courbes de bézier

Ecole Nationale Polytechnique d’Oran

Département de Génie Mécanique

Conception et FabricationAssistées par Ordinateur

Les courbes de Bézier

(Notes de cours)

A. NOUREDDINE

5° année PEST génie mécanique 2012/2013

Les courbes de Bézier 2/18

Plan du cours

1. Introduction2. Courbes de Bézier

2.1. Définition du polynôme de Bernstein2.2. Quelques propriétés des polynômes de Bernstein2.2.1. Propriété de partition de l'unité2.2.2. Propriété de positivité2.2.4.Triangle de Pascal2.3. Définition d’une courbe de Bézier2.3.1. Points de définition2.3.2. Calcul des points de la courbe2.3.3. Tracé de la courbe2.4. Définition des courbes de Bézier à l’aide du barycentre

2.4.1. Courbe de Bézier de degré 1


2.4.3. Courbe de Bézier de degré 32.5. Raccordement de deux courbes de Bézier cubiques2.6. Définition vectorielle des courbes de BézierBibliographieWebographie

Cours CFAO - 5° année PEST Génie Mécanique - ENSET Oran - 2012/2013 A. NOUREDDINE


Courbes de Bézier

1. Introduction

Au début des années 60, les machines à commande numérique ne savaient usiner de façon précise que des courbes simples comme des droites, des paraboles ou des ellipses.Une seconde catégorie d’objets, au contraire, offrait une forme a priori peu précise, déterminée expérimentalement : Les hélices d’avions, les coques de bateaux et les carrosseries de voitures étaient tracées à main levée, sans que l’on puisse décrire leurs formes par une formule mathématique.Les machines à commande numérique de cette époque offrant une programmation limitée, on savait les alimenter avec des nombres pour définir des déplacements élémentaires comme des droites, des arcs de cercle, et à la rigueur des ellipses. Mais il n’était pas question de programmer des courbes quelconques, tracées à la main, faute d’une définition numérique (mathématique) de celles-ci.

Pierre Bézier (1910-1999), ingénieur français employé chez Renault, chercha donc comment traduire mathématiquement une courbe, puis une surface, dessinées à main levée. Il lui fallait concevoir un système capable de gérer des courbes gauches, c’est-à-dire de manipuler des surfaces en 3D, d’où la nécessité de définir un modèle mathématique qui ne soit pas limité à des courbes en deux dimensions.Sa préoccupation était d'offrir au dessinateur un moyen simple et puissant pour créer des formes et pour faciliter la programmation des machines à commande numérique. Afin d'utiliser concrètement les courbes et surfaces de Bézier, ces courbes furent introduites à partir de 1962 dans

un logiciel développé par Renault et nommé Unisurf. Il est à la base de tous les logiciels créés par la suite, dont Catia. Les concepts de CAO et de CFAO venaient ainsi de prendre forme.

Cependant, les recherches de Bézier n’étaient pas entièrement originales. Dès 1958, un mathématicien employé par Citroën, Paul De Casteljau, s’était attaqué au même problème. Paul De Casteljau avait été chargé de numériser une courbe, une fois celle-ci tracée, sans se poser la question d’une correction a posteriori. Il définissait ses courbes comme caractérisées par des pôles, d’une façon nettement moins parlante que les points de contrôle de Bézier. Ces travaux, publiés comme des rapports techniques tenus très au secret par Citroën restèrent inconnus jusqu'en 1975 quand W. Böhm en a pris connaissance et les a rendus publiques. L’algorithme de De Casteljau a été très utile pour l'informatique qui utilise les courbes de Bézier dans de nombreux cas (logiciels de dessin, de modélisation, …), et sans lequel le développement de l'utilisation des courbes de Pierre Bézier n'aurait pas pu se faire.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre_B%C3%A9zier


Plus tard, un problème s’est posé à Apple : trouver un moyen de définir de façon mathématique une courbe, comme le tracé d'un caractère, avant de l'envoyer à l'imprimante laser conçue pour le micro-ordinateur MacIntosh apparu en 1984. John Warnock, co-fondateur en 1982 avec

Charles Geschke de la société Adobe Systems Inc, connaissait ces travaux et il utilisa les courbes de Bézier comme base du langage PostScript qui fut choisi par Apple pour son imprimante laser.

Microsoft adopta à son tour les polices true-type (format de fontes vectoriel également basé sur les courbes de Bézier et créé par Apple) à partir de Windows 3.1.

Les courbes de Bézier constituent une modélisation qui permit, à l'époque, de concevoir les formes des différents éléments de carrosserie d'une voiture de manière plus interactive. Elles furent donc inventées pour répondre à un besoin technique.

Par la suite, après quelques publications scientifiques, les courbes de Bézier trouvèrent une place incontournable dans la plupart des logiciels de Conception Assistée par Ordinateur (CAO) et de Dessin Assisté par Ordinateur (DAO) et dans la commande numérique de machines.

A l'heure actuelle les courbes de Bézier sont non seulement encore utilisées dans l'industrie automobile pour concevoir les formes des voitures de demain mais elles sont présentes dans tous les domaines du design, de l'infographie et de la conception. Elles servent à représenter des objets aux formes complexes, méthode parfois préférée par rapport à un simple échantillonnage de l'objet.

On les retrouve en architecture, en mécanique, dans l'industrie aéronautique, dans les polices de caractères True-type, etc.

Un autre exemple de l'utilisation des courbes de Bézier est leur application dans une industrie une peu particulière qui est la conception de sous-marins nucléaires. Le but premier de tels engins étant de pouvoir scruter les fonds marins sans se faire repérer, il faut pour cela minimiser le bruit de l'appareil produit lors de ses déplacements.Il s'agit ainsi d'un problème physique d'écoulement des fluides. Les courbes de Bézier, ou plutôt les surfaces de Bézier sont ici intéressantes car étant de classe C∞ (ce sont des courbes infiniment dérivables), elles ne présentent pas de cassures ce qui conduit à créer un sous-marin au contour aérodynamique permettant un écoulement plus facile de l'eau sans trop de turbulences et donc de bruit.

Dans le domaine du design, les courbes de Bézier sont utilisées non seulement en retouche et synthèse d'images mais aussi en morphing (le morphing consiste à déformer des images à partir d'un tramage de départ).

Parmi les logiciels les plus connus faisant appels aux courbes de Bézier pour de telles applications on peut citer entre autres Paint, Photoshop, Blender ou encore The Gimp.



Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques. Elles ont donné naissance à de nombreux outils mathématiques, tels que les NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline).

Avant que les courbes de Bézier ne soient inventées, on utilisait d'autres courbes d'ajustement (utilisées dans le lissage des courbes expérimentales) appelées "splines". Le problème rencontré avec les splines c'est qu'elles changent d'aspect lorsqu'on effectue une rotation dans le repère. C'est pourquoi elles sont inutilisables en CAO.

Les courbes de Bézier ne présentent pas ce défaut. Pour effectuer la rotation d'une courbe de Bézier il suffit d'appliquer la rotation aux points qui la définissent et de tracer la nouvelle courbe. Les calculs pour une rotation sont donc peu nombreux et par conséquent très rapides.Il existe aujourd'hui des splines conformes aux principes de Bézier, elles sont nommées B-splines.

2. Courbes de Bézier

La définition classique des courbes de Bézier s'appuie sur les polynômes de Bernstein, utilisés couramment en mathématique pour l'approximation polynômiale des fonctions. Concernant les courbes de Bézier, les polynômes de Bernstein sont utilisés pour calculer les points de la courbe à tracer.

2.1. Définition du polynôme de Bernstein

Soit n appartenant à N* (ensemble des nombres entiers non nuls).

Pout tout i variant de 0 à n ( i [0,n] ), le polynôme de Bernstein de degré n et d'indice i, noté Bni

, est défini par la formule

Bni ( t )=Cn

i . ti .(1−t )n−i (1)

où Cni est le nombre de combinaisons de i parmi n (coefficients de la formule du binôme de

Newton), aussi appelé "i parmi n" et qui vaut

Cni =(n

i )= n!i! . (n−i ) ! (2)

t est une variable réelle appartenant à l'intervalle [0,1].



2.2. Quelques propriétés des polynômes de Bernstein

2.2.1. Propriété de partition de l'unité

∑i=0

n

Bni ( t )=1 (3)

En effet :

∑i=0

n

Cni .t i .(1−t)n−i=¿

La démonstration ci-dessus n'est en fait que l'application directe de la formule du binôme de Newton.

2.2.2. Propriété de positivité

Cette propriété affirme que tout polynôme de Bernstein est positif ou nul. Cela tient du fait que chacun des facteurs composant le polynôme est positif.

∀ t∈ [0,1 ] , Bni (t )≥ 0 (4)

2.2.3. Propriété de récursivité

∀ i∈ [1 , n−1 ] , Bni ( t )=(1−t ) . Bn−1

i (t )+ t . Bn−1i−1 (t ) (5)

Démonstration :

Bni (t )=Cn

i . ti . (1−t )n−i=(Cn−1i +Cn−1

i−1 ) . ti . (1−t )n−i

Bni (t )=Cn−1

i .t i . (1−t )n−i+Cn−1i−1 . ti . (1−t )n−i

Bni (t )= (1−t ) . Cn−1

i . ti . (1−t )n−i−1+t .Cn−1i−1 . t i−1 . (1−t )n−i

finalement Bni (t )= (1−t ) . Bn−1

i (t )+t . Bn−1i−1 (t)



2.2.4.Triangle de Pascal

Ce triangle met en évidence la relation de Pascal :

Cni =Cn−1

i +Cn−1i−1 (6)

2.3. Définition d’une courbe de Bézier

Toute courbe de Bézier est de classe C∞ , c'est à dire qu'elle est infiniment dérivable. Autrement dit, elle ne présente pas de cassure.

2.3.1. Points de définition

Une courbe de Bézier se construit à partir de points de définition. Il existe deux types de points de définition différents

1. Les points d'ancrage.2. Les points de contrôle.

A chaque courbe de Bézier ne correspondent que deux points d’ancrage : ce sont les deux extrémités de la courbe. Cette dernière passe donc par ces points.

Les points de contrôle, eux, ne sont pas des points de la courbe de Bézier ; ils permettent simplement de lui donner son allure, sa courbure. Leur nombre dépend de l'ordre de la courbe de Bézier à tracer et croît avec ce dernier.


in

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1


2.3.2. Calcul des points de la courbe

Une courbe de Bézier définie par les n+1 points de définition (P0, P1, P2 , ..., Pn) est décrite par l'ensemble des points :

∑i=0

n

Bni ( t ) . Pi (7)

où Pi est successivement le point P0, puis P1,..., et finalement Pn .

L'ensemble des points de définition forme ce qu'on appelle le polygone de contrôle de la courbe ou polygone caractéristique de la courbe. La courbe de Bézier se trouve à l'intérieur de ce polygone.

2.3.3. Tracé de la courbe

Soit O une origine choisie arbitrairement dans l'espace à trois dimensions.Soient n+1 points de définition P0 , P1 , P2 , ... , Pn.La courbe de Bézier correspondant à ces points est décrite par le point M(t) suivant la formule vectorielle suivante

O⃗M (t )=∑i=0

n

Bni ( t ) .O⃗Pi (8)

La courbe obtenue ne dépend que des points de définition et non de l'origine du repère choisie.

2.4. Définition des courbes de Bézier à l’aide du barycentre


On considère deux points A et B ; soit M (t) le barycentre de (A, 1 − t)(B, t).

• si t = 0 alors M est en A ;

• si t = 0, 5 alors M est au milieu de [AB] ;

• si t = 1 alors M est en B.

Quand t parcourt l’intervalle [0, 1], il est clair que le point M (t) décrit tout le segment [AB].

A M (t) B



Si on remplace n par 1 dans la définition (8) du tracé de la courbe de Bézier

O⃗M (t )=∑i=0

n

Bni ( t ) .O⃗Pi=B1

0 ( t ) . O⃗P0❑+B11 (t ) . O⃗P1❑

où P0 est le point A et P1 le point B

et donc :

O⃗M (t )=B10 (t ) .O⃗A+B1

1 ( t ) . O⃗B=(1−t ) .O⃗A+ t .O⃗B

en passant aux coordonnées on obtient :

xM (t )=(1−t ) . x A+t . x B

y M (t )=(1−t ) . y A+t . yB

si on choisit l’origine en A et la droite portant le segment AB comme axe X on aura :

x A=0et xB=1

et finalement :

xM (t )=(1−t ) .0+t .1=t

L’ensemble des points M(t) est donc le segment [AB] quand t parcourt l’intervalle [0,1].On peut donc en conclure que le segment [AB] est une courbe de Bézier de degré 1 avec points de contrôle A et B. Les polynômes 1 − t et t sont les polynômes-poids de Bernstein de degré 1.


Construisons maintenant une autre courbe en rajoutant une 2ème étape à la courbe précédente :On considère trois points A, B, C ;

1ère étape

On définit 2 courbes de Bézier de degré 1 :• Soit M1(t) le barycentre de (A, 1 − t)(B, t) ; M1 (t) décrit [AB].

• Soit M2(t) le barycentre de (B, 1 − t)(C, t) ; M2(t) décrit [BC ].


C

M1

M2M

B

A


2ème étape

• Soit M (t) le barycentre de (M1, 1 − t)(M2, t).

On fait décrire à t l’intervalle [0; 1] ; M1 parcourt alors [AB] et M2 parcourt [BC ]. Le point

M décrit lui la courbe ci-dessous.

On remarque que :• M (t) décrit une courbe de degré 2 qui, par définition, commence en A et finit en C , et a pour

tangentes (AB) en A et (BC ) en C .• En tout point M , la tangente à la courbe est le segment [M1 M2 ].

• M (t) se situe à la même proportion du segment [M1 M2] que M1 par rapport au segment

[AB] ou M2 par rapport au segment [BC ].

Le schéma ci-dessous, appelé schéma pyramidal de De Casteljau, permet de résumer la construction itérative des barycentres qui a été faite.




C

M1 (t)

M2 (t)

M (t)

A

B

A

C

B M(t)

(1-t)2 = 1-2t + t2

t2

2(1-t)t = 2t - t2


A partir du schéma précédent et en utilisant les propriétés d’association du barycentre, on établit le schéma condensé de Bernstein :

Ainsi, en prenant le point O comme origine, on obtient :

O⃗M=(1−t)2 . O⃗A+2 t . (1−t ) .O⃗B+t 2 . O⃗C

et donc les coordonnées du point M(t) seront :

xM ( t)=(1−t)2 . x A+2t . (1−t ) . x B+t2 . xC

y M (t)=(1−t )2 . y A+2 t . (1−t ) . y B+ t2 . yC

Dans la définition du tracé de la courbe de Bézier (8), si on prend n=2 alors :

O⃗M (t )=∑i=0

n

Bni ( t ) .O⃗Pi=B1

0 (t ) . O⃗A+B11 ( t ) .O⃗B+B1

2 ( t ) .O⃗C

et en coordonnées

xM ( t)=(1−t)2 . x A+2t . (1−t ) . x B+t2 . xC

y M (t)=(1−t )2 . y A+2 t . (1−t ) . y B+ t2 . yC

On peut donc conclure que le point M(t) décrit la courbe de Bézier de degré 2 avec 3 points de

contrôle A, B et C .

Les polynômes (1 − t)2, 2t(1 − t) et t2 sont les polynômes - poids de Bernstein de degré 2.


M(0,4)

A

B C

D

M1

M2

M3N1

N2



Suivant la même démarche que ci-dessus, construisons une autre courbe en rajoutant une 3ème étape aux deux précédentes :

1ère étape

3 courbes de Bézier de degré 1

• Soit M1(t) le barycentre de (A, 1 − t)(B, t) ;

• Soit M2(t) le barycentre de (B, 1 − t)(C, t) ;

• Soit M3(t) le barycentre de (C, 1 − t)(D, t).

2ème étape

2 courbes de Bézier de degré 2

• Soit N1(t) le barycentre de (M1 , 1 − t)(M2 , t) ;

• Soit N2(t) le barycentre de (M2 , 1 − t)(M3 , t).

3ème étape

1 courbe de Bézier de degré 3

• Soit M (t) le barycentre de (N1, 1 − t)(N2 , t) ;

La construction de la courbe donne :

Pour na pas surcharger le dessin, on ne donne la construction que pour le point correspondant à t=0,4.



La construction itérative est résumée par le schéma pyramidal de De Casteljau

Utilisant la propriété d’associativité du barycentre on obtient le schéma condensé de Bernstein :

Du point de vue vectoriel, en prenant le point O comme origine, on aura :


C

M (t)

A

B

M

1

(t)

M

2 (t)D

M

3 (t)

N

1

(t)

N

2

(t)

M (t)

C

A

B

D


O⃗M=(1−t)3O⃗A+3 t (1−t)2O⃗B+3 t2 (1−t )O⃗C+ t3 O⃗D

et la représentation paramétrique de la courbe est donc :

xM ( t )=(1−t )3 x A+3t (1−t )2 xB+3 t 2 (1−t ) xC+ t3 xD

y M (t )=(1−t )3 y A+3 t (1−t )2 yB+3 t 2 (1−t ) yC+t3 y D

Comme dans les deux cas précédents, si on prend n=3 dans la définition du tracé de la courbe de

Bézier (8), on conclut que M (t) décrit la courbe de Bézier de degré 3 avec 4 points de contrôle

A, B, C et D et les polynômes (1−t)3 , 3t(1−t)2 , 3t2(1−t) et t3 sont les polynômes-poids de

Bernstein de degré 3.

En pratique, on se limite généralement aux courbes de Béziers de degré 3 car celles-ci sont

suffisantes pour représenter la plupart des formes utilisées en CAO. Un avantage du degré 3 par

rapport au degré 2 est la possibilité de représenter des plis (par exemple comme ceux de la

cubique y = x3 -3x en x = 1 ou x = -1) ou des points d’inflexion (comme celui de la cubique

y = x3 – 3x au point x = 0), ou encore des points de rebroussements (par exemple le point

médian du chiffre 3 dans les polices de caractères), des points doubles (croisement dans la lettre

alpha).

Un autre avantage des courbes de Bézier de degré 3 est d'assurer la continuité en tangence et en courbure de deux courbes raccordées.Cette construction itérative basée sur les propriétés des barycentres pourrait bien sûr être poursuivie bien au delà du degré 3, jusqu’à n’importe quel degré k. On obtiendrait alors une courbe de Bézier de degré k, à k + 1 points de contrôle.

2.5. Raccordement de deux courbes de Bézier cubiques

Lorsque l'on souhaite tracer une courbe de Bézier à plusieurs courbures, on va avoir besoin de faire appel à plusieurs courbes qu'il nous faudra ensuite raccorder. Et pour cela il ne suffit pas de joindre les courbes bout à bout, il faut que la courbe globale formée conserve les propriétés des courbes de Bézier. Autrement dit il faut qu'elle soit continue et qu'elle ne présente pas de cassure.Dans un premier temps, pour que la courbe globale soit continue, il suffit de faire coïncider un point d'ancrage de la première courbe avec un autre de la seconde courbe.Ensuite, de façon à ce que la courbe globale ne présente pas de cassure, il faut que la dérivée de la première courbe au point de raccordement soit égale à celle de la seconde courbe en ce même point. Pour cela il faut que le dernier segment du polygone de Bézier de la première courbe soit colinéaire avec le premier segment du polygone de la seconde courbe.Ainsi on obtient une courbe raccordée de classe C1.

2.6. Définition vectorielle des courbes de Bézier



La relation (8) est la définition vectorielle d’une courbe de Bézier de degré n avec n+1 points de contrôle.

Cependant en toute rigueur la définition doit s’énoncer ainsi :

Soient, dans le plan muni d’un repère (O , i⃗ , j⃗), n + 1 points P0, P1, …, Pn-1, Pn .

A tout nombre réel t [0, 1], on associe le point M (t) défini par :∈

O⃗M (t )=∑i=0

n

Bni (t ) .O⃗Pi

où les Bni ( t )=Cn

i . ti .(1−t )n−i sont les polynômes de Bernstein

avec Cni =(n

i )= n!i! . (n−i ) ! est le nombre de combinaisons de i parmi n (coefficients de la

formule du binôme de Newton).

L’ensemble des points M (t) lorsque t décrit l’intervalle [0; 1] est une courbe C appeléecourbe de Bézier de points de contrôle P0, P1, …, Pn-1, Pn .

Il découle de cette définition les propriétés suivantes :

la courbe est de degré n si elle a n + 1 points de contrôle ;

la courbe passe par P0 et Pn ;

la droite (P0P1) est tangente à C en P0 ;

et que si Pn-1 et Pn sont distincts, la droite (Pn-1 Pn ) est tangente à C en Pn .

Bibliographie

« Modélisation et construction de surfaces pour la CFAO »J. C. Leon, Hermès, 1991

« Méthodes mathématiques pour la CAO »J. J. Risler, Masson, 1991

« L’utilisation des courbes et surfaces en CAO »P. Bézier, Hermès, 1988

« Basics CAO DAO »Jan Krebs, Birkhäusen, 2007



Webographie

http://lyceeenligne.free.fr

http://www.les-mathematiques.net

http://www.liafa.jussieu.fr

http://www.sitedesingenieurs.com

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