cours 2 1.2 composantes des vecteurs 1. 2 au dernier cours, nous avons vus la définition dun...
TRANSCRIPT
![Page 1: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/1.jpg)
Cours 2
1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS
1
![Page 2: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Au dernier cours, nous avons vus
✓ La définition d’un vecteur géométrique.
✓ La somme de vecteurs et ses
propriétés.
✓ La multiplication par un scalaire et ses
propriétés.
✓ La définition d’un espace vectoriel.
✓ L’action des vecteurs sur les points.
![Page 3: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/3.jpg)
Aujourd’hui nous allons voir
3
✓ Les «atomes» d’un espace vectoriel.
✓ Une façon d’écrire les vecteurs qui simplifie
les calculs.
![Page 4: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Exemple:
23
Quels sont la longueur et l’angle du vecteur somme de ces deux vecteurs?
a
angle alterne-interne
loi des cosinus
loi des sinus
![Page 5: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Hum... pas la joie!
Bon... on n’imagine même pas faire ça dans l’espace!
Le cours d’aujourd’hui sert à mettre en place les outils nécessaires pour rendre cette tâche beaucoup plus
simple.
![Page 6: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Définition:
où les et les .
Une combinaison linéaire d’éléments d’un espace vectoriel réel est n’importe quelle expression de la forme:
![Page 7: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Définition:
Un ensemble de vecteurs non nulsd’un espace vectoriel est dit linéairement indépendant si aucun d’entre eux n’est combinaison linéaire des autres. Sinon, on dit qu’ils sont linéairement dépendants.
![Page 8: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Exemple:
Les trois vecteurs suivants sont linéairement dépendants car
![Page 9: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Vérifier si un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant n’est
pas une mince affaire!
Le théorème qui suit permet de faire cette vérification beaucoup plus simplement.
![Page 10: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Théorème:
Un ensemble de vecteurs ,non nuls, est linéairement indépendant
C.-à-d. (
)
La seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0.
![Page 11: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Preuve: Si sont linéairement indépendants,
supposons qu’il existe une combinaison linéaire
avec au moins un des , prenons
Ce qui contredit l’hypothèse que les vecteurs étaient linéairement indépendants.
Donc, çac’est faux!
On veut l’inverse de
ça.
![Page 12: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Preuve: Si sont linéairement indépendants,
Ce qui contredit l’hypothèse que les vecteurs étaient linéairement indépendants.
La seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0.
![Page 13: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0,supposons que les vecteurs
sont linéairement dépendants.On veut
l’inverse de ça.
Il existe donc un vecteur qui est combinaisonlinéaire des autres.
Puisque ,
au moins un des
Ce qui contredit l’hypothèse que la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0.
Donc çac’est faux!
Preuve (suite):
![Page 14: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0,
sont linéairement indépendants.
Les vecteurs
Preuve (suite):
Il existe donc un vecteur qui est combinaisonlinéaire des autres.
Puisque ,
au moins un des
Ce qui contredit l’hypothèse que la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0.
![Page 15: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Sur une droite
Tous les vecteurs sont linéairement dépendants d’un vecteur ayant la même direction que la droite.
![Page 16: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Dans le plan
Au plus, deux vecteurs peuvent être linéairement indépendants.
16
![Page 17: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Dans l’espaceAu plus, trois vecteurs peuvent être linéairement
indépendants.
![Page 18: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Faites les exercices suivants
p.25 # 1, 2 et 3
![Page 19: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Définition: Une base d’un espace vectoriel est un
ensemble de vecteurs non nuls
linéairement indépendants tel que tout vecteur peut s’écrire comme combinaison linéaire d’éléments de .
![Page 20: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Remarque:
La condition que ces vecteurs soient linéairement indépendants
assure que le sous-ensemble est le plus petit possible.
Une base d’un espace affine est une base de son espace vectoriel sous-jacent.
Le but d’une base est de pouvoir décrire tous les vecteurs
d’un espace vectoriel à l’aide d’un petit sous-ensemble de .
![Page 21: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Définition:
La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments d’une de ses bases. On note la dimension de , .
Gros problème!
Qu’est-ce qui nous assure que toutes les bases d’un espace vectoriel ont la même taille?
Moi!
![Page 22: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Définition: Une base ordonnée d’un espace vectoriel
est une base de cet espace qu’on a mis dans un certain ordre.
![Page 23: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Définition:
d’un espace vectoriel et soit un vecteur de cet espace. On a
Soit , une base ordonnée
Et on écrit alors
Les composantes de selon la base sont
![Page 24: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/24.jpg)
2424
![Page 25: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Théorème:
sont uniques.
Soit et , une base ordonnée de . Les composantes de dans la base
![Page 26: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Mais puisque est une base, ces vecteurs sont linéairement indépendants et donc, par le dernier
théorème, on a que
Supposons qu’on ait deux écritures pour ,
d’où
Donc, les deux écritures étaient les mêmes.
Preuve:
![Page 27: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Corollaire:
Proposition mathématique ou logique
qui se déduit immédiatement d’une proposition qui vient d’être
démontrée.
Soit et
, deux vecteurs écrits
dans la même base. Alors
pour
![Page 28: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Opérations sur les composantes.
une base de , Soit
et
Multiplication par un scalaire
Donc
![Page 29: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Somme de vecteurs
Ç’a l’air un peu trop arrangé avec le gars des vues!
Donc
![Page 30: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Multiplication par un scalaire
Somme de vecteurs
![Page 31: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/31.jpg)
3131
![Page 32: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Faites les exercices suivants
p.26 # 4 à 6
![Page 33: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Les ensembles de vecteurs linéairement
indépendants.
✓ Une base d’un espace vectoriel.
✓ La dimension d’un espace vectoriel.
✓ Les composantes d’un vecteur par rapport à
une base ordonnée.
![Page 34: Cours 2 1.2 COMPOSANTES DES VECTEURS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus La définition dun vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051614/551d9da3497959293b8d4399/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Devoir:p. 25, # 1 à 14