000000 4.625000000000000 0.125000000000000
4 4.625000000000000 4.750000000000000 4.687500000000000 0.062500000000000
5 4.687500000000000 4.750000000000000 4.718750000000000 0.031250000000000
6 4.718750000000000 4.750000000000000 4.734375000000000 0.015625000000000
7 4.718750000000000 4.734375000000000 4.726562500000000 0.007812500000000
8 4.726562500000000 4.734375000000000 4.730468750000000 0.003906250000000
9 4.726562500000000 4.730468750000000 4.728515625000000 0.001953125000000
10 4.728515625000000 4.730468750000000 4.729492187500000 0.000976562500000
11 4.729492187500000 4.730468750000000 4.729980468750000 0.000488281250000
12 4.729980468750000 4.730468750000000 4.730224609375000 0.000244140625000
13 4.729980468750000 4.730224609375000 4.730102539062500 0.000122070312500
14 4.729980468750000 4.730102539062500 4.730041503906250 0.000061035156250
15 4.729980468750000 4.730041503906250 4.730010986328125 0.000030517578125
16 4.730010986328125 4.730041503906250 4.730026245117188 0.000015258789063
17 4.730026245117188 4.730041503906250 4.730033874511719 0.000007629394531
18 4.730033874511719 4.730041503906250 4.730037689208984 0.000003814697266
19 4.730037689208984 4.730041503906250 4.730039596557617 0.000001907348633
20 4.730039596557617 4.730041503906250 4.730040550231934 0.000000953674316
21 4.730040550231934 4.730041503906250 4.730041027069092 0.000000476837158
22 4.730040550231934 4.730041027069092 4.730040788650513 0.000000238418579
23 4.730040550231934 4.730040788650513 4.730040669441223 0.000000119209290
24 4.730040669441223 4.730040788650513 4.730040729045868 0.000000059604645
La raíz aproximada es: 4.730040729045868, con el método de Regla Falsa Modificada la raíz es obtenida en la iteración número 24, con un valor de 4.730040729045868 y una tolerancia de 0.0001.
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45.e) APLICACIÓN DE LA ITERACION DE PUNTO FIJO.- en <4,5>, para
f ( x )= ,cosh ( x ) cos ( x )−1, con una tolerancia de 0.0001
No pudo aplicarse el uso de Matlab para esta función, pues reportaba error,
Tomando como g ( x )=arccosh( 1cos ( x ) ) ,entonces
g' (x )= sen (x)
cos2 x∗[ 1cos2 x
−1]12
Entonces ¿ g' (4.5 )∨¿4.743928>1 , por lotanto noconverge
Tomando como g ( x )=arccos( 1cosh ( x ) ) , entonces
g' (x )= senh (x)
cosh2 x∗[1− 1cosh2 x ]
12
Entonces ¿ g' (4.5 )∨¿0.022215<1 , por lotanto converge ,
pero al ejecutar enmatlabno obtenemosrespuesta .
Tampoco se logró nada haciendo uso del Excel
Este método no aplica para esta función.
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45.f) APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON-RAPHSON.- en <4,5>, para
f ( x )= ,cosh ( x ) cos ( x )−1, con una tolerancia de 0.0001
Ingrese el valor inicial x0 = 4.5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001Ingrese la función f(x) = cosh(x)*cos(x)-1i fx(i) Error aprox (i)
0 4.500000000000000 100.000000000000000
1 4.803880023241935 0.303880023241935
2 4.734922190036826 0.068957833205109
3 4.730064007600674 0.004858182436153
4 4.730040745394374 0.000023262206300
5 4.730040744862704 0.000000000531670
La raíz aproximada es: 4.730040744862704
Con el método de Newton-Raphson la raíz es obtenida en la iteración número 5, con un valor de 4.730040744862704 y una tolerancia de 0.0001.
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45.g) APLICACIÓN DEL METODO DE LA SECANTE.- en <4,5>, para
f ( x )= ,cosh ( x ) cos ( x )−1, con una tolerancia de 0.0001
No pudo aplicarse el programa de MATLAB pues arrojaba error
Ingrese el intervalo inferior: 4 Ingrese el intervalo superior: 5
Ingrese el porcentaje de error: 0.00001
Ingrese la funciòn: cosh(x)*cos(x)-1
i xf(i) Error aprox (i)
1 1.5696901582 100.0000000000
2 -3.1051279139 150.5515457563
3 -1.3393145753 -131.8445547625
4 -1.2585766792 -6.4150160569
5 -0.9704257083 -29.6932540512
6 -0.8119529621 -19.5174786726
7 -0.6593185582 -23.1503272551
8 -0.5417927373 -21.6920259005
9 -0.4432396577 -22.2347161242
10 -0.3632569166 -22.0182293673
11 -0.2975112171 -22.0985615563
12 -0.2437293688 -22.0662157086
13 -0.1996504110 -22.0780701744
14 -0.1635497170 -22.0732231710
15 -0.1339748193 -22.0749673892
16 -0.1097486419 -22.0742388764
17 -0.0899030075 -22.0744945132
18 -0.0736460870 -22.0743845919
19 -0.0603288436 -22.0744218549
20 -0.0494197317 -22.0744051805
21 -0.0404832852 -22.0744105789
22 -0.0331627946 -22.0744080351
23 -0.0271660497 -22.0744087687
24 -0.0222536812 -22.0744085186
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25 -0.0182296040 -22.0744084917
26 -0.0149331905 -22.0744086954
27 -0.0122328592 -22.0744077128
28 -0.0100208218 -22.0744112529
29 -0.0082087819 -22.0744062432
30 -0.0067244089 -22.0744025743
31 -0.0055084502 -22.0744251622
32 -0.0045123719 -22.0743825134
33 -0.0036964116 -22.0743897529
34 -0.0030279983 -22.0744262979
35 -0.0024804486 -22.0746268801
36 -0.0020319144 -22.0744594469
37 -0.0016645038 -22.0732806306
38 -0.0013635651 -22.0699925316
39 -0.0011169018 -22.0845990573
40 -0.0009151650 -22.0437721785
41 -0.0007491769 -22.1560524679
42 -0.0006140438 -22.0070802685
43 -0.0005042805 -21.7663170975
44 -0.0004099226 -23.0184728741
45 -0.0003361519 -21.9456585085
46 -0.0002720034 -23.5837019066
47 -0.0002292377 -18.6555865520
48 -0.0001864721 -22.9340722506
49 -0.0001437065 -29.7590296002
50 -0.0001009408 -42.3670536310
51 Inf NaN
La raiz aproximada es: Inf
resultado obtenido en la iteración Nro.:51
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Sin embargo, ejecutamos el Excel, obteniendo el valor aproximado de la raíz
It. xi-1 xi f(xi-1) f(xi) xi-1-xi xi+1 Abs(xi-1-xi+1) Coment.
1 4.000000000 5.000000000-
18.849852 20.0505562 -1.00000000 4.484566949 0.484566949 Continúe2 5.000000000 4.484566949 20.050556 -11.0110654 0.51543305 4.667283329 0.332716671 Continúe
3 4.484566949 4.667283329-
11.011065 -3.39920547 -0.18271638 4.748878434 0.264311485 Continúe4 4.667283329 4.748878434 -3.399205 1.10613044 -0.08159511 4.728845559 0.061562231 Continúe5 4.748878434 4.728845559 1.106130 -0.06881622 0.02003287 4.730018878 0.018859556 Continúe6 4.728845559 4.730018878 -0.068816 -0.00126051 -0.00117332 4.730040771 0.001195211 Continúe7 4.730018878 4.730040771 -0.001261 0.00000148 -0.00002189 4.730040745 0.000021867 4.730040745
Con el método de la Secante la raíz es obtenida en la iteración número 7, con un valor de
4.730040745 y una tolerancia de 0.0001.
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45.h) ANALISIS Y SUGERENCIA DE METODO A UTILIZAR.
Para esta función, en la búsqueda de ubicación de las raíces el método gráfico es la elección correcta, pues encuentra las ubicaciones de las 05 raíces, dentro de ellas una exacta.
MÉTODO NÚMERO DE ITERACIONES
VALOR CALCULADO DE LA RAÍZ
ERROR MÉTODO MÉTODO
BISECCIÓN 24 4.730040729045868 0.000000059604645
REGLA FALSA (MODIFICADA)
24 4.730040729045868 0.000000059604645
PUNTO FIJO No aplica
NEWTON-RAPHSON 5 4.730040744862704 0.000000000531670 X Es necesario un Número menor de Iteraciones, siendo también el método con el menor error.
SECANTE 7 4.730040745 0.000021867
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 29
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INTERVALO <7,8>
Biseccion
Ingrese el valor de a = 7 Ingrese el valor de b = 8
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la funciòn: cosh(x)*cos(x)-1
It. a b c Error aprox
1 7.000000000000000 8.000000000000000 7.500000000000000
2 7.500000000000000 8.000000000000000 7.750000000000000 0.250000000000000
3 7.750000000000000 8.000000000000000 7.875000000000000 0.125000000000000
4 7.750000000000000 7.875000000000000 7.812500000000000 0.062500000000000
5 7.812500000000000 7.875000000000000 7.843750000000000 0.031250000000000
6 7.843750000000000 7.875000000000000 7.859375000000000 0.015625000000000
7 7.843750000000000 7.859375000000000 7.851562500000000 0.007812500000000
8 7.851562500000000 7.859375000000000 7.855468750000000 0.003906250000000
9 7.851562500000000 7.855468750000000 7.853515625000000 0.001953125000000
10 7.851562500000000 7.853515625000000 7.852539062500000 0.000976562500000
11 7.852539062500000 7.853515625000000 7.853027343750000 0.000488281250000
12 7.853027343750000 7.853515625000000 7.853271484375000 0.000244140625000
13 7.853027343750000 7.853271484375000 7.853149414062500 0.000122070312500
14 7.853149414062500 7.853271484375000 7.853210449218750 0.000061035156250
15 7.853149414062500 7.853210449218750 7.853179931640625 0.000030517578125
16 7.853179931640625 7.853210449218750 7.853195190429688 0.000015258789063
17 7.853195190429688 7.853210449218750 7.853202819824219 0.000007629394531
18 7.853202819824219 7.853210449218750 7.853206634521484 0.000003814697266
19 7.853202819824219 7.853206634521484 7.853204727172852 0.000001907348633
20 7.853202819824219 7.853204727172852 7.853203773498535 0.000000953674316
21 7.853203773498535 7.853204727172852 7.853204250335693 0.000000476837158
22 7.853204250335693 7.853204727172852 7.853204488754273 0.000000238418579
23 7.853204488754273 7.853204727172852 7.853204607963562 0.000000119209290
24 7.853204607963562 7.853204727172852 7.853204667568207 0.000000059604645
La raíz aproximada es: 7.853204667568207
La raíz fue obtenida en la iteración número: 24
La raíz fue obtenida con un error de: 0.000000059604645
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Regla Falsa Modificada
Ingrese el valor de a = 7 Ingrese el valor de b = 8
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la Funcion f(x) = cosh(x)*cos(x)-1
It. a b c Error aprox
1 7.000000000000000 8.000000000000000 7.654315813207004
2 7.500000000000000 8.000000000000000 7.750000000000000 0.095684186792996
3 7.750000000000000 8.000000000000000 7.875000000000000 0.125000000000000
4 7.750000000000000 7.875000000000000 7.812500000000000 0.062500000000000
5 7.812500000000000 7.875000000000000 7.843750000000000 0.031250000000000
6 7.843750000000000 7.875000000000000 7.859375000000000 0.015625000000000
7 7.843750000000000 7.859375000000000 7.851562500000000 0.007812500000000
8 7.851562500000000 7.859375000000000 7.855468750000000 0.003906250000000
9 7.851562500000000 7.855468750000000 7.853515625000000 0.001953125000000
10 7.851562500000000 7.853515625000000 7.852539062500000 0.000976562500000
11 7.852539062500000 7.853515625000000 7.853027343750000 0.000488281250000
12 7.853027343750000 7.853515625000000 7.853271484375000 0.000244140625000
13 7.853027343750000 7.853271484375000 7.853149414062500 0.000122070312500
14 7.853149414062500 7.853271484375000 7.853210449218750 0.000061035156250
15 7.853149414062500 7.853210449218750 7.853179931640625 0.000030517578125
16 7.853179931640625 7.853210449218750 7.853195190429688 0.000015258789063
17 7.853195190429688 7.853210449218750 7.853202819824219 0.000007629394531
18 7.853202819824219 7.853210449218750 7.853206634521484 0.000003814697266
19 7.853202819824219 7.853206634521484 7.853204727172852 0.000001907348633
20 7.853202819824219 7.853204727172852 7.853203773498535 0.000000953674316
21 7.853203773498535 7.853204727172852 7.853204250335693 0.000000476837158
22 7.853204250335693 7.853204727172852 7.853204488754273 0.000000238418579
23 7.853204488754273 7.853204727172852 7.853204607963562 0.000000119209290
24 7.853204607963562 7.853204727172852 7.853204667568207 0.000000059604645
La raiz fue obtenida en la iteración número : 24
La raiz aproximada es:7.853204667568207
El resultado fue obtenido con un error de:0.000000059604645
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Iteración de Punto Fijo
Ingrese el valor inicial x0 = 7.5
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la función despejada de f(x) = 0: g(x) = sinh(x)/((cosh(x))^2*(1-(cosh(x))^-2)^0.5)
i x1 Error aprox
1 0.001106168401916 7.498893831598084
2 0.999999388269936 0.998893219868020
3 0.648054575585937 0.351944812683999
4 0.821395621983631 0.173341046397694
5 0.737058664168120 0.084336957815510
6 0.778725513183610 0.041666849015489
7 0.758240828130784 0.020484685052825
8 0.768341919227577 0.010101091096792
9 0.763367644095235 0.004974275132342
10 0.765818912137395 0.002451268042160
11 0.764611354334611 0.001207557802784
12 0.765206326742137 0.000594972407526
13 0.764913203282647 0.000293123459490
14 0.765057621406017 0.000144418123370
15 0.764986469871139 0.000071151534878
16 0.765021524959116 0.000035055087977
17 0.765004254027086 0.000017270932030
18 0.765012763085616 0.000008509058530
19 0.765008570839767 0.000004192245849
20 0.765010636278057 0.000002065438289
21 0.765009618676924 0.000001017601133
22 0.765010120029210 0.000000501352286
23 0.765009873022707 0.000000247006503
24 0.765009994718003 0.000000121695296
25 0.765009934761100 0.000000059956903
La raiz fue obtenida en la iteración número : 25
La raiz aproximada es:0.765009934761100
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El resultado fue obtenido con un error de:0.000000059956903
La raíz obtenida no encaja en el intervalo analizado <7,8>, por lo que haremos uso del Excel.
Nro It. x0 x1=g(x0) Abs(x1-x0) Comentario1 7.50 0.001106 7.498893832 Continúe2 0.00110617 0.999999 0.99889322 Continúe3 0.99999939 0.648055 0.351944813 Continúe4 0.64805458 0.821396 0.173341046 Continúe5 0.82139562 0.737059 0.084336958 Continúe6 0.73705866 0.778726 0.041666849 Continúe7 0.77872551 0.758241 0.020484685 Continúe8 0.75824083 0.768342 0.010101091 Continúe9 0.76834192 0.763368 0.004974275 Continúe
10 0.76336764 0.765819 0.002451268 Continúe11 0.76581891 0.764611 0.001207558 Continúe12 0.76461135 0.765206 0.000594972 Continúe13 0.76520633 0.764913 0.000293123 Continúe14 0.7649132 0.765058 0.000144418 Continúe15 0.76505762 0.764986 0.0000711515 0.76498647
Como vemos tampoco Excel nos da un respuesta con sentido para el intervalo analizado <7,8>, por lo que el método no aplicaría para f ( x )= ,cosh ( x ) cos ( x )−1 ,intervalo<7,8>
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METODO DE NEWTON-RAPHSON
Ingrese el valor inicial x0 = 7.5
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la función f(x) = cosh(x)*cos(x)-1
i fx(i) Error aprox (i)
0 7.500000000000000 100.000000000000000
1 8.084290962094810 0.584290962094810
2 7.893842301334428 0.190448660760382
3 7.854772040922961 0.039070260411467
4 7.853207077668694 0.001564963254267
5 7.853204624101863 0.000002453566831
6 7.853204624095838 0.000000000006025
La raíz fue obtenida en la iteración número: 6
La raíz aproximada es: 7.853204624095838
El resultado fue obtenido con un error de: 0.000000000006025
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METODO DE LA SECANTE
Ingrese el intervalo inferior: 7
Ingrese el intervalo superior: 8
Ingrese el porcentaje de error: 0.00001
Ingrese la funciòn: (0.5*(exp(x)+exp(-1*x)))*cos(x)-1
i xf(i) Error aprox (i)
1 0.0011061684 100.0000000000
2 2.5933551844 99.9573460508
3 2.6760997937 3.0919851884
4 1.8810771194 -42.2642254323
5 1.5882394805 -18.4378768077
6 1.2762489663 -24.4458975090
7 1.0497007148 -21.5821755907
8 0.8573265328 -22.4388461951
9 0.7026567684 -22.0121361194
10 0.5753200052 -22.1332062278
11 0.4713134350 -22.0673892223
12 0.3860562110 -22.0841477422
13 0.3162481616 -22.0738198364
14 0.2590582951 -22.0760606991
15 0.2122134264 -22.0744132312
16 0.1738389970 -22.0746955969
17 0.1424041055 -22.0744278815
18 0.1166534802 -22.0744595671
19 0.0955593193 -22.0744151417
20 0.0782795618 -22.0744177657
21 0.0641244645 -22.0744102227
22 0.0525289980 -22.0744101905
23 0.0430303112 -22.0744088797
24 0.0352492480 -22.0744087895
25 0.0288752151 -22.0744085620
26 0.0236537825 -22.0744084807
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27 0.0193765285 -22.0744084258
28 0.0158727195 -22.0744085618
29 0.0130024955 -22.0744086724
30 0.0106512870 -22.0744076510
31 0.0087252415 -22.0744086035
32 0.0071474783 -22.0744035840
33 0.0058550174 -22.0744160637
34 0.0047962696 -22.0744027833
35 0.0039289738 -22.0743570345
36 0.0032185045 -22.0745173140
37 0.0026365184 -22.0740398137
38 0.0021597719 -22.0739258529
39 0.0017691892 -22.0769319923
40 0.0014493151 -22.0707106962
41 0.0011872510 -22.0731875372
42 0.0009726189 -22.0674335195
43 0.0007969871 -22.0369718860
44 0.0006523772 -22.1666081225
45 0.0005346111 -22.0283779527
46 0.0004373947 -22.2262284079
47 0.0003587638 -21.9171667189
48 0.0002932381 -22.3455685217
49 0.0002327528 -25.9869163604
50 0.0001722675 -35.1112466640
51 0.0001601705 -7.5526126223
52 0.0001601705 0.0000000000
La raiz aproximada es:0.0001601705
resultado obtenido en la iteración Nro.:52
Se uso la forma de cosh=(e^x+e^-x)*0.5, mas no se obtuvo un resultado acorde con el intervalo analizado <7,8>, aun haciendo uso del Excel
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Entonces para intervalo <7,8>
MÉTODO NÚMERO DE ITERACIONES
VALOR CALCULADO DE LA RAÍZ
ERROR MÉTODO MÉTODO
BISECCIÓN 24 7.853204667568207
0.000000059604645
REGLA FALSA (MODIFICADA)
24 7.853204667568207 0.000000059604645
PUNTO FIJO 15 0.76498647 0.0000711515
NEWTON-RAPHSON 6 7.853204624095838 0.000000000006025 X Es necesario un Número menor de Iteraciones, siendo también el método con el menor error.
SECANTE
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Valor de las raíces realizadas con el uso de MATLAB.
METODO GRAFICO
65.a Si f ( x )=ex−2cos(x ), al trazar la gráfica, podemos observar que corta al eje x en
cuatro puntos, entre <-8,-7>, <-5,-4>, <-2,-1>, <0,1>, (dentro de x:[-10,10]). Hemos
encontrado la ubicación de 4 raíces.
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EJERCICIO NUMERO 65
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Hacemos f(x)=g(x)-h(x), hacemos g ( x )=ex y h (x )=2cos (x ), graficamos en un mismo plano,
vemos que la intersección de ambas funciones proyectada en el eje x sucede entre <-8,-7>, <-5,-4>, <-
2,-1>, <0,1>, (dentro de x:[-10,10])
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65.b. APLICACIÓN DEL METODO BUSCA.- Para la función f ( x )=ex−2cos(x ) ,el cual fue trabajado con la ayuda del Excel. Este método encuentra 06 ubicaciones para raíces, entre <-8,-7>, <-5,-4>, <-2,-1>, <0,1>, confirmando lo hallado por el método grafico.
Nro. de intervalos
a b f(a) f(b) p=f(a)*f(b) Decisión
1 -10 -9 1.678188458 1.822383934 3.058303684 No existe raíz
2 -9 -8 1.822383934 0.29133553 0.53092519 No existe raíz
3 -8 -7 0.29133553 -1.506892627 -0.439011362 Existe raíz
4 -7 -6 -1.506892627 -1.917861821 2.890011837 No existe raíz
5 -6 -5 -1.917861821 -0.560586424 1.0751273 No existe raíz
6 -5 -4 -0.560586424 1.325602881 -0.743114978 Existe raíz
7 -4 -3 1.325602881 2.029772062 2.690671692 No existe raíz
8 -3 -2 2.029772062 0.967628956 1.964066222 No existe raíz
9 -2 -1 0.967628956 -0.712725171 -0.689653513 Existe raíz
10 -1 0 -0.712725171 -1 0.712725171 No existe raíz
11 0 1 -1 1.637677217 -1.637677217 Existe raíz
12 1 2 1.637677217 8.221349772 13.46391721 No existe raíz
13 2 3 8.221349772 22.06552192 181.4083736 No existe raíz
14 3 4 22.06552192 55.90543727 1233.582651 No existe raíz
15 4 5 55.90543727 147.8458347 8265.38604 No existe raíz
16 5 6 147.8458347 401.5084529 59361.35237 No existe raíz
17 6 7 401.5084529 1095.125354 439702.0866 No existe raíz
18 7 8 1095.125354 2981.248987 3264841.352 No existe raíz
19 8 9 2981.248987 8104.906188 24162743.36 No existe raíz
20 9 10 8104.906188 22028.14394 178536040.1 No existe raíz
En efecto: Para el intervalo <-2,-1>: a=-2 y b=-1
Luego: Sf ( x )=ex−2cos(x ) , entonces f (a )=f (−2 )=0.967628956 , y
f (b )=f (−1 )=−0.712725171Luego:
f (a ) . f (b )=−0.689653513<0 , por lo tantoen←2 ,−1>existeunaraíz
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 40
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65.c) APLICACIÓN DEL MÉTODO DE BISECCIÓN.- a cada intervalo con una tolerancia de 0.0000001 para
f ( x )=ex−2cos(x ) . <-2,-1>
Ingrese el valor de a = -2 Ingrese el valor de b = -1
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la funciòn: exp(x)-2*cos(x)
It. a b c Error aprox
1 -2.000000000000000 -1.000000000000000 -1.500000000000000
2 -1.500000000000000 -1.000000000000000 -1.250000000000000 0.250000000000000
3 -1.500000000000000 -1.250000000000000 -1.375000000000000 0.125000000000000
4 -1.500000000000000 -1.375000000000000 -1.437500000000000 0.062500000000000
5 -1.500000000000000 -1.437500000000000 -1.468750000000000 0.031250000000000
6 -1.468750000000000 -1.437500000000000 -1.453125000000000 0.015625000000000
7 -1.468750000000000 -1.453125000000000 -1.460937500000000 0.007812500000000
8 -1.460937500000000 -1.453125000000000 -1.457031250000000 0.003906250000000
9 -1.457031250000000 -1.453125000000000 -1.455078125000000 0.001953125000000
10 -1.455078125000000 -1.453125000000000 -1.454101562500000 0.000976562500000
11 -1.454101562500000 -1.453125000000000 -1.453613281250000 0.000488281250000
12 -1.454101562500000 -1.453613281250000 -1.453857421875000 0.000244140625000
13 -1.453857421875000 -1.453613281250000 -1.453735351562500 0.000122070312500
14 -1.453735351562500 -1.453613281250000 -1.453674316406250 0.000061035156250
15 -1.453674316406250 -1.453613281250000 -1.453643798828125 0.000030517578125
16 -1.453674316406250 -1.453643798828125 -1.453659057617188 0.000015258789063
17 -1.453674316406250 -1.453659057617188 -1.453666687011719 0.000007629394531
18 -1.453674316406250 -1.453666687011719 -1.453670501708984 0.000003814697266
19 -1.453674316406250 -1.453670501708984 -1.453672409057617 0.000001907348633
20 -1.453674316406250 -1.453672409057617 -1.453673362731934 0.000000953674316
21 -1.453674316406250 -1.453673362731934 -1.453673839569092 0.000000476837158
22 -1.453673839569092 -1.453673362731934 -1.453673601150513 0.000000238418579
23 -1.453673839569092 -1.453673601150513 -1.453673720359802 0.000000119209290
24 -1.453673720359802 -1.453673601150513 -1.453673660755158 0.000000059604645
La raiz aproximada es:-1.453673660755158, con el método de la Bisección la raíz es obtenida en la iteración número 24, con un valor de -1.453673660755158 y una tolerancia de 0.0000001.
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65.d) APLICACIÓN DEL MÉTODO MODIFICADO DE LA REGLA FALSA MODIFICADA.- en <-2,-1>, para
f ( x )=ex−2cos(x ), con una tolerancia de 0.0000001
Ingrese el valor de a = -2 Ingrese el valor de b = -1
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la Funcion f(x) = exp(x)-2*cos(x)
It. a b c Error aprox
1 -2.000000000000000 -1.000000000000000 -1.424151766081306
2 -2.000000000000000 -1.424151766081306 -1.250000000000000 0.174151766081306
3 -2.000000000000000 -1.250000000000000 -1.375000000000000 0.125000000000000
4 -2.000000000000000 -1.375000000000000 -1.437500000000000 0.062500000000000
5 -2.000000000000000 -1.437500000000000 -1.468750000000000 0.031250000000000
6 -2.000000000000000 -1.468750000000000 -1.453125000000000 0.015625000000000
7 -2.000000000000000 -1.453125000000000 -1.460937500000000 0.007812500000000
8 -2.000000000000000 -1.460937500000000 -1.457031250000000 0.003906250000000
9 -2.000000000000000 -1.457031250000000 -1.455078125000000 0.001953125000000
10 -2.000000000000000 -1.455078125000000 -1.454101562500000 0.000976562500000
11 -2.000000000000000 -1.454101562500000 -1.453613281250000 0.000488281250000
12 -2.000000000000000 -1.453613281250000 -1.453857421875000 0.000244140625000
13 -2.000000000000000 -1.453857421875000 -1.453735351562500 0.000122070312500
14 -2.000000000000000 -1.453735351562500 -1.453674316406250 0.000061035156250
15 -2.000000000000000 -1.453674316406250 -1.453643798828125 0.000030517578125
16 -2.000000000000000 -1.453643798828125 -1.453659057617188 0.000015258789063
17 -2.000000000000000 -1.453659057617188 -1.453666687011719 0.000007629394531
18 -2.000000000000000 -1.453666687011719 -1.453670501708984 0.000003814697266
19 -2.000000000000000 -1.453670501708984 -1.453672409057617 0.000001907348633
20 -2.000000000000000 -1.453672409057617 -1.453673362731934 0.000000953674316
21 -2.000000000000000 -1.453673362731934 -1.453673839569092 0.000000476837158
22 -2.000000000000000 -1.453673839569092 -1.453673601150513 0.000000238418579
23 -2.000000000000000 -1.453673601150513 -1.453673720359802 0.000000119209290
24 -2.000000000000000 -1.453673720359802 -1.453673660755158 0.000000059604645
La raíz aproximada es:-1.453673660755158, obtenida en la iteración número 24, con un valor de
-1.453673660755158y una tolerancia de 0.0000001.
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65.e) APLICACIÓN DE LA ITERACION DE PUNTO FIJO.- en <-2,-1>, para
Tomando como g ( x )=−1∗acos (exp (x )2 ) , puescosx=cos (−x ) ,entonces
g' (x )= e x
(4−e2x )12
Entonces ¿ g' (−1.5 )∨¿0.112265942>1 , por lotantoconverge
f ( x )=ex−2cos(x ), con una tolerancia de 0.0000001
Ingrese el valor inicial x0 = -1.5
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la función despejada de f(x) = 0: g(x) = -1*arcos(exp(x)/2)
i x1 Error aprox
1 -1.458998503315253 0.041001496684747
2 -1.454298504933456 0.004699998381796
3 -1.453747162403277 0.000551342530180
4 -1.453682313757217 0.000064848646059
5 -1.453674683907543 0.000007629849674
6 -1.453673786174923 0.000000897732620
7 -1.453673680546716 0.000000105628207
8 -1.453673668118378 0.000000012428337
La raíz aproximada es:-1.453673668118378, resultado obtenido en la iteración 8 y con una tolerancia de 0.0000001
.
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 43
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65.f) APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON RAPHSON.- en <-2,-1>, para
f ( x )=ex−2cos(x ), con una tolerancia de 0.0000001
Ingrese el valor inicial x0 = -1.5
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la función f(x) = exp(x)-2*cos(x)
i fx(i) Error aprox (i)
0 -1.500000000000000 100.000000000000000
1 -1.453915227259419 0.046084772740581
2 -1.453673674235863 0.000241553023556
3 -1.453673666461042 0.000000007774821
La raíz aproximada es:-1.453673666461042
Con el método de Newton-Raphson la raíz es obtenida en la iteración número 3, con un valor de:
-1.453673666461042 y una tolerancia de 0.0000001.
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 44
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65.g) APLICACIÓN DEL METODO DE LA SECANTE.- en <-2,-1>, para
f ( x )=ex−2cos(x ), con una tolerancia de 0.0000001
Ingrese el intervalo inferior: -2 Ingrese el intervalo superior: -1
Ingrese el porcentaje de error: 0.00001 Ingrese la función: exp(x)-2*cos(x)
i xf(i) Error aprox (i)
1 -1.4589985033 100.0000000000
2 -1.4763893605 1.1779316280
3 -1.4754667921 -0.0625272220
4 -1.4537346870 -1.4949155007
5 -1.4536738372 -0.0041859317
6 -1.4536736665 -0.0000117439
7 -1.4536736665 -0.0000000001
La raíz aproximada es: -1.4536736665, resultado obtenido en la iteración Nro.: 7
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 45
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65.h) ANALISIS Y SUGERENCIA DE METODO A UTILIZAR.
Para esta función, en la búsqueda de ubicación de las raíces el método gráfico es la elección correcta.
MÉTODO NÚMERO DE ITERACIONES
VALOR CALCULADO DE LA RAÍZ
ERROR MÉTODO MÉTODO
BISECCIÓN 24 -1.453673660755158 0.000000059604645
REGLA FALSA (MODIFICADA)
24 :-1.453673660755158 0.000000059604645
PUNTO FIJO 8 :-1.453673668118378 0.000000012428337
NEWTON-RAPHSON
3 :-1.453673666461042 0.000000007774821 X Es necesario un Número menor de Iteraciones.
SECANTE 7 -1.4536736665 -0.0000000001
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Intervalo <0,1>
Método de la Bisección
Ingrese el valor de a = 0 Ingrese el valor de b = 1
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la función: exp(x)-2*cos(x)
It. a b c Error aprox
1 0.000000000000000 1.000000000000000 0.500000000000000
2 0.500000000000000 1.000000000000000 0.750000000000000 0.250000000000000
3 0.500000000000000 0.750000000000000 0.625000000000000 0.125000000000000
4 0.500000000000000 0.625000000000000 0.562500000000000 0.062500000000000
5 0.500000000000000 0.562500000000000 0.531250000000000 0.031250000000000
6 0.531250000000000 0.562500000000000 0.546875000000000 0.015625000000000
7 0.531250000000000 0.546875000000000 0.539062500000000 0.007812500000000
8 0.539062500000000 0.546875000000000 0.542968750000000 0.003906250000000
9 0.539062500000000 0.542968750000000 0.541015625000000 0.001953125000000
10 0.539062500000000 0.541015625000000 0.540039062500000 0.000976562500000
11 0.539062500000000 0.540039062500000 0.539550781250000 0.000488281250000
12 0.539550781250000 0.540039062500000 0.539794921875000 0.000244140625000
13 0.539550781250000 0.539794921875000 0.539672851562500 0.000122070312500
14 0.539672851562500 0.539794921875000 0.539733886718750 0.000061035156250
15 0.539733886718750 0.539794921875000 0.539764404296875 0.000030517578125
16 0.539764404296875 0.539794921875000 0.539779663085938 0.000015258789063
17 0.539779663085938 0.539794921875000 0.539787292480469 0.000007629394531
18 0.539779663085938 0.539787292480469 0.539783477783203 0.000003814697266
19 0.539783477783203 0.539787292480469 0.539785385131836 0.000001907348633
20 0.539783477783203 0.539785385131836 0.539784431457520 0.000000953674316
21 0.539784431457520 0.539785385131836 0.539784908294678 0.000000476837158
22 0.539784908294678 0.539785385131836 0.539785146713257 0.000000238418579
23 0.539785146713257 0.539785385131836 0.539785265922546 0.000000119209290
24 0.539785146713257 0.539785265922546 0.539785206317902 0.000000059604645
La raíz aproximada es: 0.539785206317902 , La raíz fue obtenida en la iteración número: 24
La raíz fue obtenida con un error de :0.000000059604645
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Método de la Regla Falsa, Intervalo <0,1>
Ingrese el valor de a = 0 Ingrese el valor de b = 1
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la Funcion f(x) = exp(x)-2*cos(x)
It. a b c Error aprox
1 0.000000000000000 1.000000000000000 0.379121445816054
2 0.500000000000000 1.000000000000000 0.750000000000000 0.370878554183946
3 0.500000000000000 0.750000000000000 0.625000000000000 0.125000000000000
4 0.500000000000000 0.625000000000000 0.562500000000000 0.062500000000000
5 0.500000000000000 0.562500000000000 0.531250000000000 0.031250000000000
6 0.531250000000000 0.562500000000000 0.546875000000000 0.015625000000000
7 0.531250000000000 0.546875000000000 0.539062500000000 0.007812500000000
8 0.539062500000000 0.546875000000000 0.542968750000000 0.003906250000000
9 0.539062500000000 0.542968750000000 0.541015625000000 0.001953125000000
10 0.539062500000000 0.541015625000000 0.540039062500000 0.000976562500000
11 0.539062500000000 0.540039062500000 0.539550781250000 0.000488281250000
12 0.539550781250000 0.540039062500000 0.539794921875000 0.000244140625000
13 0.539550781250000 0.539794921875000 0.539672851562500 0.000122070312500
14 0.539672851562500 0.539794921875000 0.539733886718750 0.000061035156250
15 0.539733886718750 0.539794921875000 0.539764404296875 0.000030517578125
16 0.539764404296875 0.539794921875000 0.539779663085938 0.000015258789063
17 0.539779663085938 0.539794921875000 0.539787292480469 0.000007629394531
18 0.539779663085938 0.539787292480469 0.539783477783203 0.000003814697266
19 0.539783477783203 0.539787292480469 0.539785385131836 0.000001907348633
20 0.539783477783203 0.539785385131836 0.539784431457520 0.000000953674316
21 0.539784431457520 0.539785385131836 0.539784908294678 0.000000476837158
22 0.539784908294678 0.539785385131836 0.539785146713257 0.000000238418579
23 0.539785146713257 0.539785385131836 0.539785265922546 0.000000119209290
24 0.539785146713257 0.539785265922546 0.539785206317902 0.000000059604645
La raíz fue obtenida en la iteración número: 24
La raíz aproximada es: 0.539785206317902
El resultado fue obtenido con un error de: 0.000000059604645
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Método de Iteracion de Punto Fijo Intervalo <0,1>
Ingrese el valor inicial x0 = 0.5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la función despejada de f(x) = 0: g(x) = log(2*cos(x))
i x1 Error aprox
1 0.562562940116223 0.062562940116223
2 0.525782330205283 0.036780609910940
3 0.548042287210253 0.022259957004971
4 0.534791524564303 0.013250762645950
5 0.542760125966028 0.007968601401724
6 0.537996726374226 0.004763399591801
7 0.540854507397180 0.002857781022954
8 0.539143697710393 0.001710809686787
9 0.540169205969210 0.001025508258818
10 0.539554964670932 0.000614241298279
11 0.539923043974558 0.000368079303626
12 0.539702536898028 0.000220507076530
13 0.539834659264876 0.000132122366848
14 0.539755502757251 0.000079156507624
15 0.539802929466513 0.000047426709261
16 0.539774514723631 0.000028414742882
17 0.539791539202757 0.000017024479126
18 0.539781339246109 0.000010199956647
19 0.539787450441646 0.000006111195536
20 0.539783789000819 0.000003661440827
21 0.539785982710069 0.000002193709250
22 0.539784668377135 0.000001314332933
23 0.539785455843743 0.000000787466608
24 0.539784984042974 0.000000471800769
25 0.539785266716605 0.000000282673631
26 0.539785097356211 0.000000169360395
27 0.539785198826400 0.000000101470190
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 49
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28 0.539785138031794 0.000000060794607
La raiz fue obtenida en la iteración número : 28
La raiz aproximada es:0.539785138031794
El resultado fue obtenido con un error de:0.000000060794607
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 50
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65. Método de Newton-Raphson Intervalo <0,1>
Ingrese el valor inicial x0 = 0.5
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la función f(x) = exp(x)-2*cos(x)
i fx(i) Error aprox (i)
0 0.500000000000000 100.000000000000000
1 0.540821054559040 0.040821054559040
2 0.539785831067799 0.001035223491241
3 0.539785160809562 0.000000670258237
4 0.539785160809281 0.000000000000281
La raíz fue obtenida en la iteración número: 4
La raíz aproximada es: 0.539785160809281
El resultado fue obtenido con un error de: 0.000000000000281
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 51
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65. Método de la Secante Intervalo <0,1>
Ingrese el intervalo inferior: 0 Ingrese el intervalo superior: 1
Ingrese el porcentaje de error: 0.00001 Ingrese la funciòn: exp(x)-2*cos(x)
i xf(i) Error aprox (i)
1 0.5625629401 100.0000000000
2 0.5237189523 -7.4169528587
3 0.5247270893 0.1921259669
4 0.5399391235 2.8173609790
5 0.5397836989 -0.0287938686
6 0.5397851607 0.0002708108
7 0.5397851608 0.0000000261
La raíz aproximada es:0.5397851608
resultado obtenido en la iteración Nro.: 7
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 52
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65.h) ANALISIS Y SUGERENCIA DE METODO A UTILIZAR, INTERVALO <0.1>.
Para esta función, el método gráfico en la búsqueda de la ubicación de raíces es la elección correcta, pues encuentra las ubicaciones de dos raíces, mientras el método BUSCA solo encuentra solo la ubicación de una de ellas.
MÉTODO NÚMERO DE ITERACIONES
VALOR CALCULADO DE LA RAÍZ
ERROR MÉTODO MÉTODO
BISECCIÓN 0.539785206317902 0.000000059604645
REGLA FALSA (MODIFICADA)
0.539785206317902 0.000000059604645
PUNTO FIJO 0.539785138031794 0.000000060794607
NEWTON-RAPHSON 0.539785160809281 0.000000000000281 X Es necesario un Número menor de Iteraciones, el error también es s menor
SECANTE (Excel) 0.5397851608 0.0000000261
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 53
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65. Método de Bisección, Intervalo <-5,-4>
Ingrese el valor de a = -5 Ingrese el valor de b = -4
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la funciòn: exp(x)-2*cos(x)
It. a b c Error aprox
1 -5.000000000000000 -4.000000000000000 -4.500000000000000
2 -5.000000000000000 -4.500000000000000 -4.750000000000000 0.250000000000000
3 -4.750000000000000 -4.500000000000000 -4.625000000000000 0.125000000000000
4 -4.750000000000000 -4.625000000000000 -4.687500000000000 0.062500000000000
5 -4.750000000000000 -4.687500000000000 -4.718750000000000 0.031250000000000
6 -4.718750000000000 -4.687500000000000 -4.703125000000000 0.015625000000000
7 -4.718750000000000 -4.703125000000000 -4.710937500000000 0.007812500000000
8 -4.718750000000000 -4.710937500000000 -4.714843750000000 0.003906250000000
9 -4.718750000000000 -4.714843750000000 -4.716796875000000 0.001953125000000
10 -4.718750000000000 -4.716796875000000 -4.717773437500000 0.000976562500000
11 -4.717773437500000 -4.716796875000000 -4.717285156250000 0.000488281250000
12 -4.717285156250000 -4.716796875000000 -4.717041015625000 0.000244140625000
13 -4.717041015625000 -4.716796875000000 -4.716918945312500 0.000122070312500
14 -4.716918945312500 -4.716796875000000 -4.716857910156250 0.000061035156250
15 -4.716918945312500 -4.716857910156250 -4.716888427734375 0.000030517578125
16 -4.716888427734375 -4.716857910156250 -4.716873168945313 0.000015258789063
17 -4.716873168945313 -4.716857910156250 -4.716865539550781 0.000007629394531
18 -4.716865539550781 -4.716857910156250 -4.716861724853516 0.000003814697266
19 -4.716861724853516 -4.716857910156250 -4.716859817504883 0.000001907348633
20 -4.716861724853516 -4.716859817504883 -4.716860771179199 0.000000953674316
21 -4.716860771179199 -4.716859817504883 -4.716860294342041 0.000000476837158
22 -4.716860771179199 -4.716860294342041 -4.716860532760620 0.000000238418579
23 -4.716860771179199 -4.716860532760620 -4.716860651969910 0.000000119209290
24 -4.716860651969910 -4.716860532760620 -4.716860592365265 0.000000059604645
La raíz aproximada es: -4.716860592365265, la raíz fue obtenida en la iteración número: 24
La raíz fue obtenida con un error de: 0.000000059604645
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 54
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65. Método de la Regla Falsa Modificada, Intervalo <-5,-4>
Ingrese el valor de a = -5 Ingrese el valor de b = -4
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la Funcion f(x) = exp(x)-2*cos(x)
It. a b c Error aprox
1 -5.000000000000000 -4.000000000000000 -4.702794187955013
2 -5.000000000000000 -4.702794187955013 -4.750000000000000 0.047205812044987
3 -5.000000000000000 -4.750000000000000 -4.625000000000000 0.125000000000000
4 -5.000000000000000 -4.625000000000000 -4.687500000000000 0.062500000000000
5 -5.000000000000000 -4.687500000000000 -4.718750000000000 0.031250000000000
6 -5.000000000000000 -4.718750000000000 -4.703125000000000 0.015625000000000
7 -5.000000000000000 -4.703125000000000 -4.710937500000000 0.007812500000000
8 -5.000000000000000 -4.710937500000000 -4.714843750000000 0.003906250000000
9 -5.000000000000000 -4.714843750000000 -4.716796875000000 0.001953125000000
10 -5.000000000000000 -4.716796875000000 -4.717773437500000 0.000976562500000
11 -5.000000000000000 -4.717773437500000 -4.717285156250000 0.000488281250000
12 -5.000000000000000 -4.717285156250000 -4.717041015625000 0.000244140625000
13 -5.000000000000000 -4.717041015625000 -4.716918945312500 0.000122070312500
14 -5.000000000000000 -4.716918945312500 -4.716857910156250 0.000061035156250
15 -5.000000000000000 -4.716857910156250 -4.716888427734375 0.000030517578125
16 -5.000000000000000 -4.716888427734375 -4.716873168945313 0.000015258789063
17 -5.000000000000000 -4.716873168945313 -4.716865539550781 0.000007629394531
18 -5.000000000000000 -4.716865539550781 -4.716861724853516 0.000003814697266
19 -5.000000000000000 -4.716861724853516 -4.716859817504883 0.000001907348633
20 -5.000000000000000 -4.716859817504883 -4.716860771179199 0.000000953674316
21 -5.000000000000000 -4.716860771179199 -4.716860294342041 0.000000476837158
22 -5.000000000000000 -4.716860294342041 -4.716860532760620 0.000000238418579
23 -5.000000000000000 -4.716860532760620 -4.716860651969910 0.000000119209290
24 -5.000000000000000 -4.716860651969910 -4.716860592365265 0.000000059604645
La raíz fue obtenida en la iteración número: 24
La raíz aproximada es:-4.716860592365265
El resultado fue obtenido con un error de: 0.000000059604645
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 55
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65. Método de la Iteración de Punto Fijo, Intervalo <-5,-4>
Ingrese el valor inicial x0 = -4.5
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la función despejada de f(x) = 0: g(x) = -1*acos(exp(x)/2)
i x1 Error aprox
1 -1.565241799963731 2.934758200036269
2 -1.466086357640836 0.099155442322896
3 -1.455125007854536 0.010961349786300
4 -1.453844307410881 0.001280700443655
5 -1.453693742537714 0.000150564873167
6 -1.453676028611616 0.000017713926097
7 -1.453673944394103 0.000002084217514
8 -1.453673699162965 0.000000245231137
9 -1.453673670308788 0.000000028854177
La raiz fue obtenida en la iteración número : 9
La raiz aproximada es:-1.453673670308788
El resultado fue obtenido con un error de:0.000000028854177
Este valor no pertenece a <-5,-4>, por lo que haremos uso del Excel.
Nro It. x0 x1=g(x0) Abs(x1-x0) Comentario1 -4.50 -1.565241800 2.9347582 Continúe2 -1.5652418 -1.466086358 0.0991554 Continúe3 -1.4660864 -1.455125008 0.0109613 Continúe4 -1.4551250 -1.453844307 0.0012807 Continúe5 -1.4538443 -1.453693743 0.0001506 Continúe6 -1.4536937 -1.453676029 0.0000177 -1.453676029
El resultado es el mismo por lo tanto el método no aplica para la función f ( x )=ex−2cos(x ), en el intervalo <-5,-4>
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65. Método de Newton-Raphson Intervalo <-5,-4>
Ingrese el valor inicial x0 = -4.5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la función f(x) = exp(x)-2*cos(x)
i fx(i) Error aprox (i)
0 -4.500000000000000 100.000000000000000
1 -4.720072915589575 0.220072915589575
2 -4.716860543812934 0.003212371776641
3 -4.716860600703114 0.000000056890180
La raíz fue obtenida en la iteración número: 3
La raíz aproximada es:-4.716860600703114
El resultado fue obtenido con un error de: 0.000000056890180
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65. Método de la Secante Intervalo <-5,-4>
Ingrese el intervalo inferior: -5 Ingrese el intervalo superior: -4
Ingrese el porcentaje de error: 0.00001 Ingrese la funciòn: exp(x)-2*cos(x)
i xf(i) Error aprox (i)
1 -1.5652418000 100.0000000000
2 -3.6277728060 56.8539188183
3 4.2616474443 185.1260657617
4 -3.8300510160 211.2686861503
5 -4.0104948882 4.4992919148
6 -4.9309356480 18.6666552866
7 -4.7048351588 -4.8057048034
8 -4.7169585700 0.2570175460
9 -4.7168606036 -0.0020769395
10 -4.7168606007 -0.0000000620
La raíz aproximada es:-4.7168606007
Resultado obtenido en la iteración Nro.:10
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65.h) ANALISIS Y SUGERENCIA DE METODO A UTILIZAR, INTERVALO <-5.-4>.
Para esta función, el método gráfico en la búsqueda de la ubicación de raíces es la elección correcta, pues encuentra las ubicaciones de dos raíces, mientras el método BUSCA solo encuentra solo la ubicación de una de ellas.
MÉTODO NÚMERO DE ITERACIONES
VALOR CALCULADO DE LA RAÍZ
ERROR MÉTODO MÉTODO
BISECCIÓN 24 -4.716860592365265
0.000000059604645
REGLA FALSA (MODIFICADA)
24 -4.716860592365265 0.000000059604645
PUNTO FIJO No aplica para esta función en <-5,-4>
NEWTON-RAPHSON 3 -4.716860600703114
0.000000056890180 X Es necesario un Número menor de Iteraciones. Menor Error.
SECANTE (Excel) 10 -4.7168606007 0.0000000620
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65. Método de Bisección, Intervalo <-8,-7>
Ingrese el valor de a = -8 Ingrese el valor de b = -7
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la funciòn: exp(x)-2*cos(x)
It. a b c Error aprox
1 -8.000000000000000 -7.000000000000000 -7.500000000000000
2 -8.000000000000000 -7.500000000000000 -7.750000000000000 0.250000000000000
3 -8.000000000000000 -7.750000000000000 -7.875000000000000 0.125000000000000
4 -7.875000000000000 -7.750000000000000 -7.812500000000000 0.062500000000000
5 -7.875000000000000 -7.812500000000000 -7.843750000000000 0.031250000000000
6 -7.875000000000000 -7.843750000000000 -7.859375000000000 0.015625000000000
7 -7.859375000000000 -7.843750000000000 -7.851562500000000 0.007812500000000
8 -7.859375000000000 -7.851562500000000 -7.855468750000000 0.003906250000000
9 -7.855468750000000 -7.851562500000000 -7.853515625000000 0.001953125000000
10 -7.855468750000000 -7.853515625000000 -7.854492187500000 0.000976562500000
11 -7.854492187500000 -7.853515625000000 -7.854003906250000 0.000488281250000
12 -7.854003906250000 -7.853515625000000 -7.853759765625000 0.000244140625000
13 -7.854003906250000 -7.853759765625000 -7.853881835937500 0.000122070312500
14 -7.853881835937500 -7.853759765625000 -7.853820800781250 0.000061035156250
15 -7.853820800781250 -7.853759765625000 -7.853790283203125 0.000030517578125
16 -7.853790283203125 -7.853759765625000 -7.853775024414063 0.000015258789063
17 -7.853790283203125 -7.853775024414063 -7.853782653808594 0.000007629394531
18 -7.853790283203125 -7.853782653808594 -7.853786468505859 0.000003814697266
19 -7.853790283203125 -7.853786468505859 -7.853788375854492 0.000001907348633
20 -7.853788375854492 -7.853786468505859 -7.853787422180176 0.000000953674316
21 -7.853788375854492 -7.853787422180176 -7.853787899017334 0.000000476837158
22 -7.853787899017334 -7.853787422180176 -7.853787660598755 0.000000238418579
23 -7.853787660598755 -7.853787422180176 -7.853787541389465 0.000000119209290
24 -7.853787541389465 -7.853787422180176 -7.853787481784821 0.000000059604645
La raíz aproximada es: -7.853787481784821, la raíz fue obtenida en la iteración número: 24
La raíz fue obtenida con un error de: 0.000000059604645
65. Método de la Regla Falsa Modificada, Intervalo <-8,-7>
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 60
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Ingrese el valor de a = -8 Ingrese el valor de b = -7
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la Funcion f(x) = exp(x)-2*cos(x)
It. a b c Error aprox
1 -8.000000000000000 -7.000000000000000 -7.837987449414292
2 -8.000000000000000 -7.837987449414292 -7.750000000000000 0.087987449414292
3 -8.000000000000000 -7.750000000000000 -7.875000000000000 0.125000000000000
4 -8.000000000000000 -7.875000000000000 -7.812500000000000 0.062500000000000
5 -8.000000000000000 -7.812500000000000 -7.843750000000000 0.031250000000000
6 -8.000000000000000 -7.843750000000000 -7.859375000000000 0.015625000000000
7 -8.000000000000000 -7.859375000000000 -7.851562500000000 0.007812500000000
8 -8.000000000000000 -7.851562500000000 -7.855468750000000 0.003906250000000
9 -8.000000000000000 -7.855468750000000 -7.853515625000000 0.001953125000000
10 -8.000000000000000 -7.853515625000000 -7.854492187500000 0.000976562500000
11 -8.000000000000000 -7.854492187500000 -7.854003906250000 0.000488281250000
12 -8.000000000000000 -7.854003906250000 -7.853759765625000 0.000244140625000
13 -8.000000000000000 -7.853759765625000 -7.853881835937500 0.000122070312500
14 -8.000000000000000 -7.853881835937500 -7.853820800781250 0.000061035156250
15 -8.000000000000000 -7.853820800781250 -7.853790283203125 0.000030517578125
16 -8.000000000000000 -7.853790283203125 -7.853775024414063 0.000015258789063
17 -8.000000000000000 -7.853775024414063 -7.853782653808594 0.000007629394531
18 -8.000000000000000 -7.853782653808594 -7.853786468505859 0.000003814697266
19 -8.000000000000000 -7.853786468505859 -7.853788375854492 0.000001907348633
20 -8.000000000000000 -7.853788375854492 -7.853787422180176 0.000000953674316
21 -8.000000000000000 -7.853787422180176 -7.853787899017334 0.000000476837158
22 -8.000000000000000 -7.853787899017334 -7.853787660598755 0.000000238418579
23 -8.000000000000000 -7.853787660598755 -7.853787541389465 0.000000119209290
24 -8.000000000000000 -7.853787541389465 -7.853787481784821 0.000000059604645
La raíz fue obtenida en la iteración número : 24, La raíz aproximada es:-7.853787481784821
El resultado fue obtenido con un error de: 0.000000059604645
65. Método de la Iteración de Punto Fijo, Intervalo <-8,-7>
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 61
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Ingrese el valor inicial x0 = -7.5
Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la función despejada de f(x) = 0: g(x) = -1*acos(exp(x)/2)
i x1 Error aprox
1 -1.570519784606298 5.929480215393702
2 -1.466639566665406 0.103880217940892
3 -1.455189267185965 0.011450299479442
4 -1.453851856876054 0.001337410309911
5 -1.453694630659538 0.000157226216516
6 -1.453676133106893 0.000018497552645
7 -1.453673956689109 0.000002176417784
8 -1.453673700609610 0.000000256079499
9 -1.453673670479002 0.000000030130608
La raiz fue obtenida en la iteración número : 9
La raiz aproximada es:-1.453673670479002
El resultado fue obtenido con un error de:0.000000030130608
Resultado no pertenece a <-8,-7>, asi que se hara uso del Excel:
Nro It. x0 x1=g(x0) Abs(x1-x0) Comentario1 -7.50 -1.570519785 5.929480215 Continúe2 -1.5705198 -1.466639567 0.1038802 Continúe3 -1.4666396 -1.455189267 0.0114503 Continúe4 -1.4551893 -1.453851857 0.0013374 Continúe5 -1.4538519 -1.453694631 0.0001572 Continúe6 -1.4536946 -1.453676133 0.0000185 -1.453676133
Tampoco se obtiene un dato correcto, por lo tanto el método no aplica para f ( x )=ex−2cos(x ), en el intervalo <-8,-7>
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 62
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65. Método de Newton-Raphson Intervalo <-8,-7>
Ingrese el valor inicial x0 = -7.5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001
Ingrese la función f(x) = exp(x)-2*cos(x)
i fx(i) Error aprox (i)
0 -7.500000000000000 100.000000000000000
1 -7.869361330722756 0.369361330722756
2 -7.853786282067799 0.015575048654958
3 -7.853787494684895 0.000001212617097
4 -7.853787494684895 0.000000000000000
La raíz fue obtenida en la iteración número: 4
La raíz aproximada es:-7.853787494684895
El resultado fue obtenido con un error de: 0.000000000000000
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65. Método de la Secante Intervalo <-8,-7>
Ingrese el intervalo inferior: -8 Ingrese el intervalo superior: -7
Ingrese el porcentaje de error: 0.00001 Ingrese la funciòn: exp(x)-2*cos(x)
i xf(i) Error aprox (i)
1 -1.5705197846 100.0000000000
2 -6.5393497867 75.9835482755
3 15.9892775624 140.8983442880
4 -6.5393448324 344.5088609363
5 -6.5393398782 -0.0000757606
6 -10.3654974786 36.9124357836
7 -8.9164968659 -16.2507836261
8 -13.3672669864 33.2960366918
9 -11.3936472140 -17.3221070949
10 -8.9131523060 -27.8296030715
11 -10.6303172635 16.1534685644
12 -11.8217610425 10.0783950437
13 -11.0198512235 -7.2769568547
14 -10.9924852909 -0.2489512780
15 -10.9955829413 0.0281717706
16 -10.9955826754 -0.0000024180
La raiz aproximada es:-10.9955826754
resultado obtenido en la iteración Nro.:16
Sin embargo el resultado no pertenece a <-8,-7>, por lo que haremos uso del Excel:
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It. xi-1 xi f(xi-1) f(xi) xi-1-xi xi+1 Abs(xi-1-xi+1) Coment.
1 -8.0000000000 -7.0000000000 0.2913355302 -1.5068926267 -1.0000000000 -7.8379874494 0.162012550585708 Continúe
2 -7.0000000000 -7.8379874494 412.3774488984 19.2725489135 0.8379874494 -7.8790710231 0.879071023056763 Continúe
3 -7.8379874494 -7.8790710231 19.2725489135 -34.1323054793 0.0410835736 -7.8528135395 0.014826090091781 Continúe
4 -7.8790710231 -7.8528135395 -34.1323054793 0.5027319706 -0.0262574836 -7.8531946702 0.025876352839730 Continúe
5 -7.8528135395 -7.8531946702 0.5027319706 0.0128004080 0.0003811307 -7.8532046280 0.000391088486642 Continúe
6 -7.8531946702 -7.8532046280 0.0128004080 -0.0000050113 0.0000099578 -7.8532046241 0.000009953878766 -7.8532046241
La raíz fue obtenida en la iteración número: 6
La raíz aproximada es: -7.8532046241
El resultado fue obtenido con un error de: 0.000009953878766
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65.h) ANALISIS Y SUGERENCIA DE METODO A UTILIZAR, INTERVALO <-8.-7>.
Para esta función, el método gráfico en la búsqueda de la ubicación de raíces es la elección correcta, pues encuentra las ubicaciones de dos raíces, mientras el método BUSCA solo encuentra solo la ubicación de una de ellas.
MÉTODO NÚMERO DE ITERACIONES
VALOR CALCULADO DE LA RAÍZ
ERROR MÉTODO MÉTODO
BISECCIÓN 24 -7.853787481784821
0.000000059604645
REGLA FALSA (MODIFICADA)
24 -7.853787481784821 0.000000059604645
PUNTO FIJO No aplica Para esta función
NEWTON-RAPHSON
4 -7.853787494684895 0.000000000000000 X Es necesario un Número menor de Iteraciones, obteniendo el valor real de la raíz.
SECANTE (Excel) 6 -7.8532046241 0.000009953878766
Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 66