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7/31/2019 Cours Elements Finis Print

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Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

1

ELEMENTS FINIS


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2

1. RAPPEL M.M.C.

F

f

duu =

D

sur Du

sur Df

Voici les notations utilises:

Le repre fixe : R (0,x1,x2,x3)

i j k, , , ,

, , ,

1 2 3

1 2

l ql q

Nous travaillerons dans le cadre des petites dformations, cela implique que la position

de rfrence reste la position initiale. Les chargements peuvent tre de type volumique

ou de type surfacique dans le cas 3-D. La rsolution d'un problme de structure consiste

tudier trois champs vectoriels ainsi que leur relation :

Le champ de dplacement, not u x

u x y z

v x y z

w x y z

( )

( , , )

( , , )

( , , )

RS|T|

Le champ des dformations not

( )x L

N

MMM

O

Q

PPP

L

N

MMMMMMM

O

Q

PPPPPPP

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11

22

33

2 12

2 13

2 23

Le champ des contraintes not

( )x L

N

MMM

O

Q

PPP

L

N

MMMMMMM

O

Q

PPPPPPP

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11

22

33

12

13

23


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3

Les diffrentes relations entre ces quantits peuvent tre schmatises par la figure

suivante:

DEPLACEMENT DEFORMATION CONTRAINTE

GEOMETRIE MATERIAU

CHARGEMENT

Dans le cas gnral, on montre que les quations d'quilibre s'crivent sous la forme

div f

qui se simplifient dans le cas de la statique :

div f

0

of est une force volumique dans le cas 3-D.

1.1. Dformation

Nous considrons Mxy

z

0

0

0

0

RS|

T|UV|

W|un point dans la configuration de dpart et

M

x dx

y dy

z dz0

0 0

0 0

0 0

'

RS|

T|

UV|

W|un point voisin. Suite au chargement il se transforme respectivement

en M

x x u

y y v

z z w

M

x x dx

y y dy

z z dz

RS|

T|

UV|

W|

RS|

T|

UV|

W|

0

0

0

et ''

'

'

. Ce qui donne sur un dessin la figure

suivante :

M'

M0

M0 '

M


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Si nous faisons une tude dans le cas 2-D, nous pouvons mettre en place la relation

entre les dplacements et les dformations. Nous utilisons seulement des DL d'ordre 1.

x x u x y

u x dx y dy u x yu

xx y dx

u

yx y dy

x x dx dx x xu

xx y dx

u

yx y dy

dxu

xx y dx

u

yx y dy

FHG

IKJ

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 01

,

, , , ,

, ,

, ,

b g

b g b g b g b gb g b g b g b g b g

b g b g

Ce calcul peut tre effectu pour les autres composantes dy,dz , dans le cas 3-D, et crit

sous la forme matricielle suivante :

dX

dx

dy

dz

Id dU dX Id

u

x

u

y

u

zv

x

v

y

v

zw

x

w

y

w

zx y

dX

z

F

HGG

I

KJJ

L

N

MMMMMMM

O

Q

PPPPPPP

F

H

GGGGGGG

I

K

JJJJJJJ

c h

c h

0

0 0 0

0

, ,

dU

o

grad U grad U

grad U grad U

T

T

FHIK

:

( ) ( )

( ) ( )

1

2

1

2

On montre alors que le tenseur des dformations H s'crit d'une faon gnrale :

H FHIK FH

IK

1

2

Dans le cadre des petites perturbations (faible rotation, faible dplacement), il suffit de

prendre la partie linaire de H.

H

Le tenseur des dformations est symtrique par construction, il est dfini positif etdonc il a des valeurs propres relles. Ces directions principales sont orthogonales. On

les dtermine l'aide d'un cercle de Mohr et des mesures obtenues sur une rosette 45.


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5

1.2. Contraintes

Les contraintes n'ont de sens que par rapport une facette que l'on oriente par sa

normale. Si on prend comme lment de volume un paralllpipde

xy

zn

xx

xz

xy est la contrainte dans le solide sur la facette de normal

n . Dans le cas o le vecteur

normal est colinaire un vecteur de base, on a:

ijo i correspond la direction de la normal et j la composante dans le plan de lafacette.

1.2.1. Invariant du tenseur des contraintes

Nous pouvons dfinir un certain nombre d'invariant sur une matrice et donc sur le

tenseur des contraintes. Les trois premiers invariants sont :

J

J J

J

Tr ii

Tr

Det

1

2 1

3

11 22 33

12

2 2

1 2 3

FHG IKJ

( )

ijest un tenseur symtrique dfini positif et donc ses valeurs propres sont relles,notes : 1 2 3, , . Il est facile de montrer que les directions principales sontorthogonales.

On dfinit galement la contrainte normale

n et tangentielle

t .

t

n


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6

On dfinit galement le tenseur des contraintes comme la somme de deux tenseurs : le

tenseur sphrique, dont la forme correspond celle du tenseur des contraintes pour une

pression hydrostatique, et le dviateur des contraintes.

L

N

MMMMMM

O

Q

PPPPPP

J

I d sp d

sp

J

J

J

d

13

1

1

1

3

3

3

3

Tenseur de pression hydrostatique

Partie deviatorique du tenseur des contraintes, qui correspond

la cission du matriau

Il est facile de montrer que si d Jn t 0 3 01 / et

1.3. Les relations de compatibilit.

Quand on connat les dplacements il est simple de dterminer les dformations, mais

le Pb inverse n'est pas aussi simple : 3 composantes pour le dplacement et 6

composantes pour le tenseur des dformations. On a donc 6 inconnues et trois quations: le problme n'a pas de solution unique. Cela est d au mouvement de corps solide :

Rotation d'ensemble, translation (Mcanique des milieux indformables). Il existe des

relations de compatibilit pour soulever ces indterminations qui sont :

2

2 2 2

2

eii

j k i

e

i

e

j

e

k

eij

i j

eii

i i

ejj

j j

jk ik ji FHG

IKJ

FHG

IKJ

R

S||

T||

Ces formules sont donnes sans sommation de l'indice rpt.

1.4. Loi de comportement - Loi de Hook

La loi de comportement relie le tenseur des dformations au tenseur des contraintes. A

chaque catgorie de matriau correspond un type de loi. Nous allons ici nous intresser

seulement au matriau lastique linaire et donc la loi de Hook :

L

NM

O

QPL


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7

[L] est un tenseur d'ordre 4, mais comme les tenseurs des dformations et des

contraintes sont symtriques, il est possible d'assimiler [L] une matrice [6,6] en

utilisant une reprsentation vectorielle des champs de dformations et de contraintes.

De plus dans le cas d'un processus adiabatique et isotherme rversible, on a :

12

2 2

L

L L

ijkl ij kl

ijij

ij klijkl

kl ijklij

d i

est la densit d'nergie de dformation interne.

Donc dans un cas gnral, il ne reste plus que 21 constantes diffrentes pour qualifier le

comportement d'un matriau anisotrope.

1.4.1. Matriau isotrope

Aucune direction privilgie, matriau macroscopiquement homogne

ex : Acier, inox, plastique ....

Dfinition de la loi de Hook:

ij ll ij ij 2

, sont les coefficients de Lam

Maintenant nous allons tudier des cas simples de chargement pour mettre en vidence

des coefficients ayant des sens physiques plus vidents.

1.4.1.1. Cas compression uniforme

Le solide est soumis un champ de pression surfacique et aucune force volumique.

D

F = -p n

F = -p n

D

les quations d'quilibre locales donnent :

ij j

ijnj pni D

, RS|T|

0 sur D

sur

En introduisant la loi de Hook et 12 grad U grad UT( ) ( )


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8

Il est simple de montrer que ij p ij est solution du problme.

Calculons ii J 1

ii pp

ii ii

ii

3 23

2

en introduisant ce rsultat dans la loi de Hook, on obtient :

ijp

ij ij

3

22

si i j

si i j =

ij ij

ii sommation sur i

0 0

3 2 3iip p p

Ksans

Maintenant si nous calculons la variation relative de volume nous avons :

V V

V Vu dv

p

Ki i

D

z00 0

1,

La variation de volume pour une pression p est inversement proportionnelle K, qui est

appel Module de rigidit la compression.

Rq : Plus K augmente plus le matriau est peu compressible, et si K le matriau estdit incompressible.

1.4.1.2. Cas traction simple

Considrons une poutre cylindrique de longueur L limite ses extrmits par deux

surfaces iorthogonales l'axe de rvolution. Deux forces de traction opposes sont

exerces sur la poutre chacune de ses extrmits.

F

SF , ,0 0b g . F est une force

rpartie sur la surface i . Le matriau est suppos homogne isotrope, Il suit donc une

loi de Hook.

les quations d'quilibre locales donnent :

ij j

jnj F jnj jnj

jnj F jnj jnj

ijnj

,

,

,

R

S||

T

||

0

1 2 2

1 2 2

0

sur D

=0 sur

, =0 sur

sur D-

1

0

1 0m r


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9

Il est simple de vrifier que la fonction 11 22 23 0 F, ... est solution du Pb.En utilisant la loi de Hook on a :

iiF

F

F

R

S||

T||

3 2

3 2

2 3 2

11

33 22

b g

b g

En utilisant 11 F

E

l

l

, il est facile de montrer que le module d'lasticit ou module

d'Young E est gal :

E

3 2b g

mais galement que :

u X Fx cste

u X Fx cste

2 2

3 3

2 3 2

2 3 2

( )

( )

b g

b g

en posant classiquement 11 22 33 , on en dduit que le coefficient dePoisson est :

2b g

Nous pouvons rcapituler ces quantits dans un tableau :

E

EG

KE

1 2 1

2 1

1 2

b gb g

b g

b g

Module de cisaillement

o

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