RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 1 SUR 12 Gravure montrant lessai dune poutre en flexion RESISTANCE DES MATERIAUX INTRODUCTION - HYPOTHESES RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 2 SUR 12 (Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 3 SUR 12 SOMMAIRE 1.EN QUOI A CONSISTE ? .................................................................................................................................................................4 2.INTRODUCTION...................................................................................................................................................................................4 3.HYPOTHESES .........................................................................................................................................................................................4 3.1LE MATERIAU..................................................................................................................................................................................... 5 3.1.1Continuit de la matire..........................................................................................................................................................5 3.1.2Homognit.............................................................................................................................................................................5 3.1.3Isotropie.....................................................................................................................................................................................5 3.2LA GEOMETRIE................................................................................................................................................................................... 5 3.3LES FORCES APPLIQUEES................................................................................................................................................................... 7 3.3.1Plans de symtries....................................................................................................................................................................7 3.3.2Points ou zones dapplication des forces.............................................................................................................................8 3.3.3Types de forces extrieures ....................................................................................................................................................8 3.4DEFORMATION................................................................................................................................................................................. 11 3.4.1Hypothse de Navier Bernouilli .......................................................................................................................................11 3.4.2Hypothse de Barr de Saint Venant ..................................................................................................................................11 4.RESOLUTION.......................................................................................................................................................................................12 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 4 SUR 12 1.En quoi a consiste ? Pour ef f ect uer uncalculdeRDM,i lest ncessai r edeconnat r elesact i onsmcani quesexer cessurle mcani sme (act i ons dt er mi nes dans lt ude de dynamique) etles mat r iaux ut iliss. Lt udedeRDMvaper met t r ededf inir lessollicit at ionset lescont r aint esquienr sult ent .Alaide descar act r ist iquesdesmat r iaux(pr opr it smcaniques),nousallonspouvoir endduir elesdf or mat ions du mat r i au, etdans les cas ext r mes, sa r upt ur e. 2.Introduction Lar si st ancedesmat r i auxnt udi equedessoli desdef or messi mples :l es pout r es .Bi en souvent ,i l est possi bl edemodl i ser dessol i despar unepout r e,l acondi t i onqueceux-cir espect entcer t ai neshypot hses.Lobj et dececour sest depr sent er leshypot hsesdelaRDM,pr alable indispensable lt ude. Lar si st ancedesmat r i auxest lt udedelar si st anceet deladf or mat i ondessoli des(ar br esde t r ansmi ssi ons,bt i ment s,di ver sespi cesmcani ques)dansl ebut dedt er mi ner ouvr i f i er l eur s dimensionsaf inquilssuppor t ent leschar gesquilssubissent ,dansdescondit ionsdescur it sat isf aisant es et aumei lleur cot (opt i mi sat i ondesf or mes,desdi mensi ons,desmat r i aux) .Sondomai nedappl i cat i on t ant t r slar geet lessit uat ionsr encont r esnombr euseset var ies,ilest ncessair edemet t r eenplace des hypot hses si mpli f i cat r i ces dans le butde st andar di serles cas dt ude. Laphot oci-cont r er epr sent eunmagni f i quechar i otlvat eur dundomai nevi t i coledunvi llagebour gui gnon (commenant par unCet f i ni ssant par unS),mondi alementconnu pourses vi ns bl ancs. Ce char i otl vat eurestdest i n diver st r avauxsur lexploit at ion,et enf onct iondeson ut ilisat ion,nousnousi nt r esser onspluspar t i culi r ement aux f our ches de ce char iot . FIGURE : CHARIOT ELEVATEUR 3.Hypothses Danscepar agr aphe,nousallonscit er lesdif f r ent eshypot hsesquelonest endr oit def or mulerdanslecadr edelaRsist ancedesMat r i aux.Laf i gur esui vant emont r elappli cat i onau f our ches du char iotl vat eur. RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 5 SUR 12 FIGURE : FOURCHE DUMAGNIFIQUECHARIOT ELEVATEUR 3.1Le matriau 3.1.1Continuit de la matire Lor squonr egar deaumicr oscopelacoupedunepiceenmt al,onvoit gnr alement unest r uct ur e f i br euse, ou quelquef oi s une st r uct ur e gr anulai r e. Tout ef oi s, les di st ances ent r e ces f i br es ou ces gr ai ns sontt r s pet it es parr appor taux dimensions des plus pet it es pices mcaniques qui sontt udies. On peutalor s r ai sonnablementconsi dr erle mat r i au comme cont i nu. 3.1.2Homognit Onadmet quelesmat r iauxont lesmmespr opr it smcaniquesent ouspoint s.Celaest peupr s vr if ipour laplupar t desmt aux,maisilf aut savoir quecet t ehypot hsenest quunegr ossir e appr oxi mat i on pourles mat r i aux t els que le boi s ou le bt on. 3.1.3Isotropie Onadmet quelesmat r iauxt udisont ,enunmmepoint ,lesmmespr opr it smcaniquesdans t out es l es di r ect i ons. Cel a est peu pr s vr aipourl es aci er s, mai s i lf autsavoi rque cet t e hypot hse estl oi n de la r ali t pourle boi s etles mat r i aux composi t es parexemple. 3.2La gomtrie Lesseulssolidesquenoust udier onsser ont dut ypepout r e(solideidaldupoint devuedelaRDM :soli dedf i ni par salignemoyenneet sasect iondr oit e).Lapout r eest unsolidedont lalongueur estpr pondr ant e devantles aut r es di mensi ons t r ansver sales. Action de la charge II.4 - PRINCIPE DEBARRE DESAINT VENANT Action de la traverse infrieure / fourche Action de la traverse suprieure / fourche II.2 - GEOMETRIE: POUTRE II.4 - DEFORMATIONS II.1 - MATERIAU II.3 FORCESAPPLIQUEES RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 6 SUR 12

FIGURE : GEOMETRIES DEPOUTRES FIGURE : NOTION DEPOUTRE Une pout r e estdf i ni e par : vsalignemoyenne(li gnedr oi t eouli gnecour begr andr ayondecour bur e,sur laquelleset r ouvele bar ycent r e G des sect i ons dr oi t es). Celle-ciestle plus souventr ect i li gne ; L > 4 ou 5D Plan de symtrie de la poutreLigne moyenneSections droites SG, SB et SA D L GBA RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 7 SUR 12 vsasect iondr oit e(sect i onqui engendr el apout r e,const ant eet decent r edesur f aceG).Cel l e-ci est en pr incipe const ant e etson cent r e de sur f ace estsurla ligne moyenne. Dans le cas de la f our che du char i otlvat eur : FIGURE : ASSIMILATION A UNE POUTRE Biensouvent ,lespout r est udiesner emplissent pascescondit ions.Lesr elat ionst abliesent enantcompt edeceshypot hsesnesappli quent paspar f ai t ement ,dolancessi t di nt r odui r euncoef f i ci ent de scur i t dans les calculs de di mensionnement . 3.3Les forces appliques 3.3.1Plans de symtries Lesf or cesext r ieur esappliqueslapout r e(P)ser ont sit uessoit dansleplandesymt r ie(PS), soi tsymt r i quementparr appor tau plan de symt r i e. FIGURE : PLANS DE SYMETRIES Ligne moyenne Section droite Calcul de RDM : 1re poutre Calcul de RDM : 2me poutre RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 8 SUR 12 3.3.2Points ou zones dapplication des forces EnRDM,i lnest paspossi bleder emplacer unsyst medef or cespar unsyst mequi valent dupoi ntde vue de lqui li br e carles ef f et s physi ques (df or mat i ons, cont r ai nt es) sontdi f f r ent s. Danslesdeuxcas,lapout r eest enqui li br e,mai spar cont r elesdf or mat i onssont t ot alementdi f f r ent es. On f ai tgalementles appr oxi mat i ons sui vant es : F les cont act s de la pout r e etdu mi li eu ext r i eursef f ect uentau ni veau de la li gne moyenne ; F les suppor t s des f or ces r epr sent antles act i ons de cont actne sontpas dplacs apr s df or mat i on. Repr enons le cas de la f our che du char i otlvat eur(t ouj our s aussimagni f i que) : Poutre avant dformation Poutre aprs grande dformation Poutre aprs petite dformation (a nglig) 3.3.3Types de forces extrieures On di st i ngue les act i ons di st ance etles act i ons de cont act . Act ions dist ance : poi ds, magnt i sme Act i ons de cont act : char ges concent r es en un poi ntou char ges r par t i es. C CrC C Cra RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 9 SUR 12 3.3.3.1Charges concentres en un point Dans le cas de la f our che du char i otlvat eur : FIGURE : CHARGECONCENTREE Exempl e : r epr enons le cas de la f our che du char iotlvat eur .Donnes du pr oblme : v le char i ott r anspor t e un f tde vi n de Chabli s Gr and Cr u les Clos 2000 ; v le f tcont i ent228 li t r es ; Remar que :cest malheur euxdir e,maispour f air elecalcul,onassimiler a la densi t de ce di vi n br euvage cel l e de l eau La masse t ot aleMembar que surles f our ches (i l y a 2 f our ches) du char i otlvat eurestdonc : kg M 228 1 228 = Le poids Psexer antsurune f our che est:N P 1140210 228==Li nt ensi t de la char ge concent r e surune f our che estalor s :N P 1140 = 3.3.3.2Charge uniformment rpartie TMTL1999 Clos 2000 Pr RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 10 SUR 12 Dans le cas de la f our che du char i otlvat eur : FIGURE : CHARGEREPARTIE Exempl e : r epr enons le cas de la f our che du char i otlvat eur . Donnes du pr oblme : vlechar iot t r anspor t eunepalet t edecar t onsdevindeChablisGr andCr ulesClos1998 (car t ons expor t de 6 bout ei lles); v une bout ei lle (de 75cl) pse envi r on 1.3kg ; v la palet t e en boi s EURO pse envi r on 20kg ; v la palet t e estconst i t ue de 4 r angs de 13 car t ons chacun ; v le poi ds des car t ons (emballage) estngli g. Calculerla char ge r par t i e sexer antsurune f our che. Remar que :l ar si st ancedesf our chesdpenddi r ect ement del agomt r i eet l asect i on desf our ches,dduit esducalculdelachar geembar que.Aupr ixdesbout eilles t r anspor t es, i l vautmi eux ne pas se t r omperdans le calcul La masse t ot aleMembar que surles f our ches (i l y a 2 f our ches) du char i otlvat eurestdonc : ( ) [ ] kg M 426 20 4 13 3 . 1 6 + = Le poids Psexer antsurune f our che est:N P 2130210 426== Li nt ensi t de la char ge r par t i e surune f our che estalor s :m N p / 14205 . 12130= = Dans ce cas,prest appel densi t li ni quedef or ce .Cest parexemplelepoidsaumt r edespr of ilsdu commer ce (uni t : N/ m). CHABLIS CRD CHABLISCHABLISCHABLIS CRDCRDCRDCRD CHABLIS CRD CHABLISCHABLISCHABLIS CRDCRDCRDCRD CHABLIS CRD CHABLISCHABLISCHABLIS CRDCRDCRDCRD pr RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 11 SUR 12 On a :l p F =rr Exempl e :unepout r edelongueur t ot alem l 5 . 2 = et depoidst ot alN P 3750 = est soumiseunechar ge r par t i e de : m N p / 15005 . 23750= = 3.4Dformation 3.4.1Hypothse de Navier Bernouilli Au cour s des df or mat i ons, les sect i ons dr oi t es r est entplanes etper pendi culai r es la li gne moyenne. FIGURE : DEFORMEEDUNE POUTRE 3.4.2Hypothse de Barr de Saint Venant Lesr sult at sdelaRDMnesappli quevalablement quunedi st ancesuf f i samment loi gnedelar gi on dappl i cat i ondesf or cesconcent r es.Enef f et ,nousnepouvonspas,avecl esquat i onsdel aRDM,cal cul erles df or mat i ons locales aut ourdun poi ntdappli cat i on dune f or ce. RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 12 SUR 12 4.Rsolution Organigramme de rsolution dun problme de RDM : Voil, cest tout pour aujourdhui Actions extrieures exerces sur la poutre Efforts intrieurs dans la poutre : N, T, MT et MfContraintes en tout point : , Dformations en tout point : , Dimensionnement de la poutre Coefficients de scurit Principe Fondamental de la Statique RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 1 SUR 3 Gravure montrant lessai dune poutre en flexion RESISTANCE DES MATERIAUX COURS RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 2 SUR 3 (Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 3 SUR 3 1.A quoi a sert ? 2.Testez vos connaissances 3.Introduction - Hypothses 4.Torseur de cohsion 5.Notion de contrainte 6.Traction 7.Cisaillement 8.Torsion 9.Flexion 10.Essais mcaniques Bon courage RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 1 SUR 8 Gravure montrant lessai dune poutre en flexion RESISTANCE DES MATERIAUX A QUOI A SERT ? RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 2 SUR 8 (Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 3 SUR 8 SOMMAIRE 1.A QUOI A SERT ?...............................................................................................................................................................................4 2.LES ESSAIS DE RDM EN AERONAUTIQUE..............................................................................................................................5 2.1TEST DES AILES.................................................................................................................................................................................. 5 2.2TEST DES AILES DU CONCORDE....................................................................................................................................................... 6 2.3TEST DU FUSELAGE............................................................................................................................................................................ 7 2.4TEST DU TRAIN DATTERRISSAGE.................................................................................................................................................... 8 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 4 SUR 8 1.A quoi a sert ? La rsistance des matriaux (RDM) permet de dfinir les formes, les dimensions et les matriaux des pices mcaniques de faon matriser leur rsistance, leur dformation, tout en optimisant leur cot. Ce pont a t vrifi enRsistance des Matriaux pour : Fassurersarsistancesoussonproprepoidsetceluides vhicules, F assurer sa rsistance en cas de forte tempte, F optimiser sa forme et son cot.

Cette bouteille a t vrifie en Rsistance des Matriaux pour : F assurer sa rsistance lorsquelle est pleine, F assurer une rsistance minimum en cas de chute, F minimiser son paisseur pour faire des conomies sur la matire premire. Delammefaon,pourlematrieldescaladeetde scuritengnral,lesmatriauxsonttestset vrifisdanstouteslesconfigurationsdutilisation possibles (charges, chocs, temprature). RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 5 SUR 8 2.Les essais de RDM en aronautique Enaronautique,laRDMuneimportanceprimordiale.Enpleinvol,onimaginefacilementles consquences de la rupture dune pice. On ne peut pas se permettre de surdimensionner les pices car le poids de lavion serait alors trop important.Ilfautdoncraliserdescalculsetdesvrificationstrsstrictesdespicesconstitutivesdun avion. Grce aux progrsdanslaconnaissancedesmatriauxetlesmoyensdecalculetdemodlisation des structures, les pices mcaniques sont de plus en pus fiables. Voici quelques exemples : F test des ailes F test du fuselage F test du train datterrissage 2.1Test des ailes Cetessaiconsistevrifierlarsistance statiqueduneailedavion.Pourmodliser unechargerpartiesurtoutelaile,on applique leffort grce des cbles accrochs aux poutres de la photo ci-contre. RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 6 SUR 8 Laile est en charge maximum. Ondistinguebienladformedelaile. Pendanttoutlessai,unemultitudede capteurs calculent la dformation de laile. Rupture de laile! Ondistinguebienlemorceaucass(vertical) de laile. 2.2Test des ailes du Concorde Mmeessaiqueprcdemment,ralissurun Concorde. On remarqueles cbles fixs sur laile de lavion. RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 7 SUR 8 Essai avec charge thermique. On refait le mme essai que prcdemment mais diffrentestempratures(celles-civontjusqu -50C). Lesgainesdeventilationinjectentunmlange gazeux-50Cpendantquelastructurede lavion est chauffe 2.3Test du fuselage Test de la partie arrire du fuselage. Essai statique. Ruptureparflambageenflexionetefforttranchant dune partie arrire du fuselage. RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 8 SUR 8 2.4Test du train datterrissage Essai de flexion sur un train datterrissage. Dformationdueauflambagedunvrindetrain datterrissage. Voil, cest tout pour aujourdhui RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 1 SUR 9 Gravure montrant lessai dune poutre en flexion RESISTANCE DES MATERIAUX TESTEZ VOS CONNAISSANCES RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 2 SUR 9 (Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 3 SUR 9 SOMMAIRE 1.QUESTION1 .............................................................................................................................................................................................4 2.QUESTION 2 ............................................................................................................................................................................................4 3.QUESTION 3 ............................................................................................................................................................................................4 4.QUESTION 4 ............................................................................................................................................................................................5 5.QUESTION 5 ............................................................................................................................................................................................5 6.QUESTION 6 ............................................................................................................................................................................................6 7.QUESTION 7 ............................................................................................................................................................................................6 8.QUESTION 8 ............................................................................................................................................................................................7 9.QUESTION 9 ............................................................................................................................................................................................7 10.QUESTION 10 .....................................................................................................................................................................................8 11.QUESTION 11 .....................................................................................................................................................................................8 12.QUESTION 12 .....................................................................................................................................................................................9 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 4 SUR 9 1.Question1 I ndiquez si les essais suivant s sontdest r uct if s, ou non dest r uct if s. Essai de traction ? oui? non Photolasticit ? oui? non Essai de rsilience ? oui? non Ultrasons ? oui? non 2.Question 2 Lessai de rsilience mesure: ? la rsistance lectrique ? la rsistance aux chocs ? la rsistance la corrosion ? lage du capitaine ? la mallabilit 3.Question 3 Pour mener bi enunet udedeRDM,nousavonsbesoi ndef or mul er deshypot hses.Cochezl esbonnes hypot hses. Le matriau doit tre: ? isotrope ? homogne ? continu ? indformable RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 5 SUR 9 4.Question 4 Cochez la rponse qui nest pas une sollicitation: ? cisaillement ? traction ? compression ? contrainte normale ? torsion 5.Question 5 { }RzyGcohTT= 000 0 ? flexion ? traction / compression ? cisaillement? torsion { }R GcohN= 00000? flexion ? traction / compression ? cisaillement? torsion { }RfzyGcohMTT= 000 ? flexion ? traction / compression ? cisaillement? torsion { }RfzfyGcohMM= 0000 ? flexion ? traction / compression ? cisaillement? torsion RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 6 SUR 9 6.Question 6 Cochez la ou les bonne(s) r ponse(s). Une contrainte cest : ? unevaleur absolue ? une pression ? unvecteur ? une valeur algbrique ? une densit de forces 7.Question 7 Soi t unepout r esoumi sedelaf lexi on.Cochezlasect i ondelapout r equi donner alescont r ai nt eslesplus f ai bles. ? solution (1) ? solution (2) ? solution (3) N.B.Lessectionssontgalesdanslestrois solutions A A F Section A-A (1) (2) (3) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 7 SUR 9 8.Question 8 Soi tune pout r e soumi se une solli ci t at i on de t r act i on. Par miles t r oi s pr oposi t i ons de f or me, quelle estselon vous la meilleur e solut ion etla plus mauvai se. ? la meilleure ? acceptable ? la plus mauvaise ? la meilleure ? acceptable ? la plus mauvaise ? la meilleure ? acceptable ? la plus mauvaise 9.Question 9 Soi tune pout r e soumi se une solli ci t at i on de t r act i on. Par miles t r oi s pr oposi t i ons de f or me, quelle estselon vous la meilleur e solut ion etla plus mauvaise. ? la meilleure ? acceptable ? la plus mauvaise ? la meilleure ? acceptable ? la plus mauvaise ? la meilleure ? acceptable ? la plus mauvaise F F F FF FF FF RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 8 SUR 9 10.Question 10 11.Question 11 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 9 SUR 9 12.Question 12 12 34 5 67 8 9 10 11 1 Solli ci t at i on appli que un plongeoi r 2 A les mmes car act r i st i ques mcani ques dans t out es les di r ect i ons 3 I ndi spensabl e aux ar cher s 4 Mat r i aux base de f er5 Quand on dpasse la li mi t e last i que 6 de cont r aint es 7 Rsi st ance aux chocs 8 Densi t de f or ces 9 Mat r i aux en angl ai s 10 Quand on t ir e dessus (solli ci t at i on) 11 For me que pr end la pi ce pendantles solli ci t at i ons. Voil, cest tout pour aujourdhui RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 1 SUR 8 Gravure montrant lessai dune poutre en flexion RESISTANCE DES MATERIAUX TORSEUR DE COHESION RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 2 SUR 8 (Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 3 SUR 8 SOMMAIRE 1.TORSEUR DE COHESION.................................................................................................................................................................4 1.1EFFORTS INTERIEURS......................................................................................................................................................................... 4 1.2COMPOSANTES DES EFFORTS INTERIEURS...................................................................................................................................... 5 1.3TORSEUR DES EFFORTS INTERIEURS (TORSEUR DE COHESION)................................................................................................... 5 1.4SOLLICITATIONS SIMPLES ET COMPOSEES...................................................................................................................................... 6 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 4 SUR 8 1.Torseur de cohsion Soi t unepout r eenqui li br esouslef f et dact i onsmcani quesext r i eur es(poi ds,act i onsde cont act ).EnRDM,lesef f or t sext r i eur sappli quslapout r eengendr ent desef f or t si nt r i eur sla pout r e. Enpr ocdant unecoupur ef i ct i vedelapout r eet eni solant unedesdeuxpar t i es(lagaucheparexempl e),l esact i onsmcani quesquel apar t i edr oi t eexer cesur l apar t i egauchesont dsl or sdesact i ons ext r i eur es.Lapar t i egaucheconsi dr et ant enqui l i br e,l appl i cat i onduPr i nci peFondament al del a St at ique per metde modliserces ef f or t s int r ieur s parun t or seur , appel ici t or seurde cohsion. 1.1Efforts intrieurs Pr i nci pe f ondament al de la st at i que :( )'niiniiF MF1100r rr r vOnisolelapout r e: La pout r e esten quilibr e :( ) ( ) ( ) ( ) ' + + + + + +004 3 2 14 3 2 1r r r r rr r r r rF M F M F M F MF F F FG G G G vOnisolelet r onondegauche: Le t r onon de gauche esten quilibr e : ( ) ( ) ' + + + +001 2 2 11 2 2 1r r r rr r r rG G GM F M F MR F F 1Fr 2Fr 4Fr 3Fr S G 1Fr2Fr G 1 2Rr1 2 GMrS RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 5 SUR 8 Par i dent i f i cat i on: ( ) ( )4 3 2 1 1 2F F F F Rr r r r r+ + ( ) ( ) ( ) ( )1]1

+ 1]1

+ 4 3 2 1 1 2F M F M F M F M MG G G G Gr r r r r 1.2Composantes des efforts intrieurs '+ + + + z M y M x M Mz T y T x N Rfz fy T Gz yr r rrr r rr1 21 2 Nr : ef f or tnor mal, por t parla li gne moyenne x ( x R NGrr 1 2) z yT T Tr r r+ : ef f or tt r anchant , per pendi culai r e la li gne moyenne TMr : momentde t or si on, por t parla li gne moyenne x fz fy fM M Mr r r+ : momentf lchi ssant , per pendi culai r e la li gne moyenne. 1.3Torseur des efforts intrieurs (torseur de cohsion) Laliaisonent r elesdeuxt r ononsest uneliaisonencast r ement .Lact ionmcaniquedut r onondr oit sur le t r onon gauche peutdonc t r e modli se parun t or seur(t or seurde cohsi on{ }G coh ) de r sul t ant e 1 2Rr etde momentr sult ant1 2 GMr au pointG. Parconvent ion, on pr endr a t ouj our s pour { }G cohlact i on mcani que de la par t i e dr oit e surla par t ie gauche : { } { }Gcoh G coh 1 2 . 1 2Rr = - somme des ef f or t s gauche de la sect i on S =( )2 1F Fr r+ 1 2 GMr = - momentr sult anten G des ef f or t s gauche de S =( ) ( )1]1

+ 2 1F M F MG Gr r fyMrTMrfzMryTrNrzTr x z y G RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 6 SUR 8 { } { }( ) z y xfzfyTzyGGGGcoh G cohMMMTTNMR, ,1 21 21 2;';' rr 1.4Sollicitations simples et composes Si uneseul ecomposant eN ,T , TMou fM exi st e,alor squet out eslesaut r essont nulles,ondi tque l on a une solli ci t at i on si mple. Sideux composant es au moi ns sontnon nulles, on di tque lon a une solli ci t at i on compose. Le t ableau page sui vant e r sume les di f f r ent s cas de solli ci t at i ons les plus cour ant s. Voil, cest tout pour aujourdhui RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 7 SUR 8 Composantes CasExemple N T TM fM Observations TRACTION N 000 CISAILLEMENT 0T 00 TORSION 00 TM 0 FLEXION PURE 000 fzM Sollicitations simples FLEXION SIMPLE 0 yT 0 fzM FLEXION+TRACTION N yT 0 fzM FLEXION+TORSION 0 yT TM fzM FLAMBAGE N 00 fzM Sollicitations composes x y Frx y Fr M M x y x y FrFrM M FrFrx y MM RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 8 SUR 8 FLEXION DEVIEE 0 yT zT 0 fzM fyM x y Plan (x,y) G RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 1 SUR 7 Gravure montrant lessai dune poutre en flexion RESISTANCE DES MATERIAUX NOTION DE CONTRAINTE RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 2 SUR 7 (Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 3 SUR 7 SOMMAIRE 1.CONTRAINTES ......................................................................................................................................................................................4 1.1NOTION DE CONTRAINTE.................................................................................................................................................................. 4 1.1.1A quoi sert le calcul des contraintes ?..................................................................................................................................4 1.1.2Peut-on observer une contrainte ?........................................................................................................................................5 1.1.3Quels sont les paramtres qui influencent les contraintes ?.............................................................................................5 1.2CONCENTRATION DE CONTRAINTES................................................................................................................................................ 5 1.3NOTIONS SUR LES COEFFICIENTS DE SECURITE.............................................................................................................................. 6 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 4 SUR 7 1.Contraintes 1.1Notion de contrainte Remar que := 1 2 1 2R fir r= somme des ifrpourt out e la coupur e Df i ni t i on:on appelle cont r ai nt e( ) n Mr, en M, dans la di r ect i onnr, la li mi t e lor sque S t end ver s zr o, du r appor tent r e lef f or t1 2 ifretlai r e S ent our antl e poi ntM. Aut r ementdi t: ( )Sfn MiS= 1 20lim ,rr Remar que: lespr oj ect i onsde( ) n Mr, sur lesdi r ect i onsnr et trdonnent r espect i vement lescont r ai nt es nor male ett angent ielle . 1.1.1A quoi sert le calcul des contraintes ? Expr i ment al ement ,onadf i ni pour chaquemat r i auuncont r ai nt el i mi t eadmi ssi bl eau-del de laquellelapi cesubi t desdt r i or at i onsdesescar act r i st i quesmcani ques,di mensi onnelles,voi r eune 1Fr 2Fr4Fr3Fr S G Mnrtrtrnr1 2 ifrS M Passage la limite ( 0 S ) trnr( ) n Mr, S M Contrainte normale ( ) ( ) cos , , n M n n Mr r r= =Contrainte tangentiel le ( ) ( ) sin , , n M t n Mrrr= = RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 5 SUR 7 r upt ur e.Lecalculdelar si st ancedesmat r i auxconsi st evr i f i er quelescont r ai nt esengendr espar les solli ci t at i onsext r i eur esnedpassent paslacont r ai nt eli mi t eadmi ssi blepar lemat r i au.Lecalculdes cont r aint es ser t valuerla t ension dans l a mati r e. 1.1.2Peut-on observer une contrainte ? Unecont r ai nt eest unout i ldecalcul,onnepeut paslobser ver di r ect ement ,par cont r eonpeutobser ver sesef f et s :t udedesdf or mat i ons,t udedel acassur e,phot ol ast i ci t .Al ai dedecest r oi s mt hodes,onpeut valuer lescont r ai nt esdansunmat r i au,mai sler sult at obt enuest moi nspr ci sque celuir sult antdun logi ci el de calcul parlment s f i ni s. 1.1.3Quels sont les paramtres qui influencent les contraintes ? Nousavonsvudanscequi pr cdequelacont r aint eest ler appor t dunef or cepar unesur f ace.Les par amt r es quii nf luencentdi r ect ementune cont r ai nt e sontdonc les solli ci t at i ons etla sect i on de la pout r e. 1.2Concentration de contraintes Unecont r aint eest unef f or t par unit desur f acequisexer cedanslemat r iau.Unecont r aint e sexpr ime en MPa (Mga-Pascal , 1 MPa = 1 N/ mm2). I magi nonsunsoli desoumi sunecont r ai nt ede100MPa :cel ar evi ent di r equunef f or t de100N est appliqusur unesur f acede1mm2.Lacont r ai nt edpenddelavaleur delachar geappli queet dela sect i on concer ne du soli de. Pourune mme char ge, la cont r ai nt e ser a daut antplus gr ande que la sect i on estf aible, etinver sement . Le phnomne de concent r at i on de cont r ai nt es estmi s en vi dence ci -apr s, au t r aver s dexempl es de calcul de cont r ai nt es r ali ss avec un logi ci el de calcul parElment s Fi ni s (RDM Le Mans). Dans lexemple ci-dessus, nous avons une pout re soumise de la traction. Lchelle de couleurs visualise lintensit de la contrainte dans le matriau. On remarque que la couleur estuniforme(bleupourceuxquiontlacouleur),lacontrainteestdoncidentiqueentoutpointdela poutre. RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 6 SUR 7 Mmeessai,aveclammepoutremaisperce. Cettefois,onremarquequelacontraintenestplus rgulire, elle est plus importante au niveau du trou. En effet, la section tant plus petite pour le mme effort, la contrainte augmente. La mme poutre est maintenant soumise de la flexion pure. Elle est encastre gauche et soumise uneffortponctuelsonextrmitdroite.Nousremarquonsalorsquelacontrainteestplusimportante auniveaudelencastrementetdupointdapplicationdelacharge.Onnotegalementquelaligne moyenne nest presque pas charge par rapport au reste de la poutre. 1.3Notions sur les coefficients de scurit Pour quunest r uct ur e(machi ne,vhi cule,i mmeuble)pui ssesuppor t er ent out escur i t leschar ges qui nor malement lasolli ci t ent ,i lsuf f i t quellepui sser si st er deschar gesplusleves.Lacapaci t suppor t er ceschar gessappellelar sist ancedelast r uct ur e.Lecoef f icient descur it sest alor sdf ini par : ncessaire t strictemen ce rsisstructure la de relle ce rsisexerces ment habituelle es chstructure la par s admissible es chstantanargarg= = (Parexemple, on peutexi gerune r si st ance r elle gale deux f oi s la r si st ance st r i ct ementncessai r e). RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 7 SUR 7 Lechoixdelavaleur desdpenddelaconnaissance(ounon)desphnomnesagissant sur la st r uct ur e :sur char gesvent uelles,chocs,t ypeet degr depr ci si ondeschar ges(st at i ques,dynami ques, r pt es),phnomnesdef at igue,concent r at i onsdecont r ai nt es,connai ssanceet var i at i ondespr opr i t s du mat r i au, quali t de la f abr i cat i on, ef f et s de lenvi r onnement , lubr i f i cat i on,mode de r upt ur e (pr ogr essi ve ou br ut ale), consquences dune r upt ur e surlenvi r onnement(dgt s mat r iels, humains, pollut ion). Uncoef f i ci ent descur i t t r opf ai bl eaugment exagr ment l esr i squesder upt ur e.Uncoef f i ci entdescur i t t r oplevagalement desef f et snf ast es :augment at i ondupoi ds,dupr i xder evi ent svar i e le plus souventde 1 10. Pour ungr andnombr edest r uct ur es,lascur i t est obt enuesi ,souschar ge,lesdf or mat i onsdu mat r i aur est ent last i ques.Ceci est r ali slor squelescont r ai nt esenni mpor t equelpoi nt delast r uct ur e r est enti nf r i eur es la li mi t e last i que Re (ou Re0.2) du mat r i au. S estalor s df i nipar : ) tan ( intlim Repratique ce rsis structure la dans tolre e contramatriau du lastique iteRps = = Pourdes mat r i aux f r agi les, i l estsouventpr f r able dut i li serla r si st ance la r upt ur e Rr : structure la dans tolre e contramatriau du rupture la iteRpRrsintlim= = (La valeurde s estalor s plus gr ande dans ce cas) Valeurs indicatives s Charges exerces sur la structure Contraintesdans la structure Comportement du matriau Observations 1 < s < 2 rgulireset connues connuestest et connu fonctionnement constantsans-coups 2 < s < 3 rgulireset assezbien connues assezbien connues testetconnu moyennement moyennement connues moyennement connues non test 3 < s < 4 malconnuesou incertaines malconnuesou incertaines connu fonctionnement usuelaveclgers chocset surcharges modres Voil, cest tout pour aujourdhui RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 1 SUR 10 Gravure montrant lessai dune poutre en flexion RESISTANCE DES MATERIAUX ESSAIS MECANIQUES RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 2 SUR 10 (Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 3 SUR 10 SOMMAIRE 1.ESSAIS MECANIQUES ........................................................................................................................................................................4 1.1ESSAI DE TRACTION........................................................................................................................................................................... 4 1.1.1Caractristiques fondamentales............................................................................................................................................6 1.2ESSAI DE TRACTION BIAXIAL............................................................................................................................................................ 6 1.3ESSAI DE COMPRESSION.................................................................................................................................................................... 7 1.4ESSAI DE CISAILLEMENT................................................................................................................................................................... 7 1.5ESSAI DE TORSION.............................................................................................................................................................................. 7 1.6ESSAI DE FLEXION.............................................................................................................................................................................. 8 1.7ESSAI DE DURETE............................................................................................................................................................................... 8 1.8ESSAI DE RESILIENCE......................................................................................................................................................................... 9 1.9PHOTOELASTICIMETRIE..................................................................................................................................................................... 9 1.10JAUGES DE DEFORMATIONS (EXTENSOMETRIE)........................................................................................................................... 10 1.11RADIOGRAPHIE................................................................................................................................................................................. 10 1.12ULTRASONS ...................................................................................................................................................................................... 10 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 4 SUR 10 1.Essais mcaniques On di st i ngue essent i ellementdeux t ypes dessai s mcani ques : F les essai sdest r uct i f ssur pr ouvet t e : la pi ce estdt r ui t e pendantlessai; F lesessai snon- dest r uct i f s :lapi cenest pasdt r ui t e.Cesessai ssont ut i li sssur lespi cescomplexes, chr es etdi f f i ci les r ali ser , mai s galementpourvali derune hypot hse de t r avail ou un modle dt ude. Nousallonsvoi r danscequi sui t uncer t ai nnombr edessai smcani ques,dest r uct i f sounon.Lessai de t r act i onser aquant lui pluspar t i culi r ement dt ai ll,pui squecest lessai lepluscour amment r encont r . Vousaur ezdailleur slaj oieimmense(si,si)der aliser unessaidet r act ionlor sdelunedessancesde Tr avaux Pr at i ques. 1.1Essai de traction Lessaide t r act i on per met l uiseulde df i ni rl es car act r i st i ques mcani ques cour ant es ut i l i ses en RDM.Laseuleconnai ssancedespar amt r esdelessai det r act i onper met depr voi r lecompor t ement dune pice sollicit e en cisaillement , t r act ion, compr ession etf lexion. Lestroisphotosci-contrereprsentent respectivementuneprouvetteplate,une prouvettecylindriqueetundtaildune prouvettecylindriquemontedansdesmors dune machine de traction. RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 5 SUR 10 Lessaiestralissurunemachinede traction(photoci-contre) :onappliquelentement et progressivement une prouvette de forme et dimensionsnormalises,uneffortdetraction croissant dont lintensit varie de 0 F. Le gr aphe ci-dessus r epr sent e la cour be classi que (convent i onnelle) de t r act i on dun mat r i au duct i le : Zonelast iqueOA: lpr ouvet t esecompor t elast i quement (commeunr essor t )et r evi ent t ouj our ssa longueur init ialedsquelachar geest r elche.Lepoint A,auquelcor r espondlalimit elast iqueRe,mar que laf i ndecet t ezone.Lapr opor t i onnali t ent r elacont r aint eet ladf or mat i onset r aduit par laloide Hooke ( E = ).' tan = Ecar act r i se la pent e de la dr oi t e OA et E = son quat ion. Zonededf or mat i onplast i queAE: ondist ingueencor et r oi szonesBC,CDet DE.Dansl azoneBC, par f ai t ement plast i que,lacont r ai nt er est econst ant eet lallongement sepour sui t j usquenC.Ent r eCet D, zone dcr oui ssage, le mat r i au subi tun changementde st r uct ur e quiaccr otsa r si st ance. Le poi ntD, auquelcor r espondlar si st ancemaxi maleRm,mar quelaf i ndecet t ezone.Enf i n,ent r eDet E,lpr ouvet t esubi tune st r i ct i on amenantune di mi nut i on de la sect i on avec t r anglement . La r upt ur e se pr odui tau poi ntE, auquel cor r espond la r si st ance la r upt ur eRr . Remar que: lacour beent r ai t di scont i nucor r espondlacour bedet r act i onvr ai e.Aquoi cor r espond-el l e ? Vouspouvezdj commencer yr f lchi r pour pr par er lasancedeTr avauxPr at i quessur lamachi nede t r act ion.I ndices :quesepasse- t -i l(daut r e)lor squelpr ouvet t esallonge ?Quenr egist r elamachinede t r act i on ? Not a Bene : vous avez le dr oi tdappelerun ami ... Rm RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 6 SUR 10 Lacour beci -cont r er epr sent equant ellelecompor t ement dun mat r i auf r agi le.Danscecas,lacour beser dui t pr esquel azone de df or mat ion last ique. 1.1.1Caractristiques fondamentales Limite lastique 0ReSFe=Relimite lastique en MPa Fecharge maxi lastiqueen N 0Ssection initiale en mm2 Rsistance la rupture 0SFrRr =Rrrsistance la ruptureen MPa Frcharge la ruptureenN 0Ssection initiale en mm2 Allongement relatif 00%LL LAu =uLlongueur ultime aprs rupture en mm 0Llongueur initiale en mm Allongement 0LL = 0L L L = allongement en mm 0Llongueur initiale en mm allongement (ou dformation) 1.2Essai de traction biaxial Ilestpossibledetesterdespicesenralisant deux essais de traction en mme temps. Avec le montage ci -contre, on teste des fibres en tractionsimultanmentdansdeuxsens diffrents.Cesfibresintgrerontsansdouteun matriau composite. RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 7 SUR 10 1.3Essai de compression Lesphotosci-contremontrentun essaidecompressionsurdes chantillons de bton. 1.4Essai de cisaillement Le dispositif ci -contre permet dtudier la rsistanceaucisaillementdes diffrentes couches dun sol. 1.5Essai de torsion Laphotoci-contrereprsenteune prouvette aprs un essai de torsion. Lessaidetorsionpermetnotammentde dterminerlemoduledlasticit transversal ou module de Coulomb (G). RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 8 SUR 10 1.6Essai de flexion La photo ci-contre reprsente un essai de flexion longitudinale sur un tuyau en fonte ductile. (photo PONT-A-MOUSSON) 1.7Essai de duret Cetessaiestdestinvrifierladuretsuperficielle dune pice. Il consiste indent er la surface de la pice tester laide dun pntrateur sphrique (duret Brinell), conique(duretRockwell)oupyramidalbasecarre (duretVickers)surlequelonappliqueunecharge connue. La mesure de laire de lempreinte, rapporte la charge applique permet de dduire la duret. Machine universelle (1 250 kg) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 9 SUR 10 1.8Essai de rsilience Lesparamtresdetnacitdterminsparlessaide tractionnontplusdesenslorsquelacharge sappliquetrsrapidement.Onparledechoclorsque laduredapplicationdelachargeestdelordredu 1/100 de seconde. La rsistance au choc ou rsilience est caractrise par le quotient de lnergie ncessaire pourromprelprouvetteenunseulcoupparla surfacedelasectionrompue.Lesphotosci-contreet ci-dessousreprsententrespectivementlamachine dessai(MoutondeCharpy)etuneprouvette entaille en U. 1.9Photolasticimtrie Laphotolasticimtriepermetunetudedtailledesrgions charges.Onyobserveleszonesdiso-contraintesainsiqueleur progression.Cettemthodeesttrsefficacepourltudedes concentrationsdecontraintescomme :lestrous,lesencoches,les paulements Pourmodliserlobjetdeltude,onutiliseunematireplastique transparente.Unsystmeoptiquespcial(polariscope)permet dobserverlesvariationsdecontraintesaveclesmodificationsde couleurs de la pice. Ci-contre,unexempledunevisualisationdescontraintesauniveau du contact entre deux dents dun engrenage : les zones trs colores subissent les contraintes les plus leves. RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 10 SUR 10 1.10Jauges de dformations (extensomtrie) Lutilisationdejaugesestlamthodeexprimentalelaplususite pourvrifierlesrsultatsthoriques.Lesjaugessontcolles directementsurlasurfacetudieretmesurentlesdformations enunpointdonn .Lescontraintessontalorsdduitesparles lois de la RDM. Sur la photo ci-contre, les deux jauges sont situes au mme point, maisdansorientesselondesdirectionsdiffrentes.Cemontage permet de mesurer les dformations dans deux directions 90. 1.11Radiographie Il est possiblederadiographierunepicemcaniquecommeon le fait en mdecine. Nanmoins,lespicesmtalliquesnelaissantpasfacilementles rayonsXlestraverser,ilfautunequantitderayonsbeaucoup plus importante, trs dangereuse pour lhomme.Sur la photo ci-contre, reprsentant une pice de moteur davion, on met en vidence un cric , bulle dair reste lintrieur de la matire lors de la fabrication. 1.12Ultrasons Lestraducteursdutypedelafigureci-contre gnrent, lorsquilssontappliqussurlasurfacedelapice tudier,desultrasonsquisepropagentlintrieurdu matriau. Ilspeuventalorstreutilisssoitpourdtecterla prsencedefissureslintrieurdelapice,soitpour dterminer les proprits mcaniques du matriau. RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 1 SUR 14 Gravure montrant lessai dune poutre en flexion RESISTANCE DES MATERIAUX TRACTION RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 2 SUR 14 (Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 3 SUR 14 SOMMAIRE 1.DEFINITION............................................................................................................................................................................................4 2.EFFORT NORMAL N...........................................................................................................................................................................5 3.CONTRAINTE NORMALE ............................................................................................................................................................6 4.CONDITION DE RESISTANCE........................................................................................................................................................7 5.DEFORMATIONS..................................................................................................................................................................................7 5.1ALLONGEMENTS................................................................................................................................................................................. 7 5.2CONTRACTION LATERALE COEFFICIENT DE POISSON ............................................................................................................ 8 6.RELATION CONTRAINTES- DEFORMATIONS.....................................................................................................................9 6.1LOI DE HOOKE.................................................................................................................................................................................... 9 6.2EXEMPLES DE VALEURS DE MODULE DYOUNG............................................................................................................................ 9 6.3ESSAI DE TRACTION......................................................................................................................................................................... 10 7.CONCENTRATION DE CONTRAINTES ....................................................................................................................................10 8.CONTRAINTES DANS UNE SECTION INCLINEE................................................................................................................13 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 4 SUR 14 1.Dfinition Unepout r edr oit eest sollicit eent r act ionchaque f oisquelesact ionssesext r mit s(Aet B)ser duisent deuxf or cesgaleset opposes( Fr et Fr ),dedi r ect i onla ligne moyenne (Lm). Exemple: l esdeuxf i gur esci -dessousr epr sent ent unepot encemur alef lchet r i angule,ut i li seen manut ent i on pourleveretdplacerdes char ges. Ti r ant2 Pout r e- r ai l3 Pal an 4 Ftpi vot ant 1 Cet t e pot ence se compose dun palan 4, dune pout r e r ai l 3, dun f tpi vot ant1 etdun t ir ant 2. Le t ir ant 2 estsoumi sunesolli ci t at i ondet r act i on :i lest soumi slact i ondesdeuxf or ces 2 3Bret2 1Dr,galesetopposes,dedi r ect i onBD,di nt ensi t maxi male6 200N(int ensit at t eint elor squelepalanest lext r me dr oit e. Let ir ant 2est cyl i ndr i que,dedi amt r edinconnu,delongueur 2.8m.I lest r alisenacier(r si st ancelar upt ur eRr =500MPa,li mi t e l ast i queRe=300MPa).Ledi amt r edvat r e dt er mi n dans les par agr aphessui vant s. FrFrB ALmB D 2 1Dr2 3Br d RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 5 SUR 14 2.Effort normal N Fai sonsunecoupur ef i ct i ve dansl apout r epr cdent e(sect i on dr oi t eS,si t ueunedi st ancexdu point A)ent r elesdeuxext r mit sA et B,def aonf air eappar at r eles ef f or t si nt r i eur sdansl apout r e. Cet t ecoupur eSdi vi selapout r een deux t r onons AG etGB. Sionisolelet r ononAG,lar sult ant edesact ions 1f , 2f , , nf quisexer cent enchaquepointde la coupur e parle t r onon GBse r dui tau seul ef f or tnor malNr en G (cent r e de gr avi t de la sect i on S). F f f f Nnr r= + + + = ...2 1 (dir ect ionAGB) On a doncx F N = Exemple:r epr enons le cas du t i r ant . daN D B N 200 62 1 2 3= = = FrB ALmxGNrFrAGFrNrA G1f Gnf 2f Frx Section (S) G 2 1Dr Nr RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 6 SUR 14 3.Contrainte normale Di vi sons la sect i on S pr cdent e en n pet i t es sur f aces lment ai r es 1S , 2S , , nS t elles que : nS S S S + + + = ...2 1 Chaque lmentde sur f ace suppor t e un ef f or tde t r act ion 1f , 2f , , nf par allle la li gne moyenne AB. SiM1, M1, M1, sontles cent r es des pet i t es sur f aces S, en chaque poi nt , la cont r ai nt e estdf i ni e comme l a limit e du r appor tde fsurS lor sque St end ver s 0 : = 11011limSfS ; = 22022limSfS ; ;= nnSnSfn0lim Cont r ai nt enor maleuni f or me:danslecasgnr al,et sauf caspar t i culi er deconcent r at i onsdecont r ai nt es, on admet t r a que t out es les cont r ai nt es pr cdent es sonti dent i ques. On di tqu' i l y a r par t i t i on uni f or me des cont r ai nt es dans la sect i on dr oi t e S. I l en r sult e que : SN= avecla cont r ai nt e nor male en MPa Nl' ef f or tnor mal en N Sla sect ion dr oit e en mm2

Exemple:r epr enons le cas du t ir ant , en supposantd = 20 mm. daN D 200 62 1=22314420mm S == 2 2 1. 197314000 62= = = = mm NSDSN 1f M1 nf 2f Mn M2 1S 2S nS 1 M1 Mn M2 2nM1 Mn M2 Contrainte normale uniforme d 2 1DrSN= RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 7 SUR 14 4.Condition de rsistance Pour descondi t i onsdescur i t li eslusagedelappar ei l,lacont r ai nt epr cdemmentdt er mi nedoi t r est er i nf r i eur eunecont r ai nt eli mi t eadmi ssi ble,appeler si st ancepr at i que lext ension Rpe. Lar sist ancepr at iqueRpeest f ixepar desnor mesoupar leconst r uct eur .Danslecasgnr al,Rpe estdf i ni e par t i rde la li mi t e last i que Re du mat r i au, dt er mi ne parlessaide t r act i on. sRpeSNMaxiRe= = avec s le coef f i ci entde scur i t adopt pourla const r uct i on de lappar ei l. Exempl e: r epr enonslecasdut i r ant .Si oni mposeunecont r ai nt eadmi ssi blede100MPa,dt er mi nonsle diamt r edmi ni mal pour l aconst r uct i ondecel ui -ci ,ai nsi quelecoef f i ci ent descur i t adopt .Rappel: ef f or tN = 62 000 N. v Dt er mi nat i on du di amtr e d:1004000 622 = =d SNMaxido mm d 1 . 28 vDt er mi nat i onducoef f i ci ent descur i t :l aci er empl oyapour car act r i st i quesRe=300MPaet Rr = 500 MPa. sRpeRe= ou3100300 Re= = =Rpes 5.DEFORMATIONS 5.1Allongements L0 : longueurinit iale de la pout r e L : longueurf i nale de la pout r e L : allongementt ot al de la pout r e x0 : longueurinit iale du t r onon x : longueurf i nale du t r onon x : allongementdu t r onon L0 x0 x x L L FrA0 (S) (S) A B0 B Fr RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 8 SUR 14 Lexpr i ment at i onmont r equelesallongement ssont pr opor t i onnelsauxlongueur si ni t i ales.Lallongementr elat if(df or mat i on) t r aduitcet t e pr opr it : 0 0xxLL == Exemple:r epr enons l e cas du t i r ant . Sous char ge, l e t i r antsal l onge de 4 mm. Dt er mi nons l a df or mat i on etlallongementdun t r onon de longueur1m. v Df or mat ion :00143 . 0800 24= = v Al l ongement :00143 . 0000 1==xdomm x 43 . 1 1000 00143 . 0 = = On a doncmm x 43 . 001 1 = 5.2Contraction latrale Coefficient de Poisson Lecoef f i ci ent dePoi ssoncar act r i seler appor t ent r elacont r act i onlat r aledet lallongementr elat i fde la pout r eL : 0ddd= et0LLL= alor s Ld = x 1 000 mm x x x 2 800 mm x 2 804 mm x 4 x B0 x D0 x D x B x 2 1Dr2 3BrFrA FrB0 d0 B d 2d 2d L L0 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 9 SUR 14 6.Relation Contraintes - Dformations 6.1Loi de Hooke Pour ungr andnombr edemat r i aux,lessai det r act i onmont equi lexi st eunezonelast i quepourlaquelle lef f or t Frdet r act ionest pr opor t ionnellallongement L.Aut r ement di t ,ler appor t L Festconst ant(analogi e avec un r essor t x k F= ). Cet t epr opr i t est noncepar laloi deHooke :endf or mat ionlast ique,lacont r aint enor maleestpr opor t i onnelle lallongementr elat i f : E = avec la cont r ai nt e nor male (en MPa) lallongementr elat i f(sans uni t ) E le module dlast i ci t longi t udi nale ou module dYoung (en MPa) Remar ques :lemoduledlast i ci t longi t udi naleEest unecar act r i st i que(pr opr i t mcani quei nt r i nsque) du mat r iau. La loi de Hooke est la RDM ce que la loi dOhm est llect r icit . Exemple: r epr enonslecasdut ir ant .(d=28mm,=100MPa,E=200GPa,L=2.8m).Dt er mi nons lallongementdu t ir ant: 0005 . 0000 200100= = ==E LL mm L L 4 . 1 800 2 0005 . 0 = = = 6.2Exemples de valeurs de module dYoung Voirt ableau page suivant e. RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 10 SUR 14 6.3Essai de traction Voirle chapi t r e consacr aux essai s mcani ques. 7.Concentration de contraintes Lor squelespout r est udi espr sent ent debr usquesvar i at i onsdesect i ons(t r ous,gor ges, paulement s), la r elat i onS N = nestplus appli cable. En ef f et , au voi si nage du changementde sect i on, l a r par t i t i on des cont r ai nt es nestpl us uni f or me etpr sent e des ext r emums. Le maxi mum estat t ei ntpourl es poi nt s si t us pr oxi mi t des var i at i ons : on di tqui ly a concent r at i on de cont r ai nt es en ces poi nt s. La val eurde l a cont r ai nt e estalor s donne par : 0 =t MaxiK avec SNSF= =0Carbures mtalliques E = 55 000 daN.mm-2 Tungstne 42 000 daN.mm-2 Aciers 17 000 28 000 daN.mm-2 Cuivre 12 600 daN.mm-2 Aciers de construction 20 000 22 000 daN.mm-2 Titane 10 500 daN.mm-2 Bronze 10 000 12 000 daN.mm-2 Fonte 10 000 daN.mm-2 Verre 7 000 7 500 daN.mm-2 Laiton 9200daN.mm-2 Zinc 8 000 daN.mm-2 Alliage daluminium 7 000 7 500 daN.mm-2 Magnsium 4 500 daN.mm-2 Bton 2 000 daN.mm-2 Bois 1 000 3 000 daN.mm-2 Caoutchouc 0.75 daN.mm-2 Cuir 25 daN.mm-2 Etain 4 000daN.mm-2 Elastomre 0.3 daN.mm-2 Module dYOUNG RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 11 SUR 14 Ktest appellecoef f i ci ent deconcent r at i ondecont r ai nt es.Ktdpenddelaf or medelasect ionet dut ype de la var iat ion (voirt ableaux suivant s). RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 12 SUR 14 Exempl e : dt er mi nons Maxipr s de lpaulement , au ni veau de la sect i on S, pourla pi ce pr opose : Cas avec contraintes uniformes Cas de concentration de contraintes 220. 100420410 31== = mm NSF 220. 100420410 31== = mm NSF 0 =t MaxiK 25 . 0 =dret 5 . 1 =dD Le tableau donne alors 5 . 1 =tK do2. 150 100 5 . 1= = mm NMaxi Concl usi on :lacont r ai nt eest maxi malelapr i phr i ede(S),pour ledi amt r ede20et apour valeur2. 150= mm NMaxi Fr3 141 daN (S) Fr3 141 daN (S) MPa 1000 = 30 20 5 r = 5 FrFr3 141 daN3 141 daN (S) MPaMaxi150 = RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 13 SUR 14 8.Contraintes dans une section incline Dt er mi nons les cont r ai nt es exer ces dans une sect i on i ncli ne dun angle (sect i on de nor mal enr etde vect eurt angent tr). Lqui li br est at i quedut r ononAGmont r equelesef f or t si nt r i eur sser dui sent F RGr r= aupoi nt G, bar ycent r e de l a sect i on i ncl i ne. La pr oj ect i on de GRr sur nr et tr donne r espect i vementl ef f or tnor malNetlef f or tt r anchantTdans la coupur e. Les cont r ai nt es nrdansl asect i onsont i dent i quesent out poi nt et par al l l esl axe(l i gnemoyenne)del a pout r e.Lapr oj ect ionde nrsur nr et trdonner espect i vement lacont r ai nt enor malelacoupur e etla FrCoupure oblique G nrtrtrnrA Efforts intrieurs nrEffort normal N cos cos F R NG= =Effort tangentiel T sin sin F R TG= =FrBA FrG F RGr r=T NContraintes A Frtrnr nr M 0 cos = S0 00 = 00SF= RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 14 SUR 14 cont r aint e t angent ielle . En r emar quantque cos0S S =(avec S0 lai r e de la sect i on dr oi t e etS lai r e de la sect ion incline) etque 0 0S F = : 2020 0cos cos cos = = = =SFSNSN cos sincos sin00= = =SFST Remar que :lacont r ai nt enor male est maximalepour =0(0 =Maxi)et lacont r aint et angent ielle estmaximale pour = 45( 20 =Maxi) Remar que :lor squelesmat r i auxont uner si st anceauci sai llement plusf ai ble,lar upt ur epar t r act i onou compr essi on se pr odui tdans un plan i ncli n 45, plan o les cont r ai nt es de ci sai llementsontmaximales. Enr evanche,silar sist ancelat r act ionest pr opor t ionnellement plusf aible,lar upt ur esepr oduit dansune sect ion dr oit e ( = 0). Voil, cest tout pour aujourdhui FrFrCassures types4590 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 1 SUR 9 Gravure montrant lessai dune poutre en flexion RESISTANCE DES MATERIAUX CISAILLEMENT RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 2 SUR 9 (Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 3 SUR 9 SOMMAIRE 1.DEFINITION - EXEMPLES................................................................................................................................................................4 2.EFFORT TRANCHANT T...................................................................................................................................................................5 3.CONTRAINTE DE CISAILLEMENT ..........................................................................................................................................6 3.1CONTRAINTE TANGENTIELLE UNIFORME........................................................................................................................................ 6 4.CALCUL DES CONSTRUCTIONS ..................................................................................................................................................7 5.DEFORMATION ANGLEDE GLISSEMENT .......................................................................................................................7 5.1RELATION ENTRE ET .................................................................................................................................................................... 8 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 4 SUR 9 1.Dfinition - Exemples Exempl e1: unesuper beci sai llehydr auli que est ut i l i sepourcouper desr onds,f er setplat s de pet it es dimensions. Ellesecomposedunbt i 0, dun coul i sseau4 enliaisonglissir epar r appor t aubt i,dune lame f ixe2,dunelamemobile1et dunvr i n hydr auli que 5 f our ni ssantlef f or tde coupe. Lesef f or t sdeci sai llement3 1Aret3 2Br exer cspar leslamessont per pendi culai r es lapout r e3.Lecisaillement delapout r ese t r adui t par legli ssement delasect i ondr oi t e S1par r appor t l asect i ondr oi t eS2qui l uiestdir ect ementen cont act . Lame 1 Lame 2 3 S2 S13 1Ar3 2BrA B Glissement de S2/S1 3 2 3 1B Ar r =1 2 4 0 3 5 0 A B RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 5 SUR 9 Exemple2: t r oisblocsident iques1,2et 3de f or me par alllpi pdi que sontcolls en chape comme le mont r e la f i gur e ci -cont r e. Lassemblagesuppor t eunechar geFrsuivant son axedesymt r i e.Lesdeuxf acescollesABCDetABCDsont soumi sesunci sai llement demme nat ur e que celuide lexemple 1. 2.Effort tranchant T Pourl exempl e du par agr aphe pr cdent , l es act i ons exer ces parS2 surS1 sontschmat i ses parun inf init def or ceslment air es 1fr , 2fr , , nfr quiagissent r espect ivement sur lessur f aceslment air es 1S , 2S , , nS t elles que : nS S S S + + + = ...2 1 Lar sult ant eTrdesf or ceslment ai r essappli queaupoi nt G,bar ycent r edelasect i ondr oi t eS1.Tr estgale etoppose 3 1Ar (Pr i nci pe Fondament al de la St at i que) : 3 1 2 1... A f f f Tnr r r r r = + + + == ef f or tt r anchant 3 1ArA B nfr2fr1fr3 1ArA G Tr S1 C BB AA 2 1 3 FrC B A 1 FrD B A Joints colls RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 6 SUR 9 Exemple:r epr enons lexemple 2 avec F = 200 daN. Duf ait delasymt r ie,lesf acesABCDet ABCDsuppor t ent lemmeef f or tt r anchant Tr. Lqui l i br e du bl oc 1 donne : daNFT 1002= = Trsappli queauxcent r esdegr avi t dessur f acesABCDet ABCD,r espect i vementG etG. 3.Contrainte de cisaillement Si M1,M2,,Mnsont lescent r esdessur f aceslment ai r es 1S , 2S ,, nS ,enchaquepoi nt ,la cont r aint e t angent ielle estdf i ni e comme la li mi t e du r appor t f sur S lor squeS t end ver s 0 : {= 11011limSfS ; {= 22022limSfS ; ... ;{= nnSnSfn0lim Remar que:1 , 2 ,,n sont cont enuesdansl epl andel asect i ondr oi t e,cont r ai r ement auxcont r ai nt es nor males (cas de la t r act i on uni axi ale) quiluisontper pendi culai r es. 3.1Contrainte tangentielle uniforme Danslecasduci sai llement ,onsupposequet out eslescont r ai nt est angent i elleslment ai r essonti dent i ques : i l y a r par t i t i on uni f or me des cont r ai nt es dans la sect i on ci sai lle. I l en r sult e que : ST= avecla cont r aint e t angent ielle enN.mm- 2 Tlef f or tt r anchanten N Sla sect i on ci sai lle en mm- 2

Pauser cr at ive:r epr enons l exempl e 1 de l a pout r e sect i onne parl a ci sai lle hydr auli que (t ouj our s super be au demeur ant ). Le vr i n hydr aul i que 5 i mpr i me un ef f or tF = 10 000 daN sur l apout r edesect i onci r cul ai r ededi amt r e50.Dt er mi nonsl acont r ai nt edansl a sect i on ci sai lle : La sect i on ci sai l l e vaut : 22965 1450mm S = La cont r ai nt e t angent i elle estalor s :2. 51965 1000 100 = = mm NSFA FrB A B GG TrTr RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 7 SUR 9 4.Calcul des constructions Onut i li selemmer ai sonnement quent r act i onpour laplupar t desconst r uct i ons,sauf pour lecaso lar upt ur eest r echer che(casdusect i onnement delapout r epar lacisaillepar exemple),lacont r aint e t angent i elledoi t t ouj our sr est er i nf r i eur el acont r ai nt eadmi ssi bl eauci sai l l ement dumat r i auadm ou Rpg : Rpg ouSTadm = avec sgRpgadmRe= = avecRpgla r si st ance pr at i que au gli ssementou au ci sai llementen N.mm- 2 Regla li mi t e last i que au ci sai llement(analogue Re) en N.mm- 2 Rgla li mi t e la r upt ur e parci sai llement(analogue Rr ) enN.mm- 2 sle coef f icientde scur it adopt Remar que: Reget Rgsont desdonnesobt enuespar essai smcani quessur lesmat r i aux.Pour laplupar tdes mt aux etalliages, en pr emir e appr oximat ion : 2rgRR et2eegRR Exemple:r epr enons l exempl e 2 avec AB =AB = 30 mm etBC = BC = 100 mm. Si la cont r ai nt e admi ssi ble au ci sai llementdans le j oi ntcoll estde 900 kPa, dt er mi nons la char ge F maxi male suppor t able : La sect i on ci sai l l e vaut :2000 3 100 30 mm S = = Lef f or t t r anchant vaut :2FT = La cont r ai nt e de ci sai l l ementsexpr i me par :2. 9 . 0000 3 2 2= = = mm NFSFST DoN F 400 5 5.DEFORMATION ANGLE DE GLISSEMENT Onadj vudanslesexemplespr cdent s,quedanslecasduci sai llement ,lesdf or mat i onssontcar act r isespar unglissement dessect ionsdr oit eslesunespar r appor t auxaut r es.Leglissement estmesur parlangle appel angle de gli ssement(unit : r adi an). RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 8 SUR 9 Exempl e1: unbl ocenl ast omr eest col l ent r eune laquer i gi deet unsuppor t f i xe.Laplaqueper met debi en r par t irlef f or tde cisaillement Tsurt outle bloc. Leci sai llement amneungli ssement dessect i onsdr oi t es successi vesl esunespar r appor t auxaut r es(analogi e avec un j eu de car t es que lon t ale surune t able). Legli ssement peut t r ecar act r i spar langle, appel angle de glissementett el que : h a tg = Si estpet i t : h a tg = Exemple2: r epr enonslecasdelapout r esect i onnepar laci sai lle hydr aul i que.Legl i ssement del asect i ondr oi t eS1par r appor t l asecti on dr oi t eS2peut t r edf inipar unangledeglissement analogueceluide lexemple 1 pr cdent . Remar que: commedanslecasdelasollicit at iondet r act ion,ilexist edesdf or mat ionslast iques(exemple du bloc last omr e) etdes df or mat i ons plast i ques (exemple de la pout r e ci sai lle). 5.1Relation entre et Lor squelesdf or mat i onssont last i ques,lacont r ai nt edeci sai llement est pr opor t i onnellelanglede glissement. Aut r ementdi t : G = avec l a cont r ai nt e t angent ielle (en N.mm- 2) langle de gli ssement(en r ad) G le module dlast i ci t t r ansver sale (en N.mm- 2) Remar que: cet t eder ni r er el at i onest anal oguel al oi deHooke(vuent r act i on) E = ,avecG const ant e car act r i st i que du mat r iau au mme t it r e que le module dYoung E (pourles mt aux,E G 4 . 0 ). a h Repos T = F Bloc lastomre Plaque rigide Collages Support fixe L (trs petit) S1 S2 S2 S1 3 1Ar3 2Br RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 9 SUR 9 ( ) +=1 2EG avecE le module dlast i ci t longi t udi nale (ou module dYoung en N.mm- 2) G le module dlast i ci t t r ansver sale (ou module de Coulomb en N.mm- 2) le coef f i ci entde Poi sson (sans uni t ) Exemple:r epr enons l exempl e du bl oc l ast omr e par al l l pi pdi que (c x b x h) avec c = 50, b = 100 mm etG = 800 kPa. Dt er mi nons siT = 100 daN etle dcalage asi h = 25 mm. Cont r ai nt e de ci sai llement :2. 2 . 0100 50000 1=== = mm Nb cTST Angle de gli ssement : = = = = 3 . 14 25 . 08 . 02 . 0radG Dcalage a: mm h a 4 . 6 tan = = Voil, cest tout pour aujourdhui RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 1 SUR 11 Gravure montrant lessai dune poutre en flexion RESISTANCE DES MATERIAUX TORSION RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 2 SUR 11 (Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 3 SUR 11 SOMMAIRE 1.DEFINITION - EXEMPLES................................................................................................................................................................4 2.DEFORMATIONS ANGLE DE TORSION .............................................................................................................................5 2.1CONSTATATIONS EXPERIMENTALES................................................................................................................................................ 5 2.2ANGLE UNITAIRE DE TORSION ...................................................................................................................................................... 5 3.EFFORTS INTERIEURS MOMENT DE TORSION...............................................................................................................6 4.CONTRAINTES TANGENTIELLES DE TORSION..................................................................................................................6 4.1EXEMPLES DE VALEURS DE G.......................................................................................................................................................... 7 5.RELATION ENTRE MT ET .............................................................................................................................................................8 6.RELATION ENTRE ET MT .............................................................................................................................................................9 7.CALCUL DES CONSTRUCTIONS ..................................................................................................................................................9 8.CONCENTRATION DE CONTRAINTES....................................................................................................................................10 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 4 SUR 11 1.Dfinition - Exemples Une pout r e dr oi t e estsolli ci t e en t or si on chaque f oi s que les act i ons aux ext r mi t s (A etB) se r dui sent deux couples M etM gaux etopposs daxe la li gne moyenne Lm. Exemple:t ige de t our nevis. M -M B A ou MrB A MrFrFr200 AB A B MAMB = - MA 200 MB = F.A = 24 Nm M = F.A RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 5 SUR 11 2.Dformations Angle de torsion 2.1Constatations exprimentales Lessect i onsdr oi t esavant df or mat i onr est ent dr oi t esapr sdf or mat i on(planeset per pendi culai r esla ligne moyenne). Les f i br es ou gnr at r i ces i ni t i alementpar allles la li gne moyenne senr oulentsui vantdes hli ces aut ourde cet axe.Lal ongueur desf i br esr est ent sensi bl ement i nvar i abl eouconst ant e(hypot hsedespet i t es df or mat ions). Lessect ionsdr oit est our nent ouglissent enbloclesunespar r appor t auxaut r es(r ot at ionsdaxeleligne moyenne). Les r ayons GK r est entdr oi t s dans le domai ne last i que, mai s si ncur ventdans le domai ne plast i que. x = angl e (GK0,GK) = angle de t or si on ent r e les sect i ons dr oi t es A etG = angle (BD0,BD) = angle de t or si on de la pout r e. 2.2Angle unitaire de torsion Sion suppose que les sect i ons dr oi t es t our nentt out es ent r e elles de la mme f aon, alor s langle de t or sion ent r e deux sect i ons dr oi t es quelconques estpr opor t i onnel la di st ance ent r e celles-ci . Aut r ementdi t : = =X Lx = angle unit air e de t or sion Exemple:r epr enons l exempl e du t our nevi s avec M = 24 Nm, sil angl e de t or sion mesur ent r e A etB estgal 14.6. Dt er minons : 1. 073 . 02006 . 14 = = = mmLABABou encor e1 1. 274 . 118073. 73 = = = m rad m RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 6 SUR 11 3.Efforts intrieurs Moment de torsion Ladmar cher est elammequauxchapi t r espr cdent s,onpr at i queunecoupur ef i ct i ve(S)danslapout r e af i ndel adi vi ser endeuxt r ononspour f ai r eappar at r eet cal cul er (st at i que)l esef f or t si nt r i eur soude cohsion (S estune sect ion dr oit e). Lt ude de lqui li br e de lun ou laut r e t r onon mont r e que les act i ons de cohsi on se r dui sent un coupl e de t or si onMT daxe la li gne moyenne (x), t el que : M MT= Remar que : dans le cas de la t or si on, t ous les aut r es ef f or t s i nt r i eur s sontnuls (N = T = Mf = 0). 4.Contraintes tangentielles de torsion Ent or sion,et danslecasdespet it esdf or mat ions,lescont r aint esnor malessont ngli geables.Les cont r aint esdanslacoupur e(S)ser duisent descont r aint est angent iellesoudecisaillement .A par t irde lar elat ion =Gobt enueauchapit r e Ci sai l l ement,onmont r equelacont r aint eM,enunpoint M quelconque de la coupur e (S) estpr opor t i onnelle la di st ance = GM, ent r e le poi ntetla li gne moyenne. GBA M-M(S) x Tronon 1Tronon 2 GA MT -M(S)Tronon 1 G B M(S) -MT Tronon 2 = G D G MC = GM M = G Coupure (S) Section droite : contrainte (MPa) : angle unitaire de torsion (rad.mm-1) G :module dlasticit transversal (MPa) : rayon GM (mm) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 7 SUR 11 Remar que: t ouslespoi nt ssi t ussur unmmecer cledecent r eGet der ayonont mmecont r ai nt e.Les cont r aint es sontmaximales la pr iphr ie : Maxi=GR pourMaxi = R Pourles mt aux :E G 4 . 0 4.1Exemples de valeurs de G Exemple: r epr enonslecasdelat i gedet our nevi s,G=80GPa, = 73.m- 1.Dt er minonslacont r aint edecisaillement maximaledansla t i ge. Diamt r e de la t ige : d = 7 mmdo Maxi =3.5 mm 1 1 1. 00127 . 0 . 27 . 118073. 73 = = = = mm rad m rad m do la cont r ai nt e2. 356 5 . 3 27 001 . 0 000 80= = = mm N GMaxi Maxi Molybdne G = 117 000 daN.mm-2 Aciers au carbone 79 300 daN.mm-2 Aciers inox 73 100 daN.mm-2 Bryllium + Cuivre 48 300 daN.mm-2 Nickel 48 300 daN.mm-2 Cuivre 44 700 daN.mm-2 Fontes 41 400 daN.mm-2 Bronze et Laitons 40 100 daN.mm-2 Magnsium 16 500 daN.mm-2 Titane 36 000 daN.mm-2 Aluminium et Alliages 26 200 daN.mm-2 Verre 18 200 daN.mm-2 Plomb 13 100 daN.mm-2 Sapin rouge (fibres) 4 140 daN.mm-2 Polythylne138378daN.mm-2 Caoutchouc 4.1 7.6 daN.mm-2 Bton 9 650 daN.mm-2 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 8 SUR 11 5.Relation entre MT et Enchaquepoi nt Mdelacoupur esexer ce,pour llment desur f aceSaut our deM,unef or celment ai r e S f = r dontla di r ect i on estper pendi culai r e GM. Le momenten G de cet t e f or ce est( ) = = f GM f f MG Lemoment det or si onMTest galaumoment r sult ant enGdet out eslesf or ceslment air esf dela sect ion (S). ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )02 22I GdS G S GS G S f f M MSSS S S SG T == = = = = = Let er me ( )02I G dSS = estle momentpolai re de la sect i on (S) parr appor tau poi ntG. Langle unit air e de t or sion estpr opor t i onnel au momentde t or si on MT :MT=GI0 avecMT le momentde t or sion (Nmm) G le module dlast i ci t t r ansver sal (MPa) langle unit air e de t or sion (r ad.mm- 1) I0 le momentpolair e parr appor tau pointG (mm4) d D d 3240dI=( )324 40d DI= G -M Section (S) TMM G S -M = G RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 9 SUR 11 Exemple: r epr enonsl exempl edut our nevi savecMT=24Nm,d=7 mm etG = 80 GPa. Dt er mi nons langle uni t ai r e de t or si on. Momentpolai r e de la sect i on dr oi t e :44 407 . 23532732mmdI = = = Angle unit air e de t or sion :130. 27 001 . 07 . 235 000 8010 . 24== = mm radI GMT 6.Relation entre et MT

A par ti rdes r elat i ons =G etMT=GI0on peutcr i r e :0IMGT= =On obt ientainsi: 0IMT= avec la cont r ai nt e de ci sai llement(MPa) MT le momentde t or sion (Nmm) le r ayon (mm)I0 le momentpolai r e (mm4) Exemple: r epr enonsl exempl edut our nevi savecMT=24Nm,d=7 mm.Dt er minonslacont r aint et angent ielleet lacont r aint e t angent iellemaximale. 407 . 235 mm I = et2. 1027 . 235000 24= = mm N 2. 356 5 . 3 102 102= = = mm NMaxi Maxi 7.Calcul des constructions Saufpourle cas o la r upt ur e estr echer che, la cont r ai nt e t angent i elle maxi maleMaxi doi tr est eri nf r i eur e la r si st ance pr at i que au gli ssementou au ci sai llementRpg du mat r i au. Aut r ementdi t : RpgVIMIMTMaxiTMaxi= =0 0 avecVMaxi = etsgRpgRe= RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 10 SUR 11 avecReg la limit e last ique au cisaillementdu mat r iau (MPa) s le coef f icientde scur it Pourles mt aux2ReRe g VI0 estle module de t or sion (mm3) Exemple: pour l et our nevi spr cdent ,oni mposeunecont r ai nt e admissibleaucisaillement de200GPa.Dt er minonslavaleur maximale du diamt r e dl or sque MT Maxi = 24 Nm. Cont r aint et angent iellemaximale :230. 20016000 24 000 24= == mm N RpgdVIMaxido on t ir e mm d 5 . 8 8.Concentration de contraintes Lor squelesar br est udi spr sent ent debr usquesvar i at i onsdesect i on(gor ge,paulement ,t r oude per age),lesr elat ionspr cdent esnesont plusapplicables.Auvoisinageduchangement desect ion,la r par t i t i on des cont r ai nt es estmodi f i e,Maxi estsupr i eur e cal cul e : on di tal or s qui ly a concent r at i on de cont r ai nt es. SiKt s estle coef f i ci entde concent r at i on de cont r ai nt es : 0 =ts MaxiKavec=VIMT00 d D d 1630dVI =( )Dd DVI164 40=V = d / 2V = D / 2 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 11 SUR 11 Exemple: dt er minonslacont r aint eauf onddunegor gedunar br edet r ansmissionsoumisuncouplede t or sion de 400 Nm. Dt er mi nons Kt s : 1 . 0303= =dret 2 . 13036= =dD Le t ableau qui va bien nous donne alor s4 . 1 tsK Cont r aint e 23 300. 45 . 753016 000 400 16==== mm NdMVIMT T Cont r ai nt emaxi male 20. 63 . 105 45 . 75 4 . 1= = = mm N Kts Maxi d = 30 D = 36 Gr = 3 A A A - A 400N.m-1 0 = 75.4 N.mm-2A - A 0 = 106 N.mm-2 Sans concentration de contraintes Avec concentration de contraintes RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 12 SUR 12 Voil, cest tout pour aujourdhui RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 1 SUR 21 Gravure montrant lessai dune poutre en flexion RESISTANCE DES MATERIAUX FLEXION RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 2 SUR 21 (Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 3 SUR 21 SOMMAIRE 1.SCHEMATISATION DES LIAISONS .............................................................................................................................................4 2.EFFORTS INTERIEURS .....................................................................................................................................................................6 3.DIAGRAMMES.......................................................................................................................................................................................6 3.1ESSAI DE FLEXION.............................................................................................................................................................................. 7 3.2CORRESPONDANCE ENTRE LES DIAGRAMMES............................................................................................................................... 8 3.3POUTRE ENCASTREE.......................................................................................................................................................................... 9 4.CHARGES REPARTIES ....................................................................................................................................................................10 4.1CHARGE REPARTIE UNIFORME....................................................................................................................................................... 10 4.2CHARGE REPARTIE LINEAIREMENT VARIABLE............................................................................................................................. 11 5.CONTRAINTES DE FLEXION.......................................................................................................................................................12 5.1CONTRAINTES NORMALES EN FLEXION......................................................................................................................................... 12 5.2CALCUL DES CONSTRUCTIONS....................................................................................................................................................... 13 5.3CONCENTRATION DE CONTRAINTES EN FLEXION........................................................................................................................ 15 5.4CONTRAINTES DE CISAILLEMENT EN FLEXION............................................................................................................................. 17 5.4.1Mise en vidence....................................................................................................................................................................17 5.4.2Cas des poutres rectangulaires............................................................................................................................................17 5.4.3Cas des poutres circulaires..................................................................................................................................................18 5.4.4Exemple....................................................................................................................................................................................18 6.DEFORMATIONS EN FLEXION...................................................................................................................................................19 6.1NOTION DE DEFORMEE.................................................................................................................................................................... 19 6.2METHODE PAR INTEGRATION......................................................................................................................................................... 20 6.2.1Principe....................................................................................................................................................................................20 6.2.2Exemple....................................................................................................................................................................................20 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 4 SUR 21 1.Schmatisation des liaisons Danslecasdespr oblmesplans(syst mesdef or cescoplanai r es),laschmat i sat i ondesli ai sonset des ef f or t sexer csser amnet r oi scast ypes :appui si mpl e(ponct uel oupl ansansf r ot t ement ),ar t i cul at i on (pi vot ) etencast r ement . TYPE EXEMPLES SCHEMATISATION ACTIONS EXERCEES Appuisimple Pivot Encastrement Exemple:planche de plongeoi r La pout r e1est schmat isepar salignemoyenneAC.La liaisonenA(pivot 1/ 0)est unear t i cul at i onet la liaison en B ent r e 1 et2 se r amne un appuisi mpl e.Pr(900 N) schmat i se lact i on du nageur . A y Fy Fxx MA A A y Fy Fxx A A A y Fy x 1.5 m3 m AB C 900N 0 2 1 RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 5 SUR 21 A lqui li br e (Pr i nci pe Fondament al de la St at i que), sion i sole 1 : ( ) ( ) ( ) ' + + + +001 / 2 1 / 01 / 2 1 / 0P M B M A MP B AA A Ar r rr r r r ' + + ) 2 ( 0 3 900 5 . 1 0) 1 ( 0 9001 / 2 1 / 01 / 2 1 / 0B AB A Lquat i on (2) donneN B 700 21 / 2(etor ient e ef f ect ivementcomme surle schma, ver s le haut ). Eni nj ect ant N B 700 21 / 2 dans(1),ont r ouveN A 800 11 / 0 (or i ent eef f ect i vement commesur l e schma, ver s le bas). Remar que1:dans la plupar tdes schmat isat ions, la pout r e estmodlise parsa ligne moyenne. Remar que2:les pout r es sonti dent i f i es par t i rdes char ges ext r i eur es appli ques : Poutresimplesurdeuxappuisaveccharges concentres F1 et F2 Poutresimplesurdeuxappuisaveccharges rparties q1 et q2 Poutreencastreavecchargerpartieq(x) linairement croissante A BC 900N Pr1 / 0Ar1 / 2BrF1 F2 q1 q2 q(x) RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 6 SUR 21 2.Efforts intrieurs Danslecasdelaf lexion,lesef f or t sint r ieur sdansnimpor t equellesect iondr oit eser duisent unef f or tt r anchant T(per pendi culai r elali gnemoyenne)et unmoment f lchi ssant Mf(per pendi culai r elali gne moyenne et T). Pourf ai r e appar at r e l es ef f or t s i nt r i eur s, on ef f ect ue une coupur e f i ct i ve l a di st ance x de l or i gine A. En isolant let r onon1,onobt ient lef f or t t r anchant Tet lemoment f lchissant Mf(onobt i ent enf ai tr espect ivementT et Mf, voi rCour s Tor seurde Cohsi on ). Tr = somme vect or ielle de t out es les f or ces ext r ieur es t r ansver sales si t ues gauche de la sect i on f i ct i ve = ( )2 1F Fr r+ fM =moment r sul t ant enGdet out esl esact i onsext r i eur essi t uesgauchedel asect i onf i ct i ve= ( ) ( )2 1F M F MG Gr r+ Remar que:le cas0 fMavec0 Tcor r espond de l a f l exi on pur e, al or s que l e cas0 fMavec0 Tcor r espond de la f lexi on si mple. 3.Diagrammes Lesvaleur sdelef f or t t r anchant Tet dumoment f lchi ssant Mfvar i ent aveclaposi t i onxdelacoupur e f i ct i ve.Lesdi agr ammesdet et Mf(gr aphesmat hmat i quesdet ype(x,y))per met t ent dedcr i r el es var iat ionsdecesdeuxgr andeur set ainsir epr er lesmaximumspr endr eencompt elor sdesclaculsdes cont r aint es. AB x x y 2Fr3Fr1FrG A x x y 2FrfM 1FrG TrCoupure fictive RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 7 SUR 21 3.1Essai de flexion Undi sposi t i f demi seenchar geexer ceunepousse de20 000Nqui ser par t i t enCet D,alor squele bt i de la machine suppor t e la pout r e en A etB. La symt r i e du char gementetdes appui s ent r ane A = B=C=D=P=10 000N,lepoi dsdelapout r et antnglig. vEt udedut r ononAC:sect ion f ict ive dabscissem x 1 0 Une seule f or ce gauche de la sect i on f i ct i ve :Pr au poi ntA Ef f or tt r anchantN P TAC000 10 pourt out m x 1 0 Momentf lchi ssantNm x x P MfAC000 10 vEt udedut r ononCD:sect ion f ict ive dabscissem x 2 1 Deux f or ces gauche de la sect i on f i ct i ve :Pr au pointA, et Prau poi ntC Ef f or tt r anchantN P P TCD0 pourt out m x 2 1 Momentf lchi ssant( ) Nm P x P x P MfCD000 10 1 + Remar que:surce t r onon0 fMet 0 T , on estdans un cas de f lexi on pur e. vEt udedut r ononDB:sect ion f ict ive dabscissem x 3 2 Tr oi s f or ces gauche de la sect i on f i ct i ve :Pr en A, et Praux point s C etD Ef f or tt r anchantN P P P TDB000 10 pourt out m x 3 2 Momentf lchi ssant( ) ( ) ( ) Nm x P x P x P x P MfDB3 000 10 2 1 + + 1 m1 m1 m x A DC B y PrPrPrPr RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 8 SUR 21 vDi agr ammes: r assemblonslest r oisr sult at s pr cdent s surun mme gr aphe : Di agr amme des ef f or t s t r anchant s : N TAC000 10 pour m x 1 0 N TCD0 pour m x 2 1 N TDB000 10 pour m x 3 2 Di agr amme des moment s f lchi ssant s : Nm x MfAC000 10 pour m x 1 0 Nm MfCD000 10 pour m x 2 1 ( ) Nm x MfDB3 000 10 pour m x 3 2 3.2Correspondance entre les diagrammes Lt udedelqui li br edut r onondelar geur dxappar t enant lapout r e,compt et enudeschar gesi ndi ques, donne : ( ) x qdxdT et TdxdM f 1 m1 m1 m x A DC B y PrPrPrPrTAC TCD TDB MfAC MfCD MfDB T Mf x x y Fr( ) x qdx dx Fr( ) x qT -(T+dT) -(Mf +dMf) Mf RESISTANCE DES MATERIAUX PROPRIETE GONNET_2003 COURS DERDMPAGE 9 SUR 21 3.3Poutre encastre Onconsi dr eunepout r eencast r edel ongueur L=2m soumi se un ef f or tconcent r F = 1 000 N (ver s l e bas) au point Bet uncouplepur M=1 000Nm(sensant i -t r i gonomt r i que) aut ourdu poi ntC. vAct i onsexer cespar lencast r ement sur lapout r e :l e Pr i nci peFondament aldelaSt at i que donne : ( ) ( ) ' + + +00A A AM M A M F