cours 3 : paramètres de position d’une série statistique · 3.2 détermination de la médiane :...

Statistiques DIP, Université Stendhal, Grenoble III

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Cours 3 : Paramètres de position d’une série statistique

1 Mode et classe modale ___________________________________________________1

1.1 Variable quantitative discrète : Notion de Mode ____________________________ 1 1.2 Variable quantitative continue : Notion de Classe modale _____________________ 1

2 Moyenne ______________________________________________________________2

2.1 Définition de la moyenne ______________________________________________ 2 2.1.1 Cas d’une série statistique discrète_______________________________________________ 2 2.1.2 Cas d’une série statistique continue ______________________________________________ 2

2.2 Propriétés de la moyenne ______________________________________________ 2

3 Médiane_______________________________________________________________3

3.1 Définition de la médiane _______________________________________________ 3 3.2 Détermination de la médiane : cas d’une variable discrète_____________________ 3

3.3 Détermination de la médiane : cas d’une variable continue ____________________ 4

1 Mode et classe modale

1.1 Variable quantitative discrète : Notion de Mode Définition 1 : Soit X une variable quantitative discrète, on appelle mode la valeur du caractère qui possède le plus grand effectif. Exemple 1 : Dans le tableau suivant, représentant le nombre d’enfants par famille, le mode est ‘0 enfant’

Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5 6 7 Effectif (= nombre de foyers) 290 170 155 95 43 27 20 10

1.2 Variable quantitative continue : Notion de Classe modale Définition 2 : Soit X une variable quantitative continue, on appelle classe modale la classe du caractère qui possède le plus grand effectif. Exemple 2 : Dans le tableau suivant, représentant les notes d’une classe, la classe modale est la classe [8 ; 12[



Notes [0 ; 5[ [5 ; 8[ [8 ; 12[ [12 ; 15[ [15 ; 20] Effectif 10 8 12 11 9

2 Moyenne

2.1 Définition de la moyenne

2.1.1 Cas d’une série statistique discrète Définition 3 : Soit x1, x2, ..., xp les p valeurs d'une série statistiques discrète, et n1, n2, ..., np les effectifs associés à ces valeurs. Soit N = n1 + n2 + … + np l'effectif total. La moyenne pondérée de cette série statistique est alors le nombre :

=

=

Remarque 1 : On a aussi :

= f1 x1 + f2 x2 + … + fp xp = Σ fi xi où fi = ni/N sont les fréquences

Exemple 3 : Si on reprend le tableau de l’exemple 1, la moyenne pondérée du nombre d’enfants par foyer est :

= [(0*291)+(1*170)+(2*155)+(3*95)+(4*43)+(5*27)+(6*20)+(7*10)] / 810 = 1262/811 ≅1,56

2.1.2 Cas d’une série statistique continue Définition 4 : Dans le cas d’une variable statistique continue, où les valeurs sont regroupées dans des intervalles, on calcule la moyenne en choisissant le centre des intervalles pour chaque valeur de la variable Exemple 4 : Si on reprend le tableau de l’exemple 2, la moyenne pondérée des notes est :

Notes [0 ; 5[ [5 ; 8[ [8 ; 12[ [12 ; 15[ [15 ; 20] Effectif 10 8 12 11 9 Centre de la classe (xi) 2,5 6,5 10 13,5 17,5

= [(2,5*10)+(6,5*8)+(10*12)+(13,5*11)+(17,5*9) / 50

= 503/50 = 10,06

2.2 Propriétés de la moyenne Propriété 1 : Soit S une série statistiques de modalités x1, x2,...,xp affectées des effectifs n1, n2, ... ,np de moyenne ,et la série statistique S' de modalités y1, y2, y3, ... ,yp affectées des mêmes effectifs n1, ... ,np telle que:

Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5 6 7 Effectif (= nombre de foyers) (xi) 291 170 155 95 43 27 20 10



yi = ax i + b, pour tout i=1, 2,…,p Alors la moyenne de la série statistiques S’ est :

= a + b

Démonstration :

= 1/N (Σni yi)

= 1/N (Σni (ax i+b)) = 1/N Σni ax i + 1/N Σni b = a 1/N Σnixi + b 1/N Σni Or 1/N Σnixi =

Et Σni = N d’où 1/N Σni = 1 = a +b

Propriété 2 : Soient S1 et S2 deux séries statistiques d'effectifs totaux respectifs N1 et N2 et de

moyennes respectives et . Alors la moyenne de la série S regroupant les deux séries S1 et S2 est :

=

N1 + N2 N1 + N2

Exemple 5 : Dans une entreprise comprenant 25 cadres et 18 ouvriers, les moyennes des salaires annuels sont : 38700€ pour les cadres et 15800€ pour les ouvriers. Le salaire moyen de l'entreprise est donc

=

(25*38700) + (18*15800) 25 + 17

3 Médiane

3.1 Définition de la médiane La médiane est un paramètre de position, qui permet de couper la population étudiée en deux groupes contenant le même nombre d'individus. Ce paramètre est utile pour donner la répartition du caractère étudié, car 50 % environ de la population étudiée a une modalité inférieure à la médiane et 50 % une modalité supérieure à la médiane.

Définition 4 : La médiane d'une série statistique, notée Me, est le nombre qui partage la population en deux parties de même effectif : les individus dont la valeur du caractère est inférieure à la médiane, et les individus dont la valeur du caractère est supérieure à la médiane.

3.2 Détermination de la médiane : cas d’une variable discrète Pour déterminer la médiane, on utilise les effectifs cumulés croissants et

- lorsque l’effectif total est un nombre impair (de type N = 2n+1), la médiane est la valeur prise par le n+1ième effectif



- lorsque l’effectif total est un nombre pair (de type N = 2n), la médiane est la valeur prise par la moyenne entre le nième effectif et le n+1ième effectif

Exemple 6 :

Ø 1er cas : l’effectif total est impair

Voici le nombre d’enfant par foyer où 811 foyers ont été interrogés :

Ø

On a 811 = 2*405+1(de la forme N = 2n+1) donc n=405, ainsi la le nombre d’enfants obtenue par le foyer 406 distingue l’effectif en deux sous-groupes de même effectif. La médiane est donc le nombre d’enfants que possède le foyer 406, soit 1. D’où : Me = 1

Ø 2ème cas : l’effectif total est pair

Voici les notes obtenues par 50 élèves : Notes Effectif Effectif cumulé

croissant 0 1 1 1 2 3 2 2 5 3 3 8 4 2 10 5 3 13 6 2 15 7 3 18 8 4 22 9 3 25

10 2 27 11 3 30 12 4 34 13 4 38 14 3 41 15 1 42 16 2 44 17 1 45 18 2 47 19 2 49 20 1 50

3.3 Détermination de la médiane : cas d’une variable continue Les fréquences cumulées (ou les effectifs cumulés) permettent de déterminer dans quelle classe [ai ; ai+1[.se situe la médiane. La classe ainsi obtenue est appelée classe médiane. Une fois qu’on a la classe médiane, on trouve la médiane par interpolation linéaire

Pour trouver la médiane, on trace :

Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5 6 7 Effectif 291 170 155 95 43 27 20 10 Effectif cumulé croissant 291 461 616 711 754 781 801 811

Il y a 50 notes, la 25ème note est 9 et la 26ème : 10. Voila la répartition des notes pour comprendre :

Dans le tableau il n'y a pas de valeur partageant la série statistique en deux groupe de même effectif, (l’effectif total est pair) dans ce cas la médiane est la moyenne des notes obtenue par le 25ème élève et le 26ème élève : soit la moyenne entre 9 et 10.

Me = 9,5



- soit la courbe des effectifs cumulés et on doit trouver l’abscisse du point d’ordonnées N/2 de cette courbe (où N est l’effectif total)

- soit la courbe des fréquences cumulées et on doit trouver l’abscisse du point d’ordonnés 0,5 de cette courbe

Pour calculer l’abscisse de ce point, on utilise soit le théorème de Thalès, soit les propriétés sur les pentes des droites

Exemple 7 :

Utilisons la colonne des effectifs cumulés pour déterminer la médiane : il y a 50 notes, 50 % de l'effectif total c'est 25, la médiane est ici la note correspondant à l'effectif cumulé 25.

D'après la colonne "effectif cumulé" :

• 18 personnes ont moins de 8 • 30 personnes ont moins de 12

La médiane se trouve donc dans la classe médiane [8;12[ On trace la droite d’équation y = N/2 (ou y=0,5 si on trace la courbe des fréquences cumulées croissante). Soit M le point d’intersection de cette droite et de la courbe, l’abscisse de M est la médiane. Nous allons voir comment déterminer cette abscisse selon les deux méthodes énoncées précédemment.

Ø 1er cas : Propriétés sur les pentes Les points A, M, B sont alignés donc les droites ont même coefficient directeur (ie. même pente), ce qui se traduit par :

Me

D C



Ø 2ème cas : Théorème de Thalès

On applique le théorème de Thalès dans le triangle ABD, on a :

D’où en particulier :

⇔ ⇔ Me ≅ 10,33

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