cours de physique générale i · 2014. 2. 5. · programme du cours de physique générale i! 1....

M. Schiltz: Physique générale I (GM& EL) 1

Cours de physique générale I��Sections GM & EL

Prof. Marc SCHILTZ��Laboratoire de Cristallographie��

Institut de Physique des Systèmes Biologiques


Programme du cours de physique générale I

1.  Sensibilisation aux objectifs de la mécanique –  Chute libre des corps, balistique

•  Outils mathématiques : Vecteurs, Calcul différentiel et intégral

–  Oscillateur harmonique •  Outils mathématiques : Équations différentielles, Nombres complexes

2.  Cinématique et dynamique du point matériel

3.  Mécanique du solide indéformable


Objectifs du cours de physique générale I

•  Découvrir les bases de la physique classique –  Développer un esprit scientifique et former la culture scientifique

générale –  Repérer le sens physique derrière les équations

•  Apprendre à mettre sous forme mathématique un problème, de mécanique afin de le résoudre –  Définir le problème –  Choisir une description mathématique –  Établir les équations régissant la physique du problème –  Résoudre et/ou discuter la solution


Conseils •  Un travail personnel substantiel et régulier est nécessaire

pour réussir

•  Les exercices sont d’une toute première importance

•  Soyez réguliers dans l’effort –  n’attendez pas la fin du semestre pour travailler

•  Soyez vigilants face aux difficultés rencontrées –  réagissez rapidement si vous « décrochez »


Bibliographie

•  Le Cours de physique de Feynman. Tome 1. (R.P. Feynman, R.B. Leighton & M. Sands). Dunod.

–  Mécanique du point matériel : Chapitres 7, 8, 9, 10, 11, 12 –  Mécanique du solide : Chapitres 18, 19, 20 –  Oscillateur harmonique : Chapitres 21, 22, 23, 24, 25

11/30/09 5:19 PMPPUR - Mécanique

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Mécanique

Auteur(s): Jean-Philippe AnsermetDomaine(s): Physique, Génie mécaniqueCollection: Physique InformationsISBN: 978-2-88074-829-62009, 424 pages imprimées en noir et cyan, 16x24 cm, broché Prix pour la Suisse:69.50 CHFPrix à l'exportation:46.45 euros

La mécanique constitue l’un des fondements de la physique. Elle engendre des révolutions conceptuelles etreprésente l’accomplissement d’un idéal scientifique. Son étude forme l’esprit du futur chercheur et initie à lapratique de l’ingénieur. Cet ouvrage présente l’ensemble des bases fondamentales de la mécaniquenewtonienne, les principes de la mécanique analytique ainsi qu’une introduction à la relativité. Trèsdidactique, il illustre l’usage de la démarche mécaniste à l’aide de nombreux exemples issus d’une longuepratique d’enseignement, permettant ainsi une bonne assimilation des concepts développés et l’acquisitiond’un savoir-faire. Deux niveaux de lecture rendent cet ouvrage accessible à la fois aux étudiants en sciencesexactes et en sciences appliquées. Une perspective historique est proposée en début de chaque chapitre enguise d’initiation culturelle à la matière traitée.

Cette référence s’adresse principalement aux étudiants en sciences niveau Bachelor et à leurs enseignants.

Avant-propos - Les bases de la mécanique newtonienne - Le solide indéformable - Le formalisme deLagrange - La théorie de la relativité restreinte - Pratique de la mécanique - Postface: la rationalité - Index

Dans la même collection

Les principes de lamécaniquequantique

La physique quantique a pris son essorautour de 1925 avec les théoriesrévolutionnaires de Louis de Broglie, deWerner Heisenberg et d’ErwinSchrödinger. Très vite P. A. M. Dirac,qui partage le prix Nobel de physique1933 avec E. Schrödinger, contribuefortement à ces avancées et publie dès1930 un traité, The principles ofQuantum Mechanics, régulièrementrévisé et amélioré.

Traité de la lumière

Le Traité de la lumière se présente à lafois comme un livre de science et unlivre d’art. En cultivant cette doubleallégeance, les auteurs ont cherché àexorciser les aspects les plus durs de latechnoscience d’aujourd’hui.

Electrodynamiqueet optiquequantiques

Cet ouvrage est le fruit d’une longuepratique d’enseignement et constitueune référence sans équivalent enlangue française.


Introduction:��Objet et méthodes de la physique


La physique •  Science qui décrit de façon à la fois quantitative et conceptuelle les

composants de la matière et leurs interactions mutuelles

•  En partant d’observations et d’expériences le physicien développe des théories en utilisant l'outil des mathématiques pour décrire et prévoir l'évolution de systèmes.

•  La physique n'accepte comme résultat que ce qui est mesurable et reproductible par expérience. Cette méthode permet de confirmer ou d'infirmer les hypothèses fondées sur une théorie donnée.

•  La mécanique est la branche de la physique qui étudie le mouvement des systèmes matériels et leurs déformations, en relation avec les forces qui provoquent ou modifient ce mouvement ou ces déformations.


La méthode scientifique��induction – déduction

Réalité

Loi (= généralisation)

déduction induction



Isaac Newton (1643–1727)

Experimentum crucis

La lumière blanche du soleil est composée de raies de différentes couleurs.

Au passage d’un prisme, chaque composante de la lumière a un coefficient de réfraction différent.



Théorie (ensemble de lois) La lumière blanche du soleil est composée de raies

de différentes couleurs. Au passage d’un prisme, chaque composante de la

lumière a un coefficient de réfraction différent.

Une simple observation (effectuée longtemps avant Newton) :

« Un prisme en verre illuminé par un rayon de lumière blanche émet des raies de lumière de différentes couleurs dans différentes directions ».

INDUCTION

DÉDUCTION

« La superposition des raies de lumière de différentes couleurs produit un

faisceau de lumière blanche ».

Expérience planifiée


La méthode scientifique��Lois et théories en physique

Réalité

Loi générale Loi générale

Axiome (loi fondamentale)

Loi générale

Cas particuliers




1ère loi (axiome) de la mécanique de Newton:

« Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse

sur lui, et ne le contraigne à changer d'état. »



Théorie des leviers

Axiome I Un levier qui est chargé de manière symétrique se trouve en équilibre.

Axiome II Le charge totale s’exerce au point d’appui.

On en déduit la loi des leviers: Des poids quelconques s’équilibrent à des distances inversement proportionnelles à leur poids.

Archimède (287–212 av. J.-C.)

« Donnez-moi un point d’appui, et je soulèverai le monde »

Les « corbeaux d'Archimède » qui servaient à harponner et enlever les vaisseaux lors du siège de Syracuse

P! Pʼ!

L! Lʼ!

Théorie = ensemble cohérent de lois



•  Les lois de la physique sont-elles « correctes » ? –  Observation et expérimentation, seules juges de la « vérité » scientifique –  L’application directe des lois n’est souvent possible que dans des cas

« idéalisés ». La réalité est complexe. –  Surprises et révolutions

•  Début du XXe siècle: relativité, mécanique quantique •  Les « anciennes » théories apparaissent comme approximations et/ou cas

particuliers des nouvelles théories

•  Nous ne connaissons pas toutes les lois de la physique

•  La physique utilise le langage des mathématiques mais elle se base sur l’observation et l’expérience


La mécanique classique et ses « héros »


Galileo Galilei dit Galilée (1594–1642)

Leonhard Euler (1707–1783)

Pierre Varignon (1654–1722)


Les limites de la mécanique classique •  Loi d’addition des vitesses (Galilée)

–  Si je marche à la vitesse vmarche sur un tapis roulant qui m’entraîne à la vitesse vtapis, ma vitesse par rapport au sol sera égale à

v = vmarche + vtapis

•  Relativité (Einstein) –  La vitesse de la lumière dans le vide c est une constante (c = 299792458 m/s)

☞  La loi d’addition des vitesses n’est plus valable pour des objets qui se déplacent à des grandes vitesses (vitesses proches de c)

–  Le temps et l’espace ne sont pas des absolus; ils se “mélangent“ (espace-temps) –  Relaitivité générale: l’espace-temps est « courbe », déformé par la présence de

grandes masses dans l’univers.

A notre échelle humaine (petites vitesses et petites masses), les effets relativistes sont négligeables !

Albert Einstein (1879–1955)


Les limites de la mécanique classique •  Dans le monde microscopique (à l’échelle atomique

et sub-atomique) –  Quantification de l’énergie (Planck, Einstein, Bohr) –  Dualisme onde-particule (de Broglie, Schrödinger) –  Plus de trajectoire, ni déterminisme (Heisenberg)

•  Relation d’incertitude de Heisenberg (1927):

•  h = 6.626 10–34 kg m2/s (constante de Planck)

A notre échelle humaine (macroscopique), les effets quantiques sont négligeables !

Max Planck (1858–1947)

Erwin Schrödinger (1887–1961)

Niels Bohr (1885–1962)

Werner Heisenberg (1901–1976)

Wolfgang Pauli (1900–1958)

Max Planck (1858–1947)

Paul A. M. Dirac (1902–1984)

Louis-Victor de Broglie (1892–1987)


Les limites de la mécanique classique


Formulation mathématique des lois de la physique

•  La physique ne se contente pas de la simple observation des phénomènes naturels. Elle essaie de les cerner de manière quantitative. –  Importance de l’outil mathématique –  Importance des mesures

•  Disposer d’un instrument de mesure •  Définir clairement les grandeurs que l’on mesure et se donner un système

d’unités

0 T!

2T!

3T

Expérience de Galilée


Grandeurs physiques et unités

•  La valeur d'une grandeur physique est généralement exprimée sous la forme du produit d'un nombre par une unité. L'unité n'est qu'un exemple particulier de la grandeur concernée, utilisé comme référence. Le nombre est le rapport entre la valeur de la grandeur en question et l'unité.

•  Pour une grandeur particulière, on peut utiliser de nombreuses unités différentes. Par exemple, la vitesse v d'une particule peut être exprimée sous la forme

v = 25 m/s = 90 km/h les unités mètre par seconde et kilomètre par heure étant des unités alternatives pour

exprimer la même valeur de la grandeur « vitesse »

Le système international d’unités (SI)��adopté par la 11e Conférence générale des poids et mesures (1960)

•  Bureau International des Poids et Mesures : http://www.bipm.org/

•  Documentation Système SI : –  http://www.bipm.org/fr/si/si_brochure/



•  La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133.

•  Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde.

•  Le kilogramme est l'unité de masse ; il est égal à la masse du prototype international du kilogramme.

Méc

aniq

ue


Première partie: ��Sensibilisation aux objectifs de la mécanique

I.  Rappel de quelques notions de base de la mécanique 1.  Cinématique. Vitesse et accélération instantanées. 2.  Mouvement rectiligne uniforme et mouvement rectiligne uniformément accéléré. 3.  La chute libre des corps comme réalisation d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré. 4.  Grandeurs scalaires et grandeurs vectorielles. Vitesse et accélération comme vecteurs. 5.  Dynamique. Les lois de Newton. Les notions de masse et de force. 6.  Exemples de forces.

II.  L’oscillateur harmonique 1.  L'oscillateur harmonique libre. Équation différentielle et équation horaire. 2.  Mouvement harmonique et mouvement circulaire uniforme. 3.  L’oscillateur harmonique amorti. 4.  L’oscillateur harmonique forcé. Phénomènes de résonance.


Les différentes branches de la mécanique

•  Cinématique –  Étude du mouvement des corps, en faisant abstraction des

causes du mouvement

•  Dynamique –  Étude de la relation entre le mouvement des corps et les

causes de leur variation (forces) •  Statique

–  Étude des systèmes mécaniques au repos (à l’équilibre)


La cinématique: « où et quand ? »

0

1"

2"

3"

4"

5"

5" 10" 15" 20" 25" 35" 40" 45" 50" 55"30"


I.1. Vitesse et accélération instantanées ��La vitesse

Ok, si ce rapport est constant (--> mouvement uniforme) Sinon: problème de définition

« Vous rouliez à 65 kilomètres par heure ! »

« Impossible: je roule depuis 2 heures et j’ai à peine pu faire 50 kilomètres ! »


I.1. Vitesse et accélération instantanées ��La vitesse instantanée comme dérivée

0

v =∆x

∆t


I.1. Vitesse et accélération instantanées ��La vitesse instantanée comme dérivée

0


I.1. Vitesse et accélération instantanées ��Le calcul infinitésimal


Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –1716)


I.1. Vitesse et accélération instantanées ��La distance comme intégrale

0

Vitesse en fonction du temps


I.1. Vitesse et accélération instantanées ��L’accélération

Accélération = changement de vitesse


I.1. Vitesse et accélération instantanées ��L’accélération instantanée

0


I.2. Mouvement rectiligne ��Le mouvement rectiligne uniforme

•  rectiligne : mouvement en ligne droit •  uniforme : à vitesse constante

•  Équation différentielle :

•  Intégration :

•  Constante d’intégration :

•  Équation horaire :

0

0


I.2. Mouvement rectiligne��Le mouvement rectiligne uniformément accéléré

•  rectiligne : mouvement en ligne droit •  uniformément accéléré : à accélération constante

•  Équation différentielle :

•  Intégration :

•  2ème intégration :

•  Équation horaire :

Parabole ! 0

0


I.2. Mouvement rectiligne��Nicole Oresme (1325–1382)

•  Première apparition d’un graphe v = v(t) •  Distingue entre

–  motus uniformis (mouvement uniforme) –  motus uniformiter difformis (mouvement uniformément accéléré) –  motus difformiter diformis

•  Reconnaît que l’aire de la surface sous la courbe v = v(t) représente la distance parcourue

•  Démontre que, pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré, la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps (et ceci bien avant l’introduction du calcul différentiel et intégral !)

0 0

motus uniformis motus uniformiter difformis

Nicole Oresme (1325–1382)


I.2. Mouvement rectiligne��Nicole Oresme (1325–1382)

0

« unité » de distance =


I.3. La chute libre des corps •  Réalisation d’un mouvement uniformément accéléré

–  Accélération constante dirigée vers le bas (verticalement) –  Conjecture formulée au moyen age –  Conjecture émise pour la première fois de manière clairement

documentée par Domingo de Soto (1494–1560) –  Vérification expérimentale par Galilée

0 T!

2T!

3T

Expérience de Galilée

D Galilée (1594–1642)

Domingo de Soto (1494–1560)


I.3. La chute libre des corps

•  Accélération g constante indépendante de la masse des corps –  Vérification expérimentale par Simon Stevin en 1586 ! –  Mérite généralement attribué à Galilée, mais l’expérience de la tour de

Pise est très probablement une pure légende !

•  La valeur numérique de g –  dépend de la latitude géographique

•  à l’équateur: g = 9.780 m/s2 •  aux pôles : g = 9.832 m/s2 •  valeur moyenne en Europe : g = 9.80665 m/s2

–  dépend de l’altitude •  diminue en altitude •  g = const. est vrai uniquement sur des distances pas trop grandes !

•  Chute libre = mouvement uniformément accéléré –  uniquement vrai si les frottements sont négligeables (e.g. dans le vide)

Simon Stevin (1548–1620)

Une légende …


I.3. La chute libre des corps ��Balistique: chute libre des corps avec composante horizontale

•  Principe: décomposition du mouvement balistique (Galilée) •  Le mouvement d’un corps en chute libre peut être vu

comme la superposition de deux mouvements:

– Un mouvement rectiligne horizontal uniforme

– Un mouvement rectiligne vertical uniformément accéléré


I.4. Grandeurs vectorielles

•  Le vecteur en physique sert à représenter des grandeurs orientées, qui ne peuvent être complètement définies par un nombre seul ou une fonction numérique seule. Par exemple, pour préciser une vitesse, une force, un champ électrique, il faut aussi connaître la direction et le sens. Les grandeurs vectorielles se distinguent des grandeurs scalaires que l’on peut décrire par un simple nombre, comme la masse, la température, la pression, etc.

•  Une grandeur vectorielle est caractérisée par trois propriétés : –  sa norme (ou longueur), qui est un scalaire –  sa direction (une droite) –  son sens

•  Graphiquement, on représente un vecteur par un segment de droite orienté (une flèche). La norme du vecteur correspond à la longueur du segment de droite.

•  Le symbole d’une grandeur vectorielle est notée avec une flèche en-dessus ou en caractère gras.

Bulletin météorologique :

Grandeur vectorielle Grandeurs scalaires


I.4. Grandeurs vectorielles •  Le déplacement d’un objet (translation) comme vecteur

–  Déplacement d’un objet selon u, suivi d’un déplacement selon v. –  Le résultat est un déplacement suivant u + v

•  Changement de signe d’un vecteur –  inversion du sens

•  Multiplication d’un vecteur par un scalaire a –  direction: inchangée –  norme: multipliée par |a| –  sens: inversion si a < 0

•  Addition de vecteurs –  on amène l'origine du deuxième vecteur à l'extrémité du premier,

la somme est le vecteur qui joint l'origine du premier vecteur à l'extrémité de second

–  on amène les origines des deux vecteurs en un même point, on trace un parallélogramme dont les vecteurs sont deux côtés, la somme est alors la diagonale du parallélogramme partant de l'origine.


I.4. Grandeurs vectorielles •  Décomposition d’un vecteur en composantes orthogonales


I.4. Grandeurs vectorielles ��Vitesse et accélération comme grandeurs vectorielles

•  La vitesse comme grandeur vectorielle –  Vitesse = déplacement (translation) par unité de temps –  Exemple: balistique

•  Vecteur de position –  Un point P dans l’espace peut être repéré par un

vecteur de position : x(P) –  Important: le vecteur de position dépend du choix

de l’origine ! –  A l’inverse, le vecteur vitesse ne dépend pas du

choix de l’origine:

P

x(P)

O P

x(P)

O

P’

x(P’)

indépendant du choix de O


I.4. Grandeurs vectorielles ��Vitesse et accélération comme grandeurs vectorielles

•  Généralisation: position, vitesse et accélération comme grandeurs vectorielles


I.5. Les lois de la dynamique ��Les deux premières lois de Newton (1687)


•  1ère loi (inertie) –  « Tout corps persévère dans l'état de repos ou de

mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état. »

•  2ème loi (loi fondamentale de la dynamique) –  « Le changement dans le mouvement

(= accélération) d’un corps est proportionnel à la force et se fait dans la direction et le sens de la force. »

Philosophiae Principia Mathematica (1687)

F = ma


I.5. Les lois de la dynamique ��La notion de masse F = ma

•  La masse est une propriété intrinsèque de chaque corps. Elle caractérise son inertie, c'est-à-dire sa résistance à un changement de mouvement (accélération). Il s'agit d'une grandeur extensive

•  Dans le système SI, la masse est une des sept grandeurs de base. Son unité est le kilogramme.

Force = Cause extérieure Accélération = Effet

facteur de proportionalité = propriété intrinsèque du

corps, appelée masse

[m] = 1 kg


•  Une force est une action mécanique capable de créer –  une accélération d’un corps –  une déformation d’un corps

•  La force est une grandeur vectorielle

•  Unité de la force:

I.5. Les lois de la dynamique��La notion de force


•  Mouvement rectiligne uniforme :

I.5. Les lois de la dynamique��La notion de force

F = ma

•  Mouvement rectiligne uniformément accéléré :

a = 0 ⇒ F = 0 , aucune force n’agit sur le corps

a = Const. ⇒ F = Const. , une force constante agit sur le corps

•  L'accélération de la pesanteur est un vecteur : g -  Norme : |g| = g = 9.80665 m/s2 (dépend de la latitude géographique et de l'altitude) -  Direction : droite passant par le centre de la terre -  Sens : orienté vers le centre de la terre

•  Force de pesanteur (poids) : FP = m g –  Masse : constante –  Poids : varie en fonction de g

•  fonction de la latitude géographique •  fonction de l’altitude

–  En apesanteur : g = 0 mais m ≠ 0 –  Pesanteur lunaire : 1/6 de la pesanteur terrestre

I.6. Exemples de forces ��Force de pesanteur (poids) et accélération de pesanteur


I.6. Exemples de forces ��Balistique: tir oblique

Trajectoire = parabole

O


•  Force électrique s'exerçant entre deux particules chargées immobiles

I.6. Exemples de forces ��Force électrostatique

•  Frottement sec

o  Le frottement s’oppose au mouvement relatif de deux corps qui sont en contact l'un avec l'autre

o  Empiriquement on observe les caractéristiques suivantes :   La force de frottement est proportionnelle à la force N qui presse les

deux surfaces de contact l'une contre l'autre;   Elle est indépendante de l'aire de la surface de contact;   Elle est dirigée parallèlement à la surface de contact et orienté en sens

inverse du déplacement (vitesse v).

I.6. Exemples de forces ��Forces de frottement

Norme : |Ff | = µ |N|

µ : coefficient de frottement– depend de la nature des materiaux en contact

Ff = −µ |N| v|v|

v

60

•  Frottement statique

o  S'applique au cas d'un corps immobile sur une surface o  La force de frottement s'oppose à la mise en mouvement du corps o  Elle peut atteindre une valeur maximale; au-delà, il y a décrochement et le

corps commence à glisser.


µ0 : coefficient de frottement statique

|Ff |max = µ0 |N|

En general : µ0 > µ

M. Schiltz: Physique générale I (GM& EL)

61

•  Frottement visqueux

o  S'applique au déplacement d’un corps dans un liquide ou dans un gaz. o  En première approximation, la force de frottement est proportionnelle à la

vitesse v de déplacement relatif entre les deux corps. Elle a la même direction que la vitesse de déplacement et agit en sens inverse.

<


b : constante qui depend du fluideet de la forme du corps


•  La loi de Hooke est valable pour des faibles déformations (régime linéaire)

•  Force de rappel d’un ressort

I.6. Exemples de forces ��Force de rappel d'un ressort

Ressort détendu

Ressort tendu

∆x (allongement)(= grandeur

vectorielle !)

Loi de Hooke : Fr = −k ∆x

Domaine linéaire

Domaine non-

linéaire

Déformation irréversible (plastique)

Rupture

|Fr|

|∆x|


II. Oscillateurs harmoniques •  Phénomènes oscillatoires

–  Mouvement périodique autour d’une position d’équilibre

•  Exemples –  Masse pendue à un ressort (si la déformation du ressort n’est pas

trop importante) –  Pendule (si les écarts sont faibles) –  Circuits électriques RLC –  Vibrations acoustiques: diapason, corde de guitare –  Vibrations moléculaires –  …


II.1. L'oscillateur harmonique libre��Étude phénoménologique

Position d'équilibre

•  Masse pendue à un ressort –  Lorsqu'on écarte la masse de sa position d'équilibre et qu'on la lâche, on observe

qu'elle effectue un mouvement oscillatoire autour de sa position d'équilibre.

t

ex

0

x

x

T (periode)

a (amplitude)


II.1. L'oscillateur harmonique libre��Équation différentielle du mouvement

•  Généralisation   On appellera oscillateur harmonique tout système équivalent à un point matériel astreint à se déplacer en

ligne droit et soumis à une force de rappel proportionnelle à la distance à un point fixe sur cette droite.   Un tel système est capable d’effectuer un mouvement oscillatoire, appelé mouvement harmonique.

Position d'équilibre

ex

x

0

x

F = F ex

∆x = x ex

Loi de Hooke : F = −k ∆x ⇒ F = −k x2e Loi de Newton : F = m x

•  Masse pendue à un ressort –  Cas idéal:

•  Petits allongements (domaine linéaire = domaine de validité de la loi de Hooke)

•  Sans frottements (= sans amortissement) ⇒  oscillateur harmonique libre

F

∆x


II.1. L'oscillateur harmonique libre��Solution de l’équation différentielle

x(t) = a cos(ω◦ t) est une solution de l’equation differentielle

En effet : x(t) = −a ω2◦ cos(ω◦ t)

L’equation differentielle est verifiee, avec : ω◦ =�

k

m

Equation differentielle : x = − k

mx


II.1. L'oscillateur harmonique libre��Solution générale de l’équation différentielle

• Mais x(t) = a cos(ω◦ t) est une solution particuliere de l’equation differentiellequi implique : x(0) = a

i.e. un ecartement maximal en t = 0

• Effectuons un changement de l’origine des temps :

C’est aussi une solution de l’equation differentielle !


II.1. L'oscillateur harmonique libre ��Solution générale de l’équation différentielle

Remarque importante L’équation différentielle qui régit le mouvement de l’oscillateur harmonique est une équation différentielle linéaire:


II.1. L'oscillateur harmonique libre��Conditions initiales


II.2. Mouvement harmonique et mouvement circulaire uniforme

Le mouvement harmonique est équivalent à la projection d’un mouvement circulaire

uniforme sur une droite.

x

y

t


II.2. Mouvement harmonique et mouvement circulaire uniforme��Rappel sur les nombres complexes ��

z

x

y

r

θ


II.2. Mouvement harmonique et mouvement circulaire uniforme


II.2. Mouvement harmonique et mouvement circulaire uniforme��

Solution de l’équation différentielle en passant par la fonction complexe

•  Principe : On utilise une fonction complexe comme tentative (Ansatz) pour résoudre l’équation différentielle. Après avoir établi la solution (complexe), on projette celle-ci sur l'axe des réels.

•  En effet, nous pouvons écrire l’équation différentielle sous forme complexe et remarquer que les parties réelles et imaginaires doivent satisfaire celle-ci de manière indépendante :

•  Avec :

•  Projection sur l’axe des réels:

•  Remarque :

1. Équation différentielle

2. Solution générale

Oscillateur harmonique libre : résumé

t

a

3. Solution complexe


Systèmes linéaires et systèmes non linéaires •  Systèmes linéaires

–  gouvernés par des équations différentielles linéaires –  souvent: solutions analytiques (i.e. problèmes solvables) –  principe de superposition –  beaucoup de lois physiques sont des lois linéaires –  même pour des systèmes non linéaires, l’approximation linéaire est souvent valable

pour des petites perturbations (e.g. pendule)

•  Systèmes non linéaires –  gouvernés par des équations différentielles non linéaires (contenant des termes en x

à des puissances > 1) –  presque jamais des solutions analytiques –  principe de superposition non valable –  émergence du chaos déterministe

•  pas de mouvement régulier, fluctuations apparemment erratiques •  comportement dépendant fortement des conditions initiales

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