cours asserve simplifié

8/18/2019 Cours Asserve Simplifié

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Cours 02 – Modélisation des systèmes asservis en SLCI et réponses temporelles Lycée Bellevue Toulouse – CPGE MP

Florestan MATHURIN Page 1 sur 20

Modélisation des systèmes asservis en SLCI et réponses temporelles

EExxeemmpplleess ddee ssyyssttèèmmeess aasssseerrvviiss ddee llaa ssaallllee ddee TTPP SSIIII Robot jockey, Direction Assistée Electrique, Maxpid, cordeuse de raquette ...

1. Systèmes automatiques

1.1. Définition système automatiqueUn système automatique est un système dont les éléments le constituant coordonnent entre eux pour

réaliser des opérations et pour lequel l'intervention humaine est limitée à la programmation du système

et à son réglage préalable. Un système automatique permet de :

• Réaliser des tâches trop complexes ou dangereuses pour l'homme

Exemple : Module d’exploration Martien

• Substituer la machine à l’homme pour faire des tâches répétitives et pénibles

Exemple : Bras de soudage de chaîne d’assemblage automobile

• Accroître la précision

Exemple : Robot chirurgical

Les systèmes de commande automatiques s'inspirent le plus souvent du comportement de l'homme.

1.2. Classification des systèmes automatiquesLes systèmes automatiques sont classés en fonction de la nature de leurs informations de commande et

de mesure. On distingue deux types d'informations : analogiques et discrètes.

Information (signal) analogique : Une information analogique peut prendre, de manière continue,toutes les valeurs possibles dans un intervalle donné. Un signal analogique peut être représenté par une

courbe continue. Exemple : les grandeurs physiques (température, vitesse, position, tension, ...) sont

des informations analogiques.

Information (signal) discrète : Une information discrète est constituée d'un nombre fini de valeurs.

On distingue :• une information logique du type « vrai/faux » ou « 0/1 ». Elle est associée à l'état d'une variable

qui ne peut prendre que deux valeurs possibles. Ces informations peuvent aussi être appelées

des informations binaires (bit) ou « Tout Ou Rien » (TOR).


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• une information numérique sous la forme d'un mot binaire, constitué de plusieurs bits(variables binaires 0/1). Cette information numérique est en général issue d'un traitement

(échantillonnage et codage) d'une information analogique (on parle de Conversion Analogique

Numérique CAN).

Signal analogique (à gauche) et signal numérique (échantillonné puis codé) (à droite)

On peut découper les systèmes automatiques suivant les catégories ci-dessous :

Système asservi

Système automatique

Système automatique à

logique combinatoire

Système automatique à

logique séquentielle

Système suiveur Système régulateur

Les systèmes asservis suiveurs ou en poursuited'une loi de référence dans lesquels la consigne

d'entrée varie en permanence. L'objectif de cesystème est d'ajuster en permanence le signal desortie au signal d'entrée.

Exemple : Radar de poursuite

Les systèmes régulateurs pour lesquels laconsigne d'entrée est fixe. Ils sont destinés à

maintenir une sortie constante pour une consigned'entrée constante.

Exemple : Régulateur de débit

1.3. Représentation des systèmes asservisPour représenter un système asservi, on utilise toujours un schéma-bloc fonctionnel qui permet decomprendre la structure du système selon un point de vue commande.

Consigne

Entrée

e(t)

Amplificateur

ou correcteurSortie

s(t)

Capteur

Chaîne directe

Chaîne de retour

Actionneur

Partie commande

Partie opérative

-+

Ecart

ε(t)

Système

dynamique

Mise en forme

du signal

Perturbation


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1.4. Généralités sur les caractéristiques des performances des systèmes asservisQuatre critères principaux permettent d'analyser la réponse d'un système automatique.

StabilitéUn système est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée. Le bouclage peut

déstabiliser un système. C'est le critère que l'on regarde en premier, car sinon on ne peut pas analyserles autres critères. On souhaite toujours que le système asservi soit stable.

t

e(t) = u(t)

0

t

0

t

0

e(t) = u(t)

s(t) avec

s(+∞) = +∞

s(t)

s1(t)

e(t) = u(t)

s2(t)

Réponse s(t) à un échelon e(t) d’un

système instable

Réponse s(t) à un échelon e(t) d’un

système instable Réponses à un échelon e(t) de

systèmes stables

PrécisionLa précision qualifie l'aptitude du système à atteindre la valeur visée. Elle est caractérisée par l’erreur

er(t) entre la consigne en entrée et la valeur asymptotique effectivement atteinte par la grandeur de

sortie. Si l’erreur est nulle, on dit que le système est précis.

t

0

t

0

e(t) = u(t) e(t) = a.t.u(t)

s(t)

Erreur

Erreur

s(t)

RapiditéLa rapidité est caractérisée par le temps que met le système à réagir à une variation brusque de la

grandeur d'entrée. Cependant, la valeur finale étant le plus souvent atteinte de manière asymptotique,

on retient alors comme principal critère d'évaluation de la rapidité d'un système, le temps de réponse à

n%.

Dans la pratique, on utilise le temps de réponse à 5% (t5%), c'est le temps mis par le système pouratteindre sa valeur de régime permanent à ±5% près et y rester.

Attention le temps de réponse à 5% n’est pas le temps mis pour atteindre 5% de la valeur

souhaitée !!!


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t

0

t

u(t)

0

e(t) = u(t)

s(t)

Valeur

asymptotique

t5%

±5% de la valeur

asymptotiquee(t) = u(t)

s(t)

Valeur

asymptotique

±5% de la valeur

asymptotique

t5%

Méthode pour déterminer le temps de réponse à 5% :

1. On trace la droite correspondant à la valeur asymptotique.

2. On trace la bande correspondant à ± 5% de la valeur asymptotique.

3. On en déduit graphiquement le temps de réponse à 5%.

Amortissement (ordre >2)L'amortissement est caractérisé par le rapport entre les amplitudes successives des oscillations de la

sortie. Plus ces oscillations s'atténuent rapidement, plus le système est amorti.

t

0

t

0

t

0

e(t) = u(t)

s(t)

e(t) = u(t)

s(t)

e(t) = u(t)s(t)

Système sur-amorti Système « bien » amorti Système sous-amorti

L'asservissement « idéal » est un système ayant une bonne stabilité, une bonne précision ainsiqu’un régime transitoire rapide et bien amorti. Cependant ces critères de performances ne sont pas

toujours compatibles. Par exemple, un processus rapide est généralement léger, il a ainsi une faibleinertie et risque d'être peu amorti voire instable. D'autre part si on veut améliorer la précision, on raidit

l'asservissement et on risque de tomber alors sur un phénomène d'instabilité. Tout l'art de

l'automaticien est de réaliser une partie commande permettant de respecter au mieux ces critères.

2. Modélisation des systèmes asservis

2.1. Démarche de modélisation et d’étude des systèmes asservisEn automatique, l'objectif principal est d’établir un modèle comportemental du système à commanderpour pouvoir ensuite élaborer sa partie commande. Ce modèle comportemental est obtenu après

plusieurs étapes.

La première étape correspond à une phase de modélisation des entrées du système ainsi que dusystème lui-même, elle permet d’élaborer un modèle de connaissance grâce aux lois fondamentalesde la physique ou la chimie.


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Ce modèle de connaissance se traduit

souvent par une relation mathématique

qui peut être assez complexe et comporter

de nombreux paramètres à identifier.

On simplifie le modèle de connaissance

en le linéarisant autour d’un point defonctionnement. On obtient à l’issue decette étape, un modèle de comportementdont la validité reste limitée à de petitesvariations autour du point defonctionnement choisi. Le modèle decomportement est caractérisé par une

fonction mathématique que l’on appelle fonction de transfert. La réponse ducomportement du système est ensuite

simulée grâce à des outils de simulation

adaptés. Enfin, une fois analysée, laréponse obtenue doit être validée par

rapport aux résultats expérimentaux du

système réel ou aux critères de FS

attendues.

Comportement réel du système

Domaine Physique (réel)

Comportement simulé du système

Domaine Virtuel Validation

Calcul de la fonction de transfert

Modèle de comportement

Linéarisation

autour d’un point

de fonctionnement

Modèle de

connaissance

Objectif d’étude

Schéma-bloc

fonctionnel

+ équa. diff.

Schéma-bloc +

Fonction de transfert

Modélisationdes entrées etdu système

• Le domaine de validité des différents outils utilisés dans le domaine virtuel implique lamise en place d’hypothèses simplificatrices lors de la phase de modélisation. Plus lemodèle est proche du système réel, plus les résultats obtenus seront satisfaisants.

• Les outils informatiques peuvent être très utiles lors des différentes étapes de simulationdu système.

• Si le modèle de connaissance est déjà linéaire, le modèle de connaissance et le modèlede comportement sont alors identiques.

2.2. Modélisation des entrées des systèmes asservis - Signaux testsPour étudier un système d'un point de vue expérimental ou pour réaliser une validation d'un modèle, il

est nécessaire d'utiliser des consignes simples ou signaux d'entrée test. On utilise majoritairement les

modèles de signaux suivants :

• Impulsion de Dirac (ou impulsion unité) δ(t), avec δ(t)=0 ∇ t≠0

Cette fonction modélise une action s'exerçant pendant un temps trèscourt. Exemple : chocs tels que l'action d'un marteau …

La réponse à une impulsion de Dirac s'appelle une réponseimpulsionnelle.

t

δ(t)

0

• Échelon unité u(t), avec u(t)=0 si t


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Toute fonction mathématique simple, nulle pour les temps négatifs, peut s'écrire à l'aide

d'un échelon unitaire u(t)

Exemples : Rampe de pente unitaire ou signal sinusoïdal

• Rampe de pente unitaire f(t), avec f(t)=0 si t


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En réalité aucun système n’est parfaitement linéaire. La caractéristique entrée sortie

comporte toujours plus ou moins des non linéarités, notamment aux faibles amplitudes

(seuils) ou aux fortes amplitudes (saturation, courbure). Le système est dit non linéaire.

s(t)

e(t)

Courbure

s(t)

e(t)

Seuil

s(t)

e(t)

Saturation

smaxi

emini

s(t)

e(t)

Hystérésis

Exemple : saturation

amplificateur

Exemple : frottement Exemple : butée

mécanique

Exemple : jeux

mécaniques

Dans la pratique pour étudier les systèmes, on

linéarise la caractéristique entrée-sortie auvoisinage du point de fonctionnement étudié en remplaçant la portion de courbe par une

droite. Le système est dit alors linéarisé.

e(t)

Zone d’approximation linéaire

Approximation linéaire

s(t)

Point de fonctionnement

étudié

Système continu : Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variationsdes grandeurs physiques sont définies à chaque instant (ils sont caractérisés par des fonctions

continues). On parle aussi dans ce cas de système analogique.

Système invariant : Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système(masse, dimensions, résistance, impédance, ...) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit

pas").

sortie

entrée

sortie

entrée

t tt1 t1+τ

Conséquence : Un système linéaire continu invariant peut être représenté par une équationdifférentielle à coefficients constants.

2.4. Modèle de comportement général des SLCI et transformée de LaplaceUn système linéaire continu invariant est modélisé par un modèle de comportement représenté par une

équation différentielle d'ordre n reliant la sortie s(t) à l’entrée e(t). Elle est obtenue par la combinaison

des différentes équations différentielles issues des modèles de comportement des sous-systèmes

élémentaires constituant le schéma-bloc fonctionnel du système global. Elle s'écrit sous la

forme générale :

)(....)(

.)(....)(

.00

t ebdt

t ed bt sa

dt

t sd a

m

m

mn

n

n

++=++

L'outil privilégié pour traiter un SLCI de manière efficace, tant pour analyser le comportement, que

pour résoudre une équation d'ordre quelconque, est la transformation de Laplace.


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Définition : La transformée de Laplace de la fonction f(t), telle que f(t)=0 pour t


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2.5. Fonction de transfertLa transformation de l'équation différentielle du SLCI (obtenue dans le domaine temporel) en équation

polynomiale (obtenue dans le domaine de Laplace) permet de déterminer une fonction appelée

fonction de transfert qui caractérise le comportement du SLCI.

On appelle fonction de transfert H(p) du système (ou transmittance) la relation dans le domainesymbolique telle que :

).....1.(

).....1.(

)(

)()(

1

1

α α −+++

+++==

n

n

m

m

pa pa p

pb pbK

p E

pS p H

avec α : classe du système (représente le nombre d’intégration dans le système avec α = 0 ,1 ou 2)n : ordre du système, identique à l’ordre de l’équation différentielle

K : gain statique (permet de connaître le comportement du système en régime permanent). Kpossède une unité (unité de la variable de sortie / unité de la variable d’entrée).

•

La fonction de transfert caractérise le comportement intrinsèque du système et nedépend ni de l'entrée, ni de la sortie.• L’écriture de la fonction de transfert sous cette forme s’appelle forme canonique.

Pour représenter le système décrit par la fonction de transfert H(p), on utilise des blocs.

• Un bloc peut représenter un composant ou bien un sous-système ou également unsystème complexe.

• Le schéma-bloc fonctionnel doit être modifié en schéma-bloc pour lequel les noms descomposants sont remplacés par la fonction de transfert correspondante et les variables

temporelles sont remplacées par les variables symboliques (E(p), S(p)...).

E(p)Système

S(p)e(t)Système

s(t)

Le comportement dynamique du système est entièrement défini par les pôles (racines dudénominateur) et les zéros (racines du numérateur) de la fonction de transfert car ils permettentd’analyser le comportement du système sans calculer la réponse temporelle.

Re

Im

Sinusoïde

amortie

Exponentielle

amortie

Constante

Réponse amortie Réponse amplifiée

Pôle double

Pôles conjugués

Sinusoïde Sinusoïde

amplifiée

Exponentielle

amplifiée

Forme de la réponse d’un système en fonction du lieu des pôles


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2.6. Calcul de la fonction de transfert des systèmes complexes

Fonction de Transfert Boucle Fermée (FTBF) : On définit la fonction de transfert en boucle ferméeH(p) d’un système pour caractériser le comportement global du système. Elle est déterminée sur la

base du schéma boucle fermée ci dessous.

A(p)

B(p)

-+

ε(p)E(p) S(p)

M(p)

E(p) S(p)

)().(1

)()(

p B p A

p A p H

+=

Simplification

On utilise la FTBF pour étudier les réponses s(t) du système à des entrées e(t) quelconques.

Ces études permettent ensuite d'analyser les performances du système bouclé.

Attention aux signes dans le comparateur !!!! Si le – de M(p) dans le comparateur est

remplacé par un + la formule devient)().(1

)(

)(

)()(

p B p A

p A

p E

pS p H

−==

Fonction de Transfert Boucle Ouverte (FTBO) : La fonction de transfert en boucle ouverte T(p) estdéfinie comme la fonction de transfert du système lorsque le retour sur le sommateur est coupé. Elle

comprend la chaîne directe et la chaîne de retour. Dans le cas de la FTBO, on ne s'intéresse pas à la

sortie S(p) mais à la mesure M(p) en fonction ε(p).

A(p)

B(p)

-+

ε(p)E(p) S(p)

M(p)

Coupure

ε(p) M(p)T(p)=A(p).B(p)

Simplification

•

Si la structure du schéma-bloc est complexe, on peut définir des FTBO et FTBFintermédiaires pour tous les sous-systèmes à boucle fermée, mais seules la FTBF et laFTBO de la boucle principale sont intéressantes.

• Dans la pratique on peut calculer simplement la FTBF à partir de la FTBO grâces auxrelations suivantes :

FTBO

FTBO

retour dechaineladeFT FTBO

directechaineladeFT FTBF

+=

+=

1.

1

1

Manipulations élémentaires sur les schémas-blocs

U(p) W(p)B(p)A(p) U(p) W(p)B(p)A(p)


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W(p)

V(p)

-+

++

U(p) W(p)

++

-+

X(p) X(p) V(p)

U(p)

Y(p)B(p)A(p)

S(p)

C(p)X(p)

Schéma-bloc initial

Y(p)B(p)A(p)

S(p)

C(p).A(p)X(p)

Déplacement du point de

prélèvement vers la gauche

Y(p)B(p)A(p)

S(p)

C(p)/B(p)X(p)Déplacement du point de

prélèvement vers la droite

Y(p)B(p)A(p)

S(p)

C(p)X(p)

Schéma-bloc initial

Déplacement du

sommateur vers la gauche

Déplacement du

sommateur vers la droite

-

+

ε(p)

B(p)A(p)S(p)

C(p)/A(p)X(p)

-+

Y(p)

A(p) B(p)S(p)

C(p).B(p)X(p)

-+

Y(p)

• Il est inutile de déplacer un sommateur en direction d'une jonction ou l'inverse caraucune simplification n'est possible.

• Il faut toujours faire attention au(x) bloc(s) rajouté(s) dans la branche déplacée.

Système à boucles concentriques

-+

-+

E(p)A(p) C(p)

D(p)

B(p)

S(p)

Pour ce type de système, il faut toujours commencer par calculer la FTBF de la boucle interne.


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-+

E(p)C(p)

D(p)

S(p)

)().(1

)(

p B p A

p A

+

On reconnait ensuite une boucle fermée que l’on sait bien traiter…

Système à boucles imbriquées

-+

-+

E(p)A(p) B(p)

C(p)

S(p)D(p)

E(p)

Pour ce type de système, il faut toujours commencer par déplacer les points de prélèvement pour se

ramener à un système de boucles concentriques.

-+

-+

E(p)A(p) B(p)

C(p)

S(p)D(p)

E(p) D(p)

On se retrouve ensuite devant un système à boucles concentriques que l’on sait aussi bien gérer.

Fonction de transfert boucle fermée des systèmes multi-variables

-

-+A(p) B(p)

C(p)

S(p)

E2(p)

+E1(p)

Pour déterminer la fonction de transfert sur ce type de système, on utilise le principe de superposition

des SLCI. On superpose deux modes : un 1er mode pour lequel l’entrée E2(p) est considérée commenulle et un 2

nd mode lequel l’entrée E1(p) est considérée comme nulle.


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• Mode à entrée E2(p)=0

-+

E1(p)A(p) B(p)

C(p)

S(p) 0)(10)(1

2

2 )(

)()(

=

= =

p E

p E p E

pS p H

)().().(1

)().()(

0)(1 2 pC p B p A

p B p A p H

p E +

==

H1(p) est la fonction de transfert en

poursuite.

• Mode à entrée E1(p)=0

-

-+A(p) B(p)

C(p)

S(p)

E2(p)

-

A(p) C(p)

B(p)S(p)E2(p)

-

)().().(1

)(

)(

)()(

0)(20)(2

1

1 pC p B p A

p B

p E

pS p H

p E

p E +

==

=

=

H2(p) est la fonction de transfert en régulation.

La superposition permet d’obtenir la fonction de transfert boucle fermée du système multi-variables :

)(.

)().().(1

)()(.

)().().(1

)().()( 21 p E

pC p B p A

p B p E

pC p B p A

p B p A pS

+

−

+

=

3. Réponses temporelles des systèmes du 1er ordre

p

K

p E

pS pG

.1)(

)()(

τ +== où : K est le gain statique du système ([unité de sortie]/[unité d’entrée])

τ est la constante de temps (secondes).

3.1. Réponse impulsionnelle

L’entrée est définie par une impulsion de Dirac,e(t)=δ(t) → E(p)=1.

La sortie a donc pour expression dans le

domaine de Laplace :

p

K

p

K pS

+

=+

=

τ

τ τ 1.1

)( soit :

p

K

pS

+

=

τ

τ 1

)(

La réponse temporelle a donc pour expression :

)(.)( t ueK

t s

t

τ

τ

−

= t

δ(t)

0

s(t)

τ

K

τ

Tangente à l’origine

• La tangente à l’origine coupel’axe des abscisses en t=τ

• s(+∞)= )(.lim)(lim0

pS pt s pt →∞→

= = 0

s(+∞)=0

Théorème de la valeur finale


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3.2. Réponse indicielle L’entrée est définie par un échelon unitaire, e(t)=u(t).

La réponse temporelle a pour expression :

)(.1)( t ueK t s

t

−=

−τ

• Ordonnée en +∞ :

K pS pt ss pt

===+∞→∞+→

)(.lim)(lim)(0

Théorème de la valeur finale

→ K s =+∞)(

• Pente à l’origine :

Représentation graphique pour K


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• Etude asymptotique en +∞:

Lorsque t → ∞, le terme τ τ

t

e−

. → 0, par conséquent s(t) → a.K.(t – τ).

L’asymptote est donc y(t) = a.K.(t – τ). Cette asymptote a donc une pente a.K et coupe l’axe des

abscisses en t = τ.

Pour K1, l’écart entre

l’entré et la sortie diminue,

s’annule puis augmente.

t

e(t)

0

s(t)

τ

Droite de pente a

Asymptote de pente a.K

4. Réponses temporelles des systèmes du 2nd ordre

2

00

2

2

0

2

2

00

...21.21)(

)()(

ω ω

ω

ω ω ++

=

++

== p z p

K

p p z

K

p E

pS pG

où : K est le gain statique du système (unité [sortie]/[entrée]).z est le coefficient d’amortissement (z>0 et sans unité).

ω0 est la pulsation propre non amortie du système (ω0 >0 en radians/secondes).

4.1. Recherche des pôles de la fonction de transfert

Racines du polynôme :2

00

2...2 ω ω ++ p z p → )1.(.4.4..4 2

2

0

2

0

2

0

2−=−=∆ z z ω ω ω

cab ..42−=∆

Les pôles de la fonction de transfert dépendent donc de la valeur de z, il y a 3 cas de figure possibles :

• Cas z > 1 → ∆ > 0

)1(...2

2

00

2

1−±−=

∆±−= z z

a

b

p

pω ω d’où :

2

00

2 ...2 ω ω ++ p z p = ( )( )21 . p p p p −− avec :

)1(.. 2001 −+−= z z p ω ω

)1(..2

002 −−−= z z p ω ω

2 pôles réels

négatifs

Représentation dans le plan complexe :

Re

Im

p1

p2 Quand z→∞, p1→0

Quand z→∞, p2→–∞

Cas particulier : Représentation des pôles

correspondant à z infini.


16/20



• Cas z = 1 → ∆ = 0

0

2

1

.2ω −=

∆±−=

a

b

p

p d’où :

2

00

2 ...2 ω ω ++ p z p = ( )21 p p − = ( )2

2 p p − avec :

01 ω −= p

02 ω −= p 2 pôles réels confondus


Re

Im

p1

p2

• Cas z < 1 → ∆ < 0

)1.(..4222

0 z j −=∆ ω

)1(....2

2

00

2

1 z j z

ab

p p −±−=∆±−= ω ω d’où :

2

00

2 ...2 ω ω ++ p z p = ( )( )21 . p p p p −− avec :

)1(...2

001 z j z p −+−= ω ω

)1(...2

002 z j z p −−−= ω ω

2 pôles complexes

conjugués

0

22

21 ImRe ω =+== p p


Re

p1 pour z=0.7

p2 pour z=0.7p2 pour z=0

p1 pour z=0

p1 p2 pour z=1 0

ImCercle de centre 0 et de rayon ω0

Cas particuliers : pôles correspondant à z=0, z=0.7et z=1.

4.2. Réponse indicielle

L’entrée est définie par un échelon unitaire, e(t)=u(t), soit dans le domaine de Laplace, E(p)= p

1.

La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :2

00

2

2

0

...2

..

1)(

ω ω

ω

++=

p z p

K

p pS

• Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) :

[ ] 0...2

..

1.lim)(..lim)('lim)0('

2

00

2

2

02

0=

++===

∞→∞→→

+

+ ω ω

ω

p z p

K

p p pS p pt ss

p pt → Pente à l’origine =0

Théorème de la valeur initiale

Transformée de la dérivée (CI nulles)

La tangente à l’origine est une droite horizontale

(ce qui est différent du système du 1er

ordre)

• Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie s(t) :

K p z p

K pS pt ss

p pt =

++===+∞

→→∞+→2

00

2

2

0

00 ...2

.lim)(.lim)(lim)(

ω ω

ω → K s =+∞)(

Théorème de la valeur finale Le régime établi ne dépend que du gain statique Z alors

que z et ω0 n’interviennent que sur le régime transitoire


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Réponse indicielle pour z > 1 (Système amorti - réponse apériodique)La réponse temporelle a pour expression :

)(...)( 21 t ueeK t st pt p δ β ++=

Régime permanent Régime transitoire

Avec p1 et p2 pôles réels négatifs.

Re

Im

p1 p2

Pôle négligé Pôle dominant

t

S’il existe un facteur 10

minimum sur la partie réelle

des pôles, on ne conserve

que le pôle dominant. s(t)

Forme de la réponse

Système du 1er

ordre

Représentation graphique pour z > 1 et K = 1

t

e(t)=u(t)

0

s(t)

K

Tangente horizontale à l’origine

Réponse indicielle pour z = 1 (Amortissement critique - réponse apériodique)La réponse temporelle a pour expression :

( ) )(...1)( .0. 00 t uet eK t s

t t ω ω ω −− −−=


Représentation graphique pour z = 1 et K = 1

t

e(t)=u(t)

0

s(t)

K

Tangente horizontale à l’origine

Réponse indicielle pour z < 1 (système sous amorti - régime pseudo-périodique)

La réponse temporelle a pour expression : )(.).sin(..1

).cos(.1.)(..

2

.. 00 t ut e z

zt eK t s p

t z

p

t z

−

−−= −− ω ω ω ω


• Pseudo-période :

La réponse présente des oscillations amorties de

période :2

0 1

22

zT

p

p

−

==

ω

π

ω

π

• 1er dépassement : Le premier maximum (ou dépassement) apparait à

p

pT t

ω

π ==

21 .

La valeur relative du 1er

dépassement D1 correspond à

21

.

1 z

z

e D −−

=

π

Représentation graphique pour z < 1 et K = 1

t

e(t)=u(t)

0

s(t)

K

Tangente horizontale

à l’origine

Tp

D1

t1 =Tp /2


18/20



• La valeur relative du 1er dépassement (et des autres dépassements) s’exprime en %.

• La valeur du dépassement ne dépend que de la valeur de z. On utilise cetteparticularité pour identifier z à partir d’un tracé expérimental, modélisable par la réponse

indicielle avec dépassement d’un système d’ordre 2.

• Un abaque est souvent utilisé (annexe 1).

Temps de réponse à 5% et temps de réponse réduit Il n’existe pas de formule simple pour calculer le temps de réponse à 5% car il dépend de la valeur du

coefficient d’amortissement z et de la pulsation propre non amortie du système ω0.

Le temps de réponse à 5% correspond à la durée au delà de laquelle la réponse s(t) reste

comprise entre 0.95 et 1.05 fois la valeur de la réponse en régime permanent (s(∞)).

On utilise un abaque (annexe 2) qui donne la valeur du temps de réponse réduit t5%.ω0 en

fonction du coefficient d’amortissement z. L’abaque permet aussi l’identification de ω0 sur un

tracé expérimental modélisable par la réponse indicielle avec dépassement d’un système

d’ordre 2.

Le temps de réponse minimum est obtenu pour un dépassement relatif de 5% ce qui correspond à un

coefficient d’amortissement de z=0,69≈0,7. On a alors 3. 0%5 =ω t pour z=0,7.

Pour une même pulsation propre non amortie ω0 et :

• pour z1, il n’y a pas de dépassement mais le système est hyper amorti donc le temps de réponseest très grand.

Pour un même coefficient d’amortissement z, plus ω0 augmente plus le temps de réponse à 5%

diminue, donc plus le système est rapide.

5. Notion de pôles dominants

Certains des pôles de la FTBF du système ont une contribution prépondérante sur le comportement

dynamique du système : il s’agit des pôles à partie réelle négative les plus proches de l’axe desimaginaires. Ils sont appelés "pôles dominants". On peut souvent simplifier l’expression du

dénominateur de la FTBF en ne conservant que les termes correspondant aux pôles dominants. Le

dénominateur doit être nécessairement sous forme canonique avant d’effectuer la simplification.

)1()1()(

21 pT pT

K pF

+⋅+= avec T1


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L’allure de la réponse impulsionnelle s(t) montre que l’on

peut négliger la constante de temps la plus faible T1 ce

qui conduit à l’expression simplifiée suivante pour H(p) :

pT

K pF

21)(

+≈

En effet, dans l’expression temporelle de s(t) :

)()( pF pS = ⇒

−⋅

−=

−−

12

12

)( T t

T

t

eeT T

K t s

s(t)

t

sans T1

avec T1

2T

K

T2

Tangente

à l’origine

Le terme 2T t

e−

correspondant au pôle dominant p2 devient prépondérant lorsque le temps croît. Il

détermine la dynamique asymptotique du système.


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Valeur du dépassement transitoire

0,05100

5= →Di=5%

Pour z≈0,7 on ne remarquequ’un seul dépassement

visible qui vaut 5%.

Pour z>0,82 il existe des

dépassements mais qui ne

sont pas visibles à l’œil (ils

sont inférieurs à 1%).

Annexe 1. Valeurs des dépassements relatifs

Annexe 2. Temps de réponse réduit

cours asserve simplifié

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