cours de mecanique - vibrations
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COURS DE MECANIQUE- VIBRATIONS
Chapitre1:
VIBRATIONS - OSCILLATEURSHARMONIQUES
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INTRODUCTION
Une vibration est le mouvement d'un système
mécanique qui reste voisin d'un état de repos.Un tel mouvement peut :- être provoqué par une excitation : on parle alorsde vibrations forcées ;
- soit être le résultat d'une action imposée à un
instant donné (telle que déplacer le systèmede sa position de repos, ou lui imposer une impulsioninitiale) : on parle alors d'oscillations
libres.
Généralités
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En général, les systèmes mécaniques présentent del 'amortissement et les vibrations libres décroissent aucours du temps pour devenir plus ou moins insignifiantes.
Au contraire, les vibrations forcées subsistent tant qu'il y a
excitation. Un système mécanique non amorti possèdedes vibrations libres particulières qui ont laparticularitéd'être périodiques par rapport au temps : c'est ce quel'on appelle les vibrations propres. Les fréquences
correspondantes sont les fréquences propres dusystème. Le mouvement libre le plus général pour unsystème est une combinaison de ces vibrations
propres : ce n'est pas en général un mouvement périodique.
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INTRODUCTION
Schématisation
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Définitions : Oscillations libres
Si un système, abandonné à lui-même autour d'une situationd'équilibre stable, évolue ensuite de part et d'autre de cetétat, on parle alors d'oscillations libres.
L'état instantané du système est caractérisé par l'évolution
d'une grandeur physique mesurable (déplacement x(t) ouangle (t)) qui rend compte de l'écart du système par rapportà la position d'équilibre.
Oscillations linéaires libres non amorties
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Définitions: Oscillations non amorties
Si, pendant la durée des mesures, les phénomènes dedissipation de l'énergie sous forme de chaleur (frottements)provoquent une diminution de l'amplitude des oscillations,inférieure à la sensibilité des appareils de mesure, on peut
qualifier les oscillations de non amorties.
Oscillations linéaires libres non amorties
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Définitions: Oscillateur linéaire
L'équation différentielle qui régit l'évolution de la grandeur
caractéristique x(t) (ou (t) ) est linéaire.
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Forme de l'équation du mouvement
0,ax cx !&&
2
0 0 x x[ !&&
L'équation du mouvement est de la forme :
que l'on écrit préférentiellement
0
0
0
où est la
2et T la
c pulsation propre
a
période propre
[
T
[
!
!
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La solution générale de l'équation est de la forme:
cos( ) x A t [ N !
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Retour sur le pendule circulaire (le pendule simple)/
/ /
/
dOA F
dt
OA mg OA T
Mais OA
OA OA mg
sin 0 ,
, :
OA T
OO
O A
A
En utilisant coordonnées polaire on
M
m
mv
a
g
l
v
W
W
U U
�
�
� �
�
¨ ¸! § ! � §© ¹
ª º
! � �
! �
� ! �
!
�
r uur uuur r
uuur uuur ur r
uuur r r
uuur uuur uuur ur r r
&&
2
0
petit sin
( )
av
0
ec
2
petit oscillation oscillation harmonique
g g
T l l
g
l
U U
U
U
[ T
U
�
!
!
!
!&
;
&
A
T
Oscillations linéaires libres non amorties
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0 x
o
Rr
P r f
r
0
2
0 0
0
. 0 ( sans f r ottement)
allongementLe PFD:
En pr ojection sur l'axe (ox):
Soit 0 avec
est appelée pulsation pr opr e
Solution
R i
f k M k xi
l l a P R f
m x k x
k x x m
[ [
[
!
! !
!!
!
! !
r r r o
uuuur r r o
o r r r r
&&
&&
o
o : cos sin
Ou bien: cos( )
o o
o
x t B t
x X t
[ [
[ N
!
!
Oscillation Mécanique Harmonique (OMH) Ressort horizontal
Oscillations linéaires libres non amorties
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Oscillation Mécanique Harmonique (OMH) Ressort vertical
0
x
0
x0
x(t)
mg
mg
Fe
Fe
/
0
0 0
0
2
0 0
2
0
0
e FD s écr it:
mais (à un point équilibr e)
( )
( ) 0
0 0
avec , la solution géner ale est de la or me:
cos( )
A ema F F mg
mx k x mg
mg k x
mx k x k x k x x
k x x x
mk
u x x u u u um
k
m
u A
[
[
[ N
� ! § !
!
!! !
!
! ! � !
!
!
r r r r
&&
&&
&&
&& &&
Oscillations linéaires libres non amorties
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Oscillation Mécanique Harmonique (OMH) Ressort vertical
0
x
0
x0
x(t)
mg
mg
Fe
Fe
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0 0
0
cos( )
cos( )
et sin( )
cos( 0)
( ) ( ) cos ,
A 0,( 0) 0 sin 0
( 1
2av
)
ec
(c
2
)os
n
x x t
x t x
x t
x a x t at
x t
x t a x t x
a xa x
n
mT
k
n
[ N
[ N
[ [ N
N
[ N
T
N
[
T
T T
[
� !
!
! !! ! ®®
! ¯ ¯! ! !° °
®! ! ±
¯
!
! !
± !°
&
&
Oscillations linéaires libres non amorties
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0
2
2
interr u pteur étant ouver t, le condensateur
de capacité est char gé q q , l intensité 0
V V V V
O r V V V V 0
Avec la char ge comme var iable :
0
A
M N
A
N M
i
dq q dii L
dt C dt
di q L
dt C
q
d q q L
dt C
! !
! ! !
! !
!
o
o o o
&& 2
0
2
2 2
0 02
0
Avec l intensité comme var iable :
10 0 , avec
a char ge et l intensité var ient sinusoidalement
avec le tem ps
q q
i
d i i L i i
dt C LC
q i
[
[ [
!
! ! !&&
o
Analogies Électriques: circuit (L,C)
A N
B M
LC
q
k
Oscillations linéaires libres non amorties
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Analogies mécanique -électricité
Oscillations linéaires libres non amorties
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Oscillation libres amorties
Mise en équation
02
0 x x xP [ !&& &
0et sont onction uniquement
des car actér istiques de l oscillateur
P [ o
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Oscillation libres amortiesRésolution de l¶équation
0
2 2
0
2 2
0
2 0
2 0 : équation car actér istique
=
x x x
r r
P [
P [
P [
!
� !
(
&& &
_ a
0
2 20
(i) Régime pseudo-pér iodique
' < 0 < , l'amor tissement est faible
Poson
La solution s'écr it:
( ) cos( )
ou bien: ( ) Acos( ) sin ( )
t
t
x t ae t
x t e t B t
P
P
P [
[ [ P
[ N
[ [
( �
!
!
!
o
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Oscillation libres amorties
0
1 2 0
0
2 2
0
(ii) égime cr itique
0 , l amor tissement est cr itique
a solution s écr it: ( ) (C+Dt)
(iii) égime apér iodique
> 0 > , l amor tissement est or t
osons
a s
t
r r
x t e P
P [
P [
P [[ P [
( ! � !
! ! ! !
( �!
o
o
12
olution s écr it: ( ) ( ch t+Fsh t)
ou bien: ( )
t
r t r t
x t e
x t Ge He
P [ [!
!
Résolution de l¶équation
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Oscillation libres amorties
1er exemple : système masse-ressort amorti
-1
-1
La for ce de f r ottement visqueux est de la for me
, ce qui con
duit a l'eq
uation : 0 ,
ou le facteur d'amor tissement a pour dimension [ ] T
et pour unité associee N.s.m ,
hxu
m x hx k xh h
!
r &
&& &
-1
et le ter me est expr ession:
et pour unite s2
Donc:
2 0 x x k x
h
m
P
P
P
!&& &
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Oscillation libres amorties
2 em exemple : circuit RLC
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Cas particulier de la rotation autour d'un axe fixe
Le solide (S) est mis en rotationautour de l¶axe (OZ).
Le PFD pour le solide (S):
0 /0 /0
0
cos
[ ] , 0 sin
0 0
sin sin 0
Cas de petite oscillation + 0 ;
zz zz
zz zz
a mg
I M M OG mg mg
I mg a I mg a
mg a mg a
I I
U
I U
U U U U
U U [
¨ ̧ ̈ ¸© ¹ © ¹! ! � ! � © ¹ © ¹
© ¹ © ¹ª º ª º ! � !
! !
uuur r r r r
&& &&
&&
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Calcul de moments d'inertie
Définition:
2 2
( . )i ii I m d k g m( ! §
2 2 2
2 2
2 2
; OA ,
2 2 2
( ) : On par le le moment d'iner tie par r appor t à axe (Ox)
( ) :
Avec:
i
î î i i
i
xx yy zz xy x z y z
xx i i i
i
yy i i i
i
x
u y d u O A
z
I I I I I I I
I m y z
I m x z
E
F
K
E F K EF EK FK
( (
(
¨ ¸¨ ¸© ¹© ¹! ! ! �© ¹© ¹
© ¹ © ¹ª º ª º!
!
!
§
§
uuur uuur r r
2 2
On par le le moment d'iner tie par r appor t à axe (Oy)
( ) : On par le le moment d'iner tie par r appor t à (Oz)
, , : On par le le pr oduit d'iner tie
zz i i i
i
xy i i i x z i i i xy i i i
i i i
I m x y
I m x y I m x z I m y z
!
¾! ! ! ¿À
§
§ § §
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Pour une distribution contenue demasses ( homogène )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
; OA
2 2 2
( ) ( ) ( ) = ( )
i
î i
i
î i
xx yy zz xy x z y z
xx
m v S L
x
u y
z
d u O A
I I I I I I I M M M
I y z d m y z d y z d S y z d l V S L
E
F
K
E F K EF EK FK
X
(
(
(
¨ ¸¨ ¸
© ¹© ¹! ! © ¹© ¹© ¹ © ¹ª º ª º
! �
! ! ! ! ´ ´´´ ´´ ´
uuur r
uuur r
Calcul de moments d'inertie
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Pour un système d'axes Ox, Oy, Oz, ondéfinit la matrice d'inertie d'un solide en unpoint O sous la forme:
0
0
[ ]
Nous obtenons :
.[ ]
xx xy x z
xy yy y z
x z y z zz
I I I
I I I I
I I I
I u I u( ( (
« » ¬ ¼! ¬ ¼
¬ ¼ ½
!r r
Calcul de moments d'inertie
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Théorème de Huygens :
Le moment d'inertie d'un solide par rapportà une droite est égal à la somme du
moment d'inertie par rapport à cette droite
de la masse du solide concentrée au centrede masse G et du moment d'inertie du
solide par rapport à la droite parallèlepassant par G.
( , )
2
( , )Avec
G m G
m G
I I I
I md
( ( (
(
!
!
2 2Par exem ple: .( )
xx Gx G G I I M y z !
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27
Exemple:
Une tige pesante homogène (S) de masse M et de
longueur l . Le centre de masse G est situé à unedistance l/ 2 du point O
y¶
X
¶
( , )
2
2 2
( , )
2
0
D'après Th or me de Huygens :
1On a : (voir tableau)12
et2 2
L'équation différ entiel de oscillation est:
30 0
2 2
0 , avec
O z G z m G
G z
m G O z
OZ
é è I I I
I ml
l ml I m I
l g I M g
l U U U U
U [ U
(
(
!
!
¨ ¸! !© ¹
ª º
! � !
� !
&& &&
&& 2
0 0
3 3
2 2
g g
l l [ [ ! !
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28
Repr ésentation de l'oscillateur harmonique non
amorti dans le plan des phases
Il est possible de r epr senter les oscillations du syst medansle , c 'est dir e dans un r ep r e dont l 'axe
des abscisses est ' , et l 'axe desor donn es estsa
par r a
é è pl an d es pha ses à è
l élong ation x é
d érivée x
& ppor t a
utem ps t (o
uet ).U U
&
Exemple : Système masse-ressort horizontal
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Repr ésentation de l'oscillateur harmonique non
amorti dans le plan des phases
Cette équation d'une ellipse de demi-grand-axe A et de demi-petitaxe A0. Il en résulte donc, pour l'ensemble des conditions initiales
, une famille d'ellipses concentriques, décrites dans le sens desaiguilles d'une montre lorsque le temps t augmente.
Pour se convaincre du sensde parcours des ellipses, il
suffit, pour simplifier, deprendre = 0 et A > 0 dansles équations
X(t)= Acos([ 0t)
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30
Repr ésentation de l'oscillateur harmonique non
amorti dans le plan des phases
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ajuster O scillation libres amorties
Mise en équation
2
02
0 x x xK [ !&& &
0et sont onction uniquement
des car actér istiques de l'oscillateur
P [o
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32
ajuster O scillation libres amorties
Résolution de l¶équation2
0
2 2
0
2 20
2 0
2 0 : 'équation car actér istique
'=
x x x
r r
K [
K [
K [
!
� !
(
&& &
_ a
0
2 2
0
(i) Régime pseudo-pér iodique
' < 0 < , l'amor tissement est faible
Poson
La solution s'écr it:
( ) cos( )
ou bien: ( ) Acos( ) sin ( )
t
t
x t ae t
x t e t B t
K
K
K [
[ [ K
[ N
[ [
( �
!
!
!
o
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33
ajuster O scillation libres amorties
0
1 2 0
0
2 2
0
(ii) égime cr itique
' 0 , l'amor tissement est cr itique
a solution s'écr it: ( ) (C+Dt)
(iii) égime apér iodique
' > 0 > , l'amor tissement est or t
Posons
a s
t
r r
x t e K
K [
K [
K [[ K [
( ! � !
! ! ! !
( �!
o
o
1 2
olution s'écr it: ( ) ( ch t+Fsh t)
ou bien: ( )
t
r t r t
x t e
x t Ge He
K [ [!
!
Résolution de l¶équation
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ajuster O scillation libres amorties
1er exemple : système masse-ressort amorti
-1
a or ce de r ottement visqueux est de la or me
, ce qui conduit a l'equation : 0 ,
ou le acteur d'amor tissement a pour dimension [ ]= MT
et pour unité associee .s.
v x xu
mx x k x
h
P
P
P
!
!
r r &
&& &
-1
-1
m , et le ter me est expr ession:
= et pour unite s2
Donc
2
:
0 x x
m
x k K
K
PK
!&& &
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ajuster O scillation libres amorties
2 ème exemple : circuit RLC
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Oscillation libres amorties
3ème exemple : système masse-ressort amorti
Le moment de frottement visqueux estde la forme :
uz
v z M u QU!
r r &
0
1
l ' quation mouvement :
[ ]
ce qui conduit à l ' quation :
0
( ),2
= r ottement d'amor tisement ( .m.s)
v
O z
O z
é
I OG mg M
é
I mg a
s I
I
U QU U Q
K
Q
! �
!
!
uuur r r r
&& &
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37
Les tr ois r égimes
Suivant le signe de ce discriminant réduit ', trois
types de régimes sont obtenus :
régime critique,
régime apériodique,
régime pseudo-périodique.
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38
Les tr ois r égimes
Le retour à l'équilibre se fait sans oscillation,
régime critique
' = 0 : régime critique
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39
Les tr ois r égimes
Le retour à l'équilibre se fait sans oscillation,
régime apériodique
' > 0 : régime apériodique
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40
Les tr ois r égimes régime pseudo-périodique
' < 0 : régime pseudo-périodique
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41
Repr ésentation graphique
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42
Rapport entre deux maximums (resp. minimums)
successif s - Décr ément logarithmique
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43
Rapport entre deux maximums (resp. minimums)
successif s - Décr ément logarithmique
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44
Facteur de qualité du système
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45
Repr ésentation de l'oscillateur harmonique amorti
dans le plan des phases
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46
Mouvement critique
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Mouvement pseudo-périodique
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48
OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Equation du mouvement
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49
OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Solution générale de l'équation
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50
OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Deux r égimes sont à distinguer.
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51
OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Méthode d'étude du r égime stationnaire
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Méthode d'étude du r égime stationnaire
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Méthode d'étude du r égime stationnaire
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mise en évidence du phénomène de r ésonancesur un exemple
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mise en évidence du phénomène de r ésonancesur un exemple
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mise en évidence du phénomène de r ésonancesur un exemple
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mise en évidence du phénomène de r ésonancesur un exemple
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mise e
n évide
nce du ph
énomè
ne de r
ésonan
cesur un exemple
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mise e
n évide
nce du ph
énomè
ne de r
ésonan
cesur un exemple
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mis
e en
é
viden
ce du phéno
mèn
e de r éson
an
cesur un exemple
OSC O S O C S SO S
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mise en évidence du phénomène de r ésonance
sur un exemple
OSCILLATIONS FORCEES SOUS
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mise en évidence du phénomène de r ésonance
sur un exemple
OSCILLATIONS FORCEES SOUS
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mise en évidence du phénomène de r ésonance
sur un exemple
OSCILLATIONS FORCEES SOUS
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mise en évidence du phénomène de r ésonance
sur un exemple
OSCILLATIONS FORCEES SOUS
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OSCILLATIONS FORCEES SOUS
EXCITATION PERIODIQUE
Mise en évidence du phénomène de r ésonance
sur un exemple