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Fonction dérivée sur 14

CH VI Fonction dérivée et variation d’une fonction. I) Droite et équation de droite :

1) Définition :

Une droite caractérise une fonction affine dont l’équation est y = ……………………. a et b sont deux nombres réels. a est appelé le ………………………………………… de la droite et b …………………………………………. Si b = 0, on obtient une fonction ……………………………………………….

2) Déterminer l’équation d’une droite : a) On connaît le coefficient directeur et les coordonnées d’un point de la droite :

Exemple : Recherchons l’équation de la droite passant par A(5 ; 2) et de coefficient directeur a = - 0,25.

L’équation générale de la droite est y = ………………

Puisque que l’on connaît le coefficient directeur, on peut donc écrire y = ………………

Puisque la droite passe par le point A, remplaçons x par 5 et y par 2

……………… ……………… ………………

La droite a pour équation y = ………………

Exercice : Rechercher l’équation de la droite passant par B( -1 ; 5) et de coefficient directeur a = -3. Puisque l’on connait le coefficient directeur, on peut écrire y = ………………. Puisque la droite passe par le point B, remplaçons x par …… et y par ……

…………………… ……………………

……………… L’équation de la droite est donc y = ……………………. b) On connaît deux points de la droite : Une droite passe par les points A(-2 ; -1) et B(2 ; 5). Quelle est cette droite ? Détermination par le calcul : Déterminer une fonction affine à partir de deux nombres et leur image (7 min 17) https://www.youtube.com/watch?v=cXl6snfEJbg&feature=youtu.be L’équation de la droite est y = ax + b.


On obtient le coefficient directeur a en calculant 12

12

x - x y- y

…………………… L’équation de la droite devient y = ………………. Il nous reste à trouver la valeur de b. Cette droite passe par le point A, on peut donc remplacer x et y par les coordonnées de A. …………………… …………………… …………………… L’équation est donc y = ……………… Exercice : Donner l’équation de la droite passant les points A(2 ; 4) et B(4 ; 1).

a = 12

12

x - x y- y = …………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………… …………………………

……………………………… …………………………

………………………………………………………………………………………………………………

Détermination graphique :

Déterminer graphiquement l’expression d’une fonction linéaire (6 min 01) https://www.youtube.com/watch?v=bgySp9gT8kA&feature=youtu.be Déterminer graphiquement l’expression d’une fonction affine (11 min 55) https://www.youtube.com/watch?v=E0NTyDRqWfM&feature=youtu.be On trace la droite passant par les deux points A(-2 ; -1) et B(2 ; 5). L’équation de la droite est y = ax + b. On mesure sur le graphique l’évolution de y lorsque x augmente de 1. Cette évolution correspond au coefficient directeur a.


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

a = 1,5

Ordonnée à l’origine

x

y

Lorsque x augmente de 1, y augmente de ………… a = ………… b se lit en prenant l’ordonnée à l’origine. L’ordonnée à l’origine est ……. b = …… La droite a pour équation y = ………………………………. Exercice : Télécharger et installer le logiciel de JC Meier « Reperage » à l’adresse : http://jc.meier.free.fr/log_shar.php#reper2.

Sélectionner l’onglet « Droites », puis « Équation d’une droite » et enfin « Module I » pour les fonctions linéaires et « Module II » pour les fonctions affines. L’exercice consiste à déterminer l’équation de la droite demandée. Pour le « Module II », il vous faudra au préalable choisir le type de droite à déterminer.


S’il s’agit d’une fonction linéaire, on coche y = ax, s’il s’agit d’une fonction affine, on coche y = ax + b. Il nous reste à donner la valeur du coefficient a et du coefficien b. Les droites y = k et x = k sont deux types de droites particulières. La première y = k est une droite horizontale, par exemple y = -3, c’est la droite horizontale qui coupe l’axe des y en -3. Le deuxième x = k est une droite verticale, par exemple x = 5 est la droite verticale qui coupe l’axes des x en 5. Dans ces deux cas, il faut donner la valeur du coefficient k. II) Comment approcher une courbe par une droite ?

1) Activité N°1 : A l’aide d’un grapheur on trace la courbe représentative de la fonction f : x x2. On a placé le point de coordonnées (1 ; 1), puis on a réalisé plusieurs zooms successifs au voisinage de ce point.

0 1 2 3 x

0

1

2

y

(1 ; 1)

0,5 1 1,5 x

0,5

1

1,5

y

(1 ; 1)

0,75 1 1,25 x

0,75

1

1,25

y

(1 ; 1)

Que semble devenir, dans ces zooms successifs, l’allure de la courbe au voisinage du point de coordonnées (1 ; 1) ? La courbe au voisinage de (1 ; 1) semble devenir …………………………………….

2) Activité N°2 : Lancer l’application informatique Geogebra. Ouvrir le fichier Approcher_une_courbe_avec_une_droite.ggb Dans la fenêtre « saisie », on a tapé l’instruction y=x^2 qui permet de tracer la courbe de la fonction x x2.


On place un point A sur cette courbe, puis un point B, ces deux points sont mobiles sur la courbe. On trace la droite (AB) en rouge, on met en évidence la pente de la droite qui correspond au coefficient directeur de celle-ci. On positionne le point A sur la courbe de sorte que ses coordonnées deviennent (1 ; 1). On se propose ensuite de faire glisser le plus prés possible de A le point B afin de pouvoir lire la valeur de la pente. Afin d’obtenir une plus grande précision, il est possible de zoomer sur cette courbe.

En zoomant de plus en plus sur le point A et en approchant le plus possible le point B du point A, vers quelle valeur tend le coefficient de la pente ? Il tend vers ………… . La droite obtenue lorsque B se situe le plus prés possible de A s’appelle la ………………… à la courbe au point A(1 ; 1). Son coefficient directeur s’appelle le ……………………………………de la fonction f au point d’abscisse 1. On le note …………. On approche une courbe en un point A(xA ; yA) par une fonction affine. Le coefficient directeur de la droite est le nombre dérivé au point d’abscisse xA. On le note f’(xA). 3) Exercices : Déterminer graphiquement le nombre dérivé et l’équation de la tangente (8 min 06) https://www.youtube.com/watch?v=0jhxK55jONs&feature=youtu.be Exercice : Dans le cas précédent, on écrit f’(1) = 2. De la même manière, pour la fonction f(x) = x2, chercher : (Sans GeoGebra, le tracé de la courbe et des tangentes apparaissent ci-dessous.) f’(3) = …… f’(2) = …… f’(-1) = …… f’(-2) = …… f’(0) = ……


Exercice : La courbe est celle de la fonction f(x) = x3 sur [-2 ; 2]. On a tracé deux tangentes à cette courbe, une au point d’abscisse –1 et l’autre au point d’abscisse 1. Déterminer les équations de ces deux tangentes. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exercice :

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝒙

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

𝒚

𝑨

𝑩

𝑪

𝑫


Soit f une fonction définie sur [-1 ; 4] et sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère. On donne le tableau de valeurs suivant :

x -1 0 1 2 3 4 f(x) 0 -4 -6 -6 -4 0 f’(x) -5 -3 -1 1 3 5

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est exacte ; la corriger si elle ne l’est pas. a) passe par le point de coordonnées (0 ; -3). …………………………………………………… b) Le coefficient directeur de la tangente à au point d’abscisse 3 est 3. ………………………… c) Le nombre dérivé de f en 4 est 5. …………………… d) La tangente à au point d’abscisse 1 a son coefficient directeur égal à –6. …………………… e) L’équation réduite de la tangente à au point d’abscisse 0 est y = -3x – 4. …………………… f) L’équation réduite de la tangente à au point d’abscisse 2 est y = x – 5. …………………………

…………………………. Exercice :

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

y

Soit f la fonction définie sur [-3 ; 3] par f(x) = x2 – 2. Tracer les tangentes à la courbe aux points de coordonnées –2 ; -1 ; 0 ; 1 et 2 connaissant leurs nombres dérivés : f’(-2) = - 4 f’(-1) = - 2 f’(0) = 0 f’(1) = 2 f’(2) = 4


III) Dérivées des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 :

1) Activité : Soit la courbe représentative de la fonction définie sur par f(x) = x2 déjà étudiée. On place les points M1, M2, M3 et M4 d’abscisses respectives –2, -1, 1, et 2. On trace les tangentes T1, T2, T3 et T4 à la courbe passant par ces points.

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

y

M1 M4

M2 M3

a) Quelles est la tangente en O(0 ; 0) à ? ……………………

b) Déterminer graphiquement les coefficients directeurs des droites T1, T2, T3 et T4. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous avec ces résultats

x -2 -1 0 1 2

f’(x)

c) A partir de l’observation du tableau précédent, proposer une valeur pour f’(3).

…………………… d) Donner une expression de f’(x). ……………………

2) Définition : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

a) Dérivée d’une fonction affine : Si f(x) = ax + b alors f’(x) = ………. (Ce qui est logique puisque le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la fonction qui est ici la droite elle-même.) Exemple : f(x) = -3x + 3 f’(x) = …… Ce qui signifie que la dérivée d’une fonction constante est nulle, si f(x) = k alors f’(x) = ……. Exemple : f(x) = 5 f’(x) = ……

b) Dérivée de la fonction carrée :


Si f(x) = x2 alors f’(x) = ………… .

c) Dérivée d’une somme de fonctions : Si f(x) = u(x) + v(x) alors f’(x) = ……………………………………. Exemple : f(x) = x2 - 3x + 3 On peut décomposer ce polynôme en la somme de deux fonctions que l’on pourra dériver individuellement f(x) = u(x) + v(x) avec u(x) = x2 et v(x) = -3x + 3. u’(x) = …… v’(x) = …… alors f’(x) = u’(x) + v’(x) = ……………………

d) Dérivée du produit d’une fonction par une constante : Si f(x) = k.u(x) alors f’(x) = ……………… Exemple : f(x) = 7x2 On peut écrire f(x) = k.u(x) avec k = 7 et u(x) = x2. Puisque f’(x) = k.u’(x) alors f’(x) = …………………………………………………….

e) Dérivée d’une fonction polynôme de degré 2 : Exemple : f(x) = 3x2 – 4x + 7 f’(x) = …………………………………………………………………………………… Formules de dérivation :

f(x) f’(x) Fonction constante a 0

Fonction affine ax + b a Fonction carrée x2 2x

Fonction polynôme de degré 2

ax2 + bx + c 2ax + b

Somme de deux fonctions dérivables

u(x) + v(x) u’(x) + v’(x)

Produit d’une fonction dérivable par une constante

k.u(x) k.u’(x)

Dériver une fonction du second degré (4 min 47) https://www.youtube.com/watch?v=5WDIrv_bEYE&feature=youtu.be Exercice : Dériver les fonctions suivantes. f(x) = 4x – 5 f’(x) = ………… g(x) = -3x + 1 g’(x) = ………… h(x) = 7 – x h’(x) = ………… i(x) = 12x2 i’(x) = ………… j(x) = -x2 j’(x) = ………… k(x) = 0,9x2 k’(x) = …………


Exercice : Dériver les fonctions suivantes puis répondre aux questions. f(x) = x2 – 7x + 9 f’(x) = …………………… g(x) = 1,2x2 + 2,6x + 8,1 g’(x) = …………………… h(x) = -4x2 + x - 1 h’(x) = …………………… Calculer f’(-6) = …… Le nombre dérivé de g en 8 …………= ………… Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction h(x) au point d’abscisse -1 ………… = ………… IV) Utilisation de la fonction dérivée pour étudier les variations d’une fonction :

1) Activité : Soit la courbe de la fonction f(x) = x2 – 2x définie sur [-1 ; 4].

-2 -1 0 1 2 3 4 5 x

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

A partir de l’observation de la courbe , donner le tableau de variation de la fonction f sur [-1 ; 4].

x -1 …… 4

f(x)

Calculer f’(x)

………………………… Étudier sur [-1 ; 4], le signe de f’(x). Compléter le nouveau tableau de variation de la fonction f(x)

Pour étudier le signe de f’(x), il faut résoudre l’équation f’(x) = 0. Si x < 1, prenons par exemple x = 0 et calculons f’(0) = 2(0) – 2 = -2. f’(x) est donc négatif pour x < 0 et positif pour x > 0.


x -1 …… 4 Signe de

f’(x) ………… …… …………

Variation

de f(x)

La fonction admet un minimum x0. Quel est l’abscisse x0 de ce minimum ? x0 = …… Calculer f’(x0). f’(x0) = …………………………………………………………………… Etudier les variations d’une fonction (8 min 00) https://www.youtube.com/watch?v=EXTobPZzORo&feature=youtu.be

2) Dérivée et sens de variation d’une fonction : Si pour tout nombre x d’un intervalle I, on a f’(x) > 0, alors f est ………………………… sur I. Si pour tout nombre x d’un intervalle I, on a f’(x) < 0, alors f est ………………………… sur I.

3) Dérivée et extremum d’un fonction : Si pour la valeur x0 d’un intervalle I, la dérivée f’ s’annule et change de signe, alors la fonction f admet en x0 un ………………………………………………………………………………………………………….

x x0 x x0

f’(x) - 0 +

f’(x)

+ 0 -

f(x)

f(x0)

f(x)

f(x0)

La fonction admet en x0 un minimum. La fonction admet en x0 un maximum. Exercice : On considère la fonction f définie sur l’intervalle [-2 ; 2] par f(x) = -x2 + 3x + 4.

a) Calculer f’(x) ………………………………

b) Résoudre l’équation f’(x) = 0. ………………………… ………………………… ………………………… …………………………


c) Compléter le tableau de variation suivant :

x -2 …… 2 f’(x) …… …… ……

f(x)

d) Tracer cette fonction à l’aide de la calculatrice. On appliquera les paramètres de

la fenêtre suivants : Fenêtre : xmin = -2 xmax = 3 pas = 1 ymin = -7 ymax = 7 pas = 1 Vérifier la valeur du maximum à l’aide de la calculatrice.

Utilisation de la CASIO

Utilisation de la TI

Utilisation de la Numworks

Dans le menu, choisir l’icône

Introduire la fonction

Régler les paramètres de

l’écran en utilisant la commande V-Window

Combinaison de touche

On obtient la figure

suivante:

Sur la calculatrice, choisir la

touche Introduire la fonction

Régler les paramètres de

l’écran en utilisant la touche

On obtient la figure suivante

en appuyant sur la touche

Appuyer sur puis sélectionner

Sur la calculatrice, choisir

. Introduire la fonction en cliquant sur

puis .

Choisir puis .

Cliquer sur à droite de la

fonction en se déplaçant

avec , choisir .

Affecter les valeurs et valider.

.

puis .


Appuyer sur pour obtenir G-Solv.

Sélectionner pour

obtenir .

Définir le point à gauche

Puis déplacer le point à

droite du maximum.

enfin définir le point avant le

maximum

Sélectionner calcul avec

puis .

4) Exercices :

Exercice N°1: Soit f la fonction définie sur [-4 ; 5] par f(x) = x2 – 2x – 5.

a) Déterminer la dérivée f’ de la fonction f. b) Résoudre l’équation f’(x) = 0. c) Dresser le tableau de variation de la fonction f. d) Indiquer la nature de l’extremum de la fonction et les coordonnées du point M

correspondant. f’(x) = ……………… f’(x) = 0 ……………… ……………… ……………… ………………

x f’(x)

f(x)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


Exercice N°2 : Une étude prévisionnelle pour la vente d’un nouveau parfum a donné le résultat suivant : le nombre de ventes en fonction du prix x du flacon, en euros, est modélisé par la fonction f définie sur [10 ; 15] par : f(x) = -375x2 + 9 600x – 9 000.

a) On note f’ la fonction dérivée de la fonction f. Déterminez f’(x). f’(x) = …………………………………….

b) Résoudre l’inéquation f’(x) 0.

………………………………………… ………………………………

…………………………………… ………………………………

c) Dresser le tableau de variation de f

x

f’(x)

f(x)

d) Pour quel prix le nombre de vente est-il maximal ? Combien de ventes a-ton

réalisé ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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