cours cinematique

CHAPITRE -5-

CINEMATIQUE DU SOLIDEINDEFORMABLE

Objet de la cinématique :

La cinématique est la partie de la mécanique qui permet de décrire les mouvements des solidesindépendamment DES CAUSES QUI LES PROVOQUENT

I. DÉFINITION D'UN SOLIDE INDÉFORMABLE

La cinématique est l'étude des mouvements des solides, c'est à dire de la position, de la vitesse et del'accélération de ces objets au cours du temps. Hormis quelques mouvements particuliers tels que latranslation, déterminer la vitesse d'un solide n'a pas de sens. Les notions de vitesse et d'accélération ne sont définies que pour un point.

1 RÉFÉRENTIEL : ESPACE,TEMPS�

La position d'un point n'est définie que relativement à un repère.�

RÉFÉRENCE SPATIALE

�

Il convient donc en cinématique de mettre en place un repère de référence spatiale (la position, la vitesse etl'accélération seront calculées par rapport à ce repère)

Le repère utilisé en mécanique modélise donc l'espace qui nous entoure. Nous choisissons une base d'un espace vectoriel de dimension 3, nous la prenons :

� orthonormée pour la commodité des calculs

� directe afin d'utiliser le produit vectoriel

pour construire le repère de référence.

1 SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L'INGÉNIEUR

CHAPITRE 2009-2010

RÉFÉRENCE TEMPOREL

�

La position du point variant d'un instant à l'autre, il convient de définir le temps, caractérisant lasimultanéité des événements dans les différents repères.

L'unité sera la seconde.

RÉFÉRENTIEL

�

ou , chacune de

L'espace à quatre dimensions est appelé référentiel .

Nous noterons de la même façon le repère associé à ce référentiel.

2 ÉQUIVALENCE ENTRE RÉFÉRENTIEL ET SOLIDE INDÉFORMABLE

SOLIDE INDÉFORMABLE

�

Tous les solides se déforment sous l'action des sollicitations mécaniques ou des variations de température. Lesdéformations peuvent être élastiques, plastiques, instantanées ou différées...

Si les déformations sont faibles (la plupart des déplacements résultant des déformations reste très petitedevant les dimensions générales du solide) on convient de considérer le solide comme indéformable.�

Les solides dont la fonction est de se déformer (ressorts, barres de torsion, ...) sont exclus de cette définition.

On adoptera dans ce cours le terme de "solide" pour "solide indéformable".�

EQUIVALENCE ENTRE RÉFÉRENTIEL ET SOLIDE INDÉFORMABLE

�

Un repère d'espace étant défini par une origine et trois vecteurs unitaires orthonormés, les extrémités de cesvecteurs sont à des distances fixes de l'origine tout en étant fixes entre eux. Ceci étant vrai à chaque instant,un référentiel est donc équivalent à un solide.

Étudier le mouvement d'un solide par rapport à un autre revient donc à étudier le mouvement des repèresliés à ces solides.

SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L'INGÉNIEUR 2

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II. MOUVEMENT RELATIF DE DEUX SOLIDES

1 PARAMÉTRAGE�

Pour connaître la position d'un solide dans l'espace, il suffit de connaître la position de trois de ses points,soit 9 paramètres.

Mais les trois points étant à des distances invariables les uns par rapport aux autres, il convient d'ajouter 3équations de liaison des paramètres.

En définitive, la position d'un solide dans l'espace dépend donc de 6 paramètres indépendants quicaractérisent les 6 degrés de liberté du solide ( 3 translations + 3 rotations) par rapport à un référentiel.

�

2 POSITION D'UN RÉFÉRENTIEL PAR RAPPORT À UN AUTRE : ANGLED'EULER

�

De façon générale, soient deux référentiels et , l'un lié au solide ,

l'autre lié au solide .

par

, peut être exprimée :

� soit par le vecteur défini dans le repère

� soit par le vecteur


��

CHAPITRE 2009-2010

CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIELS, REPÈRES D'ESPACE�

En mécanique, il est fréquent de changer de référentiel pour exprimer, sous une autre forme, la position, lavitesse ou l'accélération d'un point ou toute autre grandeur vectorielle. La mécanique newtonienne, basée surla relativité galiléenne selon laquelle le temps ne dépend pas du référentiel, permet de considérer qu'unchangement de référentiel se limite à un changement d'espace.

, c'est-

Un cas élémentaire fréquemment rencontré correspond à une simple rotation des deux repères autour d'unaxe. Le cas plus complexe d'une rotation autour d'un point peut alors être considéré comme la succession detrois rotations autour d'axes distincts. Ces deux cas sont étudiés ci-après.

CHANGEMENT DE REPÈRE D'UN VECTEUR DANS LE CAS D'UNE ROTATION AUTOUR D'UN AXE

�

autour de l'axe

Dans ces conditions, les vecteurs unitaires de

On peut ainsi écrire la matrice de passage du repère pour la rotation d'angle dans

laquelle l'axe reste confondu avec de la façon suivante :

Un vecteur

soit pour le vecteur dans le changement de repère de :

Inversement, si l'on veut effectuer un changement de repère de dans le

repère (matrice inverse).

REMARQUE :Ici (matrice transposée).


��

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�

CHANGEMENT DE BASE D'UN VECTEUR DANS LE CAS D'UNE ROTATION AUTOUR D'UN POINT - ANGLES

D'EULER

�

Si la rotation autour d'un point de l'angle se fait par l'intermédiaire de 3 rotations élémentaires précédentes

dont les matrices de passage sont , le passage du repère vers le repère s'exprimera

avec

Pour définir 3 rotations élémentaires il est fréquent d'utiliser 3 angles appelés « angles d'Euler ». Ces anglessont couramment utilisés en astronomie pour définir la position d'une planète par rapport à un référentieldonné.

Par convention, ces angles sont définis de la façon suivante :

Les changements de repères successifs sont :

CHANGEMENT DE BASE D'UN VECTEUR DANS LE CAS GÉNÉRAL

�

donne :


��

CHAPITRE 2009-2010

�

3 DÉRIVÉE TEMPORELLE D'UN VECTEUR PAR RAPPORT À UN RÉFÉRENTIEL�

Formule de la base mobile

Cette formule de dérivation de la base mobile par rapport à la base de référence est fondamentale ; elle est labase de toutes les relations cinématiques.

Soient :

� un repère lié au bâti d'un système

� un repère

� dans la base ; c'est le vecteur taux de rotation de la

base par rapport à la base

�

�

�

�


��

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4 TRAJECTOIRE, VITESSE ET ACCÉLÉRATION D'UN POINT PAR RAPPORT ÀUN RÉFÉRENTIEL

POSITION

�

Lorsqu'un point matériel est mobile par rapport à un repère , on peut caractériser sa position par son

vecteur position noté :

sont les coordonnées du point dans le repère .

TRAJECTOIRE

�

VITESSE

�

Ou encore d'après l'expression du vecteur position :

ACCÉLÉRATION

�

Ou encore d'après l'expression du vecteur position :


CHAPITRE 2009-2010

5 COMPOSITION DE MOUVEMENT�

Considérons un solide

lui même en mouvement par rapport à un repère fixe.�

en dérivant par rapport à t dans le repère fixe et en utilisant la formule de dérivation d'un vecteur parrapport à un référentiel

qui devient

par qui est la vitesse du point M

�

Attention : Relation de composition des vecteurs accélérations

Pour les vecteurs accélérations, la relation de composition n'est plus aussi simple !

Composition des vecteurs accélérations :


��

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6 TORSEUR DISTRIBUTEUR DES VITESSES�

TORSEUR CINÉMATIQUE OU TORSEUR DISTRIBUTEUR DES VITESSES

�

En appliquant la relation au vecteur , le temps

étant le paramètre de dérivation, on obtient :

C'est la relation de changement de point pour le transfert d'un torseur d'un point A à un point M.�

PROPRIÉTÉ D'ÉQUIPROJECTIVITÉ

�

que l'on écrit sous la forme ,

on obtient, en dérivant par rapport au temps, dans le repère R0 :

d'où�


CHAPITRE 2009-2010

AXE INSTANTANÉ DE VIRATION

�

L'ensemble des points d'un solide qui, à un moment donné ont une vitesse nulle par rapport à un autresolide, constitue l'axe instantané de viration (ou de rotation).

7 MÉTHODES DE RÉSOLUTION ANALYTIQUE

DANS LE CAS D'UNE CHAÎNE FERMÉE DE SOLIDE

�

En présence d'une chaîne fermée de solides, nous devons gérer les compatibilités de mouvements, ce quidonne lieu à l'écriture d'un système d'équations linéaires en position et en vitesse par dérivation. Cesstructures engendrent un effet de transformation de mouvement, dont il convient de déterminer la ‘' loientrée – sortie '

Analyse géométrique d'une chaîne fermée de solides�

Nous utilisons des relations vectorielles du type :

Ces relations vectorielles projetées sur deux axes (mécanismes plans) ou trois axes (mécanismes spatiaux),conduisent à deux (trois) relations scalaires entre les paramètres de situation des solides.

Dans le cas de mécanismes plans, nous obtenons, en supplément, des relations angulaires du type :

Dans le cas de mécanismes spatiaux, nous pouvons traduire le fait qu'une liaison impose un angle constant(souvent droit) entre deux vecteurs des bases liées au solides

Exemple : joint de Cardan où les bras du croisillon font un angle de 90°

Analyse cinématique d'une chaîne fermée de solides�

Cette analyse permet d'écrire des relations du type :

Ces relations conduisent à deux relations (égalité des résultantes, égalité des moments au même point), quiprojetées sur deux axes (mécanismes plans) ou sur trois axes (mécanismes spatiaux), permettent d'obtenirtrois ou six relations scalaires entre les dérivées des paramètres de situation des solides.

DANS LE CAS D'UNE CHAÎNE OUVERTE DE SOLIDES

Analyse géométrique d'une chaîne ouverte de solides�

Pour un point d'un solide les relations vectorielles seront du type :( : points particuliers dessolides (centres de gravité, centres des liaisons, extrémités, etc....)

Ces relations projetées sur deux axes (mécanismes plans) ou trois axes (mécanismes spatiaux), conduisent àl'écriture de relations scalaires des paramètres de situation des solides.

Ces relations sont indépendantes entre-elles.


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Analyse cinématique d'une chaîne ouverte de solides�

Il convient de déterminer les vitesses et accélérations des points particuliers des solides (centres de gravité,centres des liaisons, extrémités, etc...) de la chaîne de solides, par différentes méthodes (ou combinaison deméthodes) :

� dérivation directe du vecteur position

� composition des vitesses, des accélérations

� torseurs cinématiques au même point : champ des vitesses d'un solide

� vitesse de glissement

III. MOUVEMENT PARTICULIER : TRANSLATION ET DE

ROTATION

1 MOUVEMENT DE TRANSLATION�

CARACTÉRISTIQUES

�

� Les trajectoires de tous les points du solide sont parallèles.

� Si la trajectoire est une droite, la translation est dite rectiligne.

� Si la trajectoire est une courbe, la translation est dite curviligne.

� Si cette courbe est un cercle, la translation est dite circulaire.

� La liaison qui permet de réaliser un mouvement de translation rectiligne entre deux solides est la «liaison glissière »

TORSEUR CINÉMATIQUE

�

Remarque

CONCLUSION

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un solide soit animé d'un mouvement de translation

est que le champ des accélérations soit uniforme.


CHAPITRE 2009-2010

REMARQUE IMPORTANTE

Le fait que plusieurs points particuliers ont la même accélération n'implique pas

forcément que le solide auquel ils appartiennent soit animé d'un mouvement de translation

2 MOUVEMENT DE ROTATION�

CARACTÉRISTIQUES

�

� Les trajectoires de tous les points du solide sont des cercles contenus dans des plans perpendiculairesà l'axe de rotation et centrés sur celui-ci.

� La liaison qui permet de réaliser un tel mouvement entre deux solides est la « liaison pivot »

TORSEUR CINÉMATIQUE

�

Remarque

a pour valeur

Cette expression met en évidence la « répartition triangulaire des vecteurs vitesses »�


��

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IV. CONTACT ENTRE SOLIDE

1 VITESSE DE GLISSEMENT�

Le contact ponctuel de deux solides se fait en �

�

�

Cette vitesse se trouve dans le plan tangent commun à . La vitesse de glissement est égale à la

par rapport à �

2 VECTEURS ROULEMENT ET PIVOTEMENT�

Le mouvement relatif de est défini par le torseur des vitesses relatives

Le vecteur taux de rotation se décompose en deux parties :

� pivotement : composante de direction la normale au contact

� roulement : composante de direction parallèle au plan de contact


��

CHAPITRE 2009-2010

V. APPLICATIONS AU MOUVEMENT PLAN SUR PLAN

1 DÉFINITION ET PARAMÉTRAGE Déf initi on et paramétrage

MOUVEMENT PLAN SUR PLAN

�

Exemple

Fer à repasser sur une table, bielle de moteur à explosion par rapport au carter...

PARAMÉTRAGE DE LA POSITION DE S PAR RAPPORT À RO

�

Soient les repères et lié à et soient confondus.

La position de peut être définie de la façon suivante :

�

� �

�

TORSEUR CINÉMATIQUE D'UN MOUVEMENT PLAN SUR PLAN

�

Conclusions :


��

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• le vecteur rotation est perpendiculaire aux plans

• le mouvement plan sur plan est la combinaison d'une translation et d'une rotation

MÉTHODES POUR LA CINÉMATIQUE GRAPHIQUE

�

Emploi des différentes méthodes :

La composition des vitesses est utilisée généralement dans 3 cas principaux :

� pour déterminer une vitesse de glissement, lorsqu'il existe un contact,

� pour déterminer une vitesse en bout de tige d'un vérin, lorsque le corps tourne et la tige translate.

� pour déterminer une vitesse, qui dépend de 2 mouvements d'entrée.

La méthode de l'équiprojectivité et la méthode du CIR sont utilisés pour déterminer une vitesse d'un pointd'une pièce ayant un mouvement quelconque par rapport au bâti (c'est-à-dire que c'est ni une rotation, niune translation).�

Avantages et inconvénients de la cinématique graphique par rapport à la cinématiqueanalytique

Avantage :

� Méthode plus rapide.

Inconvénients :

� Méthode utilisée seulement pour des mouvements plan sur plan.

� La solution déterminée est valable seulement dans la position de la figure (si l'on souhaite une vitessed'un point du solide dans une autre position, il faut refaire le schéma et la construction graphique...).

� Méthode moins précise.

2 CENTRE INSTANTANÉ DE ROTATION : CIR�

PROPRIÉTÉS DU CIR�

1.

2.

3.

RÉPARTITION LINÉAIRE DES VECTEURS VITESSE

�

La répartition des vecteurs vitesse des points de par rapport à est semblable à celle de tout mouvement


CHAPITRE 2009-2010

de rotation autour du point :

� linéarité des vitesses sur toute droite passant par le CIR

� égalité des normes des vecteurs vitesse pour tous les points situés à la même distance du CIR�

DÉTERMINATION GÉOMÉTRIQUE DU CIR�

Il est primordial de situer le CIR, car s'il est connu, il permet de déterminer tous les vecteurs vitesse despoints d'un solide à partir de la donnée d'un seul de ces vecteurs vitesse.�

3 MÉTHODE DE L'ÉQUIPROJECTIVITÉ�


��

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4 THÉORÈME DES 3 PLANS GLISSANTS�

:

ou encore

d'où :

�


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