Deux types de descriptions des plasmas

Lien entre les deux descriptions = moments (centrés)

Description fluide

quelques paramètres macroscopiques : n, u, p, q, …

Description microscopique

fonctions de distribution  : fs(v) (distinguer les espèces, e ou i)

dvvfn )(

dvvvfnu )( dvvfuvmp )()(/ 2

dvvfuvmq )()(/ 3 ...etc

Signification des premiers moments

n = surface sous la courbeu = valeur moyenneVth = largeur de la courbe autour de sa moyenne (p = nVth

2)q = dissymétrie de la courbe autour de sa moyenneetc...

f

vu

NB. Ces définitions très générales sont indépendantes de la collisionnalité. Dans ce cadre, on ne peut pas utiliser la notion thermodynamique de température (limitée au collisionnel). Ici, quand on parle de T, c’est juste le paramètre T=p/n

Au choc, n ↗, p , ↗ v ↘ et tourne, B et tourne, etc... ↗

Peut se raconter en termes des seuls moments

Mais est-ce modélisable sans connaître le f(v) qui se cache derrière?

Modèles fluides et cinétiques L'évolution des fs(v) est régie par une équation connue

(Vlasov si pas de collisions)

si on connaît les fs(v) initiaux complètement, on sait exactement comment elles évoluent (et les moments aussi, évidemment). Mais luxe de détails lourd et cher (surtout en 3-D et pour les grandes échelles)

codes Vlasov, PIC, hybrides, etc...

• En général, connaître l'évolution de n, u, p est suffisant, mais

Si on connaît n, u, p initialement, leur évolution ultérieure n'est a priori pas unique

codes fluides (MHD, bi fluides, etc...) : demandent des hypothèses pas universelles, ne pas utiliser sans précaution dans un plasma sans collisions

En pratique, dans les milieux sans collisions : Les codes fluides (en particulier MHD) sont généralement utilisés pour décrire

les grands échelles (L>rayons de Larmor, longueurs d'inertie, longueur résistive, …), éventuellement en 3-D : modélisation globale d'une magnétosphère, expansion du vent solaire, ...

Les codes cinétiques sont plutôt employés pour étudier des "détails" de petites dimensions et souvent en 1-D ou 2-D pour des raisons d'économie : étude locale et fine d'une couche frontière comme la magnétopause, voisinage des points de reconnexion, ...

Ces choix ne sont que partiellement justifiables. Un code fluide ne donne pas toujours des résultats satisfaisants, même à grande échelle. Un code cinétique n'est pas forcément indispensable, même à petite échelle.

L'objet de la semaine est de manipuler les deux sortes de codes sur quelques exemples simples pour faire réfléchir et aider à se faire une idée concrète des limites et des applications possibles de chaque type.

Quelques exemples de physique spatiale seront également présentés rapidement en cours pour illustrer comment ce problème se pose aux chercheurs

Description fluide (moments)ne veut pas dire

mouvements moyens identiques pour toutes les particules

Mais équations de moments (conservation du nombre de particules, de l'impulsion, de l'énergie, ...) toujours vérifiées dans tous les cas, avec ou sans collisions

Collisionnel Non collisionnel

Comportement collectif et comportement fluide

Intuitivement, on devine qu'un comportement "fluide" (à définir) ne peut exister que si chaque particule est suffisamment en interaction avec les autres pour que sa trajectoire partage avec celles-ci quelque chose de commun, un comportement un minimum "collectif". Si chaque particule va simplement en ligne droite, toute perturbation de densité, par exemple, va rapidement se diluer et disparaître : pas de possibilité de propagation d'onde par exemple.

On verra que cette idée n'est pas fausse et qu'un tel comportement "collectif" peut se produire essentiellement pour trois raisons :

- Collisions : les particules se poussent les unes les autres même vitesse moyenne, dans toutes les directions

- Champ magnétique : les particules ont toutes quasiment la même vitesse moyenne perpendiculairement à B: v= ExB/B2

- Champ électrique : il impose une force commune sur toutes les particules chargées : cause possible de comportement collectif (parallèlement à B si champ magnétique). Dépend de la valeur de E ( température électronique)

Cas collisionnel(pour mémoire)

Quand les collisions sont suffisamment nombreuses,

la forme de f(v) est déterminée de façon unique (via des développements rigoureux et bien établis) :

- Tout état uniforme stationnaire est Maxwellien et isotrope (équilibre thermodynamique)

- Tous les gradients macroscopiques correspondent à une petite déformation de f(v) calculable et unique (équilibre thermodynamique local) possibilité d'un modèle fluide "exact" , avec des "coefficients de transport " ~ linéaires :

)(T q σIp op )(avec uν.σ

Plasmas "sans collisions"

Pas de distribution d'équilibre universelle

tout f(v) uniforme est aussi stationnaire, quelle que soit sa forme*

*Attention quand même : certaines distributions sont des équilibres instables (instabilités cinétiques). Dans ces cas, f(v) évolue donc spontanément et irréversiblement vers des fonctions plus stables

L'évolution des moments, à partir d’un f(v) donné, n'obéit pas a priori à un modèle universel

néanmoins, cette évolution reste souvent peu dépendante -au moins qualitativement- de la forme exacte de f(v)

puissance reconnue de la MHD et autres codes fluides

Exemple : le vent solaire

Modèle fluide très simple de Parker , 1958 (isotherme, B radial)

allure très raisonnable de l'expansion du vent solaire. Erreur numerique ~ facteur 2 sur la valeur de la vitesse à 1UA.

Possible de faire mieux par des modèles cinétiques (récent), mais très difficile et incomplet aussi (rôle des ondes?)

Distributions dans le vent solaire

Pas vraiment Maxwelliennes! Peut être pas si important pour comprendre

qualitativement les grandes échelles de l'expansion (?)

ElectronsProtons

Les modèles fluides

Equations fluides: suite infinie d'équations différentielles exactesObtenues par intégrations de Vlasov

toujours vérifiées, dans la nature ou dans n'importe quel modèle, cinétique ou fluide

Mais modèle fluide (prédictif) = système d'un petit nombre d'équations reliant les seuls 1ers moments

(par exemple n, u, p) nécessité de tronquer le système par une équation "de fermeture"

approximative, pas toujours évidente à trouver ou à justifier sans collisions (parfois impossible)

Modèle fluide = N-1 équations exactes +1 équation approximative

(+ équations de Maxwell et autres équations de forces extérieures s’il y en a)

Phénomènes "cinétiques" = déformations de f(v) qui ne sont pas directement dus

à des variations des paramètres macroscopiques L'espace des vitesses peut avoir une dynamique propre (a priori

inaccessible aux calculs fluides). Principal exemple : les instabilités cinétiques, dues à la forme de f(v), même en milieu homogène.

Particules résonnantes phénomènes irréversibles de diffusion dans l'espace des vitesses induit des termes de "viscosité" dans l'espace de configuration, et de la dissipation

v

f

v

f

plateau

Modélisation fluide d'un plasma sans collisions

Puissance et limites 5 ou 6 idées à retenir des expériences numériques de la semaine:

1. Quand elle est justifiée, l'approche fluide est beaucoup plus rapide, plus souple et plus efficace

2. Un milieu est toujours descriptible par ses moments, quels que soient les phénomènes en jeu (prévisibles ou non par des modèles fluides)

3. L'évolution de ces moments est généralement "raisonnable" , même lorsqu'aucun mécanisme ne cause de comportement collectif .Ceci rend souvent possible l'existence d'une fermeture adaptée (mais non universelle). Une telle fermeture repose sur des hypothèses concernant la forme de la fonction de distribution sous-jacente

Modélisation fluide d'un plasma sans collisions

Puissance et limites 5 ou 6 idées à retenir des expériences numériques de la semaine:

4. Dans une description mono-fluide, le rôle des électrons et des ions est très différent. Les électrons sont capables de créer un comportement collectif, via le champ électrique.

5. Le rôle des "effets cinétiques" (instabilités et résonances), s'il y en a, est particulièrement difficile à prendre en compte dans une fermeture fluide ( termes dissipatifs)

6. Dans un plasma magnétisé, la direction perpendiculaire à B a un comportement naturellement collectif, indépendamment des électrons

Du cinétique au fluide (1-D)Toutes les équations fluides s’obtiennent en intégrant l’équation cinétique (Vlasov) sur les vitesses. Ce sont des équations de conservation ( pas de dissipation)

Chacune relie la dérivée temporelle du moment d’ordre n à la dérivée spatiale du moment d’ordre n+1 système infini

CfmFfvf

Cfd

vxtff

vxt

t

)(/)()(

)(

),,(

...

2)3()(

)()(

0)()(

32

2

nuFnmupuqnmup

nFnmupnmu

nun

xt

xt

xt

à 1-D :

Autre forme des équations fluides

...

0)(

)()(

0)()(

33

n

q

n

pd

nFpunmd

un

nd

xt

xt

xt

Attention: on ne donne ici que les équations sous leur forme 1-DEn 3-D, les dérivées par rapport à x deviennent des nablas, la pression devient tensorielle et la 3ième équation (énergie) fait intervenir n5/3 au lieu de n3.

Equations de fermetureLe plus souvent à l’ordre 3

Fermeture la plus simple : fermeture adiabatique q=0 : (symétrie)

Tous les phénomènes ne respectent évidemment pas q=0.

Le choix d’une bonne équation de fermeture est la difficulté principale des méthodes fluides.

Une fermeture usuelle est de garder la même forme (polytrope) et de remplacer la puissance 3 par un bien choisi. De façon générale, toutes les formes q = q(p,n) correspondent à des fermetures non dissipatives

Les formes avec dérivées q = q(p,n,p’,n’) sont des fermetures dissipatives. Voir terme de conduction q = kT ’ (loi de Fourier dans les milieux collisionnels)

03

n

pdt

Code fluide (MHD) utilisé en TP : fermeture q = kT ’ adapté a priori aux milieux collisionnels. Intéressant de voir ce qu'il prévoit de correct ou non pour un milieu sans collisions (comparaison résultat hybride). Et de réfléchir à d'autres fermetures meilleures pour décrire ce qui est mal décrit avec ce code.

Ondes sonores linéaires(rappel de méca flu élémentaire, utile pour le TP)

0

0)()(

0)()(

n

pd

punmd

un

nd

t

xt

xt

oo

o

o

nn

pp

kpmun

kunn

11

11

11

oo

o

nn

pp

ku

mnp

ku

nn

o

11

11

1

/1

mn

p

k o

o

2

so

o

os

cu

nn

pp

mn

pc

o

11

2

1

Ondes sonores linéaires en plasma (acoustiques ioniques)

Rôle des électrons et de E

0

)(

0

)()(

0)()(

e

i

n

pd

nqEp

n

pd

nqEpudnm

un

nd

et

ex

it

ixti

xt

n

nd

p

pd

n

nd

p

pd

ppudnm

un

nd

te

e

et

ti

i

it

eixti

xt

)()(

)()(

0)()(

0)()(

Ondes sonores linéaires en plasma (acoustiques ioniques)

Rôle des électrons et de E

o

eoeioiei

eio

o

nn

pppp

ppkmun

kunn

111

111

11

)(

io

eoeiois mn

ppc

2

Si électrons froids et pas de collisions :Ions simplement balistiques. Rien de collectif. La fermeture choisie a peu de chances d'être valable. Résultat de l'expérience numérique? Ondes propagatives? Amortissement? Si électrons chauds: ions dans le même champ collectif E plus de chance d'avoir un comportement collectif. Réaliste?