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INSTITUT DES TECHNICIENSSPÉCIALISÉS EN GÉNIE RURALET TOPOGRAPHIE DE MEKNÈS

COURS DE

HYDRAULIQUE GÉNÉRALE

Pour les élèves techniciens spécialisés en

Gestion & Maîtrise de l 'Eau (1° Année)

(Polycopié étudiant et professeur)

M. ABDELLAH BENTALEBANNÉE SCOLAIRE 2009 / 2010

(Édition Provisoire)

INSTITUT DES TECHNICIENS SPÉCIALISÉS EN GÉNIE RURAL ET TOPOGRAPHIE DE MEKNÈS / M. ABDELLAH BENTALEB 1

FICHE DE PRÉSENTATION DU COURSDE HYDRAULIQUE GÉNÉRALE

Enseignant : M. Abdellah BENTALEB.

Niveau : BTS 1° année

Volume horaire : 100 h

1. Objectif général : Initier l’apprenti à la notion des liquides et en particulier l’eau, leur écoulement,que ça soit sous pression ou à surface libre. Ainsi qu’une introduction aux appareils hydrauliques tels que(piézomètre, venturi, …) et aux machines hydrauliques telles que (pompes et turbines).

2. Situation d’apprentissage : Cours + photos (et vidéo) + TD + devoirs + tests + TP.

3. Documents et matériels didacticiels : polycopié + tableau (et feutres) + photos (et films) +situation réelle (TP).

4. Démarche pédagogique : Le cours au début (et mise à niveau) + (selon la situation) projectionde photos (films) à discuter et finir avec les TP.

5. Évaluation : des exemples d’application pendant le cours et exercices de réflexion en fin de chapitre(+ devoir), test de contrôle par chapitre, contrôle final.

6. Documents et références bibliographiques : Internet, livres.

7. Recommandations et observations : le cours est à faire :

De préférence au début (ou en parallèle) avec d’autres cours techniques (Irrigation sous pression,gravitaire).

Et surtout avant de partir en stage.


1 INTRODUCTION

Jusqu'à présent, vous n'avez fait que l'étude des forces des systèmes matérialisés(Exemple : étude de billes, ...). C'est à dire:

o Étude de la statique.o Étude de la dynamique du point matériel, et par la suite, des systèmes matériels.

C'est d'une façon générale, l'étude de la mécanique.

Dans ce cours, il sera étudié une mécanique un peu spéciale, C'est la mécanique des liquidesen générale, et celle de l'eau en particulier.

Ainsi, l'eau, et contrairement à un système matérialisé, n'a pas une forme fixe, mais remplit laforme qui lui est donnée. Par conséquent, l'étude de la mécanique des liquides (et de l'eau enparticulier) se divise en deux grandes parties:

Étude mathématique. Étude expérimentale.

1.1 ÉTUDE MATHÉMATIQUE

En un premier lieu, il y a l'étude mathématique, qui fera la suite de ce que vous avez faitauparavant. Ainsi, cette étude se décompose-en :

1.1.1 HYDROSTATIQUE

L'hydrostatique est l'étude des liquides en équilibre (repos). C'est le cas des études de lastabilité des barrages (et tout ouvrage hydraulique d'une façon générale), sous l'effet des massesd'eau exerçant d'énormes forces de pression.

1.1.2 HYDRODYNAMIQUE

L'hydrodynamique est l'étude des écoulements des liquides en mouvement, elle sedécompose-en:

1.1.2.1 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS

Pour simplifier l'étude au début, il sera supposé que le liquide soit parfait. C'est à dire, queles forces résistantes (frottements, ...) soient nulles. Ainsi, cette première approche donnera uneidée sur la théorie des écoulements.

1.1.2.2 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES RÉELS

Une fois l'étude simplifiée sera faite, l'étude de l'hydrodynamique des liquides réels seraentamée, vu que rien n'est parfait. A ce niveau, les forces résistantes ne seront plus négligées, ettrès vite, l'étude deviendra trop complexe. C'est à dire, elle aboutira à un ensemble d'équations quine peuvent pas être résolues facilement. D'où, le recours plutôt à des études simplifiées,reposantes sur des expériences beaucoup plus que sur la théorie mathématique.


1.2 ÉTUDE EXPÉRIMENTALE

Vu la complexité de l'étude précédente (étude mathématique), les hydrauliciens sont obligés àla compléter par les études expérimentales. Cette science portera le nom de l’HYDRAULIQUE, etdéveloppera un ensemble de lois simples qui :

Remplacent la résolution des équations complexes de l'étude précédente (mathématiques). Donnent un ensemble de formules empiriques (approchées et non mathématiques)

aboutissant à des solutions simples, non exactes ; mais bien adaptées.

Sur ce, le présent plan d'étude sera suivi pour étudier cette matière D'HYDRAULIQUEGÉNÉRALE en un volume horaire d'une centaine d'heures pour le cours, TD et TP.

N.B: Ce cours sera complété par d’autres cours pour étudier:

Les écoulements souterrains (voir hydrogéologie) Les turbines et pompes (voir machines hydrauliques)

Pour mieux suivre ce cours, il faudra maitriser auparavant:

En cours de mathématiques

o La dérivée et le calcul des erreurs.o Les intégrales et le calcul des surfaces.o Les formes géométriques et la trigonométrie.o Le calcul d'une moyenne de données, son écart type.o Le calcul de la régression linéaire (méthode des moindres carrés)

En cours de physique

o Les systèmes des unités (S.I., ...)o La composition et décomposition des forces.o La loi fondamentale de la dynamique.o Les énergies (Potentielle, cinétique, ...)o L'équilibre d'un système matériel (en rotation)

En cours d’Excel (informatique)

o Faire une feuille de calcul avec des formules et/ou des fonctions.o Résoudre une équation (ou inéquation): valeur cible.o Résoudre des équations (ou inéquations) à plusieurs variables: Solveur.o Tracer un graphe à partir d'une feuille de calcul.o Habiller un graphe.o Déterminer l'équation de la régression linéaire

NOTA : Au cours du déroulement de ce cours, vous aurez à :

Faire des devoirs (surveillés et / ou non) Passer des tests de connaissances Rédiger le compte rendu des Travaux Pratiques Passer les contrôles qui seront affichés régulièrement

Et le tout sera compté pour la note finale.


CHAPITRE VOLUME HORAIRE

1. INTRODUCTION 2

2. GÉNÉRALITÉS 4

3. HYDROSTATIQUE 8

4. CINÉMATIQUE DES LIQUIDES 4

5. HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS. 8

6. HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES RÉELS 16

7. ÉCOULEMENT EN CHARGE. 14

8. ÉCOULEMENT A SURFACE LIBRE. 15

9. RÉCAPITULATION. 2

10. TRAVAUX PRATIQUES. 20

CONTRÔLES 8

VOLUME HORAIRE TOTALE ≈ 100

Sur ce, le plan d’étude sera le suivant :


2 GÉNÉRALITÉS

2.1 DÉFINITION

Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particulesmatérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est doncun milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler.

Il en résulte que les liquides n’ont pas de forme propre, et ils se moulent à la forme durécipient qui les contient. Ainsi, et comme tout corps, les liquides ont un ensemble de propriétés quiles caractérisent:

2.2 EN HYDROSTATIQUE

En hydrostatique, la force dominante est la force d’inertie (masse), qui se caractérise par levolume, et par la suite, on a:

La masse volumique. Le poids spécifique. La densité. La pression.

2.2.1 MASSE VOLUMIQUE

La masse volumique est la masse de l’unité de volume d’un corps donné, et qui se note par:

VMVolumeMasseRHO

Pour le cas de l’eau, on a en général, ≈ 1 tonne/m3

Équation aux dimensions : Masse * Long –3 ; Soit en S.I, on a : Kg/m3 dans le systèmeinternational (S.I)

Exemple : Calculer la masse volumique +/- Δ d’un liquide de volume V = 5 l +/- 0.005 let de masse M = 4 kg +/- 10 g 800 +/- 2.8 Kg/m3

ρ = Masse / Volume = 4 kg/5 L = 4 000 Kg/5 m3 = 800 Kg/m3

Pour les erreurs, le plus simple est de passer par le logarithme.

Ln ρ = Ln (M / V) = Ln M – Ln V

Et la différentielle sera dρ / ρ = dM / M - dV / V

En incertitude, le signe n’est jamais connu, par suite, le signe plus l’emporte. Soit :

Δρ / ρ = ΔM / M + ΔV / V = 10/4 000 + 0.005/5 = 0.35%Δρ = 0.35% * 800 = 2.8 Kg/m3


2.2.2 POIDS SPÉCIFIQUE

Le poids spécifique est le poids de l’unité de volume d’un corps donné, et qui se note par :

VPVolume

PoidsPSI

Le poids spécifique est relié à la masse volumique par : Ψ = g

Avec : : Masse volumique en kg/m3, équation aux dimensions [M * L-3]g : Accélération en m/s/s, équation aux dimensions [L * T-2]Ψ : Poids spécifique en N/m3, équation aux dimensions [M * L-2 * T-2].

Pour le cas de l’eau, on a en général, Ψ ≈ 10 000 N/m3

Exemple : Calculer le poids spécifique d’un liquide de volume V = 5 l et de masse M = 10 Kg.On prend g = 10 S.I 20 000 N/m3

Il suffit d’appliquer tout simplement la formule :

Ψ = P / V = Mg / V = 10 * 10 / 5 N/L = 20 N/L = 20 000 N/m3

2.2.3 DENSITÉ D’UN CORPS

La densité d’un corps est un nombre sans dimension, qui exprime le rapport du poids (ou lamasse) de ce corps au poids (ou la masse) d’un volume égal d’une substance prise commeréférence.

Pour les liquides, la substance de référence est l’eau prise à 4 °C

Après transformation, et en fonction de la masse volumique, elle sera donnée par la formulesuivante:

Exemple : Calculer la densité d +/- Δd d’un liquide de masse volumique 0.95 +/- 0.05 Kg/l si onadmet que celle de l’eau est 1 000 Kg/m3. 0.95

d = ρc ρe = 0.95 Kg/L * 1 / 1000 kg/m3 = 0.95 (Sans unité)

Δd d = Δ ρc / ρe = 0.05/0.95 = 0.053 (Sans unité)

Nota : Il faut toujours faire attention au changement des unités (et les transformations …).

Masse de ce liquideDensité d’un liquide =

Masse d’un égal volume d’eau

d = ρ l / ρ e


2.2.4 PRESSION

La pression est le rapport de la force rapportée à la section qui la supporte:

Section

Forceession Pr

Et ceci représente la pression moyenne, alors que la pression en un point sera la dérivée dela fonction force par rapport à la section qui la supporte.

dSdFP Avec :

F : Force en NEWTON → [M * L * T-2] et en S.I, c’est le newton NS : Section en m2 → [L 2]P : Pression en PASCAL → [M * L-1 * T-2] et en S.I, c’est le pascal Pa

Unités utilisées en hydraulique : Bien se rappeler que :

1 Pa = 1 N/1 m2 (en système international)1 Kgf / cm2 : Poids d’une masse de 1 kg sur une section de 1 cm2

1 mCE : l’équivalent de la pression exercée par une colonne d’eau de 1 mètre de hauteur.

Exemple : Donner l’équivalence d’un Pascal en kgf/m2 et réciproquement.

1 Pa = 1 N/1 m2 = 0.1 Kgf/10 000 cm2 = 10-5 Kgf/cm2

1 Kgf / cm2 = 10 N/(0.01)2 m2 = 10/10-4 N/m2 = 105 Pa

Remarque : Il faudra faire attention aux unités ; et surtout, ne pas oublier de les noter.

2.2.5 MODULE D’ÉLASTICITÉ

Le module d’élasticité exprime la compressibilité d’un liquide : C’est le rapport de lavariation de la pression à la variation du volume par unité de volume.

VdV

dPE

Avec :

E : Module d’élasticité en kg/ms2→ [M * L-1 * T-2]dP : Variation de la pression en Pascal. →[ M * L-1 * T-2]dV et V : Variation du volume et le volume en m3. → [L3]

Remarque : L’équation aux dimensions du module d’élasticité est équivalente à celle de lapression. C’est le [M*L-1 * T-2]


En général, il est admis que la compressibilité de l’eau est négligeable. Mais, pour l’étude dequelques cas particuliers (Étude du coup de bélier par exemple), cette variation est prise enconsidération

Bien remarquer que dP et dV sont de signe contraire, c’est à dire :

Quand (P ↑ → V ↓) ↔ (Δ P > 0 → ΔV < 0)Quand (P ↓ → V ↑) ↔ (Δ P < 0 → ΔV > 0)

Exemple : calculer le module d’élasticité d’un liquide, si on a un volume de 30 dm3 à lapression de 35 kgf/cm2 et un volume de 29.7 dm3 à la pression de 250 kgf/cm2. 2.15 * 109 Pa

Δ P = 35 - 250 = - 215 kgf/m2

ΔV = 29.7 - 30 = 0.3 dm3

ΔP 215E = = = 21 500 kgf/cm2 = 2.15 * 109 Pa (Attention aux unités)

ΔV / V 0.3 / 30

2.3 EN HYDRODYNAMIQUE

Si en hydrostatique, la force de l’inertie est la force dominante, en hydrodynamique, laforce dominante est la résultante des forces résistantes à l’écoulement. Ainsi, ces forces résistantes(de frottement) se décomposent- en:

Frottements entre molécules du liquide entre elles quand elles se déplacent, C’estla force de viscosité.

Frottements entre molécules du liquide et la paroi qui supporte l’écoulement duliquide, C’est la force de rugosité.

2.3.1 FORCE DE VISCOSITÉ

Les forces de viscosité représentent des forces résistantes aux efforts tangentiels quitendent à faire déplacer les couches du liquide les unes par rapport aux autres.

2.3.2 FORCE DE RUGOSITÉ

Les forces de rugosité représentent des forces résistantes dues à l’interaction entre lesmolécules du liquide et la paroi qui les supporte lors de l’écoulement.

Exemple d’illustration :

Dans un écoulement à travers un canal ou plutôt un oued, vous remarquez qu’enconséquence de ces deux notions de viscosité et rugosité, on a :

La vitesse au bord de l’oued est presque nulle. Alors que la vitesse au centre est maximale.


EXERCICES

Objectifs : Se familiariser avec les unités et les changements d’unité

Exe 1 : Calculer la masse d’un liquide M +/- ΔM de volume V = 5 l +/- 0.01 l et de massevolumique 0.84 kg/dm3 (= une constante) = 4.2 +/-0.008 kg

Exe 2: Calculer le volume d’un liquide de masse volumique 1.04 kg/dm3 et de masse M = 1.02 t= 0.98 m

3

Exe 3 : Calculer le poids d’un liquide de volume V = 5 m3 et de poids spécifique = 100 N/l. = 500KN

Exe 4 : Calculer le volume d’un liquide V de poids 4.5 kgf et de poids spécifique 90 N/l. =0.5 L

Exe 5 : Calculer le poids spécifique d’un liquide de masse volumique = 0.85 Kg/l si on admet quel’accélération terrestre g = 9.81 m/s/s. Vérifier l’équation aux dimensions ! ? = 8.34 N/L

Exe 6 : Calculer la masse volumique d’un liquide de densité 1.02 si on admet que la massevolumique de l’eau est 1 Kg/l. = 1.02 Kg/L

Exe 7: Calculer la pression qu’exerce une force F = 120 kgf sur une section de rayon R = 5 cm.=150 Pa

Exe 8: Calculer la force exercée si la pression est 1.5 Pa sur une section carré de coté C = 0.5 m= 0.375 N

Exe 9 : Calculer la section (en cm2) qui supporte une pression es 1.5 Kgf/cm2 si la force exercéeest de F = 125 N. = 8.3 cm

2


EXERCICE DE RECHERCHE

On vient de voir que 1 Pa = 10-5 Kgf/cm2. Calculer sur ce principe de raisonnement ce quisuit :

1. Calculer 1 Pa en mCE

P = 1 Pa = ρg * h →h = P / ρg = 1 Pa/1 000 Kg/m3/10 m/m/s = 10-4 mCE

2. Calculer 1 mCE en Pa

P = ρg * h 1000 Kg/m3 * 10 m/m/s * 1 mCE = 10-4 mCE

3. Calculer 1 Kgf/cm2 en mCE

P = F / S = 1 Kgf/1 cm2 = 10 N (0.01 m) 2 = 10 N/(0.01 m) 2= 10 5 PaOr 1 Pa = 10-4 mCESoit : 1 Kgf/1 cm2 = 10 5 * 10-4 = 10 mCE

4. Calculer 1 mCE en Kgf/cm2

5. Faire le tableau résumé

Pa Kgf/cm2 mCE

1 Pa ------ 10-5 10-4

1 Kgf/cm2 105 ------ 10

1 mCE 104 0.1 -----


3 HYDROSTATIQUE

3.1 PRESSION EN POINT

Soit un vase contenant un liquide, de poids P. Ce poids exerce une pression sur un élémentde surface de la paroi.

On définit la pression moyenne par le rapport de ce poids sur la section correspondante à cepoids.

Et d’une façon générale, on a

Et, mathématiquement, on en un point par la dérivée de la force par rapport à la section, soit:

Remarque :

Pour simplifier les calculs, la force (ou poids) est prise perpendiculaire à la section surlaquelle elle s’exerce.

Si le vase contient plusieurs liquides superposés de haut en bas, la pression aux niveaux 1,2, 3, … sera :

EXEMPLE : Soit un réservoir contenant des liquides non miscibles (voir tableau) :

1. Superposer les liquides correctement dans le réservoir.

2. Calculer la pression au fond de chaque liquide superposé dans le réservoir.

L1 L2 L3 L4H 0.255 m 26.4 cm 4.56 dm 125 mmΡ 1.05 kg/l 1.150 kg/l 0.800 t/m3 0.650 kg/dm3

P1 = ρ1gH1

P2 = ρ1gH1 + ρ2gH2

P3 = ρ1gH1 + ρ2gH2 + ρ3gH3

GÉNÉRALISATION

P = ΣPi = = Σ ρigHi

Niveau 1

Niveau 2

Niveau 3

Pression = Poids / Surface = ρg H

Pression = Force / Surface

Pression = d (Force) / d (Surface)


.

CAS PARTICULIER :

Si le liquide supérieur est soumis à une pression donnée Pd, la formule de la pressiondevient selon le même principe :

diii PHgPP

3.2 PRESSION ATMOSPHERIQUE

Si on remplace le conditionnement précédant, par la pression atmosphérique, aura-t-on lemême résultat ?

Pour répondre à la question précédente, faisons l’expérience suivante.

Par suite, la hauteur du mercure dans l’éprouvette se stabilise à une hauteur (par rapport à lasurface du mercure dans la cuve) h ≈ 76 cm.

Ainsi, on détermine la pression atmosphérique par cette hauteur.

Exemple :

Calculer la pression atmosphérique en pascal, kgf/cm2 et en mCE, si on vous donne la densitédu mercure d = 13.6.

Patmos = 76 cm Colonne de Mercure = ρm * g * Hm → Ce qui définit une atmosphère.

Par expérience, on a Patmos = 76 cmCHg (au niveau de la mer)

L4

L3

L1

La pression atmosphérique est la pression qui nousentoure, pour la mettre en évidence et la mesurer, renversantun tube à essai (éprouvette) rempli de mercure sur une cuvede mercure aussi.

La hauteur du liquide diminue dans l’éprouvette et faitcréer du vide en haut de celle ci (vu qu’il ne peut y entrer

L2

Patmos = 76 cm Colonne de Mercure.

Il suffit d’appliquer la formule P = ΣPi = Σ ρigHi à différentniveau des liquides.

P4 = ΣPi = Σ ρigHi = 650 * 10 * 0.125 = 812.5 Pa

P3 = ΣPi = Σ ρigHi =812.5 + 800*10*0.456 = 4 460.5 Pa

P1 = ΣPi = Σ ρigHi = = 7 138 Pa

P2 = ΣPi = Σ ρigHi = . . . .

N.B : Bien faire attention aux unités


Patmo = ρm * g * Hm = ρe * g * He. Soit : He = ρm / ρe * Hm = d * Hm = 10.34 mCE

Et de la même façon, on a : Patmo = ρm * g * Hm = 1 000 * 9,81 * 10,34 = 103 360 Pa ≈ 105 Pa = 1atmosphère

En conclusion : 1 Atmosphère = 10.34 mCE = 0.76 mCHg ≈ 105 Pa

Remarque : Noter le passage d’une unité à une autre

3.3 PRESSION RELATIVE, ABSOLUE

Revenons à l’expérience précédente, la pression au fond du vase, est la pression absolue ;Soit, on a la formule de la façon suivante :

Pab = ρgH + Pat

0 Patmos Pab

0 Prel

EXEMPLE 1

Calculer la pression relative et absolue au fond d’un vase de hauteur h = 1.3 m. (On vousdonne si la densité du liquide d = 1), en mCE, Pascal et en Kgf/cm2. g = 10 S.I

Rappel : Le liquide qui a une densité d = 1 est le liquide de référence : C’est l’EAU

Prel =1.3 mCE = ρe * g * He = 1 000 * 10 * 1, 3 = 13 000 PaPab = Prel + Patmos = 1,3 + 10,34 = 11.64 mCE = 1 000 * 10 * 11,64 = 116 400 Pa

EXEMPLE 2 :

Calculer la hauteur d’un liquide qui provoque une pression relative 21.04 mCE si la densitéde ce liquide est d = 1.3

La pression est toujours donnée par la formule :

P = ρe * g * He = = ρl* g * Hl et d = ρl / ρe

D’où, on déduit que : Hl = (ρe / ρl) * He Soit Hl = He / d = 21,04 / 1,3 = 16.18 mCL

Attention : Il y a unchangement d’origine sur l’axe.

Dans la pratique, et en hydraulique en particulier,il ne sera pris en compte que la pression relativecorrespondante à la hauteur en eau. C’est à dire que lapression atmosphérique n’est pas prise enconsidération ; et on a :

Pat = 0Prel = ρgH


3.4 VASES COMMUNICANTS

3.4.1 PRINCIPE DE PASCAL

Dans un liquide incompressible en équilibre, les variations de pression se transmettentintégralement et en tout sens.

3.4.2 LA PRESSE HYDRAULIQUE

Considérons deux vases communicants, et contenant un liquide incompressible, où sontplacés deux pistons mobiles, sans frottement, de même section que le vase ( S et s ) et de poids Fet f.

Et pour P = p, h = 0 : C’est-à-dire que les deux pistons sont à la même verticale (le niveau duliquide dans le vase communicant est le même).

EXEMPLE : Calcul de la force de freinage d’un véhicule

Calculer la force de freinage F appliquée sur un véhicule, si le conducteur applique une force surla pédale de freinage f = 10 N ≈ 1 Kgf.

On vous donne s = 1 cm2, S = 1 dm2

On admet qu’avant le freinage du véhicule, le système hydraulique de freinage était en équilibre.

Le système hydraulique de freinage est un système fermé, si on applique une force f sur lasection s. Au niveau des roues, il s’applique une force F sur une section S du vase communicant.

Par suite, on a: F / S = f / s

D’où, on déduit: F = f * S / s = 10 N * 1 dm3/1 cm3 = 1000 N ≈ 100 Kgf

3.5 NOTION DE L’ÉQUILIBRE

3.5.1 PRINCIPE PHYSIQUE

Un objet est en équilibre, veut dire que :

Il ne subit pas de translation. Il ne subit pas de rotation (non plus)

Pour quelles pressions P et p aura-t-on h = 0 ?

Sous le grand piston, on a une pression P = F / S

Sous le petit piston, on a une pression p = f / s

Vu le principe de Pascal, on a : P + ρgh = p

Soit : P – p = ρgh


3.5.2 ÉQUATIONS DE L’ÉQUILIBRE

Ce principe de l’équilibre se traduit par :

Σ F = 0 pas de translation

Σ MF / 0 = 0 pas de rotation

3.6 NOTION DU CENTRE DE GRAVITE

3.6.1 PRINCIPE DE L’ÉQUILIBRE

Appliquons ces notions de l’équilibre pour trouver le centre de gravité d’un corps donné ;dans un repère cartésien.

YG

XG dxSur ce, ce paragraphe expose de cas simples pour se préparer aux exemples pratiques qui

se rencontrent en hydraulique.

3.6.2 CENTRE DE GRAVITE D’UNE BARRE

Si on considère que la barre est homogène, c’est à dire que la masse est bien répartie sur sa longueur ; On définit la masse linéairepar :

3.6.3 CENTRE DE GRAVITE D’UN RECTANGLE

Si on considère que le rectangle est homogène, c’est à dire que la masse est bien répartiesur sa surface ; On définit la masse surfacique par :

XG dx

On définit le centre de gravité G, par levecteur OG, de composantes XG, YG et ZG, enfonction du moment de force (le poids parexemple dans de cas) par :

dm

xdmX G

*,

dm

ydmYG

*et

λ = M / L = dm / dx = Cste . Par suite, on a :

dm

xdmX G

*

dx

dxx

*

**

L

L

dx

dxx

0

0

*

= L / 2

Xg = L / 2

σ = M / S = dm / dS = Cste . Par suite, on a :

dxH

dxxHX G

**

***

=

L

L

dx

dxx

0

0*

= L / 2

XG = L / 2

Idem on démontre que YG = H / 2

H

L

Xg dx

Yg

L

XgL

Dx


3.6.4 CENTRE DE GRAVITE D’UN TRIANGLE

Si on considère que le triangle est homogène, c’est à dire que la masse est bien répartie sursa surface ; On définit la masse surfacique par :

3.6.5 AUTRES EXEMPLES

Soit à calculer le centre de gravite des figures suivantes :

3.7 CALCUL DE FORCES DE PRESSION

3.7.1 SUR LE FOND D’UN VASE

H

σ = M / S = dm / dS = Cste . Par suite, on a comme pourle rectangle

dxh

dxxhX G

**

***

=

L

L

dxax

dxxax

0

0

*

**

Avec : a = le coefficient de la pente tel que a = H / L.

Une fois l’intégrale faite, on trouve : XG = 2 * L / 3

Idem, on démontre que : YG = H / 3

On définit la pression sur le fond, pour un élément desurface du vase par :

P = d(Force) / d(Surface) = d(Poids) / d(surface) = ρgH

d(Force) = ρgH * d(surface) = ρgH * ldx

Force = ρ*g*H* l* dx = ρ*g*H*l*L = ρ*g*H*S

= ρ*g*V = g*m = poids

La force qui s’exerce sur le fond d’un vase est le poids en eauque contient ce vase.

L

Xgdx

Yg

H

Ldx

Xg = L / 3 ?

Yg = H / 3 ?Xg = 2 * L / 3 ?

Yg = 2 * H / 3 ?


3.7.2 SUR LA PAROI D’UN VASE

EXEMPLE : Une vanne hydraulique ayant les dimensions H = 1.5 m, L = 2 m ; fait face àl’écoulement de l’eau à travers un canal. Quand le débit devient nul, la hauteur de l’eau dans lecanal devient H = 1.2 m. Calculer :

1. La section de la vanne faisant face à l’écoulement.

S = H * L = 1.2 * 2 = 2.4 m2

2. La force de pression de l’eau qui s’exerce sur la vanne

Fp = ρ * g * SL* H / 2 = 1 000 Kg/m3 * 10 m/s/s * 2.4 m * 0.6 m = 14 400 N

3. Faire un schéma représentant la force de poussée.

3.8 CENTRE DE POUSSEE D’ARCHIMEDE

3.8.1 PRINCIPE

Quand un corps solide se trouve dans un liquide, il est sous l’action de deux forces : Son poids Pm = mg, qui s’applique au centre de gravité G La poussée du liquide PL, égale au poids de ce liquide déplacé, qui s’applique au centre de

carène C

Pour que le corps soit en équilibre dans l’eau, il faut et il suffit que le poids de ce corps soitégal à celui du liquide dont il tient la place, et que le centre de gravité du solide et le centre decarène soient sur la même verticale.

H

On définit la pression sur la paroi du vase par : P=ρgh avec h qui varie de zéro (à la surface de l’eau)jusqu’à h = H (fond du vase)

d (Force) = ρgh * d(surface) = ρgh * ldh

Force = ρ*g * l* h* dh =1/2 * ρ*g* *l * H2 = ρ * g * SL * H/2 avec SL = H * l

La force qui s’exerce sur la paroi d’un vase s’exprimepar :

Force = ρ*g*SL*H/2 avec SL = H*l * Surfacelatérale

L

h

l


Pm = ρm g V PL= ρLg V

Et par suite, on a :

Pour ρm > ρL, le corps est soumis à la force Pm - PL qui le fait descendre dans le liquide. Pour ρm < ρL, le corps est soumis à la force PL - Pm qui le ramène à la surface du liquide,

où il flotte.

Exemple :1. Un bateau (construit en fer) va-t-il flotter ou non ?2. Et s’il est rempli en eau entièrement, va-t-il flotter ou non ?3. Justifier vos réponses !

3.8.2 CALCUL DU CENTRE DE POUSSEE

Soit un vase rempli en eau dont on veut déterminer le centre où s’applique la poussée de l’eau.

Est-ce que ce centre de poussée est confondu avec le centre de gravité ?

Si non, déterminer les coordonnées de ce centre.

3.8.2.1PROJECTION SUR LE FOND D’UN VASE

Soit une colonne en eau, de hauteur H, de largeur l et de longueur dx. Son volume sera :

dx*gHlxx*ldx)gH(/0dML

0

dF = ρg HlL 2/ 2 = ρg * HlL* L / 2 = poids * L / 2

En conclusion; les coordonnées du centre de poussée, sur le plan x0y sont : L / 2 et l / 2

Odx

Pour qu’en outre l’équilibre soit stable, il suffit que le centre degravité G soit au-dessous du centre de carène C

Si dans ce cas, le corps subit un petit déplacement, le couple formépar (Pm et PL) détermine une rotation qui ramène ainsi le corps à saposition d’équilibre.

D’une manière générale, soit V le volume de ce corps solideimmergé, ρm sa masse volumique, et ρL la masse volumique du liquide ; ilvient :

PL

Pm

dV = l * H * dx et exerce une pression au fonddu vase telle que :

Pr = d(poids) / d(section) = ρg * dV / dSPr = ρg * dV / dS = ρg * lH*dx / ldx = ρgH

Et par suite, l’élément de force sera :dF = Pr * dS = ρgH * ldx

Et son élément de moment sera par rapport aucentre :

H

L

l


3.8.2.2 PROJECTION SUR LA PAROI D’UN VASE

3.9 NOTION D’APPAREIL DE MESURE

3.9.1 MESURE DE LA VARIATION DE PRESSION

La mesure de la pression peut se faire par l’installation de tube vertical à travers lequel l’eaupourra monter librement. C’est ce qui s’appelle un tube piézométrique et qui sert à mesurer lapression en un point de la conduite. Grâce à un tube piézométrique, la ligne piézométrique pourraêtre matérialisée point par point.

Remarque

Dans la pratique, la pression risque d’être trop grandes (quelques dizaines de mètrescolonne d’eau), ce qui rend l’utilisation des tubes piézométrique inadaptées. D’où le recours à dessystèmes qui donnent directement la variation de pression dont l’utilisateur a besoin, (comme dansde pareil cas), et surtout qui se manifestent par des dimensions faibles.

3.9.2 MANOMÈTRE DIFFÉRENTIEL

C’est un appareil (tube) en forme de ‘U’ dont les deux bouts sont reliés aux points de mesuredes pressions. Le liquide qu’il contient est du mercure (d = 13.6) qui lui permet d’avoir desdimensions relativement faibles.

)1(21 e

m

eH

gPP

, Soit en conclusion : Hg

PP

e

6.1221

N.B : La pression au point 1 (où la conduite est de grand diamètre) est plus grande qu’au point2 (où la conduite est de petit diamètre)

L

L

H

Au niveau du tube de mercure, on a :P3 = P1 + ρeg ΔZP4 = P2 + ρmg ΔH + ρeg (ΔZ - ΔH)

Par suite, on a :

P3 - P4 = P1 - P2 + (ρe - ρm) g ΔHOr, P3 = P4 : Ces deux points se trouvent au même niveauet dans le même liquide. Et en appliquant le théorème dePascal, on a :

P1 - P2 = (ρm - ρe) g ΔHPar la suite, la variation de pression dans le venturi entre lespoints P1 et P2, est :

dH


Exemple : Soit une conduite qui forme de tube de Venturi. En y appliquant un manomètredifférentiel, (voir fig) le mercure enregistre une variation de niveau de 15 cmCHg dans les branchesen U. Calculer la variation de pression correspondante en mCE.

En appliquant la formule, on a :

Δ P / ρg = 12.6 * ΔH = 12.6 * 0.15 cmCHg = 1.89 mCE

Attention : Bien faire la vérification de l’équation aux dimensions ! ? .


4 CINÉMATIQUE DES LIQUIDES

4.1 DÉFINITION

C'est l'étude du mouvement d'un liquide sans tenir compte des forces qui le produisent, on aseulement la relation entre le vecteur espace (position de la particule) et le temps.

4.2 TRAJECTOIRE

D'une façon générale, la trajectoire est l'ensemble des lieux géométriques des positionssuccessives occupées par la particule (ligne de courant).

Au cours du trajet de la particule, la vitesse, la pression,... de la dite particule varient avecl'espace et le temps ; on a ainsi :

La pression = f (x, y, z, t).

La vitesse = f (x, y, z, t).

4.3 RÉGIME PERMANENT

Le régime permanent est défini à chaque fois qu’on a une indépendance entre l'écoulementet le temps ; c'est à dire :

la masse volumique f(t) la vitesse u f (t) la pression p f (t)

Ainsi, pour un régime permanent, la masse volumique , la vitesse u et la pression p NEdépendent QUE de la position considérée dans l'ensemble du liquide en mouvement.

4.4 RÉGIME UNIFORME

Le régime uniforme est défini à chaque fois qu’on a une indépendance entre l'écoulementet l'espace ; c'est à dire :

la masse volumique f (x, y, z) la vitesse u f (x, y, z) la pression p f (x, y, z)

Ainsi, pour un régime uniforme, la masse volumique , la vitesse u et la pression p NEdépendent QUE du temps et non de la position considérée dans l'ensemble du liquide enmouvement.

Mais, La masse volumique, la vitesse et la pressionpeuvent être fonction de l’espace. Càd : = f (x, y, z), u = f (x, y, z) et p = f (x, y, z)

Mais, La masse volumique, la vitesseet la pression peuvent être fonctiondu temps. Càd : = f (t), u = f (t) et p = f (t)


4.5 RÉGIME PERMANENT ET UNIFORME

Pour le régime permanent et uniforme, l'écoulement NE dépend :

Ni du temps (notion du régime permanent) Ni de l'espace (notion du régime uniforme).

C'est à dire :

La masse volumique f (x, y, z, t) = constante La vitesse u f (x, y, z, t) = constante La pression p f (x, y, z, t) = constante

4.6 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ

L'équation de la continuité exprime que l'écoulement du liquide est continu, c'est à dire ; Qu'ilne peut y avoir :

Ni apport extérieur d'un volume donné à ce liquide Ni prélèvement d'un volume donné de ce liquide.

En d'autres termes, la masse du liquide se conserve au cours du mouvement.

4.6.1 CAS D'UN LIQUIDE INCOMPRESSIBLE

En se limitant à l'eau, comme un liquide incompressible, (en première approximation),l'équation de la continuité se traduit par:

u / x + v / y + w / z = 0 avec u, v et w sont les composantes de la vitesse U dans lerepère Oxyz

4.6.2 LUIDE INCOMPRESSIBLE EN ÉCOULEMENT UNIDIRECTIONNEL

Dans la pratique, les écoulements de l'eau se font dans des conduites (tuyaux et / oucanaux), c'est à dire que les écoulements ont en général, une seule direction dans leur sensd'écoulement.

L’eau ne peut s’écouler que le long de la conduite. Les composantes diamétrales v et w ne sont pas significatives

Par suite, la vitesse U (u, v, w) devienttout simplement : U (u, 0, 0).

En réalité, les composantes v et w ne sontnulles, mais négligeables devant la composanteprincipale u. Autrement dit :


En résumé :

L'équation de la continuité appliquée à un fluide incompressible (l'eau dans ce cas) enécoulement à travers une conduite (en écoulement unidirectionnel) devient :

v = 0, w = 0 et par suite u / x = 0 ;

Soit U (u = Cte, v = 0 et w = 0)

4.7 NOTION DE DÉBIT

4.7.1 DÉBIT VOLUMIQUE

On définit le débit comme étant le flux du vecteur vitesse 'u' à travers une section 's' telque :

Q = U * S = U * S * Cos Avec:

U : vitesse de l'écoulement du liquide en m/s ; [L] * [T-1]S : section à travers laquelle se fait l'écoulement en m2 ; [L2]Q : débit volumique en m3/s ; [L3] * [T-1]

: Angle que fait la vectrice vitesse avec la normale à la section.

Dans la pratique :

On considère que la vectrice vitesse est parallèle à la vectrice section ; d’où, on admet que

0° et par suite : Cos 1

Remarque : Souvent, on mesure aussi le débit en l/s, l/mn, l/h, m3/h, m3/j,...

4.7.2 DÉBIT MASSIQUE

Comme le débit volumique, on définit aussi le débit massique par Qm tel que :

Exemple : Soit une conduite de diamètre D = 60 mm à travers laquelle s'écoule un liquide (eau)avec une vitesse V = 1.2 m/s

*1 Calculer la section de la conduite 2.83 * 10-3 m2

S = * D2 / 4 = π * 0.062 / 4 = 2.83 * 10-3 m2

*2 Calculer le débit volumique en m3/s et en l/h 3.39 * 10-3 m3/s

Q = S * U = 2.83 * 10-3 * 1.2 = 3.39 * 10-3 m3/sQ = 3.39 * 10-3 * 1000 / 3 600 = L/h

U

S

Qm = * Q = * U * S


*3 Calculer le débit massique

Qm = * Q = 1000 * 3.39 * 10-3 = 3.39 kg/s

4.7.3 RELATION DÉBIT VOLUME

Par intégration de l'équation de la continuité Q = U * S, on a :

Q * dt = U * S * dt = S * dL = dV (Variation de volume)

Soit: Le débit peut s'exprimer aussi par la dérivée du volume écoulé rapporté au tempscorrespondant.

Avec :V : volume écoulé en m3 ; [L3]t : temps correspondant à l’écoulement en s ; [T]Q : débit volumique en m3/s ; [L3] * [T-1]

Exemple : Pour avoir un ordre de grandeur du débit écoulé à travers un conduite, on place uncylindre de diamètre D = 20 cm +/- 1 cm, et de hauteur H = 50 cm +/- 1 cm qui se remplit au boutd'un temps chronométré T = 10 s +/- 1 s

*1 Calculer le volume du cylindre 0.016 m3

V = * D2 / 4 * H = * 0.22 / 4 * 0.5 = 0.016 m3

*2 Calculer l'erreur de mesure du volume du cylindre 12 %

Ln V = Ln / 4 + 2 * Ln D + Ln HdV / V = 2 * d D / D + d H / H et en passant à l'erreur, on a :V / V = 2 * 1 / 20 + 1 / 50 = 12 %

*3 Calculer le débit écoulé à travers le robinet 1.6 L/s

Q = V / T = 0.016 / 10 = 1.6 L/s

*4 Calculer l'erreur de mesure du débit écoulé à travers le robinet 22 %

Q / Q = V / V + T / T = 12% + 10% = 22 %

*5 Comment peut-on augmenter la précision ?

Pour augmenter la précision, on a intérêt à :

o Augmenter la précision des mesures du cylindre qui a donné une erreur de 12 % enpremier lieu.

o Et par la suite augmenter la précision du temps qui a donné une erreur de 10 %.

Soit ; globalement, on a une erreur de 22 %

Q = dV / dt = V / t


4.7.4 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ

En résumé:

Dans tout ce qui suit, il ne sera traité que les écoulements permanents. Les écoulementsnon permanents seront traités juste pour expliquer un phénomène existant et passager tel que lanotion du coup de bélier (voir Station de pompage).

EXEMPLE:

Soit une conduite, qui transite un écoulement d'eau avec une vitesse V = 0.8 m/s, ayant undiamètre D = 600 mm.

*1 Calculer la section de la conduite. 0.28 m2

S = * D2 / 4 = * 0.62 / 4 = 0.28 m2

*2 Calculer le débit (en l/s, l/h, m3/s, m3/h) 0.224 m3/s 806 400 l/h

Q = U * S = 0.8 * 0.28 = 0.224 m3/s

Q = 0.224 * 1 000 = 224 l/s

Q = 224 * 24 * 3 600 = 806 400 l/h

Q = 806 400 / 1 000 = 806.4 m3/h

Remarque : Faites attention aux changements des unités

*3 Calculer la vitesse si le diamètre de la conduite passe à D = 500 mm

Q = U1 * S1 = U2 * S2

= U1 * * D12 / 4 = U2 * * D2

2 / 4

= U1 * D12 = U2 * D2

2

Soit : U1 = U2 * D22 / D1

2 = 0,8 * 6002 / 5002 = 1,15 m/s

L'équation de la continuité simplifiée (outransformée) dans une conduite ou un canal dediamètre constant s'exprime par la constance du débit

Q = U1 * S1 = U2 * S2 = U3 * S3

= … = Cste


EXERCICES

Exe 1 :

Appliquons l'équation de la continuité Q = U * S, d'où on tire : U = Q / S avec :

La section est S = * D2 / 4 = * 0.152 / 4 = 0.0177 m2

Le débit volumique s'exprime en fonction du débit massique par : Qm = * Qv. D’où:

Qv = Qm / = 3 800 kg/j / 800 Kg/m3 = 4.75 m3/j = 4.75 / 86400= 0.055 *10-3 m3/s =0.055 L/s

Soit enfin de compte U = Q / S = 0.055 * 10-3 / 0.0177 = 0.0031 m/s

Exe 2 :

Appliquons l'équation de la continuité Q = U * S, d'où on tire :

S = Q / U avec = π * D2 / 4. Soit D = 2 * (Q / π * / U) 1/2

App.Num D = 2 * (7 200 / 3 600 m3 / s / π / 3) 1/2 = 0.921 m

Exe 3 :

1. La section étant rectangulaire, S = L * H = 1 * 0.5 = 0.5 m2

Par suite U = Q / S = (4160 / 3600) / 0.5 = 2.3 m / s

2. Le calcul inverse sera S = L * H = Q / U. D'où on tire

H = (Q / U) / L = 4000 / 3600 / 2.3 / 1 = 0.48 m

Quelle est la vitesse de l’huile qui s’écoule dans une conduitede 15 cm de diamètre si le débit est de 3 800 kg / j. On admet que lamasse volumique de l’huile est 0.8 kg / L 0.003 1 m / s

De quelle taille devra être un tuyau qui fera écouler un débitde 7200 m3/h si la vitesse sera de 3.0 m/s 0.921 m

Soit un canal rectangulaire de lit L = 100 cm et detirant d’eau H = 50 cm qui transite un débit Q = 4 160 m3/h.

1. Calculer la vitesse de l’écoulement 2.3 m/s2. Quel est le tirant d’eau si le débit passe à 4 000 m3/h

sans que la vitesse change. 0.48 mL

H


Exe 4 :

Appliquons l'équation de la continuité Q = U * S, d'où on tire :

S = Q / U avec S = π * D2 / 4.

Soit D2 = 2 * (Q / π / U2) 1/2 = 2 * (0.01 / π / 3.54) 1/2 = 0.06 m = 60 mm

Soit : U1 = 4 * Q / π / D12 = 4 * (0.01 / π / 0.12) = 1.27 m/s

V = Q * t = 0.010 * (3600 * 1.5) = 54 m3

Exe 5 :

Appliquons l'équation de la continuité Q = U * S, avec S = π * D2 / 4

Q = U1 * π * D12 / 4 = U2 * π * D2

2 / 4 d'où, on tire que U1 * D12 = U2 * D2

2

Soit: U2 = U1 * (D1 / D2)2 = 2 * (100 / 60)2 = 5.56 m/

Q = U1 * π * D12 / 4 = 2 * * 0.12 / 4 = 0.016 m3/s = 16 L/s

Qm = ρ * Qv = 1250 * 0.016 = 19.64 kg/s

Exe 6:

Appliquons l'équation de la continuité Q2 = U2 * S2, avec S2 = π * D22 / 4

Q2 = U2 * π * D22 / 4 = 0.12 * π * 0.052 / 4 = 0.236 m3/s = 236 l/s

ET Q3 = Q1 - Q2 = 254 - 236 = 18 L/s

Soit en fin de compte U3 = 4 * Q3 / π / D32 = 4 * (0.018 / π / 0.122) = 1.38 m/s

Soit une conduite qui débite 10 L/s. Déterminerla vitesse U1 et le diamètre D2 si on a D1 = 100 mm etU2 = 3.54 m/s.

Calculer le volume écoulé en 1 h 30 mn 54 m3

Soit une conduite le diamètre D1 = 100 mm, U1 = 2m/s et D2 = 60 mm. Déterminer la vitesse U2, le débit Q et ledébit massique Qm si la masse volumique est 1.25 t / m3

5.56 m/s 16 L/s 19.64 kg/s

Un tuyau de diamètre D1 = 15 cm transportant undébit Q = 254 L/s, se ramifie en 2 branches de diamètresD2 = 5 cm et D3 = 12 cm.

Calculer la vitesse V3 si V2 est égale à 0.12 m/s


Exe 7:

1. S = Sr + 2 * St = L* H + 2 * H * H / 2 = H * (L + H) = 0.5*(0.4+0.5) = 0.45 m2

2. U = Q / S = 3000 / 3600 / 0.45 = 1.85 m/s

3. S = Q / U = 2500 / 3600 / 1.85 = 0.375 m2,

D'où on tire : H2 + 0.4*H - 0.375 = 0 équation du second degré qui donne H = 0.45 cm

Exe 8:

1. S = (ρ * D2 / 4) / 2 = 0.063 m2

2. Uap = L / T = 50 / 60 = 0.833 m/s

3. Q = U * S = 0.833 * 0.063 = 52 l/ s

Exe 9

Expliquer pourquoi un fillet liquide se rétrécit dans sa chute?

Soit un canal trapézoïdal de lit L = 40 cm, de tirantd’eau H = 50 cm et de pente de talus = 45° qui transite undébit Q = 3000 m3/h

1. Calculer la section offerte à l’écoulement 0.45 m2

2. Calculer la vitesse moyenne de l’écoulement 1.85m/s3. Quel est le tirant d’eau si le débit passe 2500 m3/h eton admet que la vitesse reste constante. 0.45 cm

Soit un canal semi circulaire de rayon R = 20 cm,dont on veut savoir le débit qui s’écoulera à travers celui-ci.

1. Calculer la section offerte à l’écoulement 0.063 m2

2. On place un flotteur que l’eau emporte sur unelongueur de 50 m en un temps t = 60 s. Calculer lavitesse approximative de l’eau 0.833 m/s

3. Quel est le débit écoulé ? 52 l/s


Applications

1. Longueur de regard de chute

1. S = (π * D2 / 4) / 2 = (π * 12 / 4) / 2 = 0.78 m2

2. U = Q / S = 0.6 / 0.78 = 0.77 m/s

3. En appliquant la loi fondamentale de la dynamique, et en supposant que l’eau a une vitesseinitiale horizontale de U = 1.53 m/s, on a :

L’accélération a = g (§ Orientation des axes)

La vitesse Uy = g * t et Ux = une Constante = 1.53 m/s (§ La composition de la vitesseselon l’orientation des axes)

L’espace Y = ½ * g * t2 et X = Ux * t ; Soit : t = X / Ux

Y = ½ * g * (X / Ux) 2

D’où on déduit X = Ux * (2 * Y / g) 1/2

Vérifier l’équation aux dimensions

Soit L = Ux * (2 * Y / g) 1/2 =

Soit un canal demi-circulaire qui transite un débit q = 600l/s et ayant un diamètre d = 1000 mm.

1. Calculer la section offerte à l’écoulement.2. Calculer la vitesse de l’écoulement.3. Pour ne pas éroder le regard de chute, quelle doit être la

longueur minimale de ce regard si H = 1 m et h = 10 cm(voir schéma)


2. Étude d’un jet d’eau

Pour éteindre le feu, une personneenvoie un jet d’eau sous un angle α et avecune vitesse v0.

1. Quelle doit être la valeur de l’angle α pouravoir la portée optimale pour éteindre le feuen toute sécurité (supposer le travail dans levide pour simplifier l’étude) ?


5 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS

5.1 INTRODUCTION

L'hydrodynamique des liquides est l'étude des mouvements en tenant compte des forcesagissantes (qui les produisent).

Un liquide est dit PARFAIT quand la somme des forces résistantes (qui s'opposent aumouvement) est supposée nulle.

Contrairement à la dynamique - où l’équation est simple - le problème en hydrodynamiqueest compliqué, étant donné que :

La masse volumique du liquide peut varier d'un point à un autre. Le mouvement peut se faire pour une particule différemment d'une autre.

Ainsi, pour pouvoir résoudre le problème, on est amené à poser 3 équations et à lessimplifier autant que possible.

Équation caractéristique du liquide. Équation de la continuité du liquide. Équation de la dynamique à appliquer au liquide.

5.2 ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE DES LIQUIDES

Dans tout ce qui suit, on suppose que le liquide (en particulier l'eau) est incompressible,c'est à dire; que sa masse volumique est une constante ! Et c'est ce qui se traduit par :

Invariabilité dans le temps d ρ / dt = 0 ou ρ = F (t) = Constante Invariabilité dans l’espace. d ρ / dxi = 0 ou ρ = F (xi) = Constante

5.3 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ

5.4 ÉQUATION DE LA DYNAMIQUE

5.4.1 RAPPEL

En hydrostatique, la force de pression agit seule. Et la dite pression est représentée par

P = ρ g H

En hydraulique, vu que le liquide est continu ; une masse d’eau ne peut être matérialisée.Par suite, le travail se fait toujours par l'unité de poids ; c'est-à-dire : son équation auxdimensions est une longueur.

En cinématique des liquides, il a été défini l'équation de lacontinuité pour un écoulement unidirectionnel, par la conservationdu débit le long de la canalisation. Soit, le débit est une constantequel que soit la section de la dite canalisation.

Q = Ui * Si = Cte


5.4.2 EN HYDRODYNAMIQUE

La loi fondamentale de la dynamique, appliquée à un liquide parfait et incompressible,devient :

a = force poids + force de pression qu’il faut rapporter à l'unité de masse

Dans le champ de la pesanteur, la force poids a pour composante (0, 0, - g) et le vecteurdéplacement est dL (dx, dy, dz)

. . . .

Une fois tout calcul fait, on a :

C'est le théorème de Bernoulli (ou théorème énergétique) qui s'applique :

o A un liquide incompressible.o En écoulement permanento Et dans le champ de la pesanteur

Dans cette formule, on a :

P / ρg : représente l'énergie de pression par unité de poids.z : représente l'énergie potentielle (de cote, de position) par unité de poidsU2 / 2g : représente l'énergie cinétique par unité de poids.H : représente l'énergie totale par unité de poids.

REMARQUE :

1. Ce théorème fait rappeler le théorème de l'énergie mécanique (ou totale) qui s'écrit :

2. Si on suppose que la vitesse est nulle (pas d'écoulement), on retombe sur le théorème dePascal.

L'unité de H (énergie totale) est le mètre colonne d'eau (mCE) puisqu'elle exprime une énergiepar unité de poids.

EXEMPLE : Faire la trajectoire d'un projectile lancé dans le champ de la pesanteur avec unevitesse initiale sous un angle donné par rapport à l’horizontal.

En flèche épaisse (rouge), est représentée l’énergie cinétique En flèche pointillée (bleu), est représentée l’énergie potentielle

Pour démontrer que c'est une parabole, ilsuffit de revoir le chapitre précédant (étude dela longueur d'un regard de chute et/ou la lancejet d'eau pour éteindre un feu en exercice).

Sur ce graphe, le Théorème de l’énergiemécanique est représenté par :

§ Démonstration en exercice

H = Z + P / ρg + U2 / 2g = Cste

E = M g z + M U2 / 2 = Cste

Z + P / ρg = Cste


Ainsi, le théorème de l'énergie mécanique peut être représenté sur un graphe par desflèches schématisant les 2 énergies (cinétique et potentielle).

5.5 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

Le théorème de Bernoulli peut être représenté schématiquement en admettant que :

L'énergie totale est une constante quelle que soit la position de la particule. Sa ligne – quiest une ligne droite et horizontale – se trace connaissant les conditions aux limites. (voir plusloin)

L'énergie de position (potentielle) est donnée par la cote de la particule par rapport à unréférentiel à prendre (choisir).

L'énergie cinétique est liée à la section offerte à l'écoulement par l'équation de la continuité.Elle diminue quand la section augmente et vice versa.

L'énergie de pression complète le schéma de la représentation (et sans oublier qu'ici, letravail se réfère à la pression relative)

NOTA : Pour faire cette représentation, il suffit de suivre les étapes citées.

5.5.1 NOTION DE LIGNE PIÉZOMÉTRIQUE

Si l'énergie totale est définie par :

H = P1/ ρg + z1 + U12/2g = P2/ ρg + z2 + U2

2/2g = ...= Cste

Elle est aussi représentée par une droite (asymptote) horizontale sur le schéma (plan desituation de la conduite)

On définit de la même façon la ligne piézométrique par la somme de l'énergie de pression etcelui de la cote (potentielle) et toujours rapportée à l'unité de poids :

5.5.2 EXEMPLE THÉORIQUE

Mise en évidence : Elle se matérialise parl'ensemble des lieux des points auxquels l'eau pourraarriver, si on faisait une cheminée sur la conduite, et

c'est ce qui s'appelle un piézomètre.

L. P = P * / ρg = P / ρg + z


5.5.3 THÉORÈME DE TORRICELLI

DÉMARCHE À SUIVRE :

Pour faire la représentation de Bernoulli, il suffit de suivre la méthode suivante à chaque fois :

1. Tracer un niveau (plan) de référence, et de préférence en bas du schéma.2. Représenter l'énergie potentielle (de cote)3. Représenter l'énergie totale En prenant un point dans le réservoir.4. Représenter l'énergie cinétique en prenant un point juste à la sortie de la conduite.5. Généraliser l’énergie cinétique à toute la conduite.6. Compléter par l'énergie de pression

En appliquant Bernoulli entre le réservoir et la sortie de la conduite, on a :

Zr = Zs + Us2 / 2g, soit:

Avec :

ΔZ : Différence de cotes entre le plan de l'eau dans le réservoir et la sortie de l'eau de lacanalisation (de la conduite) exprimée en m.

U : Vitesse de l'eau dans la canalisation qui est une constante vu que la dite canalisation nechange pas de diamètre. Elle s'exprime en m/s.

g : Accélération terrestre g = 9.81 m/s/s

Remarque :

Vérifier l'équation aux dimensions de la formule.

Exemple 1 :

Soit un réservoir de cote eau Zr = 266.5 mNGM qui alimente un autre à travers une conduitede diamètre constant dont la cote à la sortie de l’eau est Zs = 253.25 mNGM. Le point bas de laconduite a une cote Zb = 245.56 mNGM. (Voir schéma plus haut) g = 10 S.I

1. Calculer la vitesse de l’eau à la sortie de la conduite. 16.3 m/s

En appliquant la formule de Torricelli, on a:

Us = (2g * ΔZ) 1/2 = (2g * (Zr - Zs)) 1/2 = (2g * (266.5 – 253.25)) 1/2 = 16.28 m/s

2. Calculer le débit de la conduite (en L/s) si le diamètre est D = 100 mm. 128 L/s

En appliquant l’équation de la continuité, on a:Q = U * S = U * π * D2 / 4 = 16.28 * π * 0.12 / 4 = 0,127 8 m3/s = 127,8 L/s

Us = (2g * ΔZ) 1/2

Soit un réservoir qui alimente uneconduite de diamètre constant (voir schéma)

1. Faire la représentation de Bernoulli.2. En déduire la vitesse de l’eau à la sortie

de la conduite si elle débite à l'air libre.


3. Faire la représentation qualitative de Bernoulli

4. Calculer la pression au point bas de la conduite. 7.69 mCE

En appliquant toujours Bernoulli ; on a : Zr = P / ρg + U2/2g + Zb

P / ρg = Zr – U2/2g – Zb = Zr – (Zr – Zs) - Zb = Zs - Zb = 253.25 – 245.56 = 7.69 mCE

Exemple 2 : Soit une bille qui tombe verticalement dans le champ de la pesanteur sans vitesseinitiale ?

1. Donner les équations du mouvement V (t) et Z (t).

En appliquant l’équation fondamentale de la dynamique, avec un axe orienté vers le bas, ona l’accélération a = g Champs de la pesanteur

Et par intégration, on a : V = g * t tant que la constante d’intégration est nulle (sans vitesseinitiale)

Et par intégration encore, on a : z = ½ g * t2 avec la constante d’intégration Z0 est nulle.

2. En déduire la vitesse en fonction de l’espace V (z)

On vient de voir que l’espace parcouru est : z = ½ g*t2 qui donne t2 = 2 * z / g à remplacerdans l’expression de la vitesse V = g * t, soit :

V = g * t = g * (2 * z / g)½ = (2 * g * z)½

3 Formule à comparer avec la formule de Torricelli.

Les deux formules sont identiques et désignent la même chose : Une chute libre !

5.5.4 NOTION DE CAVITATION

Soit un réservoir quialimente une conduite (voirschéma) de diamètre constant

1. Faire la représentationqualitative de Bernoulli.

2. Mettre en évidence la notionde pression négative.


Commentaire :

La conduite ne change pas de diamètre ; par suite, la vitesse est une constante ainsi quel'énergie cinétique. Sa valeur est donnée par le théorème de Torricelli.

L'énergie de cote (potentielle ou de position) est représentée par la cote Z variable suivant leprofil en long de la conduite.

Pour compléter le schéma représentant le théorème de Bernoulli, on ajoute le vecteurschématisant l'énergie de pression.

o Remarquer bien qu'au niveau de la vallée (au point 1), la pression est grande, et si laconduite est percée (trouée), l'eau jaillira (sortira avec un grand jet d'eau).

o Par contre, Remarquer bien qu'au niveau de la colline (au point 3), la pression est négative,et si la conduite est percée; Au lieu que l'eau jaillira, c'est l'air qui va entrer dans la conduite.C'est la dépression créant la cavitation.

o Nota : Alors qu'au point 2, la pression est nulle. Et si la conduite est percée; L’eau ne jaillirapas et l'air ne va pas entrer non plus dans la conduite.

Conséquence : La conduite peut être endommagé par :

L’excès de surpressions quand les points sont très bas. Des dépressions quand les ponts sont très hauts

Exemple : Soit un réservoir de cote eau Zr = 145.5 mNGM qui alimente une conduite de diamètreconstant dont la cote à la sortie de l’eau est Zs = 123.25 mNGM. Le point bas de la conduite a unecote Zb = 115.56 mNGM, alors que le point haut de la conduite a une cote Zh = 141.56 mNGM (voirschéma ci haut) g = 10 S.I

1. Calculer la vitesse de l’eau à la sortie de la conduite. 21 m/s

En appliquant la formule de Torricelli, on a:Us = (2g * ΔZ) 1/2 = (2g * (Zr – Zs)) 1/2 = (2g * (145.5 – 123.25)) 1/2 = 21.1 m/s

2. Calculer le débit de la conduite (en L / s) si le diamètre est D = 150 mm. 373 L/s

En appliquant l’équation de la continuité, on a :Q = U * S = U * π * D2 / 4 = 21.1 * π * 0.152 / 4 = 0,372 8 m3/s = 372,8 L/s

3. Faire la représentation de Bernoulli (à l’échelle des hauteurs si c’est possible)

4. Calculer la pression au point bas de la conduite. 7.69 mCE

En appliquant Bernoulli entre le réservoir et le point bas, on a:Pb / ρg = Zr – U2/2g - Zb = Zr – (Zr – Zs) - Zb = 123.25 -115.56 = 7.69 mCE

5. Calculer la pression au point haut de la conduite. - 18.31 mCE

En appliquant Bernoulli entre le réservoir et le point haut, on a:Ph / ρg = Zr – U2/2g - Zh = Zr – (Zr – Zs) - Zh = Zs - Zh =123.25 – 141.56 = - 18.31 mCE

6. Comment expliquez-vous la valeur négative de la pression ?

La pression est négative vue que le point est très haut, c'est-à-dire ; il possède une grandeénergie potentielle, alors que l’énergie totale est limitée : C’est le phénomène de la cavitation …


EN RÉSUMÉ

Rappelons que sur l'axe des pressions, la pression atmosphérique est prise comme origine.

Ainsi, Pathmos = 0.

La cavitation est la présence de pression négative (inférieure à la pression atmosphérique)dans une conduite. On parle aussi de dépression dans la conduite.

Dans toute installation, il faudra veiller à ne pas avoir de dépression. Si non, la conduiterisque de s'endommager gravement. Bien se rappeler que le proverbe dit : La nature ahorreur du vide.

5.6 NOTION DE MACHINE HYDRAULIQUE

En hydraulique, il y a des machines qui reçoivent de l’énergie hydraulique et la transforment enune autre forme d’énergie telle que :

o Énergie mécanique : C’est le cas du moulin à eau.o Énergie électrique : C’est le cas de la turbineo …

Et réciproquement, il y a des machines qui reçoivent une énergie donnée pour la transformeren énergie hydraulique : C’est le cas des pompes

5.6.1 DÉFINITIONS

Une turbine est un appareil qui reçoit de l’énergie potentielle hydraulique et le transforme enénergie électrique.

Par opposition à une pompe qui est un appareil qui reçoit de l’énergie mécanique et letransforme en énergie potentielle hydraulique.

5.6.2 SCHÉMA EN ÉCOULEMENT PARFAIT :

Remarque :

La hauteur H représente l’énergie transformée.

o Pour le cas d’une pompe, cette énergie correspond à la différence d’altitude à traverslaquelle l’eau est refoulée (relevée).

o Pour le cas d’une turbine, cette énergie correspond à l’énergie transformée en électricité.

La puissance hydraulique transformée estPour démontrer cette formule, on a : W = m g H = ρ V g H et par suite :

La ligne d’énergie augmente pour le casd’une pompe, Vu que celle ci transformede l’énergie mécanique qu’elle reçoit (dumoteur qui la fait fonctionner) en énergiehydraulique qu’elle cède à l’écoulement

La ligne d’énergie diminue pour le cas d’uneturbine, Vu que celle ci transforme de l’énergiehydraulique qu’elle reçoit de l’écoulement enénergie mécanique qu’elle cède (par exemplesous forme d’énergie électrique)

INSTITUT DES TECHNICIENS SPÉCIALISÉS EN G

P = W / t = ρ

Dans cette formule, on a :

ρ : représente la masse volumique du liquide (g : représente l’accélération terrestre (H : représente la hauteur de chute (ou d’élévation) en mQ : représente le débit écoulé en mP : représente la puissance transformée en Watt. (à vérifier

5.6.3 RENDEMENT D’UN AP

N’importe quel appareil, qui reçoit une énergie donnée à transformerd’énergie, consomme une partie de cette énergie sous forme d’énergie calorifique ou autre.

Remarque:

L’énergie cédée Wc est inférieure àà un. Donc : η < 1

L’énergie cédée Wc et l’énergie reçuesupérieur à zéro. Donc : η > 0

En résumé, on a :

2. Calculer la hauteur d’élévation totale

H = Z2 – Z1 = 224.45 – 123.45

3. Calculer puissance hydraulique

Ph = ρ g Q H =1 000 * 10 * 0.324 * 101

4. Calculer la puissance reçue par la pompe si son rendement est 0.8.

Pr = Ph / ŋ = 327.24 / 0.8

Le rendement d’un appareil estdéfinition le rapport de l’énergie cédéel’énergie reçue Wr. Ce qui est équivalent à direaussi : C’est le rapport de la puissance cédéesur la puissance reçue Pr.

η = Wc / Wr = Pc / Pr

Exe 1 : Soit une pompe qui refoule un débit Q= 324 L/s d’un réservoir ayant une cote eau Z1 =123.45 mNGM à un autre réservoir ayant unecote eau Z2 = 224.45 mNGM.

1. Faire la représentation qualitative deBernoulli au niveau de la pompe.

0 < η < 1

GÉNIE RURAL ET TOPOGRAPHIE DE MEKNÈS / M. ABDELLAH

P = W / t = ρ * g * V * H / t = ρ * g * Q * H

: représente la masse volumique du liquide (≈ 1000 kg/m3)représente l’accélération terrestre (≈ 10 m/s/s)représente la hauteur de chute (ou d’élévation) en mreprésente le débit écoulé en m3/s

la puissance transformée en Watt. (à vérifier ! ?)

RENDEMENT D’UN APPAREIL

N’importe quel appareil, qui reçoit une énergie donnée à transformerd’énergie, consomme une partie de cette énergie sous forme d’énergie calorifique ou autre.

est inférieure à l’énergie reçue Wr; par suite le rapport

et l’énergie reçue Wr sont des données positives; par suite leur rapport

Calculer la hauteur d’élévation totale 101.0 m

123.45 = 101.0 m

hydraulique au niveau de la pompe. 327.24 KW

000 * 10 * 0.324 * 101 = 327 240 W = 327.24 kW

par la pompe si son rendement est 0.8.

= 409.05 KW

d’un appareil est parle rapport de l’énergie cédée Wc sur

. Ce qui est équivalent à dire: C’est le rapport de la puissance cédée Pc

refoule un débit Q= 324 L/s d’un réservoir ayant une cote eau Z1 =123.45 mNGM à un autre réservoir ayant une

Faire la représentation qualitative deBernoulli au niveau de la pompe.

0 < η < 1

P = ρ g Q H

BDELLAH BENTALEB 38

H

N’importe quel appareil, qui reçoit une énergie donnée à transformer en une autre formed’énergie, consomme une partie de cette énergie sous forme d’énergie calorifique ou autre.

par suite le rapport Wc / Wr est inférieur

sont des données positives; par suite leur rapport est

327.24 KW

409.05 KW


5. Calculer l’énergie reçue par cette pompe au bout de 10 h de fonctionnement 4 090.5 KWh

W = Pr * t = 409.05 KW * 10 h = 4 090.5 KWh

2. Calculer la hauteur de la chute de l’eau 406.0 m

H = Z1 – Z2 = 624.28 – 218.42 = 405.86 m

3. Calculer puissance hydraulique au niveau de la turbine. 3 347.27 kW

P = ρ g Q H = 1 000 * 10 * 0.824 45 * 405.86 = 3 347 267 W = 3346.11 kW

4. Calculer La puissance cédée par la turbine au bout de 15 h de fonctionnement, si l’énergiefournie est 37 640 KWh. 2 509.33 kW

Pc = Wf / t = 37 640 KW / 15 h = 2 509.33 kW

5. Calculer le rendement de cette turbine. 75 %

r = Pf / Pr = 2 509.33 / 3 347.27 = 74.99 %

5.7 NOTION D’APPAREIL DE MESURE HYDRAULIQUE

5.7.1 LE TUBE VENTURI

5.7.1.1 DÉFINITION

Le tube Venturi est un étranglement dans la conduite afin de faire apparaître une variation devitesses qui se manifeste par une variation mesurable de pressions par des piézomètres.

En un mot, on suppose que l’écoulement se fait sans aucune force résistante : C'est-à-dire que l’écoulement est parfait

Caractéristiques

Pour simplifier l’étude, le montage se fait en planhorizontal.

Il sera utilisé des diamètres très lisses et bien unisainsi que les cônes de changement de diamètres, afinque et l’ensemble ne devrait pas perturber l’écoulement.

Exe 2 : Soit une turbine qui reçoit un débit Q =824.45 L/s à partir d’un réservoir ayant une coteeau Z1 = 624.28 mNGM pour le livrer à un autreréservoir ayant une cote eau Z2 = 218.42 mNGM.

1. Faire la représentation qualitative deBernoulli au niveau de la turbine


5.7.1.2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

Théorème de Bernoulli. Z1 + P1 / ρg + U12 / 2g = Z2 + P2 / ρg + U2

2 / 2g = Cste

C’est ce qui se traduit pour ce cas par :

P1 / ρg - P2 / ρg = U22 / 2g - U1

2 / 2g c’est à dire :

5.7.1.3 MESURE DE LA VARIATION DE PRESSION

La mesure de la pression peut se faire par l’installation de tube vertical à travers lequel l’eaupourra monter librement. C’est ce qui s’appelle un tube piézométrique et qui sert à mesurer lapression en un point de la conduite.

Concrétisation : Grâce à un tube piézométrique, la ligne piézométrique pourra être matérialiséepoint par point.

Remarques

o Si le débit est important ou si la section S2 est trop petite, la vitesse U2 risque d’être trop grande;et par suite la pression P2 trop faible. Voir même le cas extrême où cette pression seranégative : C’est la cavitation. à voir en TP

o Dans la pratique, la pression risque d’être aussi trop grande (quelque dizaine de mètres colonned’eau), ce qui rend l’utilisation des tubes piézométriques inadaptées. D’où le recours à dessystèmes (appareils) qui donnent directement la variation de pression dont l’utilisateur a besoin,(comme dans de pareil cas), et surtout qui se réalisent avec des dimensions faibles : C’est lecas du manomètre différentiel

5.7.1.4 CALCUL DU DÉBIT

D’après Bernoulli, on a : U22 / 2g - U1

2 / 2g = P1 / ρg - P2 / ρg = ΔP / ρg

Et en appliquant le théorème de la continuité, Q = U1* S1 = U2* S2, on a :

U1 = 4*Q / πD12 et U2 = 4*Q / πD2

2

Soit : U22 / 2g - U1

2 / 2g = ΔP / ρg

CONCLUSION : Par la méthode de l’étranglement de la conduite (Venturi), le débit sera donné.

ΔP1-2 / ρ g = ΔU2-12 / 2g

En appliquant le théorème de lacontinuité et de Bernoulli, lareprésentation énergétique sera lasuivante, si on suppose que la conduiteest horizontale pour simplifier l’étude :

Théorème de la continuité

Q = U1* S1 = U2 * S2 = Cste.


EX : De l’eau circule dans un tuyau horizontal de diamètre D1 = 15 cm à la pression P1 = 4.2Kgf / cm2. Si la pression passe à P2 = 1.4 Kgf / cm2 en un endroit où le diamètre est D2 = 7.5 cm.

1° Calculer la variation de pression. 28 mCE

Rappel : 1 Kgf / cm2 = 10 mCEΔP / ρg = P1 / ρg - P2 / ρg = 4.2 Kgf / cm2 – 1.4 Kgf / cm2 = 2.8 Kgf / cm2 = 28 Mce

2° Calculer ΔWc en fonction de ΔP.

Appliquons Bernoulli aux points 1 et 2, on a :U1

2 / 2g + P1 / ρg = U22 / 2g + P2 / ρg

U22 / 2g - U1

2 / 2g = ΔP1-2 / ρg = 28 mCE

3° Calculer les vitesses U1 et U2 en fonction du débit. U1= 56.588 * Q et U2 = 226.354 * Q

Le débit Q s’exprime en fonction des diamètres par l’équation de la continuité :Q = U1 * S1 = U1 * Π * D1

2 / 4 = U2 * S2 = U2 * Π * D22 / 4

Soit : U1 = 4 * Q / Π / D12 et U2 = 4 * Q / Π / D2

2

U1 = 4 * Q / Π / 0.152 et U2 = 4 * Q / Π / 0.0752

U1 = 56.588 * Q et U2 = 226.354 * Q en S.I.

4° En déduire le débit. 108 L/s

Et en remplaçant dans l’équation précédente de Bernoulli, on a : U22 - U1

2 = 28 * 2g

Soit : Q2 * (226.3542 - 56.5882) = 560Q2 * 48033.746 = 560

D’où en fin de compte, on a : Q = (560 / 48033.746)0.5 = 107.97 L/s

5.7.2 LE TUBE PITOT

5.7.2.1 DÉFINITION

5.7.2.2 CARACTÉRISTIQUES

Le tube Pitot permet de mesurer la vitesse en en point quelconque d’un courant liquide.Appliquant le théorème de Bernoulli, on a:

g

V

g

P

g

P

2

212

D’où, on a: Z

g

V

g

P

g

P

2

212

Soit en fin de compte, on a : ZgV 2

Le tube Pitot ressemble à un double piézomètrerelié à une conduite afin de faire apparaître la hauteurdu liquide correspondante à l’énergie cinétique dansun piézomètre en plus de la pression statiquemesurable par l’autre piézomètre (§ fig).


5.7.2.3 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

Remarque :

Si la vitesse est faible (inférieure par exemple à 1 m/s), la dénivelée ‘ΔZ’ sera trop petitepour être mesurée sans erreur (ΔZ < 5 cm).

EXE 1.De l’eau circule dans un tuyau horizontal de diamètre D = 15 cm à la pression hydrostatique

Zs = 0.4 mCE et la pression totale Zt = 0.7 mCE. g = 10 S.I

1° Calculer la vitesse 2.45 m/s

V = (2g * ΔZ)1/2 = (2g * (0.7 – 0.4) )1/2 = 2.45 m/s

2° En déduire le débit. 43 L/s

Q = U * S = U * Π * D2 / 4 = 2.45 * Π * 0.152 / 4 = 0.043 29 m3/s = 43.29 L/s

EXE 2.A travers un tuyau horizontal, de diamètre D = 25 cm est refoulé un débit Q = 39.27 L/s.

1° Calculer la vitesse 0.8 m/s

Par application de l’équation de la continuité, on a : Q = U * S = U * Π * D2 / 4

U = 4 * Q / Π / D2 = 4 * 0.03927 / Π / 0.252 = 0.8 m/s

2° Quelle est la variation de la cote que donnera un tube Pitot ? 3.2 cmCE

ΔZ = U2 / 2g = 0.82 / 2g = 3.2 cmCE

Remarque :

Bien remarquer que dans le domaine de la pratique, il est difficile de détecter (apprécier)aisément une variation de hauteur très petite; et surtout si le niveau de l’eau oscille.


Exercices :

Exercice 1 : Démontrer le théorème de Bernoulli (ou de l'énergie totale) à partir du théorème del'énergie cinétique.

RAPPEL DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE

La loi fondamentale de la dynamique est : Σ F = m aLe travail effectué par ces forces sera :

dW = Σ F * dL = m * a * dL= m * dU / dt * dL = m * dU * dL / dt = m * U * dU

Et par intégration, on a : Σ W = m * U2 / 2 + Cste

Soit, entre deux instants 1 et 2, la somme des travaux sera égale à la variation de l’énergiecinétique.

Σ Weff = m / 2 (U12 - U2

2)

CAS D’UNE CONDUITE

Le poids dP = d(mg) = g * dm = ρg dV = ρ g Q dt La force de pression à l'amont de la conduite dFm = Pm * dS La force de pression à l'aval de la conduite dFv = Pv * dS La force de pression latérale dont leur somme est nulle

Et le travail de ces forces est :

Pour le poids, on a :dP * dz = d(mg)* dz = ρg dV * dz = ρg Q dt * dz

Pour la force de pression à l'amont de la conduite, on adFm * dL= Pm * dS * dL= Pm * dV = Pm * Q * dt

Pour la force de pression à l'aval de la conduitedFv * dL = Pv * dS * dL = Pv * dV = Pv * Q * dt

Pour la force de pression latérale, on a un travail nul

Par suite, en appliquant le théorème de l'énergie cinétique, on a :

ρg Q dt * dz + Pm * Q * dt - Pv * Q * dt = m / 2 (U12 - U2

2) = ρ Q dt (U12 - U2

2) / 2

et en simplifiant, on arrive à :

(Zm - Zv) + (Pm - Pv) / ρ g = (Uv2 - Um

2) / 2g

Soit enfin Zm + Pm / ρ g + Um2 / 2g = Zv + Pv / ρ g + Uv

2 / 2gou

Z + P / ρg + U2 / 2g = Cste Qui représente le théorème de Bernoulli

Soit une conduite qui transporte de l'eau (voirfigure), les forces agissantes pendant un instant dtsont :


Exercice 2 :

Q = U * S = U * Π * D2 / 4 donne U = 4 * Q / Π / D2

U1 = 4 * 0.130 / Π / 0.32 = 1.84 m/s

U2 = 4 * 0.13 / Π / 0.12 = 16.55 m/s

2. Si la pression au point 1 est P1 / ρg = 10.3 mCE, calculer la pression au point 2. - 3.23 mCE

P2 / ρg = P1 / ρg + U12 / 2g - U2

2 / 2g par application du théorème de Bernoulli

P2 / ρg = 10.3 mCE + 1.842 / 2g - 16.552 / 2g = - 3.23 mCE Pression négative

3. Faire la représentation de Bernoulli.

Exercice 3 : Notion d'écoulement non permanent

Pour h = H0 correspondant au temps initial t = 0, la vitesse est maximale Pour h ≈ 0 correspondant au temps final tf, la vitesse est minimale V ≈ 0

Un réservoir de forme cylindrique (D = 1 m, H = 2 m) aun trou de diamètre (d = 1 cm) sur sa base basse, d’où coulele liquide qu’il contient librement (voir figure)

1. Donner l'équation de la vitesse de l’eau à travers le trou.

Si h est la hauteur en eau dans le cylindre à l’instant t ; lavitesse de l’eau à travers le petit trou, à la base du dit cylindre,

V = (2g * h) ½

Soit une conduite de diamètre D1 = 300 mm, transitantun débit Q = 130 l / s, qui passe à un diamètre D2 = 100 mm(voir schéma)

1. Calculer les vitesses V1 et V2. 1.84 m/s et 16.55 m/s

Représentation

Qualitative


2. Donner l'équation du débit qui s’écoule de deux manières.

Le débit qui s’écoule à travers le trou peut être donné par :

Le produit de la vitesse et la section du dit trou en appliquant l’équation de la continuité.Q = U * s = (2g * h)1/2 * (Π * d2 / 4) à un instant donné

La variation du volume en eau dans le cylindre par rapport au temps.Q = ΔV / Δt = (Δh / Δt) * S = (Δh / Δt) * (Π * D2 / 4) à même instant donné

3. Déterminer le temps de vidange du réservoir

Le temps de vidange du réservoir (cylindre) sera déterminé en regroupant les deux équationsprécédentes donnant le débit.

Q = (2g * h)1/2 * (Π * d2 / 4) = (Δh / Δt) * (Π * D2 / 4)(2g * h)1/2 * d2 = (Δh / Δt) * D2

Bien remarquer que : Quand le temps augmente, le réservoir se vide, c'est-à-dire :

o Δt est positif (le temps augmente)o Δh est négative (la hauteur diminue, le réservoir se vide,)

Et en passant aux infiniment petit, on a :

dh / dt = (2g * h)1/2 * d2 / D2

Équation dont il suffit de séparer les variables et intégrer.

dt = (D2 / d2) * dh / (2g * h)1/2. Soit:t = (D2 / d2) * (2 * h / g)1/2 + Cste

La constante d’intégration sera déterminée par la connaissance des conditions aux limitesqui sont ici les conditions initiales, à savoir :

h = H correspond au temps initial t = 0 h ≈ 0 correspond au temps final tf,= T

Soit : T = (D2 / d2) * (2 * h / g) 1/2

App. Num: T = (12 / 0.012) * (2 * 2 / g) 1/2 = 6324.5 s = 1 h 45 mn 24 s

Remarque : Ceci est valable pour un écoulement parfait. Alors qu’en réalité, vu l’existence desforces résistantes non prises en considération, le temps sera plus grand.

Exercice 4 : Notion de puissance hydraulique

Une turbine hydraulique reçoit un débit Q = 424 l/spar une conduite horizontale de diamètre D = 300 mm.Juste à l'amont de la turbine, la pression est Pm = 0.703kgf/cm2. A la sortie de la turbine, la conduite est aussihorizontale et de diamètre D = 450 mm et où règne unepression Pv = - 0.422 kgf/cm2 et à une cote plus basse de1.5 m (voir schéma)


1. Faire la représentation de Bernoulli

2. Calculer la vitesse à l’amont et à l’aval de la turbine. 6 m/s. 2.67 m/s

Appliquons l’équation de la continuité, on a :

Q = U * S = U * π * D2 / 4 donne U = 4 * Q / π / D2, soit:

Um = 4 * 0.424 / π / 0.32 = 6.00 m/sUv = 4 * 0.424 / π / 0.452 = 2.67 m/s

3. Calculer l'énergie de l’eau à l’amont et à l’aval de la turbine. 10.33 mCE - 3.86 mCE

Appliquant le théorème de Bernoulli pour un plan de référence confondu avec l’axe de laconduite, à la sortie de la turbine

Hm = Zm + Pm / ρg + Um2 / 2g = 1.5 + 7.03 + 62 / 2g = 10.33 mCE

Hv = Zv + Pv / ρg + Uv2 / 2g = 0 - 4.22 + 2.672 / 2g = - 3.86 mCE

4. Calculer l'énergie absorbée par la turbine. 14.19 mCE

L’énergie absorbée par la turbine est

H = Hm - Hv = 10.33 - (- 3.86) = 14.19 mCE

5. Calculer la puissance hydraulique absorbée par la turbine si le rendement est 0.8 48.13 KW

Le rendement η = Wc / Wr = Pc / Pr = 0.8 d’où, on a :

Wc = Wr * η = 14.19 * 0.8 = 11.35 mCE

Par suite, la puissance est :

Ph = ρ g Q H = 1000 * 10 * 0.424 * 11.35 = 48.14 KW

Exercice 5

*2 Calculer la vitesse de l'écoulement. 5 m/s

Appliquons le théorème de Bernoulli, on a :

H = Z + P / ρg + U2 / 2g = 2.4 + 10.5 / 0.75 + U2 / 2g = 17.6 mCE

U2 /2g = 17.6 - 2.4 - 10.5 / 0.75 = 1.2 mCEU = (1.2 * 2g)1/2 = 4.9 m/s

De l'huile de densité d = 0.75 circule dans uneconduite de 15 cm de diamètre à la pression de 10.5 N/ cm2. Si l'énergie totale relativement à un plan deréférence situé à 2.4 m au-dessous de la lignemédiane du tuyau est de 17.6 mCE.

*1 Compléter le schéma par la représentation deBernoulli


*3 En déduire le débit 86.6 L/s

Q = U * S = U * π * D2 / 4 = 4.9 * π * 0.152 / 4 = 86.6 L/s

Exercice 6 : Un tuyau de 30 cm de diamètre transporte de l'huile de densité d = 0.812 avec un débitde 110 L/s et la pression en un point 1 est de 2 N/cm2. Si le point 1 est situé à 1.8 m au-dessus duplan de référence, Calculer :

*1 la vitesse de l'écoulement 1.56 m/s

Q = U * S = U * π * D2 / 4 donne:

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.11 / π / 0.32 = 1.56 m/s

*2 l'énergie de pression Wpr 2.46 mCE

P = 2 N / cm2 donne Wpr = P/ρg = 2 / 0.812 = 2.46 mCE

*3 L'énergie cinétique Wc 0.12 mCE

Wc = U2 / 2g = 1.562 / 20 = 0.12 mCE

*4 L'énergie totale 4.4 mCE

H = Z + P / ρg + U2 / 2g = 1.8 + 2.46 + 0.12 = 4.38 mCE

Exercice 7 : Calcul du débit par le venturi

De l'eau circule dans un tuyau horizontal de diamètre D1 = 10 cm à la pression P1 = 20mCE. Le diamètre passe à D2 = 6 cm et la pression P2 = 14 mCE.

*1 Faire la représentation schématique de Bernoulli (au verso de page)

*2 Exprimer V1 et V2 en fonction du débit et du diamètre. 127 * Q 355 * Q

Q = U * S = U * π * D2 / 4 donne:

U1 = 4 * Q / π / D12 = 4 * Q / π / 0.12 = 127,32 * Q

U2 = 4 * Q / π / D22 = 4 * Q / π / 0.062 = 354,68 * Q

*3 En déduire l'expression du débit en appliquant Bernoulli entre 1 et 2. 33 L/s

P2 / ρg + U22 / 2g = P1 / ρg + U1

2 / 2g donne:

U22 / 2g - U1

2 / 2g = P1 / ρg - P2 / ρg = 20 – 14 = 6 mCE Soit:

(354,68 * Q)2 - (127,32 * Q) 2 = 6 * 20

108 876,676 * Q2 = 160 D’où Q = (160 / 108 876,676)1/2 = 33,20 L/s


6 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES RÉELS

6.1 INTRODUCTION

6.1.1 RAPPEL : ÉCOULEMENT PARFAIT

Cet écoulement a été défini comme étant un écoulement où IL N’EXISTE PAS de forcerésistante d’une façon générale ; et par suite, IL N’Y A PAS D’ÉNERGIE PERDUE par ces forcesrésistantes. D’où l’appellation de liquide PARFAIT.

6.1.2 ÉCOULEMENT RÉEL

Dans la réalité, aucun mouvement (y compris les écoulements) ne peut se faire sans qu’il yait des forces résistantes; Et par suite, IL Y A UNE ÉNERGIE PERDUE par ces forcesrésistantes.

EXEMPLES :

Forces résistantes dues aux frottements des filets liquides les uns contre les autres, et c’est cequi s’appelle FORCES DE VISCOSITÉ.

Forces résistantes dues aux frottements des filets liquides voisines à la paroi, contre la dite paroide la conduite, et c’est ce qui s’appelle FORCES DE RUGOSITÉ.

6.1.3 NOTION D’ ÉNERGIE PERDUE

En conséquence de l’existence de ces forces résistantes (de viscosité et de rugosité) dansl’écoulement, le théorème de Bernoulli (comme il a été énoncé) ne peut être appliqué auxécoulements réels. Il faudra lui ajouter un terme correctif qui tiendra compte de ces forcesrésistantes : C’est l’énergie perdue

Et c’est ce qui se résume par l’équation :

Exemple : Représentation théorique deBernoulli pour le cas d’un liquide parfait enécoulement permanent, où il n y a pas deperte d’énergie.

Exemple : Représentationthéorique de Bernoulli pour le casd’un liquide réel en écoulementpermanent où il y a une énergieperdue, qui croit le long de laconduite dues aux forcesrésistantes.

Énergie à l’amont - Énergie à l’aval = Énergie perdue (due aux frottements)

Ep1 < Ep2


6.1.4 EXPERIENCE DE REYNOL

6.1.5 NOTION DU NOMBRE DELe nombre de Reynolds noté R

L’écoulement du liquide représenté par la vitesse La conduite représentée par le diamètre La nature de liquide représentée par la masse volumique et la viscosité dynamique

Et c’est ce qui se note par : R e

Avec :

U : Vitesse moyenne en m/s → [L* TD : Diamètre de la conduite en m →ρ : Masse volumique du liquide en Kg/mμ : Viscosité dynamique du liquide en kg/m/sν : Viscosité cinématique liquide en mRe : Nombre de Reynolds sans dimension

Cas particulier : Représentation théoriquede Bernoulli pour le cas d’un liquide réel enécoulement permanent et uniforme.

Remarque : L’énergie perdue, due auxrésistantes, augmente le long de la conduitedans le sens de l’écoulement ; c’est ce qui estreprésentée par les flèches croissantes.

En conclusion, l’objectif de cechapitre est la détermination decette énergie perdue par lesfrottements (de viscosité et derugosité) ; qui dépendra du typed’écoulement, défini par lesexpériences de Reynolds : A savoir


EXPERIENCE DE REYNOLDS

NOTION DU NOMBRE DE REYNOLDSnoté Re, relie trois grandeurs différentes en même temps

représenté par la vitesse. Ureprésentée par le diamètre. D

représentée par la masse volumique et la viscosité dynamique

/UD

UD

[L* T-1]→ [L]

: Masse volumique du liquide en Kg/m3 → [M * L-3]: Viscosité dynamique du liquide en kg/m/s → [M * L-1 * T-1]Viscosité cinématique liquide en m2s → [L2 * T-1]

ans dimension (à vérifier !)

Représentation théoriquede Bernoulli pour le cas d’un liquide réel enécoulement permanent et uniforme.

, due aux forceslong de la conduite,

c’est ce qui estreprésentée par les flèches croissantes.

l’objectif de cechapitre est la détermination de

par lesfrottements (de viscosité et de

dépendra du type, défini par les

savoir :

BDELLAH BENTALEB 49

relie trois grandeurs différentes en même temps ; à savoir :

représentée par la masse volumique et la viscosité dynamique. ρ, μ


Exemple : Un liquide (de masse volumique ρ = 0.998 kg/l et de viscositkg / ms) s’écoule à travers une conduite de diamètre D = 150 mm avec un débit Q = 3.42 l/s

1. Calculer la vitesse (moyenne) de l’écoulement du liquide

U = 4 * Q / Π / D2 = 4 * 3.42 l/s /

2. Calculer le nombre de Reynolds

Re = U * D * ρ / μ = 0.194 * 0.15 * 998 /

Rappel: Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension (sans

Ainsi, la classification suivante, qui est basée sur le nombre de Reynolds,

Nombre de Reynolds Inférieur à 2

Type d’écoulement Laminaire

Pour des valeurs du nombre de Reynolds inférieur à 2déplacent en ligne droite. C’est ce qu’on

Pour des valeurs du nombre de Reynolds supérieur à 4déplacent dans toutes les directions au hasardd’une particule donnée. C’est ce qu’on définit par

Pour des valeurs du nombre de Reynolds comprise entre 2 000 et 4pas stable. Il passe du turbulent au laminaire et réciproquement. C’est ce qu’on définit parl’écoulement transitoire.

Ainsi, on a en général :

Des écoulements laminaires Des écoulements turbulents

6.2 ÉCOULEMENT LAMINAIRE

6.2.1 DÉFINITION

Un écoulement est dit laminairse déplacent selon des lignes droites parallèleslamelles. Dans ce cas, les forces de viscosité sont prépondérantes.

La vitesse de ces filets estprincipalement à la viscosité du liquide

C’est l’exemple del’écoulement de l’eau dans un canalde faible diamètre, en ligne droite,très long et à faible vitesse.


liquide (de masse volumique ρ = 0.998 kg/l et de viscosité dynamiqueconduite de diamètre D = 150 mm avec un débit Q = 3.42 l/s

Calculer la vitesse (moyenne) de l’écoulement du liquide 0.194 m/s

= 4 * 3.42 l/s / Π / 0.152 = 0.194 m/s

2. Calculer le nombre de Reynolds 26 338

0.194 * 0.15 * 998 / 0.0011 = 26 338

e nombre de Reynolds est un nombre sans dimension (sans unité)

Ainsi, la classification suivante, qui est basée sur le nombre de Reynolds,

Inférieur à 2 000 De 2 000 à 4 000 Supérieure à 4

Laminaire Transitoire Turbulent

Pour des valeurs du nombre de Reynolds inférieur à 2 000, les particules du liquide seC’est ce qu’on définit par l’écoulement laminaire

Pour des valeurs du nombre de Reynolds supérieur à 4 000, les particules du liquide sedéplacent dans toutes les directions au hasard. Il est impossible de décrire le mouvement

’est ce qu’on définit par l’écoulement turbulentPour des valeurs du nombre de Reynolds comprise entre 2 000 et 4

pas stable. Il passe du turbulent au laminaire et réciproquement. C’est ce qu’on définit par

laminaires (pour les vitesses et / ou les diamètres trop faibles(pour les vitesses relativement fortes).

ÉCOULEMENT LAMINAIRE.

aminaire, si les particules du fluide (constituants leslignes droites parallèles les unes aux autres et disposées en couch

. Dans ce cas, les forces de viscosité sont prépondérantes.

tesse de ces filets est variable, vu l’existence des forces de frottements duesviscosité du liquide.

C’est l’exemple del’écoulement de l’eau dans un canalde faible diamètre, en ligne droite,

BDELLAH BENTALEB 50

é dynamique μ = 0.0011conduite de diamètre D = 150 mm avec un débit Q = 3.42 l/s

unité) à vérifier!

Ainsi, la classification suivante, qui est basée sur le nombre de Reynolds, est adaptée :

Supérieure à 4 000

Turbulent

les particules du liquide sel’écoulement laminaire

les particules du liquide se. Il est impossible de décrire le mouvementl’écoulement turbulent.

Pour des valeurs du nombre de Reynolds comprise entre 2 000 et 4 000, l’écoulement n’estpas stable. Il passe du turbulent au laminaire et réciproquement. C’est ce qu’on définit par

trop faibles).

si les particules du fluide (constituants les lignes de courant)et disposées en couches ou

, vu l’existence des forces de frottements dues


6.2.2 FORCE DE VISCOSITÉ

Les forces de viscosité représentent les forces résistantes aux efforts de contraintestangentielles qui tendent à faire déplacer les couches du liquide les unes par rapport aux autres.

La couche du liquide en contact avec la plaque mobile, a la vitesse maximale (U = Vmax) de ladite plaque.

La couche du liquide en contact avec la plaque fixe, a la vitesse nulle (U = 0) de la dite plaque. Les couches intermédiaires ont des vitesses variables, (de zéro à Vmax). On admet que pour une épaisseur y (relativement faible), le diagramme de cette vitesse est

linéaire. (voir figure)

Les expériences montrent que ces forces de viscosité sont :

Proportionnelles à la surface de la plaque mobile S. Proportionnelles à la vitesse de la plaque V. Inversement proportionnelles à la distance des deux plaques y. Dépendantes de la nature du liquide expérimenté qu’on exprime par la viscosité

dynamique ou absolue μ (mu)

Soit : yVSF

Avec :

S : Section de la plaque (ou de contact entre couches du liquide) ▬► [L2] : c’est en S.I le m2

V : Vitesse de la plaque ▬► [L * T-1] : c’est en S.I le m/sy : Distance entre les 2 plaques ▬► [L] :c’est en S.I le mètreF : Force agissante ▬► [M * L * T-2] :c’est en S.I le Newton.μ : Viscosité du liquide ▬► [M * L-1 * T-1] : c’est en S.I le kg/ms. (à trouver ?)

Exemple :

Calculer la viscosité du liquide dans l’expérience précédente si on a : V = 3.4 m/s, y = 1 cm,S = 0.8 m2 et F = 0.36 N 13 * 10-4 kg/s

D’après la relation F = S * μ * V / y on tire que :μ = y * F / S / V = 0.01 * 0.36 / 0.8 / 3.4 = 13.235 * 10-4 kg/ms

6.2.3 VISCOSITÉ D’UN LIQUIDE

La viscosité d’un liquide est sa propriété qui exprime sa résistance à toute force tangentielle(due à un écoulement). La viscosité est due principalement à l’interaction entre les molécules duliquide. La formule précédente définit la viscosité dynamique, alors que la viscosité cinématiquese définit comme suite :

EXPÉRIENCE

Soit un liquide de viscosité donnée, dont les couches(formant les filets liquides) se déplacent d’une façon différenteles unes par rapport aux autres, sous l’effet de la plaquemobile qui les tire, alors que l’autre plaque est immobile. Ladistance entre ces deux plaques est très petite.


6.2.4 VISCOSITÉ CINÉMATIQUE

On définit la viscosité cinématique (nu), par le rapport de la viscosité dynamique sur la massevolumique. Soit :

g

g

Avec :

g : Accélération terrestre ▬► [L * T-2] et c’est en S.I le m/s/s.ω : poids spécifique ▬► [M * L-2 * T-2] et c’est en S.I le N/m3.μ : Viscosité dynamique ▬► [M * L-1 * T-1] et c’est en S.I le Kg/m/s.ρ: masse volumique ▬► [M * L-3] et c’est en S.I le Kg/m3.ν: Viscosité cinématique ▬► [L2 * T-1] et c’est en S.I le m2/s. (À trouver !?)

Le tableau suivant donne un ordre de grandeur pour quelques liquides.

Liquide et satempérature

Masse volumiqueen Kg/m3

Viscositécinématique en m2/s

Viscosité dynamiqueen kg/ms

Eau à 5 °CEau à 20 °CEau à 50 °CHuile de lin à 30 °CAlcool éthylique à 20°CBenzène à 20 °C…

999.99998.23988.07

925789879….

1.55 * 10-6

1.03 * 10-6

0.56 * 10-6

35.9 * 10-6

1.54 * 10-6

0.745 * 10-6

….

15.5 * 10-4

10.25* 10-4

5.6* 10-4

33.21* 10-3

1.22* 10-3

0.655* 10-3

…

Remarque :

Ces caractéristiques (masse volumique, viscosité cinématique et dynamique)

décroissent en fonction de la température. croissent en fonction de la pression

La viscosité cinématique est de l’ordre du millionième (≈ 10-6) Alors que la viscosité dynamique est du dix millièmes (≈ 10-4)

6.2.5 MESURE DE LA VISCOSITÉ D’UN LIQUIDE

*1 la vitesse linéaire moyenne de l’écoulement. 8 m / s

Pour un rayon moyen, c’est à dire: intermédiaire entre les deux plaques, on a :U = ω * R = 600 tr/mn * 12.3 cm = 600 * 2Π * / 60 rd/s * 0.123 m = 7.728 32 m/s

Expérience : Soit un cylindre de 12 cm derayon qui tourne à l’intérieur d’un autre cylindrefixe de rayon 12.6 cm. Entre les deux cylindres etsur de hauteur H = 30 cm, existe un liquide àétudier. Il est nécessaire d’appliquer un couple de 9Ncm pour vaincre les forces résistantes et maintenirune vitesse angulaire constante de 600 tr/mn. C’estle viscosimètre. Calculer :


*2 la force provoquant la rotation 0.366 N

C = F * D Soit : F = C / D = 9 Ncm / (12.3 cm * 2) = 0.09 / 0.123 / 2 = 0.366 N

*3 La surface moyenne du frottement 0.232 m2

S = 2Π * 12.3 cm * 30 cm =2Π * 0.123 * 0.3 = 0.232 m2

*4 la viscosité dynamique du liquide (en moyenne) sera. 12.25 * 10-4 kg/ms

μ = y * F / S / U = 0.6 cm * 0.366 N / 0.232 m2 / 7.73 m/s = 12.251 * 10-4 kg/ms

6.2.6 CONTRAINTE TANGENTIELLE

On définit la contrainte tangentielle visqueuse moyenne (ζ : TAU), qui est équivalente àpression par :

ζ = Force / Surface ≡ Pression. Soit : yV

SF

Pour simplifier, soit une conduite horizontale de même diamètre D, qui débite un liquide enécoulement permanent. Considérons un élément de longueur L de cette conduite, et étudions lesforces agissantes.

Inventaire des forces projetées sur l’axe des x.

Forces de pressions amont et aval : (Pm - Pv) * π * R2

Force résistante (de viscosité) : ζ * π * 2 * R * L

Soit : (Pm - Pv) * π * R2 - ζ * π * 2 R * L = 0 (pour un écoulement permanent)

Par suite, la contrainte tangentielle visqueuse est :

LDPP

LRPP vmvm

4)(

2)(

Exemple :

Soit une conduite horizontale de(R = 6 cm, L = 300 m) qui faittransiter un liquide de massevolumique 0.82 kg / l. Les piézomètresindiquent que la pression au pointamont est Pm = 1.05 mCE et lapression au point aval est Pv = 0.55mCE

Avec :Pm et Pv : Pression à l’amont et àl’aval de la conduite en Pascal [M *L-1 * T-2]D, R et L : Diamètre, rayon etlongueur de la conduite en mètre [L]ζ : Contrainte tangentielle(équivalente à une pression) enPascal [M * L-1 * T-2]


1. Faire la représentation qualitative de Bernoulli.

2. Calculer la variation de pression, et en déduire l’énergie perdue entre ces deux points.

ΔP / ρg = Pm / ρg - Pv / ρg = 1.05 mCE – 0.55 mCE = 0.5 mCEΔP = 0.5 * 0.82 * 1000 * 10 = 4 100 PaEt graphiquement, on a : W perdue = ΔP / ρg = 0.5 mCE

3. Calculer la contrainte tangentielle provocante ces pertes d’énergie

PaL

RPP vm 41.0

300*2

06.0*4100

2)(

6.2.7 CALCUL DE LA VITESSE

Par définition de la contrainte tangentielle, on a (au niveau de la section) :

dRdV

dydV

yV En passant au infiniment petit

Dans cet exemple, le rayon remplace l’espace existant entre les deux plaques. Et la contraintetangentielle a été évaluée à :

LRPP vm

2)(

Soit, en combinant les deux formules, on a : LrPvPm

drdV

2)(

Remarque :Le signe moins est introduit dans la formule vu que dV et dR sont de signe contraire. C'est-

à-dire : Quand r augmente de zéro (le centre) à R (rayon du cylindre), la vitesse au contrairediminue de Vmax (au centre) à Zéro (en contact de la paroi)

On a l’équation suivante à intégrer : μ * dV / dr = - ΔP * r / 2L ; C’est ce qui donne :

dV = - ΔP / 2L / μ * r * dr

Vu l’existence de la viscosité du liquide, qui créeune résistance à l’écoulement, et au niveau d’unesection donnée dans la conduite, la vitesse ne peutêtre la même au niveau de la dite section. Ainsi; lacouche d’eau qui est en contact avec la paroi, a unevitesse nulle, alors qu’au milieu de la conduite, lavitesse devra être maximale. (Voir figure)

Remarque :

Ne pas oublier, qu’ici, le diamètre ne changepas, et par suite, la vitesse est une constante.

Rappelons les différences entre hydrostatiqueet écoulement (parfait et réel en schéma)


Soit : V = - ΔP / 2L / μ * r2 / 2 + Cste

Après l’intégrale, et en adaptant les conditions aux limites suivantes :

Pour r = 0 ; on a : V = Vmax (non prise en considération) Pour r = R ; on a : V = 0 ; Soit : 0 = ΔP / 2L / μ * R2 / 2 + Cste

Et pour un rayon quelconque r, on a une vitesse quelconque v,

L

rRPPV vm

4)(

22

Avec :

Pm et Pv Pressions amont et aval dans la conduite → [M*L-1*T-2] et c’est en S.I le Pascal.R, r et L Rayon et longueur de la conduite en m.μ Viscosité dynamique du liquide → [M * L-1 * T-1] et c’est en S.I le Kg/m/s.

Exemple : Soit une conduite de diamètre D = 400 mm qui transporte de l’eau à 5 °C (de massevolumique ρ = 999.99 kg/m3 et viscosité dynamique μ = 15.5 * 10-4 kg/ms). La variation de pressionau bout d’une longueur L = 1 km est 0.03 mCE g = 9.81 S.I

1. calculer la variation de la pression 294.3 Pa

Pm - Pv = 999.99 kg/m3 * 0.03 mCE * 9.81 m/s/s = 294.297 Pa

2. Donner l’équation de la vitesse en une section donnée S

L

rRPPV vm

4)(

22

3. Donner l’équation de la vitesse v (r) en une section donnée est

V(r) = 294.297 * (0.04 – r2) / (4 * 15.5 * 10-4 * 1000)= 47.467 * (0.04 -– r2) = 1.899 - 47.467 * r2

En conclusion :

On a l’équation d’un paraboloïde qui se metsous la forme y = a – b x2 dans le plan. D’où lareprésentation du profil de la vitesse donnée cicontre en coupe.

4. En déduire la vitesse max.

V max = 1.899 m / s au centrede la conduite

5. Donner le graphe de la vitesse V (r)


En résumé ; on a :

Une vitesse nulle en contact avec la paroi de la conduite. Une vitesse maximale au milieu de la conduite. Et une vitesse variable entre les deux bornes qui suit une loi parabolique en une coupe

diamétrale donnée.

6.2.8 NOTION DE VITESSE MOYENNE

Rappelons qu’au niveau d’une section donnée, la vitesse instantanée a la formeparaboloïdale v = f (r). Alors qu’en pratique, il faudra avoir une seule donnée représentative poursimplifier les calculs ; d’où, l’introduction de la notion de la vitesse moyenne.

La notion de vitesse moyenne se définit à partir de l’équation de la continuité pour unécoulement permanent.

dsuUSQ m **

Soit :

ds

dsuU m

*Dans laquelle S = ds = Π * R2. Et dsuUSQ m **

avecL

rRPPu vm

4)(

22 à intégrer :

La vitesse moyenne est :

Proportionnelle à la chute de pression ΔP. Proportionnelle au carré du rayon de la conduite R. Inversement proportionnelle à la viscosité dynamique du liquide μ Inversement proportionnelle à la longueur de la conduite L.

Exemple :

ΔP / ρg = (Pm - Pv) / ρg =1.81 – 1.25 = 0.56 mCE = . . . . . . = 5 600 Pa

N.B :Ne pas oublier de faire la vérification de

l’équation aux dimensions.

Dans une conduite horizontale de diamètreD = 100 mm et de longueur L = 1.04 km,circule de l’eau à 20°C. Si, par despiézomètres, on lit Pm = 1.81 mCE et Pv = 1.25mCE . ρg = 10 000 S.I


2. Calculer la variation de pression. 5 600 Pa

Umoy = (ΔP * R2) / (8 * μ * L)


3. Trouver la viscosité

μ = (voir tableau) = 10.25 * 10-4 kg/ms

4. Calculer la vitesse moyenne 1.64 m/s

U moy = (ΔP * R2) / (8 * μ * L) = 5 600 * 0.052 / (8 * 10.25 * 10-4 * 1040) = 1.642 m/s5. Calculer la vitesse max 3.29 m/s

L’équation de la vitesse, au niveau d’une section donnée est :

Et pour r = 0, la vitesse maximale sera :L

RPPV vm

4)(

2

V max = 5600 * 0.052 / (4 * 10.25 * 10-4 * 1040) = 3.283 m/s

6. Existe t-il deux débits ? un débit moyen et un autre max !? à calculer ! 12.91 L/s

Vu l’équation de la continuité, il n’y a QU’UN SEUL DÉBIT.

vitesse moyenne sera donnée par l’équation : dsuUSQ m **

Q = U m* S = 1.642 * Π * 0.052 = 12.896 L/s

7. Calculer l’énergie cinétique, peut –elle être représentée ? 0.13 mCE

Wc = U2 / 2g = 1.6422 / 2g = 0.135 mCE (Bien négligeable devant les pressions . . .)

6.2.9 NOTION DE PERTE DE CHARGE (PRESSION)

Définition :

De même, on définit en hydraulique, la perte d’énergie aussi et porte le nom de PdC (perte decharge) qui a pour origine l’existence de forces résistantes donnant lieu à un travail résistant (ouénergie perdue)

Cette chute (diminution) de pression s’appelle P d C : PERTE de CHARGE.

Rappel : En électricité, la loi d’Ohm définit la perted’énergie et porte le nom de ddp (différence de potentiel)au niveau d’une résistance morte ; Cette perte d’énergie sedissipe sous forme d’énergie calorifique et s’exprime par :

Vu l’existence de forcesrésistantes (et principalement desforces viscosité et éventuellementdes forces rugosité en second lieu)qui s’opposent au mouvement, lesforces de pression diminuent à fur età mesure que le liquide s’écoule afind’annuler ces forces résistantes.

ΔU = R I = ρ (L / S) I


En général, les pertes de charge (PdC) se définissent par la variation de la pression étoilée ets’expriment comme toute énergie en hydraulique en mCE, en admettant que la vitesse est uneconstante, selon la formule :

zg

Pg

PPdC

*

Avec, rappelons le U moy = (ΔP * R2) / (8 *μ * L)

Soit : PdC = 8 μ L * Umoy / ρ g R2 = 32 μ L * Umoy / ρ g D2

gD

Lf

g

U

D

L

RgD

L

UDPdc uu

e 2**

2**

64

2**

64222

Avec : (Vérifier l’équation aux dimensions)

U : Vitesse moyenne qui sera dorénavant prise en considération toujours en m/s.D, L: Diamètre et Longueur de la conduite en m.g : Accélération du lieu g = 8.91 m / s / s → [L * T-2].ρ : Masse volumique du liquide en Kg / m3 → [M * L-3].μ : Viscosité dynamique du liquide en kg / m / s → [M * L-1 * T-1]PdC : Perte de charge au cours de l’écoulement en mCE.f : Coefficient des pertes de charge sans unité !

ConclusiongD

LfPdc u

2**

2

SOIT :

Les PdC sont fonction des dimensions de la conduiteo Les PdC sont proportionnelles à la longueur de la conduite Lo Les PdC sont Inversement proportionnelles au diamètre de la conduite D

Les PdC sont fonction de l’écoulement: Elles sont proportionnelles à l’énergie cinétique

Les PdC sont fonction de la nature du liquide représentée ici par le premier terme f =

UD

64qui regroupe à la fois :

o L’écoulement du liquide représenté par la vitesse U.o La conduite représentée par le diamètre Do Le liquide représenté par sa masse volumique et sa viscosité cinématique

Remarque : Un liquide peur être représenté par :

Sa viscosité dynamique μ en kg/ms Sa viscosité cinématique ν en m2/s Sa masse volumique ρ en Km/m3

La relation reliant ces trois grandeurs est μ = ν * ρ

Exemple : Soit une conduite de diamètre D = 20 mm et de longueur L = 100 m qui transporte unliquide caractérisé par (d = 0.998 ; ν = 1.007 * 10-6 m2/s) avec une vitesse V = 0.03 m/s. g = 10 S.I


1. Calculer l’énergie cinétique. 4.5 * 10-5 mCE

Wc = U2 / 2g = 0.0 32 / 2g = 4.5 * 10-5 mCE

2. Calculer le coefficient des PdC si on suppose que l’écoulement est laminaire 1.07

UDf

64 = 64 * 1.007 * 10-6 / (0.03 * 0.02) = 1.074 13

3. Calculer les PdC si on suppose que l’écoulement est laminaire 0.024 mCE

gDLfPdc u

2**

2

= 1.074 * (100 / 0.02) * 4.5 * 10-5 = 0.024 mCE

4. En déduire la variation de la pression.

6.2.10 LOI DES PERTES DE CHARGE

Rappelons que l’expression des pertes de charge en fonction du nombre de Reynolds est :

gDLPdc u

2**

Re64

2

Ou gDLfPdc u

2**

2

0 avec Re64

0 f et /** DURe

Et c’est ce qui porte le nom de la FORMULE DE DARCY (expression de pertes de chargeselon Darcy pour un écoulement laminaire)

RÉSUMÉ : La formule des pertes de charge en écoulement laminaire se résume en trois points :

gD

LPdc u

2**

Re

642

Les PdC sont fonction des dimensions de la conduite

Les PdC sont proportionnelles à la longueur de la conduite L Les PdC sont Inversement proportionnelles au diamètre de la conduite D

Les PdC sont fonction de l’écoulement: Elles sont proportionnelles à l’énergie cinétique U2/2g Les PdC sont fonction de la nature du liquide représenté par le nombre de Reynolds. Elles sont

inversement proportionnelles au nombre de Reynolds Re.

La perte de pression est donnée par les pertesde charge, c’est ce qui se représentegraphiquement par :

Refaire d’autres exemples de conduites deprofil ascendantes et descendantes



6.3 ÉCOULEMENT TURBULENT

6.3.1 RAPPEL

6.3.2 DÉFINITION

Un écoulement est dit TURBULENT, si (constituants les lignes de courant) les particules duliquide (constituants les lignes de courant) se déplacent dans toutes les directions au hasard. Il estimpossible de décrire le mouvement d’une particule donnée. Dans ce cas, les forces de rugositésont prépondérantes.

EXE1 :

Soit un tuyau de diamètre D = 30 mm, qui transporte un débit Q = 1.05 l/s d’un liquide deviscosité cinématique 35.9 * 10-6 m2/s et de masse volumique 928 kg/m3.

1* Calculer la vitesse de l’écoulement 1.485 m/s

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 1.05 L / s / π / 0.032 = 1.485 m/s

2* Calculer le nombre de Reynolds 1 241

Re = U * D * ρ / μ = 1.485 * 0.03 * / (35.9 * 10-6) = 1 241

3* De quel écoulement s’agit-il ? Écoulement laminaire

Remarque :

Dans cet exemple, la donnée de la masse volumique ne sert à rien. Faites bien attention auxdonnées qui sont en excès ou éventuellement manquantes !!

EXE2 : Soit un tuyau de diamètre D = 450 mm, qui transporte un débit Q = 240.5 l/s d’un liquide(de viscosité dynamique 1.05 * 10-4 kg/ms et de masse volumique 0.990 kg/L)

1* Calculer la vitesse de l’écoulement 1.5 m/s

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 240.5 L / s / π / 0.452 = 1.512 m/s

2* Calculer le nombre de Reynolds 6 415 920

Re = U * D * ρ / μ = 1.5 * 0.45 * 990 / (1.05 * 10-4) = 6 415 915

3* De quel écoulement s’agit-il ?

Écoulement turbulent : Il n’est pas possible d’appliquer la loi de Darcy vue précédemment.

Un écoulement est dit laminaire,quand les particules (constituants les filetsliquides) se déplacent en lignes droitesparallèles les unes aux autres.


Rappel: Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension (sans unité) A vérifier !

6.3.3 CONTRAINTE TANGENTIELLE

Vu la perturbation de la vitesse en écoulement turbulent, la contrainte tangentielle est lasomme des deux termes :

Contrainte tangentielle visqueuse qu’on a notée : dydV

v

Contrainte tangentielle due à la turbulence qu’on note par analogie : dydV

t

Par suite, La contrainte tangentielle GLOBAL sera : dydV)(

Remarque :

Le coefficient μ (de la viscosité) est bien défini, il dépend du liquide avec (sa température et sapression).

Alors que le coefficient η (de la turbulence) est compliqué dans sa formulation.

6.3.4 PERTES DE CHARGE

Vu ces turbulences, les pertes de charge NE peuvent se calculer d’une façon rigoureuse, dufait de cette complexité dans la détermination du coefficient η (de la turbulence)

Mais, voici une approche tant que l’écoulement reste dans son ensemble permanent.

6.3.4.1 FACTEURS ENTRANT EN JEU

D’une façon générale, et comme pour l’écoulement laminaire, on admet que les pertes decharge dépendent des facteurs suivants :

La vitesse de l’écoulement. Les caractéristiques de la conduite (D, L et sa rugosité relative ε / D) La nature du liquide en écoulement (ρ, μ)

Soit :

6.3.4.2 ANALYSE DIMENSIONNELLE

L’analyse dimensionnelle est constituée par le calcul des dimensions des grandeurs. Ellerepose sur le fait que toutes les formules doivent être homogènes de point de vu équation auxdimensions.

Si les PdC sont exprimées par une perte de pression, on a :

PdC = F (U, L, D, ε / D, ρ, μ)


ÉQUATION AUX DIMENSIONS

La pression a pour équation aux dimensions : [M] *[L

Soit, on a : [M L-1T-2] = Cte * [La] * [M L

D’où, on aboutit aux systèmes d’équations suivantes :

[M] → 1 = b + c[L] → -1 = a - b – 3c + 1 + e[T] → - 2 = - b – e

Après la résolution du système d’équations, on a

a = e – 3, b = 2 – e et c = e

Et en remplaçant a, b et c par leur valeur, on a

Pdc = Δ pression = Cte * De-3 * μ2-

Et si on fait intervenir le nombre de Reynolds, Re =

PdC = Cte / Re

Formule qu’on peut mettre sous la

PdC = f * L/D * U

Rappel : La loi de Darcy en écoulement laminaire est

PdC = f * L/D * U2 / 2g Avec f = 64 / Re

6.3.4.3 EXPRESSION DES PERTES DE CHARGE

On admet, pour tout type d’écoulement, que l’expression dessuit la loi de Darcy. Mais le problème réside dans la détermination du

PdC = Δ pression

= Cste* Da * μb * ρc * Ld * Ue * (ε/D)

Où a, b, c, d, e et i sont des paramètres à déterminer

Par expérience, on a : Δ pression / ρ g = CC'est-à-dire que le paramètre d = 1

PdC = f * L / D * U


aux dimensions : [M] *[L-1] * [T-2]

] * [M L-1 T-1] b * [M L-3] c * [L1] * [L T-1] e * [L /

D’où, on aboutit aux systèmes d’équations suivantes :

Après la résolution du système d’équations, on a :

e et c = e – 1 avec ‘’e’’ considéré comme un paramètre toujours

Et en remplaçant a, b et c par leur valeur, on a :

-e * ρe-1 * L1 * Ue * (ε / D) i

Et si on fait intervenir le nombre de Reynolds, Re = UD

; on aura :

PdC = Cte / Re 2-e * (ε / D)i * L / D * U2 / 2g

Formule qu’on peut mettre sous la forme de la loi de Darcy (en écoulement turbulent).

PdC = f * L/D * U2/2g Avec f = Cte / Re 2-e * (ε / D) i

La loi de Darcy en écoulement laminaire est

2g Avec f = 64 / Re

EXPRESSION DES PERTES DE CHARGE

pour tout type d’écoulement, que l’expression des pertes de chargesuit la loi de Darcy. Mais le problème réside dans la détermination du coefficient ‘f’

Système de trois équations à trois inconnussi on considère ‘e’ comme un paramètre pourla résolution : A faire ! ?

* (ε/D) i

a, b, c, d, e et i sont des paramètres à déterminer

Δ pression / ρ g = Cste * L ;d = 1

PdC = f * L / D * U2 / 2g

BDELLAH BENTALEB 62

L] i

avec ‘’e’’ considéré comme un paramètre toujours

forme de la loi de Darcy (en écoulement turbulent).

pertes de charge dite linéaires,coefficient ‘f’

Système de trois équations à trois inconnussi on considère ‘e’ comme un paramètre pour


Pour l’écoulement laminaire, le problème est simple, on a : f = 64 / Re

Pour l’écoulement turbulent, le problème ne l’est pas, on a : f = Cte / Re 2-e * (ε/D) i

En fin de compte : le problème réside dans la détermination des paramètres(constantes) ‘e’ et ‘i’. Et seules les expériences résolvent le problème.. . . .

Sur ce, plusieurs formules empiriques ont été proposées. La plus générale et la plusutilisée est celle de Colebrook qui formule ‘f’ par l’expression suivante.

)Re

51.2

7.3lg(2

1

fDf

Avec :Re : Nombre de Reynolds sans dimension (à vérifier !)D : Diamètre de la conduite en m → [L]f : Coefficient des pertes de charge sans dimension ; à vérifier !ε : Rugosité de la conduite en m → [L] ; en voici quelques exemples.

Nature du matériau k (mm) Nature k (mm)

Acier neufrevêtement plastique et lissenon poreux

0,050,030,03

Béton neuf (centrifugé)moules lissesmoules grossiers

0,040,42,0

Fonte neuverevêtement bitumerevêtement ciment

0,50,120,07

Fibrociment neuf 0,06

Aluminium neuf 0,02 Grès vernissé 0,08

Cuivre et Plomb neuf 0, 01 Plastique 0,002

Laiton 0,003 Bois 0,3

Remarque :

Pour les nombres de Reynolds trop grand, on pourra négliger le deuxième terme 2.51 / (Re *

f01/2) devant le premier terme ε / (3.7 * D). D’où, une valeur approchée sera donnée par :

1 / (f0)1/2 ≈ - 2 * lg (ε / (3.7 * D))

L’exemple suivant trace la méthodologie à suivre pour résoudre l‘équation en ‘f’ par la méthodedes approximations successives

Exemple : Calculer le coefficient f des pertes de charge, selon la loi de Darcy, si on a : ε = 0.3 mm,D = 100 mm et Re = 4 550

*0 quelle type d’écoulement a-t-on ? Quelle formule va-t-on utilisée ?

Écoulement turbulent, qui donne la formule de Colebrook

*1 Calculer le terme approximatif f0 0.026 165

1 / (f0)½ ≈ - 2 lg (ε / 3.7 / D) = - 2 * lg (0.3 / 3.7 / 100) = 6.182

Ce qui donne en première approximation f0 ≈ 0.026 165


*2 Remplacer cette valeur dans l’expression (-2 log (ε/3.7/D + 2.51/Re/ f01/2) pour calculer f1

1/ (f1)½ = -2 lg (ε / 3.7 / D + 2.51 / Re / f0

1/2) =-2 lg (0.3 /3.7 / 100 + 2.51 / 4 550 / 0.0261651/2) = 4.749

Ce qui donne approximativement f1 = 0.044 338

*3 Répéter l’étape *2 pour calculer f2 ce qui donne approximativement

1/ (f2)½ = - 2 lg (ε / 3.7 / D + 2.51 / Re / f1

1/2)= - 2 lg (0.3 / 3.7 / 100 + 2.51/ 4 550 / 0.044 341/2) = 4.929

Ce qui donne approximativement f2 = 0.041 157

*4 Et ainsi de suite jusqu’à ce que la précision recherchée soit atteinte.

Soit : fi-1 ≈ fi ≈ fi+1 On admet que f ≈ 0.041 523 565

RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DONNANT LE COEFFICIENT‘f’ DES PERTES DE CHARGE DE LA LOI DE DARCY

ε (mm) = 0,3 D (mm) = 100 Re = 4 550

(1) (2) (3) (4) = (2) + (3) (5) (6)

f proposé ε/3,7/D 2,51 / Re / f 0,5 Somme -2 lg10(Somme) F corrigé

0,0

00

81

08

11

0,000 810 811 6,182 160 939 0,026 164 919

0,026 164 919 0,003 410 379 0,004 221 190 4,749 130 260 0,044 337 565

0,044 337 565 0,002 619 850 0,003 430 661 4,929 244 467 0,041 156 581

….. …….. …….. …… ……

……. ……… ……. ………… ……….

0,041 523 562 0,002 707 167 0,003 517 978 4,907 413 846 0,041 523 565

0,041 523 565 0,002 707 167 0,003 517 978 4,907 413 868 0,041 523 565

On admet que f ≈ 0.041 524 alors que F0 ≈ 0.026 165

Remarque : Ce calcul pourra être fait avec Excel d’une façon très rapide. (Voir TD)

EXEMPLE :

Soit une conduite placée dans un terrain supposé horizontal, de diamètre D = 300 mm etayant une rugosité ε = 1.5 mm qui véhicule un débit Q = 100 l/s à la température ambiante (μ =0.001 kg/m/s, ρ = 999 kg/m3) sur une longueur L = 1.5 km g = 10 S.I

*1 Calculer la vitesse de l’écoulement et l’énergie cinétique 1.4 m/s

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.1 / π / 0.32 = 1.415 m/s

Wc = U2 / 2g = 1.4152 / 2g = 0.1 mCE

*2 Quelle est la nature de l’écoulement (turbulent, transitoire ou laminaire) ? 423 989

Re = U * D * ρ / μ = 1.415 * 0.3 * 999 / 0.001 = 423 989 : L’écoulement est turbulent


*3 Calculer le facteur f0 approximatif des PdC 0.030

1 / (f0)1/2 ≈ - 2 * log (ε / 3.7 / D) = - 2 * log (1.5 / 3.7 / 300) = 5.738

(f0)1/2 ≈ 1 / 5.738 = 0.174 Soit f0 = 0.1742 = 0.030

*4 En déduire les PdC linéaires approximatives 15.184 mCE

PdC ≈ f0 * L / D * U2 / 2g = 0.03 * (1 500 / 0.3) * 0.1 = 15.184 mCE

*5 Calculer le facteur f exact des PdC f = 0.030 596

*6 En déduire les PdC linéaires exactes 15 mCE

PdC = f * L / D * U2 / 2g = = 0.030 596 * (1 500 / 0.3) * 0.1 = 15.298 mCE

*7 Y a t – il une différence significative ?

L’erreur = 2 %, Soit : aucune différence significative. L’utilisation de la valeur F0approximative est suffisante.

*8 Faire la représentation de Bernoulli (de préférence à l’échelle) en supposant que la pressionaval restante est 1 mCE

CONCLUSION :

Dans la pratique du génie rural, on a en général des écoulements turbulents. L’écoulementlaminaire n’a lieu par exemple qu’en irrigation Goutte à Goutte, où on a :

Les vitesses faibles Les diamètres faibles

Qui donnent des nombres de Reynolds très faibles !

Par suite, le coefficient ‘f’ des pertes de charge, pour ces écoulements turbulents, devra êtredéterminé par la formule de Colebrook.

Cette formule de Colebrook est universelle. Mais son utilisation est compliquée. Par conséquent,et dans la pratique, la détermination des PdC se fait par d’autres formules d’un emploibeaucoup plus simplifié. (voir chapitre suivant)

Re = U D ρ / μ


6.4 NOTION DE PERTES DE CHARGE UNITAIRES

Quel que soit le type de l’écoulement, la formule des pertes de charge linéaires suit la loi deDarcy.

PdCL = f * L / D * U2 / 2g

Par suite, on définit les pertes de charge unitaires par :

Avec :

PdCL : Pertes de charge linéaires en mCEPdCu : Pertes de charge unitaires en mCE / mL (mètre linéaire de la conduite)

6.5 NOTION DE PERTE DE CHARGE SINGULIÈRE

Dans la pratique, les conduites sont un ensemble de tronçons qui comportent :

Par suite, tous ces divers accessoires donnent lieu à des forces de frottement (forcesrésistantes supplémentaires) additionnelles, qui se traduisent par une perte d’énergie en plus (àajouter). C’est ce qui s’appelle par les pertes de charge singulières ou localisées.

Le tableau suivant en donne une idée globale :

Accessoires PdCPerte à l’entrée :Du réservoir à une conduite

Connexion au ras de la paroiTuyau entrantConnexion arrondie

0.5 * U2 / 2g1.0 * U2 / 2g0.05 * U2 / 2g

Perte à l’entrée : D’une conduite au réservoir 1.0 * U2 / 2gDivergence brusque (U1-U2)

2 / 2g

Divergence progressive K = f (D1 / D2, α) K * (U1-U2)2 / 2g

Ainsi, on a globalement:

Avec :

PdCT : Pertes de charge totales dans la conduite.PdCL : Pertes de charge linéaires dans la conduite.PdCs : Pertes de charge singulières dans la conduite.

PdCu = PdCL / L = f * 1 / D * U2 / 2g

De joints qui permettent de rassemblerles tronçons de la conduite.

Et des divers accessoires tels que lescoudes, cônes, Tés, vannes, … (voirhydraulique appliquée).

…….

PdCT = PdCL + PdCs


Remarque : Comme toutes PdC, l’expression des pertes de charge singulières se fait en fonction de

l’énergie cinétique (voir tableau). Dans la pratique, l’estimation des pertes de charge singulières n’est pas si simple pour

plusieurs raisons. Ainsi, et pour simplifier, les pertes de charge singulières s’estiment à 10 à 20% des pertes

de charges linéaires en première approximation.

En résumé : Les pertes de charge singulières sont : PdCs = K * U2 / 2g Les pertes de charge unitaires sont : PdCu = f * 1 / D * U2 / 2g Les pertes de charge linéaires sont : PdCL = PdCu * L Les pertes de charge totales sont : PdCT = PdCL + PdCs ≈ 1.15 * PdCL

6.6 APPLICATIONS AUX MACHINES HYDRAULIQUES

En hydraulique, il y a des machines qui reçoivent de l’énergie hydraulique et la transformenten une autre forme d’énergie telle que :

o Énergie mécanique : C’est le cas du moulin à eauo Énergie électrique : C’est le cas de la turbineo …

Et réciproquement, il y a des machines qui reçoivent une énergie donnée pour la transformeren énergie hydraulique : C’est le cas des pompes

À ne pas oublier que dans toute transformation d’énergie, il y a toujours une partie de cetteénergie transformée qui est perdue. D’où, on a :

6.6.1 NOTION DE LIGNE PIÉZOMÉTRIQUE

PdCT ≈ 1.15 * PdCL

Pour une turbine, l’énergietransformée est l’énergie potentiellehydraulique à laquelle il sera déduit lespertes d’énergie. En d’autres termes, laturbine ne donnera qu’une énergiecorrespondante à :

Pour une pompe, l’énergie cédée àl’eau est la somme de l’énergie potentiellehydraulique à laquelle il sera ajouté lespertes d’énergie. En d’autres termes, lapompe devra vaincre la Hg et les PdC. Soit :

Énergie transf = Énergie tot - Σ Pertes

Hm = Hg - Σ P d C

Énergie transf = Énergie tot + Σ Pertes

Hm = Hg + Σ P d C


6.6.2 NOTION DE HAUTEUR MANOMÉTRIQUE

Pour une pompe; on a : Hm = Hg + Σ PdC (Aspiration et refoulement)

Pour une turbine; on a : Hm = Hg – Σ PdC (Amont et aval)

Remarques :

Une ligne piézométrique est toujours décroissante. (représentation des PdC qui symbolisentles pertes d’énergie) qui croissent toujours vu l’existence des forces résistantes.

Au niveau de la pompe, il y a un accroissement brusque d’énergie hydraulique quiprovient de la transformation de l’énergie mécanique reçue par celle-ci

Au niveau de la turbine, il y a une chute brusque d’énergie hydraulique qui provient de latransformation de cette énergie hydraulique en énergie mécanique donnée par celle-ci aumilieu extérieur.

Ceci vous rappelle la notion de générateur et de récepteur en courant continu

o Pour un générateur, on a : DdP = U = E – r * Io Pour un récepteur, on a : DdP = U = E + r * I

Pour plus de détail, voir le cours des machines hydrauliques, ….

Exe 1 : Soit une pompe qui refoule un débit d’eau 34.5 l/s d’un réservoir ayant une cote eau Z1 =324.25 mNGM à un autre réservoir ayant une cote eau Z2 = 431.05 mNGM à travers une conduitede caractéristiques (L = 2.5 km, D = 200 mm, ε = 2.5 mm)

1. Calculer l’énergie cinétique Wc 0.06 mCE

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * (34.5 / 1000) / π / 0.22 = 1.098 m/sWc = U2 / 2g = 1.0982 / 20 = 0.06 mCE

2. Calculer le coefficient approximatif des pertes de charge 0.041

1 / (f0)1/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = - 2 * log (2.5 / 3.7 / 200) = 4.943

Soit : f0 = 1 / 4.9432 = 0.041

3. En déduire les pertes de charge à l’aspiration et au refoulement approximatives 31

PdC = f0 * L / D * U2 / 2g = 0.041 * 2 500 / 0.2 * 0.061 = 31.207 mCE

4. Calculer la hauteur manométrique 138 mCE

Hm = (Z2 – Z1) + PdC = (431.05 – 324.25) + 31.21 = 138.01 mCE

5. Faire la représentation quantitative de Bernoulli


6. Peut-on négliger l’énergie cinétique ?

Wc = U2 / 2g = 1.0982 / 20 = 0.06 mCE. Alors que Hm = 138 mCEL’énergie cinétique est bien négligeable.

7. Calculer puissance hydraulique de la pompe. 48 kW

Ph = ρ * g * Q * Hm = 1 000 * 10 * (34.5 / 1 000) * 138.01 = 47.613 kW

Exe 2 :

Soit une turbine qui reçoit un débit Q = 1.45 m3/s à partir d’un réservoir ayant une cote eau Z1= 62.28 mNGM pour le livrer à un autre réservoir ayant une cote eau Z2 = 18.42 mNGM. Laconduite a les caractéristiques (L = 0.23 km, D = 1 500 mm, ε = 3 mm)

1. Calculer la vitesse et l’énergie cinétique Wc 0.8 m/s 0.034 mCE

U = 4 * Q / Π / D2 = 4 * 1.45 / Π / 1.52 = 0.821 m/s

Wc = U2 / 2g = 0.822 / 2g = 0.034 mCE

2. Calculer le coefficient approximatif des pertes de charge 0.023

1 / (f0)1/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = - 2 * log (3 / 3.7 / 1 500) = 6.534

Soit : f0 = 1 / 6.5342 = 0.023

3. En déduire les pertes de charge approximatives à l’amont et à l’aval de la turbine 0.123

PdC = f0 * L / D * U2 / 2g = 0.023 * (230 / 1.5) * 0.034 = 0.123 mCE

4. Faire la représentation de Bernoulli qualitative et quantitative

5. Peut-on négliger l’énergie cinétique Wc

6. En déduire la hauteur manométrique 44 mCE

Hm = (Z2 – Z1) - PdC = 62.28 – 18.42 + 0.123 = 43.98 mCE

7. Calculer puissance hydraulique de la turbine. 638 kW

Ph = ρ * g * Q * Hm = 1000 * 10 * 1.45 * 43.98 = 637.76 kW


6.7 NOTION DE DONNÉES ÉQUIVALENTES

Pour en répondre, il faudra définir la notion de données équivalentes qui peuvent être soit ledébit ou éventuellement la longueur.

6.7.1 NOTION DE LONGUEURS ÉQUIVALENTES

Voir le cours de l’irrigation par d’aspersion ou de l’irrigation goutte à goutte (localisée)

6.7.2 NOTION DE DÉBITS ÉQUIVALENTS

Voir le cours de l’AEP

Mais, comment peut oncalculer ces pertes de chargeau cas où le débit varie le longde la conduite (lorsqu’il y a unedistribution d’eau le long de laconduite par exemple) ?

Jusqu’à présent, lecalcul des PdC à traversune conduite se fait ensupposant que le débit quitraverse la conduite estconstant tout le long de ladite conduite.


EXERCICES

MÉTHODE ITÉRATIVE POUR LE CALCUL DE f

EXE 1:

Calculer le coefficient ‘f’ des pertes de charge, selon la loi de Colebrook, si on a : ε = 2 mm,D = 150 mm, Re = 32 5000

)*325000

51.2150*7.3

2lg(21ff

Remarque : Ce calcul pourra être fait avec Excel d’une façon très rapide. (Voir TD)

NOTION DE PdC EN GÉNÉRAL

EXE 2.

Calculer la perte de charge dans un tuyau de 15 cm s’il est nécessaire de maintenir unepression de 23.5 N/cm2 en un point A en amont et situé 1.8 m en dessous de l’endroit B où letuyau déverse de l’eau dans l’atmosphère avec un débit de 55 L/s

**0 Faire le schéma de la représentation de Bernoulli

**1 Calculer la vitesse 3 m/s

V = Q / S = 4 * Q / π / D2 = 4 * 55 * 10-3 / π / 0.152 = 3.11 m/s

**2 Donner la valeur de l’expression du théorème de Bernoulli en A (à l’entrée du tuyau) 24 mCE

Ha = Z + P / ρg + U2 / 2g = 0 + 23.5 mCE + 3.112 / 20 = 23.98 mCE ≈ 24 mCE

**3 Donner l’expression du théorème de Bernoulli en B (à la sortie du tuyau) 2.28

Hb = Z + P / ρg + U2 / 2g = 1.8 + 0 + 3.112 / 20 = 2.28 mCE

**4 En déduire les pertes de charge entre A et B 21.72 mCE

PdC = Ha – Hb = 24 - 2.28 = 21.72 mCE


EXE 3.

Une pipe line de diamètre D = 30 cm transporte de l’huile de densité d = 0.811 à la vitesse V =24 m/s. Au point A on a : Pa = 3.7 kgf/cm2, Za = 30 m, et au point B on a : Pb = 2.96 kgf/cm2, Zb =33 m.

**1 Calculer l’énergie totale en A et B. 104.4 mCE 98.3 mCE

Ha = Z + P/ρg + U2/ 2g= 30 + 37 / 0.811 + 242/ 20 = 104.4 mCE

Hb = Z + P/ρg + U2/ 2g= 33 + 29.6 / 0.811 + 242/ 20 = 98.3 mCE

**2 En déduire la perte de charge entre A et B 6.1 mCE

PdC = Ha - Hb = 104.4 - 98.3 = 6.1 mCE

EXE 4.

Une conduite transportant de l’huile de pétrole de densité d = 0.877 passe de 15 cm dediamètre à la section 1 à 45 cm à la section 2. La section 1 est située 3.6 m plus bas que la section2 et les pressions sont respectivement de 9.3 N/cm2 et de 6.15 N/cm2.

**1 Si le débit est Q = 146 L / s, Calculer V1 et V2. 8 m/s 0.9 m/s

V = Q / S = 4 * Q / π / D2

V1 = 4 * 0.146 / π / 0.152 = 8.26 m/s

V2 = 4 * 0.146 / π / 0.452 = 0.918 m/s

**2 Calculer l’énergie au point 1 et au point 2 si on prend pour référence le point 1. 14.01 10.65

H1 = Z + P / ρg + U2 / 2g= 0 + 9.3 / 0.817 + 8.262 / 20 = 14.01 mCE

H2 = Z + P / ρg + U2 / 2g= 3.6 + 6.15 / 0.817 + 0.9182 / 20 = 10.65 mCE

**3 Donner le sens de la circulation du liquide avec un petit schéma

**4 En déduire la PdC. 3.35 mCE

PdC = H1 – H2 = 14.01 - 10.65 = 3.35 mCE


ÉCOULEMENT LAMINAIRE

EXE 5

Soit une conduite (D = 20 cm, L = 1 000 m) qui débite de l’eau à la température ambiante.(Viscosité cinématique ν = 1.3 * 10-6 m2/s)

*1 Quelle est la vitesse à ne pas dépasser pour que l’écoulement reste laminaire ? 0.013

Re = U * D / ν < 2 000

U < Re * ν / D = 2 000 * 1.3 * 10-6 / 0.2 = 0.013 m/s

*2 Quelle est la PdC correspondante ? 0.001 4 mCE

PdC = (64 / Re) * (L / D) * U2 / 2g= (64 / 2 000) * (1 000 / 0.2) * 0.0132 / 2g = 0.001 4 mCE

EXE 6.

De l’huile de caractéristiques (viscosité μ = 0.010 3 kg/m/s ; densité d = 0.85) circule dans untuyau de fonte (longueur L = 3000 m, Diamètre D = 30 cm) au rythme de 4.4 L/s.

*1 Calculer la vitesse de l’écoulement. 0.06 m/s

V = Q / S = 4 * Q / π / D2

= 4 * 4.4 / 1 000 / π / 0.302 = 0.062 m/s

*2 Calculer le nombre de Reynolds. 1 535

Re = U * D * ρ / μ= 0.062 * 0.3 * 1 000 * 0.85 / 0.010 3 = 1 535

*3 Calculer les PdC. 0.081 mCE

PdC = (64 / Re) * (L / D) * U2 / 2g= (64 / 1 535) * (3 000 / 0.3) * 0.0622 / 2g = 0.081 mCE

EXE 7.

On pompe une huile à lubrifier de densité d = 0.86, par un tuyau horizontal (D = 5 cm ; L = 300m) au rythme de 1.2 L/s. Si la chute de pression est 2.1 kgf/cm2. Calculer :

*1 La vitesse de l’écoulement 0.6 m/s

V = Q / S = 4 * Q / π / D2

= 4 * 1.2 * 10-3 / π / 0.052 = 0.61 m/s

*2 Les pertes de charge le long du tuyau 24.4 mCE

PdC = ΔP / ρg = 21 / 0.86 = 24.4 mCE


*3 Le nombre de Reynolds 293

PdC = (64 / Re) * (L / D) * U2 / 2g, d’où on tire :

Re = (64 / PdC) * (L / D) * U2 / 2g= (64 / 24.4) * (300 / 0.05) * 0.612 / 2g = 293

*4 En déduire la viscosité dynamique 0.1 kg/m/s

Re = U * D * ρ / μ ; D’où on tire:

μ = U * D * ρ / Re= 0.61 * 0.05 * 1 000 * 0.86 / 293 = 0.09 kg/m/s

EXE 8.

Soit une conduite horizontale (L = 100 m, D = 100 mm) débitant du fuel (d = 0.861, ν =5.16 * 10-6 m2/s) à la vitesse V = 7.5 cm/s.

*1 Calculer le nombre de Reynolds 1 453

Re = U * D / ν = 0.075 * 0.1 / 5.16 10-6 = 1 453

*2 Calculer les pertes de charge PdC 0.012 mCE

PdC = (64 / Re) * (L / D) * U2 / 2g= (64 / 1453) * (100 /0.1) * 0.0752 / 20 = 0.012 mCE

EXE 9.

Soit une conduite (D = 0.02 m ; L = 100 m) qui débite 0.012 L/s d’un liquide à la températureambiante avec une PdC = 0.012 mCE

*1 Quelle est la vitesse de l’écoulement ? 0.04 m/s

V = Q / S = 4 * Q / π / D2

= 4 * 0.012 * 10-3 / π / 0.022 = 0.038 m/s

*2 Quelle est le nombre de Reynolds correspondant ? 1 925

Re = (64 / PdC) * (L / D) * U2 / 2g= (64 / 0.012) * (100 / 0.02) * 0.0382 / 20 = 1 925

*3 En déduire la viscosité cinématique du liquide 3.95 * 10-7 m2/s

Re = U * D / ν d’où on tire :

ν = U * D / Re = 0.038 * 0.02 / 1 925 = 3.95 * 10-7 m2/s


EXE 10.

Soit une conduite (D = 0.025 m ; L = 3 100 m) qui débite un liquide à la température ambiante(ν = 1.3 *10-6 m2/s) avec une PdC = 2.06 mCE

*1 Quelle est la vitesse de l’écoulement ? 0.1 m/s

PdC = (64 / Re) * (L / D) * U2 / 2g avec Re = U * D / ν ; Soit:

PdC = (64 * ν / U / D) * (L / D) * U2 / 2g= (64 * ν / D) * (L / D) * U / 2g= (64 * 1.3 * 10-6 / 0.025) * (3 100 / 0.025) * U / 20 = 20.634 U = 2.06 mCE

D’où en fin de compte U = 0.1 m/s


Re = U * D / ν = 0.1 * 0.025 / 1.3 * 10-6 = 1 923

*3 En déduire le débit de l’écoulement ? 0.05 L/s

Q = U * S = U * π * D 2 / 4 = 0.1 * π * 0.025 2 / 4 = 0.049 L/s

EXE 11.

Soit un tuyau à installer pour transporter 22 l/s de fuel-oil lourd à 15 °C (ν = 201 * 10-6 m2/s)qui a la perte de charge de 22 m / 1 000 m.

*1 Donner l’expression de la vitesse en fonction du débit et la section du tuyau.

Q = U * S donne U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 22* 10-3 / π / D2 = 0.028 / D2

*2 En admettant que l’écoulement est laminaire, Quelle est la taille du tuyau ? 0.169 m

PdC = (64 / Re) * (L / D) * U 2 / 2g avec U = 0.028 / D 2 ; Soit :

PdC = (64 * ν / (U * D)) * (L / D) * U 2 / 2g= (64 * ν * L / D 2) * U 2 / 2g = (64 * ν * L / D 2) * 0.028 / D 2 / 2g= (64 * 201 *10-6 * 1000 * 0.028 / 20) / D 4 = 0.018 / D 4 = 22 mCE

D’où en fin de compte D = 0.17 m

*3 Vérifier l’hypothèse de l’écoulement laminaire Re = 820

U = 0.028 / D 2 = 0.028 / 0.169 2 = 0.98 m/s

Re = U * D / ν = 0.98 * 0.169 / 201 *10 -6 = 820

*3 Faire la représentation de Bernoulli


ÉCOULEMENT TURBULENT

EXE 12.

Soit une conduite (D = 150 mm ; ε = 2.5 mm ; L = 1 000 m) donnant un débit Q = 30 L/s d’eau àla température ambiante. (ν = 1.3 * 10-6 m2/s)

*1 Quel type d’écoulement a t- on ? Re = 195 883

U = Q / S = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.030 / π / 0.152 = 1.698 m/s

Re = U * D / ν = 1.698 * 0.150 / 1.3 * 10-6 = 195 883:

L’écoulement est Turbulent

*2 Calculer le coefficient approximatif de PdC f0 0.045

1 / f01/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = -2 * log (2.5 / 3.7 / 150) = 4.693

Soit f0 = 1 / 4.6932 = 0.045

*3 Quelle est la PdC correspondante ? 43.7 mCE

PdC = f0 * (L / D) * U2 / 2g= 0.045 * (1 000 / 0.15) * 1.6982 / 2g = 43.7 mCE

EXE 13.

Soit une conduite (D = 250 mm ; ε = 2.5 mm ; L = 3 100 m) qui débite un liquide à latempérature ambiante (ν = 1.3 *10-6 m2/s) avec une PdC = 22.06 mCE

*1 Calculer le coefficient de PdC approximatif f0 0.038

1 / f01/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = -2 * log (2.5 / 3.7 / 250) = 5.136

Soit f0 = 1 / 5.1362 = 0.038

*2 Quelle est la vitesse de l’écoulement ? U = 0.97 m/s

PdC = f0 * (L / D) * U2 / 2g == 0.038 * (3 100 / 0.25) * U2 / 2g = 23.56 * U2 = 22.06 mCE

Soit : U = 0.97 m/s


Re = U * D / ν = 0.97 * 0.25 / 1.3 * 10-6 = 186 000 : Ce qui justifie la formule de F0

*4 En déduire le débit de l’écoulement ? 47 L/s

Q = U * S = U * π * D2 / 4= 0.97 * π * 0.252 / 4 = 47.5 L/s


Exe 14:

Soit une pompe qui refoule de l’eau à la vitesse U = 0.9 m/s d’un réservoir ayant une cote Z1

= 123.45 mNGM à un autre réservoir ayant une cote Z2 = 224.45 mNGM à travers une conduite decaractéristiques (La = 0. 34 km, Lr = 2.34 km, Da = Dr = 350 mm, ε = 3 mm)

1 Calculer l’énergie cinétique Wc 0.041 mCE

Wc = U2 / 2g = 0.92 / 2g = 0.041 mCE

2 Calculer le coefficient approximatif des pertes de charge 0.036

1 / (f0)1/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = -2 * log (3 / 3.7 / 350) = - 2 * log (0.002) = 5.27

Soit : f0 = 1 / (5.27) 2 = 0.036

3. En déduire les pertes de charge à l’aspiration et au refoulement 1.416 mCE 9.748

PdCasp = f * L / D * U2 / 2g = 0.036 * 340 / 0.35 * 0.041 = 1.416 mCE

PdCref = f * L / D * U2 / 2g = 0.036 * 2 340 / 0.35 * 0.041 = 9.748 mCE

4. Calculer la hauteur manométrique 112.164 mCE

Hm = (Z2 – Z1) + (PdCasp + PdCref)= (224.45 - 123.45) + (1.416 + 9.748) = 112.164 mCE


6. Calculer le débit de la pompe. 0.09 m3/s

Q = U * S = 0.9 * 3.14159 * 0.352 / 4 = 0.087 m3/s

7. Calculer la puissance hydraulique à développer par la pompe. 97.12 kW

Ph = ρ * g * Q * Hm = 1 000 * 10 * 0.087 * 112.16 = 97.12 kW

8. Calculer l’énergie reçue par cette pompe au bout de 10 h de fonctionnement si sonrendement est 0.8. 1 214 KWh

W = Ph * T / η = 97.12 * 10 / 0.8 = 1 214 KWh


Exe 15 :

Soit une turbine qui reçoit un débit Q = 824.45 L/s à partir d’un réservoir ayant une cote Zm

= 624.28 mNGM pour le livrer à un autre réservoir ayant une cote Zv = 218.42 mNGM. La conduiteest de caractéristiques (Lm = 2.23 km, Lv = 0.015 km, Dm = Dv = 1 000 mm, ε = 3 mm)

1. Calculer l’énergie cinétique Wc 0.055 mCE

U = 4 * Q / Π / D2 = 4 * 0.824 45 / 3.141 59 / 1 = 1.05 m/s

Wc = U2 / 2g = 1.052 / 2g = 0.055 mCE

2. Calculer le coefficient approximatif des pertes de charge = 0.026

1 / (f0)1/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = -2 * log (3 / 3.7 / 1 000) = - 2 * log (0.000 4) = 6.182

Soit : f0 = 1 / (6.736) 2 = 0.026

3. En déduire les pertes de charge à l’amont et à l’aval de la turbine 3.215 mCE 0.022

PdCam = f0 * L / D * U2 / 2g = 0.026 * 2 230 / 1 * 0.055 = 3.215 mCE

PdCav = f0 * L / D * U2 / 2g = 0.026 * 15 / 1 * 0.055 = 0.022 mCE


5. En déduire la hauteur manométrique 402.6 mCE

Hm = (Zm – Zv) - (PdCam + PdCav)= (624.28 - 218.42) - (3.215 + 0.022) = 402.6 mCE

6. Calculer puissance hydraulique de la turbine. 3 319.425 kW

Ph = ρ * g * Q * Hm

= 1 000 * 10 * 0.824 45 * 402.6 = 3 319.425 kW

7. Calculer le rendement de cette turbine si au bout de 15 h de fonctionnement, l’énergiefournie est 40 800 kWh. 81.9 %

η = Wf / (Ph * T) = 40 800 / (3 319.4 * 15) = 81.9 %


7 ÉCOULEMENT EN CHARGE

7.1 INTRODUCTION

Au cours des chapitres précédents, il a été traité les écoulements des liquides en général.Mais, dans tout ce qui suit, il NE sera traiter QUE les écoulements de L’EAU.

Dans les conditions normales; la température de l’eau durant les écoulements est de l’ordred’une vingtaine de °C, on peut admettre en première approximation que :

En plus que la masse volumique (RHÔ) est une constante; ≈ 1000 kg/m3

La viscosité dynamique (MU) est aussi une constante; η ≈ 0,001 kg/m/s Ainsi que la vitesse des écoulements dans la pratique est comprise entre deux limites :

Dans tout ce qui suit, on admet que :

o La vitesse est comprise entre ces deux limites. Soit : 0.5 < U < 1.8 m/so La valeur moyenne approximative est : U ≈ 1 m/s

De même, en hydraulique pratique, (hydraulique urbaine et / ou agricole); les diamètresrencontrés sont en gros de D = 60 mm à 1400 mm. Admettons pour simplifier D ≈ l000 mm.

D’où, on peut avoir l’ordre de grandeur suivant pour le nombre de Reynolds.

Re = UDρ / η ≈ 1 m / s * 1 m * 1000 Kg / m3 / 0.001 kg / ms ≈ 1 000 000

Nombre largement supérieur à 4 000.

CONCLUSION : Les écoulements rencontrés en hydraulique appliquée (urbaine et / ou agricole)sont, en général, des écoulements turbulents. (Re varie de 18 000 à 5 500 000)

CAS PARTICULIER :

Les écoulements des eaux dans les réseaux d’irrigation localisée (goutte à goutte) sontdes écoulements laminaires (vu que les vitesses sont trop faibles ainsi que les diamètres destuyaux).

o Limite inférieure dite d’ AUTOCURAGE : c’est la vitesse minimale,à ne pas dépasser, pour éviter lesdépôts des matières en suspensionentraînées par l’eau. En général, onadmet Umin ≈ 0,5 m/s.

o Limite supérieure à ne pas dépasserpour éviter les conséquences desénergies cinétiques trop élevées, quirisquent d’amplifier les dégâts telsque le coup de bélier et érosion desconduites. On admet Umax ≈ 1,6 à 2m/s


7.2 DÉTERMINATION DES PDC EN HYDRAULIQUE

En écoulement turbulent; les PdC sont de la forme :gD

LfPdc u

2**

2

Avec le facteur ‘f’

donné par la formule de Colebrook. )Re

51.27.3

lg(21fDf

Ainsi ; en écoulements turbulents, on a : Re ≈ l 000 000, D ≈ l m et ε ≈ l mm

534343.6)1000/7.3/2lg(2)7.3

lg(21

0

Df

Soit f0 = 0.023 420 496

Et le calcul de f donne :

(1) (2) (3) (4) = (2) + (3) (5) (6)

f proposé ε/3,7/D 2,51/Re/f0,5 Som -2lg10(Som) f corrigé

0,023 420 000

0,0

00

541

0,000 016 401 0,000 556 942 6,508 380 191 0,023 607 727

0,023 607 727 0,000 016 336 0,000 556 877 6,508 482 101 0,023 606 988

0,023 606 988 0,000 016 336 0,000 556 877 6,508 481 702 0,023 606 990

0,023 606 990 0,000 016 336 0,000 556 877 6,508 481 703 0,023 606 990

En conclusion ; on a : f0 = 0.023 4, f = 0.023 6 et l’erreur est (f-f0)/f = 0.8 %

Par conséquent : On peut négliger le terme 2.51 / Re / f1/2 devant le terme ε / 3.7 / D;

SOIT : )7.3

(lg/4/1 20

Dff

Exemple : Soit un tuyau à installer, de fonte neuf (D = ?, L = 2400 m ; ε = 2 mm) qui transporte800 L/s d’eau avec une chute de la ligne piézométrique de 2.8 mCE.

*1 Trouver l’expression des PdC. 2.8 mCE

En appliquant Bernoulli, PdC = chute de la ligne piézométrique = 2.8 mCE

*2 Donner l’expression approximative du coefficient des PdC en fonction du diamètre.

1 / f01/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) ; Soit, on a : f0 = 0.25 / log 2 (0.000 541 / D)

*3 Donner l’expression de la vitesse en fonction du diamètre.

U = 4 * Q / π / D2 = 1.018 592 / D2

*4 En Déduire la formule du diamètre.

PdC = f0 * (L / D) * U2 / 2g = 0.25 / log 2 (0.000 541 / D) * (2400 / D) * 0.051 876 / D4

Soit : 2.8 = 31.125 868 / log 2 (0.000 541 / D) / D5

*5 trouver le diamètre. ≈ 1 000 mm

Équation en D à résoudre, par itération, On trouve D = 1.0078 m Soit D ≈ 1 000 mm

D (m) 0,8 0,9 1 1,1 ,,, 1,01 ,,, 1,007 1,008 ,,, 1,0077 1,0078

Expression 9,5 5,1 2,9 1,8 ,,, 2,77 ,,, 2,811 2,797 ,,, 2,8011 2,7997


CONCLUSION :

Ainsi, en hydraulique appliquée ; on peut admettre que :

Le coefficient des pertes de charge ne dépend en première approximation que du coefficientde la rugosité relative si on veut appliquer la formule de Colebrook. f ≈ f0

Et malgré cette simplification de calcul du coefficient ‘’f’’, Le calcul du diamètre de laconduite reste trop compliqué….

Sur ce, plusieurs formules empiriques ont été proposées, dans l’objectif de faciliter les calculshydrauliques. En voici quelques-unes à titre d’exemple :

7.3 FORMULE DE HAZEN WILLIAMS

Pour cet auteur, le coefficient de résistance (à l’écoulement du liquide) dépend de la rugositérelative, Mais il tient compte aussi des autres facteurs; par suite il propose la formule empiriquesuivante :

U = 0.8494 * C * Rh0.63 * Ju

0.54 en S.I.Avec :

U : Vitesse de l’écoulement du liquide en m/sJu : Perte de charge unitaire en mCE / mLRh : Rayon hydraulique en m, qui se définit par la formule suivante : Rh = Sm / Pm et à ne pasconfondre avec le rayon de la conduite (cercle)Sm : section mouillée en m2

Pm : Périmètre mouillé en mC : coefficient qui est fonction de la rugosité relative. Le tableau suivant donne une idée

Remarque :

Essayer de faire la vérification de l’équation aux dimensions de cette formule : Pas possible. Ne chercher plus à vérifier l’équation aux dimensions pour une formule empirique. A ne pas confondre le rayon d’un cercle avec le rayon hydraulique

Exemple de calcul de rayon hydraulique :

Pour la forme circulaire, on a :

Caractéristique de la conduite CTuyaux droits et très lissesTuyaux de fonte lisses et neufsTuyaux de fonte usée….Tuyaux de fonte en mauvais état

140130110…80

Sm = Л * D2 / 4Pm = Л * DRh = Sm / Pm

Rh = Л * D2 / 4 / Л * D = D / 4Rh = D / 4

R : rayon du cercle


REMARQUES

Dans tout ce qui suit, les lois (formules) proposées ne respecteront plus les équations auxdimensions. Ce n’est que de l’empirisme.

Mais, les unités de ces lois (formules) sont toujours des unités S.I. Le calcul pourra se faire aussi bien par abaque que par formule. Mais, le calcul par la

formule est plus précis

EXEMPLE : Soit une conduite en fonte usée de longueur L = 1000 m qui transite de l’eau d’unréservoir de cote 100 mNGM ; vers un autre réservoir à travers une conduite de diamètre D = 400mm; le débit transité est Q = 150 l/s.

*1 Calculer la vitesse de l’écoulement 1 m/s

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.15 / π / 0.42 = 1.19 m/s

*2 Calculer le rayon hydraulique 0.1 m

Rh = Sm / Pm = D / 4 = 0.1 m

*3 Calculer les PdC selon H.W 4.6 mCE

Pour la fonte usée C = 110 : on a U = 0.8494 * C * Rh0.63 * Ju

0.54 , soit

PdCu = (U / 0.8494 / C / Rh0.63)1/0.54 = (1.19 / 0.8494 / 110 / 0.10.63)1/0.54 = 4.57 m/km

PdCl = PdCu * L = 4.57 * 1000 = 4.57 mCE

*4 L’énergie cinétique a-t-elle une importance ? 7 cmCE

U2 / 2g = 1.192 / 20 = 7 cmCE. . ▬► Ce qui est trop faible devant les PdC.

*5 Quelle est la cote du deuxième réservoir ? 95 mNGM

Par application de Bernoulli entre les 2 réservoirs,Cv = Cm – PdC - U2 / 2g = 100 – 4.57 – 0.07 = 95.36 mNGM


CONCLUSION :

Pour une vitesse de l’ordre de 1 m/s L’énergie cinétique est de l’ordre du cm (5 cmCE) : Ellesera négligée dorénavant et le théorème de Bernoulli sera :

H = Z + p / ρ g + PdC = Cste


7.4 AUTRES FORMULES

La formule de Hazen nécessite la connaissance de l’état de la conduite (conduites neuves,conduites usées, …). Et ceci constitue en quelque sorte un handicap à l’utilisation de cette formuleet/ou les formules de ce type.

D’autres auteurs ont, par conséquent, chercher d’autres formules spécifiques qui peuvents’appliquer d’une façon plus simple, et c’est le cas de la formule de Scimemi, Scobey, …

7.4.1 POUR LE PLASTIQUE

Cette formule est adaptée aux conduites fabriquées en plastique.

7.4.2 FORMULE SCIMEMI

Cette formule est adaptée aux conduites fabriquées en amiante ciment, et qui porte le nomcommercial au Maroc de DIMATIT

7.4.3 FORMULE DE SCOBEY

Cette formule est d’un emploi plus général; elle peut être utilisée pour les conduites en béton,métaux, plastique et d’autres à condition de déterminer le coefficient K correspondant à la diteconduite.

K : coefficient qui caractérise la conduite 0,12 < k < 0,69.

En voici quelques exemplesNature du tuyau Coefficient KTuyau en acier soudé et neufTuyau en aluminiumTuyau en acier galvanisé…..

0.120.400.42…

7.4.4 RÉCAPITULATIONQuelle que soit la formule empirique utilisée, la vitesse est de la forme U = A * Db * Jc en S.I,

avec A, b et c sont des coefficients à déterminer.

Pour Harem Williams U = 0.85 *C * Rh0.63 * Ju0.54

Pour Scimemi U = 61.5 * D0.68 * ju0.56

Pour le plastique U = 75 * D0.69 * ju0.56

Et par suite, le débit sera : Q = U * S ≈ K * D0.7 * J0.5 * π * D2 / 4

C’est ce qui se résume-en :

U ≈ K * D0.7 * Ju0.5

Q = 58.9 * D2.69 * ju0.561 et V = 75 * D0.69 * ju

0. 56 en S. I

Q = 48.3 * D2.68 * ju0.56 et V = 61.5 * D0.68 * ju

0. 56 en S. I

Ju = 2587 * 10-6 * K * U1.89 / D1.09 en S.I


Après le calcul, la formule des PdC peut s’écrire J≈ K * Q* L / D5

Avec (Pour toutes ces lois) :

U : Vitesse moyenne de l’écoulement en m/sD : diamètre de la conduite en mJ : Perte de charge en mCEQ : Débit écoulé en m3/sK : coefficient qui caractérise la rugosité de la conduiteL : Longueur de la conduite en m.

CONCLUSION : En première approximation, bien retenir que les pertes de charge linéaires sont :

Proportionnelles à la longueur. PdC = α * L Proportionnelles au carré du débit. PdC ≈ α * Q2

Inversement proportionnelles au diamètre puissance 5. PdC ≈ α / D5

Fonction de la nature de la conduite.

7.5 CALCUL DES CONDUITES

Le calcul des conduites consiste à déterminer une donnée connaissant les autres (Q, PdC,Cote amont, cote aval, ….) aussi bien par la formule que par l’abaque qui manque de précision.

7.5.1 CALCUL DES PERTES DE CHARGE

Soit une conduite transitant un débit Q = 12 l/s, à travers une conduite en plastique dediamètre D = 150 mm et une longueur L = 1.82 km.

*2 Calculer la Perte de charge unitaire (Plastique) 2 m/km

Pour le plastique, on a : U = 75 * D0.69 * Ju0.56, Soit :

PdCu = (U / 75 / D0.68)1/0.56 = (0.68 / 75 / 0.150.68)1/0.56 = 2.25 m/km

*3 En déduire les Pertes de charge linéaire 4. mCE

PdCl = PdCu * L = 2.25 * 1.82 = 4.09 mCE

*4 Expliquer cet accroissement des PdC

Les PdC augmentent toujours ; Càd : PdC2 > PdC1

En contre partie, La pression étoilée diminue ; Cad : P* / ρg 1 > P* / ρg 2 Avec : PdC2 - PdC1 = P* / ρg 1 - P* / ρg 2

*0 Faire la représentation de Bernoulli qualitative

Bien remarquer que l’énergie cinétique n’estplus représentée

*1 Calculer la vitesse de l’écoulement 0.7 m/s

U = 4 * Q / π / D / D= 4 * (12/1 000) / π / 0.15 / 0.15 = 0.68 m/s


7.5.2 CALCUL DU DÉBIT

*2 Y aura-t-il la cavitation quelque part ?

Oui, et il faut l’éviter ; si non, ça sera grave ….

*3 Calculer la perte de charge unitaire 14 m/km

PdCu = (Cm – Cv) / L = (120.12 – 99.05) / 1.5 = 14.05 m/km

*4 Quelle formule appliquez-vous ? Calculer la vitesse de l’écoulement 1.6 m/s

En appliquant la formule de Scobey, pour K (aluminium) = 0.4, on a :

PdCu = 2587 * 10-6 * K * U1.89 / D1.09 = 2 587 * 10-6 * 0.40 * U1.89 / 0.21.09 = 0.014 05 m/m

Et pour une PdCu = 14.05 m / km on a : U = 1.57 m/s

*5 En déduire le débit 49 L/s

Q = U * S = U * π * D * D / 4 = 1.57 * π * 0.2 * 0.2 / 4 = 49.36 L/s

7.5.3 CALCUL DE LA COTE AVAL

C’est un appareil qui fait le vide pour qu’il y ait un écoulement

*1 Calculer la vitesse de l’écoulement 1 m/s.

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.081 / π / 0.32 = 1.15 m/s. D’où, l’énergie cinétique sera négligeable

*2 Quelle formule appliquez-vous ? Calculer la perte de charge unitaire 5 m/Km

La formule de Scobey (K = 0.42)

PdCu = 2587 * 10-6 * K * U1.89 / D1.09 = 2587 * 10-6 * 0.42 * 1.151.89 / 0.31.09 = 0.005 26 m/m

*3 En déduire les pertes de charge linéaires 0.5 mCE

PdCl = PdCu * L = 0.005 26 * 100 = 0.526 mCE

Soit une conduite siphon qui devra transiter undébit Q = 81 l / s, à travers une conduite en aciergalvanisé de diamètre D = 300 mm et une longueurL = 100 m*0 Quel est le rôle de l’appareil SP ?

Soit une conduite transitant un débit àdéterminer à travers une conduite enaluminium de diamètre D = 200 mm et unelongueur L = 1.5 km. La cote amont de l’eauest 120.12 mNGM et aval est 99.05 mNGM.



*4 Calculer la cote de l’arrivée de l’eau si la cote amont est 978.25 mNGM 978 mNGM

En appliquant Bernoulli, on a :Cv = Cm – PdC = 978.25 – 0.526 = 977.72 mNGM

7.5.4 CALCUL DE LA COTE AMONT

U = 4 * Q / π / D / D = 4 * 0.132 / π / 0.45 / 0.45 = 0.83 m/s

*2 Quelle formule appliquez-vous ? Calculer la perte de charge unitaire 0.002 m/m

La formule de Scobey avec K = 0.42 : acier galvaniséPdCu = 2587 * 10-6 * K * U1.89 / D1.09 = 2587 * 10-6 * 0.42 * 0.831.89 / 0.451.09 = 1.82 m/Km

*3 En déduire les Pertes de charge linéaires 0.06 mCE

PdCl = PdCu * L = (1.82 / 1000) * 30 = 0.054 7 mCE :

*4 Calculer la cote de départ de l’eau si la cote d’arrivée est 1 231.25 mNGM 1 231.2

Cm = Cv + PdC = 1 231.25 – 0.054 7 = 1231.2 mNGM

Remarque : Les PdC minimales à considérer dans un siphon sont de 5 cmCE

7.5.5 RÉCAPITULATION

Dans ce paragraphe de calcul des conduites, plusieurs paramètres ont été calculé,exceptée une donnée qui n’a pas été calculée : le diamètre de la conduite.

Le calcul des diamètres des conduites a un nom particulier : C’est le dimensionnement,qui fera l’objet du paragraphe suivant.

Bien remarquer qu’il faudra tenir compte des PdC singulières pour le calcul de précision(par l’abaque ou par les formules)

7.6 DIMENSIONNEMENT DES CONDUITES

7.6.1 DEFINITION

Dimensionner : c’est donner les dimensions, d’une façon générale; c’est trouver les longueurs,largeurs et hauteurs des ouvrages en question.

Alors que, dimensionner une conduite (en hydraulique), c’est donner (trouver) les dimensionsde la dite conduite qui sont la longueur et le diamètre.o La longueur est déterminée sur le terrain ou sur le plan. . . .o Le diamètre est calculé hydrauliquement de telle façon à permettre l’écoulement du débit

demandé sous les conditions du problème.

Soit une conduite siphon quitransite un débit Q = 132 l/s, àtravers une conduite en aciergalvanisé de diamètre D = 450mm et une longueur L = 30 m

*1 Calculer la vitesse del’écoulement 0.8 m/s


7.6.2 CAS DE DIMENSIONNEMENT

Dans la pratique, et pour dimensionner une conduite, l’étude se résume en trois cas quipeuvent se rencontrer :

Une perte de charge convenable qui donne une vitesse correcte, incluse entre les bornes :0.5 < V < 2 m/s

Une perte de charge très grande donnant lieu à une vitesse excessive qu’il faudra réduire ensoustrayant de l’énergie en excès par :o Simple vannage en créant une perte de charge singulièreo Ou le mieux encore, c’est transformer cette énergie en excès en électricité par turbinage)

Une perte de charge très faible qui se manifeste par une vitesse non auto curante qu’il faudraaugmenter en ajoutant de l’énergie par pompage afin que l’écoulement redevienne correct.

7.6.3 NOTION DE PDC REQUISES ET DISPONIBLES

7.6.3.1 Intérêts des PDC

L’écoulement se fait grâce à son énergie qui fait face à l’énergie résistante provoquée par lesforces résistantes dans le dit écoulement du liquide. Cette énergie résistante qu’il faudra vaincreporte le nom de perte en énergie (ou plutôt perte de charge)

7.6.3.2 PDC REQUISES

7.6.3.3 pdc disponibles

7.6.3.4 Adaptation des pdc

Le terrain donne une offre de PdC : Ce sont les PdC disponibles.

L’écoulement du liquide avec un débit donné, à travers une conduite de diamètre donnénécessite une PdC pour une longueur donnée : Ce sont les PdC requises

Alors qu’il faudra égaliser les deux, pour satisfaire la condition de l’offre et la demandeautant que possible pour avoir un écoulement permanent et uniforme.

ce sont les PdC nécessaire pour avoir unécoulement correct d’un débit donné Q à travers uneconduite donnée de longueur L et de diamètre D.

Et ça n’a rien à voir avec les cotes de départ etd’arrivée de l’eau

Ce sont les PdC que le terrain naturel offrepour avoir un écoulement gravitaire dans la mesuredu possible.

Et ça n’a rien à voir avec l’écoulement et lesPdC qu’il provoque.


7.6.4 PERTE DE CHARGE CONVENABLE

C’est le cas (+/- idéal) où les pertes de charge (disponibles et requises) concordentparfaitement, c’est à dire donnant une vitesse correcte (0.6 < U < 1.6 m/s) à travers la conduite ou(les conduites en série à choisir).

7.6.4.1 EXEMPLE SIMPLE

ATTENTION :

Les dégâts que peuvent causer les surpressions et les dépressions au niveau d’uneconduite à installer risquent d’être trop grands ; bien étudier le PROFIL auparavant. . . .

*2 Dimensionner la conduite (Excel pourra simplifier les calculs) 100 mm

PdC = (Cm – Cv) / L = (123.56 – 110.75) / 1.25 = 10.25 m/km

Q = 58.9 * D2.68 * J0.561 Soit :

D = (Q / 58.9 / J0.561) 1/2.68 = ((9.1 / 1 000) / 58.9 / 0.010250.561)1/2.68 = 99.997 mm ≈ 100 mm

*3 Calculer la vitesse V, est-elle correcte ? 1 m/s

On peut utiliser soit : U = 75 * D0.68 * J0.561 = 75 * 0.10.68 * 0.010250.561 = 1.16 m/s

Ou l’équation de la continuité U = 4 * Q / 3.14 / D2 = = 1.16 m/s

Bien remarquer que ce dimensionnement vient de donner une vitesse correcte (convenable)

7.6.4.2 CONDUITE NORMALISÉE

Par calcul, on trouvera tous les nombres possibles pour le diamètre cherché. Mais, sur lemarché, va t- on trouver toutes ces dimensions de diamètres ? Bien sûr que non, les diamètres surle marché sont normalisés (standard).

Par exemple ; pour l’amiante ciment (DIMATIT), les diamètres sont (en mm) :

… , 60 , 80 , 100 , 150 , 200 , 250 , 300 , 350 , 400 , …

Soit à dimensionnerune conduite de longueur L= 1.25 km en plastique quidébite 9.1 L/s à partir d’unesource de cote 123.56mNGM vers un réservoir decote 110.75 mNGM

*1 Faire la représentationschématique de Bernoulli


En conclusion :

Si par calcul, le diamètre trouvé est par exemple 270 mm (pour DIMATIT). La solutionconsiste à prendre soit 250 mm, soit 300 mm, soit le mieux encore une combinaison des deux.

Si on prend le petit diamètre (D = 250 mm), le débit sera plus faible que ce qui estdemandé; autrement dit, Cette solution ne respecte pas la demande.

Si on prend le grand diamètre (D = 300 mm), les conditions techniques seront largementrespectées; et par conséquent, le coût sera élevé ! !

Et le mieux est d’opter pour les deux (une partie de la conduite en petit diamètre (D = 250mm) et l’autre partie en grand diamètre (D = 300 mm). Il restera à déterminer dans ce casles longueurs des deux diamètres pour égaliser les PdC requises et disponibles.

7.6.4.3 EXEMPLE COURANT

2. Calculer la perte de charge unitaire 4 mCE/km

PdCu = (Cm – Cv) / L = (426.04 – 421.25) / 1.252 = 3.826 mCE/km

3. Quelle formule utilisez-vous pour dimensionner la conduite ?

La conduite est en Amiante ciment ; on utilisera la formule de Scimemi.

Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56

4. Quels sont le diamètre et la vitesse théoriques à utiliser ? 274 mm 1 m/s

Q = 48.3 * D2.68 * J0.56 donne

D = (Q / 48.3 / J0.56)1/2.68 = ((66.32 / 1 000) / 48.3 / (3.826)0.56)1/2.68 = 273.5 mm

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * (66.32 / 1 000) / π / 0.2742 = 1.125 m/s

N.B :

Bien remarquer qu’on ne peut trouver ce diamètre sur le marché. D’où la nécessité dechercher deux diamètres qui l’encadrent et qui existent sur le marché.

5. Quelle est la combinaison de diamètres commerciaux à utiliser ?

En cherchant sur le catalogue commercial des diamètres fabriqués par DIMATIT (AmianteCiment), on pourra utiliser le D250 mm et le D300 mm.

Soit à dimensionner une conduitede longueur L = 1.252 km en amianteciment qui débite 66.32 L / s à partird’une source de cote 426.04 mNGMvers un réservoir de cote 421.25.

1. Faire la représentation de Bernoullithéorique qualitative


6. Refaire la représentation de Bernoulli théorique (qualitative)

7. Quelles sont les PdCu correspondantes à ces diamètres (et pour le débit en question) ?

La formule à appliquer est toujours la même, Soit : Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56 qui donne

Pour Le D300mm : Ju = 2.46 m/kmPour Le D250mm : Ju = 5.89 m/km à trouver !

8. Quelles sont les vitesses correspondantes à ces diamètres ? Sont-elles correctes ?

U = 4 * Q / π / D2

Soit U300 = 4 * Q / π / D12 = 4 * (66.32 / 1000) / π / 0.32 = 0.94 m/s

Et U250 = 4 * Q / π / D22 = 4 * (66.32 / 1000) / π / 0.252 = 1.35 m/s

9. Quelles sont les longueurs correspondantes à ces diamètres ?

Posons les équations de contraintes pour résoudre le système.

Équation des longueurs : L300 + L250 = 1.252 km = LT

Équation des PdC : PdCu300*L300 +Pdcu250*L250 = 4.79 m = PdCt = Cm – CvSoit : 2.46 * L300+ 5.89 * L250 = 4.79 mCE

Système de deux équations à deux inconnus dont la solution est :

L300 = 0.753 km et L250 = 0.499 km

7.6.5 EXCÈS DE PERTE DE CHARGE

C’est le cas où les pertes de charge disponibles sont en excès, c’est à dire donnant unevitesse relativement élevée, de l’ordre (ou dépassant) les 2 m/s à travers une conduite ou desconduites à choisir.

Dans de pareil cas, il est conseillé de réduire ces pertes de charge linéaires par l’installationdes pertes de charge singulières (et le plus simple par la fermeture partielle d’une vanne)

Le mieux, et ci c’est possible, est d’utiliser cette énergie en excès pour faire fonctionner uneturbine pour transformer cet excès d’énergie en électricité.

N.B :

Remarquer bien que le tracé de laligne piézométrique est en fonction desdiamètres


EXEMPLE

Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 1.03 km en amiante ciment qui transiteun débit Q = 22.74 L/s à partir d’un barrage de cote 325.48 mNGM vers un réservoir de cote 253.5mNGM.

*2 Dimensionner la conduite (utiliser Excel) 100 mm

On a : Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56 ce qui donne

D = (Q / 48.3 / Ju0.56) 1 / 2.68 = 99.999 ≈ 100 mm

*3 Calculer la vitesse. Quelle conséquence en tirez-vous ? 2.9 m/s

U = 4 * Q / π / D2 = = 2.895 m/s

Il y aura là un grand excès de vitesse risquant d’endommager la conduite.

*4 Faire le choix approprié de dimensionnement : à justifier

Mais pour une vitesse raisonnable de l’ordre de 1 m/s, on a :

Pour D = 150 mm, on a: V = 1.287 m/s Pour D = 200 mm, on a : V = 0.724 m/s

Faisons le choix de D = 150 mm (Solution technique et économique)

On a : Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56 ,

Ce qui donne J = (Q / 48.3 / D2.68)1 / 056 =10.0378 m/km.

Soit PdCl = 10.339 mCE

Et il faut vanner (ou transformer) le reste, Soit une charge de 61.64 = 71,98 – 10.339 mCE

*7 Quelle est la puissance transformée si le rendement est 0.8 11 kW

Ph = ρ * g * Q * HMT = 1 000 * 10 * (22,74 / 1 000) * 61.64 = 14.017 KWPt = Ph * 0.8 = 14.017 * 0.8 = 11.214 kW

NB : C’est l’équivalent d’un peu plus d’une centaine de lampes de 100 W en fonctionnement

*1 Calculer les PdC unitaires 70 m/km

PdC disp = Cm – Cv = = 72 mCE

PdCdu = = 69.88 m/km

*5 Refaire la représentation schématiquede Bernoulli

*6 Calculer l’énergie en trop à vanner (outransformer….) 61.66 mCE


7.6.6 PERTE DE CHARGE EN DÉFAUT

C’est le cas où les pertes de charge disponibles sont très faibles, c’est à dire donnant unevitesse non auto curante, (inférieure à 0.5 m/s à travers la conduite ou les conduites à choisir).

EXEMPLE :

Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 2.15 km en A.C qui débite 10.05 L/s àpartir d’une source de cote 1 250.5 mNGM vers un réservoir de cote 1 249.7 mNGM.


D’où : Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56 ,

Ce qui donne D = (Q / 48.3 * J0.56)1 / 2.68 = = 220.18 mm.

*3 Calculer la vitesse. Quelle conséquence en tirez-vous ?

Le diamètre théorique de la conduite est compris entre 200 et 250 mm. Soit :Par application de l’équation de la continuité U = 4 * Q / π / D2

o U = 0.3199 m / s pour D = 200 mmo U = 0.2047 m / s pour D = 250 mm

D’où, on a une vitesse trop faible qui provoquera les problèmes d’auto curage.

*4 Proposer un dimensionnement

Optons plutôt pour une vitesse auto curante (V >= 0.5 m/s et raisonnable) : Soit un diamètreD = 150 mm auquel correspond une vitesse de 0.5687 m/s

*5 Quelle PdC supplémentaire faudra t-il ?

PdCu(10.02 L / s , 150 mm) = 2.34 m/km,Soit une PdC (requise) = 2.34 * 2.15 = 5.02 mCEPdCsup = PdCreq – PdCdisp = 5.02 – 0.8 = 4.22 mCE

*6 Refaire la représentation des PdC

*2 Dimensionner la conduite (Excel) 220 mm.

PdC dispo = Cm – Cv = = 0.8 mCE

PdCdispo unitaire = = 0.372 m/km

Dans de pareille situation, vu que les PdCdisponibles de 0.8 mCE sont inférieures aux PdCrequises

Il faut obligatoirement une pompe qui relève del’eau sur une hauteur supplémentaire de 4.22 mCEpour avoir un écoulement correct.


7.6.7 RÉCAPITULATION

Dimensionner une conduite en hydraulique, c’est trouver le diamètre qui satisfait :

Les contraintes techniques :o Contraintes de vitesses : 0.5 < U < 1.8 m/so Contraintes des pertes de charge : Jrequis <= Jdisponible

Les Contraintes économiques : L’installation (dont la conduite fait partie) devra coûter lemoins cher possible.

7.7 DIMENSIONNEMENT DES CONDUITES EN PARALLÈLE

Ce cas se rencontre (par exemple), à chaque fois qu’on veut renforcer une conduite déjàexistante (et qui est devenue insuffisante) par une autre conduite, afin de satisfaire le nouveau débitdemandé.

EXEMPLE :

On veut renforcer une conduite de 900 mm en amiante ciment sur une longueur de 1 kmpar une autre de même longueur pour pouvoir transiter un débit de 1 050 l/s, au lieu de 885 l/s. Onadmet que la nouvelle conduite à installer sera aussi en Amiante ciment.

*0 Faire la représentation de Bernoulli schématique

*1 Donner les caractéristiques de la conduite existante.

La conduite existante de diamètre D = 900 mm et une longueur L = 1 km ; en amiante cimenttransite un débit Q = 885 l/s

*2 Calculer les pertes de charge nécessaires 1.3 mCE

Les données sont : Q = 885 L/s, D = 900 mm en AC, L = 1 km

La formule à appliquer est celle de Scimemi Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56.

Soit, Ju = (Q / 48.3 / D2.68)1/ 0.56 = = 1.309 8 m/km

D’où : Jt = 1.309 8 mCE = ΔC = Cm – Cv = Donnée invariable

*3 Quel est le débit à faire transiter par la nouvelle conduite ? 165 L/s

Q = Q voulu - Q transité = = 165 L/s

*4 Dimensionner la conduite de renforcement 500 mm

Les deux conduites vont transiter de l’eau d’un même point amont, vers le même point aval,d’où, les PdC seront les mêmes.

Pour la conduite existante, la vitesse est 1.39 m/s. Ce qui nécessite une PdC de 1.309 mCE.

En admettant que les deux conduites ont la même longueur, on aura :

Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56 , ce qui donne :

D = (Q / 48.3 / (J / L)0.56)1/2.68 = = 481 mm 500 mm


7.8 DIMENSIONNEMENT D’UN

7.8.1 RAPPEL

Pour résoudre de pareil problème, il faudra avoir unequi donnera de l’énergie nécessaire

Élever de l’eau de la cote basse à la cote haute, et cette différence de cotes s’appelle lahauteur géométrique d’élévation

Vaincre les pertes de charge totales dues aux forces résistantes de l’eau (Forces de viscositéet rugosité)

Et sans oublier que dimensionner une conduite

Véhicule le débit demandé. Optimise le coût total (qui comprend dans ce cas)

o Le coût de l’installation de la conduite.o Le coût de l’installation de la station de pompage.o Le coût du fonctionnement de la station de pompage (énergie + réparation + …)

Soit :

Quand le diamètre de la conduite d

Le prix de la conduite qui diminue. MAIS Les PdC augmentent, par suite la hauteur d’élévation totale augmente, par suite, la

puissance de l’installation augmente et en fin de compte le prix de la station de pompage(avec ses frais) augmente.

ET vice versa, Quand le diamètre augmente; on a :

Le prix de la conduite qui augmente. MAIS Les PdC diminuent, La hauteur d’élévation totale diminue, et par suite…, le prix de la station

de pompage (avec ses frais) diminue.

On vient de voir comment dimensionnerune conduite gravitaire, c’est à dire à traverslaquelle l’eau coule gravitairement (sous l’effetde son propre poids au paragrapheprécédent) : C’est la variation de l’énergiepotentielle qui se transforme en énergieperdue pour vaincre l’effet des forcesrésistantes. C’est ce qui se schématise ainsi.

Mais, au cas où ces pertes de chargeseraient trop faibles, voir mêmeinexistantes ;

o Comment dimensionner la conduitede refoulement ?

o Comment l’eau pourra t- elle couler d’unpoint bas vers un point haut ?


DIMENSIONNEMENT D’UNE CONDUITE DE REFOUL

Pour résoudre de pareil problème, il faudra avoir une pompe (appareil élévatoire de l’eau)l’énergie nécessaire pour : (Voir la représentation de Bernoulli)

de la cote basse à la cote haute, et cette différence de cotes s’appelle lahauteur géométrique d’élévation (aspiration et refoulement) de l’eau.

charge totales dues aux forces résistantes de l’eau (Forces de viscosité

dimensionner une conduite, c’est trouver le diamètre qui

demandé.total (qui comprend dans ce cas) :

Le coût de l’installation de la conduite.Le coût de l’installation de la station de pompage.Le coût du fonctionnement de la station de pompage (énergie + réparation + …)

Quand le diamètre de la conduite diminue ! On a :

Le prix de la conduite qui diminue. MAIS :Les PdC augmentent, par suite la hauteur d’élévation totale augmente, par suite, lapuissance de l’installation augmente et en fin de compte le prix de la station de pompage

ET vice versa, Quand le diamètre augmente; on a :

Le prix de la conduite qui augmente. MAIS :Les PdC diminuent, La hauteur d’élévation totale diminue, et par suite…, le prix de la stationde pompage (avec ses frais) diminue.

On vient de voir comment dimensionnerune conduite gravitaire, c’est à dire à traverslaquelle l’eau coule gravitairement (sous l’effet

paragraphe: C’est la variation de l’énergie

potentielle qui se transforme en énergiepour vaincre l’effet des forces

résistantes. C’est ce qui se schématise ainsi.

Mais, au cas où ces pertes de chargefaibles, voir même

Comment dimensionner la conduite dite

elle couler d’un

BDELLAH BENTALEB 94

E CONDUITE DE REFOULEMENT

(appareil élévatoire de l’eau): (Voir la représentation de Bernoulli)

de la cote basse à la cote haute, et cette différence de cotes s’appelle laoulement) de l’eau.

charge totales dues aux forces résistantes de l’eau (Forces de viscosité

trouver le diamètre qui :

Le coût du fonctionnement de la station de pompage (énergie + réparation + …)

Les PdC augmentent, par suite la hauteur d’élévation totale augmente, par suite, lapuissance de l’installation augmente et en fin de compte le prix de la station de pompage

Les PdC diminuent, La hauteur d’élévation totale diminue, et par suite…, le prix de la station


7.8.2 APPROCHE GROSSIERE

La formule de Bresse est la formule empirique la plus simple qui donne un ordre de grandeurdu diamètre.

Avec :

D : Diamètre de la conduite à dimensionner approximativement en mQ : Débit de la conduite à dimensionner en m

Deco = 1.5 * Q0.5 = =

*2 Calculer la PdC 0.56 mCE

On a : Q = 58.9 * D2.69 * Ju0.56 D’ où on tire

Ju = (Q / 58.9 / D2.68) 1/0.56. =

*3 Calculer la puissance hydraulique

Ph = ρ * g * Q * Hm = ρ * g * Q * (Hg + PdCt) = = 44.6

*4 En déduire la puissance de la pompe; si son rendem

Pp =Ph / η = 44.6 / 0.7 = 63.74

Remarque : Cette formule de Bresse a été corrigée plus tard (en 1977) pour les diamètresinférieurs à 100 mm par :

Pour l’amiante ciment et la fonte.Pour le PVC.

Ceci peut être représentégraphiquement par :

Pour trouver ce diamètreéconomique (dit aussi optimal), ilexiste trois approches :

ExempleSoit à refouler un débit de 110 l

sur une hauteur géométrique de 40 m àtravers une conduite en PVC, et qui a unelongueur L = 1 500 m

*0 Faire la représentation de Bernoulli.

*1 Déterminer le diamètre économique.


APPROCHE GROSSIERE

La formule de Bresse est la formule empirique la plus simple qui donne un ordre de grandeur

: Diamètre de la conduite à dimensionner approximativement en mdimensionner en m3/s

= = 498 mm ≈ 500 mm

0.56 mCE

D’ où on tire :

= 0.379 m/km. Et Jt = = 0.56

*3 Calculer la puissance hydraulique 45 KW

Ph = ρ * g * Q * Hm = ρ * g * Q * (Hg + PdCt) = = 44.6

*4 En déduire la puissance de la pompe; si son rendement est de 0.7

Pp =Ph / η = 44.6 / 0.7 = 63.749 9 KW

Cette formule de Bresse a été corrigée plus tard (en 1977) pour les diamètres

la fonte.

Ceci peut être représenté

Pour trouver ce diamètreéconomique (dit aussi optimal), il

Soit à refouler un débit de 110 l / ssur une hauteur géométrique de 40 m àtravers une conduite en PVC, et qui a une

*0 Faire la représentation de Bernoulli.

*1 Déterminer le diamètre économique.

D ≈ 1.5 * Q ½

D ≈ 5.6 * Q 0.47

D ≈ 8.6 * Q 0.45

BDELLAH BENTALEB 95

La formule de Bresse est la formule empirique la plus simple qui donne un ordre de grandeur

m/km. Et Jt = = 0.568 mCE

Ph = ρ * g * Q * Hm = ρ * g * Q * (Hg + PdCt) = = 44.625 KW

64 KW

Cette formule de Bresse a été corrigée plus tard (en 1977) pour les diamètres


7.8.3 AUTRES FORMULES

Plusieurs formules ont été proposées pour estimer une valeur approchée et plus précise dece diamètre. Mais, leur utilisation nécessite leur adaptation aux conditions locales. À titred’exemple, voici la formule de Koch et Vibert pour le cas de la France.

D = 1.547 * (N* E / F) 0.154 * Q 0.45

Avec :

D : diamètre de la conduite en m.N : Temps de fonctionnement journalier de la pompe en h divisé par 24.E : Prix du kilowattheure en Francs.F : Prix de la conduite en fonte posée par kilogramme, en Francs.Q : Débit véhiculé en m3/s.

7.8.4 APPROCHE RIGOUREUSE

Pour un calcul relativement précis; il faudra tracer le graphe du COÛT = f (DIAMÈTRE) :voir les cours de l’AEP, l’aspersion et / ou le GOUTTE A GOUTTE

7.9 NOTION D’ABAQUE

7.9.1 DÉFINITION

Un abaque est une représentation graphique qui facilite les calculs relatifs à une formulecompliquée. C’est le cas de l’abaque de Hazem déjà vue…..

7.9.2 ABAQUE DE SCIMEMI

La loi de Scimemi est : Q = 48.3 * D2.68 *J0.56 et V = 61.5 * D0.68 * j0.56 en SI. Elle peut êtretracée sur un papier log-log en une famille de droites, si on considère que le diamètre est unparamètre.

Exemples

Q = 50 l/s; D = 150 mm. On a : Ju = 41 m/Km (voir abaque Scimemi)D = 150 mm ; Ju = 26 m/Km; On a Q = 39 l/s (voir abaque Scimemi)Ju = 45 m/Km; Q = 53 l/s. On a : D = 150 mm (voir abaque Scimemi)

En résumé :

Le calcul hydraulique avec les abaques est très simple, Mais ; malheureusement, il estdifficile d’avoir de la précision. …..

Log Q = log 48.3*D2.68 + 0.56 Log J. Pour D = CsteLog J = K1 + k2 * Log QEn posant Log j = y et Log Q = x, la loi prendra la formede : Y = A * x + B

Avec A =. . . . . B = . . . . . . . A trouver !


7.10 NOTION DE TRAITEMENT INFORMATIQUE

Avec le développement technique actuel, l’emploi des abaques est devenu chose dépasséevu qu’en particulier, ces abaques ne donnent pas la précision toujours voulue…..

Avec le traitement informatique, le calcul hydraulique est devenu chose trop simple.

Pour des calculs relativement longs et compliqués, il suffit d’avoir le logiciel adapté. Et pour ses propres petits fichiers de calcul hydraulique…, un tableur quelconque (tel que

Excel), est largement suffisant. Ainsi ; on a : Le calcul simple direct avec des formules Le calcul par la valeur cible pour la résolution d’une équation Le calcul par le Solveur pour la résolution d’un système d’équations ou inéquations

Exemples :

Ju = 2.0 m/Km; D = 60 mm. On a: Q = 0.8 l/sD = 60 mm, Q = 0.5 l/s; On a: Ju = 0.9 m/KmQ = 53 l/s, Ju = 45 m/Km; On a: D ≈ 150 mm

En résumé : Le calcul hydraulique avec Excel devient à la fois trop simple et bien précis. …..

7.11 CALCUL DES PRESSIONS DANS UN RESEAU RAMIFIE

Un réseau ramifié est un ensemble de conduite sous forme d’arbre (voir schéma)

7.11.1 PRINCIPE DE CALCUL

Le principe de calcul consiste à appliquer le théorème de Bernoulli, entre deux points (amontet aval) du réseau, en commençant par l’amont qui constitue la ressource en eau à distribuer.

Zm + Pm / ρg + Um2 / 2g = Zv + Pv / ρg + Uv2 / 2g + PdC

Sans oublier qu’en hydraulique, la vitesse est de l’ordre de 1 m/s, d’où ; l’énergie cinétiqueest de l’ordre de 1 / 20 = 0.05 mCE qui est bien négligeable devant le reste. Soit, on a :

Zm + Pm / ρg = Zv + Pv/ ρg + PdC

Ainsi, le calcul des pressions avals se fait de proche en proche de l’amont vers l’aval duréseau.

Les données de calcul d’un réseau ramifié sont :

Par tronçon :

o Donnée de l’écoulement : Le débit transité à travers le tronçon.o Donnée de la conduite : Le diamètre, la longueur et la nature de la conduite (Plastique,

amiante ciment, … )

Pv / ρg = Zm + Pm / ρg - Zv - PdC


Par nœud :

o Donnée de l’écoulement : La pression au point amont du tronçon.o Donnée de la conduite : La cote terrain naturel (CTN) du point amont du tronçon

Le calcul consiste à trouver :

Par tronçon : Les PdC (et la vitesse par tronçon) qui constituent une étape intermédiaire. Par nœud : La pression au point aval du tronçon.

7.11.2 TRACÉ DU RÉSEAU


7.11.3 PROCÉDURE DE CALCUL

De l’amont vers l’aval, on a à :o Introduire la cote amont du tronçon.o Introduire la pression amont du tronçon.o Introduire le débit du tronçon.o Introduire la longueur du tronçon.o Choisir un diamètre pour ce tronçono Calculer la vitesse de ce tronçon V = 4 * Q / π / D2

o Modifier le diamètre introduit si la vitesse n’est pas correcteo Calculer les pertes de charge du tronçon, les conduites sont en amiante ciment

PdC = L * (Q / 48.3 / D^2.68)^(1/0.56)o Introduire la cote aval du tronçono Calculer la pression aval du tronçon Pv = Pm + Cm – Cv - PdC

Répéter ce calcul ligne par ligne (tronçon par tronçon) de l’amont vers l’aval Recorriger les diamètres soupçonnés pour avoir la pression désirée.

7.11.4 TABLEAU DE CALCUL

Pour simplifier la présentation, la compréhension et l’automatisation des calculs ; on dresseun tableau qui regroupe les données, calcul intermédiaire et final.

La façon de dresser le tableau (en Excel) sera expliquer sur place.

Tronçon D o n n é e s C a l c u l s

CotAmmNGM

PresAmmCE

DébitL/s

LonTrmL

Diammm

VitTrm/s

PdCTrmCE

CotAvmNGM

PresAvmCE

R - 1 100,00 20,00 30,0 80 200 0,95 0,332 98,50 21,168

1 - 2 98,50 21,17 26,0 95 200 0,83 0,306 97.00 22,362

2 - 3 97,00 22,36 14,0 92 150 0,79 0,388 96,50 22,473

3 - 4 96,50 22,47 11,0 88 150 0,62 0,241 96,80 21,932

4 - 5 96,80 21,93 6,0 76 100 0,76 0,492 96,10 22,140

5 - 6 96,10 22,14 2,0 98 60 0,71 1,028 95,50 21,712

1 - 11 98,50 21,17 1,0 40 60 0,35 0,122 90,30 29,246

2 - 21 98,50 21,17 4,0 68 80 0,80 0,621 98,20 20,847

21 - 211 98,20 20,85 0,6 35 60 0,21 0,043 97,60 21,404

21 - 212 98,20 20,85 0,9 52 60 0,32 0,131 97,40 21,516

2 - 22 98,50 21,17 0,8 50 60 0,28 0,102 98,10 21,465

3 - 31 96,50 21,93 0,8 50 60 0,28 0,102 98,20 20,130

4 - 41 96,10 21,93 0,8 55 60 0,28 0,112 96,20 21,720

5 - 51 95,50 22,14 1,6 45 60 0,57 0,317 96,30 21,023

7.12 ÉCOULEMENT PAR DES ORIFICES


EXERCICES

EXE 1 : Calcul des PdC

Par application de l’équation de la continuité, an a :

Q = U * S ↔ U = 4 * Q / π / D2

= 4 * (22.23 / 1000) / π / (250 / 1000)2 = 0.45 m/s

*2 Calculer la perte de charge unitaire (Plastique) 0.001 m/m

La formule des pertes de charge pour le plastique est :

Q = 58.9 * D2.89 * Ju0.561

↔ Ju0.561 = Q / 58.9 / D2.89 = (22.23 / 1000) / 58.9 / (250 / 1000) 2.89 = 0.0207 SI

↔ Ju = 0.0207 (1 / 0.561) = 0.001 m/m


Les pertes de charge linéaires sont

Jl = Ju * L = 0.001 * 3250 = 3.25 mCE

EXE 2 : Calcul du débit

*2 Calculer la Perte de charge unitaire 0.012 mCE/mL

Ju = ( Cm - Cv ) / L = ( 425.12 - 399.05 ) / 2150 = 0.012126 mCE/mL

Soit une conduite transitantun débit Q = 22.23 l/s, à traversune conduite en plastique dediamètre D = 250 mm et unelongueur L = 3.25 km

*0 Faire la représentationschématique de Bernoulli

*1 Calculer la vitesse del’écoulement 0.45 m / s

Soit une conduite transitantun débit à déterminer à travers uneconduite en acier galvanisé dediamètre D = 350 mm et unelongueur L = 2.15 km. La coteamont de l’eau est 425.12 mNGMet aval est 399.05 mNGM.

*1 Faire la représentation deBernoulli schématique


*3 Calculer la vitesse de l’écoulement et le débit 2 m/s

Pour l’acier galvanisé, le cœfficient de PdC k = 0.42

Ju = 2587 * K * 10-6 * U1.89 / D1.09 = 0.003 * U1.89

↔ U = (Ju / 0.003) ^1 / 1.89 = (0.012126 / 0.003) ^1 / 1.89 = 1.956 m/s

EXE 3 : calcul de la cote aval

*2 Calculer la vitesse de l’écoulement 1 m/s

En appliquant l’équation de la continuité, on a :

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.0964 / π / 0.32 = 1.363 9 m/s

*3 Calculer la perte de charge unitaire 0.007 mCE/L


Ju = 2587 * K * 10-6 * U1.89 / D1.09

= = 0.007 mCE/mL


JL = 0.007 mCE / mL * 1325 m = 9.615 mCE

*5 Calculer la cote de l’arrivée de l’eau si la cote amont est 978.25 mNGM 968.635

Cv = Cm - JL = 978.25 – 9.615 = 968.635 mNGM

EXE 4 : calcul de la cote amont

Soit une conduite transitant un débit Q = 62.45 l/s, à travers une conduite en acier soudé etneuf, de diamètre D = 250 mm et une longueur L = 3.45 km

*1 Calculer la vitesse 1 m/s

En appliquant l’équation de la continuité, on a :

U = 4 * Q / π / D2

= 4 * 0.06245 / π / 0.252 = 1.272 m/s

Soit une conduite transitant undébit Q = 96.41 l / s, à travers uneconduite en acier galvanisé de diamètreD = 300 mm et une longueur L = 1.325km.



*2 Calculer la perte de charge unitaire 0.002 mCE/mL


Ju = 2587 * K * 10-6 * U1.89 / D1.09

= = 0.002 mCE/mL

*3 En déduire les Pertes de charge linéaire 7.65 mCE

JL = Ju * L = 0.002 mCE / mL * 3450 m = 7.65 mCE

*4 Calculer la cote de départ de l’eau si la cote d’arrivée est 1231.25 mNGM 1238.9 mNGM

Cm = Cv + JL= 1231.25 + 7.65 = 1238.9 mNGM

EXE 5 : Dimensionnement simple d’une conduite


Pour l’amiante ciment, la formule à utiliser est celle de Scimemi

Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56

3. Quel est le diamètre théorique à utiliser ? 308 mm

Ju = (Cm - Cv) / L = (430.59 - 424.25) / 1252 = 0.005 mCE/mLD2.68 = Q / (48.3 * Ju0.56 ) = 0.10632 / (48.3 * 0.0050.56 ) = 0.042

Soit Dth = 308 mm


Les diamètres commerciaux encadrant ce diamètre théorique sont 300 mm et 350 mm (voirtableau des diamètres commerciaux …)

5. Quelles sont les longueurs correspondantes à ces diamètres ? 978.17 m 273.83 m

L300 + L350 = 1252

Ju300 * L300 + Ju350 * L350 = Jt = 430.59 - 424.25

↔ 0.003 * L300 + 0.006 * L350 = 6.34

Système d’équation qui donne L300 = 978.17 m et L350 = 273.83 m

Soit à dimensionner une conduite delongueur L = 1.252 km en amiante ciment quidébite Q = 106.32 L/s à partir d’une source decote 430.59 mNGM vers un réservoir de cote424.25 mNGM.

1. Faire la représentation de Bernoulli théorique(qualitative)


6. Quelles sont les vitesses correspondantes à ces diamètres ? 1.1 m/s 1.5 m/s

La vitesse dans les deux conduites est donnée par l’équation de la continuité, Soit :

U350 = 4 * Q / π / D3502 = 4 * 0.10632 / π / 0.352 = 1.1 m/sU300 = 4 * Q / π / D3002 = 4 * 0.10632 / π / 0.302 = 1.5 m/s

7. Corriger la représentation de Bernoulli (qualitative)

EXE 6 : Dimensionnement d’une conduite ayant une turbine


Pour le plastique, la formule à utiliser est : Q = 58.9 * D2.69 * Ju0.561


Ju = (Cm - Cv) / L = (123.25 – 63.252) / 1252 = 0.048 mCE/mLD2.69 = Q / (58.9 * Ju0.561 )

= 0.0952 / (48.3 * 0.0480.56 ) = 0.009

Soit Dth = 173 mm


Les diamètres commerciaux encadrant ce diamètre théorique sont 150 mm et 200 mm (voirtableau des diamètres commerciaux …)

5. Quelles sont les vitesses correspondantes à ces diamètres ?


U150 = 4 * Q / π / D1502 = 4 * 0.0952 / π / 0.152 = 5.39 m/s

U200 = 4 * Q / π / D2002 = 4 * 0.0952 / π / 0.202 = 3.03 m/s

Soit à dimensionner une conduite delongueur L = 1.252 km en plastique quidébite 95.2 L / s à partir d’une source decote 123.25 mNGM vers un réservoir decote 63.252 mNGM.

1. Faire la représentation de Bernoullithéorique (qualitative)


6 Corriger la représentation de Bernoulli (qualitative)

7 Y aura t-il un risque ? (Coup de Bélier ou bouchage)

Oui, il y a un grand risque de l’érosion et du coup de bélier.

8 Est ce que cette solution est acceptable ?

Non, cette solution est risquée. Il faudra augmenter le diamètre pour réduire la vitesse à une valeurraisonnable V ≈ 1 m/s

9 corriger la si nécessaire

V ≈ 1 m/s ▬► D ≈ 350 mm

10. Recorriger la représentation de Bernoulli (qualitative)

11. Calculer les pertes de charge linéaires correspondantes

Pour un diamètre D = 350 mm, les PdC seront

Ju = (Q / (58.9 * D2.69)) 1 / 0.561

= (0.0952 / (58.9 * 0.352.69)) 1 / 0.561 = 0.02 m/m

Soit : JL = Ju * L = 0.02 * 1252 = 2.032 mCE

12. En déduire la perte de charge singulière à utiliser 57.966 mCE

Jsing = Cm - Cv - JL = (430.59 - 424.25 - 2.032 = 57.966 mCE

13. Si on installe une turbine de rendement 0.8, Quel est le nombre de lampes de 75 W pouvantfonctionner correctement 577

Phy = ρgQH = 1000 * 9.81 * 0.0952 * 57.966 = 54.135 kW

Bien notée que laperte de charge singulière sereprésente par un traitvertical au niveau de laturbine, vu qu’elle se localiseen un point : l’emplacementde la turbine


Pt = Phy * η = 54.135 * 0.8 = 43.308 kW

Nombre de lampes = 43.308 / 75 ≈ 577

EXE 7 : Dimensionnement d’une conduite ayant une pompe


Pour le plastique, la formule à utiliser est : Q = 58.9 * D2.69 * Ju0.561


Ju = (Cm - Cv) / L = (61.25 - 60.12) / 4252 = 2.66 * 10-4 mCE/mL

D2.69 = Q / (58.9 * Ju0.56 )= 0.0312 / (58.9 * (2.66*10-4)0.56) = 0.0548

Soit Dth = 339 mm


Les diamètres commerciaux encadrant ce diamètre théorique sont 300 mm et 350 mm (voir tableaudes diamètres commerciaux …)

5. Quelles sont les vitesses correspondantes à ces diamètres ?


U350 = 4 * Q / π / D3502 = 4 * 0.0312 / π / 0.352 = 0.32 m/s

U300 = 4 * Q / π / D3002 = 4 * 0.0312 / π / 0.302 = 0.44 m/s

6. Corriger la représentation de Bernoulli (qualitative)

Soit à dimensionner une conduitede longueur L = 4.252 km en plastiquequi débite 31.2 L/s à partir d’unesource de cote 61.25 mNGM vers unréservoir de cote 60.12 mNGM.

1. Faire la représentation de Bernoullithéorique (qualitative)


7. Y aura t-il un risque ? (Coup de Bélier ou bouchage)

Oui, il y aura le risque du bouchage, vu que les vitesses sont trop faibles, non autocurantes.

8 Est ce que cette solution est acceptable ?

Vu que ces vitesses sont non autocurantes, la solution n’est pas acceptable

9 corriger la si nécessaire

Il serait préférable de diminuer le diamètre pour avoir une vitesse de l’ordre de 1 m/s ; Soit D= 200 m qui donne une vitesse v = 0.99 m/s

10. Recorriger la représentation de Bernoulli (qualitative)

11. Calculer les PdC correspondantes 13.8 mCE

Q = 58.9 * D2.69 * Ju0.561 donne Ju = (Q / 58.9 / D2.69)1 / 0.561

Ju = (Q / 58.9 / D2.69)1 / 0.561

= (0.0312 / 58.9 / 0.22.69)1 / 0.561 = 0.003 m/m

JL = Ju * L = 0.003 * 4252 = 13.8 mCE

12. En déduire la pression à utiliser en plus 12.695 mCE

La pression supplémentaire que donnera la pompe (pour avoir un écoulement correct) sera :

P = JL – PdC disponible = 13.8 - (61.25 - 60.12) = 12.695 mCE

13 Si on installe une pompe de rendement 0.8, Quelle est la puissance à installer pour fonctionnercorrectement 4.86 kW

Phy = ρgQH = 1000 * 9.81 * 0.0312 * 12.695 = 3.885 kW

Pt = Phy / η = 3.885 / 0.8 = 4.86 kW

Bien notée que l’élévationde la ligne piézométrique sereprésente par un trait vertical auniveau de la pompe, vu qu’elle selocalise en un point :l’emplacement de la pompe


8 ÉCOULEMENT À SURFACE LIBRE

8.1 INTRODUCTION

8.1.1 DEFINITION

Remarque :

Quand il s’agit des écoulements danécoulements en pression aux écoulements à surface libre et réciproquement, et ceci avec lavariation des débits. C’est le cas des écoulements en assainissement des centres pendant lesgrandes pluies, …

8.1.2 CONSEQUENCE

8.2 APPELLATIONS

8.3 ÉQUATIONS FONDAMENT

8.3.1 ÉQUATION DE LA CONTI

Puisque l’écoulement étant permanent et uniforme, on a l’équation de la continuité du liquide.

Dans tout écoulement à surface libre, il estconvenu de faire les appellations suivantes

H : Tirant d’eau.L : largeur au plafond (du lit)Θ : inclinaison des parois (berges)R: revanche

La ligne piézomètrique est confondue avecla ligne de la surface libre de l’eau.

Alors que la ligne d’énergie la dépasse (estplus haute de celle ci) par la quantité Ureprésentant l’énergie cinétique

Un écoulement est dit à surface librele liquide est soumis à la pression atmosphériquefait grâce à la pente du canal tant que celui ciuniforme.

Ce genre d’écoulement se rencontre dans les oueds, seguiaset tous types de canaux à ciel ouvert, tel qu’en irrigation gravitaire,assainissement, drainage, …

Q = Cste, U = Cste, S = Cste : d’ où H = Cste


ÉCOULEMENT À SURFACE LIBRE

Quand il s’agit des écoulements dans des conduites, il peut y avoir le passage desécoulements en pression aux écoulements à surface libre et réciproquement, et ceci avec lavariation des débits. C’est le cas des écoulements en assainissement des centres pendant les

ÉQUATIONS FONDAMENTALES

ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ


Dans tout écoulement à surface libre, il estconvenu de faire les appellations suivantes :

: inclinaison des parois (berges)

est confondue avecla ligne de la surface libre de l’eau.

Alors que la ligne d’énergie la dépasse (estplus haute de celle ci) par la quantité U2 / 2g

écoulement est dit à surface libre, si à sa partie supérieure,soumis à la pression atmosphérique. L’écoulement se

fait grâce à la pente du canal tant que celui ci reste permanent et

Ce genre d’écoulement se rencontre dans les oueds, seguiasaux à ciel ouvert, tel qu’en irrigation gravitaire,

Q = Cste, U = Cste, S = Cste : d’ où H = Cste

BDELLAH BENTALEB 107

ÉCOULEMENT À SURFACE LIBRE

s des conduites, il peut y avoir le passage desécoulements en pression aux écoulements à surface libre et réciproquement, et ceci avec lavariation des débits. C’est le cas des écoulements en assainissement des centres pendant les



8.3.2 ÉQUATION DE LA DYNAMIQUE

Par application de la loi fondamentale de la dynamique, à cet écoulement à surface libre, ona l’inventaire des forces suivantes :

Par projection sur l’axe du canal (et dans le sens de l’écoulement), on a :

Pr1 * S - Pr2 * S – Σ Ff + mg sin α = 0 (écoulement permanent)

Avec :

Pr1 = Pr2 = ρgh d’où on a : Pr1 * S – Pr2 * S = 0 (le tirant d’eau dans le canal ne changepas vu que l’écoulement est permanent et uniforme)

Ff = ζ * Pm * L : Force de frottement qui est proportionnelle à la surface de contactavec la paroi. (§ Chp Hydrodynamique des liquides réels / contrainte visqueuse)

P = mg = ρg S L

Soit :

mg sin α = Ff

ρg S L sin α = ζ * Pm * L

ζ = ρg S sin α / Pm →

Avec :

ρ : Masse volumique de l’eau en kg/m3 → [ M * L -3 ]g : Accélération terrestre en m/s/s → [ L * T-2 ]S : section du canal en m2 → [ L2 ]L : longueur du tronçon en m → [ L ]α : inclinaison longitudinale du canalζ : contrainte visqueuse tangentielle (équivalente à une pression) en PascalPm : Périmètre mouillé en mRh : Le rapport S / Pm est le rayon hydraulique (à ne pas confondre avec le rayon du cercle)

Conclusion :

La contrainte visqueuse tangentielle est :

Proportionnelle au rayon hydraulique Proportionnelle au sinus de l’angle de la pente longitudinale

ζ = ρ g Rh sin α

Force de pression amont et avalFp1 et Fp2.

Force de pression latérale (dont larésultante est nulle)

Force de frottement dû àl’écoulement Ff.

Poids P.


Exemple : Calcul du rayon hydraulique de figures suivantes

Remarque :

On admet en général, que lavec tan α et α en radian.

On définit ainsi la pente du canal par La contrainte visqueuse tangentielle ζ a

ζ = ρg S sin α / Pm = ρg Rh I

Soit: ∆ Pr / ρg = 4 (L / D) * R

D’après la loi de Darcy, définissant les pertes de charge, on a

PdC = ∆ Pr / ρg = f * (L / D) * U

En regroupant ces deux formules (1) et (2), on aboutit à

Équation qu’on note sous la forme

U

S = L * H et P = L + 2 * H

Soit: Rh = S / P= L * H / (L + 2 * H)

S = L * H + H2 / tan θP = L + 2 * H / sin θSoit: Rh = S / P= (L * H + H2 / tan θ) / (L + 2 * H /

L * H + H2 / tan θRh =

L + 2 * H / sin θ

S = L * H / 2P = 2 * H / sin θSoit: Rh = S / P = (L * H / 2) / (2 * H / sin

L * H / 2 LRh = = sin

2 * H / sin θ 4

S = π * r2 / 2P = π * rSoit: Rh = S / P = r / 2


rayon hydraulique de figures suivantes

On admet en général, que l’angle longitudinal α est très petit. Par suite, on confond sinavec tan α et α en radian.On définit ainsi la pente du canal par : I = tan α ≈ sin αLa contrainte visqueuse tangentielle ζ a été définie par ζ = ∆ Pr * D / 4L (voir § 6.2.6)

I = ∆ Pr * D / 4L

g = 4 (L / D) * Rh * I (1)

, définissant les pertes de charge, on a :

g = f * (L / D) * U2 / 2g (2)

En regroupant ces deux formules (1) et (2), on aboutit à :f

U8

Équation qu’on note sous la forme :

IRCU h **

) / (L + 2 * H / sin θ)

: Rh = S / P = (L * H / 2) / (2 * H / sin θ)

Rh = = sin θ


très petit. Par suite, on confond sin α

∆ Pr * D / 4L (voir § 6.2.6)

IRfg

h **


8.4 DÉTERMINATION DE LA

Comme en hydrodynamique des liquides réels (sous pression), la constante C dépend du

type d’écoulement gc 8

Rappel : Il y a deux formules pour le calcul de ‘f’

Une pour l’écoulement laminaire Et l’autre pour l’écoulement turbule

8.4.1 CAS DE L’ÉCOULEMENT

8.4.2 CAS DE L’ÉCOULEMENT

Soit : 811.1lg(2.23C

Avec :

U : vitesse moyenne de l’écoulement en m/s.C : coefficient correspondant au coefficient de Colebrook ‘f’.Rh : rayon hydraulique en mI : pente du canal, exprimée en générale en % (nombre sans dimension)Re : nombre de Reynolds, en général, largement supérieur à 4000ε : facteur qui caractérise la

En écoulement laminaire,(voir § 6.2.11) et par suite : C = (8g * Re / 64)

Ceci est valable tant que le nombre deinférieur à 2000.

Dans la pratique de l’hydrauliqueReynolds est beaucoup plus grandn’a que les écoulements turbulents.

En écoulement turbulentdétermination du coefficient ‘‘C’’ estbeaucoup plus difficile à résoudreécoulement turbulent dans le chapitrehydrodynamique des liquides réels)

On admet toujours que l’expression despertes de charge, suit la loi de Darcy.

PdC = f * L / D * U2 / 2g, avec le‘f’ donné par Colebrook. (voir § 6.3.4.3)

En écoulement à surface librecoefficient C est donné par uneanalogue à celle de Colebrook donnant lecoefficient ‘f’.


DÉTERMINATION DE LA CONSTANTE C


fg

deux formules pour le calcul de ‘f’ ;

Une pour l’écoulement laminaireEt l’autre pour l’écoulement turbulent.

CAS DE L’ÉCOULEMENT LAMINAIRE

CAS DE L’ÉCOULEMENT TURBULENT

)//811 he RRC et CU

vitesse moyenne de l’écoulement en m/s.coefficient correspondant au coefficient de Colebrook ‘f’.

pente du canal, exprimée en générale en % (nombre sans dimension): nombre de Reynolds, en général, largement supérieur à 4000

: facteur qui caractérise la rugosité du canal.

on admet que f = 64 / Re,: C = (8g * Re / 64) ½

Ceci est valable tant que le nombre de Reynolds est

de l’hydraulique, le nombre deReynolds est beaucoup plus grand, et en général, on

écoulements turbulents.

turbulent, ladétermination du coefficient ‘‘C’’ estbeaucoup plus difficile à résoudre (voirécoulement turbulent dans le chapitrehydrodynamique des liquides réels)On admet toujours que l’expression despertes de charge, suit la loi de Darcy.

, avec le coefficientvoir § 6.3.4.3)

écoulement à surface libre, lecoefficient C est donné par une expression

à celle de Colebrook donnant le



IRC h**

pente du canal, exprimée en générale en % (nombre sans dimension)


REMARQUE :

Le calcul de cette façon avec le coefficient «C» est compliqué, vu que la résolution del’équation ne peut se faire que par des approximations successives :

)//811.1lg(*2.23 he RRCC Formule à comparer avec celle

de Colebrook )Re

51.27.3

lg(*21fDf

en substituant le terme C par f1

Puisque l’écoulement est turbulent (Re est très grand), on peut adopter l’approximation

)/lg(*2.230 hRC

Exemple :

Résolution de l’équation )//811.1lg(2.23 he RRCC donnant "C" par

approximations successives si on opte pour ε = 0.3 mm, Rh = 0.5 m et Re = 4550

1 * Calcul de C0 74.7

C0 = - 23.2 * lg (ε / Rh) = - 23.2 * lg (0.3 / 500) ≈ 74.7

2 * Calcul de C par approximations successives

C proposé E / Rh 1,811C / Re Somme lg Somme C corrigé

75.0000 0.0006 0.0299 0.0305 -1.5164 35.1802

35.1802 0.0006 0.0140 0.0146 -1.8356 42.5853

……. …… …… …… ……. …….

41.0823 0.0006 0.0164 0.0170 -1.7708 41.0822

41.0822 0.0006 0.0164 0.0170 -1.7708 41.0823

41.0823 0.0006 0.0164 0.0170 -1.7708 41.0823

On admet que «C» est égal à 41.08

Exemple :

Calculer la vitesse de l’écoulement de l’eau à travers un canal si on a : I = 0.1 %, ε = 0.3 mm,Rh = 0.5 m et Re = 4 550 0.9 m/s

On admet que la valeur de " C" = 41.08 (Voir calcul précédent)

Par suite, IRCU h ** = 41.08 * (0.5 * 0.001) 1/2 = 0.92 m/s

En conclusion : Cette façon de calcul n’est pas simple, le calcul de "C" est bien compliqué.

8.5 FORMULES EMPIRIQUES

Vu la complexité de la résolution de l’équation donnant C, les hydrauliciens ont essayé desimplifier le problème par l’utilisation de formules empiriques, donnant le coefficient C en premièreapproximation en fonction de la rugosité et du rayon hydraulique seulement.

Bien se rappeler qu’on écoulement turbulent, les forces résistantes dominantes sont lesforces de rugosité, contrairement aux écoulements laminaires où se sont les forces de viscosité.


8.5.1 APPROCHE DE BAZIN

Le facteur γ est donné par le tableau suivant.

Par suite, l’équation de Bazin donnant la vitesse est : IRCU h **

Avec :

U : vitesse moyenne de l’écoulement en m/s.C : coefficient à calculer à partir du tableau donné par Bazin.Rh : rayon hydraulique en mI : pente du canal, exprimée en générale en % (nombre sans dimension)

Exemple :

Soit un écoulement d’eau dans un canal rectangulaire en ciment lisse (L = 1 m ; H = 0.5 m)de pente : I = 0.1 %.

* 1 Calculer le rayon hydraulique = 0.25 m

R = L * H / (L + 2 * H) = = 0.25 m

* 2 Calculer la constante C de Bazin. = 70.16

C = 87 / (1 + γ / Rh) = = 70.16 pour γ = 0.06 (Ciment lisse)

* 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. = 1 m/s

U = C * (Rh * I) 1/2 = = 1.11 m/s

* 4 En déduire le débit véhiculé à travers le canal. = 555 L/s

Q = S * U = 0.555 m3 / s = 555 L/s

Bazin exprime la rugosité du canal par le facteurγ en donnant l’expression suivante de C en fonction deγ et Rh ; soit C = f (γ, Rh) :

Nature de la paroi γParoi très unie : exemple Ciment lisse, …Paroi unie : exemple : Pierre, brique, ……..Paroi en terreParoi en terre avec galets et herbes…

0.060.16….1.301.75

hR

C

1

87

* 5 Faire lareprésentation deBernoulli en coupelongitudinale et entravers.


8.5.2 APPROCHE DE MANNING STRICKLER

Elle exprime (comme l’approche de Bazin) le coefficient C en fonction de la rugosité (et d’une

façon plus précise) et du rayon hydraulique nRC h

6/1

Le facteur "n" dépend de l’état de la paroi et de sa nature. Le tableau suivant donne uneidée.

Nature des surfaces État des paroisParfait Bon Assez bon Mauvais

Ciment LisséCanaux revêtus en béton….Canaux en terre

0.0100.012….0.017

0.0110.014….0020

0.0120.016….….

0.0130.018…0.026

Par suite, l’équation de Manning donnant la vitesse est : IR hnU

2/13/2**1

Avec :

U : vitesse moyenne de l’écoulement en m/s.n : coefficient donné par Manning Strickler (voir tableau)Rh : rayon hydraulique en mI : pente du canal, exprimée en générale en % (nombre sans dimension)

Exemple :

Soit un écoulement d’eau dans un canal rectangulaire, qui est à surface libre et ayant lesdimensions suivantes (L = 1 m ; H = 0.50 m) en ciment lisse et de pente I = 0.1%.


R = L * H / (L + 2 * H) = = 0.25 m

* 2 Trouver la constante de Manning Strickler = 0.011 5

Pour un état bon à assez bon d’un ciment lisse, on prend N = 0.011 5

* 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. = 1 m/s

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = = 1.09 m/s

* 4 En déduire le débit véhiculé à travers le canal. = 546 L / s

Q = S * U = = 0.546 m3/s = 546 L/s

REMARQUE:

Quelle que soit la formule utilisée (Bazin ou Manning Strickler), le résultat estapproximativement le même (comparer les deux calculs précédents).

Dans la pratique, on utilisait la formule de Manning Strickler, vu sa commodité de calcul.


Quelque fois, on note la formule de Manning sous la forme IR hkU

2/13/2** au

lieu de IR hnU

2/13/2**1

8.6 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES PDC

CONSÉQUENCE :

Dans un écoulement à surface libre, et contrairement aux écoulements en charge, lapression est ici, confondue avec la surface libre. Elle est toujours constante, et par suite :

Il n’y a jamais de pression effective négative. Comme il n’y a jamais de cavitation en conséquence ! C’est l’énergie potentielle (de cote) qui se transforme en pertes de charge (À démontrer).

8.7 LIMITES DES PENTES ET / OU VITESSES

Rappelons qu’en écoulement à surface libre, la vitesse est proportionnelle à la racine

carrée de la pente. IRhCU ** , Soit IkU * Par conséquent, dans tout écoulement à surface libre, la pente devra être comprise

entre deux limites (pente minimale et pente maximale) pour que la vitesse ne soit niexcessivement grande, ni excessivement faible. Ainsi :

Nature du lit Vitesse m/slimon fingros limon…………….

0.250.50

…

Nature du lit Vitesse m/sArgileSableGravierPierres cassées…….Rocher en coucheRocher dure

0.110.760.961.23…..2.273.69

L’équation des pertes decharge se déduit de celle de lavitesse, en admettant que la perte decharge unitaire PdCu est la pentedu canal I. On a ainsi :

PdCL = I * L

La représentation graphiquecorrespondante (de Bernoulli) sera :

La pente minimale donnant lavitesse minimale autocurante quiévite les dépôts et / ou laprolifération d’herbes est :

La pente maximale donnant lavitesse maximale à ne pasdépasser, pour éviter l’érosion ducanal, est :


8.8 CALCUL DES CANAUX

Le calcul des canaux consiste à trouver un paramètre connaissant les autres et qui sont : Ledébit, la vitesse, la pente du canal….

Le calcul des dimensions des canaux, qui porte le nom de dimensionnement des canauxsera fait au paragraphe suivant.

Le calcul des canaux peut se faire soit :

Avec la formule de Bazin Avec la formule de Manning Strickler

╚► Mais, dans tout ce qui suit, il sera préféré la formule de Manning vue sa simplicité etrapidité de calcul, bien en ayant en tête que les résultats sont approximativement les mêmes.

Remarque :

Le calcul des canaux peut se faire avec :

L’utilisation des tables et abaques qui minimisent le calcul, mais la précision du résultatfait défaut (est faible)

L’utilisation des appareils de calcul (calculateur, ordinateur) qui sont des moyenspuissants et précis, et qui facilitent énormément les calculs.

8.8.1 CALCUL DU DÉBIT D’UN CANAL

Si on connaît la forme géométrique et la pente du canal, le débit sera donné par uneapplication directe des équations :

Équation de Manning donnant la vitesse. Équation de la continuité donnant le débit.

En conclusion,

Vu que les vitesses minimale etmaximale dépendent de la paroi ducanal, il n’existe pas de pente minimaleet/ou maximale, elles dépendent à leurtour aussi de la paroi du canal.

Mais, en règle générale, on a :

Pour un canal en terre, la vitesse etla pente par conséquent devront êtretrès faibles.

Pour les canaux fabriqués, la vitessedevra être comprise entre 0.5 et 2m / s, et par suite, la pente devrarespecter cette vitesse.


Exemple 1 :

Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) de pente I = 0.012 %. Sa formegéométrique rectangulaire a les dimensions suivantes : L = 2.91 m, H = 1.9 m

* 2 Calculer le rayon hydraulique. = 0.824 m

R = L * H / (L + 2 * H) = = 0.824 m

* 3 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal. = 0.96 m/s = 5.3 m3/s

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = = 0.963 m/s

Q = U * S = = 5.323 m3/s

Exemple 2 :

.* 2 Calculer le rayon hydraulique = 0.48 m

S = L * H + H2 / tan θ = = 1.71 m2

P = L + 2 * H / sin θ = = 3.55 m

Soit: R = S / P = = 0.48 m

* 3 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal. = 0.6 m/s = 1 m3/s

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = = 0.615 m/s

Q = U * S = = 1.05 m3/s

8.8.2 CALCUL DE LA PENTE D’UN CANAL

Comme pour le calcul du débit, celui de la pente se fait aussi par application directe de laformule, une fois les données sont connues.

Exemple 1 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) qui transite un débit Q =1.05 m3/s. Sa forme géométrique rectangulaire a les données suivantes : L = 1.5 m, H = 0.79 m.

Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n =0.01) de pente I = 0.01 %. Sa forme géométriquetrapézoïdale a les dimensions suivantes : L = 1 m, H= 0.90 m et l’angle du talus est θ = 45°.

* 1 Représenter le canal en coupe transversale

* 1 Représenter lecanal en coupetransversale etlongitudinale. Fairela représentation deBernoulli.


* 1 Calculer le rayon hydraulique du canal. = 0.385 m

S = L * H = = 1.19 m2 ET P = L + 2 * H = = 3.08 m

Soit: R = S / P = = 0.385 m

* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. = 0.9 m/s

U = Q / S = = 0.886 m/s

* 3 En déduire la pente I du canal = 0.028 %

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2, d’où on déduit I 1/2 = U / (1/n * Rh 2/3)

I = [U / (1/n * Rh2/3)] 2 = = 0.028 %

Exemple 2 :

Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.01), qui transite un débit Q = 5.75 m3/s. Saforme géométrique trapézoïdale a les données suivantes : L = 2.5 m, H = 1.25 m, angle au talus θ =60°.

* 1 Calculer le rayon hydraulique du canal. = 0.748 m

S = L * H + H2 / tan θ = = 4.03 m2

P = L + 2 * H / sin θ = = 5.39 m

Soit : R = S / P = = 0.748 m


U = Q / S = = 1.427 m/s

* 3 En déduire la pente I du canal. = 0.03 %

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2, d’où on déduit I 1/2 = U / (1/n * Rh 2/3)

I = [U / (1/n * Rh 2/3)] 2 = = 0.0003 = 0.03 %

* 4 Faire la représentation de Bernoulli.

La représentation fait apparaître : L’énergie potentielle (de cote) L’énergie perdue (Perte de Charge) L’énergie cinétique (qui est en général négligeable)


8.8.3 CALCUL DU TIRANT D’EAU D’UN CANAL

Comme pour le calcul du débit, celui du tirant d’eau se fait aussi par application directe de laformule, une fois les données sont connues.

Exemple 1 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.012), qui transite un débit Q = 4.55m3/s sous une pente I = 0.25 %. Sa forme géométrique rectangulaire a les données suivantes(largeur au plafond L = 1.58 m)

* 1 Calculer le rayon hydraulique du canal en fonction de H

S = L * H = 1.58 * H m2

P = L + 2 * H = 1.58 + 2 * H m

Soit : R = S / P = 1.58 * H / (1.58 + 2 * H) m

* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal en fonction de H

U = Q / S = 4.55 / (1.58 * H) m/s

* 3 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau H du canal.

D’ après Manning, on a:

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = 1 / 0.012 * (1.58 * H / (1.58 + 2 * H)) 2/3 * (0.0025) 1/2

= 4.167 (1.58 * H / (1.58 + 2 * H)) 2/3

Soit en fin de compte :

4.167 (1.58 * H / (1.58 + 2 * H)) 2/3 = 4.55 / (1.58 * H)

Et d’après l’équation de la continuité, on a :

4.55 / (1.58 * H) - 4.167 (1.58 * H / (1.58 + 2 * H)) 2/3 = 0

Équation à résoudre pour trouver le tirant d’eau H (par la méthode de tâtonnement parexemple sous Excel) ; Soit H = 1.147 m

H 1 2 … 1.1 1.2 …. 1.14 1.15 … 1.146 1.147Équation 0.5 -1.4 … 0.14 -0.14 …. 0.02 -0.01 … 0.002 -0.0004

Exemple 2: Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.011) qui transite un débit Q =4.25 m3/s sous une pente I = 0.025 %. Sa forme géométrique trapézoïdale a les données suivantes(une largeur au plafond L = 2.5 m, angle du talus θ = 60°).


S = L * H + H2 / tan θ = 2.5 * H + H2 / tan 60° m2

P = L + 2 * H / sin θ = 2.5 + 2 * H / sin 60 mSoit: R = S / P = (2.5 * H + H2 / tan 60°) / (2.5 + 2 * H / sin 60) m


* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal en fonction de H.

U = Q / S = 4.25 / (2.5 * H + H2 / tan 60°) = m/s

* 3 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau du canal.

Selon Manning, on a: U = 1/n * Rh2/3 * I1/2

U = 1 / 0.011 * ((2.5 * H + H2 / tan 60°) / (2.5 + 2 * H / sin 60)) 2/3 * (0.00025) 1/2 = m/s

Et selon l’équation de la continuité, on a :

U = 1.437 ((2.5 * H + H2 / tan 60°) / (2.5 + 2 * H / sin 60)) 2/3

= 4.25 / (2.5 * H + H2 / tan 60°) Soit en fin de compte :

Soit: 4.25 / (2.5 * H + H2 / tan 60°) = 1.437 ((2.5 * H + H2 / tan 60°) / (2.5 + 2 * H / sin 60)) 2/3

Équation à résoudre par tâtonnement, comme précédemment, (et à faire chez vous) pourtrouver le tirant d’eau H. Soit : H = 1.167 m (Faire aussi la valeur cible en Excel)

8.9 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX

Le dimensionnement des canaux (des ouvrages en générale) est le problème le plusfréquemment rencontré.

Dans la pratique, on a :

Le débit est défini par les besoins en eau ou l’offre éventuellement qui est dicté par laressource en eau.

La pente du canal est définie par le tracé sur la carte ou sur le terrain natureléventuellement.

La nature du terrain est aussi connue, d’où le choix de la forme du canal (circulaire,rectangulaire ou trapézoïdale)

8.9.1 NOTION DE SECTION OPTIMALE

Pour véhiculer un débit donné Q = Cte, et dans l’objectif d’avoir la section économique (diteaussi optimale ou avantageuse), il faut que la vitesse soit maximale.

Or, la vitesse est liée au rayon hydraulique par la relation U = k * Rha

(pour une pentedonnée) ; et pour que ce rayon hydraulique (Rh = Sm / Pm) soit maximal, il y a 2 cas :

Avoir le périmètre mouillé le plus petit possible pour une section mouillée constante. Avoir la section mouillée la plus grande possible pour un périmètre mouillé constant.

En définitif :Il reste à déterminer

les dimensions du canal polygonal(tirant d’eau H et la largeur du lit Lou éventuellement le rayon R ducanal s’il est circulaire).


8.9.2 ETUDE DE LA FORME RECTANGULAIRE

Étudions ses cas pour la forme rectangulaire qui est la plus simple en un premier lieu.

8.9.2.1CAS 1 : SM = CTE ET PM = MIN

Sm = L * H = Cste, d’où on tire: L = Sm / HPm = L + 2 * H = Sm / H + 2 * H = Min

Faisons la dérivée par rapport à la variable H, on a ;dPm / dH = d (Sm / H + 2 * H) /dH = 0

Soit : 2 - Sm / H2 = 0 d’où, on déduit : Sm = 2 * H2 = L * H

8.9.2.2CAS 2 : SM = MAX ET PM = CTE

Pm = L + 2 * H = Cste, d’où on tire L = Pm - 2 * H

Sm = L * H = (Pm - 2 * H) * H = Max

Faisons la dérivée par rapport à la variable H, on a ;

dSm / dH = Pm – 4 * H = 0D’où, on déduit : Pm = 4 * H = L + 2 * H

Soit : L = 2 * H

8.9.3 GÉNÉRALISATION

La recherche de la section optimale peut se généraliser à n’importe quelle formegéométrique :

Pour la forme rectangulaire, on vient de trouver : L = 2 * H Pour la forme trapézoïdale, on a : L = 2 * H * (1 - cos θ) / sin θ (voir exercice)

Remarquer bien que pour θ = π / 2, on revient à : L = 2 * H

8.9.4 EXEMPLES DE CALCUL

Exemple 1 : Donner les dimensions optimales à un canal de forme rectangulaire, ayant une pente I= 0.3 % et transitant un débit Q = 3.6 m3/s. on prend n = 0.011.


S = L * H = 2 * H2 m2 Pour L = 2 * H (Dimension optimale)

P = 2 * H + 2 * H = 4 * H m

Soit: R = S / P = 2 * H2 / 4 * H = H / 2 = m

Conclusion L = 2 * H

Conclusion : L = 2 * H



U = Q / S = 3.6 / 2 * H2 = m/s

* 3 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau du canal.

U = 1/n * Rh2/3 * I1/2 = 1/0.011 * (H / 2) 2/3 * (0.003) 1/2 et qui est aussi égale à= 3.6 / 2 * H2

Soit : 3.6 / (2 * H2) - 4.98 * (H / 2) 2/3 = 0

Équation à résoudre par tâtonnement ou par valeur cible en Excel par exemple.

HÉquation

Soit : H = 0.923 m et L = 1.29 m

Exemple 2 :

Donner les dimensions optimales à un canal de forme trapézoïdale (angle au talus θ = 70°)ayant une pente I = 0.02 % et débitant un volume unitaire Q = 3.10 m3/s. on prend n = 0.0041.


Pour L = 2 * H * (1 - cos θ) / sin θ); on a:

S = L * H + H2 / tan θ =P = L + 2 * H / sin θ =

Soit: R = S / P =


U = Q / S =

* 3 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau du canal. H = 0.9 m L = 1.3 m

U = 1/n * Rh2/3 * I1/2 = 1/0.0041 * (H / 2) 2/3 * (0.0002) 1/2

= 3.449 * (H / 2) 2/3 et aussi égale à (§ avant)= 3.1 * sin θ / H2 / (2 – cos θ)

Soit en fin de compte : 3.1 * sin θ / H2 / (2 – cos θ) = 3.449 * (H / 2) 2/3

3.1 * sin 70 / H2 / (2 – cos 70) - 3.449 * (H / 2) 2/3 = 0

Équation à résoudre pour trouver le tirant d’eau H.

H … 0,9 1 … 0,92 0,93 … 0,923 0,924 … 0,9234 0,9235

Eq … 0,14 -0,42 … 0,02 -0,04 … 0,003 -0,003 … 0,00026 -0,0003

En utilisant Excel (tâtonnement ou valeur cible), on a : H = 0.9234 m et L = 1.29 m


8.10 ÉCOULEMENT FLUVIAL ET TORRENTIEL

8.10.1 NOTION DE FLEUVE ET TORRENT

Un fleuve est un grand cours d’eau qui coule sur un terrain presque plat (la plaine). C’està dire : qui a une pente faible. Par conséquent, il se caractérise par :

Un tirant d’eau grand à trop grand. Une vitesse faible à trop faible

Un torrent est un cours d’eau qui coule sur un terrain très accidenté (la montagne). C’està dire ; qui a une pente forte. Par conséquent, il se caractérise par :

Un tirant d’eau faible à trop faible. Une vitesse grande à trop grande.

8.10.2 NOTION D’ÉNERGIE SPÉCIFIQUE

Si on reprend le théorème de Bernoulli, on a :

H = Z + Pr / ρg + U2 / 2g

Z représente l’énergie potentielle (de position) par rapport à un plan de référence.

Pour les écoulements à surface libre, et puisque les pentes des canaux sont très faibles, onpeut considérer que le fond des dits canaux représente le repère choisi (Nouveau plan deréférence)

Sur ce, la notion d’énergie spécifique s’introduit par la relation suivante :

Pour les écoulements à surface libre, la pression est représentée par la cote en eaudans le canal ‘h’. D’où, on notera l’énergie spécifique par :

Avec :

E : énergie spécifique en mCE.h : tirant d’eau dans le canal en m.U : vitesse moyenne dans le canal en m/s.

E = h + U 2 / 2g

E = Pr / ρg + U2 / 2g


8.10.3 NOTION DE PROFONDEUR CRITIQUE

La profondeur critique Yc est le tirant d’eau ‘h’ auquel correspond une énergie spécifiqueminimale. Pour un débit donné, à travers une section rectangulaire ; on a :

THÉORÈME :

Pour tout écoulement à surface libre, à travers un canal rectangulaire ; on définit laprofondeur critique Yc pour un débit unitaire q = Q / L par :

Avec :Yc : Profondeur critique en m à laquelle correspond l’énergie spécifique minimaleq : débit unitaire en m3/s/m de large, q = Q / LL : largeur du lit du canal en m.g : Accélération terrestre en m/s/s.

A cette profondeur critique, correspond l’énergie spécifique critique, Ec qui sera :

Ec = Yc + q2 / 2g Yc2 = Yc + (g Yc

3) / 2g Yc2 = 3/2 * Yc

8.10.4 NOTION DE VITESSE ET PENTE CRITIQUE

La notion de profondeur critique et énergie critique peut se généraliser aux autresparamètres de l’écoulement : Vitesse, pente, …

Ainsi, la notion de vitesse critique se déduit de : Ec = Yc + Uc2 / 2 g = 3 / 2 * Yc

D’où on déduit :

Yc3 = q2 / g ou Yc = (q2 / g) 1/3

Ec = 3 / 2 * Yc avec Yc3 = q2 / g

Uc = (g * Yc)1/2

E = h + U2 /2g avec Q = S * U = Lh * Uon aura :

E = h + (Q / Lh) 2 / 2g, et si on prend ledébit unitaire pour simplifier q = Q / L (enm3/s/ml)

E = h + q2 / 2gh2.

L’énergie minimale se définit pardE / dh = 0 : (h est la seule variable)

d (h + q2 / 2gh2) / dh = 1 - q2 / gh3 = 0.


Remarques:

Il n’y a pas le facteur ‘’2 ‘’ comme pour la formule de Torricelli U = (2 * g * H) 1/2

La notion de pente critique se déduit de la formule de Manning Strickler donnant la vitesse

8.11 NOTION DE TYPE D’ÉCOULEMENT

Avec cette notion d’énergie spécifique critique, il sera défini trois types d’écoulements (quirappellent leur propre nom)

8.11.1 NOTION DU NOMBRE DE FROUDE

C’est un nombre sans dimension (adimensionnel) qui représente le rapport des forcesd’inertie sur les forces de pesanteur. Son expression est :

gh

VF

Avec :

F : Nombre de Froude sans dimensionV : Vitesse de l’écoulement en m/sg : Accélération terrestre (ou pesanteur du lieu) g ≈ 9.8 m/s/sh : Hauteur de la lame d’eau de l’écoulement (tirant d’eau)

Le nombre de Froude joue un rôle important en hydraulique, Il permet en particulier dedistinguer les écoulements fluviaux (infra critique) des écoulements torrentiels (supercritique)

8.11.2 ÉCOULEMENT TORRENTIEL

8.11.3 ÉCOULEMENT FLUVIAL

L’écoulement torrentiel se caractérise par sahauteur (petit tirant d’eau) qui est inférieure à lahauteur critique, ainsi qu’une forte pente qui donnelieu à une forte vitesse. Le nombre de Froudecorrespondant est supérieur à UN (F > 1).

Dans ces conditions, la célérité des ondes estplus faible que la vitesse de l’eau, et par suite, uneperturbation de l’eau n’affecte que les conditionsd’écoulement aval de son point de départ (voir TP).

L’écoulement fluvial se caractérise par sa hauteur (ungrand tirant d’eau) qui est supérieure à la hauteur critique, ainsiqu’une faible pente qui donne lieu à une faible vitesse. Le nombrede Froude correspondant est inférieur à UN (F < 1)

Dans ces conditions, la célérité des ondes se propage plusvite que la vitesse de l’eau, et par suite, une perturbation de l’eauaffecte les conditions d’écoulement à la fois à l’amont et à l’avalde son point de départ voir TP).


8.11.4 ÉCOULEMENT CRITIQUE

C’est un écoulement intermédiaire entre les deux, dont les paramètres sont critiques (Vc, Yc

et Ic) Le nombre de Froude correspondant est égal à UN (F = 1)

Rappelons que cet écoulement se caractérise par sa charge spécifique minimale. Et parsuite, le débit critique sera donné par :

Avec :Qc : Débit critique de l’écoulement de l’eau dans le canal en m3/sL : Le lit du canal en mS : section offerte à l’écoulement en m2

g : Accélération terrestre (ou pesanteur du lieu) g ≈ 9.8 m/s/s

8.11.5 RESUME

C’est ce qui peut se résumer dans le tableau suivant :

Écoulement Vitesse eau Tirant d’eau Pente canal Nbre de FroudeFluvialCritiqueTorrentiel

V < Uc

Uc

V > Uc

H > Yc

YcH < Yc

I < IcIcI > Ic

F < 1F = 1F > 1

Exemple : Soit un canal rectangulaire de largeur au plafond L = 2 m, qui transite un débitQ = 9.35 m3/s. Si on prend n = 0.011 :

* 1 Donner les caractéristiques de l’écoulement critique (Yc, Uc et Ic) =1.298 m =3.60 m/s = 0.23%

Yc3 = q2 / g = = 2.286 m Càd Yc = 1.298 m

Uc = (g * Yc)1/2 = = 3.60 m/s

U = 1 / 0.011 * R2/3 * I1/2 = 3.60 avec R = = 0.565 m

Ic = (U / K / R2/3)2 = = 0.23 %

* 2 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = 10 * Ic

Q = U * S = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2

= 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 9.35Équation à résoudre, et qui donne : H = 0.52 m

U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 = 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 7.7 m/s

F = U / (Yc * 10)0.5 = = 3.5

* 3 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = Ic / 10

Q = U * S = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2

= 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 9.35Équation à résoudre, et qui donne : H = 3.07 m

U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3= 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 1.3 m/s

F = U / (Yc * 10)0.5 = = 0.24

Qc2 * L = g * S3


* 4 Dresser le tableau résumé des écoulements (fluvial, critique et torrentiel)

ÉCOULEMENT VITESSE TIRANT D’EAU PENTE NOMBRE DE FROUDEFluvialCritiqueTorrentiel

V = 1.3 m/sUc= 3.6 m/sV = 7.7 m/s

H = 3.07 mYc = 1.3 mH = 0.52 m

I = 0.0323 %Ic = 0.23 %I = 3.23 %

F = 0.24F = 1F = 3.5

8.12 ÉCOULEMENTS EN CANAUX CIRCULAIRES

8.12.1 INTRODUCTION

Ce complément de cours est ajouté pour faciliter la compréhension des cours pratiques.

La section circulaire se définit par le rayon du cercle et l’arc correspondant au périmètre mouillé.

La section mouillée est définie par le secteur OACB + le triangle OAB:

Sm = R2 * θ/2 + ½ R2 * sin (2π – θ) = R2 * (θ - sin θ) / 2

Et le périmètre mouillé est : Pm = R * θ

D’où le rayon hydraulique sera :

Avec :

R : rayon du canal circulaire (cylindrique) en m.Θ : Angle de remplissage du canal en radian.

Le calcul des canaux (circulaires ou demi-circulaires) consiste à trouver un paramètreconnaissant les autres et qui sont : Le débit, la vitesse, la pente et le taux de remplissage du canal.

Par contre, le dimensionnement consiste à trouver le rayon à donner au canal.

8.12.2 CALCUL DU DÉBIT D’UN CANAL

Le débit sera donné par une application directe des équations :

Équation de Manning donnant la vitesse. Équation de la continuité donnant le débit.

Exemple :

Soit un canal circulaire (de rayon R = 1 m et un angle de θ = 308°) en ciment lisse et étatparfait (n = 0.01) de pente I = 0.012 %.

Les canaux circulaires, demi-circulaires, … sont très utilisés enécoulement à surface libre (c’est le cas de l’assainissement,l’irrigation gravitaire et le drainage) puisque la section circulaire a :

Le minimum de béton. Le meilleur rayon hydraulique.

Rh = R * (θ - sin θ) / 2θ


* 1 Représenter le canal en coupe transversale.

* 2 Calculer le périmètre et la section du canal.

θ = = 5.3756

Sm = R2 * (θ - sin θ) / 2 = = 3.08 m

Pm = R * θ = = 5.3756 m

* 3 En déduire le rayon hydraulique.

Rh = S / P = = 0.573 m

* 4 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal.

U = 1 / 0.01 * (Rh) 2/3 * I1/2 = = 0.756 m/s

Q = U * S = = 2.33 m

8.12.3 CALCUL DE LA PENTE D

Comme pour le calcul du débit, celui de la pente se faitformule, une fois les données sont connues.

Exemple :

Soit un canal circulaire (de rayon R = 1.2 m et un angle deparfait (n = 0.011), qui transite un débit Q = 5.05 m

* 1 Calculer le périmètre et la section du canal

θ = = 5.38

Sm = R2 * (θ - sin θ) / 2 = = 3.3 m

Pm = R * θ = = 6.45 m


R = S / P = = 0.51 m

* 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal.

Équation de la continuité Q = U * S donne



* 2 Calculer le périmètre et la section du canal. = 5.3756 m = 3.08 m2

= = 5.3756 rd

) / 2 = = 3.08 m2

= = 5.3756 m

* 3 En déduire le rayon hydraulique. = 0.573 m

Rh = S / P = = 0.573 m

* 4 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal. = 0.756 m / s = 2.33 m

= = 0.756 m/s

Q = U * S = = 2.33 m3/s

CALCUL DE LA PENTE D’UN CANAL

Comme pour le calcul du débit, celui de la pente se fait aussi par application directe de laformule, une fois les données sont connues.

Soit un canal circulaire (de rayon R = 1.2 m et un angle de θ = 308°) en ciment lisse et étatparfait (n = 0.011), qui transite un débit Q = 5.05 m3s.

uler le périmètre et la section du canal = 6.45 m = 3.3 m2

= = 5.38

) / 2 = = 3.3 m2

= = 6.45 m

* 2 En déduire le rayon hydraulique. = 0.51 m

R = S / P = = 0.51 m


Équation de la continuité Q = U * S donne : U = Q / S = = 1.53 m/s


s = 2.33 m3/s

= = 0.756 m/s

aussi par application directe de la

= 308°) en ciment lisse et état

2

: U = Q / S = = 1.53 m/s


* 4 En déduire la pente I du canal. = 0.07%

L’équation de Manning Strickler U = 1 / n * (R) 2/3 * I1/2 donne la pente du canal I

I = (U * n / (R) 2/3) 2 = = 0.07%

8.12.4 NOTION DU TAUX DE REMPLISSAGE

La vitesse et le débit dans un canal, sont fonction du taux de remplissage. Si on appelle V0 etQ0 la vitesse et le débit en pleine section, calculons les rapports V / V0 et Q / Q0.

◙ Pour un écoulement à pleine section, on a :2/13/21

0 )2( IRV n et 22/13/210 )2( RIRQ n

◙ Pour un écoulement à section non pleine, on a :3/2

2/13/21)sin(

)2(

IRV n

et

3/222/13/21 )/)sin)((sin(*2)2( RIRQ n

└► Soit : Pour un écoulement à un taux de remplissage donné, on a :

3/2

0

)sin(/

VV et

2

sin)sin(/

3/2

0

QQ

Conclusions En appliquant la loi de Manning Strickler :

→ La vitesse est maximale pour un angle de 260°,

→ Le débit est maximal pour un angle de 308°, Autrement dit; pour dimensionner, l’angleoptimal (économique, avantageux) est 308°.

→ Mais, pour des raisons pratiques, (passage des corps flottants, marge de sécurité, …),l’angle admis est en général de 240° (inférieur à l’angle 260°de la vitesse est maximale).

8.12.5 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX

Le dimensionnement des canaux (en écoulement à surface libre) se fait comme pour lescalculs précédents, sans oublier que c’est la question qui se pose à chaque fois qu’il y a un projet àréaliser.

Ainsi, on a à calculer : Le diamètre du canal à installer. L’angle de remplissage (ou le tirant d’eau) qui donne le débit le plus grand.

Pour plus de détail, voir le chapitre du dimensionnement du cours d’assainissement, ducours d’irrigation gravitaire et/ou du cours de drainage.

8.13 ÉCOULEMENTS EN DÉVERSOIRParshall


Rapport de vitesse en fonction de l'angle de remplissage

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360Angle de remplissage

Rapport

V/V

0

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

Q/Q

0

angle de remplissage

Rapport de Débit en fonction de l'angle de remplissage


EXERCICES

Il serait souhaitable de faire ces exercices en premier lieu à la main (et à refaire avec EXCEL)

Exe 1 : Soit un écoulement d’eau dans un canal rectangulaire en ciment lisse (L = 1.5 m ; H = 0.75m) de pente : I = 0.11 %.

* 1 Calculer le rayon hydraulique = 0.375

Rh = L * H / (L + 2 * H) = 1.5 * 0.75 / (1.5 + 2 * 0.75) = 0.375

* 2 Calculer la constante C de Bazin. = 75

Pour un canal lisse, on prend γ = 0.06

C = 87 / (1 + γ / Rh) = 87 / (1 + 0.06/0.375) = 75

* 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal selon la formule de Bazin. = 1.5 m / s

U = C * (Rh * I) 1/2 = 75 * (0.375 * 0.11 %) ^ 0.5 = 1.5 m/s

* 4 En déduire le débit véhiculé à travers le canal. = 1 714 L/s

Q = S * U = 1.5 * 0.75 * 1.5 = 1 714 L/s

Exe 2 : Soit un écoulement d’eau dans un canal rectangulaire, à surface libre qui a les dimensionssuivantes (L = 1.21 m ; H = 0.650 m) en ciment lisse et de pente I = 0.21 %.


R = L * H / (L + 2 * H) = 1.21 * 0.65 / (1.21 + 2 * 0.65) = 0.313 m

* 2 Trouver la constante de Manning Strickler N = 0.0115

Pour un ciment lisse d’un état bon à assez bon, on a : N = 0.0115


U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = 1 / 0.0115 * 0.313 2/3 * 0.21 % 1/2 = 1.84 m/s

* 4 En déduire le débit véhiculé à travers le canal. = 1.5 m3/s

Q = S * U = 1.21 * 0.65 * 1.84 = 1.446 m3/s

Exe 3 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.011) de pente I = 0.03 %. Sa formegéométrique rectangulaire a les dimensions suivantes : L = 2.5 m, H = 1.95 m.

* 1 Représenter le canal en coupe transversale et longitudinale.


* 2 Calculer le rayon hydraulique.

Rh = L * H / (L + 2 * H) = 2.5 * 1.95 / (2.5 + 2 * 1.95) = 0.76 m


U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = 1/0.011 * 0.758

Q = U * S = 2.5 * 1.95 * 1.31 = 6402l/

* 4 Faire la représentation de Bernoulli.

Exe 4 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.011) de pente I = 0.021 %. Sa formegéométrique trapézoïdale a les dimensions suivantesθ = 45°.


U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = = 1.06 m/sQ = U * S = = 4.19 m

Exe 5: Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.018), qui transite un débit Q = 1.7 msous une pente I = 0.2 %. Sa forme géométrique rectangulaire a les données suivantes (largeur auplafond L = 1.58 m)

* 1 Calculer le rayon hydraulique d

S = L * H = = m

P = L + 2 * H = = m

Soit: R = S / P = = m


U = Q / S = = m/s

* 4 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau H du canal.

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2

* 1 Représenter le canal en coupe transver

L = 2.1 m, H = 1.2 m

* 2 Calculer le rayon hydraulique

S = L * H + H2 / tan θ = 3.96 mP = L + 2 * H / sin θ = 5.49 m

Soit : R = S / P = 0.72 m


* 2 Calculer le rayon hydraulique. = 0.76 m

Rh = L * H / (L + 2 * H) = 2.5 * 1.95 / (2.5 + 2 * 1.95) = 0.76 m

* 3 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal. = 6402 l / s

= 1/0.011 * 0.758 2/3 * 0.03 % 1/2 = 1.31 m / s

Q = U * S = 2.5 * 1.95 * 1.31 = 6402l/ s

* 4 Faire la représentation de Bernoulli. Voir Question 1

: Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.011) de pente I = 0.021 %. Sa formegéométrique trapézoïdale a les dimensions suivantes : L = 2.1 m, H = 1.2 m, et l’angle du talus est

* 3 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal. = 1 m/s = 4.19 m

= = 1.06 m/sQ = U * S = = 4.19 m3/s

Exe 5: Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.018), qui transite un débit Q = 1.7 msous une pente I = 0.2 %. Sa forme géométrique rectangulaire a les données suivantes (largeur au

ique du canal en fonction de H

S = L * H = = m2

P = L + 2 * H = = m

: R = S / P = = m


U = Q / S = = m/s

* 4 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau H du canal. H = 0.8 m


=0.714 m

= 3.96 m2

= 5.49 m

: R = S / P = 0.72 m


: Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.011) de pente I = 0.021 %. Sa forme: L = 2.1 m, H = 1.2 m, et l’angle du talus est

m/s = 4.19 m3/s

Exe 5: Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.018), qui transite un débit Q = 1.7 m3/ssous une pente I = 0.2 %. Sa forme géométrique rectangulaire a les données suivantes (largeur au

H = 0.8 m


Exe 6 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) qui transite un débit Q =1.125m3/s sous une pente I = 0.02 %. Sa forme géométrique trapézoïdale a les données suivantes (unelargeur au plafond L = 1.2 m, angle du talus θ = 50°).


S = L * H + H2 * tan 50° m2

P = L + 2 * H / sin θ =

Soit : R = S / P


U = Q / S =

* 4 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau du canal. H = 0.75 m

Exe 7 : Donner les dimensions optimales à un canal de forme rectangulaire, ayant une pente I =0.23 % et transitant un débit Q = 5.6 m3/s. on prend n = 0.019.


Pour L = 2H (Section optimale)

S = L * H = 2 * H2 = m2

P = 2 * H + 2 * H = 4 * H = m

Soit: R = S / P= 2 * H2 / 4 * H = H / 2 = m


U = Q / S = 5.6 / 2 * H2 = m/s



Exe 8 : Donner les dimensions optimales à un canal de forme trapézoïdale (angle au talus θ = 75°) ayant une pente I = 0.1 % et débitant un volume unitaire Q = 3.310 m3/s. on prend n = 0.01.


Prendre L = 2 * H (1 – cos θ) / sin θ pour satisfaire les conditions optimales

S = L * H + H2 / tan θ = 2 * H2 + H2 / tan 75° m2

P = L + 2 * H / sin θ = 2 * H + 2 * H / sin 75 m

Soit : R = S / P


U = Q / S = 3.31 / (2 * H2 + H2 * tan 75°) m/s


Exe 9 : Un canal rectangulaire de largeur au plafond L = 2.5 m, transite un débit Q = 5.8 m3/s. Onprend n = 0.011.

* 1 Donner les caractéristiques de l’écoulement critique (Yc, Uc et Ic)

Yc3 = q2 / g = (5.8/2.5) 2 / 9.8 = 0549 ; Càd Yc = 0.819 m

Uc = (gYc) 1/2 = (9.8 * 0.819) 1/2 = 2.8 m/s

U = 1/0.011 * R2/3 * I1/2 = avec R = m

Ic = (

* 2 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = 10 * Ic

Q = U * S = * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2

Équation à résoudre : H = m

U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 = m/s

F = U / (Yc * 10)0.5

* 3 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = Ic / 10

Q = U * S = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2

Équation à résoudre : H = m

U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 = m/s

F = U / (Yc * 10)0.5 =


* 4 Dresser le tableau des valeurs des écoulements (fluvial, critique et torrentiel)

Écoulement Vitesse Tirant d’eau Pente Nb FroudeFluvialCritiqueTorrentiel

Exe 10 : Soit un canal circulaire (de rayon R = 1.5 m et un angle de θ = 328°) en ciment lisse et étatparfait (n = 0.01) de pente I = 0.015 %.


* 2 Calculer le périmètre et la section du canal.

θ = 328 * 3.14159 / 180 rd =

Sm = R2 * (θ - sin θ) / 2 = m2

Pm = R * θ m


R = S / P = m


U = 1 / 0.01 * (R) 2/3 * I1/2= = m/s

Q = U * S = m3/s

Exe 11 : Soit un canal circulaire (de rayon R = 1.25 m et un angle de θ = 318°) en ciment lisse etétat parfait (n = 0.011), qui transite un débit Q = 3.05 m3/s.

* 1 Calculer le périmètre et la section du canal

θ = 318 * 3.14159 / 180 =

Sm = R2 * (θ - sin θ) / 2 = m2

Pm = R * θ = m


R = S / P = m



Équation de la continuité Q = U * S donne : U = Q / S = m/s

* 4 En déduire la pente du canal.

L’équation de Manning Strickler U = 1 / n * (R) 2/3 * I1/2 donne la pente du canal I

I = (U * n / (R) 2/3) 2 =


EXERCICES DE RECHERCHE :

Exe 1 : Soit à dimensionner un canal rectangulaire, de pente I = 0.5%, n = 0.01.

1 * Donner la formule du tirant d'eau L = f(H) et celle du rayon hydraulique RH = f(H) pour la sectionavantageuse.

2 * En déduire la formule du débit selon Manning Strickler (pour ces conditions).

3 * Calculer Q (l/s) en fonction de H (cm) du tableau suivant.

H (cm) 40 45 50 55 60

Q (l/s)

4 * Dimensionner le canal si le débit est de 1400 l/s.

5 * En exécution, il s'est avéré qu'il y a un tronçon qui a une pente de 0.45%. Y aura t il unproblème ? Si oui, proposer une solution économique.

Exe 2 : Soit un canal, de forme trapézoïdale, dont les caractéristiques sont résumées dans letableau suivant qu’il faudra compléter. Il sera conseillé de le faire par Excel.

N Large (m) Tirant d’eau m Angle talus Pente % Débit l/s0.011 1.01 0.9 45° 0.03 ? 1655.910.010 2.03 0.88 60° ? 0.1 1533.250.010 1.05 ? 55° 0.015 280.870.012 ? 0.85 75° 0.02 1562.580.011 ? 1.05 ? 0.52 45° 0.0002 5.0250.013 ? 2.12 ? 1.06 60° 0.00012 5.4440.010 ? 1.56 ? 0.78 90° 0.00015 1.85? 0.011 1.05 0.52 45° 0.0002 5.025? 0.013 2.12 1.06 60° 0.00012 5.444? 0.010 1.56 0.78 90° 0.00015 1.85

Exe 3 : Démontrer l’expression L = 2H (1 – cos θ) / sin θ caractérisant la sectionavantageuse d’un canal de forme trapézoïdale.


9 récapitulation

Dans ce qui suit, on récapitule les lois d’hydraulique (écoulementturbulent en charge et à surface libre).

Écoulement en charge Écoulement à surface libre

Section Toujours circulaire Elle peut être : rectangulaire,trapézoïdale, circulaire, demi-circulaire, ovoïde, ...

Charge La pression >> à la pressionatmosphérique en général

La pression est atmosphérique

Conséquences

Il peut y avoir unécoulement remontantou descendant

La lignepiézométrique esttoujours décroissante etau-dessus de la conduite(….Cavitation!)

L’écoulement est toujoursdescendant (gravitaire).

La ligne piézométriqueest toujours décroissante etconfondue avec la surfacelibre de l’eau

Énergiecinétique

En hydraulique appliquée, Elle est toujours négligeable, vuque la vitesse est de l’ordre de 1 m/s.

PdC = F L/D * U2 / 2g Avec

F = -2*lg (ε/3.7D +2.57/ReF1/2)

U = C ( Rh I )1/2 Avec

C = -23.2*lg (1.8C/Re + ε/Rh)

Le calcul par ces expressions est compliqué. D’où l’emploid’autres formules empiriques, plus simples telles que:

Hazen Williams, Scimemi,Scobey, ….

Bazin, Manning Strickler, ….

Expressiondes PdCsingulières

PdCsing = K * U2/2g PdCsing = ∆H de la chute d’eau


10 LES TRAVAUX PRATIQUES D’HYDRAULIQUE

Dans ce qui suit, il sera réuni un ensemble de petites manipulations constituantes destravaux pratiques, à faire sous forme de démonstration et d’illustration pédagogique que de travauxpratiques au sens du terme.

Ce module de travaux pratiques couvre en gros l’ensemble du cours d’hydraulique, et a pourobjectifs :

Vérifier les théorèmes et lois régissant les écoulements d’hydraulique (en charge et/ou àsurface libre) vus en cours.

Visualiser les divers types d’écoulement d’hydraulique et permettre de faire la jonctionentre la théorie et l’expérimentation.

….. …

Ainsi, ces travaux pratiques seront sous forme de petites manipulations qui éclaircissent lecours ; et qui peuvent ce placer en fin du chapitre en question ou éventuellement en fin du cours.


10.1 TP 1 : APPAREILLAGE ET RELEVÉE DE DONNÉES

10.1.1 OBJECTIFS

Ce premier TP (réalisé avec le tube venturi), très simple a pour objectifs :

o Montrer le pilote aux étudiants et expliquer ses composantes sur place.o Faire une démonstration de fonctionnement avec différents débits.o Montrer la notion de pression positive et pression négative (dépression)o Montrer la notion d’énergie cinétique.o Matérialiser la ligne piézométrique.o Faire plusieurs séries de relevés de :

L’énergie de pression statique avec les tubes piézométriques. L’énergie totale avec le tube Pitot Le volume écoulé et le temps correspondant ;

o Et ceci a pour finalité :

Pouvoir éliminer les fautes éventuelles. Faire face aux erreurs afin d’augmenter la précision des données.

10.1.2 DESCRIPTION DU PILOTE

o Montrer le pilote aux étudiants globalement et ses composantes sur place.o Décrire les composantes une à une du circuit hydraulique :

Bouton de marche, arrêt, urgence. Cuve réservoir en eau servant au circuit qui doit être pleine en eau. Cuve (réservoir en eau) graduée servant au comptage du volume écoulé en eau. Pompe d’alimentation du circuit en eau. Vannes de réglage du débit, de réglage de la pression et des tubes piézomètriques. Tuyauterie avec le cône convergent divergent. Piézomètres et leur emplacement sur le cône. Le tube Pitot et sa mobilité de déplacement.

10.1.3 FONCTIONNEMENT DU PILOTE

o Brancher le courant électrique une fois vous êtes sûr que la vanne d’alimentation en eau estfermée.

o Mettre en marche la pompe sur vanne fermée.o Ouvrir la vanne d’alimentation en eau pour un débit donné.o Faire une démonstration de fonctionnement avec différents débits

Qu’observez-vous au niveau des tubes piézométriques pour un débit faible ?

Qu’observez-vous au niveau des tubes piézométriques pour un débit moyen ?

Le niveau de l’eau dans les différents tubes piézométriques est +/- le même. La variation delecture est négligeable.

Le niveau de l’eau dans les différents tubes piézométriques n’est pas le même. La variationde lecture, représentant la pression est nette.


Qu’observez-vous au niveau des tubes piézométriques pour un fort faible ?

Montrer la notion d’énergie cinétique et sa variation le long du cône.

Régler la vanne débit métrique pour pouvoir faire des lectures piézométriques biendifférentes et au tube de Pitot, et faire plusieurs séries de relevés de :

L’énergie de pression statique avec les tubes piézométriques Hs. L’énergie totale avec le tube Pitot Ht Le volume écoulé et le temps correspondant.

10.1.4 OBSERVATIONS

Choisir un débit qui fait une nette différence de lectures à travers les divers tubes. Remplir les tableaux suivants avec leurs observations de lecture à travers les tubes

piézométriques donnant la hauteur statique Hs, tube Pitot donnant la hauteur totale Ht etdonnées volumétriques (volume écoulé et temps correspondant)

Nota : Faire plusieurs relevées d’observations dans le temps pour minimiser les erreurs defluctuation du niveau dans le tube.

10.1.5 TRIAGE DES DONNÉES

Fixer une marge d’erreurs (par exemple 5 %) et éliminer les données qui en sortent. Recalculer la nouvelle moyenne pour minimiser les erreurs. Vérifier la concordance des données avec la théorie.

o (Ht1 > Ht2 > Ht3 > …)o (Hs1 > Hs2 > Hs3 < Hs4 < Hs5 < Hs6)

Corriger ces données si c’est nécessaire (x → x +/- 1 à 3 %) pour qu’elles concordentéventuellement à la théorie sans dépasser la marge d’erreur (fixée à 5 %).

TABLEAU DE Hs

Tubesd’observation

1 2 3 4 5 6

Hs Er Hs Er Hs Er Hs Er Hs Er Hs Er

Ob.1 (mm)

Ob. 2 (mm)

…..

Ob. 20 (mm)

Moyenne (mm)

Moy Cor (mm)

Le niveau de l’eau dans les différents tubes piézométriques est très différent, voirmême le niveau de l’eau dans le tube 3 a disparu. Il y a même des bulles l’air quientre dans la conduite, signe de dépression (pression négative)

Quand on fait déplacer le tube Pitot à l’intérieur de la conduite, on a : de la position 1 vers la position 3, la hauteur de l’eau augmente dans le dit tube.

Càd : l’énergie cinétique augmente. Et vice versa, de la position 3 à la position 6, la hauteur de l’eau diminue dans le

dit tube. Càd : l’énergie cinétique diminue. Ceci s’explique par la variation du diamètre de la conduite : Il y a rétrécissement

puis élargissement.


TABLEAU DE Ht

Tubesd’observation

1 2 3 4 5 6

Ht Er Ht Er Ht Er Ht Er Ht Er Ht Er

Ob.1 (mm)

Ob. 2 (mm)

…..

Ob. 20 (mm)

Moyenne (mm)

Moy cor (mm)

TABLEAU RÉSUMÉ (Vérification de la concordance)

1 2 3 4 5 6Hs (mm)Ht (mm)


10.2 TP 2 : LA VOLUMÉTRIE

10.2.1 NOTION DE MESURE DE DÉBIT

Souvent, dans la pratique, le technicien est exposé à savoir le débit transité à travers uneconduite (ou un canal éventuellement). Pour le mesurer, le dit technicien devra utiliser le procédéapproprié.

Les procédés de mesure du débit, appelé JAUGEAGE, sont nombreux et ne peuvents’appliquer indifféremment. Il faudra distinguer :

Mesure directe : il s’agit de mesurer le volume qui s’est écoulé pendant un temps déterminé,et en faire un simple rapport de ces deux grandeurs. C’est la volumétrie.

Mesure indirecte : il s’agit de mesurer plutôt la vitesse et la multiplier par la section del’écoulement. (Voir plus loin : Tube Pitot, Venturi, Parshall, …)

REMARQUES :

Actuellement, la mesure du débit se fait de plus en plus d’une façon électronique. Alors que ce TP n’est qu’une simple illustration du cours.

10.2.2 OBJECTIF

Ce premier TP, très simple, a double objectifs : Il s’agit d’introduire :

o La notion d’erreurs dans les manipulations et la précision qui en découle.o La façon la plus simple visant à augmenter la précision autant que possible.

10.2.3 LA VOLUMÉTRIE

La volumétrie est la mesure des volumes d’une façon générale. Dans ce cas, c’est la mesuredu volume du liquide écoulé, pendant un intervalle de temps donné.

TVQ

Avec:

ΔV : Variation de volume écoulé en m3, L, …ΔT : intervalle de temps en s, mn, h, …Q : Débit à mesurer en m3/s, l/s, l/mn, …

Les appareils de mesure de cette expérience sont:

Un chronomètre (ou montre électronique) pour mesurer le temps avec une très bonneprécision.

Un bac gradué pour mesurer le volume écoulé en L, m3.

10.2.4 EXPÉRIENCE

Pour déterminer le débit d’un robinet donné, on place sur la paroi verticale d’un tonneauplacé sous le robinet, une graduation métrique, tel que le zéro coïncide avec le font du tonneau.


Durant l’expérience, et en admettant que :

La hauteur du tonneau est graduée en cm ; par suite, l’erreur de mesure sera le cm. Le temps écoulé correspondant sera en secondes. C'est-à-dire : l’erreur de mesure sera

la seconde.

Le tableau des données relevées sera le suivant :

Volume correspondant en (L)Temps chronométré en (s)Débit moyen calculé Q (L / s)

La précision du résultat dépend de l’appareillage et de la manipulation. Pour l’augmenter; ilsuffit de multiplier les mesures, voir même en avoir des mesures intermédiaires qui peuvent êtretraitées sous forme de graphe.

Dans ce cas, il faudra relever différents volumes consécutifs écoulés et le tempscorrespondant pour tracer la droite expérimentale.

V = f(t) = Q*t + Cte (= 0) : A ne pas oublier.

En principe, les points reportés sur le graphe seront alignés. Mais, vu les incertitudes demesure, de lecture, de report, …on aura plutôt un nuage de points +/- alignés. La droite devra êtrele mieux possible au milieu de ce nuage. S’il y a quelques points qui se distinguent, ils serontconsidérés comme des points faux.

Droite probable maxDroite probable moyDroite probable min

Le coefficient directeur de la droite y = ax sera le paramètre ‘Q’ cherché.

Lorsqu’on voudra une meilleure précision, on élimine les points jugés faux (où l’écart estrelativement grand) et le reste des observations sera traité par la régression linéaire (méthode desmoindres carrés) et le plus simple en EXCEL.

10.2.5 TRAVAIL DEMANDÉ : DÉTERMINATION DU DÉBIT

10.2.6 METHODE GRAPHIQUE

Sur un papier millimétré

1. Tracer le graphe de la droite la plus probable V (L) en fonction du temps t (s)

Le graphe passe par O (0, 0) puisque la fonction est de la forme

V (t) = a * t + b ; Avec b = 0 (pour t = 0 en théorie)

t

V


2. Placer les rectangles des erreurs sur ce graphe.

3. Tracer les droites maximale et minimale encadrant la droite la plus probable sur ce graphe.

4. Calculer le coefficient directeur de la droite.

Le Coefficient directeur de la droite s’obtient en choisissant deux points les plus éloignéspossible sur le graphe pour minimiser les erreurs. Soit ici :

o Le point théorique exact O (0 s, 0 L)o Le point (……..s, …….L).

D’où : le coefficient directeur de la droite sera : a = . . . . L / . . . . S = L/s.

5. En déduire le débit de l’expérience.

Le débit sera en fin de compte la pente de la droite : Q = …….L/s

10.2.7 METHODE STATISTIQUE

CALCUL MANUEL

Refaire ce travail avec la méthode des moindres carrés afin d’augmenter la précision, une foisvous avez éliminé les points jugés faux

Il y a . . . points faux qui sont : (. . . s, . . . L), (. . . s, . . . L), (. . . s, . . . L), …. Ces points seront éliminés du tableau pour l’étude suivante. Étude de la régression linéaire par la méthode des moindres carrés (pour augmenter la

précision) En voici le tableau des couples restants jugés corrects.

Couple X Y X2 X * Y12…N

Σxi = … Σyi = …. Σ (Xi2) = …. Σ (Xi*Yi) =…

o Et par conséquent ; le coefficient directeur de la droite sera a = ….o Et la constante b = …... (et qui devra être très proche de zéro)

CALCUL AUTOMATIQUE

Refaire ce travail avec la méthode des moindres carrés programmée (EXCEL). (Voir sur place)

En voici les résultats : a = … et b = … avec un coefficient R2 = ….

Conclusion : Le débit en question est Q = … L/S


10.3 TP 3 : MATÉRIALISATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI

10.3.1 OBJECTIF

L’objectif de ce TP est de :

o Tracer la ligne de l’énergie totale.o Tracer la ligne piézométrique.

Ce qui matérialise le théorème de Bernoulli en terme de :

Énergie potentielle. Énergie de pression. Énergie cinétique Énergie perdue éventuellement.

10.3.2 THÉORIE

Le théorème de Bernoulli peut être représenté sur la figure suivante par :

Z1 + P1/ρg + U12 /2g = Z2+ P2/ρg + U2

2 /2g = Cste en écoulement Parfait. Z1 + P1/ρg + U1

2 /2g = Z2+ P2/ρg + U22 /2g + PdC1à2 en écoulement réel.

10.3.3 LE MATÉRIEL

Réalisons les expériences demandées sur les écoulements à surface libre dans le canaltransparent pour voir l’emplacement du bout du tube à placer.

Le piézomètre à utiliser est un simple tube en plastique blanc (pour qu’on puisse voir àtravers) muni à une extrémité par un tuyau d’acier très fin (pour ne pas perturber l’écoulement) eten forme de ‘L’, qui sera placé dans le canal à surface libre.

10.3.4 MANIPULATION

Les observations seront faites à travers le canal à surface libre. Donner la pente de 1% au canal. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q = 10 m3/h Placer le tube en L dans l’eau et amorcer-le.

10.3.5 OBSERVATIONS

Mettre le tube en ‘L’ sans que la pointe fait face aux lignes de courant et juste au-dessous de la surface libre de l’eau, Qu’observez-vous ?

C’est ce qui peut se matérialiserd’une façon qualitative pour unécoulement à surface libre à travers uncanal (en coupe longitudinale et encoupe transversale) par :


o Le niveau de l’eau dans le tube, une fois amorcé, vient se stabiliser à la mêmehauteur que le niveau de l’eau dans le canal.

o En faisant tourner le tube autour de lui, dans différente position non parallèle auxlignes de courant, le niveau de l’eau dans le tube ne change pas.

o Le tube jouera le rôle d’un simple indicateur d’énergie de pression qu’il reçoit P / ρg.o C’est un simple piézomètre en quelque sorte si on suppose le fond du canal est

confondu avec un plan de référence.

Mettre le tube en L avec la pointe face aux lignes de courant et juste au-dessous de lasurface libre de l’eau. Qu’observez-vous ?

o Le niveau de l’eau dans le tube, une fois amorcé, vient se stabiliser à une hauteursupérieure que le niveau de l’eau dans le canal.

o Le tube jouera le rôle d’un simple indicateur d’énergie totale qu’il reçoit si on supposeque le fond du canal est confondu avec un plan de référence Wt = P / ρg + U2 / 2g

Remplir le tableau suivant de ces lectures le long du canal.

Point de mesure de l’amontvers l’aval

L=0.0m L=0.5m L=1.0m L=1.5m L=2.0m L=2.5m L=3.0m

Énergie de pression lue (1)Énergie totale lue (2)Variation de lecture (2) – (1)

Que représente cette variation de lecture (hauteur) ?

Vu les observations précédentes, cette variation d’énergie représente l’énergiecinétique. Wc = U2 / 2g

Faire la représentation de Bernoulli le long du canal sur le canal en travers sur un papiermillimétré à joindre.

En déduire la vitesse moyenne de l’eau ?

Que conclure ?

Lecturepiézométrique

Lecture del’énergie totale


10.4 TP 4 : VÉRIFICATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI

10.4.1 OBJECTIF

L’objectif de ce TP est la vérification du théorème de Bernoulli :

o En supposant que les pertes de charge sont négligeables.o En supposant que les pertes de charge sont non négligeables.o Et en faisant les différents tracés schématisant :

Énergie potentielle. Énergie de pression. Énergie cinétique Énergie perdue éventuellement.

10.4.2 RÉSUMÉ THÉORIE

Le théorème de Bernoulli peut être représenté sur la figure suivante par :

Z1 + P1/ρg + U12 /2g = Z2 + P2/ρg + U2

2 /2g = Cste en écoulement Parfait.

Z1 + P1/ρg + U12 /2g = Z2 + P2/ρg + U2

2 /2g + PdC1à2 = Cte en écoulement réel.

10.4.3 LE MATÉRIEL

Réalisons les expériences demandées sur les écoulements sous pression à travers uneconduite munie de plusieurs piézomètres …

C’est le montage pilote à décrire sur place.

10.4.4 MANIPULATION

Les observations seront faites à travers : Les différents piézomètres du Venturi pour l’énergie de pression hydrostatique Hs. Le tube Pitot (mobile) pour l’énergie totale Ht.

Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q qui fait une nettedifférence de lecture dans les différents piézomètres.

Sans oublier de mesurer aussi le débit par la volumétrie. Remplir le tableau suivant avec des observations qui font une nette différence de lecture.

C’est ce qui peut sematérialiser d’une façonqualitative pour un écoulementpermanent et uniforme souspression, à travers uneconduite de diamètre variable(représentant un Venturi encoupe longitudinale) par :


10.4.5 OBSERVATION

Avec un débit, qui fait une nette différence de lectures à travers les divers tubes, remplir letableau suivant avec la moyenne des lectures faites Hs et Ht au niveau des tubes (Voir TP 1).

Et c’est ce qui peut se résumer par :

Piézomètre 1 2 3 4 5 6

Hs mmCE

Ht mmCE

PdC entre tubesmmCE

Entre 1 et 2

Entre 2 et 3

Entre 3 et 4

Entre 4 et 5

Entre 5 et 6

PdC au convergent Entre 1 et 3

PdC au divergent Entre 3 et 6

10.4.6 CAVITATION

Refaire l’expérience avec des débits plus forts pour visualiser la cavitation ….

10.4.7 GRAPHE

Tracer la représentation de Bernoulli sur un papier millimétré selon le modèle suivant :

10.4.8 CONCLUSION

Peut on assimiler l’écoulement à :

Un écoulement parfait ?

Un écoulement réel ? Et si c’est le cas, pouvez vous distinguer :

Les PdC linéaires ?

Les PdC singulières ?

Énergie de pression

Énergie perdue

Énergie cinétique


10.5 TP 5 : VÉRIFICATION DE L’ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ

10.5.1 OBJECTIF

Il s’agit de vérifier l’équation de la continuité à travers une conduite qui converge en forme decône et diverge par la suite.

10.5.2 THÉORIE

En pré requis, le TP2 a fait la vérification du théorème de Bernoulli. En écoulement permanent, l’équation de la continuité s’exprime par :

Le débit est une constante. Le débit est le produit de la vitesse par la section en une coupe de conduite donnée.

C’est ce qui se traduit par : Q = S1 * U1 = S2 * U2 = …. = Sn * Un = Cste

Remarques :

Ne pas oublier que la vitesse n’est pas une constante à une section donnée. (voir TP6) Alors que la vitesse ici n’est autre qu’une vitesse moyenne pour toute la section.

10.5.3 LE MATÉRIEL

La description du matériel (une deuxième fois) sera donnée sur place si nécessaire.

10.5.4 MANIPULATION

Réalisons les expériences demandées à travers une conduite convergente et divergente enforme de cône transparent - qui permet de voir l’emplacement du bout du tube - (permettant lesmesures) à placer

Les lectures seront faites à travers les différents piézomètres du Venturi pour l’énergiehydrostatique Hs et le tube Pitot (mobile) pour l’énergie totale Ht.

Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q voulu. Mesurer le débit aussi par la volumétrie. Remplir le tableau des observations. Numéroter les piézomètres de l’amont vers l’aval.

10.5.5 OBSERVATION

Qu’observez-vous pour un faible débit ?

o Les niveaux de l’eau dans les différents piézomètres sont plus ou moins identiques.o Le niveau de l’eau dans le tube Pitot est aussi plus ou moins au même niveau.

Que se passe t il pour un grand débit ?

o Les niveaux de l’eau dans les différents piézomètres se distinguent : Au niveau de la section ayant un grand diamètre, le niveau de l’eau dans le tube

piézométrique est très haut. Au niveau de la section ayant un petit diamètre, le niveau de l’eau dans le tube

piézomètrique est très bas.


o Et réciproquement, Le niveau de l’eau dans le tube Pitot est :

Très haut au niveau de la section ayant un petit diamètre. Très bas au niveau de la section ayant un grand diamètre.

Qu’observez-vous en particulier pour un grand débit, au niveau du piézomètre 3 ?

o Le niveau de l’eau dans le piézomètre 3 est le plus bas de tous les piézomètres.o Voir même, il se peut qu’il n’apparaisse. Et c’est l’air qui entre dans la conduite.

C’est la cavitation (dépression) qui aspire le l’air

o Le niveau de l’eau dans le tube Pitot est au plus grand niveau.

Expliquer ?

Prenant deux points particuliers : Le premier au niveau de la grande section Le second au niveau de la petite section

Et faisant la représentation de Bernoulli…..

Au premier point, on a :o Une faible vitesse qui donne une très faible énergie cinétique.o Et par conséquent, une grande pression.

Au second point, on a :o Une grande vitesse qui donne une très grande énergie cinétique.o Et par conséquent, une faible pression.o Voir même une dépression (cavitation) si la section est trop petite.

Reprendre les données du TP1

1 2 3 4 5 6Ht (mm)Hs (mm)

10.5.6 CALCUL

Calculer l’énergie cinétique, la vitesse et le débit au niveau des différents tubes. Selon la graduation des tubes marquée sur le pilote, il faudra prendre

Ht = Hs + 80 (mm) + U2 / 2g

Tubes 1 2 3 4 5 6Diamètre mm 28.4 22.5 14.0 17.2 24.2 28.4Section m2

Hs mmCEHt mmCEU2/2g mmCEU (m/s)Q (L/s)


Ce débit est-il constant ? Si non ; Donner son erreur.

Expliquer...

Reprendre les données du TP1

Que conclure ?

Avec quelle erreur peut-on appliquer le théorème de la continuité ?

Quelles sont les sources de cette erreur ?


10.6 TP 6 : MESURE DES DEBITS PAR PITOT

10.6.1 OBJECTIF

L’énergie cinétique peut être utilisé comme un moyen de mesure de débit d’une canalisationdonné. Si on arrive à faire la lecture de l’énergie de pression étoilée et de l’énergie totale en unesection donnée.

C’est la détermination du débit d’une façon indirecte, dite méthode de Pitot.

L’objectif de ce TP est de comparer le débit donné par Pitot avec le débit trouvé par mesurevolumétrique; et ceci par :

o Le calcul de la vitesse de l’écoulement à travers un cône convergent et divergent.o La déduction du débit de l’écoulement.

10.6.2 THÉORIE

Le théorème de Bernoulli peut être représenté en une conduite convergente et divergente par (siles PdC sont supposées négligeables) :

10.6.3 CALCUL THÉORIQUE

Si on utilise Pitot à différente section du Venturi, on aura deux lectures.

La lecture de la Hauteur statique donnée par le piézomètre Hs. La lecture de la Hauteur totale donnée par le Pitot Ht.

Donner l’expression de l’énergie cinétique à une section quelconque:

Ec = U2 / 2g = Ht – Hs = Δ H (1) Et ceci abstraction faite des PdC

En déduire l’expression du débit

Q = S * U = S * (2g * Δ H)1/2

Soit : Q = S * (2g * Δ H)1/2


Rappel : Ne pas oublier que la vitesse n’est pas une constante au niveau d »une sectiondonnée (voir cours et TP)

10.6.4 MANIPULATION

Les observations seront faites à travers les différents piézomètres du Venturi pour l’énergiehydrostatique Hs et le tube Pitot (mobile) pour l’énergie totale Ht.

Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q qui fait une nettedifférence de lecture dans les différents piézomètres.

Mesurer le débit aussi par la volumétrie. Numéroter les piézomètres Reprendre les données du TP1


C’est ce qui se résume-en :


Diamètre mm 28.4 22.5 14.0 17.2 24.2 28.4

Ht mmCE

Hs mmCE

Section m2

Δ H mmCE

Débit l/s

Moyenne

Erreur

Les débits trouvés sont-ils semblables ? Si non ; Donner l’erreur commise.

Retrouver ce débit par la volumétrie (Voir TP 1).

Que conclure ?

Avec quelle erreur peut-on appliquer ce principe ?

Quelles sont les sources d’erreur ?


Est ce que cette méthode de Pitot peut être utilisée ? Justifier ! Quelles sont lessources d’erreur ?

Remarque :

Ne pas oublier que la vitesse est une variable au niveau d’une section donnée.

SUdSUQ moy ** Par suite :

dS

dSuUmoy

*

Mais, Est-ce que Pitot donne la vitesse moyenne ou locale


10.7 TP 7 : MESURE DES DÉBITS PAR VENTURI

10.7.1 OBJECTIF

Le phénomène de la variation de la pression dans un dispositif convergent divergent est utilisépour mesurer le débit d’une canalisation en charge

C’est la détermination du débit d’une façon indirecte par la méthode de Venturi.

L’objectif de ce TP est de comparer le débit donné par l’équation de Venturi avec le débittrouvé par mesure volumétrique ; et ceci par :

o Le calcul de la vitesse de l’écoulement à travers un cône convergent et divergent.o La déduction du débit de l’écoulement.

10.7.2 THÉORIE

10.7.3 CALCUL THÉORIQUE

Appliquer Bernoulli entre les points 1 et 2 et simplifier (Z1 = Z2).

Z1 + P1 / ρg + U12 / 2g = Z2 + P2 / ρg + U2

2 / 2gP1 / ρg + U1

2 / 2g = P2 / ρg + U22 / 2g pour une conduite supposée horizontale

Donner l’expression de la variation de la vitesse en fonction de la variation de lapression

P1 / ρg - P2 / ρg = U22 / 2g - U1

2 / 2g = (U22 - U1

2) / 2g (1)

Donner l’expression des vitesses en fonction du débit

U1 = Q / S1 et U2 = Q / S2

Remplacer ceci dans l’expression (1) et regrouper les termes.

U22 - U1

2 = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g

(Q / S2)2 – (Q / S1)

2 = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g

Q2 * (1 / S22 – 1 / S1

2) = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g

En déduire l’expression du débit.

Q2 = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g / (1 / S22 – 1 / S1

2)

Avec A = 2g / (1 / S22 – 1 / S1

2); on a:

Le théorème de Bernoulli peutêtre représenté en uneconduite convergente etdivergente par :


Q2 = A * (P1 / ρg - P2 / ρg)

Soit : en fin de compte Q = (A * Δ H) 1/2

Remarque : La vitesse au niveau d’une section donnée n’est pas uneconstante

10.7.4 LE MATÉRIEL

C’est le montage pilote déjà vu.

10.7.5 MANIPULATION

Les observations seront faites à travers les différents piézomètres du Venturi. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q qui fait une nette

différence de lecture dans les différents piézomètres Mesurer le débit aussi par la volumétrie. Reprendre les données du TP1


La moyenne des hauteurs statiques donnera :

Piézomètres Hs 1 Hs 2 Hs 3 Hs 4 Hs 5 Hs 6

Moyenne

Et c’est ce qui peut de résumer par :


Diamètre mm 28.4 22.5 14.0 17.2 24.2 28.4

Hs mmCE

Section m2

Par suite, le calcul du débit donnera :

ΔHs mmCE A Q (L / S)

Entre 1 et 2

Entre 1 et 3

Entre 3 et 4

Entre 3 et 5

Entre 3 et 6

Entre 1 et 2

Entre 1 et 3

Entre 3 et 4

Les débits trouvés sont-ils semblables ? Si non ; Donner l’erreur commise.


Retrouver ce débit par la volumétrie.

Que conclure ?

Avec quelle erreur peut-on appliquer ce principe ?

Quelles sont les sources d’erreur ?

Complément :

Pouvez-vous réaliser une dépression ?

Qu’observez-vous ?


10.8 TP 8 : ÉTUDE DU PROFIL DE LA VITESSE

10.8.1 OBJECTIF

o Montrer que la vitesse n’est pas constante dans une section donnée.o Tracer les profils de vitesse au niveau d’une section donnée.

10.8.2 RAPPEL

Vu l’existence des frottements contre la paroi, on a :

La vitesse en contact de la paroi est nulle. La vitesse augmente vers le milieu haut du canal. Elle est maximale quelque part dans la section (point à chercher)

10.8.3 LE MATÉRIEL

Réalisons les expériences demandées sur les écoulements à surface libre à travers le canaltransparent pour commander l’emplacement du bout du tube à placer.

Le dit tube est un simple tube en plastique blanc (pour qu’on puisse voir à travers) muni à uneextrémité par un tuyau d’acier très fin (pour ne pas perturber l’écoulement) et en forme de ‘L’ quisera placé dans le canal à surface libre.

10.8.4 MANIPULATION

Les observations seront faites à travers le canal à surface libre. Donner la pente de 2% au canal. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q = 10 m3/h. Placer le tube en L dans l’eau et amorcer-le.

10.8.5 OBSERVATION

Essai 1 :

Mettre le tube en ‘L’ face aux lignes de courant et au milieu du lit du canal. Commencer parfaire les mesures à différent niveau à partir de la surface libre z = 0.

z cm 0 3 6 9 12 15

Hs mmCE

Ht mmCE

Essai 2 :

Mettre le tube en ‘L’ face aux lignes de courant et au milieu du tirant d’eau. Commencer par faireles mesures à différent point du canal.

L cm 0 1.5 3 4.5 6 7.5

Δh mmCE

Ht mmCE


10.8.6 CALCUL ET GRAPHE

Pour l’essai 1, le calcul donne :

Z cm 0 3 6 9 12 15

Hs mmCE

Ht mmCE

U2/2g mmCE

U m/s

Pour l’essai 2, le calcul donne.

L cm 0 1.5 3 4.5 6 7.5

Hs mmCE

Ht mmCE

U2/2g mmCE

U m/s

Faire les graphes V = f(L) et V = f(h) sur papier millimétré à joindre au document.

Que conclure ?

A comparer avec la vitesse moyenne ?

Le débit Q = 10 m3/h = 0.002 8 m3/sLa section S = L * H = 0.077 * ……. = ……….m2

D’où, la vitesse moyenne est U = Q / S = 0.0028 /…………..=…………m/s


10.9 TP 9 : ÉCOULEMENT LAMINAIRE

10.9.1 OBJECTIF :

Mise en évidence des écoulements laminaires. Calcul du nombre de Reynolds Calcul des pertes de charge en écoulement laminaire.

10.9.2 RAPPEL :

L’écoulement est dit laminaire quand il se matérialise par une ligne droite, sansperturbation. Il se caractérise par si un nombre de REYNOLDS inférieur à 2000

Le nombre de REYNOLDS est donné par la formule :

DU *Re

Les pertes de charge en écoulement laminaire sont (voir cours)

g

U

D

L

RPdC

e 2**

64 2

10.9.3 LE MATÉRIEL

C’est le montage pilote à décrire sur place. Faire un schéma ci nécessaire.

10.9.4 OBSERVATION A FAIBLE VITESSE

Démarrer la pompe et régler la vanne de contrôle pour avoir un débit le plus faiblepossible.

Trouver la valeur de ce débit par la méthode de la volumétrie. Ouvrer la vanne du réservoir du colorant et dessiner la forme que prend l’injection de la

fluorescéine dans la conduite transparente Arrêter les mesures quand la forme que prend l’injection de fluorescéine dans la conduite

transparente n’est plus linéaire, mais se disperse. Remplir Le tableau par vos relevés de l’expérience pour différents débits allant du plus

petit au plus grand si on vous donne :

Le diamètre de la conduite transparente D = mm. Le diamètre de la conduite où les PdC se mesurent d = mm.

VolumeL

TempsS

DébitL/S

Diamètre D Petit diamètre dU m/s Nb Re H am H av Hm-Hv PdC

Ob 1Ob 2…..


10.9.5 GRAPHE

Tracer le graphe en fonction de la vitesse sur un papier millimétré.

o Du nombre de Reynoldso Des pertes de charge

Conclusion : Commenter les graphes ?


10.10 TP 10 : ÉCOULEMENT TURBULENT

10.10.1 OBJECTIF :

Mise en évidence des écoulements turbulents. Calcul du nombre de Reynolds Calcul des pertes de charge en écoulement turbulent.

10.10.2 RAPPEL :

L’écoulement est dit turbulent quand il se matérialise par une ligne non droite, vu lesperturbations apparentes. Il se caractérise par si le nombre de REYNOLDS supérieure à4000

Le nombre de REYNOLDS est donné par la formule

DU *Re

Les pertes de charge en écoulement turbulent sontg

U

D

LfPdC

2**

2

Où le coefficient f est donné par la formule de col brook (voir cours)

)*

51.2

*7.3lg(*2

1

fRDf e

≈D*7.3

lg*2 Pour Re très grand

10.10.3 LE MATÉRIEL

C’est le montage pilote à décrire sur place. Faire un schéma ci nécessaire. La description serafaite sur place si nécessaire.

10.10.4 OBSERVATION A GRANDE VITESSE

Démarrer la pompe et régler la vanne de contrôle pour avoir le débit le plus grand possible. Trouver la valeur de ce débit par la méthode de la volumétrie. Ouvrer la vanne du réservoir du colorant et dessiner la forme que prend l’injection de

fluorescéine dans la conduite transparente Arrêter les mesures quand la forme que prend l’injection de fluorescéine dans la conduite

transparente devient linéaire Remplir Le tableau par vos relevés de l’expérience pour différents débits allant du plus petit au

plus grand si on vous donne :

Le diamètre de la conduite transparente d = mm. Le diamètre de la conduite où se les PdC mesurent d = mm.

VolumeL

Temp S DébitL/S

Grand diamètre D Petit diamètre dU m/s Nb Re H am H av Hm-Hv PdC

Ob 1Ob 2…..


10.10.5 GRAPHE

Tracer le graphe en fonction de la vitesse.

o Du nombre de Reynolds sur un papier millimétréo Des pertes de charge sur un papier log log

Conclusion : Commenter les graphes ?


10.11 TP 11 : CALCUL DU COEFFICIENT DE STRICKLER

10.11.1 RAPPEL DU COURS

Rappelons qu’un écoulement à surface libre, est défini par l’équation

U = C * Rh1/2 * I1/2

Le coefficient « C » est défini, comme l’a été le coefficient ‘f’ pour un écoulement en charge(hydrodynamique des liquides réels), par l’équation

C = -23.2 * lg ((1.811 * C / Re) + (ε / Rh))

Et, pour un écoulement turbulent, le nombre de Reynolds est trop grand ; par suite, laformule pourra être approchée par :

C = - 23.2 * lg (ε / Rh)

Mais, vu la complexité de calcul, cette formule a été simplifiée par des formules empiriquestelles que :

La formule de Bazin La formule de Manning

10.11.2 OBJECTIF

Les objectifs de ce TP sont :

Le calcul du coefficient K selon la loi de Manning Strickler (voir cours) La vérification de la loi de Manning Strickler.

V = K * Rh2/3 * I1/2

10.11.3 DESCRIPTION

Le canal rectangulaire, en PVC transparent, a les dimensions suivantes :

Largeur : 77 mm Longueur utile : 3000 mm Profondeur utile : 160 mm

Il est alimenté en eau par une tuyauterie munie d’une vanne de réglage de débit et d’undispositif de tranquillisation avec un débit compris entre 1.6 et 16 m3/h

Le canal est autonome en eau, il est alimenté en circuit fermé par une pompe avec mesurede débit et retour de l’eau dans la cuve d’alimentation d’une capacité de 250 l.

L’inclinaison du canal (de – 2 % à + 4 %) est obtenue à l’aide des vis calant fixé sous lecanal.

Les niveaux d’eau dans le canal sont mesurés à l’aide de limnimétrie à pointe.


10.11.4 MANUPILATION

Le TP consiste à mesurer la lame d’eau (tirant d’eau) dans deux situations :

La première situation se fait à pente fixe et débit variable. La seconde situation se fait à pente variable et débit fixe.

10.11.5 TP A PENTE FIXE ET DÉBIT VARIABLE

10.11.6 OBSERVATION

Dans une première série de mesure, le canal sera incliné avec une pente de 0.2 %. Le tirant d’eausera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu présstables. Le débit sera variable de 2 à 12.5 m3/h

Tableau des observations

Q (m3/h) H1 (mm) H2 (mm( Moy (mm) Y=160 –moy (mm) Erreur = (H1-H2) / Moy22.533.544.555.566.577.588.599.51010.51111.51212.5

10.11.7

10.11.8 CALCUL

Selon Manning Strickler, la vitesse de l’écoulement d’un liquide à surface libre est de la

forme :2/13/2

** IRKU h dont il est question de déterminer ce coefficient K


Tableau des Calculs

Q (m3/s) Y (m) Sm (m2) Pm (m) Rh (m) U (m/s) Rh2/3*I1/2 K22.533.5.44.555.566.577.588.599.51010.51111.51212.5Moyenne Écart Type

Peut-on admettre que le coefficient de Strickler est une constante en première approximation?

Tracer le graphe de K = f (Log (Rh))

10.11.9 INTERPRÉTATION


10.11.10 TP A PENTE VARIABLE ET DÉBIT FIXE

10.11.11 OBSERVATIONS

Dans une seconde série de mesure, Le débit aura la valeur constante de Q = 3 m3/h. Le canal seraincliné avec des pentes croissantes de 0.1 à 4 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont eten aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables.


I % H1 (mm) H2 (mm) Moy (mm) Y=160-moy (mm) (H1-H2)/Moy0.010.050.10.250.50.7511.251.51.7522.252.52.7533.253.53.754

10.11.12 CALCUL


forme :2/13/2

** IRKU h dont on veut déterminer le coefficient K

Tableau des calculs

I %) Y (m) Sm (m2) Pm (m) Rh (m) U (m/s) Rh2/3*I1/2 K0.010.050.100.250.50.7511.251.51.75


22.252.53.7533.253.53.754Moyenne Ecart type

Peut-on admettre que le coefficient de Strickler est une constante en premièreapproximation ?

Tracer le graphe de K = f (Log (Rh))


10.11.14 RÉSUMÉ

A débit fixe et pente variable, on a : Kmoy = avec un écart type =

A pente fixe et débit variable, on a : Kmoy = avec un écart type =

En résumé, on admet que K = abstraction faite sur ces erreurs pour le reste des TP

Remarques :

Vos valeurs expérimentales doivent être les plus précis possibles ; Car; elles vont vous servirpour le calcul d’autres TP


10.12 TP 12 : CALCUL DES COEFFICIENTS DE LA LOI DE M.S

10.12.1 OBJECTIFL’objectif de ce TP est le calcul des coefficients ‘’a’’, ‘’b’’ et ’’K’’ de la loi de Manning Strickler :

V = K * Rha * I b

Où :V : Vitesse moyenne de l’écoulement selon la loi de Manning StricklerK : Coefficient déjà déterminé en première approximation (§ TP précédent)Rh : Rayon hydrauliqueI : pente du canal

10.12.2 DESCRIPTIONVoir TP précédent.

10.12.3 MANUPILATIONSLe TP consiste à mesurer la lame d’eau (tirant d’eau) dans deux situations :

La première situation se fait à pente fixe et débit variable. La seconde situation se fait à pente variable et débit fixe.

10.12.4 TP A PENTE FIXE ET DÉBIT VARIABLE

10.12.5 OBSERVATIONDans une première série de mesure, le canal sera incliné avec une pente de 0.1 %. Le tirant d’eausera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu présstables. Le débit sera variable de 2 à 16 m3/h


Q (m3/h) Q (m3/s) H1 (mm) H2 (mm) Moy (mm) Y=160 –moy (mm) ΔH/Moy22.533.544.555.566.577.588.599.51010.51111.512


10.12.6 CALCUL


forme :ba

h IRKU ** dont on veut déterminer le coefficient a supposé constant.

On admet aussi que le coefficient de Manning Strickler est aussi une constante, déjàdéterminé (voir TP précédent).

Par suite, si on introduit le logarithme sur la formule, on aura :

Log U = log (K * I b) + a * Log Rh

Tableau des calculs

Q (m3/s) Y (m) Sm (m2) Pm (m) Rh (m) U (m/s) Log U Log Rh

22.533.544.555.566.577.588.599.51010.51111.51212.5

10.12.7 GRAPHE

Sur un papier millimétré, faire le graphe de Log U en fonction Log Rh

Calculer le coefficient directeur ‘a’ de la droite. En déduire la puissance de Rh et K (§ suivant)



10.12.9 TP A PENTE VARIABLE ET DÉBIT FIXE

10.12.10 OBSERVATION

Dans une seconde série de mesure, Le débit aura la valeur constante de Q = 2 m3/h. Le canal seraincliné avec des pentes croissantes de 0.1 à 4 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont eten aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables.


I % H1 (mm) H2 (mm) Moy (mm) Y=160-moy (mm) ΔH/Moy0.10.250.50.7511.251.51.7522.252.52.7533.253.53.754

10.12.11 CALCUL


forme :ba

h IRKU ** dont on veut déterminer le coefficient b supposé constant.

On admet aussi que le coefficient ‘’K’’ de Manning Strickler est aussi une constante.

Par suite, si on introduit le logarithme sur la formule, on aura :

Log U = log (K * Rha) + b * Log I

Tableau des calculs

I %) Y (m) Sm (m2) Pm (m) Rh (m) U (m/s) Log U Log I0.10.250.50.7511.251.5


1.7522.252.52.7533.253.53.754

10.12.12 GRAPHE

Sur un papier millimétré, faire le graphe de Log U en fonction de Log I Calculer le coefficient directeur ‘b’ de la droite. En déduire la puissance de I et K (§ suivant).


10.12.14 DÉTERMINATION DE K

A partir des résultats des expériences précédentes, déterminer le coefficient K.


10.13 TP 13 : ÉTUDE DES ÉCOULEMENTS A SURFACE LIBRE

10.13.1 OBJECTIF

L’objectif de ce TP est de :

Matérialiser l’énergie spécifique. Calculer le nombre de Froude. Mettre en évidence les types d’écoulements (Fluvial, Torrentiel et Critique)

10.13.2 DESCRIPTION

Le matériel est le canal vitré déjà vu.

10.13.3 MANIPULATIONS

Le TP consiste à mesurer la lame d’eau (tirant d’eau) en optant pour un débit constant et despentes variables.

10.13.4 THÉORIE

La notion d’énergie spécifique s’introduit par la relation suivante

Es = Pr /ρg + U2 / 2g

Le fond du canal est pris comme plan de référence.

Et vu que dans les écoulements à surface libre, la pression est représentée par la cote en eau

dans le canal ‘h’, l’énergie spécifique sera : Es = H + U2 / 2g

Et le nombre de Froude sera F = V / ( gH ) 1/2

10.13.5 OBSERVATION

Les observations seront faites avec un débit constant de Q = 2 m3/h. Le canal sera inclinéavec des pentes croissantes de 0.1 à 4 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont et enaval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables.


Pente en % H1 (mm) H2 (mm) Moy (mm) Y = 160 - moy0.10.250.50.7511.251.51.7522.25


2.52.7533.253.53.754

10.13.6 CALCUL

Pente en % y (mm) Sm (m2) U (m/s) U2 / 2g Es Nbre Froude0.10.2511.251.51.7522.252.52.7533.253.53.754

10.13.7 GRAPHE ET INTERPRÉTATION

Sur un papier millimétré, faire les graphes de Es en fonction du tirant d’eau y (théorique etpratique).

En déduire approximativement la profondeur critique.

Calculer pour cette profondeur critique :

o Le nombre de Froudeo La vitesse critiqueo La pente critique

Spécifier sur le graphe là où il y a :

o L’écoulement fluvialo L’écoulement torrentiel

Le nombre de Froude est :

o Pour les écoulements fluviaux. . . . . . . . .o Pour les écoulements torrentiels. . . . . . . . .


TABLE DE MATIÈRES

1 INTRODUCTION…………….. .................................................................................................2

1.1 ÉTUDE MATHÉMATIQUE............................................................................................................................. 21.2 ÉTUDE EXPÉRIMENTALE............................................................................................................................ 3

2 GÉNÉRALITÉS………………. .................................................................................................5

2.1 DÉFINITION................................................................................................................................................... 52.2 EN HYDROSTATIQUE .................................................................................................................................. 52.3 EN HYDRODYNAMIQUE .............................................................................................................................. 8

3 HYDROSTATIQUE……………..............................................................................................11

3.1 PRESSION EN POINT ................................................................................................................................ 113.2 PRESSION ATMOSPHÉRIQUE.................................................................................................................. 123.3 PRESSION RELATIVE, ABSOLUE............................................................................................................. 133.4 VASES COMMUNICANTS .................................................................................Erreur ! Signet non défini.3.5 NOTION DE L’ÉQUILIBRE.......................................................................................................................... 143.6 NOTION DU CENTRE DE GRAVITÉ .......................................................................................................... 153.7 CALCUL DE FORCES DE PRESSION ....................................................................................................... 163.8 CENTRE DE POUSSÉE D’ARCHIMÈDE.................................................................................................... 173.9 NOTION D’APPAREIL DE MESURE .......................................................................................................... 19

4 CINÉMATIQUE DES LIQUIDES............................................................................................21

4.1 DÉFINITION................................................................................................................................................. 214.2 TRAJECTOIRE ............................................................................................................................................ 214.3 RÉGIME PERMANENT ............................................................................................................................... 214.4 RÉGIME UNIFORME................................................................................................................................... 214.5 RÉGIME PERMANENT ET UNIFORME ..................................................................................................... 224.6 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ................................................................................................................ 224.7 NOTION DE DÉBIT ..................................................................................................................................... 23

5 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS ...............................................................31

5.1 INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 315.2 ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE DES LIQUIDES..................................................................................... 315.3 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ................................................................................................................ 315.4 ÉQUATION DE LA DYNAMIQUE............................................................................................................... 315.5 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ............................................................................................................. 335.6 NOTION DE MACHINE HYDRAULIQUE .................................................................................................... 375.7 NOTION D’APPAREIL DE MESURE HYDRAULIQUE ............................................................................... 39

6 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES RÉELS .....................................................................48

6.1 INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 486.2 ÉCOULEMENT LAMINAIRE........................................................................................................................ 506.3 ÉCOULEMENT TURBULENT ..................................................................................................................... 606.4 NOTION DE PERTES DE CHARGE UNITAIRES....................................................................................... 666.5 NOTION DE PERTE DE CHARGE SINGULIÈRE....................................................................................... 666.6 APPLICATIONS AUX MACHINES HYDRAULIQUES................................................................................. 676.7 NOTION DE DONNÉES ÉQUIVALENTES ................................................................................................. 70

7 ÉCOULEMENT EN CHARGE ……………………………………………………………………..79

7.1 INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 797.2 DÉTERMINATION DES PDC EN HYDRAULIQUE..................................................................................... 807.3 FORMULE DE HAZEN WILLIAMS.............................................................................................................. 817.4 AUTRES FORMULES ................................................................................................................................. 83


7.5 CALCUL DES CONDUITES ........................................................................................................................ 847.6 DIMENSIONNEMENT DES CONDUITES................................................................................................... 867.7 DIMENSIONNEMENT DES CONDUITES EN PARALLÈLE....................................................................... 937.8 DIMENSIONNEMENT D’UNE CONDUITE DE REFOULEMENT ............................................................... 947.9 NOTION D’ABAQUE.................................................................................................................................... 967.10 NOTION DE TRAITEMENT INFORMATIQUE ............................................................................................ 977.11 CALCUL DES PRESSIONS DANS UN RÉSEAU RAMIFIÉ ....................................................................... 977.12 ÉCOULEMENT PAR DES ORIFICES ......................................................................................................... 99

8 ÉCOULEMENT À SURFACE LIBRE...................................................................................107

8.1 INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 1078.2 APPELLATIONS ........................................................................................................................................ 1078.3 ÉQUATIONS FONDAMENTALES............................................................................................................ 1078.4 DÉTERMINATION DE LA CONSTANTE C.............................................................................................. 1108.5 FORMULES EMPIRIQUES ....................................................................................................................... 1118.6 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES PDC .......................................................................................... 1148.7 LIMITES DES PENTES ET / OU VITESSES ............................................................................................ 1148.8 CALCUL DES CANAUX ............................................................................................................................ 1158.9 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX....................................................................................................... 1198.10 ÉCOULEMENT FLUVIAL ET TORRENTIEL............................................................................................. 1228.11 NOTION DE TYPE D’ÉCOULEMENT ....................................................................................................... 1248.12 ÉCOULEMENTS EN CANAUX CIRCULAIRES ........................................................................................ 1268.13 ÉCOULEMENTS EN DÉVERSOIR ........................................................................................................... 128

9 LES TRAVAUX PRATIQUES D’HYDRAULIQUE ................................................................138

9.1 TP 1 : APPAREILLAGE ET RELEVÉE DE DONNÉES............................................................................. 1399.2 TP 2 : LA VOLUMÉTRIE............................................................................................................................ 1429.3 TP 3 : MATÉRIALISATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI................................................................. 1459.4 TP 4 : VÉRIFICATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI........................................................................ 1479.5 TP 5 : VÉRIFICATION DE L’ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ................................................................ 1499.6 TP 6 : MESURE DES DÉBITS PAR PITOT .............................................................................................. 1529.7 TP 7 : MESURE DES DÉBITS PAR VENTURI ......................................................................................... 1559.8 TP 8 : ÉTUDE DU PROFIL DE LA VITESSE ............................................................................................ 1589.9 TP 9 : ÉCOULEMENT LAMINAIRE........................................................................................................... 1609.10 TP 10 : ÉCOULEMENT TURBULENT....................................................................................................... 1629.11 TP 11 : CALCUL DU COEFFICIENT DE STRICKLER ............................................................................. 1649.12 TP 12 : CALCUL DES COEFFICIENTS DE LA LOI DE M.S .................................................................... 1699.13 TP 13 : ÉTUDE DES ÉCOULEMENTS A SURFACE LIBRE .................................................................... 173