Universite Chouaıb Doukkali - Faculte des Sciences El Jadida

Filiere: SMIA

Module Algebre 1

Structures Algebriques

et Polynomes

Responsable: A. Haıly

Table des matieres

Chapitre 1. Notions sur la logique et les ensembles 51. Introduction 52. Notion de proposition 53. Predicat et quantificateurs 64. Negation d’un predicat avec quantificateur 75. Connecteurs logiques 76. Raisonnements mathematiques. 97. Inclusion et egalite d’ensembles 118. Ensemble defini par un predicat 119. Operations sur les ensembles : 12

Chapitre 2. Correspondances et Applications 131. Couples et produit cartesien 132. Correspondance 133. Applications 144. Injection, surjection, bijection 155. Famille d’elements. 166. Relations binaires sur un ensemble 177. Relation d’equivalence 178. Relation d’ordre 19

Chapitre 3. Ensembles finis et cardinaux 211. Ensemble N 212. Ensembles equipotents 223. Ensembles finis 224. Arrangements et combinaisons 23

Chapitre 4. Lois de composition interne 251. Generalites sur les lois de composition interne 252. Associativite. 263. Commutativite. 274. Element neutre 275. Elements reguliers. 286. Elements symetrisables. 287. Morphismes 298. Loi quotient 299. Monoıdes 30

Chapitre 5. Structure de groupe 33

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1. Definitions et Proprietes generales 332. Sous-groupes 343. Morphismes de groupes 354. Groupe produit 36

Chapitre 6. Structure d’anneau 391. Definitions generales et exemples 392. Sous-anneaux et morphismes 403. Corps, corps de fractions d’un anneau integre. 41

Chapitre 7. Arithmetique de Z 431. Relation de divisibilite 432. Division euclidienne 433. Nombres premiers 444. PGCD et PPCM 445. Factorisation 456. Algorithme d’Euclide 467. Arithmetique modulaire 47

Chapitre 8. Nombres complexes 491. Construction 492. Module et argument 50

Chapitre 9. Polynomes a une indeterminee 531. Operations sur les polynomes 532. Division euclidienne, divisibilite 573. Racines et multiplicites 594. Polynomes irreductibles 625. Plus Grand Commun Diviseur dans K[X]. 636. Polynomes premiers entre eux 657. Factorisation 658. Division suivant les puissances croissantes 68

Chapitre 10. Fractions Rationnelles a une indeterminee 691. Definitions et Proprietes generales 692. Decomposition d’une fraction rationnelles en elements

simples. 71

Chapitre 11. Complements sur les groupes 751. Groupes monogenes, groupes cycliques 752. Theoreme de Lagrange 753. Le groupe symetrique 77

Chapitre 12. Complements sur les anneaux principaux 811. Ideal d’un anneau 812. Anneaux principaux 81

Exercices 85

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CHAPITRE 1

Notions sur la logique et les ensembles

1. Introduction

La logique mathematique s’interesse aux regles de construction dephrases mathematiques correctes : propositions ou enonces, et auxregles permettant d’etablir la verite de ces phrases.

Le but de ce chapitre est de rappeler et de completer les notionsfondamentales sur les ensembles et la logique.

La notion d’ensemble est une notion premiere, qu’on admet etqu’on ne peut pas definir a partir d’autres notions. Intuitivement, onpeut considerer un ensemble E comme une ”collection” d’objets qui ensont les elements. On note x ∈ E pour dire que x appartient a E ouque x est un element de E.

Certains ensembles de nombres sont supposes connus, aussi nousles considererons d’une maniere systematique, sans les redefinir. Onrapelle les notations usuelles :

N, l’ensemble des nombres entiers naturels, N = 0, 1, 2, . . ..Z, l’ensemble des entiers relatifs, Z = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . ..Q, l’ensemble des nombres rationnels, Q = p

q: p ∈ Z, q ∈ Z∗

R, l’ensemble des nombres reels contenant Q et les nombres irra-tionnels tels que

√2, π, e.

C, l’ensemble des nombres complexes, C = a + bi : a, b ∈ R, oui2 = −1.

2. Notion de proposition

Les enonces mathematiques sont constitues de phrases qu’on ap-pelle propositions ou assertions. Une proposition est un enonce quipeut etre vrai ou faux. Par exemple ” 4 est un nombre pair” est uneproposition vraie, ” 5 < 3” est une proposition fausse. A toute propo-sition P on attribue sa valeur de verite, 1 ou ”V” si elle est vraie et0 ou ”F” si elle est fausse.

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Deux propositions P et Q sont dites equivalentes si elles ont lameme valeur de verite (elles expriment alors le meme contenu). On noteP ≡ Q pour signifier que P et Q sont equivalentes. Ainsi, pour x ∈ N,les deux propositions P :′′ x ≤ 7′′ et Q :′′ x + 2 ≤ 9′′, sont equivalentes.

Si P ≡ Q, on dira aussi que ”P est vraie, si et seulement si, Q estvraie”, ou que Q est une condition necessaire et suffisante pour P .

Negation d’une proposition. A partir d’une proposition P onpeut former sa negation nonP notee aussi ¬P , qui a la valeur de veritecontraire a celle de P , suivant la table de verite suivante :

P ¬P1 00 1

Par exemple la negation de x ∈ E est note x /∈ E. La negation dex = y est x 6= y.

Propriete 2.1. P ≡ ¬(¬P ).

3. Predicat et quantificateurs

On appelle predicat ou forme propositionnelle, une propositionP (x, y, . . .), contenant des variables x, y, ... , et dont la valeur de veritedepend de ces variables. ”x est pair” est un predicat. (La variable iciest x).

Les predicats sont souvent precedes par des quantificateurs enlien avec les variables. On distingue deux types de quantificateurs :

- Le quantificateur universel : ∀ (quelque soit ou pour tout). L’en-once ∀x ∈ E on a P (x), veut dire que tout x ∈ E verifie P (x).

Exemple : ∀x ∈ R, x2 ≥ 0.

- Le quantificateur existentiel : ∃ (il existe). L’enonce ∃x ∈ E :P (x) veut dire qu’il existe x ∈ E qui verifie P (x).

Exemple : ∃x ∈ R : x2 = 2.

On utilise aussi parfois le symbole ∃! pour l’existence et l’unicite.∃! x ∈ E : P (x), veut dire qu’il existe un seul x tel que P (x).

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Exemple : ∃! x ∈ R+ : x2 = 2.

4. Negation d’un predicat avec quantificateur

On a ¬(∀x ∈ E, P (x)) ≡ ∃x ∈ E : ¬P (x).

Exemple : la negation de ′′∀x ∈ R, x2 ≥ 0′′, est ′′∃x ∈ R : x2 < 0′′.

De meme, ¬(∃x ∈ E : P (x)) ≡ ∀x ∈ E ¬P (x).

Un enonce peut contenir deux ou meme plusieurs quantificateurs,l’ordre dans lesquels ils sont ecrits est important. Ainsi une assertionqui commence par ∀x, ∃y n’est pas necessairement equivalente a cellequi commence par ∃y, ∀x.

Exemple : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x ≤ y est vraie.

∃y ∈ R : ∀x ∈ R, x ≤ y est fausse.

Par contre, on a :

∀x ∈ E, ∀y ∈ F, P (x, y) ≡ ∀y ∈ E, ∀x ∈ F, P (x, y)

∃x ∈ E, ∃y ∈ F : P (x, y) ≡ ∃y ∈ E, ∃x ∈ F : P (x, y)

5. Connecteurs logiques

A partir de deux propositions P et Q on peut former d’autres pro-positions a l’aide de connecteurs logiques : ∧,∨,⇒,⇔, . . . .

La conjonction : P et Q, notee aussi P ∧ Q, qui est vraie seule-ment si les deux propositions P et Q sont vraies :

P Q P ∧Q1 1 11 0 00 1 00 0 0

Par exemple : Soit x ∈ N, on considere les propositions P :′′ x | 24′′

et Q :′′ x ≤ 6′′ . P ∧Q est vraie pour x = 1, 2, 3, 4, 6.

Proprietes 5.1..

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1 - P ∧Q ≡ Q ∧ P ; (P ∧Q) ∧R ≡ P ∧ (Q ∧R) ; P ∧ P ≡ P .

2 - Principe de non contradiction : P ∧ ¬P est toujours fausse.

Une theorie (ou un raisonnement) est dite contradictoire, si ellecontient une proposition et sa negation qui soient toutes les deux vraies.

La disjonction P ou Q, notee aussi P ∨ Q qui est vraie si l’uneau moins des propositions P et Q est vraie :

P Q P ∨Q1 1 11 0 10 1 10 0 0

Exemple : dans l’exemple precedent P ∨ Q est vraie pour x =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 24.

Proprietes 5.2.

1 - P ∨Q ≡ Q ∨ P ; (P ∨Q) ∨R ≡ P ∨ (Q ∨R) ; P ∨ P ≡ P

2 - Principe du tiers exclu : P ∨ ¬P est toujours vraie.

Proposition 5.3. Lois de De Morgan :

¬(P ∧Q) ≡ (¬P ) ∨ (¬Q)

¬(P ∨Q) ≡ (¬P ) ∧ (¬Q)

L’implication P implique Q, notee aussi P ⇒ Q, est donnee parla table de verite :

P Q P ⇒ Q1 1 11 0 00 1 10 0 1

Proposition 5.4..

P ⇒ Q ≡ ¬P ∨Q.

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P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P (principe de contraposition).

¬(P ⇒ Q) ≡ P ∧ ¬Q

Exemple 5.1.

La proposition ∀x ∈ R : x ≤ 2 ⇒ x ≤ 4 est vraie. Sa negation est∃x ∈ R : x ≤ 2 et x > 4 est fausse.

Double implication notee P ⇔ Q, c’est la proposition (P ⇒Q) ∧ (Q ⇒ P ) :

P Q P ⇔ Q1 1 11 0 00 1 00 0 1

Remarque :

Soient P et Q deux propositions. P ⇔ Q est vraie, si et seulementsi, P ≡ Q. Aussi, on ecrira P ⇔ Q pour signifier que P ≡ Q.

Remarques :

1 - On peut combiner plusieurs connecteurs logiques avec plusieurspropositions par exemple (P ∧Q) ⇒ R ; (P ⇒ Q) ⇒ P , etc.

2 - Dans les expressions mathematiques on adopte la simplificationsuivante : lorsqu’on ecrit P cela veut dire que P est vraie.

3 - Lorsque P ⇒ Q, on dira que si on a P alors on a Q ou que Pentraıne Q.

6. Raisonnements mathematiques.

Les theories mathematiques se basent sur un certain nombre deresultats admis qu’on appelle axiomes. Le but est, a partir de cesaxiomes et la logique, de demontrer des resultats vrais qu’on appelletheoremes, propositions, lemmes, proprietes , etc. . Les demonstrationsou preuves de ces resultats, s’appuient sur des raisonnements lo-giques. Les principales methodes de raisonnements sont les suivantes :

1 - Raisonnement par deduction ou raisonnement direct :On veut montrer que P ⇒ Q. On suppose que P est vraie et avec une

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succession d’implications, on montre que Q est vraie.

Exemple : Montrons que ∀x ∈ N, 4 | x ⇒ 2 | x. Supposons que4 | x, on a x = 4.k, pour un k ∈ N. Donc x = 2.2.k = 2.k′ avec k′ = 2.k.Par suite 2 | x.

2 - Raisonnement par contraposition : Pour montrer que P ⇒Q, il est parfois plus simple de demontrer que non Q ⇒ nonP .

Exemple 1 : Montrons que ∀x ∈ N, 2 | x2 ⇒ 2 | x. Par contraposi-tion, supposons que 2 - x et montrons que 2 - x2. On a : x = 2k+1 aveck ∈ N. Donc x2 = (2k +1)2 = 4k2 +4k +1 = 2k′+1, ou k′ = 2k2 +2k,donc 2 - x2.

Exemple 2 : pour montrer que ∀x ∈ R; x2 /∈ Q⇒ x /∈ Q, il est plusfacile de montrer que x ∈ Q⇒ x2 ∈ Q.

3 - Raisonnement par l’absurde : Si on suppose qu’une pro-priete P est fausse et qu’a la fin du raisonnement on aboutit a unecontradiction, alors P est vraie. (une contadiction est une assertion dutype Q et non Q).

Exemple : Montrons que√

2 /∈ Q, sinon, ∃x = pq∈ Q, avec p, q ∈ N

premiers enre eux, tels que 2 = x2 = p2

q2 . Donc 2q2 = p2. Ce qui im-

plique que 2 | p. On pose alors p = 2p′. On a 2q2 = 4p′2. Ce qui entraıneq2 = 2p′2, ou encore 2 | q. On a 2 | p et 2 | q, ce qui est absurde car pet q sont supposes premiers entre eux.

4 - Raisonnement par contre-exemple : pour montrer que∀x, P (x) est fausse on montre que ∃x non P (x).

Exemple : l’assertion ∀x ∈ N, 4 ≤ x est fausse car, par exemple, 2ne verifie pas cette propriete. C’est un contre-exemple.

5 - Raisonnement par recurrence : Soit P une propriete, etn0 ∈ N. Si P (n0) est vraie et si ∀n ≥ n0, P (n) ⇒ P (n + 1), alors∀n ≥ n0, P (n) est vraie.

Exemple : Pour n ∈ N, posons Sn =∑n

k=0 k. Montrons que ∀n ∈ N,

on a Sn = n(n+1)2

.

Le resultat est vrai pour 0. On suppose que c’est vrai pour n (Hy-

pothese de recurrence H.R). On a Sn+1 = Sn +n+1 = n(n+1)2

+n+1 =

(n + 1)(n2

+ 1) = (n+1)(n+2)2

. Donc la propriete est vraie pour n + 1. On

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en deduit qu’elle est vraie pour tout n.

7. Inclusion et egalite d’ensembles

Soient E et F deux ensembles . On dit que E est inclus dans F ,note E ⊂ F , si ∀x ∈ E on a x ∈ F . On dit aussi que E est un sous-ensemble ou une partie de F .

La negation est E 6⊂ F . On a E 6⊂ F ⇔ ∃x ∈ E : x /∈ F .

Exemple : E = 0, 1, 2, F = 1, 2, 3, G = 0, 1, 2, 4

On a E ⊂ G mais E 6⊂ F .

Propriete 7.1. Si E ⊂ F et F ⊂ G alors E ⊂ G.

Egalite de deux ensembles : Soient E et F deux ensembles alors

(E = F ) ⇔ (E ⊂ F et F ⊂ E)

.

8. Ensemble defini par un predicat

: Soit P (x) un predicat alors il existe un ensemble E = x : P (x).

Exemple : E = x ∈ N : x | 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12

Ensemble vide Il existe un ensemble qui ne contient aucun element,l’ensemble vide, note ∅.

Proposition 8.1. Pour tout ensemble E on a ∅ ⊂ E

Preuve. Sinon, ∃x ∈ ∅ : x /∈ E. Absurde car ∃x ∈ ∅ est fausse.

Singleton et paire : Soient x, y deux objets mathematiques dis-tincts. Il existe un ensemble x contenant seulement x appele singletonde l’element x et un ensemble contenant x et y note x, y, appele pairede x et y.

Ensemble des parties d’un ensemble : Soit E un ensemble. Ilexiste un ensemble note P(E) dont les elements sont les sous-ensemblesde E. P(E) = A : A ⊂ E.

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Exemple : Si E = a, b, alors P(E) = ∅, a, b, E.

9. Operations sur les ensembles :

Soient E et F deux ensembles, on definit :

La reunion : de E et F , E ∪ F = x : x ∈ E ou x ∈ F (lire Eunion F ).

L’intersection : de E et F , E ∩F = x : x ∈ E et x ∈ F. (lire Einter F ).

Deux ensembles dont l’intersection est vide sont dits disjoints.

Proprietes 9.1.

Soient A,B,C trois ensembles, alors :

i - A ∪ A = A, A ∪B = B ∪ A, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C).

ii - A ∩ A = A, A ∩B = B ∩ A, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C).

iii - A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

Difference de deux ensembles E et F , E\F = x ∈ E : x /∈ F.(lire E moins F ).

Si A ⊂ E, on definit le complementaire de A dans E par A ouAc ou CA

E , A = E\A. On a : E\F = E ∩ F .

Proprietes 9.2. (Lois de De Morgan)

Soient A et B deux parties d’un ensemble E, alors :

i - A ∪B = A ∩B.

ii - A ∩B = A ∪B.

Difference symetrique de deux ensembles E et F , E∆F =(E\F ) ∪ (F\E). On a : E∆F = (E ∪ F )\(E ∩ F ).

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CHAPITRE 2

Correspondances et Applications

1. Couples et produit cartesien

On appelle couple forme par deux elements x et y l’expression (x, y)telle que (x, y) = (x′, y′) ⇔ x = x′ et y = y′.

x est la premiere composante ou premiere projection du couple.

y est la deuxieme composante ou deuxieme projection du couple.

Soient E et F deux ensembles. Le produit cartesien E × F estl’ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F .

Si E = F , E × E est note parfois E2.

On definit de meme les triplets (x, y, z), les quadriplets (x, y, z, t),et plus generalement les n-uplets (x1, x2 . . . , xn). Ainsi que les pro-duits cartesiens E × F × G, E × F × G × H, et plus generalementE1 × E2 × . . . En.

2. Correspondance

On appelle correspondance, la donnee d’un triplet φ = (E, F,G)ou E et F sont deux ensembles et G une partie de E × F .

E est appele l’ensemble de depart de φ, F est l’ensemble d’ar-rivee. G est le graphe de φ.

Si (x, y) ∈ G, y est une image de x par φ, x est un antecedent dey par φ.

Exemple : E = 0, 1, 2, 3, F = a, b, c, G = (0, b), (0, c), (2, a),(3, a).

Le domaine de definition de φ est l’ensemble Dφ = x ∈ E :∃y ∈ F, (x, y) ∈ G.

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On appelle fonction une correspondance dans laquelle tout elementde l’ensemble de depart possede au plus une image.

Exemple : Soit E = F = R, G = (x2, | x |) ∈ R2. Alors G est legraphe d’une fonction. Son domaine de definition est R+.

3. Applications

Une application f : E → F est une correspondance (E, F,G) telleque ∀x ∈ E, ∃!y ∈ F : (x, y) ∈ G. i.e. tout element de E possede une etune seule image.

On note FE ou F(E,F ) l’ensemble de toutes les applications de Edans F .

Une application est completement definie par son ensemble de depart,son ensemble d’arrivee et l’image de chaque element de l’ensemble dedepart. Ainsi deux applications f et g sont egales si elles ont memeensemble de depart, meme ensemble d’arrivee et pour tout element xdans l’ensemble de depart on a f(x) = g(x).

Exemple : on a une application f : R→ R, definie par :

f(x) =

2x2 − 3x + 1 si x ≤ 1

1|x−1| , sinon.

Soit E ⊂ F . L’application ı : E → F , definie par ı(x) = x, s’ap-pelle l’injection canonique de E dans F . Si E = F , l’applicationIE : E → E, IE(x) = x, notee aussi IdE, est appelee l’applicationidentique de E ou identite de E.

Soit f : E → F une application. A ⊂ E. L’application f|A : A → F ,definie par f|A(x) = f(x)∀x ∈ A, est appelee la restriction de f , aA. On dit aussi que f est un prolongement de f|A.

Tres souvent, par abus de notation, une application et sa restric-tion sont designees par le meme symbole. Ainsi, l’application x 7→ sin x,designe aussi bien l’application sinus R→ R, que cette application de[0, 2π] dans R.

Composee de deux applications : Soient f : E → F , g : F → G,la composee de g et de f est l’application g f : E → G, definie par

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g f(x) = g(f(x)).

Exemple : Soient f, g : R→ R, definies par f(x) = x2 et g(x) = x+1∀x ∈ R. On a g f(x) = x2 + 1, f g(x) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.Noter que f g 6= g f .

Proposition 3.1. Soit f : E → F une application f IE = f etIF f = f .

Soient f : E → F , g : F → G, h : G → H, trois applications : ona : (h g) f = h (g f).

- Soit f : E → F une application, A une partie de E, B une partiede F .

- On appelle image directe de A par f l’ensemble f(A) = y ∈F : ∃x ∈ E, y = f(x).

- On appelle image reciproque de B par f l’ensemble f−1(B) =x ∈ E : f(x) ∈ B.

Exemple : Soit f : R→ R definie par f(x) = x2. On a f(R) = R+,f−1(4) = 2,−2, f−1(−1) = ∅.

4. Injection, surjection, bijection

- Soit f : E → F une application :

f est dite injective si ∀x, x′ ∈ E, f(x) = f(x′) ⇒ x = x′. i.e. toutelement de F admet au plus un antecedent.

On dit que f est une injection de E dans F .

f est dite surjective, si tout y ∈ F admet un antecedent dans E.

On dit que f est une surjection de E sur F .

f est dite bijective, si tout element de F possede un et un seulantecedent.

f est bijective, si et seulement si, elle est injective et surjective.

Exemples :

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1 - L’application N→ N, n 7→ n+1, est injective non surjective. (0n’a pas d’antecedent).

2 - L’application f : N → N, definie par f(0) = 0 et f(n) = n− 1,si n ≥ 1, est surjective non injective.

Theoreme 4.1. Soit f : E → F une application :

1 - f est bijective ⇔ il existe une application g : F → E telle queg f = IE et f g = IF .

Lorsque c’est le cas, l’application g est unique on la note gf−1, onl’appelle l’application reciproque de f . De plus, f−1 est bijective et(f−1)−1 = f .

2 - Soient f : E → F et g : F → G deux bijections, alors g f estbijective et (g f)−1 = f−1 g−1.

Exemple : L’application f : R+ → R+, f(x) = x2 est bijective. Sabijection reciproque est x 7→ √

x.

5. Famille d’elements.

Soit E un ensemble. On appelle famille d’elements de E indexeepar un ensemble I, toute application I → E ; i 7→ xi. On note la famillepar (xi)i∈I , ou xi ∈ E. I est appele l’ensemble d’indices.

Cas particulier : lorsqu’on prend I = N, ou une partie de N, unefamille d’elements de E est alors appelee une suite d’elements de E.Par exemple : x0, x1, . . . , xn, . . ..

Soit (Ai)ı∈I une famille de parties d’un ensemble E, i.e. Ai ⊂E, ∀i ∈ I.

On appelle reunion de la famille, l’ensemble ∪ı∈IAi = x ∈ E : ∃i ∈I, x ∈ Ai.

Cas particulier, si I = 1, 2, ∪ı∈IAi = x ∈ E : x ∈ A1 ou x ∈A2 = A1 ∪ A2.

Exemple : ∪n∈N]− n, n[= R.

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On appelle intersection de la famille, l’ensemble ∩ı∈IAi=x ∈ E :∀i ∈ I, x ∈ Ai.

Cas particulier, si I = 1, 2, ∩ı∈IAi = x ∈ E : x ∈ A1 et x ∈A2 = A1 ∩ A2.

Exemple : ∩n∈N∗ [− 1n, 1

n] = 0.

6. Relations binaires sur un ensemble

Une relation binaire R sur E est la donnee d’une correspondance(E, E,G). On note xRy, pour signifier que (x, y) ∈ G.

Exemple 6.1. Relation de divisibilite

Dans Z on definit la relation de divisibilite notee | par : ∀x, y ∈ Z,x | y ⇔ ∃k ∈ Z : y = kx.

Definition : Soit E un ensemble muni d’une relation binaire R.

R est dite reflexive si ∀x ∈ E on a : xRx.

R est dite symetrique si ∀x, y ∈ E on a : xRy ⇒ yRx.

R est dite antisymetrique si ∀x, y ∈ E on a : xRy et yRx⇒x = y.

R est dite transitive si ∀x, y, z ∈ E, xRy et yRz ⇒ xRz.

7. Relation d’equivalence

R est dite une relation d’equivalence si elle est reflexive, symetriqueet transitive.

Soit (E,R) un ensemble muni d’une relation d’equivalence R. Pourx ∈ E, on appelle classe de x modulo R l’ensemble x = y ∈ E :yRx. Notons que x = y ⇔ xRy.

Exemple 7.1.

1 - Dans un ensemble non vide E, la relation d’egalite x = y, estune relation d’equivalence.

2 - Soit n ∈ N. Dans Z, on definit la relation xRy ⇔ n|x − y,qu’on note encore x ≡ y (mod n). On l’appelle relation d’equivalencemodulo n. C’est une relation d’equivalence. Pour tout k ∈ Z, on a

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k = k + nZ = k + nZ.

3 - Soit f : E → F une application. La relation xRy ⇔ f(x) = f(y)est une relation d’equivalence.

Proposition 7.1. Deux classes d’equivalences sont ou bien dis-jointes ou bien confondues.

Preuve. SoitR une relation d’equivalence. Supposons que x∩y 6= ∅.Soit z ∈ x ∩ y, on a z ∈ x donc xRz et z ∈ y, donc zRy. Il en resulteque xRy, d’ou x = y.

L’ensemble quotient de E par R est l’ensemble note E/R desclasses d’equivalences modulo R. C’est une partition de E : les classessont non vides, deux a deux disjointes et leur reunion est E.

L’application π : E → E/R, x 7→ x est une surjection appelee sur-jection canonique.

Exemple 7.2.

L’ensemble quotient de Z par la relation de congruence modulon, est note Z/nZ. En utilisant la division euclidienne, on montre queZ/nZ = 0, 1, . . . , n− 1

Theoreme 7.2. (Decomposition canonique d’une application). SoitE un ensemble muni d’une relation d’equivalence R, F un ensemble etf : E → F une application. Les assertions suivantes sont equivalentes :

(i) Il existe une application f : E/R → F telle que f = f π, ouπ : E → E/R est la surjection canonique.

(ii) ∀x, y ∈ E, xRy ⇒ f(x) = f(y).

De plus, lorsqu’elle existe, f est unique.

On interprete ce theoreme en disant qu’il existe une applicationf : E/R→ F unique telle que le diagramme suivant soit commutatif.

E - F

6

E/R

@@

@@Rπ

f

f

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8. Relation d’ordre

Une relation binaire ≺ sur E est dite relation d’ordre si elle estreflexive, antisymetrique et transitive. Le couple (E,≺) est dit ensembleordonne.

Deux elements x et y sont dits comparables, si x ≺ y ou x ≺ y.Un ordre est dit total si deux elements quelcoques sont comparables.

Un ordre qui n’est pas total est dit partiel.

Soit (E,≺) un ensemble ordonne. On appelle chaıne de E, toutepartie de E totalement ordonnee.

Exemple 8.1.

1 - Dans R, les relations x ≤ y et x ≥ y, sont des relations d’ordretotal.

2 - Dans N, la relation x divise y (x | y), est une relation d’ordrepartiel.

3 - Soit E un ensemble. La relation d’inclusion ⊂ dans P(E) estune relation d’ordre. Si E contient au mois deux elements, cet ordreest partiel.

Soit A une partie d’un ensemble ordonne (E,≺). Un element M(resp. m) est dit majorant (resp. minorant ) de A si ∀x ∈ A, on ax ≺ M (resp. m ≺ x).

Lorsqu’un majorant (resp. un minorant) appartient a A (ce qui n’estpas toujours le cas ), on dit que c’est le plus grand element de A (resp.plus petit element de A.

Exemple 8.2.

Dans (R,≤), l’intervalle [0, 1[ possede un plus petit element quiest 0. Tout reel superieur a 1 est un majorant de [0, 1[, mais [0, 1[ nepossede pas de plus grand element.

19

CHAPITRE 3

Ensembles finis et cardinaux

1. Ensemble N

Theoreme 1.1. Toute partie non vide de (N,≤) possede un pluspetit element.

Preuve. Soit A une partie non vide de N. Notons E l’ensemble detous les minorants de A. E n’est pas vide car 0 ∈ E. Montrons qu’ilexiste n0 ∈ E tel que n0 + 1 /∈ E. Sinon, ∀n ∈ E, on a n + 1 ∈ E. Ceciimpliquerait que E = N. Ce qui est absurde. Soit alors n0 ∈ E tel quen0 + 1 /∈ E. Montrons que n0 ∈ A. Sinon, n0 < x, ∀x ∈ A, entraınantn0 + 1 ≤ x∀x ∈ A, c’est a dire n0 + 1 ∈ E, c’est une contradiction.Par suite, n0 ∈ A. Comme n0 est un minorant de A, c’est le plus petitelement de A.

Theoreme 1.2. (Division euclidienne dans N). Soient a, b ∈ N,avec b 6= 0. Alors il existe q, r ∈ N, uniques tels que a = bq + r et0 ≤ r < b.

q et r sont appeles respectivement quotient et reste de la divisioneuclidienne de a par b.

Preuve. Soit E = a− bs ∈ N : s ∈ N, E 6= ∅, il suffit de prendres = 0. Donc E possede un plus petit element r. Montrons que r < b.Sinon, a− b(q + 1) = a− bq− b = r− b. Donc a− b(q + 1) ∈ E, ce quicontredit la minimalite de r.

Unicite : Supposons que a = bq + r = bq′ + r′ et 0 ≤ r, r′ < b . Sup-posons que r 6= r′. On peut supposer que r < r′, alors b(q−q′) = r′−r.Donc b | r′−r, ce qui est absurde, car r′−r ≤ r′. Donc r = r′ et q = q′.

Exemple : Le quotient et le reste de la division euclidienne de 17par 5 sont 3 et 2, car 17 = 5 · 3 + 2.

Proposition 1.3. Toute partie majoree non vide de N possede unplus grand element.

21

Preuve. Soit E une partie majoree non vide de N. Considerons l’en-semble F ⊂ N des majorants de E. Alors F possede un plus petitelement m. Montrons que m ∈ E. Sinon, ∀n ∈ E, n < m. Il en resulteque m− 1 est un majorant de E, une contradiction. Donc m ∈ E.

2. Ensembles equipotents

Deux ensembles E et F sont dits equipotents, E eq F , s’il existeune bijection E → F .

On a :

i - E eq E.

ii - si E eq F alors F eq E.

iii - si E eq F et F eq G alors E eq G.

3. Ensembles finis

Un ensemble E est dit fini s’il existe n ∈ N, tel que E soit equipotenta 1, . . . , n. L’entier n est alors unique et il est appele cardinal de Eou le nombre d’elements de E. On le note card(E).

L’ensemble vide est fini et son cardinal est egal a zero.

Un ensemble fini E de cardinal n, peut s’ecrire E = x1, x2, . . . , xn.

Un ensemble qui n’est pas fini est dit infini.

L’ensemble N est infini.

Proposition 3.1. Soit E un ensemble, alors les assertions sui-vantes sont equivalentes :

(i) E est fini.

(ii) Il existe n ∈ N, et une surjection 1, . . . , n → E.

(iii) Il existe n ∈ N, et une injection E → 1, . . . , n.

Proposition 3.2. Soient E et F deux ensembles tels que E soitfini et f : E → F une application. Alors :

22

1 - f(E) est fini et cardf(E) ≤ cardE.

2 - cardf(E) = cardE ⇔ f est injective.

3 - Si E et F sont finis et cardE = cardF , alors les assertionssuivantes sont equivalentes :

(i) f est injective.

(ii) f est surjective.

(iii) f est bijective.

Proposition 3.3. Soient E et F deux ensembles finis. Alors lesensembles E ∪ F , E × F , FE, P(E) sont finis et :

card(E ∪ F ) = cardE + cardF − card(E ∩ F ).

cardE × F = cardE.cardF .

cardFE = (cardF )cardE.

cardP(E) = 2cardE.

4. Arrangements et combinaisons

Definition. Soit E un ensemble fini de cardinal n et p un entiernon nul. On appelle p-arrangement tout injection de 1, 2, . . . , p.

Proposition 4.1. Le nombre de p-arrangements dans un ensemblede cardinal n est egal a

Apn =

n!

(n− p)!

Si n = p, alors tout p-arrangement est une bijections, on dit alorsque c’est une permutation.

Corollaire 4.2. Le nombre de permutations d’un de cardinal nest egal a n!.

Definition. Soit E un ensemble fini de cardinal n et p un entiernon nul. On appelle p-combinaison toute partie de E de cardinal p.

23

Proposition 4.3. Le nombre de p-combinaisons dans un ensemblede cardinal n est egal a

Cpn =

n!

p!(n− p)!

24

CHAPITRE 4

Lois de composition interne

1. Generalites sur les lois de composition interne

Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne, enabrege l.c.i, sur E, toute application E × E → E ; (x, y) 7→ x ∗ y.

On note (E, ∗), l’ensemble E muni de ∗. L’element x ∗ y est appelele compose de x par y.

Certains symboles speciaux sont utilises pour les lois de composi-tion internes par exemple : ∗ (etoile), + (plus), · (point),> (Te), ⊥(Truc), etc..

Exemple 1.1.

1 - Sur l’ensemble des entiers naturels N, on a les lois +, addition ;et ×, la multiplication. La soustraction n’est pas une l.c.i.

2 - Sur P(X), ensemble des parties d’un ensemble X, on a lesoperations : intersection (A,B) 7→ A ∩ B, reunion (A,B) 7→ A ∪ B,difference (A,B) 7→ A\B, qui definissent des l.c.i .

3 - Soit X un ensemble, dans l’ensemble des applications de X danslui-meme, F(X, X), la composition des applications ′′′′ est une loi decomposition interne.

Lorsque l’ensemble E est fini, E = x1, . . . , xn, on peut dresser latable de la loi ∗. C’est un tableau carre de la forme suivante :

Â∗ x1 . . . xj . . . xn

x1 x1 ∗ x1 . . . x1 ∗ xj . . . x1 ∗ xn...xi xi ∗ x1 . . . xi ∗ xj . . . xi ∗ xn...

xn xn ∗ x1 . . . xn ∗ xj . . . xn ∗ xn

25

Exemple 1.2.

On considere la loi ∗ sur E = a, b, c definie par la table :

Â∗ a b ca b b ab a a bc b b c

Definition. Soit E un ensemble muni d’une loi ∗. Une partie A deE est dite stable par ∗ si ∀x, y ∈ A on a : x∗y ∈ A. On peut alors mu-nir A de la restriction de la loi ∗ sur A. C’est la loi induite par ∗ sur A.

Exemple 1.3.

1 - L’ensemble des entiers pairs est stable dans (N, +).

2 - L’ensemble des nombres entiers impairs n’est pas stable dans(N, +).

2. Associativite.

Soit E un ensemble muni d’une l.c.i.∗ . On dit que la loi ∗ est as-sociative, si ∀x, y, z ∈ E, on a (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

Exemple 2.1.

l’addition et la multiplication sont associatives dans N,Z,Q,R,C.

Exemple 2.2.

L’intersection, la reunion, la difference symetrique ∆, sont associa-tives dans P(X).

Exemple 2.3.

La loi est associative dans F(X,X).

Exemple 2.4.

La soustraction n’est pas associative dans Z.

26

3. Commutativite.

Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i. On dit que ∗ est commu-tative, si ∀x, y ∈ E, on a x ∗ y = y ∗ x.

Exemple 3.1.

l’addition et la multiplication sont commutatives dans N,Z,Q,R,C.

Exemple 3.2.

L’intersection, la reunion, la difference symetrique ∆, sont commu-tatives dans P(X).

Exemple 3.3.

Si X contient au mois deux elements, la loi n’est pas commutativedans F(X, X).

Exemple 3.4.

La soustraction n’est pas commutative dans Z.

4. Element neutre

Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i. On dit que e est un elementneutre pour ∗, si ∀x ∈ E, on a x ∗ e = e ∗ x = x.

Proposition 4.1. Toute loi de composition interne possede au plusun element neutre.

Preuve. Soient e et e′ deux elements neutres de (E, ∗). Alors e∗e′ =e = e′.

Exemple 4.1.

0 est l’element neutre de + dans N,Z,Q,R,C.

Exemple 4.2.

1 est l’element neutre de × dans N,Z,Q,R,C.

Exemple 4.3.

27

Dans P(X), ∅ est l’element neutre de la reunion et de la differencesymetrique. X est l’element neutre de l’intersection.

Exemple 4.4.

L’application identique IX est l’element neutre de (F(X, X), ).

Exemple 4.5.

La soustraction dans Z, ne possede pas d’element neutre.

5. Elements reguliers.

Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i. ∗. Un element a ∈ E estdit regulier ou simplifiable a gauche (resp. a droite) si :

∀x, x′ ∈ E, a ∗ x = a ∗ x′ (resp.x ∗ a = x′ ∗ a) ⇒ x = x′

a est dit regulier ou simplifiable, s’il est regulier a gauche et a droite.

Exemple 5.1.

Dans (N, +), tout element est regulier.

Exemple 5.2.

Dans (N,×), tout element non nul est regulier, mais 0 n’est pasregulier.

6. Elements symetrisables.

Soit ∗ une loi sur E possedant un element neutre e, un element xde E est dit symetrisable ou inversible a gauche (resp. a droite), s’ilexiste x′ ∈ E tel que x′ ∗ x = e (resp. x ∗ x′ = e).

x′ est appele alors un inverse ou un symetrique a gauche (resp. adroite) de x .

x est dit symetrisable ou inversible , s’il l’est a gauche et a droite.

Exemple 6.1.

Les elements symetrisables de (Z,×) sont 1 et −1.

28

7. Morphismes

Soient E et F deux ensembles munis respectivement de deux lois∗ et ⊥. On appelle morphisme ou homomorphisme de (E, ∗) dans(F,⊥), toute application f : E → F telle que ∀x, y ∈ E on a :f(x ∗ y) = f(x) ⊥ f(y).

Un isomorphisme est un morphisme bijectif.

Un endomorphisme de (E, ∗) est un morphisme (E, ∗) → (E, ∗).Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

Exemple 7.1.

L’application (N, +) → (N,×), n 7→ 2n est un morphisme.

Proposition 7.1. Le compose de deux morphismes est un mor-phisme. La reciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.

Lorsqu’il existe un isomorphisme entre (E, ∗) et (F,⊥), on dit que(E, ∗) est isomorphe a (F,⊥) qu’on note (E, ∗) ∼= (F,⊥). Les deux loisont alors les memes proprietes.

8. Loi quotient

Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une loi ∗. Une relation d’equivalenceR sur E est dite compatible avec ∗, si ∀x, y, x′, y′ ∈ E, xRy et x′Ry′

⇒ x ∗ x′Ry ∗ y′.

Exemple 8.1.

La relation xRy ⇔ n | y − x est une relation d’equivalence compa-tible avec la loi + et × dans Z.

Theoreme 8.1. Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une loi ∗ et R unerelation d’equivalence sur E compatible avec ∗. Sur l’ensemble quotientE/R, on definit une loi ∗ par ∀x, y ∈ E/R, x∗ y = x ∗ y. De sorte que,la surjection canonique π : (E, ∗) → (E/R, ∗), soit un morphisme.La loi ∗ est appelee la loi quotient de ∗ par R.

Exemple 8.2.

Soit n ∈ N. La relation x ≡ y, (mod n) est compatible avec + et×, ce qui permet de definir, par passage au quotient, des lois + et ×

29

sur Z/n.Z.

∀x, y ∈ Z/n.Z, on a : x + y = x + y, et x · y = x · y

Proposition 8.2. Soit E un ensemble muni d’une loi ∗ et ∗ uneloi quotient par une relation d’equivalence R.

Si ∗ est associative ou commutative, il en est de meme de ∗.

Si ∗ possede un element neutre e, alors e est l’element neutre de ∗.

Si x possede un symetrique y a gauche (resp. a droite), alors y estun symetrique a gauche (resp. a droite) de x.

Theoreme 8.3. (Decomposition canonique d’un morphisme) SoitE un ensemble muni d’une loi ∗ et d’une relation d’equivalence R com-patible avec cette loi. F un ensemble muni d’une loi ⊥ et f : E → Fun morphisme telle que ∀x, y ∈ E, xRy ⇒ f(x) = f(y). Alors il existeun morphisme f : E/R→ F unique telle que f = f π.

9. Monoıdes

On appelle monoıde, un couple (E, ∗) ou E est un ensemble munid’une l.c.i. ∗ associative et possedant un element neutre e.

Si de plus la loi ∗ est commutative, le monoıde est dit commutatif.

Exemple 9.1.

1 - N muni de l’addition est un monoıde dont l’element neutre est 0.

2 - N muni de la multiplication est un monoıde d’element neutre 1.

3 - Soit E un ensemble alors (P(E),∪) est un monoıde dont l’elementneutre est Ø et (P(E),∩) est un monoıde dont l’element neutre est E.

4 - Soit X un ensemble. L’ensemble F(X,X) des applications f :X → X muni de la composition des applications est un monoıde dontl’element neutre est IX , l’application identique de X.

Exemple 9.2. (Exemple important)

Dans Z/n.Z, on definit les lois + et × par : ∀x, y ∈ Z/n.Z, on pose :

30

x + y = x + y et x.y = x.y

Ces expressions ne dependent pas de x et y, mais seulement de leursclasses d’equivalences, et on a :

1 - (Z/n.Z, +) est un monoıde commutatif dans lequel tout elementest symetrisable.

2 - (Z/n.Z,×) est un monoıde commutatif.

Proposition 9.1. Dans un monoıde tout element symetrisable agauche (resp. a droite) est regulier a gauche (resp. a droite).

Proposition 9.2. Soit (E, ∗) un monoıde.

1 - Si x est symetrisable, alors il possede un seul symetrique notex−1.

De plus x−1 est symetrisable et (x−1)−1 = x.

2 - Si x, y sont deux elements symetrisables, alors x∗y est symetrisableet (x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1.

Notation additive et notation multiplicative.Tres souvent on utilise, pour les monoıdes, deux types de notations :

- la notation multiplicative, qui est la plus generale, la loi de com-position est notee ·, le compose de x et y est note xy, l’element neutree ou 1, l’inverse de x est note x−1.

- la notation additive + en general reservee au cas commutatif. Lacomposee de x et y est notee x + y, l’element neutre est note 0, lesymetrique de x est note −x, on l’appelle aussi l’oppose de x.

Remarque. Souvent, par abus de langage et de notation, et lors-qu’il n’y a pas de confusion sur la loi, on notera E le monoıde (E, ·).

Definition. Soit E un monoıde d’element neutre e. Pour x1, x2, . . . , xn ∈E on note le compose de ces elements

∏ni=1 xi = x1.x2 . . . xn. Dans le

cas d’une loi additive +,∑n

i=1 xi = x1 + x2 + · · ·+ xn.

Puissance d’un element Soit E un monoıde d’element neutre e.Pour x ∈ E on definit les puissances de x par recurrence de la maniere

31

suivante. x0 = e, xn+1 = xnx.

En notation additive xn est note nx.

Proposition 9.3. Soit E un monoıde. Pour tous x, y ∈ E etn,m ∈ N, on a :

1 - xn+m = xnxm.

2 - xnm = (xn)m.

3 - Si xy = yx, on a : (xy)n = xnyn.

4 - Si x est symetrisable de symetrique x−1, alors xn est symetrisablede symetrique (x−1)n.

32

CHAPITRE 5

Structure de groupe

1. Definitions et Proprietes generales

Un groupe est un monoıde dans lequel tout element est symetrisable.

Lorsque la loi du groupe est commutative, on dit que le groupe Gest commutatif ou abelien.

Un groupe G est dit fini, si l’ensemble sous-jacent est un ensemblefini. Le cardinal de G est appele ordre de G il est note o(G) ou |G|.

Exemple 1.1.

1 - (Z, +) est un groupe abelien infini. On l’appelle le groupe Z.

2 - (Q, +), (R, +), (C, +) sont des groupes abeliens.

3 - (Q∗,×), (R∗,×), (C∗,×) sont des groupes abeliens.

4 - (Z∗,×), n’est pas un groupe.

5 - (Z/n.Z, +) est un groupe abelien fini.

Proposition 1.1. Dans un groupe tout element est regulier.

Proposition 1.2. Soit (E, ·) un monoıde d’element neutre e. Onnote U(E) l’ensemble des elements inversibles de E. Alors (U(E), ·)est un groupe.

Exemple 1.2.

1 - (Groupe des bijections d’un ensemble). Soit X est un ensemble,l’ensemble des bijections de X dans lui-meme muni de la loi estun groupe, on le note B(X). Si X contient au moins deux elements,B(X) n’est pas commutatif. De plus, si X est fini de cardinal n, alorso(B(X)) = n!.

33

2 - Lorsque X = 1, 2, . . . , n, ce groupe est note Sn. On l’appellele groupe symetrique de degre n. Ses elements sont appeles les per-mutations a n elements. Son ordre est egal a n!.

Toute permutation σ ∈ Sn sera notee :

σ =

(1 2 . . . i . . . n

σ(1) σ(2) . . . σ(i) . . . σ(n)

)

Exemple 1.3.

σ =

(1 2 3 4 5 62 5 6 1 4 3

)∈ S6.

S3 est un groupe fini d’ordre 6 comprenant :

I = ( 1 2 31 2 3 ), r1 = ( 1 2 3

2 3 1 ), r2 = ( 1 2 33 1 2 ), s1 = ( 1 2 3

1 3 2 ) , s2 = ( 1 2 33 2 1 ) , s3 =

( 1 2 32 1 3 ).

La table de ce groupe est de la forme :

 I r1 r2 s1 s2 s3

I I r1 r2 s1 s2 s3

r1 r1 r2 I s3 s1 s2

r2 r2 I r1 s2 s3 s1

s1 s1 s2 s3 I r1 r2

s2 s2 s3 s1 r2 I r1

s3 s3 s1 s2 r1 r2 I

2. Sous-groupes

Definition : Soit G un groupe, H un sous-ensemble de G , H 6= Ø.On dit que H est un sous-groupe de G, lorsque H est une partiestable de G, qui verifie les axiomes d’un groupe pour la l.c.i. induitepar celle de G.

Proposition 2.1. Soient G un groupe et H ⊂ G. Les assertionssuivantes sont equivalentes :

1 - H est un sous groupe de G.

2 - H 6= Ø, ∀(a, b) ∈ H2, ab ∈ H et ∀a ∈ H, a−1 ∈ H.

3 - H 6= Ø et ∀(a, b) ∈ H2, ab−1 ∈ H.

34

Remarque :

1 - Si H est un sous-groupe de G, alors H admet le meme elementneutre que G.

2 - Tres souvent, pour montrer qu’un ensemble muni d’une loi estun groupe, on montre que c’est un sous-groupe d’un groupe donne.

Exemple 2.1.

1 - Soit G un groupe d’element neutre e, alors e et G sont deuxsous-groupes de G dits triviaux.

2 - Soit n ∈ N. L’ensemble nZ = n.k ∈ Z : k ∈ Z, est un sous-groupe de Z.

3 - Z est un sous-groupe de (R, +).

4 - N n’est pas un sous-groupe de Z.

Proposition 2.2. Soit (G, ·) un groupe et (Hi)i∈I une famille desous-groupes de G. Alors ∩i∈IHi est un sous-groupe de G.

Notons que la reunion de deux sous-groupes n’est pas necessairementun sous-groupe.

Theoreme 2.3. Soit H un sous-ensemble de Z. Alors H est unsous-groupe de Z, si et seulement si, il existe n ∈ N : H = nZ

3. Morphismes de groupes

Definition (Rappel) Soient G,G′ deux groupes et f : G → G′ uneapplication. On dit que f est un morphisme de groupes si ∀x, y ∈ Gon a f(xy) = f(x)f(y).

Un groupe G est dit isomorphe a un groupe G′, s’il existe un iso-morphisme G → G′. On note alors G ∼= G′.

Exemple 3.1.

1 - Soient G, G′deux groupes d’elements neutres respectivement e

et e′. On peut toujours definir un morphisme dit trivial θ de G dans

G′ par θ(x) = e′, ∀x ∈ G.

35

2 - Soit G un groupe. L’application identique IG : G → G est unendomorphisme de G. Si H est un sous groupe de G, l’injection cano-nique i : H → G, i(x) = x est un morphisme de groupes.

3 - Soit G un groupe, g ∈ G. L’application φg : Z→ G, definie parφg(n) = gn (si n < 0, gn = (g−n)−1), est un morphisme de groupes.

4 - L’application exponentielle exp : (R, +) → (R∗+,×). est un iso-morphisme, dont l’isomorphisme inverse est le logarithme naturel. Ainsion a (R, +) ∼= (R∗+,×).

Proposition 3.1. Soient G, G′deux groupes d’elements neutres

respectivement e et e′et f un morphisme de G dans G′. Alors,

1 - f(e) = e′.

2 - f(x−1) = (f(x))−1, ∀x ∈ G.

3 - L’image d’un sous-groupe de G est un sous-groupe de G′. Enparticulier, f(G) est note Imf , c’est l’image de f .

4 - L’image reciproque d’un sous-groupe de G′ est un sous-groupede G. En particulier f−1(e′) = x ∈ G : f(x) = e′ est appele lenoyau de f et on le note Kerf .

Proposition 3.2. Soient G, G′deux groupes d’elements neutres

respectivement e et e′et f un morphisme de G dans G′. Alors,

f est surjective ⇔ Imf = G′

f est injective ⇔ Kerf = e

4. Groupe produit

Definition. Soient G1, . . . , Gn une famille finie de groupes. On ap-pelle loi produit, la loi definie sur l’ensemble G = G1×G2×. . .×Gn par :

(x1, x2, . . . , xn)(y1, y2, . . . , yn) = (x1y1, x2y2, . . . , xnyn)

Theoreme 4.1. Soient G1, . . . , Gn une famille finie de groupes.Muni de la loi produit , G = G1 ×G2 × . . .×Gn est un groupe appeleproduit direct de la famille G1, . . . , Gn.

36

- Si chaque groupe Gi est abelien, alors leur produit est aussi abelien.

Dans Rn, la loi + definie par

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

munit Rn une structure de groupe.

37

CHAPITRE 6

Structure d’anneau

1. Definitions generales et exemples

Definition. Un anneau est un triplet (A, +, ·) constitue d’un en-semble A muni de deux lois : une addition + et une multiplication ·telles que :

- (A, +) soit un groupe abelien d’element neutre note 0.

- (A, ·) est un monoıde d’element neutre note 1 appele unite de A .

- La multiplication est distributive par rapport a l’addition, i.e.∀x, y, z ∈ A on a : x(y + z) = xy + xz et (y + z)x = yz + zx.

L’anneau est dit commutatif quand sa multiplication est comuta-tive.

Exemple 1.1.

1 - Z; Q; R; C munis de l’addition et de la multiplication usuellessont des anneaux commutatifs.

2 - (Z/nZ, +, ·) est un anneau commutatif fini.

3 - Anneau fonctionnel : Soit I un ensemble et A un anneau. Onnote F(I, A), l’ensemble des applications de I dans A que l’on munitdes lois + et . par : ∀f, g ∈ F(I, A), ∀i ∈ I

f + g(i) = f(i) + g(i) et fg(i) = f(i)g(i).

(F(I, A), +, ·) est un anneau.

4 - Anneau des matrices. Soit M2(R) = ( a bc d ) : a, b, c, d ∈ R,

sur lequel on definit les lois + et · par :

(a bc d

)+

(a′ b′

c′ d′

)=

(a + a′ b + b′

c + c′ d + d′

)

39

(a bc d

).

(a′ b′

c′ d′

)=

(aa′ + bc′ ab′ + bd′

ca′ + dc′ cb′ + dd′

)

Alors (M2(R), +, ·) est un anneau non commutatif.

L’element neutre de l’addition est la matrice nulle 0 = ( 0 00 0 ). L’element

neutre de la multiplication est la matrice identique I = ( 1 00 1 ).

Proposition 1.1. Soit A un anneau.

1 - ∀a ∈ A, on a 0.a = a.0 = 0.

2 - Si a ∈ A on note −a l’oppose (pour la loi +) de a. On a :

(−a) · b = a.(−b) = −ab et (−a) · (−b) = ab.

3 - Si ab = ba, alors ∀n ∈ N, on a :

(a + b)n =∑n

k=0 Cknakbn−k ou Ck

n = n!k!(n−k)!

et

an − bn = (a− b)(∑n−1

k=0 akbn−1−k)

En particulier, 1− bn = (1− b)(1 + b + b2 + . . . + bn−1).

Definition. Un anneau A 6= 0 commutatif est dit integre si∀x, y ∈ A, on a xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0.

1 - (Z, +, ·) est un anneau integre.

2 - (Z/4Z, +, ·) n’est pas integre car 2.2 = 4 = 0, mais 2 6= 0.

Definition. Soit A un anneau. Un element a ∈ A est dit inversiblea gauche ou a droite s’il l’est dans le monoıde (A, ·). L’ensemble deselements inversibles de A est note U(A) c’est un groupe pour la multi-plication.

2. Sous-anneaux et morphismes

Definition. Soit A anneau et B une partie de A. On dit que B estun sous anneau lorsque B 6= Ø, stable par + et · et (B, +, ·) est unanneau d’element neutre 1A.

40

Proposition 2.1. Soit A un anneau, B ⊂ A. Alors B est un sous-anneau de A, si et seulement si, 1A ∈ B, ∀x, y ∈ B on a : x − y ∈ Bet xy ∈ B.

Exemple 2.1.

1 - Z est un sous-anneau de R.

2 - 0, 2, 4 ⊂ Z/6.Z est stable par par les lois de Z/6.Z. De plusc’est un anneau d’unite 4 pour ces lois, mais ce n’est pas un sous-anneaude Z/6.Z au sens de la definition adoptee.

Definition. Soient A et B deux anneaux. Un morphisme d’anneauxde A dans B est une application f de A dans B telle que, ∀x, y ∈ A ona :

1 - f(x + y) = f(x) + f(y).

2 - f(xy) = f(x)f(y).

3 - f(1A) = 1B.

Exemple 2.2.

1 - Si B est un sous-anneau de A, l’inclusion i : B → A est mor-phisme d’anneaux.

2 - Soit A un anneau. L’application Z→ A ; n 7→ n1A est un mor-phisme d’anneaux.

3. Corps, corps de fractions d’un anneau integre.

Definition. Un corps est un anneau (K, +, ·) tel que K 6= 0et dans lequel tout element non nul est inversible (i.e. (K∗, ·) est ungroupe).

Proposition 3.1. Tout corps commutatif est un anneau integre.

Exemple 3.1.

1 - Q, R etC, sont des corps pour leurs operations usuelles + et ×.

2 - Z n’est pas un corps.

41

Theoreme 3.2. Soit n ∈ N, alors (Z/nZ, +, ·) est un corps, si etseulement si, n est un nombre premier.

Definition. Soit (K, +, ·) un corps. Un sous-corps est un sous-ensemble non vide F stable par les lois de K et qui est un corps pourles lois induites.

Proposition 3.3. Soit K un corps. F est un sous-corps de K, si etseulement si, 0, 1 ∈ F , et ∀x, y ∈ F , x−y ∈ F et pour y 6= 0, xy−1 ∈ F .

Exemple 3.2.

1 - Q est un sous-corps de R qui est un sous-corps de C.

2 - Q[√

2] = a + b√

2 ∈ R : a, b ∈ Q est un sous-corps de R.

Definition. Soit A un anneau integre. On appelle corps de fractionsde A, tout corps K tel qu’il existe un morphisme injectif i : A → Kverifiant ∀x ∈ K, ∃a, b ∈ A : b 6= 0 et x = i(a)i(b)−1

Theoreme 3.4. Tout anneau integre A possede un corps de frac-tions unique a un isomorphisme pres.

Construction. On considere l’ensemble A×A∗ sur lequel on definitune relation ∼ par (x, y) ∼ (z, t) ⇔ xt = yz. On montre que ∼ est unerelation d’equvalence. On note K l’ensemble quotient, ses elements, quisont les classes modulo ∼, sont notes x/y.

Sur K, on definit les lois + et · par :

x/y + z/t = (xt + yz)/yt et x/y · z/t = xz/yt.

Ces operations sont bien definies (ne dependent pas des representantsdes classes), (K, +, ·) est un corps commutatif et l’application i : A →K definie par i(x) = x/1 est un morphisme injectif d’anneaux quiverifie les conditions du theoreme precedent.

Exemple 3.3.

1 - Q est le corps de fractions de Z.

2 - Q[√

2] est le corps de fractions de Z[√

2].

42

CHAPITRE 7

Arithmetique de Z

1. Relation de divisibilite

(Rappel). Soient n,m ∈ Z, on dit que m divise n ou que m est undiviseur de n ou que n est un multiple de m, qu’on note m | n, s’ilexiste k ∈ N, tel que n = km.

l’entier k est alors note nm

, c’est le quotient de n par m.

On pose mZ = km ∈ Z, l’ensemble des multiples de m. On am | n ⇔ nZ ⊂ mZ.

Proprietes :

∀n ∈ Z, n|n.

∀n,m ∈ Z, n|m et m|n ⇒ m = ±n.

∀n,m, p ∈ Z, n|m et m|p ⇒ n|p.

∀n, a, b ∈ Z, si n|a et m|b alors n|a + b.

On note Dn, l’ensemble des diviseurs positifs de n.

Exemple : D12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12.

2. Division euclidienne

Theoreme 2.1. Soient a, b ∈ Z, avec b > 0. Alors il existe q, r ∈ Z,uniques tels que a = bq + r et 0 ≤ r < b.

q et r sont appeles respectivement quotient et reste de la divisioneuclidienne de a par b.

Exemple : Le quotient et le reste de la division euclidienne de -23par 6 sont - 4 et 1, car −23 = 6 · −4 + 1.

43

Remarquons que b | a ⇔ le reste de la division euclidienne de apar b est egal a 0.

3. Nombres premiers

Un nombre entier p est dit premier, s’il est different de ±1 et sesseuls diviseurs sont ±1 et ±p.

Exemple : 2, 3, 5, 7, ... sont premiers. 1, 9, 15 ne sont pas premiers.

Theoreme 3.1. Tout entier > 1 est divisible par un nombre pre-mier.

Preuve. Soit n > 1 et A l’ensemble des entiers > 1 qui divisent n.A est une partie non vide de N (n ∈ A), donc A possede un plus petitelement p. Montrons que p est premier. Soit d > 1 un diviseur de p. Ona d ≤ p. Or d | n. D’ou, par minimalite de p, d = p.

Theoreme 3.2. (Euclide) Il existe une infinite de nombres pre-miers.

Preuve. Soit p un nombre premier. Posons n = p! + 1. Alors n estdivisible par un nombre premier q. Montrons que q > p. Sinon, q ≤ p etq | p!, ce qui est absurde car q | p! + 1 Donc, pour tout nombre premierp, il existe un nombre premier q plus grand que p.

Commentaire : A l’heure actuelle, on connait tres peu de choses surla distribution des nombres premiers.

4. PGCD et PPCM

Soient m,n deux entiers. On appelle PGCD de m et n note m∧ n,le plus grand element de Dm ∩ Dn.

Exemple :D126 = 1, 2, 3, 6, 7, 18, 21, 42, 63, 126,D90 = 1, 2, 3, 5, 6, 15, 18, 45, 90.On a 126 ∧ 90 = 18.

On appelle PPCM de m et de n le plus petit multiple commun po-sitif a m et a n, qu’on note m ∨ n.

Exemple. Le PPCM de 12 et de 15 est 60.

44

Theoreme 4.1. Soient a, b deux entiers, d = a ∧ b et m = a ∨ b,alors : aZ+ bZ = dZ et aZ ∩ bZ = mZ.

Corollaire 4.2. Soient a, b deux entiers, d = a∧ b. Alors il existeu, v ∈ Z : ua + vb = d.

Definition. Deux entiers m, n sont dits premiers entre eux, sim ∧ n = 1.

Exemple : 6 et 35 sont premiers entre eux.

Si p est un nombre premier et n ∈ Z, alors ou bien p | n ou bienp ∧ n = 1.

Proposition 4.3. Soient a, b ∈ Z et d ∈ N. Alors d = a ∧ b, si etseulement si, d | a, d | b et a

det b

dsont premiers entre eux.

Theoreme 4.4. (Bezout) m et n sont premiers entre eux, si etseulement si, il existe α, β ∈ Z : αm + βn = 1.

Theoreme 4.5. (Gauss) Soient a, b, c tois entiers tels que a | bc eta ∧ b = 1. Alors a | c.

Corollaire 4.6. Soit p un nombre premier et a1, a2, . . . , an desentiers tels que p | a1 · a2 · . . . · an. Alors il existe i tel que p | ai.

Theoreme 4.7. Soient a1, a2, . . . , an des entiers premiers entre euxdeux a deux. Si ai | b, ∀i = 1, . . . , n, alors a1 · a2 · . . . · an | b.

5. Factorisation

Theoreme 5.1. Tout entier non nul et 6= ±1, s’ecrit de maniereunique sous la forme n = εpm1

1 pm22 . . . pmk

k , ou ε = ±1 et p1, . . . , pk sontdes nombres premiers positifs distincts.

Preuve. Existence par recurrence. Si n est premier, il n’y a rien ademontrer. Si n n’est pas premier, alors il divisible par par un nombrepremier p, on applique alors l’hypothese de recurrence a n/p.

Unicite, par recurrence, si n = pm11 pm2

2 . . . pmkk = qs1

1 qs22 . . . qst

t ∈ N.D’apres le corollaire 4.6, il existe i tel que p1 | qsm

i , donc p1 = q1. On

45

applique alors l’hypothese de recurrence a n/p1.

Exemple : 1260 = 2·630 = 22·315 = 22·3·105 = 22·32·35 = 22·32·5·7.

Remarque : alors qu’on connait des algorithmes assez rapides pourtester si un nombre tres grand est premier ou non, il n’existe pas avecles ordinateurs actuels de methode suffisament rapide pour factoriserdes nombres de quelques centaines de chiffres.

Cette propriete (difficulte de la factorisation), est utilisee dans cer-tains procedes cryptographiques (methode RSA) : mots de passe dansles reseaux informatiques, messages secrets, etc....

La factorisation permet de determiner le PGCD et le PPCM dedeux entiers.

Theoreme 5.2. Si m = ps11 ps2

2 . . . pskk et n = pt1

1 pt22 . . . ptk

k , ou si, ti ∈N (eventuellement nuls), alors m∧n = pl1

1 pl22 . . . plk

k ou li = minsi, ti,et m ∨ n = ph1

1 ph22 . . . phk

k ou hi = maxsi, ti

Exemple. 180 = 22 · 32 · 5, 42 = 2 · 3 · 7. On a : 180∧ 42 = 2 · 3 = 6,180 ∨ 42 = 22 · 32 · 5 · 7 = 1260.

6. Algorithme d’Euclide

Lemme 6.1. Soient a, b, q ∈ Z. Alors :

a ∧ b = b ∧ (a− bq).

Theoreme 6.2. (Algorithme d’Euclide) :

Soient a, b ∈ N. On definit la suite d’entiers positifs r0, r1, . . ., par :

r0 = a, r1 = b.

On suppose rn−1 et rn definis :

Si rn = 0 on pose rn+1 = 0.

Si rn 6= 0, on definit rn+1 comme etant le reste de la division eucli-dienne de rn−1 par rn.

Alors :

46

1 - Il existe n tel que rn = 0.

2 - Le dernier reste non nul est egal au PGCD de a et b.

Exemple 6.1.

Soit a determiner le PGCD de 1386 et 1274

a b r q1386 1274 112 11274 112 42 11112 42 28 242 28 14 128 14 0 2

Le dernier reste non nul est 14, c’est le PGCD cherche.

7. Arithmetique modulaire

On rappelle que dans Z/nZ, on a n | m ⇔ m = 0, cette remarquepermet parfois de traiter les questions de divisibilite d’une facon plussimple, en utilisant les proprietes de l’anneau (Z/nZ, +, ·)

Exemple 7.1.

Montrons que ∀n ∈ N, on a 7 | 32n+1 + 2n+2.

Posons un = 32n+1 + 2n+2. Dans Z/7Z, on a un = 32n+1 + 2n+2 =9n · 3 + 2n · 4.

Or 9 = 2, donc un = 2n · 3 + 2n · 4 = 2n · (3 + 4) = 0.

Soit n un entier naturel, l’ensemble des elements inversibles de(Z/nZ, ·) est un groupe note Un.

Proposition 7.1. Soit k un entier, alors k ∈ Un ⇔ k est premieravec n.

Si ak + bn = 1, alors k−1 = a.

L’ordre de Un est egal au nombre d’entiers premiers avec n etinferieurs a n. On note ce nombre φ(n). On l’appelle l’indicateur d’Eu-ler de n.

47

Theoreme 7.2. Soit (G, ·) un groupe abelien fini d’ordre n et d’elementneutre e, alors ∀x ∈ G, xn = e.

Corollaire 7.3. ∀k ∈ Un, on a (k)φ(n) = 1.

Proposition 7.4. Soit p un nombre premier. Alors φ(p) = p − 1et on a (Fermat) ∀a ∈ Z, p | ap − a.

Theoreme ”chinois”.

Theoreme 7.5. Soient m1,m2, . . . , ms des entiers premiers entreeux deux a deux, a1, a2, . . . , as des entiers quelconques. Alors il existeau moins un entier x tel que x ≡ ai mod mi, ∀i = 1, . . . , s.

De plus si x0 est une solution, alors ∀x ∈ Z, x est solution, si etseulement si, m | x− x0, ou m = m1m2 . . .ms.

Exemple 7.2.

Determinons les entiers dont le reste de la division euclidienne par7 est est 4 et le reste de la DE par 11 est 2.

Notons x un tel entier. Alors x ≡ 4 (mod 7) et x ≡ 2 (mod 11).Comme 7 et 11 sont premiers entre eux, une solution existe d’apres letheoreme chinois.

On a x = 7α + 4 ≡ 2 (mod 11). Donc 7α ≡ −2 ≡ 9 (mod 11). Or 7est inversible modulo 11, son inverse est 8. Car 7 · 8 = 56 = 1 (mod 11).Donc α ≡ 8 ·9 ≡ 72 ≡ 6 (mod 11). En conclusion, x = 7(6+11λ)+4 =77λ + 46. Le plus petit entier naturel solution est donc 46.

Remarque. Dans le theoreme chinois, l’inverse de m1 modulo m2

peut etre determine en utilisant l’algorithme d’Euclide.

48

CHAPITRE 8

Nombres complexes

1. Construction

Theoreme 1.1. Il existe un corps (C, +, ·) verifiant les proprietessuivantes :

1 - C contient un sous-corps K isomorphe R (qu’on identifie a R).

2 - Il existe un element i ∈ C tel que i2 = −1 et tout element z deC s’ecrit de maniere unique sous-la forme z = a + bi, ou a, b ∈ K.

Tout corps qui verifie 1 et 2 est isomorphe a C par un isomorphismequi laisse fixes les elements de R.

Preuve. Sur R2 on definit les lois + et · par ∀(a, b), (c, d) ∈ R2 :

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), et (a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad + bc)).

On verifie que (R2, +, ·) est un anneau commutatif. L’element neutrede + est (0, 0), l’element neutre de · est (1, 0). De plus, tout element(a, b) 6= (0, 0) est inversible d’inverse.

(a, b)−1 = ((a2 + b2)−1a,−(a2 + b2)−1b)

Donc R2 est un corps commutatif pour ces operations, on le note C.

On pose K = R × 0. Alors K est un sous-corps de C isomorphea R. Dans toute la suite, le corps K sera identifie a R.

On note i = (0, 1), alors i2 = (−1, 0) = −(1, 0) = −1 et ∀z ∈ C, ona z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = (a, 0) + (b, 0)i = a + bi.

Definition. Si z = a + bi ∈ C, avec a, b ∈ R, a est appele partiereelle de z note Re(z), b est la partie imaginaire de z notee Im(z).

Proposition 1.2. l’application ¯ : C→ C, z = a+bi 7→ z = a−bi,appelee conjugaison complexe, est un automorphisme de C et on a :

49

∀z ∈ C : z = z, si et seulement si, z ∈ R.

De plus on a z + z = 2Re(z), z − z = 2Im(z)i

2. Module et argument

Definition. Soit z = a + bi un nombre complexe. On appelle mo-dule de z le nombre reel | z |= √

a2 + b2 =√

zz.

Theoreme 2.1. Le module verifie les proprietes suivantes :

1 - | z |= 0 si et seulement si, z = 0

2 - | zz′ |=| z || z′ |.

3 - | z + z′ |≤| z | + | z′ |.

4 - || z | − | z′ || ≤ | z − z′ |.

Definition. Soit z = a + bi ∈ C∗, tel que | z |= a2 + b2 = 1. Onappelle argument de z tout nombre reel θ tel que cos θ = a et sin θ = b.

Si θ est un argument de z alors θ + 2kπ est aussi un argument dez. L’argument, Argz, est donc defini modulo 2π.

- Soit z ∈ C∗. On appelle argument de z, un argument de z|z| .

Il en resulte que z =|z| (cos θ + i sin θ), ou θ est un argument de z.

Theoreme 2.2. Soient z, z′ ∈ C∗.

Alors Arg(zz′) = Argz + Argz′. (mod2π).

(Formule de Moivre) Soit z =| z | (cos θ + i sin θ) ∈ C∗, alors pourtout n ∈ N on a :

zn =| z |n (cos nθ + i sin nθ)

Definition. Soit z = a + bi ∈ C, on appelle exponentielle de z lenombre complexe ez = ea(cos b + i sin b) note aussi exp z.

Exemple 2.1. exp iπ = −1.

50

Theoreme 2.3. Soient z, z′ ∈ C∗. Alors on a ;

exp(z + z′) = exp z. exp z′, et exp(−z) = (exp(z))−1.

Pour tout θ ∈ R on a : cos θ = eiθ+e−iθ

2, et sin θ = eiθ−e−iθ

2i.

51

CHAPITRE 9

Polynomes a une indeterminee

1. Operations sur les polynomes

Theoreme 1.1. Soit A un anneau commutatif. Alors il existe unanneau note A[X], contenant A comme sous-anneau et un element Xappele indeterminee, tels que tout element P de A[X] s’ecrit de maniereunique sous la forme : P =

∑k∈N akX

k, ou ak ∈ A sont nuls a partird’un certain indice n .

(A[X], +, ·) est appele anneau des polynomes a une indeterminee Xa coefficients dans A.

Construction. Soit A un anneau commutatif et B l’ensemble dessuites P = (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . .) d’elements de A qui s’annullent apartir d’un certain rang.

Sur B on definit les lois :

Pour tous P = (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . .), Q = (b0, b1, . . . , bm, 0, 0, . . .).

• Une addition ”+” : P + Q = R = (c0, c1, . . . , cq, 0, 0, . . .) avecci = ai + bi.

• Une multiplication ” · ” PQ = S = (d0, d1 . . . , dp, 0, 0 . . .) avecdn =

∑nk=0 akbn−k.

De plus, on munit B d’une loi externe : pour tout α in A, on poseαP = (αa0, αa1, . . . , αan, 0, 0, . . . ).

Alors on montre que (B, +, ·) est un anneau. L’element neutre de+ etant la suite nulle : 0 = (0, 0, . . . ). L’element neutre de · etant lasuite (1, 0, 0, . . .) .

On pose X = (0, 1, 0, . . . , 0, . . .), on a Xk = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .), ou1 est dans la position k + 1 et les autres coefficients sont nuls.

Soit P = (a0, a1, a2, . . . , an, 0, 0, . . .), alors :

53

P = (a0, 0, 0, . . .) + (0, a1, 0, . . .) + . . . + (0, 0 . . . , an, 0, 0 . . .)

D’ou P = a0(1, 0, 0, . . .)+a1(0, 1, 0, . . .)+. . .+an(0, 0 . . . , 1, 0, 0 . . .).

On note alors P = a0+a1X+. . .+anXn =∑n

k=0 akXk =

∑k∈N akX

k,ou ak = 0, si k > n.

Cette ecriture est unique puisque P est determine par les coeffi-cients ak.

Sous cette forme, les operations de A[X] s’ecrivent :

Soient P =∑

k∈N akXk et Q =

∑k∈N bkX

k, alors

P + Q =∑

k∈N(ak + bk)X

k

P ·Q =∑

k∈NckX

k

ou ck =∑k

i=0 aibk−i

Notons que l’indeterminee peut aussi etre notee Y, Z, T, ....

Definition. Soit P =∑

k∈N akXk. L’entier n = maxk ∈ N∗ :

ak 6= 0, est appele degre de P , on le note degP . Par conventiondeg 0 = −∞.

On utilise les relations : ∀n ∈ N

−∞ ≤ n et −∞+ n = n + (−∞) = −∞,

Exemple 1.1.

1 - 2X3 + 2X4 + 1 + X ∈ Z[X] est un polynome de degre 4.

2 - Les polynomes de degre 0 sont les elements non nuls de A. Onles appelle les polynomes constants. Les polynomes de degre 1 sont dela forme aX + b, avec a 6= 0.

Si P =∑

k∈N akXk ∈ A[X], chaque terme akX

k est appele monomede degre k de P , ak est le coefficient de ce monome. On dit que P estunitaire ou normalise si le coefficient du monome du plus haut degrenon nul est 1.

54

Dans toute la suite, on suppose que l’anneau de base estun corps commutatif K

Theoreme 1.2. La fonction degre verifie les proprietes suivantes :

1 - deg(P + Q) ≤ max(degP, degQ).

2 - degPQ = degP + degQ.

Theoreme 1.3. K[X] est un anneau integre. De plus, les elementsinversibles (pour la multiplication), dans K[X], sont les polynome constantsnon nuls

Compose de deux polynomes. Soient P, Q ∈ K[X], avec P =∑nk=0 akX

k ∈ K[X]. Le polynome P Q =∑n

k=0 akQk est appele com-

pose de P et Q (dans cet ordre) et qu’on note aussi P (Q).

Exemple 1.2.

Soient P = X2 − 3X + 2, Q = X − 1, dans R[X]. P Q =(X − 1)2 − 3(X − 1) + 2 = X2 − 2X + 1− 3X + 3 + 2 = X2 − 5X + 6.

Fonctions polynomes. Soit P =∑n

k=0 akXk ∈ K[X] un po-

lynome. On appelle fonction polynome associee a P l’applicationP : K → K, definie par P (x) =

∑nk=0 akx

k, ∀x ∈ K.

Proposition 1.4. Soient P et Q deux polynomes a coefficientsdans un corps K. Alors :

P + Q = P + Q, P.Q = P .Q, P Q = P Q.

Dans la suite, et pour simplifier les notations, on notera P (x) l’imagede x par P .

Remarque : Il faut se garder de confondre polynome et fonction po-lynome. En effet, ces deux notions sont differentes et il peut memearriver qu’un polynome soit non nul alors que sa fonction polynomeest identiquement nulle. Par exemple, pour K = Z/2.Z, le polynomeP = X2 + X est non nul alors que x2 + x = 0, pour x = 0 et pourx = 1. Donc P = 0.

55

Polynome derivee Soit P =∑n

k=0 akXk ∈ K[X], on appelle po-

lynome derive de P , le polynome note P ′ ∈ K[X] defini par

P ′ =n∑

k=0

kakXk−1

Exemple 1.3.

Soit P = X5 + X4 + 2X + 1 ∈ R[X], P ′ = 5X4 + 4X3 + 2.

Remarques.

1 - Le derive d’un polynome constant est le polynome nul.

2 - On a toujours degP ′ < degP .

3 - Lorsque P ∈ R[X], P ′ coıncide avec la derivee de P , connuedans le cours d’analyse.

Proposition 1.5. Soient P,Q ∈ K[X], alors :

1 - (P + Q)′ = P ′ + Q′, et ∀λ ∈ K, (λP )′ = λ.P ′

2 - (PQ)′ = P ′Q + PQ′.

3 - (P n)′ = nP n−1.P ′.

4 - (P Q)′ = (P ′ Q).Q′.

Derivee d’ordre superieurs et formule de Taylor. On definit,inductivement, la derivee d’ordre k de P ∈ K[X] de la maniere sui-vante : P (0) = P, P (k+1) = (P (k))′.

Proposition 1.6. Si P =∑n

k=0 akXk, de degre n, alors :

1 - P (k)(0) = k!ak.

2 - P (n) = n!an.

3 - P (m) = 0, ∀m > n.

56

Proposition 1.7. (Formule de Leibnitz). Soient P, Q ∈ K[X],alors ∀n ∈ N, on a :

(P.Q)(n) =∑n

k=0 CknP (k)Q(n−k). (avec la convention P (0) = P ).

Theoreme 1.8. Soient P ∈ K[X] de degre n et α ∈ K. Alors ilexiste coefficients a0, . . . , an ∈ K uniques tels que :

P (X) =n∑

k=0

ak(x− α)k

Theoreme 1.9. (Formule de Taylor) Soient P un polynome a co-efficients dans K = R, ou C et α ∈ K alors :

P (X) =n∑

k=0

P (k)(α)

k!(x− α)k

Reciproquement, si P (X) =∑n

k=0 ak(x− α)k, alors ak = P (k)(α)k!

,∀k = 0, 1 . . . , n.

Exemple 1.4.

Soit P = X4 −X3 + 3X + 1 ∈ Q[X] et a = 1.

P ′ = 4X3 − 3X2 + 3, P ′′ = 12X2 − 6X, P ′′′ = 24X − 6, P ′′′′ = 24.

P (1) = 4, P ′(1) = 4, P ′′(1) = 6, P ′′′(1) = 18, P ′′′′(1) = 24.

La formule de Taylor donne :

P = 4 + 4(X − 1) + 62!(X − 1)2 + 18

3!(X − 1)3 + 24

4!(X − 1)3.

P = 4 + 4(X − 1) + 3(X − 1)2 + 3(X − 1)3 + (X − 1)4.

La formule de Taylor permet de developper un polynome suivantles puissances de (X − α). (En Analyse, au voisinage de α).

2. Division euclidienne, divisibilite

Theoreme 2.1. (Division euclidienne).

Soient K un corps commutatif. A,B ∈ K[X] tels que B 6= 0. Alorsil existe Q,R uniques tels que A = BQ + R et degR < degB.

57

Q,R sont respectivement appeles quotient et reste de la divisioneuclidienne de A par B.

Preuve.

• Unicite : si A = BQ1 + R1 = BQ2 + R2, alors B(Q1 − Q2) =R2 −R1. Supposons que Q1 6= Q2, alors Q1 −Q2 6= 0, et :

degB+deg(Q1−Q2) = deg(R2−R1) ≤ max(degR1, degR2) < degB,ce qui est absurde. Donc Q1 = Q2 et R1 = R2.

• Existence : On procede par recurrence sur degA. Posons A =anXn + an−1X

n−1 + . . . + a1X + a0 et B = bmXm + bm−1Xm−1 + . . . +

b1X + b0, ou n = degA et m = degB.

Si n = 0, 1, . . . , m− 1, on prends Q = 0 et R = A.

Soit n ≥ m. Supposons la propriete vraie pour les polynomes dedegre < n. Soit A un polynome de degre n. Le polynome A−b−1

m Xn−mBest de degre < n. L’hypothese de recurrence implique qu’il existe deuxpolynomes G,R tels que A−b−1

m Xn−mB = BG+R, avec degR < degB.On a alors A = B(G + b−1

m Xn−m) + R. Il suffit alors de prendreQ = G + b−1

m Xn−m.

Exemple 2.1.

Soit a effectuer la division euclidienne dans Q[X] de A = 2X4 +5X3 −X2 + 2X + 1 par B = 2X2 − 3X + 1. On dispose les calculs dela facon suivante.

2X4 +5X3 −X2 +2X +1 2X2 − 3X + 1−2X4 +3X3 −X2 −−−−−−−−− −− −− −− −− X2 + 4X + 5

8X3 −2X2 +2X +1−8X3 +12X2 −4X

−− −− −−10X2 −2X +1

−10X2 +15X −5−− −−13X −4

On peut donc ecrire A = B · (X2 + 4X + 5) + 13X − 4.

58

Proposition 2.2. Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. Le reste de la divisioneuclidienne de P par X − α est egal a P (α).

Exemple 2.2.

Soit P = Xn + X − 1. Le reste de la division euclidienne de P parX − 1 est egal a P (1) = 1.

Definition. Soient A,B ∈ K[X]. On dit que B divise A ou que Aest divisible par B ou que A est un multiple de B, s’il existe C ∈ K[X]tel que A = B.C. On note B | A.

Exemple 2.3.

Dans l’exemple precedent P = A−R = 2X4 +5X3−X2−11X +5est divisible par B = 2X2 − 3X + 1, car A−R = B.Q.

Proposition 2.3. Soient A,B ∈ K[X]. Alors A | B, si et seule-ment si, le reste de la division euclidienne de B par A est nul.

3. Racines et multiplicites

Definition . Soit α ∈ K. On dit que α est racine de P si P (α) = 0.

On dit aussi que α est un zero de P , ou que α est solution del’equation P (x) = 0.

Exemple 3.1.

1 - Les racines de X2 − 3X + 2 dans R sont 1 et 2.

2 - Le polynome X2 + 1 n’a pas de racine dans R. Ses racines dansC sont i et −i.

3 - Les polynomes constants non nuls n’ont pas de racines.

4 - Tous les elements de K sont racines du polynome nul.

Exemple 3.2. Racines niemes d’un nombre complexe

1- Soit u un nombre complexe non nul d’argument θ. Alors le po-lynome Xn − u possede exactement n racines distinctes qui sont

n√| u |(cos(

θ + 2kπ

n) + i sin(

θ + 2kπ

n))

59

k = 0, . . . , n− 1. Ces racines sont appelees racines n-ieme de u.

2 - Lorsqu’on prend u = 1, on obtient les racines n-ieme de l’unite.

ξ0 = 1, ξ1, . . . , ξn−1, ou ξk = cos(2kπn

) + i sin(2kπn

) = e2kπi

n

Par exemple, les racines cubiques de l’unite sont :1, j = −12

+√

32

i

et j = j2 = −12−

√3

2i. Notons que j2 + j + 1 = 0.

3 - Soit α une racines nieme quelconque de u, alors les racinesniemes de u sont αξ0, αξ1, . . . , αξn−1.

Par exemple, 3√

2 est racine de X3 − 2. Les racines de ce polynomesont 3

√2, j 3

√2, j 3

√2.

Proposition 3.1. Soit P ∈ K[X]. Alors α ∈ K est racine de P , siet seulement si, X − α | P .

Proposition 3.2. Soit P ∈ K[X]. Alors des elements α1, α2, . . . , αk

distincts de K sont racines de P , si et seulement si, (X − α1) · (X −α1) · . . . · (X − αk) | P .

Proposition 3.3. Soit P ∈ K[X] un polynome de degre n. AlorsP admet au plus n racines dans K.

Proposition 3.4. Soit P ∈ K[X] un polynome de degre ≤ n. SiP admet n + 1 racines distinctes dans K, alors P = 0.

Proposition 3.5. Soient A, B ∈ K[X], deux polynomes de degre≤ n. S’il existe n + 1 elements distincts x1, x2, . . . , xn+1 de K tels queA(xi) = B(xi),∀i = 1, . . . , n + 1, alors A = B.

Theoreme 3.6. Soit K un corps infini (Par exemple R ou C).Alors l’anneau des polynomes K[X] est isomorphe a l’anneau des fonc-tions polynomes sur K.

Definition . Soit α ∈ K une racine de P . On appelle multiplicitede α, le plus grand entier k tel que (X − α)k | P .

i.e. (X − α)k | P mais (X − α)k+1 - P .

60

Une racine de multiplicite 1 est dite racine simple. Une racine quin’est pas simple est dite multiple.

Une racine de multiplicite 2,3,4,..est dite racine double, triple, qua-druple, ....

Proposition 3.7. Soit α ∈ K = Q,R,C. Alors α est racine demultiplicite k, si et seulement si, P (α) = P ′(α) = . . . = P (k−1)(α) = 0et P (k)(α) 6= 0.

Exemple 3.3.

Soit P = X4− (a+4)X3 +(4a+5)X2− (5a+2)X +2a ∈ R[X], oua ∈ R. On a : P (1) = 0. Determinons la multiplicite de cette racine.

On a P ′ = 4X3 − 3(a + 4)X2 + 2(4a + 5)X − (5a + 2), P ′(1) =4− 3(a + 4) + 2(4a + 5)− (5a + 2) = 0.

P ′′ = 12X2−6(a+4)X+2(4a+5), P ′′(1) = 12−6(a+4)+2(4a+5) =2a− 2.

Si a 6= 1, P ′′(1) 6= 0, 1 est racine double de P .

Si a = 1, P ′′(1) = 0, P ′′′ = 24X − 30, P ′′′(1) 6= 0, ce qui entraıneque 1 est racine triple de P .

La division euclidienne de P par (X − 1)2 donne comme quotient(X − a)(X − 2).

Theoreme 3.8. (d’Alembert-Gauss). Tout polynome non constantde C[X] possede au moins une racine dans C.

Ce theoreme que nous admettons ici, a ete demontre de plusieursfacons, mais toutes ces demonstrations font appel, dans une certainemesure, a des resultats de l’Analyse (limites, continuite, ...). Il n’existepas de preuve purement algebrique. Ce fait ne doit pas surprendre,puisque C est construit a partir de R dont la construction fait appelaux outils de l’Analyse (suites de Cauchy, notion de coupure, ..).

Notons aussi que ce theoreme affirme l’existence de racines sansdecrire une methode exacte pour les calculer. Pour les polynomes dedegre ≤ 4, il existe des methodes de determination des racines sous-forme de radicaux. Par exemple, pour un polynome du second degreX2 + aX + b, les racines s’expriment par la formule α = 1

2(−a± δ), ou

61

δ2 = a2 − 4b. Des formules analogues, mais plus compliquees, existentaussi pour les polynomes de degre 3 et 4, elles ont ete etablies parles mathematiciens du 16eme et 17eme siecle, puis s’ensuivirent desrecherches de formules generales sur la resolution de l’equation du cin-quieme degre a l’aide de radicaux. Au milieu du 19 siecle, les travauxd’Abel et de Galois, mirent fin a ces recherches. Le premier a montrela non existence de telles formules, le second a donne une conditionnecessaire et suffisante de resolubilite par radicaux. (Cette conditionutilise les proprietes d’un groupe associe au polynome). Un exemple depolynome dont les racines ne peuvent pas s’exprimer par radicaux estP = X5 − 5X + 1.

Noton enfin que, dans beaucoup de problemes pratiques (en phy-sique et en ingenierie) on a affaire a des polynomes sur R ou C (Parexemple la recherche des valeurs propres des matrices). Les coefficientsdes polynomes obtenus ne sont connus qu’avec une certaine incertitude,ce qui donne toute la legitimite au calcul approche des racines par desmethodes de l’analyse numerique.

4. Polynomes irreductibles

Definition. Deux polynomes P et Q sont dits associes, s’il existeλ ∈ K∗, tel que P = λQ.

Proposition 4.1. Soient P, Q ∈ K[X]. Alors P et Q sont associes,si et seulement si, P | Q et Q | P .

Definition. Un polynome P est dit irreductible s’il est non constantet ses seuls diviseurs sont les constantes et les polynomes qui lui sontassocies.

En d’autres termes, P est irreductible s’il ne peut pas etre decomposeen produit de deux polynomes de degres < degP .

Exemple 4.1.

1 - Sur tout corps commutatif, les polynomes de degre 1 sont irreductibles.

2 - Le polynome X2 + 1 est irreductible sur R mais non sur C.

3 - Le polynome X4 + 1 est irreductible sur Q mais non sur R.

Remarques. Les exemples precedents montrent que la proprieted’irreductibilite est relative au corps de base.

62

Theoreme 4.2. Les seuls polynomes irreductibles sur C sont lespolynomes de degre 1.

Proposition 4.3..

1 - Soit P ∈ R[X]. Si α ∈ C est une racine de P , alors α est aussiracine de P de meme multiplicite que α.

2 - Tout polynome reel de degre impair possede au moins une racinereelle.

Theoreme 4.4. Les seuls polynomes irreductibles sur R sont l’undes types suivants :

1 - les polynomes de degre 1, aX + b, (a 6= 0).

2 - les polynomes de degre 2, aX2+bX+c a discriminant b2−4ac <0, strictement negatif.

5. Plus Grand Commun Diviseur dans K[X].

Proposition 5.1. Soient A,B, Q ∈ K[X]. Alors ∀P ∈ K[X] on a :

P | A et P | B, si et seulement si, P | B et P | (A−BQ).

Theoreme 5.2. Soient A,B ∈ K[X], alors il existe un polynomeunitaire unique D tel que :

(i) D divise A et B.

(ii) Si P est un polynome qui divise A et B, alors P divise D.

D est appele plus grand diviseur commun (PGCD) de A et B. Onle note A ∧B.

Exemple 5.1.

A = (X − 1)2(X − 3)(X + 5)3, B = (X − 1)3(X − 2)(X + 5). AlorsA ∧B = (X − 1)2(X + 5)

Proposition 5.3. Soient A,B, Q ∈ K[X]. Alors :

A ∧B = B ∧ (A−BQ).

63

Theoreme 5.4. Soient A,B ∈ K[X] et D = A∧B. Alors il existeU, V ∈ K[X] tels que UA + V B = D.

Theoreme 5.5. Algorithme d’Euclide :

Soient A,B ∈ K[X]. On definit la suite de polynome R0, R1, . . .,par :

R0 = A, R1 = B.

On suppose Rn−1 et Rn definis :

Si Rn = 0 on pose Rn+1 = 0.

Si Rn 6= 0, on definit Rn+1 comme etant le reste de la division eu-clidienne de Rn−1 par Rn.

Alors :

1 - Il existe n tel que Rn = 0.

2 - Le dernier reste non nul est egal au PGCD de A et B multipliepar un coefficient non nul.

Remarque. On peut, a chaque etape, pour simplifier les calculs ettravailler avec des polynomes unitaires, multiplier le reste obtenu parun coefficient non nul.

Exemple 5.2.

Determinons le PGCD de A = X4 + X3 − 3X2 − 4X − 1 et B =X3 + X2 −X − 1.

On pose R0 = A et R1 = B.

Le reste de la D.E. de R0 par R1 est R2 = −2X2− 3X − 1 On peutprendre R2 = 2X2 + 3X + 1.

Le reste de la D.E de R1 par R2 est R3 = −34X− 3

4. On peut prendre

R3 = X + 1.

Le reste de la division euclidienne de R2 par R3 est nul. Donc lePGCD de A et B est R3 = X + 1.

64

6. Polynomes premiers entre eux

Definition. Deux polynomes sont dits premiers entre eux, si leursseuls diviseurs communs sont les polynomes constants.

Theoreme 6.1. (Bezout).

Soient K un corps commutatif. A,B ∈ K[X] sont premiers entreeux, si et seulement si, il existe U, V ∈ K[X], tels que UA + V B = 1.

Theoreme 6.2. Soient K ⊂ C un corps commutatif. A,B ∈ K[X]sont premiers entre eux , si et seulement si, ils n’ont pas de racinecommune dans C.

Exemple 6.1.

Les polynomes (X−1)(X2 +2) et X5 +2X2 +1 sont premiers entreeux.

Proposition 6.3. Soient A,B ∈ K[X] et D ∈ K[X] un polynomeunitaire. Alors D = A∧B, si et seulement si, D | A, D | B et A

Det B

Dsont premiers entre eux.

Theoreme 6.4. (Gauss).

Soient K un corps commutatif. A,B, C ∈ K[X]. Si A | BC et A estpremier avec B alors A | C.

Theoreme 6.5. Soient K un corps commutatif. P un polynomeirreductible. Si P divise A1 · A2 · . . . · An, alors P divise au mois l’undes Ai.

Theoreme 6.6. . Soient K un corps commutatif. P1, P2 . . . , Pk despolynomes premiers entre eux deux a deux qui divisent A ∈ K[X]. Alorsle produit P1P2 . . . .Pk divise A.

7. Factorisation

Theoreme 7.1. (Factorisation sur un corps quelconque). Soit K uncorps commutatif, alors tout polynome non constant A de K[X] s’ecritde maniere unique sous-la forme

A = λP k11 P k2

2 . . . P kss

65

ou les polynomes Pi sont irreductibles unitaires et λ ∈ K.

Theoreme 7.2. ( Factorisation dans C[X]). Tout polynome nonconstant de C[X] s’ecrit de maniere unique sous la forme :

P = λ(X − α1)k1(X − α2)

k2 . . . (X − αs)ks

ou λ ∈ C est le coefficient dominant de P et α1, α2, . . . αs sont lesracines de P de multiplicites respectives k1, k2, . . . , ks, avec k1 + k2 +. . . + ks = degP .

Definition. Un polynome de K[X], ou K est un corps commuta-tif quelcoque, est dit scinde, s’il est produit de polynomes du premierdegre.

Corollaire 7.3. Tout polynome non constant de C[X] est scinde.

Theoreme 7.4. ( Factorisation dans R[X]). Tout polynome nonconstant de R[X] s’ecrit de maniere unique sous la forme :

P = λ(X−α1)k1 . . . (X−αt)

kt(X2 +β1X +γ1)m1 . . . (X2 +βsX +γs)

ms

ou λ ∈ R est le coefficient dominant de P , α1, α2, . . . αt sont lesracines (reelles) de P de multiplicites respectives k1, k2, . . . , kt et lescoefficients reels βi, γi verifient β2

i − 4γi < 0, i = 1, . . . , s.

Remarques.

1 - La factorisation dans C[X] se reduit a la recherche des racineset leurs multiplicites.

2 - La factorisation dans R[X] peut etre obtenue a partir de celle deC[X] en regroupant les racines complexes non reelles qui sont conjugueessuivant la formule (X − z)(X − z) = X2 − 2Re(z)X+ | z |2.

Exemple 7.1.

Factoriser P = X5 −X3 + 2X2 − 6X + 4 dans C[X] et dans R[X]sachant que 1 est racine de P .

On a P (1) = 0, P ′ = 5X4−3X2 +4X−6, P ′(1) = 0, P ′′ = 20X3−6X + 4, P ′′(1) = 18 6= 0. Donc 1 est racine double de P . La divisioneuclidienne de P par (X−1)2 donne : P = (X−1)2(X3+2X2+2X+4).

66

Remarquons que X3 + 2X2 + 2X + 4 = (X + 2).X2 + (X + 2).2 =(X + 2)(X2 + 2).

Puisque X2 + 2 est irreductible sur R, on a la factorisation :

X5 −X3 + 2X2 − 6X + 4 = (X − 1)2(X + 2)(X2 + 2) dans R[X].

X2 + 2 = (X + i√

2)(X − i√

2) dans C[X]. On a :

X5 −X3 + 2X2 − 6X + 4 = (X − 1)2(X + 2)(X + i√

2)(X − i√

2)dans C[X].

Factorisation de Xn − 1 dans C[X] et dans R[X].

Ls racines complexes de Xn − 1 sont les racines nemes de l’uniteξ0, ξ1, . . . , ξn−1, dans C. Ce sont des racines simples. Donc, dans C[X],on a :

Xn − 1 =n−1∏

k=0

(X − ξk)

Dans R[X], on cherche d’abord les racines reelles de Xn − 1. Deuxcas se presentent :

- Si n est pair, 1 et −1 sont racines, par ailleurs le conjugue de ξk

est ξn−k, d’ou :Xn − 1 = (X − 1)(X + 1)∏n

2−1

k=1 (X − ξk)(X − ξn−k).

- Si n est impair, seul 1 est racine reelle de Xn − 1. D’ou :

Xn − 1 = (X − 1)∏n−1

2k=1 (X − ξk)(X − ξn−k).

Finalement,

Xn − 1 = (X − 1)(X + 1)

n2−1∏

k=1

(X2 − 2 cos2kπ

nX + 1) si n est pair.

Xn − 1 = (X − 1)

n−12∏

k=1

(X2 − 2 cos2kπ

nX + 1) si n est impair.

Exemple 7.2.

1 - X4−1 = (X2−1)(X2+1) = (X−1)(X +1)(X2+1), dans R[X].

X4 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i), dans C[X].

67

2 - X3 − 1 = (X − 1)(X2 + X + 1) dans R[X].

X3 − 1 = (X − 1)(X − j)(X − j) dans C[X] (j = −12

+ i√

32

).

3 - X6 − 1 = (X3 − 1)(X3 + 1).

X6 − 1 = (X − 1)(X2 + X + 1)(X + 1)(X2 −X + 1), dans R[X].

X6 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − j)(X − j)(X + j)(X + j).

8. Division suivant les puissances croissantes

Theoreme 8.1. Soit K un corps commutatif, p un entier naturel, Aet B deux polynomes de K[X] tels que b0 6= 0. Alors il existe un coupleunique (Q,R) de polynomes de K[X] tels que l’on ait A = BQ+Xp+1R,et degQ ≤ p.

Q et R sont respectivement appeles quotient et reste de la divisionsuivant les puissances croissantes a l’ordre p, de A par B.

Exemple 8.1.

On prend A = 2X + 3X2 −X3 et B = 1 + 2X −X2 dans R[X] etp = 4.

2X +3X2 −X3 1 + 2X −X3

−2X −4X2 +2X4 −−−−−−−−− −− −− −− −− 2X −X2 + X3

−X2 −X3 +2X4

X2 +2X3 −X5

−− −− −−X3 +2X4 −X5

−X3 −2X4 +X6

−− −−−X5 +X6

On peut donc ecrire A = B.(2X + X2 + X3) + X5(−1 + X).

68

CHAPITRE 10

Fractions Rationnelles a une indeterminee

1. Definitions et Proprietes generales

Definitions. Soit K un corps commutatif. On appelle corps desfractions rationelles a une indeterminee, le corps, note K(X), desfractions de l’anneau integre K[X].

Tout element F de K(X) est appele fraction rationnelle et s’ecritF = A

B, ou A,B ∈ K[X] avec B 6= 0. A et B sont respectivement

appeles numerateur et denominateur de F .

Noter que l’ecriture F = AB

n’est pas unique. C’est une representationou une forme de F .

Exemple 1.1.

1 - X4+√

2X3+1X3−X+7

∈ R(X).

2 - X2−X+1X3−X+i

∈ C(X).

3 - Pour K = Z/5Z, X2−2X+1X3−X+4

∈ K(X).

On rappelle que les lois + et · sont definies par, si F = AB

et G = CD

,alors :

F + G =AD + BC

BD, et F.G =

AC

BD

Si F = AB6= 0, alors A 6= 0 et F−1 = B

A

Definition. Soit F une fraction rationnelle. On appelle une repre-sentation irreductible de F , toute representation F = A

B, ou A,B ∈

K[X] sont premiers entre eux.

Proposition 1.1. Toute fraction rationnelle possede une representationirreductible.

69

Si F = AB

= CD

sont deux representations irreductibles de F , alorsil existe λ ∈ K∗ : C = λA et D = λB.

Exemple 1.2.

Soient A = X6 − X4 + X − 1, B = X7 + X4 + X3 − 2X − 1,F = A

B∈ R(X).

En utilisant l’algorithme d’Euclide, on montre que le PGCD deA et B est egal a X3 − 1 et on a : A = (X3 − 1)(X3 − X + 1)

et B = (X3 − 1)(X4 + 2X + 1). Par suite F = X3−X+1X4+2X+1

est unerepresentation irreductible de F .

Definition. On appelle degre d’une fraction rationnelle F = AB

,l’entier relatif degF = degA− degB. On verifie qu’il ne depend pas dela representation de la fraction rationnelle.

Proposition 1.2. La fonction degre verifie, ∀F, G ∈ K(X) :

deg(F + G) ≤ max(degF, degG)

deg(F.G) = degF + degG

Proposition 1.3. Pour toute fraction rationnelle F = AB, il existe

un polynome E et une fraction rationnelle G uniques tels que degG < 0et F = E + G.

E est appele la partie entiere de F . C’est le quotient de la divisioneuclidienne de A par B.

Definition. Soit F = AB

une fraction rationnelle irreductible.

1 - On appelle pole de F toute racine de son denominateur B.

2 - On dit que α ∈ K est un pole de multiplicite k si α de F si αest une racine de multiplicite k de B. Un pole simple est un pole demultiplicite 1.

3 - Si on note ∆ l’ensemble des poles, on appelle fonction ration-

nelle associee a F , la fonction F definie sur K\∆ par F (x) = A(x)B(x)

.

Exemple 1.3.

70

1 - Soit F = X2+X+1(X+1)2(X2+1)

∈ R(X). On verifie d’abord que c’est une

forme irreductible. En effet, le numerateur et le denominateur n’ontpas de racine commune. On a alors −1 est un pole double de F .

Si on considere cette fraction dans C(X), on a deux autres poles iet −i, ce sont des poles simples.

2 - Soit F = X2+3X+2(X+1)(X2+1)2

∈ R(X). Cette forme n’est pas une forme

irreductible de F , X + 1 est un facteur commun au numerateur et audenominateur, en simplifiant on trouve F = X+2

(X2+1)2. Ainsi −1 n’est pas

un pole de F .

2. Decomposition d’une fraction rationnelles en elementssimples.

Definition. On appelle element simple dans K(X) toute fractionsous forme irreductible : P

Qn , ou Q est un polynome irreductible unitaire

et degP < degQ.

Proposition 2.1. Soit G un element simple de K(X).

Si K = C, alors G = a(X−α)n ou a ∈ C.

Si K = R, ou bien G = a(X−α)n ou a, α ∈ R, ou bien G = aX+b

(X2+cX+d)n ,

a, b, c, d ∈ R et c2 − 4d < 0.

Theoreme 2.2. Toute fraction rationnelle irreductible de degre < 0se decompose de maniere unique en somme d’elements simples.

Plus precisement, si F = AB

est irreductible, avec B = Qn11 Qn2

2 . . . Qnkk ,

la factorisation de B en produit de polynomes irreductibles unitaires,alors il existe une famille unique de polynomes Pij, avec 1 ≤ i ≤ k et1 ≤ j ≤ ni tels que :

F = E +k∑

i=1

ki∑j=1

Pij

(Qi)j

ou E est la partie entiere de F et degPij < degQi

Remarque.

71

1 - Pour decomposer une fraction rationnelle en elements simples,il est necessaire de factorisr le denominateur.

2 - D’une facon generale, on peut obtenir les coefficients des po-lynomes Pij de la decomposition, en reduisant au meme denominateuret en comparant les deux expressions de F . On obtient alors un systemelineaire qu’on peut resoudre.

Exemple 2.1.

Soit F = X4−3X+1(X−1)2(X2+2)

. La division euclidienne donne comme partie

entiere E = et on a :

Dans C[X], (X − 1)2(X2 + 2) = (X − 1)2(X2 − i√

2)((X2 + i√

2),Donc, la decomposition en elements simples dans C(X) est de la forme :

F (X) =a

X − 1+

b

(X − 1)2+

c

X − i√

2+

d

X + i√

2a, b, c, d ∈ C.

Dans R(X)

F (X) =a′

X − 1+

b′

(X − 1)2+

c′X + d′

X2 + 2

Definition. Soit F = AB∈ K(X), une fraction rationnelle sous-

forme irreductible, et α un pole de F de multiplicite k. On appellepartie polaire de F associee a α la fraction :

a1

X − α+

a1

X − α+ . . . +

ak

(X − α)k

qui figure dans la decomposition de F .

Le coefficient a1 est appele residu de f au pole α, on le note Res(F, α).

Proposition 2.3. Soit F = AB∈ K(X), une fraction rationnelle

sous-forme irreductible, et α un pole simple de F , alors

Res(F, α) = ((X − α) · F )(α) =A(α)

B′(α)

Si B =∏m

i=1(X − αi) est scinde et toutes ces racines sont simples,alors la fraction F se decompose sous la forme :

72

F = E +m∑

i=1

A(αi)

B′(αi)

1

X − αi

ou E est la partie entiere de F .

Exemple 2.2.

1 - La fraction F = X+1(X+2)(X2+X+1)2

∈ R(X), est irreductible, de

partie entiere nulle. F possede 2 comme seul le pole dans R, c’est unpole simple. La decomposition de F dans R(X) est de la forme :

F =a1

X + 2=

a2X + a3

X2 + X + 1+

a4X + a5

(X2 + X + 1)2

ai ∈ R, i = 1, . . . , 5.

Posons A = X + 1 et B = (X2)(X2 + X + 1)2, alors on a :a1 = ((X + 2)F )(−2) = X+1

(X2+X+1)2(−2) = −1

9.

2 - Soit n ∈ N∗, F = 1Xn−1

. F est une fraction irreductible, tous cespoles, les racines nemes de l’unite ξ0, ξ1, . . . , ξn−1, dans C sont simples.Donc dans C(X) on a :

1

Xn − 1=

n−1∑i=0

1

B′(ξi)

1

X − ξi

ou B = Xn − 1.

B′(ξi) = nξn−1i = nξ−1

i , d’ou :

1

Xn − 1=

n−1∑i=0

ξi

n

1

X − ξi

73

CHAPITRE 11

Complements sur les groupes

1. Groupes monogenes, groupes cycliques

Soit (G, ·) un groupe. L’ensemble gr< x >= xk : x ∈ Z est unsous-groupe de G appele sous-groupe engendre par x.

Un groupe G est dit monogene, s’il existe x ∈ G tel que G =gr < x >. Un groupe est dit cyclique, s’il est monogene et fini.

Theoreme 1.1. Soit G = gr < g > un groupe monogene. Onconsidere l’application φg : (Z, +) → (G, ·), definie par φg(n) = gn,alors :

1 - φg est un morphisme surjectif de groupes.

2 - φg est injectif, si et seulement si, G est infini. On a alors G ∼= Z.

3 - Si G est fini d’ordre n , alors G ∼= (Z/nZ, +). L’entier n estalors le plus petit entier non nul tel que gn = e.

2. Theoreme de Lagrange

Proposition 2.1. Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. Ondefinit la relation R sur G par : xRy ⇔ xy−1 ∈ H. Alors R est unerelation d’equivalence appelee relation d’equivalence ou de congruencea gauche modulo H.

Si x ∈ G, la classe a gauche modulo H est x = Hx.

On note (G/H)g, l’ensemble quotient pour cette relation d’equivalence.

Preuve.

Reflexivite : On a xx−1 = e ∈ H, donc xRx.

75

Symetrie : Si xRy, on a xy−1 ∈ H, yx−1 = (xy−1)−1 ∈ H. DoncyRx.

Transitivite : Soient x, y, z ∈ G, tels que xRy et yRz, alors xy−1 ∈H et yz−1 ∈ H. Donc xz−1 = xy−1yz−1 ∈ H.

En conclusion, R est une relation d’equivalence.

Soit x ∈ G, alors y ∈ x ⇔ xy−1 ∈ H ⇔ ∃h ∈ H : yx−1 = h ⇔ ∃h ∈H : y = hx ⇔ y ∈ Hx.

Exemple. Soit G = Z et H = nZ, ou n ∈ N. xRy ⇔ x− y ∈ nZ.Il s’ensuit que R est la relation de congruence modulo n.

Theoreme 2.2 (Lagrange). Soit G un groupe fini et H un groupede G. Alors o(G) = o(H).[G : H], ou [G : H] designe le cardinal del’ensemble quotient (G/H)g. En particulier, l’ordre de H divise celuide G.

[G : H] est appele l’indice de H dans G.

Preuve. Supposons que G est fini, alors l’ensemble quotient (G/H)g

pour la relation d’equivalence precedente est fini. Posons (G/H)g =Hx1, Hx2, . . . , Hxk. On a G = Hx1 ∪ Hx2 ∪ . . . ∪ Hxk et o(G) =∑k

i=1 card (Hxi), car les classes d’equivalence sont deux a deux dis-jointes.

Montrons que toutes les classes ont le meme cardinal, egal a o(H).On considere l’application f : H → Hx, y 7→ yx. Alors f est une bi-jection, donc card(Hx) = o(H). Il en resulte que card(Hxi) = o(H),pour tout i = 1, . . . , k. Donc o(G) = k · o(H).

Proposition 2.3. Soit G un groupe fini d’ordre n d’element neutree. Alors ∀g ∈ G, on a gn = e.

Preuve. Soit H = e, g, . . . , gm−1 = gr < g >. On a o(H) = m etgm = e. Donc, d’apres le theoreme de Lagrange, m | n. Posons n = msavec s ∈ N. Alors gn = gms = gms = e.

Exemple. Dans le groupe S3, qui est d’ordre 6, on a ∀σ ∈ S3,σ6 = I

76

3. Le groupe symetrique

.

Definitions

1 - Soit σ ∈ Sn. Dans E = 1, 2, . . . , n, on definit une relationiRj ⇔ ∃k ∈ N : j = σk(i). Alors R est une relation d’equivalence. Sesclasses d’equivalences sont appelees les orbites suivant σ, ou σ-orbites.

Une orbite est dite triviale si elle est reduite a un seul element. Cetelement est fixe par σ.

2 - On appelle cycle une permutation possedant une seule orbitenon triviale. Cette orbite est alors appelee le support du cycle, son car-dinal est la longueur du cycle. On dit que σ est un k-cycle ou k est salongueur.

On note le cycle de support a1, a2, . . . , ak, c = (a1, a2, . . . , ak),avec c(ai) = ai+1, pour i = 1, . . . k − 1 et c(ak) = a1. Les autreselements sont inchanges.

3 - On appelle transposition un cycle de longueur 2.

Exemple 3.1.

1 - Soit σ =

(1 2 3 4 5 62 5 6 1 4 3

). Alors les orbites de σ sont

1, 2, 5, 4 et 3, 6.

2 -

(1 2 3 4 51 5 2 4 3

), possede les orbites 2, 5, 3 1 et 4. C’est

un 3-cycle.

3 - S3 est constitue par l’identite I, trois transpositions (12), (13), (23)et deux cycles (123) et (132).

Definition. Deux cycles sont dits disjoints ou independants, si leurssupports sont disjoints.

Proposition 3.1..

Deux cycles disjoints commutent.

Theoreme 3.2..

77

1 - Toute permutation non identique est la composee de facon unique(a l’ordre des facteurs pres) de cycles deux a deux disjoints.

2 - Toute permutation est un produit (non necessairement unique)de transpositions.

Pratique de decomposition d’une permutation. Soit σ ∈ Sn

est une permutation, pour la decomposer en cycles independants, onconsidere ses orbites non triviales Ω1, . . . , Ωm. Chaque orbite Ωi =ai1 , . . . , aik, donne lieu a un cycle ci = (ai1 . . . aik), tel que ci(ais) =ais+1 pour s = 1, . . . k−1, et ci(aik) = ai1 . On ecrit alors σ = c1. . .cm.

Pour chaque cycle on a : (a1 . . . ak) = (a1a2) (a2a3) . . . (ak−1ak).Ce qui permet de decomposer σ en transpositions.

Exemple 3.2.

Soit σ =

(1 2 3 4 5 6 7 84 5 8 3 6 2 7 1

)∈ S8. Les orbites non tri-

viales de σ sont : 1, 4, 3, 8 et 2, 5, 6 et on a :

σ = (1, 4, 3, 8) (2, 5, 6) = (14) (43) (38) (25) (56).

Proposition 3.3. Soit σ une permutation de E = 1, 2, . . . , n,τ = (a, b) une transposition. On note σ′ = τ σ, m le nombre de σ-orbites et m′ celui des σ′-orbites. Alors :

- Si a, b appartiennent a la meme σ-orbite on a : m′ = m + 1.

- Si a, b appartiennent a deux σ-orbites differentes, on a m′ = m−1.

Definition. Soit σ ∈ Sn. On appelle signature de σ, le nombreε(σ) = (−1)n−m ∈ −1, 1 ou m est le nombre de σ-orbites.

Theoreme 3.4. Soit n ≥ 2, l’application signature ε : Sn →(−1, 1,×) σ 7→ ε(σ), est un morphisme surjectif de groupes tel quepour toute transposition τ on a ε(τ) = −1.

Le noyau de ε est le sous-groupe An, des permutations dites paires.An est appele le groupe alterne de degre n. Son ordre est egal a n!

2.

Une permutation est paire (resp. impaire), si et seulement si, ellese decompose en un nombre pair (resp. impair) de transpositions.

78

Exemple 3.3.

1 - Dans l’exemple 3.2, on a σ est un produit de 5 transpositions.Donc ε(σ) = (−1)5 = −1, c’est une permutation impaire.

2 - La signature d’un k-cycle est egale a (−1)k−1.

3 - On aA4 = I, (123), (132), (124), (142), (234), (243), (134), (143),(12)(34), (13)(24), (14)(23).

79

CHAPITRE 12

Complements sur les anneaux principaux

1. Ideal d’un anneau

Soit A un anneau commutatif. On appelle ideal de A, un sous-ensemble non vide I de A qui est un sous-groupe de (A, +) et tel que∀a ∈ A, ∀x ∈ I on a : ax ∈ I.

Proposition 1.1. Soit A un anneau , I ⊂ A est un ideal de A siet seulement si, 0 ∈ I, ∀a ∈ A, ∀x, y ∈ I on a : x + y ∈ I et ax ∈ I.

Exemple 1.1.

0 et A sont des ideaux dits ideaux triviaux de A.

Exemple 1.2.

Soit u ∈ A, l’ensemble Au = au ∈ A : a ∈ A est un ideal de Aappele ideal principal engendre par u. On le note aussi (u).

Exemple 1.3.

Les ideaux de Z sont principaux.

Exemple 1.4.

Le noyau de tout morphisme d’anneaux est un ideal.

Proposition 1.2. 1 - L’intersection d’une famille quelconque d’ideauxest un ideal.

2 - La somme de deux ideaux, I et J : I +J = x+y : x ∈ I, y ∈ Jest un ideal.

2. Anneaux principaux

Un anneau A est dit principal, s’il est integre (commutatif) et toutideal de A est principal.

81

Exemple 2.1. L’anneau Z est principal.

Theoreme 2.1. Si K un corps commutatif, alors l’anneau K[X]est un anneau principal.

Remarque. Z[X] n’est pas principal. On montre que P ∈ Z[X] :2|P (0) est un ideal non principal de Z[X].

Soit A un anneau integre, a, b ∈ A.

1 - On dit que a divise b, notation a|b, ou que a est un diviseur deb ou que b est un multiple a, s’il existe c ∈ A tel que b = ac.

Ce qui est equivalent a (b) ⊂ (a). Ou (u) designe l’ideal principalengendre par u.

2 - On dit que a et b sont associes si a|b et b|a.

Ce qui est equivalent a (b) = (a), ou ∃ ε ∈ A inversible : a = εb

3 - Soit p ∈ A non inversible. On dit que p est irreductible dans Asi tout diviseur de p est ou bien inversible ou bien associe avec p.

4 - p ∈ A non inversible est dit premier, si ∀a, b ∈ A on a :p|ab ⇒ p|a ou p|b.

On a : si p est premier alors p est irreductible. La reciproque estfausse en general.

5 - Soient a, b ∈ A. Un element d de a est dit Plus Grand CommunDiviseur (PGCD) de a et b, si : d divise a et b et tout diviseur communa a et b divise d.

Un element m de A est dit Plus Petit Commun Multiple (PPCM)de a et b, si m est un multiple de a et b et tout multiple de a et b estdivisible par m.

6 - Deux elements a et b sont dits premiers entre eux si les seulsdiviseurs communs a a et a b sont les elements inversibles.

Theoreme 2.2. Soit A un anneau principal, alors :

82

1 - Pour tout a, b dans A il existe d un PGCD et m un PPCMdefinis par : (a) + (b) = (d) et (a) ∩ (b) = (m).

2 - a et b sont premiers entre eux, si et seulement si, il existeu, v ∈ A tels que ua + vb = 1 (Bezout).

Theoreme 2.3 (Gauss). Soit A un anneau principal, a, b, c ∈ A.Si a | bc et a est premier avec b alors a | b.

Theoreme 2.4. Soit A un anneau principal p un element de A,alors les assertions suivantes sot equivalentes :

(i) p est irreductible.

(ii) p est premier et p 6= 0.

Exemple 2.2.

Les elements irreductibles dans Z sont les nombres premiers. (ilexiste une infinite de nombres premiers).

Exemple 2.3.

Les polynomes irreductibles dans C[X], sont les polynomes du pre-mier degre.

Exemple 2.4.

Les polynomes irreductibles dans R[X], sont les polynomes du pre-mier degre et les polynomes du deuxieme degre a discriminant stricte-ment negatif .

83

Exercices

Exercice 1.

Soient P,Q et R trois propositions.

1 - Montrer que :

P ⇒ (Q ⇒ R) ≡ (P ∧Q) ⇒ R

2 - Si les trois propositions : P ∨Q, P ⇒ R et Q ⇒ R sont vraies,alors R est vraie.

Exercice 2.

On definit le connecteur logique ⊕ dit ” ou exclusif”, de la manieresuivante : si P et Q sont deux propositions : P⊕Q ≡ (P∨Q)∧¬(P∧Q).

1 - Dresser la table de verite de ⊕.

2 - Montrer que P ⊕Q ≡ ¬(P ⇔ Q).

3 - Montrer que pour trois propositions P,Q et R on a :

(i) - (P ⊕Q)⊕R ≡ P ⊕ (Q⊕R).

(ii) - P ∧ (Q⊕R) ≡ (P ∧Q)⊕ (P ∧R).

4 - Soient E un ensemble, A,B ⊂ E. On rappelle que A∆B =(A\B) ∪ (B\A). Montrer que A∆B = x ∈ E : (x ∈ A)⊕ (x ∈ B).

5 - Soient A,B, C trois parties de E. Montrer que

(A∆B)∆C = A∆(B∆C).

A ∩ (B∆C) = (A ∩B)∆(A ∩ C).

Exercice 3.

85

1 - Montrer par recurrence que ∀n ∈ N, on a :n∑

k=0

k(k − 1) =1

3(n(n− 1)(n + 1))

2 - Montrer par recurrence que, 106n+2 +103n+1 +1 est divisible par111, quelque soit n ∈ N. (Indication : utiliser le fait que 1000=9.111+1).

Exercice 4.

On definit les cinq ensembles suivants :

A1 = (x, y) ∈ R2, x + y < 1A2 = (x, y) ∈ R2, | x + y |< 1A3 = (x, y) ∈ R2, | x | + | y |< 1A4 = (x, y) ∈ R2, x + y > −1A5 = (x, y) ∈ R2, | x− y |< 1

1 - Representer ces cinq ensembles.

2 - En deduire une demonstration geometrique de

(| x + y |< 1 et | x− y |< 1) ⇔| x | + | y |< 1

Exercice 5.

Soit E un ensemble et f : E → P(E), une application quelconque.On pose A = x ∈ E : x /∈ f(x).

1 - En raisonnant par l’absurde, montrer que A ne possede pasd’antecedent par f .

2 - Deduire de 1, qu’il n’existe pas de surjection de E sur P(E).

86

Exercice 6.

Soient f : E → F une application. A et B deux parties de E, C etD deux parties de F .

1 - Montrer que f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B), et que f(A ∩ B) ⊂f(A) ∩ f(B).

2 - Montrer que f−1(C∪D) = f−1(C)∪f−1(D), et que f−1(C∩D) =f−1(C) ∩ f−1(D).

3 - Montrer que, ∀A,B ⊂ E, f(A∩B) = f(A)∩f(B) ⇔ f est injective.

Exercice 7.

Soient f : E → F et g : F → G deux applications. Montrer que :

g f injective ⇒ f injective.

g f surjective ⇒ g surjective.

Exercice 8.

Donner un exemple d’application de R dans lui meme injective etnon surjective, puis un exemple d’application surjective et non injective.

Exercice 9.

Soient P = z ∈ C : Imz > 0, ou Imz designe la partie imaginairede z. D = z ∈ C :| z |< 1.

1 - Montrer que ∀z ∈ P , z−iz+i

∈ D.

2 - Soit l’application f : P → D, definie par f(z) = z−iz+i

, ∀z ∈ P .

Montrer que f est une bijection et determiner f−1.

Exercice 10.

Dans l’ensemble C des nombres complexes, on definit la relation Rpar : ∀z, z′ ∈ C, zRz′ ⇔| z |=| z′ |. Montrer que R est une relationd’equivalence et determiner ses classes.

Exercice 11.

Soient E et F deux ensembles, R une relation d’equivalence surE et S une relation d’equivalence sur F . Dans E × F on definit une

87

relation T par :

(x, y)T (x′, y′) ⇔ xRx′ et ySy′

1 - Montrer que T est une relation d’equivalence sur E × F .

2 - Etablir une bijection entre (E × F )/T et E/R× F/S.

Exercice 12.

Soient (E,≺), (F,≺), deux ensembles ordonnes. On definit sur E×F une relation R de la facon suivante :∀(x, y), (x′, y′) ∈ E × F , alors :

(x, y)R(x′, y′) ⇔ (x 6= x′ et x ≺ x′) ou (x = x′ et y ≺ y′)

1 - Montrer que R est une relation d’ordre sur E×F , appelee ordrelexicographique.

2 - Montrer que si et que si (E,≺), (F,≺) sont totalement ordonnes,alors il en est de meme de (E × F,R).

Exercice 13.

Sur E = Q2, on defini la loi ⊥ par : (a, b) ⊥ (a′, b′) = (aa′, ba′ + b′).Citer les proprietes de cette loi. On etudiera en particulier les elementssymetrisables.

Exercice 14.

Montrer que l’application reciproque d’un isomorphisme est un iso-morphisme.

Exercice 15.

Soit E = R\1. Pour x, y ∈ E, on pose x ? y = x + y − xy.

1 - Montrer que ? definit une L.C.I sur E.

2 - Montrer que l’application f : (R∗,×) → (E, ?) definie parf(x) = 1−x, est un isomorphisme. En deduire que (E, ?) est un groupeabelien.

88

3 - Pour n ∈ N, on definit x?n, par recurrence, de la maniere sui-vante : x?0 = 0 et x?(n+1) = x?n ? x. Calculer 2?2008.

Exercice 16.

Sur R on definit une loi de composition interne > par :

∀x, y ∈ R, x>y = x + y − 3x3y3

1 - Montrer que > est commutative et admet un element neutre.

2 - Montrer qu’i existe un element ayant au moins deux symetriques.

3 - Montrer que la loi > n’est pas associative.

Exercice 17.

Dire si les ensembles suivants sont des monoıdes pour la multipli-cation des entiers.

1 - E = x = a2 + b2 ∈ N : a, b ∈ N.

2 - F = x = a2 + b2 + c2 ∈ N : a, b, c ∈ N.

Exercice 18.

Donner un exemple de monoıde contenant un element symetrisablea gauche mais non symetrisable a droite.

(Indication : Considerer le monoıde (F(N,N), ), des applicationsde N dans lui-meme).

Exercice 19.

1 - Les ensembles suivants munis des lois indiquees sont-ils desgroupes ?

a - L’ensemble des reels positifs muni de l’addition.

b - L’ensemble des reels positifs muni de la multiplication.

2 - On note P(E) l’ensemble des parties d’un ensemble E. Pourlesquelles des lois ∩,∪ ou ∆, P(E) est-il un groupe ?

Exercice 20.

89

On rappelle que la loi + definie sur Z2 par :

(x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′)

munit Z2 d’une structure de groupe, appelee groupe produit.

Soient a, b ∈ Z. Montrer H = (x, y) ∈ Z2 : ax + by = 0, est unsous-groupe de Z2.

Exercice 21.

Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Montrer queH ∪K est un sous-groupe de G, si et seulement si, H ⊂ K ou K ⊂ H.

Exercice 22.

Soit E un ensemble, P(E) l’ensemble des parties de E. Montrer que(P(E), ∆,∩) est un anneau commutatif.

Exercice 23.

1 - Dire si les ensembles suivants sont des sous-anneaux de R.

A = a + b√

2 ∈ R : a, b ∈ Z.

B = a + b 3√

2 ∈ R : a, b ∈ Z.

2 - Montrer que D = a + bi ∈ C : a, b ∈ Z, ou i2 = −1, est unsous-anneau de C. Trouver ses elements inversibles.

3 - Soit α ∈ C. Donner une condition neceesaire et suffisante sur αpour que E = a + bα ∈ C : a, b ∈ Q, soit un sous-anneau de C.

Exercice 24.

Un anneau A est dit anneau de Boole si ∀x ∈ A, on a : x2 = x.

Soit A un anneau de Boole.

1 - Montrer que ∀x ∈ A, on a : x + x = 0 et que A est commutatif.

2 - Montrer que si A contient au moins trois elements, alors il n’estpas integre.

Exercice 25.

90

1 - Soit n un entier naturel non nul et k ∈ Z. Montrer que k estinversible dans (Z/nZ, +, ·), si et seulement si, k est premier avec n.

2 - En deduire que (Z/nZ, +, ·) est un corps, si et seulement si, nest un nombre premier.

Exercice 26.

Soit (A, +, ·) un anneau . On designe par 0, l’element neutre de(A, +) et par 1, l’element neutre de (A, ·). On dit que a ∈ A est nil-potent s’il existe k ∈ N tel que ak = 0.

1 - Montrer que si a et b sont nilpotents et que ab = ba, alors a + best nilpotent.

2 - Montrer que si a est nilpotent alors 1−a est inversible. Calculeralors son inverse.

3 - Trouver les elements nilpotents de Z/10Z et de Z/12Z.

Exercice 27.

Montrer que Q[√

2] = a + b√

2 ∈ R : a, b ∈ Q est le corps defractions de Z[

√2].

Exercice 28.

Soit K = (Z/2Z, +, ·). On definit les lois + et · sur K2 par :

(x, y) + (z, t) = (x + y, z + t)

(x, y).(z, t) = (xz + yt, xt + yz + yt)

Montrer que (K2, +, ·) est un corps commutatif.

Exercice 29.

1 - Dans R[X], effectuer la division euclidienne de X5+2X2+X +1par X3 + X + 1.

2 - Soient a, b ∈ K et P ∈ K[X]. Determiner le reste de la divisioneuclidienne de P par (X − a)(X − b). (On distinguera le cas a 6= b ducas a = b).

91

3 - Determiner le reste de la division euclidienne de (X − 3)2n +(X − 2)n − 2 par X2 − 5X + 6.

4 - Determiner le reste de la division euclidienne de (cos θ+X. sin θ)n

par X2 + 1.

Exercice 30.

Montrer que pour tout P ∈ K[X] on a P (X)−X divise P (P (X))−X.

Exercice 31.

Pour quelles valeurs de n, le polynome (Xn + 1)n −Xn est-il divi-sible par X2 + X + 1?

Exercice 32.

Trouver dans R[X] tous les polynomes divisibles par leurs derives.

Exercice 33.

Soit Pn(X) = 1 + X + 12!X2 + . . . + 1

k!Xk + . . . + 1

n!Xn ∈ R[X].

Montrer que Pn ne possede pas de racine multiple.

Exercice 34.

Factoriser P = (X + i)n− (X− i)n dans C[X]. En deduire l’expres-sion de :

m∏

k=1

(4 + cotg2 kπ

m + 1)

Exercice 35.

Montrer que 1 est une racine triple du polynome reel X2n−nXn+1+nXn−1 − 1, pour tout entier naturel ≥ 1.

Exercice 36.

Determiner n pour que le polynome (X +1)n−Xn−1 admette uneracine multiple.

Exercice 37.

92

Trouver un polynome P ∈ R[X] de degre 7 tel que 1 soit racined’ordre au moins 4 de P (X) + 1 et −1 racine d’ordre au moins 4 deP (X)− 1.

Exercice 38.

Donner une condition necessaire et suffisante sur p et q pour que lepolynome X3 +pX + q possede une racine multiple et determiner cetteracine.

Exercice 39.

Factoriser le polynome X4 + 1 dans C[X] et dans R[X].

Exercice 40.

Soit α une racine de P = X4+X3+X2+X +1. On pose β = α+ 1α.

1 - Montrer que β est racine d’un polynome du second degre deQ[X] que l’on determinera.

2 - En deduire l’expression de β puis celles de cos2π5

et sin2π5

parradicaux.

Exercice 41.

Factoriser le polynome suivant dans R[X].

Pn = 1 + X + 12!X(X + 1) + . . . + 1

n!X(X + 1)...(X + n− 1)

Exercice 42.

Factoriser le polynome Xn+2− 2Xn+1 +Xn−nX2 +2nX −n dansC[X], sachant que’il possede 1 comme racine multiple.

Exercice 43.

Montrer que le polynome reel X5−5X +1 possede 3 racines reelleset deux racines complexes conjuguees.

Exercice 44.

1 - Factoriser X4 − 10X2 + 1 dans R[X] et dans Q[X].

2 - Montrer qu’un polynome irreductible dans Q[X] ne peut pasposseder des racines multiples dans C.

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Exercice 45.

1 - Soit P = anXn + an−1X

n−1 + . . . + a1X + a0 ∈ Z[X]. Montrerque si x ∈ Z est racine de P alors a − x | P (a), pour tout a ∈ Z. Enparticulier, montrer qu’on a x | a0.

2 - Trouver les racines entieres de P = X6 + X5 − 3X4 + 3X3 −16X2 + 2X − 12, puis factoriser ce polynome.

Exercice 46.

Soit P = X6 + X5 + 3X4 + 2X3 + 2X2 + X + 1 ∈ R[X].

1 - Montrer que P et P ′ ne sont pas premiers entre eux.

2 - En deduire une factorisation de P .

Exercice 47.

Decomposer en elements simples sur R et C les fractions ration-nelles suivantes :

A =X2 + 1

X(X2 − 1), B =

2

(X − 1)(X − 2)(X − 3), C =

X5 −X3 −X2

X2 − 1

D =4X3

(X2 + 1)2, E =

X3 + 1

(X − 1)4, F =

3

X3 + 1, G =

X4 + 1

(X2 + 1)(X − 1)2

H =1

(X − 1)6X, I =

X

(X6 − 2X3 cos θ + 1, J =

1

X8 + X4 + 1

Exercice 48.

Soit P = (X − α1)(X − α2)...(X − αn) un polynome possedant nracines distinctes.

1 - Soit x qui n’est pas une racine de P . Simplifier∑n

i=11

x−αi.

2 - Soient α1, α2, α3 les racines de X3 − 3X − 1.

Calculer1

2− α1

+1

2− α2

+1

2− α3

Exercice 49.

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Soit P un polynome de degre n ayant n racines α1, α2, . . . , αn dis-tinctes. Montrer que pour tout entier k : 0 ≤ k ≤ n− 2, on a :

n∑i=1

αki

P ′(αi)= 0

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