coupons and oligopolistic price discrimination

8/9/2019 Coupons and oligopolistic price discrimination

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I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fI n d u s t r i a lInternat ional Journal of Indust r ia l Organizat ion O r g a n i z a t i o nELSEVIER 14 (1996 ) 227-2 42

Coupons and ol igopolist ic price discriminationHelm ut Bester a '* , Emm anu el Petrakis b' t

"CentER, Tilburg U niversi ty, P.O. B ox 90153, 5000 L E Tilburg, NetherlandsbUniversidad Carlos Il i de Madrid, Departamento de Economia, Ca lle Madrid 126, 28903Getafe, SpainReceived 21 January 1994; accepted 8 November 1994

A b s t r a c tT h i s p a p e r s t u d i e s s al e s p r o m o t i o n t h r o u g h c o u p o n s i n a d u o p o l i s t i c m a r k e t .S e n d i n g o u t c o u p o n s a l lo w s th e s e l l e rs t o s e p a r a t e m a r k e t s e g m e n t s w i th d i f f e r e n td e g r e e s o f c o n s u m e r b r a n d l o y a l ty . T h is k i n d o f p r i ce d i s c r i m i n a t i o n is p r o f it a b l e fo rt h e i n d i v i d u a l s e l le r w h e n t h e c o s t o f c o u p o n i n g i s s u ff i c ie n t l y l o w . I n e q u i l i b r i u m ,h o w e v e r , c o u p o n i n g i n c r e a s e s c o m p e t i t i o n a n d r e d u c e s p r o f i t s . A n i n c r e a s e i n t h ec o s t o f c o u p o n i n g d e c r e a s e s c o n s u m e r s u r p lu s w h i l e th e i m p a c t o n p r o fi ts a n d s o c ia ls u r p l u s i s a m b i g u o u s .

K e y w o r d s : A d v e r t i s i n g ; C o u p o n s ; O l i g o p o l y ; P ri c e d i s c ri m i n a t i o nJ E L c l a s s i f i c a t i o n : D 4 3 ; D 8 3

1 . I n t r o d u c t i o nThis paper studies sales promotion through coupons and rebates in anoligopolistic industry. Sales promotion is a complementary, and in somecases even more important marketing strategy than media advertising for afirm to increase its market share. Coupons and rebates count for the bulk of

b i l l i o n s o f d o l l a r s s p e n t e a c h y e a r o n t h e s e p r o m o t i o n a l a c t iv i t i e s . I n 1 9 8 9,* Cor r espond ing au thor a t : D epar tmen t o f Economics , F r ee Univer s i ty Ber lin , Bo l t zmanns t r.20, D-14195 Ber l in , Germany.t We wish to thank two referees for thei r comments .

0167-7187/96/$15.00 1996 Else vier Science B.V. A ll r ights rese rvedS S D I 0 1 6 7 - 7 1 8 7 ( 9 4 ) 0 0 4 6 9 - 2


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228 H. Bester, E. Petrakis / Int. J. Ind. Organ. 14 (1996) 227-242n e a r l y $ 1 0 0 b i l li o n w o r t h o f c o u p o n s ( p o t e n t i a l s a v in g s ) w e r e s e n t o u t t oc o n s u m e r s i n t h e U n i t e d S t a t e s t h r o u g h S u n d a y n e w s p a p e r i n s e r t s ( s e eK o s e l k a , 1 9 90 ). M a n u f a c t u r e r s i n t h e U n i t e d S t a t e s d i s t r i b u t e d 31 0 b i l li o nc o u p o n s i n 1 99 2, re p r e s e n t i n g a 6 % i n c r e a se o v e r th e y e a r b e f o r e ( s eeH u m e , 1 99 3) . R e b a t e s a r e v i rt u a ll y e q u i v a l e n t t o c o u p o n s e x c e p t th a t t h e yi m p o s e s o m e a d d i t io n a l r e d e m p t i o n c o s t o n t h e c u s t o m e r , n a m e l y th e c o s to f m a i li n g a n d w a i t in g f o r t h e c a s h r e f u n d . F o r o u r p u r p o s e s c o u p o n s a n dr e b a t e s p l a y t h e s a m e r o l e a n d w e w i l l t r e a t t h e m i n t e r c h a n g e a b l y i n o u ra n a l y s i s .

W e i n v e s t i g a te t h e r o l e o f c o u p o n s i n a m a r k e t t h a t i s s e g m e n t e d d u e t ol o c a t i o n o r b r a n d l o y a lt y . B y o f f e r i n g a r e b a t e , a m a n u f a c t u r e r c a n a t t r a c ts o m e c o n s u m e r s w h o a r e o t h e r w i s e m o r e i n c li n e d t o b u y a c o m p e t i n g b r a n d .I n t h e l o c a t i o n i n t e r p r e t a t i o n o f o u r m o d e l , c o n s u m e r s f a ce a t r a n s p o r t a t i o nc o s t . S u p e r m a r k e t s , d e p a r t m e n t s t o r e s , a n d s h o p p i n g - m a l l s c a n u s e c o u p o n -i n g o f s p e c if i c r e s i d e n t i a l a r e a s t o c o m p e t e m o r e e f f e c t i v e l y i n t h e i r r iv a l s 'h o m e m a r k e t s . I n th e a l t e r n a t iv e i n t e r p r e t a t i o n , c o n s u m e r s d i f fe r i n t h e i rd e g r e e o f b r a n d l o y a lt y . B y p r i c e d is c r im i n a t in g b e t w e e n h i s o w n c u s t o m e r sa n d t h e c l i e n t e le o f c o m p e t i n g m a n u f a c t u r e r s , t h e s e l le r c a n i n c r e a s e h iso w n m a r k e t s h a r e . O f c o u r s e , th is r e q u i r e s m a r k e t e r s t o u s e ti g h tl y f o c u s e dc o u p o n d i s t r i b u t io n p r o g r a m s a s t h e y a r e o f f e r e d b y s p e c ia l m a r k e t i n gc o m p a n i e s . T a r g e t e d c o u p o n s h a v e b e e n u s e d s u c c es s fu l ly b y T r u m p ' sC a s t l e t o l u r e g a m b l e r s f r o m c o m p e t i n g c a s i no s , b y S t o p & S h o p s t o r e s tow i n c u s t o m e r s f r o m o t h e r g r o c e r y s t o r es , a n d b y L ' O r e a l V i s u e l le t o a t t r a c tu s e r s o f C o v e r G i r l a n d R e v l o n m a k e u p ( s e e Z e l d i s , 1 98 7) .W i t h c o u p o n i n g t h e m a n u f a c t u r e r h a s a t le a s t p a r t ia l c o n t r o l o f t h e t y p eo f h o u s e h o l d r e a c h e d . T h u s , h e i s a b l e t o o f f e r a r e d u c e d p r i c e t o a s p e c if ics e g m e n t o f t h e m a r k e t . C o u p o n s c a n s e r v e a s a p r i ce d is c r i m i n a ti o n d e v i c e .O n l y t h o s e c o n s u m e r s w h o h a v e r e c e i v e d a c o u p o n a r e a b l e t o b e n e f i t f r o mt h e r e b a t e . S i n ce t h is e n a b l e s t h e m a n u f a c t u r e r t o s e p a r a t e m a r k e t s eg -m e n t s , c o u p o n s a r e m o r e t h a n j u s t a l o w p ri c e o f f e r e d to a ll c o n s u m e r s . I t isw o r t h m e n t i o n i n g t h a t t h e u s e o f c o u p o n s a s a di s c ri m i n a ti n g d e v i c e d o e sn o t d e p e n d o n t h e m a r k e t s t r u c t u r e . C o u p o n s w o u l d a l s o b e u s e d i n am o n o p o l y v e r s i o n o f o u r m o d e l . A n a l te r n a ti v e e x p l a n a t io n o f c o u p o n s h a sb e e n p r o p o s e d b y C r e m e r ( 1 98 4) a n d C a m i n a l a n d M a t u t e s ( 19 90 ). I n t h e s em o d e l s , c o u p o n s c r e a t e a l o c k -i n e ff e c t b e c a u s e t h e c o n s u m e r i s o f f e r e d ar e b a t e o n f u t u r e p u r c h a s e s o f t h e p r o d u c t . T h e s e l l e r c a n s t a b il iz e h ism a r k e t s h a r e b y c r e a t i n g a n a r ti fi c ia l c o s t o f s w i tc h i n g s u p p l ie r s , T h i s is ind i r e c t c o n t r a s t w i t h o u r m o d e l , w h e r e c o u p o n s t e n d t o m a k e s w i t c h i n g m o r ea t t r a c t iv e . Y e t a n o t h e r e x p l a n a t i o n ( G e r s t n e r a n d H e s s , 1 99 1) is t h a t t h es e l l e r c a n m o t i v a t e r e t a i l e r p a r t i c i p a t i o n i n t h e s a l e s p r o m o t i o n b y o f f e r i n gr e b a t e s t o t h e c o n s u m e r s .T h e l i t e r a tu r e o n t h e p r i c e d i s c ri m i n a t io n a s p e c ts o f c o u p o n s i s r a t h e rs c a r c e . N a r a s i m h a n ( 19 84 ) s t u di e s t h e c o n s u m e r s ' d e c i s i o n to u s e a c o u p o n .


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230 H. Bester, E. Petrakis / Int. J. Ind. Organ. 14 (1996) 227-242g o o d f o r a ll p r ic e s b e t w e e n z e r o a n d v > 0 . W h e n a c o n s u m e r p u r c h a s e s t h eg o o d f r o m t h e s e l l e r i n t h e d i s t a n t l o c a t i o n , h e h a s t o p a y a t r a n s p o r t a t i o nc o s t , s < v .

S h i l o n y ( 1 9 7 7) st u d i e s t h e e q u i l i b r i u m o f t h is m a r k e t w h e n t h e s e l l e r sc o m p e t e b y s e t t i n g p r i c e s i n a s t a n d a r d B e r t r a n d f a s h i o n . I f v


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H . B e s t e r , E . P e t r a k i s / I n t . J . I n d . O r g a n . 1 4 ( 1 9 9 6 ) 2 2 7 - 2 4 2 231m u s t o f f e r t h e r e b a t e r * = s . O b v i o u s l y , g i v e n p * t h is is t h e h i g h e s t r e b a t e as e l l e r i s w i l li n g t o o f f e r . I f s e l l e r i s e t s r~ < s , t h e n s e l l e r j w o u l d o p t i m a l l yc h a r g e h is l o c a l c u s t o m e r s t h e p r i c e p j > s , w h i c h w a s a l r e a d y s h o w n t o b ei n c o n s i s t e n t w i t h e q u i l i b r i u m .T h e e x a m p l e d e m o n s t r a t e s t h a t p r i c e d i s c r i m i n a t i o n i n c r e a s e s c o m p e t i -t i o n. T h e c o n s u m e r s h a v e t o p a y l o w e r p ri c e s a n d t h e f i n n s ' pr o fi ts a r er e d u c e d . I n d e e d , e a c h s e l l e r e a r n s a p r o f i t o f s , w h i c h is l o w e r t h a n t h ep r o f i t h e g e t s in t h e a b s e n c e o f d i s c r i m i n a t o r y p r ic i n g . I n w h a t f o l l o w s w ew i ll v e r i f y t h is o b s e r v a t i o n i n a m o r e g e n e r a l m o d e l . I n f a c t , t h e a b o v ee x a m p l e h a s s o m e u n a p p e a l i n g f e a t u r e s b e c a u s e t h e c o n s u m e r s ' p u r c h a s i n gd e c i s i o n s h a v e t o b e b a s e d o n a t i e - b r e a k i n g r u l e . E v e n t h o u g h t h ee q u i l i b r i u m r e q u i r e s b o t h s e l l e r s t o u s e c o u p o n s , t h i s m a r k e t i n g i n s t r u m e n tis a c t u a l l y i n e f f e c t i v e s i n c e n o c o n s u m e r i s i n d u c e d t o s w i tc h . I f t h e s e l l e r sh a d t o p a y a m a i l in g c o s t , t h e a b o v e e q u i l ib r i u m w o u l d t h e r e f o r e c o ll a p s e .T h e s u b s e q u e n t m o d e l w i ll o v e r c o m e t h e s e d if fi c ul ti e s b y in t r o d u c i n g s o m ec o n s u m e r h e t e r o g e n e i t y .

3 . T h e m o d e lF o l l o w i n g S h i l o n y ( 1 9 7 7 ) , w e s t u d y a m a r k e t w h e r e c o n s u m e r s c a np u r c h a s e c o s tl e ss l y f r o m a n e i g h b o u r h o o d s t o r e , b u t i n c u r s o m e v is it in g c o sti f t h e y v e n t u r e t o a m o r e d i s t a n t s to r e . T h e r e a r e t w o f ir m s , A a n d B ,

l o c a t e d i n d i f f e r e n t r e g i o n s t h a t p r o d u c e a h o m o g e n e o u s g o o d a t z e r o c o s t .E a c h r e g i o n is i n h a b i t e d b y a u n i t m a s s o f c o n s u m e r s w h o h a v e a c o m m o nr e s e r v a t i o n u t i l it y v f o r t h e g o o d . E a c h c o n s u m e r c a n c o s t l e s s ly v i si t t h es t o r e a t h is h o m e l o c a t i o n , w h i l e h e h a s t o p a y a t r a n s p o r t a t i o n c o s t s t o g ot o t h e o t h e r s e l le r . I t i s a s s u m e d t h a t s i s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o n [0 , s ]a c r o s s t h e p o p u l a t i o n o f c o n s u m e r s i n e a c h r e g i o n . T h i s a s s u m p t i o n d i ff e r sf r o m S h i l o n y ' s ( 1 97 7 ) m o d e l o f m i x e d p r i c in g i n o l i g o p o l y , w h e r e a l lc o n s u m e r s h a v e t h e s a m e v i si ti ng c o s t. I t g e n e r a t e s c o n t i n u o u s d e m a n df u n c t i o n s , a n d g u a r a n t e e s t h e e x i s t e n c e o f a p u r e p r i c e - s e tt i ng e q u i l i b r iu m i nt h e a b s e n c e o f c o u p o n i n g ( s e e B e s t e r , 1 99 2) .

T h e f i rm s o f f e r t h e g o o d a t p r ic e s P A a n d P B , r e s p e c t i v e l y . W i t h o u t l o s s o fg e n e r a l i t y , l e t 0 ~


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232 H . B es t e r , E . P e t r a k i s / I n t . J . I n d . O r g a n . 1 4 (1 9 9 6 ) 2 2 7 - 2 4 2

A f t e r a ll , t h e p u r p o s e o f c o u p o n i n g i s t o a t tr a c t s o m e o f t h o s e c o n s u m e r sw h o i n c u r s w i t c h i n g c o s t s .

W h e n f i rm i s e n d s c o u p o n s t o a f r a c t i o n h i ~ [ 0, 1] o f t h e c o n s u m e r s a tl o c a t i o n j , it h a s t o p a y t h e m a i l in g c o s t k ( h i ) . E a c h c o n s u m e r i s e q u a l l yl i k e ly to r e c e i v e t h e r e b a t e . T h i s m e a n s , w i th p r o b a b i l i t y h i t h a t a c o n s u m e ri n r e g i o n j h a s t o p a y o n l y P i - r i f o r t h e g o o d a v a i l a b l e a t l o c a t i o n i . T h eb u y e r w h o h a s n o t r e c e i v e d a c o u p o n is n o t e n t i t le d t o a r e b a t e a n d h a s top a y P r W e a s s u m e t h a t c o n s u m e r s d o n o t i n t e r a c t w i t h e a c h o t h e r s o t h a tt r a d i n g c o u p o n s i s n o t p o s s i b l e .

T h e m a r k e t i n g s t r a t e g y o f f i rm i m a y b e d e s c r i b e d b y x i = ( p i , r i, A i). T h ec o s t f u n c t i o n k ( . ) is a s s u m e d t o s a t is f y th e f o l lo w i n g r e s t r i c ti o n s :

k ( 0 ) = 0 , k ' ( h ) > 0 , k " ( h ) > 0 , k ' ( 0 ) < 3 / 4 , k ' ( 1 ) > 5 / 9 . (2 )T h e m a r g i n a l c o s t o f c o u p o n i n g is i n c re a s in g i n th e n u m b e r o f h o u s e h o l d sr e a c h e d . T h i s a s s u m p t i o n i s s t a n d a r d i n t h e a d v e r t i s i n g l i t e r a t u r e ( s e e

B u t t e r s , 1 9 77 , a n d G r o s s m a n a n d S h a p i r o , 1 9 8 4) . T h e u n d e r l y i n g i d e a ist h a t t h e m a n u f a c t u r e r c a n d i s t r i b u te c o u p o n s v i a m a i l a n d b y p l ac i n g a d s ina s e t o f m a g a z i n e s o r n e w s p a p e r s . T h e p r o b a b i l i t y th a t a g iv e n c o n s u m e rr e c e i v e s a c o u p o n t h r o u g h o n e o f th e s e m e d i a is i n d e p e n d e n t o f r e c e iv i n g ac o u p o n t h r o u g h t h e o t h e r m e d i a . I n th is c as e , th e c o s t o f m a k i n g s u r e t h a t af r a c t i o n A o f c o n s u m e r s r e c e i v e s a t le a s t o n e c o u p o n b e c o m e s a c o n v e xf u n c t i o n o f A . T h e a d d i t io n a l a s s u m p t i o n s o n k ' ( . ) g u a r a n t e e t h a t e a c hm a n u f a c t u r e r w i ll c h o o s e s o m e a d v e r t i s i n g i n t e n s i t y 0 < h i < 1 . I n a d d i t i o n ,w e r e s t r i c t t h e a n a l y s i s t o t h e c a s e v > 3 . T h i s e n s u r e s t h a t c o m p e t i t i o n i ss u f f ic i e n tl y s t r o n g s o t h a t s e t ti n g P i = v c a n n o t b e o p t i m a l f o r s e l l e r i.

4. Equil ibriumW e a s s u m e t h a t e a c h c o n s u m e r is a w a r e o f t h e a v a i la b i li ty o f t h e g o o d i n

b o t h r e g i o n s . I n a d d i t i o n h e k n o w s t h e p r i c e c h a r g e d b y e a c h o f th e s e l le r s .I n th i s s i t u a t i o n , a d v e r t i s i n g c o n v e y s n o in f o r m a t i o n a b o u t t h e e x i s t e n c e o rt h e p r i c e o f a g o o d . D i s t r i b u t i n g c o u p o n s o n l y s e r v e s t o p r i c e d i s c r i m i n a t eb e t w e e n b u y e r s f r o m d i f fe r e n t r eg i o n s . B y o f f e r i n g a r e b a t e t h e s e l l eri n c r e a s e s t h e a t t r a c t iv e n e s s o f hi s p r o d u c t f o r t h o s e c o n s u m e r s w h o h a v e t os p e n d t h e c o s t s i n o r d e r t o v i s i t h i s s t o r e .

T o c o m p u t e e a c h s e l l e r 's d e m a n d , w e h a v e t o di s t in g u is h f o u r g r o u p s o fc o n s u m e r s . I n e a c h o f t he t w o r e g io n s t h e p u r c h a s i n g d e c is i o n o f t h ec o n s u m e r s w h o h a v e r e c e i v e d a c o u p o n d i f f er s f r o m t h o s e w i t h o u t a c o u p o n .A c o n s u m e r a t lo c a t i o n A w h o h a s n o t r e c e iv e d a c o u p o n f r o m f ir m Bp u r c h a s e s t h e g o o d a t h is h o m e l o c a t i o n a s l o n g a s P A ~


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H. Bester, E. Petrakis / Int. J. Ind . Organ. 14 (1996) 227-242 233a t t r a c t e d b y f ir m A ' s p r ic e o f f e r i f p A + S ~< PB " O t h e r w i s e , w i t h a c o u p o n r A ,h e w i l l p u r c h a s e f r o m f i r m A i f P A - rA + s ~


8/16

234 H . B es t e r , E . P e t r a k i s / I n t . J . I n d . O r g a n . 1 4 (1 9 9 6 ) 2 2 7 - 2 4 2P

/ (P*~)Fig. 1. Equilibrium (p* , h*).

W i t h t h e h e l p o f F ig . 1 w e c a n e a s i ly e s t a b l is h s o m e c o m p a r a t i v e s t at ic sp r o p e r t i e s o f t h e e q u i l i b r iu m o u t c o m e ( p * , r * , A *). F o r i n s t a n c e , a n i n c r e a s ei n t h e m a r g i n a l c o s t k ' ( . ) l e a d s t o a h i g h e r e q u i l i b r i u m p r i c e p * a n d a l o w e rl e v e l o f a d v e r t i s i n g A * b e c a u s e t h e K - K s c h e d u l e i s s h i f t e d u p w a r d s . H o wd o e s t h e e q u i l i b r i u m r e a c t t o a c h a n g e i n t h e c o n s u m e r s ' t r a n s p o r t a t i o nc o s t ? I n c r e a s i n g t h e p a r a m e t e r ~ is e q u i v a l e n t t o i n c re a s i ng e a c h c o n s u m e r ' ss w i t c h i n g c o s t b y t h e s a m e f a c t o r . I n F i g . 1 t h is l e a d s t o a n u p w a r d s h if t o ft h e P - P s c h e d u l e . C o n s e q u e n t l y , b o t h p * a n d A * a r e i n c r e a s e d .

N o t a ll c o n s u m e r s w h o a r e c o u p o n e d w il l m a k e u s e o f t h e r e b a t e .R e d e e m i n g t h e c o u p o n i s w o r t h w h i l e o n l y w h e n s ~< r * = p * - r * . A c c o r d -i ng ly , t h e r e d e m p t i o n ra t e is ( p * - r * ) / ~ = 1 / ( 2 + A * ) . T h a t is , m o r e th a no n e - h a l f o f t h e c o u p o n s a r e n o t r e t u r n e d t o th e m a n u f a c t u r e r . U s i n g t h ea b o v e c o m p a r a t i v e s t a ti c s r e s u l ts , i t f o l lo w s th a t t h e e q u i l i b r i u m r e d e m p t i o nr a t e i s i n c r e a s i n g i n t h e m a r g i n a l c o s t o f c o u p o n i n g . A c o s t i n c r e a s e r e d u c e st h e n u m b e r o f h o u s e h o l d s t h a t a r e c o u p o n e d , b u t t h e f r a c t io n o f h o u s e h o l d st h a t r e d e e m t h e c o u p o n i s i n c r e a s e d . A n i n c r e a se i n t h e c o n s u m e r s 't r a n s p o r t a t i o n c o s t h a s t h e o p p o s i t e e f f e c t : m o r e h o u s e h o l d s a r e c o u p o n e d ,b u t a l o w e r f r a c ti o n r e t u r n t h e c o u p o n s . N o t e , h o w e v e r , t h a t t h e t o ta ln u m b e r o f c o u p o n s a c t u a ll y r e d e e m e d is g iv e n b y A * / (2 + A * ), w h i c h isi n c r e a s i n g i n 3 , * . T h i s n u m b e r i s, t h e r e f o r e , n e g a t i v e l y r e l a t e d t o t h em a r g i n a l c o s t o f c o u p o n i n g a n d p o s i ti v e ly r e la t e d t o t h e l e v e l o f c o n s u m e rs w i t c h i n g c o s t s.O f c o u r s e , t h e r e s u l t t h a t t h e c o u p o n o f f e r s a 5 0 % p r i c e r e b a t e i s s p e c if i ct o t h e s e t t i n g o f o u r m o d e l . I n p a r t i c u l a r , t h e u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o fs w i t c h i n g c o s t s is i m p o r t a n t i n t h is c o n t e x t . W e c a n s h o w t h a t t h e s e l le r sw o u l d o p t i m a l l y o f f e r a l o w e r r e b a t e i f t h e d i s t r i b u ti o n o f s p u t s m o r e w e i g h to n l o w s w i t c h i n g c o s t s . T h e i n t u i t i o n i s t h a t a t t r a c t i n g h i g h c o s t c o n s u m e r st h r o u g h a r e b a t e i s n o t p r o f i ta b l e w h e n t h e s e c o n s u m e r s r e p r e s e n t o n l y as m a l l f r a c t i o n o f t h e t o t a l p o p u l a t i o n .P r o p o s i t i o n 1 o n l y p r o v i d e s a n i m p l i c it c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e e q u i l i b r i u m


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H. Bester, E. Petrakis / Int . J. Ind. Organ. 14 (1996) 227-242 235v a l u e s p * , r * , a n d A *. T o o b t a i n a n e x p l ic i t s o l u t i o n o f th e e q u i l i b r i u m , w eh a v e t o l o o k a t a p a r a m e t r i c e x a m p l e o f th e c o s t f u n c t i o n k ( - ). T h e s i m p l e s te x a m p l e is k ( A ) = c A 3 . T h i s f u n c t i o n s a t i sf i e s r e s t r i c t i o n ( 2) i f - s / c < 2 7 . T h ee q u i l i b r iu m d e s c r i b e d b y P r o p o s i t i o n 1 is t h e n g i v e n b y

p * = 2 1 3 d + S ( 3 C S ) 1 / 2 ] 1 /2 - - 2(3cs ) l / z , ( 5 )A* = [1 + S ( 3 d ) - 1 / 2 ] 1 /2 - - 1 .

N o t e t h a t w i t h i n t h e f a m i l y o f c o st f u n c t i o n s k ( ) t ) = cA " , P r o p o s i t i o n 1g u a r a n t e e s t h e e x i s te n c e o f a s y m m e t r i c p u r e e q u i l i b r iu m a s lo n g a s a / > 3 .T h e e q u i l i b r i u m c h a r a c t e r i z a t i o n b y P r o p o s i t io n 1 is d e r i v e d f r o m t h ef i rs t - o r d e r c o n d i t io n s t h a t t h e p r o f i t- m a x i m i z i n g m a r k e t i n g s t r a te g i e s xA a n dx B n e c e s s a ri l y h a v e t o s a ti s fy . U n f o r t u n a t e l y , t h e f i rs t -o r d e r c o n d i t i o n s a r en o t s u f f i c i e n t f o r p r o f i t m a x i m i z a t i o n . B y ( 3 ), t h e f i r m s ' p r o f i t f u n c t i o n s a r ec o n c a v e i n P i , r i a n d A i, b u t n o t j o i n t l y c o n c a v e i n ( p ~, r~ , A ~ ). B e c a u s e o f t h i sn o n - c o n c a v i t y , w e h a v e t o b e c a r e f u l t h a t n o s e ll e r c a n i n c r e a s e h i s p ro f i t b y ,f o r i n s t a n c e , s i m u l t a n e o u s l y l o w e r i n g h i s p r ic e a n d h i s a d v e r ti s in g i n t e n s i t y .T h e r e s t ri c t io n p (A ) ~ - 2 g u a r a n t e e s t h a t s u c h d e v i a t i o n s f r o m ( p * , r * , A *)a r e n o t p r o f i ta b l e . F o r a n y g i v e n A ~, t h e f i rs t -o r d e r c o n d i t io n s d e t e r m i n ep * ( ) t i ) a n d r * ( A i ) s o t h a t s e l l e r i ' s p r o f i t c a n b e w r i t t e n a s/ / /( p * ( A ~ ) , r * ( A i ) , A~, x j ) . S i n c e p ( A ) ~< - 2 e n s u r e s t h a t t h e c o s t f u n c t i o nk ( . ) i s su f f i c i e n t ly conv ex , / /~ , . (p* (Ai) , r * (Ai ) , ) t i , x i ) i s c o n c a v e i n )t . A c c o r d -i n g l y , th e f i rs t -o r d e r c o n d i t i o n s a r e s u f fi c ie n t f o r a g l o b a l o p t i m u m i fp (a ) 1 , b y i m p o s i n g a r e s t r ic t i o n o n ~ / c . A l s o , w e c o n s i d e r t h e c o s t f u n c t i o nk ( A ) = - c I n ( l - A ) , w h i c h B u t t e r s (19 77 ) h a s d e r i v e d f r o m a s im p l eu n d e r l y i n g a d v e r t is i n g t e c h n o l o g y .P r o p o s i t i o n 2 . I f k ( A ) = cA ~, w i t h a > 1 , t h e n t h e r e i s a s y m m e t r i c p u r es t ra t e g y e q u i l i b r i u m f o r s / c s u f fi c ie n t ly s m a l l . I f k ( A ) = - c l n ( 1 - A ) , t h e nt h e re i s a s y m m e t r i c p u r e s tr a t eg y e q u i l i b r i u m f o r s / c s u f fi c ie n t l y l ar g e.

F o r t h e c o s t f u n c t i o n s c o n s i d e r e d i n P r o p o s i t i o n 2 t h e p a r a m e t e r p ( A ) i s am o n o t o n e f u n c t i o n o f A. T h i s a ll o w s u s t o r e p l a c e t h e g l o b a l c o n d i t i o n o np ( . ) i n P r o p o s i t i o n 1 b y a l o c a l c o n d i t i o n . F o r k ( A ) = cA ~ w e h a v e p ( A ) =( 1 - a ) / A , w h i c h i s i n c r e a s i n g i n A . I n t h i s c a s e , t h e e x i s t e n c e r e s u l t i so b t a i n e d b e c a u s e A * b e c o m e s s m a l l f o r l o w v a l u e s o f ~ / c . I n c o n t r a s t , f o rk (A ) = - c l n ( 1 - A ) t h e p a r a m e t e r p (A ) eq u a ls - 1 / ( 1 - A ) a n d d e c re a s esw i t h A . A c c o r d i n g l y , w e h a v e t o g u a r a n t e e t h a t A * i s c l o s e e n o u g h t o u n i t yb y a s s u m i n g t h a t ~ /c i s l a rge .


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236 H . B e s t e r , E . P e t r a k is / I n t . J. I n d . O r g a n . 1 4 ( 1 9 9 6 ) 2 2 7 - 2 4 2

E v e n t h o u g h t h e m a n u f a c t u r e r ' s p r o f i t f u n c t i o n is n o t jo i n t ly c o n c a v e i n( P i , r i , h i ), i t is c o n t i n u o u s . T h i s i m p l i e s t h a t t h e r e is a s y m m e t r i c m i x e ds t r a t e g y N a s h e q u i l i b r i u m w h e n a p u r e e q u i l i b r i u m f a i l s t o e x i s t ( s e eD a s g u p t a a n d M a s k i n , 1 9 86 ). In s u c h a n e q u i l i b r i u m t h e s el l e rs c h o o s e ar a n d o m m a r k e t i n g p o l ic y . S i n c e f o r a g i v e n h i , s e l l e r i 's p r o f i t is c o n c a v e i n( P i , r~ ), it f o l l o w s f r o m t h e f i r s t - o r d e r c o n d i t i o n s t h a t t h e o p t i m a l P i isp o s i t i v e l y r e l a t e d w i t h h i. S i m i l a r l y , t h e o p t i m a l r i i n c r e a s e s w i t h P i. I n t h em i x e d s t r a t e g y e q u i l i b ri u m , t h e r e f o r e , e a c h s e l l e r c h o o s e s h i s t o c h a s t i c a l l ya n d h e c o m b i n e s h i g h e r v a l u e s o f h i w i t h h i g h e r p r i c e s P i a n d h i g h e r c o u p o nv a l u e s r i.

5 . W e l f a r eI n t h i s s e c t i o n w e i n v e s t i g a t e h o w t h e m a r k e t p a r t i c i p a n t s ' w e l f a r ed e p e n d s o n t h e a d v e rt is i n g c o s t k ( - ) a n d t h e tr a n s p o r t a t i o n c o s t p a r a m e t e r

7. A s a m e a s u r e o f c o n s u m e r w e l f a r e , w e c o n s i d e r a g g r e g a t e c o n s u m e rs u r p l u s , C , w h i c h d e p e n d s o n ( p * , r * , h * ) a c c o r d i n g toC ( p * , r *, A * ) = 2 (1 - A * ) (v - p * )

+ 2A * [ m a x [ v - p * , v - p * + r * - s ] f ~ d s . ( 6)[0.71

T h e f ir st t e r m r e p r e s e n t s t h e u t il it y o f t h e c o n s u m e r s w h o d o n o t r e c e i v e ac o u p o n . T h e o t h e r c o n s u m e r s ' p u r c h a s in g d e c i si o n d e p e n d s o n t h e r e b a t e r *a n d t h e s w i t c h i n g c o s t s . C o n s u m e r s w il l m a k e u s e o f t h e c o u p o n o n l y ifv - p * > ~ v - p * + r * - s . F i n a l l y , w e d e f i n e s o c i a l w e l f a r e a s t h e s u m o fp r o d u c e r p r o fi ts a n d c o n s u m e r s u r p lu s . W e b e g i n b y s t ud y i n g t h e r e l a t i o nb e t w e e n w e l f a r e a n d s .P r o p o s i t i o n 3 . T h e s e l le r s ' e q u i l i b r i u m p r o f i t is i n c r e a s i n g in -s. C o n s u m e rs u r p l u s a n d s o c i a l w e l f a r e a r e d e c r e a s i n g i n s .

N o t s u r p r i si n g l y , p r o d u c e r p r o f i t s a r e p o s i t i v e l y r e l a t e d t o t h e l e v e l o fb r a n d l o y a l t y o r g e o g r a p h i c a l d i f f e r e n t i a t i o n . W h e n t h e s e l l e r s a r e a b l e t oi n f l u e n c e t h e p a r a m e t e r ~ b y t h e i r c h o i c e o f p r o d u c t d i f f e r e n t i a ti o n , t h e y w i lls e e k t o m a x i m i z e 7 . T h i s i s i n l i n e w i t h t h e f a m i l i a r p r i n c i p l e o f ' m a x i m a ld i f f e r e n t i a t i o n ' , a s d e s c r i b e d b y D ' A s p r e m o n t e t a l. ( 1 97 9) . A n i n c r e a s e inh a s a t w o - f o l d i m p a c t o n c o n s u m e r s u rp l us . F i r s t, t h e c o n s u m e r h a s t o p a yh i g h e r p r i c e s. S e c o n d , h e i s m o r e l ik e ly t o r e c e i v e a c o u p o n . T h e a b o v er e s u l t d e m o n s t r a t e s t h a t t h e f ir st n e g a t i v e e f f e c t o u t w e i g h s t h e s e c o n dp o s i t i v e e f f e c t . I n d e e d , a s w a s s h o w n b e f o r e , t h e c o u p o n r e d e m p t i o n r a t ed e c r e a s e s w i t h 7. F i n a l ly , s o c i a l w e l f a r e i s n e g a t i v e l y r e l a t e d t o 7: t h e h i g h e r


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H . B es t e r , E . P e t r a k i s / I n t . J . l n d . O r g a n . 1 4 (1 9 9 6 ) 2 2 7 - 2 4 2 237

is 5 , t h e h i g h e r is t h e c o u p o n d i s t r i b u t io n i n t e n s i t y , A *, a n d t h e n u m b e r o fc o u p o n s a c t u a ll y r e d e e m e d , ~ * / ( 2 + A * ) . T h i s m e a n s t h a t th e r e so u r c e ss p e n t o n c o u p o n i n g a n d t h e c o n s u m e r s ' a g g r e g a t e t r a v e l c o s ts i n c re a s e w i t h7.P r o p o s i t i o n 4 . L e t k ( A ) = c r / (A ) . T h e n c o n s u m e r s u r p l u s d e c r e a s e s w i t h c i nt h e s y m m e t r i c p u r e s t r a te g y e q u i l i b r i u m . I f ~7(A ) = A ~ , t hen eq u i l i br iu m pro f i t sa n d s o c i a l s u r p l u s a r e i n c r e a s i n g i n c . I f r / (A ) = - I n ( 1 - A ) , t h e n e q u i l i b r i u mp r o f i t s a n d s o c i a l s u r p l u s a r e d e c r e a s i n g i n c f o r s / c s u f f i c ie n t l y l a rg e .

H i g h e r c o u p o n i n g c o s t s i n c r e a s e p r i c e s a n d r e d u c e c o u p o n d i s t r i b u t i o n .A s a re s u l t, t h e c o n s u m e r s b e c o m e w o r s e o f f . T h e i m p a c t o n e q u i l i b r iu mp r o f i t s a n d s o c i a l w e l f a r e , h o w e v e r , i s a m b i g u o u s . O f c o u r s e , s e l l e r i g a i n sb y a r e d u c t i o n i n c w h e n t h e m a r k e t i n g s t r a t e g y xj o f hi s o p p o n e n t is k e p tf ix e d . S i m i l a rl y , l o w e r r e s o u r c e c o st s o f c o u p o n i n g i n c r e a s e w e l f a r e w h e n(x A , x B ) r e m a i n s u n c h a n g e d . I n a d d i t i o n t o t h e s e d i r e c t e f f e c t s , h o w e v e r ,t h e r e a r e i n d i r e c t e f fe c t s. L o w e r a d v e r ti s in g c o s ts m a k e c o m p e t i t i o n m o r ea g g r e s s i v e , w h i c h t e n d s t o r e d u c e t h e s e l le r s ' p r i c e s a n d t h e i r p r o fi ts . A t t h es a m e t i m e , t h e r e i s a n e g a t i v e i m p a c t o n w e l f a r e a s t h e s e l l e r s w a s t e m o r er e s o u r c e s o n c o u p o n i n g a n d t h e c o n s u m e r s s w i tc h se l le r s m o r e o f t e n . W h i c ho f t h e s e e f f e c t s d o m i n a t e s , d e p e n d s o n t h e a d v e r t is i n g co s t f u n c t i o n k ( . ) .A s t h e f ir s t p a r t o f P r o p o s i t i o n 4 d e m o n s t r a t e s , a n i n c r e a s e i n t h e c o s t o fc o u p o n i n g m a y m a k e t h e s e ll e rs b e t t e r o ff . A s im i l a r o b s e r v a t i o n h a s b e e nm a d e i n m o d e l s o f in f o r m a t i v e a d v e r t is i n g ( se e B e s t e r a n d P e t r a k i s , 1 99 2;G r o s s m a n a n d S h a p i r o , 1 9 8 4 ; a n d P e t e r s , 1 9 8 4 ) .

6 . C o n c l u s i o n sT h i s p a p e r h a s s t u d i e d c o u p o n i n g a s a p ri c e d i sc r i m i n a t io n d e v i c e in

o l ig o p o l is t ic c o m p e t i t i o n . B y c o u p o n i n g t h o s e c o n s u m e r s w h o h a v e s o m ep r e f e r e n c e f o r a c o m p e t i n g b r a n d , a se l le r c a n i n c re a s e h is m a r k e t s h a r e .C o u p o n s m a y c o m p e n s a t e t h e c o n s u m e r f o r a c o s t ly m o v e m e n t t o a n o t h e rb r a n d . I n c o n t r a s t to t h e r e p e a t - p u r c h a s e e x p l a n a t i o n , c o u p o n s r e d u c ec o n s u m e r s w i t c h i n g c o s t s i n o u r m o d e l . T h e p r i c e d i s c r i m i n a t i o n m o d e lp r e d i c t s t h a t c o u p o n i n g i n t e n s i f i e s c o m p e t i t i o n b e t w e e n t h e s e l l e r s , l e a d i n gt o l o w e r p r i c e s a n d p r o f i t s .O u r s i m p l e m o d e l m a y b e e x t e n d e d i n s e v e ra l i n te r e s t in g d i re c t i on s . W ea s s u m e d t h a t a ll t h e c o n s u m e r s h a v e t h e s a m e v a l u a t i o n f o r t h e g o o d . A s ar e s u lt , t o t a l d e m a n d w a s f ix e d . I n t r o d u c i n g s o m e d i s p e r s io n o f c o n s u m e rv a l u a t i o n s w o u l d m a k e a g g r e g a t e d e m a n d e l a s t i c . A s c o u p o n i n g i n c r e a s e sc o m p e t i t i o n , i t w o u l d r a is e a g g r e g a t e o u t p u t . C o u p o n i n g m a y h a v e ap o s i t i v e e f f e c t o n s o c i a l w e l f a r e i f t h e e l a s t ic i t y o f d e m a n d is s u ff i c ie n t l y


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238 H. Bester, E. Petrakis / Int. J. Ind. Organ. 14 (1996) 227-242h i g h . A l s o , t h e v a l u e o f t h e c o u p o n r e l a ti v e to t h e p r i c e o f t h e p r o d u c tw o u l d p r e s u m a b l y d e p e n d o n t h e d i s t r ib u t i o n o f c o n s u m e r v a lu a t io n s .R e m o v i n g t h e s y m m e t ri c s t r u c tu r e o f th e m o d e l w o u l d b e a n o t h e ri n t e r e s t i n g e x t e n s i o n . I n o u r m o d e l , t h e s e l l e r s w e r e i d e n t i c a l a n d s o t h e yu s e d t h e s a m e m a r k e t i n g s t r a t e g y . T h i s w o u l d n o l o n g e r b e t h e c a s e w h e nd i f f e r e n t p r o d u c t i o n t e c h n o l o g i e s a re c o n s i d e re d . A n e x t e n s io n a l o n g t h e s el in e s c o u l d p r o v i d e i n s ig h t s i n to t h e r e l a t io n b e t w e e n a f i rm ' s e f fi c ie n c y a n di ts m a r k e t i n g p o l ic y . S i m i l a r ly , w e c o u l d s t u d y t h e r o l e o f a f i rm ' s s iz e w h e nt h e n u m b e r o f c o n s u m e r s d i ff e rs a c ro s s m a r k e t s e g m e n t s . W e m i g h t e x p e c tt h a t s m a l l e r fi rm s h a v e a h i g h e r i n c e n t iv e t o d i s t ri b u t e c o u p o n s b e c a u s e t h e yc a n g a i n m o r e b y a t t r a c t i n g c o n s u m e r s f r o m o t h e r m a r k e t s e g m e n t s .

AppendixL e m m a 1 . L e t x i b e an o p t i m a l m a r k e t i n g s t ra t e gy f o r f i r m i g i v e n t h a t f i r m jc h o o s e s x i . T h e n t h e f o l l o w i n g m u s t h o l d : " ( i ) " p j - - s < ~ Pi - r i < P j ; " ( i i ) "p j - 5 ~~ m in[ p j - %, 0 .5p j ] .P r o o f . I f p i - r~ ~ >p j, n o c o n s u m e r f r o m l o c a t i o n j w i ll s w i tc h t o f i r m i .T h e r e f o r e , f ir m i c o u l d i n c r e a s e i ts p ro f i t b y n o t m a i l in g c o u p o n s . I fp~ - r~ < p ~ - ~ , a l l c o n s u m e r s a t l o c a t i o n j w h o r e c e i v e a c o u p o n f r o m f i r m is t r i c t ly p r e f e r t o s w i t c h . T h e r e f o r e , f i rm i c o u l d i n c r e a s e i ts p r o f i t s b y s l i g h t lyd e c r e a s i n g r~. T h i s p r o v e s ( i) . T o p r o v e ( ii ), n o t e t h a t a l l c o n s u m e r s a t js t r i c t l y p r e f e r t o s w i t c h t o f i r m i i f P i < P j - - - S " T h e r e f o r e , f i r m i c o u l di n c r e a s e i ts p r o f i t b y s l i g h t l y i n c r e a s i n g P r I f P i ~ >P j + ~ , n o c o n s u m e r a tl o c a t i o n i b u y s f r o m f ir m i. B u t t h e n f ir m i c o u l d g e t h i g h e r p r o f i ts b y s e t t i n gP i s l i g h t l y b e l o w P i + ~ , w h i l e k e e p i n g p i - r~ c o n s t a n t . F i n a l l y , ( iii ) f o l l o w sb y d i f f e r e n t i a t i n g H / i n (3 ) w i t h r e s p e c t t o p~ a n d k e e p i n g P i - - r~ c o n s t a n t .T h i s y i e l d s OH ~ XA, X B I Pi - - re = c o n s t .) /O p ~ > 0 f o r p i < m i n [ p j -r , , 0 . 5 p j] . Q . E . D .L e m m a 2 . L e t x i b e a n o p t i m a l m a r k e t i n g s t ra t eg y f o r f i r m i g i v e n t h a t f i r m jc h o o s e s x j . T h e n P i - r i = 0 . 5 p j .P r o o f . B y t h e d e f i n i t i o n o f / /~ ( . ) , P i - ri m u s t m a x i m i z e ( P i - r i ) D [ p j -( p ~ - r~ )] . B y L e m m a 1 , t h e s o l u t io n m u s t s a t i sf y t h e f i r s t- o r d e r c o n d i t i o nP i - 2 (P i - r i) = 0 . Q . E . D .L e m m a 3 . L e t p ( A ) - - - k " ( ) t ) / k ' ( A ) ~ - 2 f o r a l l A @ [0, A2]. T h e n k ' (A 2 ) >(1 + }k2 -- } k l ) 2 k ' ( A 1 ) f o r a l l 0 ~< h~ < h 2 ~< 1.P r o o f . D ef in e G(A ~, h2) -= k ' (A2) - (1 + A2 - A1)2k '(A~) . T h e n G ( ) t l , A 2 ) = 0


13/16

H . B es t e r , E . P e t r a k i s / I n t . J. I n d . O r g a n . 1 4 (1 9 9 6 ) 2 2 7 -2 4 2 2 3 9

f o r / ~ 1 = / ~ 2 " T h e r e f o r e , L e m m a 3 h o l d s i f 0 G ( A ~ , A 2)/O A1 < 0 fo r a l l 0 ~ < / ~ 1 ~ / ( 1 + 0 . 5 A * ) ,t h e n f o r PA c l o s e e n o u g h t o p * w e o b t a i n a //A / OpA< 0 SO t h a t f i r m A c o u l dg a i n b y c h a r g i n g a p r i c e s li g h tl y b e l o w p * . A s a r e s u l t, w e m u s t h a v ep * ~< s / (1 + 0 .5 A * ) .T o p r o v e t h e s e c o n d p a r t o f t h e p r o p o s i t io n , l e t f i rm B u s e t h e s t r a te g y

x B = ( p * , r * , A * ) s u c h t h a t p * , r * , a n d A* sa t is f y th e c o n d i t io n s o fP r o p o s i t i o n 1. W e w il l s h o w t h a t a d o p t i n g t h e s a m e s t r a t e g y is a b e s tr e s p o n s e f o r f i r m A .F i r s t w e s h o w t h a t c h o o s i n g PA > P * is n o t p r o f i ta b l e f o r f i rm A . B yL e m m a 2 , f i rm A w i ll o p t i m a l l y s e t P A - rA = 0 .5 ,o * . T h e r e f o r e , t h e p r o f i t

f r o m c h o o s i n g P A ~ ( P * , P * + s ) t o g e t h e r w i t h AA e q u a l sH A = [ p A (1 - - A * )(S -- P A + P * ) + P A A * ( ~ - - P A + 0 . 5 p * ) + A A [ p * / 2 ] 2 ] /~

- k ( A A ) . ( 9 )F r o m t h e f i r s t - o r d e r c o n d i t i o n i t f o l l o w s t h a t f i rm A w i ll o p t i m a l l y s e tAA = A * . T h i s i m p l i e s

OlIA/OPA=[(1--A*)(g--2pA +p*)+ A*(S--2pA +O.5p*)]/-g


14/16

24 0 H. Bester, E. Petrakis / In t. J. In d. O rgan. 14 (1996) 227-24 2w h e r e t h e i n e q u a l it y f o l lo w s f r o m P A > P * = 3 / ( 1 + 0 .5 h * ). T h u s , f ir m Ac a n n o t g a i n b y a d o p t i n g s o m e s t r a te g y x A ~ ( p * , r * , h *) s u c h t h a t PA > P * "

T O c o m p l e t e t h e a r g u m e n t , w e s h o w t h a t c h o o s i n g p A < p * is n o tp r o f i t a b l e f o r f i r m A . A s f i r m A w i ll o p t i m a l l y s e t PA - - rA = 0 . S p * , i ts p r o f i tf r o m c h o o s i n g PA E ( p * - - r * , p * ) t o g e t h e r w i th AA e q u a l s

H A = p A ( 1 - - h * ) -t- [ p A h * ( S - - P A + 0 . 5 p * ) + p A ( 1 - - h A ) ( p * - - p A ) ]/ S+ h a [ P * / 2 1 2 / ' g - - k ( A A ) . ( 1 1 )

F o r a n y P A < P * t h e o p t i m a l c h o i c e o f h A h a s t o s a ti s fy t h e f i r s t -o r d e rc o n d i t i o n P A ( P * - - P A ) = ~ [ k ' ( h * ) - k ' (h A ) ] , s o t h a t XA < h * b y t h e c o n v e x i t yo f k ( . ). T h i s e q u a t i o n c a n b e r e w r i t t e n a s

pA2 - -PA P* + ~ [ k ' ( h * ) - k ' ( A A ) ] = 0 . ( 1 2)N o t e t h a t , b y P r o p o s i t i o n 1 , p , 2 _ 4 ~ [ k ' ( h * ) - k '( h A ) ] = 4 ~ k '( h A ) a n d t h a t ,b y L e m m a 1 , P A >~ 0 . 5 p * . T h e r e f o r e , t h e a b o v e e q u a t i o n y i e ld s th e s o l u t i o n

PA = 0. 5 p * + [-sk '(AA)] 1/2 (13 )S i n c e 2 p A - - p * = Z ~ k ' ( h h ) ] ~ / 2 a n d - g - O . 5 k , * p * = p * = Z [ g k ' ( ) t * ) ] 1 /2 , d i f -f e r e n t i a t i o n o f H A y ie l d s

OHA/Opa = [-g - - 0 . 5 a ' p * - - (1 + h * - - h a ) ( 2 p a - - p * ) ] / 'S= [2 [gk ' (~ ,* ) ] 1 /2 - 2 (1 + a* - AA )[~k ' (aA )]~/2 ] /~ . (14)

S i n c e h A < h * , t h e c o n d i t i o n o n p ( . ) g u a r a n t e e s a l IA /OpA > 0 b y L e m m a 3 .T h u s , f i r m A c a n n o t g a in b y a d o p t i n g s o m e s t r a te g y x A # ( p * , r * , h * ) s u c ht h a t PA < P * ' Q . E . D .P r o o f o f P r o p o s it io n 2 . T o p r o v e t h e e x i s t e n c e o f a s y m m e t r i c p u r e s t r a te g ye q u i l i b r i u m , w e h a v e t o s h o w t h a t OllA/OPA > 0 in ( 1 4 ) . F o r k ( h ) = c )t ~ w eh a v e O ( A ) = ( 1 - a ) / h , w h i c h is i n c re a s in g in h . T h u s , b y L e m m a 3, i ts u f f i c e s to s h o w t h a t p ( h * ) ~< - 2 , i . e . t h a t h * ~< 0 . 5 ( a - 1 ). B y P r o p o s i t i o n1 , k ' ( h * ) = ac h * '~ -1 = p * / ( 4 + 2 A* ) = 0 . 2 5 5 / ( 1 + 0.5}L*)2, SO that s / c =4 a A * ~ - l ( 1 + 0 . 5 A * ) 2. T h e r e f o r e , w e o b t a i n h * < ~ 0 . 5 ( a - 1 ) f o r s / c su f f i -c i e n t l y s m a l l .

F o r k ( h ) = - c I n( 1 - A ) w e o b t a i n OIIA/OpA > 0 in (1 4) if H ( A A, h *) ------ 1 -A *) - ~ - ( 1 + h * - h a ) z ( 1 - - h a ) - 1 > 0 f o r a ll h a < h * . T h e fu n c t i o n H ( . ) isc o n c a v e i n AA w i t h H ( A * , h * ) = 0 a n d 0 H ( h * , h *) /O A A < 0 f o r A* > 0 . 5 .T h e r e f o r e , H ( A A , h * ) > 0 f o r a l l h A < A * i f H ( 0 , h * ) > 0 a n d A * > 0 . 5 . T h i s i st h e c a s e f o r A * > 0 . 6 1 9 . B y P r o p o s i ti o n 1 , k ' ( h * ) = c / ( 1 - h * ) = p * / ( 4 +2 A * ) = 0 . 2 5 5 / ( 1 + 0 . 5 A * ) 2 s o t h a t ~ /c = 4 (1 + 0 . 5 h * ) 2 / ( 1 - h * ) . T h e r e f o r e , w eo b t a i n A * > 0 . 6 1 9 f o r ~ /c s u f fi c ie n t ly l a r g e . Q . E . D .


15/16

H . B es t e r , E . P e t r a k i s / I n t . J . I n d . O r g a n . 1 4 (1 9 9 6 ) 2 2 7 - 2 4 2 241

Proof of Proposi t ion 3 . E q u i l i b r i u m p r o f it s a r e g i v e n b y= p * - A*p*Z/43 - k ( A * ) = 4 k ' ( A * ) ( 1 + 0 .5 A * ) - A * k ' ( A * ) - k ( A * )= 4 k ' ( A * ) + A * k ' ( A * ) - k ( A * ) . ( 1 5 )

B y t h e c o n v e x i t y o f k ( . ) , //~ i s i n c r e a s i n g i n A *. A s a r e s u l t , 3 a n d //~ a r ep o s i t i v e l y r e l a t e d b e c a u s e A * i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f ~.

C o n s u m e r s u r p l u s e q u a l sC = 2 v - 2 p * + A * p * 2 / 4 s = 2 v - 8 k ' ( A * ) ( 1 + 0 . 5 A * ) + A * k ' ( A * )

= 2 v - 8 k ' ( A * ) - 3 A * k ' ( A * ) . ( 1 6 )S i n c e a n i n c r e a s e i n 3 r a i se s A * , t h is p r o v e s t h a t c o n s u m e r s u r p l u s i sd e c r e a s i n g i n 3.

S o c i a l w e l f a r e e q u a l s W = 2 // ~ + C = 2 v - 2 k ( A * ) - A * k ' ( A * ) . A n i n c r e a s ei n 3 l e a d s t o a h i g h e r v a l u e o f A * s o t h a t t h e s o c i a l w e l f a r e i sr e d u c e d . Q . E . D .Pr oo f o f Proposi tion 4 . A n i n c r e a s e i n c r a i se s p * a n d l o w e r s A *. T h e r e f o r e ,e a c h c o n s u m e r ' s e q u i l i b r i u m u t il it y w i ll d e c r e a s e w i t h c a n d s o c o n s u m e rs u r p l u s is a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f c .

F o r k ( h ) = cA ~ w e h a v e Ak ' (A) /a = k ( Z ) . T h e r e f o r e//~ = p * - A * p * 2 / 4 3 - A*k'(A*)/a = p * [ 1 - (1 + a)A*p* / (43a)] . ( 1 7 )

B u t A ' p * = 2(-s - p * ) . S i n c e a n i n c r e a s e in k ' ( A ) ra i s e s p * , A ' p * f al ls w h e n ci s i n c r e a s e d . T h i s p r o v e s t h a t H ,. a n d c a r e p o s i t i v e l y r e l a t e d f o r k ( A ) = cA r .B y t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 3 , so c ia l w e l f ar e e q u a l s

W = 2 v - 2 A * k ' ( A * ) / ~ - A * k ' ( A * ) = 2 v - ( a + 2)A*p*2/(4as)= 2v - (or + 2) ~ - p * ) p * / ( 2 o ~ ) . ( 1 8 )

S i n c e 2 s / 3 ~< p * ~


16/16

24 2 H . B es t e r , E . P e t r a k i s / I n t . J . I n d . O r g a n . 1 4 (1 9 9 6 ) 2 2 7 -2 4 2

O H ( 8 + 2 A * ) ' ~ ' ( A * ) 2 8 + 2 A *0--7 - f f ' ( a * ) ( 2 + x * ) + 2 ~ ' ( a * ) - n ( a * ) - 4 - a * + I n ( 1 - a * ) ; ( 2 1 )OW ( 6 + h * ) ~ ' ( h * ) 2 6 + a *0 ~ - - f f ' ( a * ) ( 2 + ,X * ) + 2 r t ' ( h * ) - 2 n ( a * ) - 4 - A * + 2 I n ( 1 - a * ) .

N o t e t h a t aIl/Oc < 0 a n d OW/Oc< 0 f o r h * c l o s e e n o u g h t o u n i t y . B y t h ep r o o f o f P r o p o s i t i o n 2 , ~/c=4( l+0.5A *)z/(1 -a *) a n d s o a * - - + l a s 3 /c - - + ~ . T h i s p ro v e s t h a t OPi/Oc

coupons and oligopolistic price discrimination

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