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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Cours de terminale S
Les nombres complexes
A. OLLIVIER
Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer
2019-2020
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Vocabulaire
Conséquences
Propriétés
Il existe un ensemble, noté C, d’éléments appelés
Définition
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Vocabulaire
Conséquences
Propriétés
Il existe un ensemble, noté C, d’éléments appelés
nombres complexes
Définition
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Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Vocabulaire
Conséquences
Propriétés
Il existe un ensemble, noté C, d’éléments appelés
nombres complexes , tels que :
C contient l’ensemble
Définition
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Représentation géométrique d’un nombre complexe
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Il existe un ensemble, noté C, d’éléments appelés
nombres complexes , tels que :
C contient l’ensemble R des réels
Définition
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Il existe un ensemble, noté C, d’éléments appelés
nombres complexes , tels que :
C contient l’ensemble R des réels ;
C contient un élément i tel que
Définition
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Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
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Il existe un ensemble, noté C, d’éléments appelés
nombres complexes , tels que :
C contient l’ensemble R des réels ;
C contient un élément i tel que i2 = −1 ;
Définition
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Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
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Conséquences
Propriétés
Il existe un ensemble, noté C, d’éléments appelés
nombres complexes , tels que :
C contient l’ensemble R des réels ;
C contient un élément i tel que i2 = −1 ;
C est muni d’une addition et d’une multiplication qui
suivent des règles de calcul
Définition
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Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Vocabulaire
Conséquences
Propriétés
Il existe un ensemble, noté C, d’éléments appelés
nombres complexes , tels que :
C contient l’ensemble R des réels ;
C contient un élément i tel que i2 = −1 ;
C est muni d’une addition et d’une multiplication qui
suivent des règles de calcul analogues à celles dans
l’ensemble R
Définition
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Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Vocabulaire
Conséquences
Propriétés
Il existe un ensemble, noté C, d’éléments appelés
nombres complexes , tels que :
C contient l’ensemble R des réels ;
C contient un élément i tel que i2 = −1 ;
C est muni d’une addition et d’une multiplication qui
suivent des règles de calcul analogues à celles dans
l’ensemble R ;
tout nombre complexe z s’écrit de manière unique
sous la forme z
Définition
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Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Vocabulaire
Conséquences
Propriétés
Il existe un ensemble, noté C, d’éléments appelés
nombres complexes , tels que :
C contient l’ensemble R des réels ;
C contient un élément i tel que i2 = −1 ;
C est muni d’une addition et d’une multiplication qui
suivent des règles de calcul analogues à celles dans
l’ensemble R ;
tout nombre complexe z s’écrit de manière unique
sous la forme z= a + bi où a et b sont deux réels.
Cette écriture est appelée la
Définition
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Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Vocabulaire
Conséquences
Propriétés
Il existe un ensemble, noté C, d’éléments appelés
nombres complexes , tels que :
C contient l’ensemble R des réels ;
C contient un élément i tel que i2 = −1 ;
C est muni d’une addition et d’une multiplication qui
suivent des règles de calcul analogues à celles dans
l’ensemble R ;
tout nombre complexe z s’écrit de manière unique
sous la forme z= a + bi où a et b sont deux réels.
Cette écriture est appelée la forme algébrique de z.
Définition
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On dit que le réel a est la partie réelle de z et on la note
a = Re(z).
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On dit que le réel a est la partie réelle de z et on la note
a = Re(z).
On dit que b est la partie imaginaire de z et on la note
b = Im(z).
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Représentation géométrique d’un nombre complexe
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Conséquences
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On dit que le réel a est la partie réelle de z et on la note
a = Re(z).
On dit que b est la partie imaginaire de z et on la note
b = Im(z).
Tout nombre complexe de la forme z = bi (b réel) est
appelé imaginaire pur.
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Dire que le nombre complexe z est réel équivaut à dire que
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Dire que le nombre complexe z est réel équivaut à dire que
Im(z) = 0.
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Dire que le nombre complexe z est réel équivaut à dire que
Im(z) = 0.
Dire que le nombre complexe z est imaginaire pur équivaut
à dire que
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Dire que le nombre complexe z est réel équivaut à dire que
Im(z) = 0.
Dire que le nombre complexe z est imaginaire pur équivaut
à dire que Re(z) = 0
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Dire que le nombre complexe z est réel équivaut à dire que
Im(z) = 0.
Dire que le nombre complexe z est imaginaire pur équivaut
à dire que Re(z) = 0
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Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils
ont même partie réelle et même partie imaginaire :
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Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils
ont même partie réelle et même partie imaginaire :
a + bi = a′ + b
′i ⇐⇒
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Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils
ont même partie réelle et même partie imaginaire :
a + bi = a′ + b
′i ⇐⇒ a = a
′ et b = b′
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Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils
ont même partie réelle et même partie imaginaire :
a + bi = a′ + b
′i ⇐⇒ a = a
′ et b = b′
En particulier :
a + bi = 0 ⇐⇒ a =
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Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils
ont même partie réelle et même partie imaginaire :
a + bi = a′ + b
′i ⇐⇒ a = a
′ et b = b′
En particulier :
a + bi = 0 ⇐⇒ a = 0 et b =
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Représentation géométrique d’un nombre complexe
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Vocabulaire
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Propriétés
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils
ont même partie réelle et même partie imaginaire :
a + bi = a′ + b
′i ⇐⇒ a = a
′ et b = b′
En particulier :
a + bi = 0 ⇐⇒ a = 0 et b = 0
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Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Grâce aux propriétés de l’ensemble C, on calcule dans C
comme dans R, en tenant compte de i2 = −1. Ainsi, en notant
z = a + bi et z′ = a
′ + b′i , on a :
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Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Grâce aux propriétés de l’ensemble C, on calcule dans C
comme dans R, en tenant compte de i2 = −1. Ainsi, en notant
z = a + bi et z′ = a
′ + b′i , on a :
• somme :
• produit :
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Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Grâce aux propriétés de l’ensemble C, on calcule dans C
comme dans R, en tenant compte de i2 = −1. Ainsi, en notant
z = a + bi et z′ = a
′ + b′i , on a :
• somme :
z + z′ = (a + bi) + (a′ + b
′i)
• produit :
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Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Grâce aux propriétés de l’ensemble C, on calcule dans C
comme dans R, en tenant compte de i2 = −1. Ainsi, en notant
z = a + bi et z′ = a
′ + b′i , on a :
• somme :
z + z′ = (a + bi) + (a′ + b
′i)
z + z′ = (a + a
′) + (b + b′)i
• produit :
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Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Grâce aux propriétés de l’ensemble C, on calcule dans C
comme dans R, en tenant compte de i2 = −1. Ainsi, en notant
z = a + bi et z′ = a
′ + b′i , on a :
• somme :
z + z′ = (a + bi) + (a′ + b
′i)
z + z′ = (a + a
′) + (b + b′)i
• produit :
zz′ = (a + bi)(a′ + b
′i)
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z = a + bi et z′ = a
′ + b′i , on a :
• somme :
z + z′ = (a + bi) + (a′ + b
′i)
z + z′ = (a + a
′) + (b + b′)i
• produit :
zz′ = (a + bi)(a′ + b
′i)
zz′ = aa
′ + ab′i + a
′bi + bb
′i2
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Grâce aux propriétés de l’ensemble C, on calcule dans C
comme dans R, en tenant compte de i2 = −1. Ainsi, en notant
z = a + bi et z′ = a
′ + b′i , on a :
• somme :
z + z′ = (a + bi) + (a′ + b
′i)
z + z′ = (a + a
′) + (b + b′)i
• produit :
zz′ = (a + bi)(a′ + b
′i)
zz′ = aa
′ + ab′i + a
′bi + bb
′i2
zz′ = (aa
′ − bb′) + (ab
′ + a′b)i
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
• identités remarquables : elles restent valables dans R, en
particulier :
(a + bi)(a − bi) =
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
• identités remarquables : elles restent valables dans R, en
particulier :
(a + bi)(a − bi) = a2 + b
2
• inverse : si z 6= 0,1
z=
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
• identités remarquables : elles restent valables dans R, en
particulier :
(a + bi)(a − bi) = a2 + b
2
• inverse : si z 6= 0,1
z=
1
a + bi=
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
• identités remarquables : elles restent valables dans R, en
particulier :
(a + bi)(a − bi) = a2 + b
2
• inverse : si z 6= 0,1
z=
1
a + bi=
a − bi
a2 + b2
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi est le
nombre complexe a − bi . On le note z.
Définition
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi est le
nombre complexe a − bi . On le note z.
Définition
Exemples :
Si z = 2 + 6i , alors z =
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi est le
nombre complexe a − bi . On le note z.
Définition
Exemples :
Si z = 2 + 6i , alors z = 2 − 6i
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi est le
nombre complexe a − bi . On le note z.
Définition
Exemples :
Si z = 2 + 6i , alors z = 2 − 6i ; si z = 4 alors z =
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi est le
nombre complexe a − bi . On le note z.
Définition
Exemples :
Si z = 2 + 6i , alors z = 2 − 6i ; si z = 4 alors z = 4
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi est le
nombre complexe a − bi . On le note z.
Définition
Exemples :
Si z = 2 + 6i , alors z = 2 − 6i ; si z = 4 alors z = 4 ; si z = −2i
alors z =
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi est le
nombre complexe a − bi . On le note z.
Définition
Exemples :
Si z = 2 + 6i , alors z = 2 − 6i ; si z = 4 alors z = 4 ; si z = −2i
alors z = 2i.
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Conséquence :
si z = a + bi , alors z + z = 2a et z − z = 2bi , d’où :
z + z = 2
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Conséquence :
si z = a + bi , alors z + z = 2a et z − z = 2bi , d’où :
z + z = 2Re(z) et z − z =
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Conséquence :
si z = a + bi , alors z + z = 2a et z − z = 2bi , d’où :
z + z = 2Re(z) et z − z = 2iIm(z)
Il en resulte que :
- "Le nombre complexe z est réel" équivaut à "z = z".
- "Le nombre complexe z est imaginaire pur" équivaut à
"z + z = 0".
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Propriétés
z + z′ =
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Propriétés
z + z′ = z + z′ zz′ =
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Propriétés
z + z′ = z + z′ zz′ = z × z′ zn =
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Propriétés
z + z′ = z + z′ zz′ = z × z′ zn = zn pour
tout naturel n.
si z′ 6= 0 :
(
1
z′
)
=
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Propriétés
z + z′ = z + z′ zz′ = z × z′ zn = zn pour
tout naturel n.
si z′ 6= 0 :
(
1
z′
)
=1
z′et
(
z
z′
)
=
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Propriétés
z + z′ = z + z′ zz′ = z × z′ zn = zn pour
tout naturel n.
si z′ 6= 0 :
(
1
z′
)
=1
z′et
(
z
z′
)
=z
z′
Remarque
z =
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Propriétés
z + z′ = z + z′ zz′ = z × z′ zn = zn pour
tout naturel n.
si z′ 6= 0 :
(
1
z′
)
=1
z′et
(
z
z′
)
=z
z′
Remarque
z = z zz =
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Calculs
Conjugué
Propriétés
z + z′ = z + z′ zz′ = z × z′ zn = zn pour
tout naturel n.
si z′ 6= 0 :
(
1
z′
)
=1
z′et
(
z
z′
)
=z
z′
Remarque
z = z zz = a2 + b
2
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Dans C, l’équation az2 + bz + c = 0, a 6= 0, a, b, c réels,
a toujours des solutions.
On note ∆ le discriminant de cette équation :
∆ = b2 − 4ac
• si ∆ > 0, l’équation a deux solutions réelles :
z1 =
Théorème
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Dans C, l’équation az2 + bz + c = 0, a 6= 0, a, b, c réels,
a toujours des solutions.
On note ∆ le discriminant de cette équation :
∆ = b2 − 4ac
• si ∆ > 0, l’équation a deux solutions réelles :
z1 =−b −
√∆
2aet z2 =
Théorème
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Dans C, l’équation az2 + bz + c = 0, a 6= 0, a, b, c réels,
a toujours des solutions.
On note ∆ le discriminant de cette équation :
∆ = b2 − 4ac
• si ∆ > 0, l’équation a deux solutions réelles :
z1 =−b −
√∆
2aet z2 =
−b +√∆
2a
Théorème
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ = 0, l’équation a une solution double réelle :
z1 = z2 =
Théorème
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ = 0, l’équation a une solution double réelle :
z1 = z2 =−b
2a
• si ∆ < 0, l’équation a deux solutions complexes conju-
guées :
z1 =
Théorème
![Page 64: Cours de terminale S Les nombres complexesmathsollivier.free.fr/ts/complexesP.pdf · Les nombres complexes Opérationssur les complexes Equation du second degré à coefficients](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063011/5fc58fbab23db51a655bd5e5/html5/thumbnails/64.jpg)
Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ = 0, l’équation a une solution double réelle :
z1 = z2 =−b
2a
• si ∆ < 0, l’équation a deux solutions complexes conju-
guées :
z1 =−b − i
√−∆
2aet z2 =
Théorème
![Page 65: Cours de terminale S Les nombres complexesmathsollivier.free.fr/ts/complexesP.pdf · Les nombres complexes Opérationssur les complexes Equation du second degré à coefficients](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063011/5fc58fbab23db51a655bd5e5/html5/thumbnails/65.jpg)
Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ = 0, l’équation a une solution double réelle :
z1 = z2 =−b
2a
• si ∆ < 0, l’équation a deux solutions complexes conju-
guées :
z1 =−b − i
√−∆
2aet z2 =
−b + i√−∆
2aavec z2 =
Théorème
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ = 0, l’équation a une solution double réelle :
z1 = z2 =−b
2a
• si ∆ < 0, l’équation a deux solutions complexes conju-
guées :
z1 =−b − i
√−∆
2aet z2 =
−b + i√−∆
2aavec z2 = z1.
Théorème
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Conséquence
Dans C, le trinôme az2 + bz + c se factorise toujours sous la
forme : az2 + bz + c = a(z − z1)(z − z2).
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Démonstration
On met le trinôme az2 + bz + c sous la forme canonique :
az2+bz+c =
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Démonstration
On met le trinôme az2 + bz + c sous la forme canonique :
az2+bz+c = a
[
(
z +b
2a
)2
− b2 − 4ac
4a2
]
=
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Démonstration
On met le trinôme az2 + bz + c sous la forme canonique :
az2+bz+c = a
[
(
z +b
2a
)2
− b2 − 4ac
4a2
]
= a
[
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2
]
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Démonstration
On met le trinôme az2 + bz + c sous la forme canonique :
az2+bz+c = a
[
(
z +b
2a
)2
− b2 − 4ac
4a2
]
= a
[
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2
]
Puisque a 6= 0, résoudre dans C l’équation az2 + bz + c = 0,
c’est résoudre(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2= 0
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Démonstration
On met le trinôme az2 + bz + c sous la forme canonique :
az2+bz+c = a
[
(
z +b
2a
)2
− b2 − 4ac
4a2
]
= a
[
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2
]
Puisque a 6= 0, résoudre dans C l’équation az2 + bz + c = 0,
c’est résoudre(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2= 0
• si ∆ > 0 ou si ∆ = 0, on sait que l’équation a deux solutions
dans R et deux seulement (distinctes ou égales). Elle a donc
deux solutions complexes et deux seulement puisque R est
inclus dans C.A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ < 0, alors√−∆ existe et avec i
2 = −1, on a
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ < 0, alors√−∆ existe et avec i
2 = −1, on a
(i√−∆)2 =
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ < 0, alors√−∆ existe et avec i
2 = −1, on a
(i√−∆)2 = ∆. Donc :
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
![Page 76: Cours de terminale S Les nombres complexesmathsollivier.free.fr/ts/complexesP.pdf · Les nombres complexes Opérationssur les complexes Equation du second degré à coefficients](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022063011/5fc58fbab23db51a655bd5e5/html5/thumbnails/76.jpg)
Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ < 0, alors√−∆ existe et avec i
2 = −1, on a
(i√−∆)2 = ∆. Donc :
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2=
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ < 0, alors√−∆ existe et avec i
2 = −1, on a
(i√−∆)2 = ∆. Donc :
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2=
(
z +b
2a
)2
−(
i√−∆
2a
)2
=
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ < 0, alors√−∆ existe et avec i
2 = −1, on a
(i√−∆)2 = ∆. Donc :
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2=
(
z +b
2a
)2
−(
i√−∆
2a
)2
=
(
z +b
2a− i
√−∆
2a
)(
z +b
2a+
i√−∆
2a
)
Ainsi l’équation a deux solutions :
z1 =
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ < 0, alors√−∆ existe et avec i
2 = −1, on a
(i√−∆)2 = ∆. Donc :
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2=
(
z +b
2a
)2
−(
i√−∆
2a
)2
=
(
z +b
2a− i
√−∆
2a
)(
z +b
2a+
i√−∆
2a
)
Ainsi l’équation a deux solutions :
z1 =−b − i
√−∆
2aet z2 =
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ < 0, alors√−∆ existe et avec i
2 = −1, on a
(i√−∆)2 = ∆. Donc :
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2=
(
z +b
2a
)2
−(
i√−∆
2a
)2
=
(
z +b
2a− i
√−∆
2a
)(
z +b
2a+
i√−∆
2a
)
Ainsi l’équation a deux solutions :
z1 =−b − i
√−∆
2aet z2 =
−b + i√−∆
2aavec z2 =
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
• si ∆ < 0, alors√−∆ existe et avec i
2 = −1, on a
(i√−∆)2 = ∆. Donc :
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2=
(
z +b
2a
)2
−(
i√−∆
2a
)2
=
(
z +b
2a− i
√−∆
2a
)(
z +b
2a+
i√−∆
2a
)
Ainsi l’équation a deux solutions :
z1 =−b − i
√−∆
2aet z2 =
−b + i√−∆
2aavec z2 = z1.
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Exemple :
Résoudre l’équation : 4z2 − 12z + 153 = 0
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Exemple :
Résoudre l’équation : 4z2 − 12z + 153 = 0
On calcule le discriminant :
∆ =
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Exemple :
Résoudre l’équation : 4z2 − 12z + 153 = 0
On calcule le discriminant :
∆ = (−12)2 − 4 × 4 × 153 =
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Exemple :
Résoudre l’équation : 4z2 − 12z + 153 = 0
On calcule le discriminant :
∆ = (−12)2 − 4 × 4 × 153 = − 2304 =
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Exemple :
Résoudre l’équation : 4z2 − 12z + 153 = 0
On calcule le discriminant :
∆ = (−12)2 − 4 × 4 × 153 = − 2304 = (48i)2.
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Exemple :
Résoudre l’équation : 4z2 − 12z + 153 = 0
On calcule le discriminant :
∆ = (−12)2 − 4 × 4 × 153 = − 2304 = (48i)2.
L’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
z1 =
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Exemple :
Résoudre l’équation : 4z2 − 12z + 153 = 0
On calcule le discriminant :
∆ = (−12)2 − 4 × 4 × 153 = − 2304 = (48i)2.
L’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
z1 =12 − 48i
8=
3
2− 6i et z2 =
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Exemple :
Résoudre l’équation : 4z2 − 12z + 153 = 0
On calcule le discriminant :
∆ = (−12)2 − 4 × 4 × 153 = − 2304 = (48i)2.
L’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
z1 =12 − 48i
8=
3
2− 6i et z2 =
12 + 48i
8=
3
2+ 6i
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Exemple :
Résoudre l’équation : 4z2 − 12z + 153 = 0
On calcule le discriminant :
∆ = (−12)2 − 4 × 4 × 153 = − 2304 = (48i)2.
L’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
z1 =12 − 48i
8=
3
2− 6i et z2 =
12 + 48i
8=
3
2+ 6i
S = {3
2− 6i ;
3
2+ 6i}
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;→
u ,→
v ) :
• à tout complexe z = a + bi avec a et b réels, on associe le
point M(a;b) et le vecteur→
w (a;b) appelés point image et
vecteur image de z.
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;→
u ,→
v ) :
• à tout complexe z = a + bi avec a et b réels, on associe le
point M(a;b) et le vecteur→
w (a;b) appelés point image et
vecteur image de z.
• à tout point M(a;b) et à tout vecteur→
w (a;b) on associe le
nombre complexe z = a + bi , appelé affixe de M et affixe de→
w .
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;→
u ,→
v ) :
• à tout complexe z = a + bi avec a et b réels, on associe le
point M(a;b) et le vecteur→
w (a;b) appelés point image et
vecteur image de z.
• à tout point M(a;b) et à tout vecteur→
w (a;b) on associe le
nombre complexe z = a + bi , appelé affixe de M et affixe de→
w .
Le plan est alors appelé plan complexe.
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
• Le point image d’un réel appartient à l’axe des abscisses.
Dans le plan complexe, l’axe des abscisses est appelé axe des
réels.
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
• Le point image d’un réel appartient à l’axe des abscisses.
Dans le plan complexe, l’axe des abscisses est appelé axe des
réels.
• Le point image d’un imaginaire pur appartient à l’axe des
ordonnées. Dans le plan complexe, l’axe des ordonnées est
appelé axe des imaginaires.
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
(O;→
u ,→
v ).On considère les points A et B d’affixes respectives zA et zB .
Alors :
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
(O;→
u ,→
v ).On considère les points A et B d’affixes respectives zA et zB .
Alors :
• Le vecteur−→
AB a pour affixe
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
(O;→
u ,→
v ).On considère les points A et B d’affixes respectives zA et zB .
Alors :
• Le vecteur−→
AB a pour affixe zB − zA.
• Le milieu I du segment [AB] a pour affixe
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
(O;→
u ,→
v ).On considère les points A et B d’affixes respectives zA et zB .
Alors :
• Le vecteur−→
AB a pour affixe zB − zA.
• Le milieu I du segment [AB] a pour affixe zI =zA + zB
2.
A. OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
On considère les vecteurs→
w et→
w′ d’affixes respectives z et z
′,
et le réel λ.
• →
w +→
w′ a pour affixe
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
On considère les vecteurs→
w et→
w′ d’affixes respectives z et z
′,
et le réel λ.
• →
w +→
w′ a pour affixe z + z
′.
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
On considère les vecteurs→
w et→
w′ d’affixes respectives z et z
′,
et le réel λ.
• →
w +→
w′ a pour affixe z + z
′.
• λ→
w a pour affixe
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
On considère les vecteurs→
w et→
w′ d’affixes respectives z et z
′,
et le réel λ.
• →
w +→
w′ a pour affixe z + z
′.
• λ→
w a pour affixe λz.
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Les nombres complexes
Opérations sur les complexes
Equation du second degré à coefficients réels
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Définition
Remarques
Propriétés
On considère les vecteurs→
w et→
w′ d’affixes respectives z et z
′,
et le réel λ.
• →
w +→
w′ a pour affixe z + z
′.
• λ→
w a pour affixe λz.
Preuve :
Il s’agit simplement d’une autre écriture des propriétés déjà
connues pour les coordonnées.
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