cours machines

Upload: soufiane-mellahi

Post on 10-Oct-2015

36 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • CoursdeS8

    OlivierPANTALE

    EcoleNationaled'IngnieursdeTarbesAnneuniversitaire2007/2008

    MachinesMcaniquesetTurbomachines

  • 1Table des matires

    1 Gnralits sur les turbomachines 5

    1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2 Prsentation des turbomachines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2.1 Machines motrices et machines gnratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2.2 Machine fluide compressible et incompressible . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2.3 Machines Capsulismes et Turbomachines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2.4 Organes principaux des turbomachines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.3 Thorme de lnergie cintique et premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3.1 Travail des forces intrieures dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3.2 Thorme de lnergie cintique appliqu aux systmes ferms . . . . . . . 12

    1.3.3 Thorme de lnergie cintique appliqu aux systmes ouverts . . . . . . 12

    1.3.4 Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.3.5 Bilans nergtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.4 Thorie dEuler - Action de lorgane mobile sur le fluide . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.4.1 Dfinitions et classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.4.2 Diagramme des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.4.3 Torseur cintique sur un filet lmentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.4.4 Thorie dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.5 Les grilles daubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.5.1 Dfinition gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.5.2 Dfinitions cinmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.5.3 Classification des grilles planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    1.5.4 Effort sur une grille plane : cas dun fluide non visqueux . . . . . . . . . . 32

    1.6 Similitudes dans les turbomachines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.6.1 Conditions gnrales de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.6.2 Invariants de Rateau pour les machines fluide incompressible . . . . . . 36

    1.6.3 Fonctionnements semblables en fluide incompressible . . . . . . . . . . . . 37

    1.6.4 Similitude de fonctionnement en fluide compressible . . . . . . . . . . . . . 39

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 2 TABLE DES MATIRES

    2 Machines gnratrices 41

    2.1 Etude gnrale, compression du fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.1.1 Compression des liquides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.1.2 Compression des gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.2 Pompes et ventilateurs centrifuges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.2.1 Rle du diffuseur sur lcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.2.2 Influence de langle 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.2.3 Caractristiques dEuler, caractristiques thoriques idales . . . . . . . . 54

    2.2.4 Influence du nombre daubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    2.2.5 Pertes dnergie et conditions de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . 56

    2.2.6 Caractristiques relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    2.2.7 Amorage dune pompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    2.2.8 Donnes constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    2.3 Compresseurs centrifuges et axiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    2.3.1 Compresseurs centrifuges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    2.3.2 Compresseurs axiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3 Machines motrices 73

    3.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    3.1.1 Machine fluide incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    3.1.2 Machine fluide compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3.1.3 Machine action/machine raction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3.2 Machine motrice fluide incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3.2.1 Bilans nergtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3.2.2 Qualit de lnergie : degr de raction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.2.3 Pertes diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.2.4 Cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.2.5 Rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    3.3 Machines motrices fluide compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    3.3.1 Bilans nergtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    3.3.2 Degr de raction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    3.3.3 Rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    3.4 Turbines axiales fluide compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    3.4.1 Tuyres et aubes distributrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • TABLE DES MATIRES 3

    4 Turbo-moteurs et Turbo-racteurs 85

    4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.2 Les diffrents systmes propulsifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    4.3 Les propulseurs raction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    4.3.1 Fonctionnement des propulseurs raction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    4.3.2 Le moteur fuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    4.3.3 Le stato-racteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    4.3.4 Le pulso-racteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    4.3.5 Le Turbo-racteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    4.3.6 Le Turbo-racteur double flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    4.3.7 Le Turbo-racteur double corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    4.3.8 Le Turbo-propulseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    4.3.9 Le Turbo-moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    4.3.10Le Turbo-moteur turbine libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    4.4 Les turbines gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    4.4.1 Lentre dair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    4.4.2 Le compresseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    4.4.3 La chambre de combustion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    4.4.4 La turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    4.4.5 La tuyre djection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    4.5 Pousse dun racteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    4.6 Les matriaux utiliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5 Exercices 103

    5.1 Application des bilans nergtiques 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    5.2 Application des bilans nergtiques 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    5.3 Conduite dair calorifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    5.4 Compresseur adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5.5 Turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5.6 Roue de pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5.7 Roue de pompe axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5.8 Variations de pression dans une roue de pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . 105

    5.9 Similitudes sur une roue centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    5.10Similitudes au mme point de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    5.11Pompe gomtriquement semblable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    5.12Rseau de pompage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    5.13Pompe eau centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 4 TABLE DES MATIRES

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 5- Chapitre 1 -

    Gnralits sur les turbomachines

    1.1 Introduction

    Dune manire gnrale, les turbomachines peuvent tre dfinies comme des appareils per-mettant un change dnergie entre un fluide et un dispositif mcanique. Lnergie motricedu systme pouvant tre aussi bien fournie par le fluide que par le dispositif mcanique, lenombre de turbomachines que nous pouvons rencontrer dans notre quotidien sen trouve for-tement accru. Ainsi, la famille des turbomachines est compose par les ventilateurs, turbines,compresseurs, oliennes, pompes...

    En 1948, Paul Bergeron prsentait ldition princeps de larticle intitul Pompes Centrifugesdans les termes suivants : Les pompes sont, aprs les moteurs lectriques, les machines lesplus banalement utilises aussi bien sur le plan industriel que dans le domaine domestique.Dans la plupart des cas, aussi bien sur le plan industriel que dans le domaine domestique,il sagit de pompes de construction courante pour lesquelles lutilisateur peut trouver lesrenseignements et les indications concernant ce matriel dans les catalogues constructeurs(Techniques de lingnieur, trait de Mcanique et Chaleur).

    Cette constatation apparaissant dactualit pour lensemble des Turbomachines, le prsentcours doit permettre llve ingnieur dacqurir une connaissance gnrale du fonctionne-ment des machines mcaniques et des turbomachines pour le guider dans ses choix futurslis son activit professionnelle.

    1.2 Prsentation des turbomachines

    1.2.1 Machines motrices et machines gnratrices

    La diffrentiation entre ces deux types de machines est simplement lie au sens du transfertdnergie entre le fluide et le dispositif mcanique comme indiqu sur la figure 1.1.

    Machine motrice : Le fluide transmet de lnergie sur larbre de transmission du dispositifmcanique. Cest le cas courant des moteurs hydrauliques, turbines, oliennes...

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 6 Gnralits sur les turbomachines

    machine gnratrice

    machine motrice

    arbre de transmissionfluide

    Photo 1.1 Dfinition du transfert dnergie

    Machine gnratrice : Larbre de transmission fournit de lnergie au fluide et permet soncoulement travers la machine. Cest le cas des ventilateurs, compresseurs, et pompes.

    1.2.2 Machine fluide compressible et incompressible

    Suivant la modlisation adopte pour le fluide mis en jeu dans la transformation, on distin-guera 2 nouvelles classes de machines :

    Machine fluide incompressible : Le fluide utilis sera un liquide (muni de lhypothse din-compressibilit) ou bien un gaz se dplaant trs faible vitesse.

    Machine fluide compressible : Le fluide utilis dans la transformation est un gaz.

    On obtient ainsi 4 types de machines, donc 4 familles de Turbomachines :

    Turbomachine Motrice Fluide Incompressible (TMFI) Turbomachine Motrice Fluide Compressible (TMFC) Turbomachine Gnratrice Fluide Incompressible (TGFI) Turbomachine Gnratrice Fluide Compressible (TGFC)

    Ces 4 familles de Turbomachines feront lobjet des prochains chapitres.

    1.2.3 Machines Capsulismes et Turbomachines

    1.2.3.1 Systme ferms/systmes ouverts

    En fonctionnement, le transfert dnergie entre le fluide et le dispositif mcanique est traduitpar un change de travail mcanique (We) auquel peut sajouter selon les cas un changede chaleur (Qe ). On isole alors le fluide par une surface (appele couramment surface decontrle en thermodynamique) travers laquelle des changes dnergie et ventuellement dematire peuvent seffectuer.

    Suite cette dfinition, on appellera systme ferm, un systme pour lequel il ny a pasde transfert de matire travers la surface de contrle au cours de la transformationnergtique. Dans le cas contraire, le systme sera qualifi de systme ouvert.

    1.2.3.2 Dfinitions

    Machine capsulismes On appelle machine capsulismes tout systme ferm fonction-nant de manire priodique dans lequel des masses successives de fluide sont introduites,

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.2 Prsentation des turbomachines 7

    contraintes voluer puis refoules. Le capsulisme le plus rpandu actuellement est le mo-teur explosion (voir figures 1.2 et 1.3).

    Photo 1.2 Pompe piston

    Photo 1.3 Moteur explosion (Saab 9-5 BioPower)

    Turbomachines Ce sont des machines tournantes non tanches dans lesquelles la formedes parties fixes et mobiles est conue de manire imposer au fluide qui traverse la machinedes variations de vitesse et des dviations. Ces changements de vitesse et dviations imposentalors des changements de pression et des travaux, essentiellement lis la vitesse de rotationde la machine. Le flux de fluide est permanent au cours de lvolution travers les diffrentsorganes de la turbomachine (voir figure 1.4).

    Remarques :

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 8 Gnralits sur les turbomachines

    Les turbomachines du fait dune tanchit peu complexe et dun quilibrage facile (rouemobile et mouvement continu) peuvent atteindre des vitesses de rotation trs leves.

    Le dbit des turbomachines est plus important que celui des capsulismes ce qui permetdobtenir des machines de trs forte puissance dans un encombrement rduit.

    Par contre, les capsulismes ont un rendement thermodynamique suprieur aux turboma-chines car lvolution est en systme ferm.

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.2 Prsentation des turbomachines 9

    Photo 1.4 Exemple de Turbo-moteur

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 10 Gnralits sur les turbomachines

    1.2.4 Organes principaux des turbomachines

    A titre dexemple de turbomachine, on prsente sur la figure 1.5 une coupe gnrale du moteurdhlicoptre Arriel (fabriqu par Turbomca).

    Photo 1.5 Moteur Arrius (fabriqu par Turbomca)

    repre dsignation rle

    1 entre dair admission dair2 compresseur compression3 organe dadmission canalisation de lair comprim vers la

    chambre de combustion4 chambre de combus-

    tioncombustion du mlange air/carburant

    5 organe dchappe-ment des gaz brls

    canalisation des gaz brls vers la pre-mire turbine

    6 1ere turbine (turbinelie)

    orientation des gaz brls, augmentationde leur vitesse dcoulement et transmis-sion de puissance larbre secondaire (9)

    7 2eme turbine (turbinelibre)

    transmission de puissance vers larbre pri-maire (8) et effet de pousse

    8 arbre de puissanceprimaire

    transmission de puissance vers les acces-soires (40000tr/min)

    9 arbre de puissancesecondaire

    entranement de la turbine et du compres-seur

    10 arbre de puissancetertiaire

    transmission de puissance vers les rotors(6000 tr/min)

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.3 Thorme de lnergie cintique et premier principe 11

    1.3 Thorme de lnergie cintique et premier principe

    1.3.1 Travail des forces intrieures dans un fluide

    1.3.1.1 Cas dun fluide non visqueux

    Soit un fluide non visqueux soumis une pression constante et passant de la date t la datet+dt dun volume V vers un volume V +dV . Llment de paroi AB venant en CD, le travail de

    r

    BA

    C D

    OV,

    R

    Photo 1.6 Evolution dun lment de volume

    la force p.dS sexerant sur AB est donn par p.dS(R r) avec dV = dS(R r) reprsentantle volume de ABCD. On crit alors le travail lmentaire des forces intrieures sous la forme :

    dWint = p.dV

    Pour un lment de fluide de masse unitaire, on peut alors crire la relation suivante :

    dWint = p.dv (J/kg) (1.1)

    ou

    Wint = 2

    1p.dv (1.2)

    1.3.1.2 Cas dun fluide visqueux

    Dans le cas dun fluide visqueux, on doit ajouter au travail des forces de pression, le tra-vail dissip par la viscosit du fluide. On crit alors la relation suivante dans laquelle dWfreprsente le travail lmentaire d la viscosit du fluide :

    dWint = p.dv + dWf (1.3)

    ou

    Wint = 2

    1p.dv +Wf12 (1.4)

    Remarque : Wf12 est une quantit toujours ngative.

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 12 Gnralits sur les turbomachines

    1.3.2 Thorme de lnergie cintique appliqu aux systmes ferms

    Soit un systme ferm (un capsulisme) passant de ltat 1 ltat 2. Le thorme de lnergiecintique appliqu ce systme prend alors la forme suivante pour une quantit unitaire defluide :

    We12 +Wint12 =12

    (C22 C21 )relation dans laquelle We12 reprsente le travail des forces extrieures sur le systme aucours de lvolution. Si les tats 1 et 2 sont des tats dquilibre, alors les vitesses en 1 et 2sont telles que

    C1 =

    C2 = Cte, et on crit alors :

    We12 +Wint12 = 0

    et

    We12 = 2

    1p.dv (1.5)

    1.3.3 Thorme de lnergie cintique appliqu aux systmes ouverts

    Considrons maintenant une machine mcanique M traverse par un fluide allant du point 1vers le point 2. La masse de fluide comprise entre les points A et B linstant t est compriseentre les points A

    et B

    linstant t+ dt. La masse de fluide comprise entre les points A

    et B

    V1

    V 2mm

    A A' B B'

    M

    21

    Photo 1.7 Machine traverse par un fluide

    est dans un mme tat thermodynamique aux dates t et t+dt, donc tout se passe comme si lamasse m de fluide entre A et A

    tait venue se placer entre B et B

    . Pour une masse unitaire,

    on crit alors la relation suivante :

    We12 +Wint12 =12

    (C22 C21 ) (1.6)

    Les 2 tats thermodynamiques 1 et 2 sont caractriss par les variables p1, v1 et p2, v2.

    1.3.3.1 Fluide non visqueux, travail net

    Sous les conditions de fluide non visqueux (1.2), on peut alors tablir lcriture permettantdvaluer le travail des forces extrieures au systme We12 en considrant que ce travailrsulte des forces mises en jeu par :

    la diffrence de pression entre les points 1 et 2 le travail des forces de pesanteur le travail dvelopp par la machine

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.3 Thorme de lnergie cintique et premier principe 13

    Travail des forces de pression : Par unit de masse de fluide, le travail des forces depression conformment la figure 1.8 se met sous la forme :

    Wp12 = p1v1 p2v2 (1.7)

    Photo 1.8 Action des forces de pression

    Travail des forces de pesanteur : Pour une unit de masse, on a :

    Wg12 = g(z2 z1) (1.8)

    Travail des forces gnres par la machine : On appellera Wn12 le travail net, cest direle travail fourni par la machine lunit de masse de fluide lors de son passage du point 1 aupoint 2. Les conventions de thermodynamique sont applicables pour le signe de ce travail, etfournissent la classification suivante :

    Wn12 > 0 pour une machine gnratrice Wn12 < 0 pour une machine motrice

    Ainsi, le thorme de lnergie cintique se met sous la forme suivante :

    Wn12 g(z2 z1) + p1v1 p2v2 + 2

    1p.dv =

    12

    (C22 C21 ) (1.9)

    soit donc aprs application dune intgration par parties :

    Wn12 = g(z2 z1) + 2

    1v.dp+

    12

    (C22 C21 ) (1.10)

    Cette relation est une gnralisation du thorme de Bernoulli dans le cas o une machineintervient dans lcoulement du fluide.

    1.3.3.2 Notion de transvasement

    Lexpression 2

    1 v.dp reprsente le travail fournir par la machine contre les forces de pressionintrieures et extrieures. Ce travail, appel travail de transvasement est le seul fourni parla machine lorsque les variations dnergie potentielle et cintique sont ngligeables. On critalors :

    WT12 = 2

    1v.dp (1.11)

    Ce travail est positif pour une machine gnratrice et ngatif pour une machine motrice.

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 14 Gnralits sur les turbomachines

    1.3.3.3 Fluide visqueux, travail indiqu

    En introduisant lhypothse de fluide visqueux, on fait apparatre le travail dissip par laviscosit du fluide Wf . Le travail fourni par la machine devient alors le travail indiqu, soit :

    Wi12 = Wn12 Wf12 (1.12)do on crit :

    Wi12 = g(z2 z1) + 2

    1v.dp+

    12

    (C22 C21 )Wf12 (1.13)

    1.3.3.4 Pertes mcaniques : travail sur larbre

    Le travail indiqu Wi prsent au paragraphe prcdent est la somme du travail sur larbrede la machine (Wa) et des pertes mcaniques (Wm) principalement dues aux frottements. Ona alors :

    Wi12 = Wa12 +Wm12 (J/kg)

    avec Wm < 0, de mme, on crit alors :

    Wn12 = Wa12 +Wm12 +Wf12 (J/kg)

    1.3.4 Premier principe de la thermodynamique

    1.3.4.1 Rappels

    Le PPT tablit que la somme du travail mcanique et de la quantit de chaleur dissipe, lorsdu passage dun tat (1) (2) est gale la somme des variations dnergie interne (U) etcintique (Ec). Soit :

    We12 +Qe12 = U + Ec

    We12 +Qe12 = U2 U1 +12

    (C22 C21 ) (1.14)

    1.3.4.2 Application aux machines thermiques

    En appliquant le Premier Principe de la Thermodynamique lcoulement travers la machineM tel quil a t dfini au paragraphe 1.3.3, pour un fluide visqueux on obtient lcrituresuivante :

    We12 = p1v1 p2v2 g(z2 z1) +Wi12soit compte tenu de (1.14) et en introduisant la notion denthalpie du fluide :

    H2 H1 + 12(C22 C21 ) + g(z2 z1) = Qe12 +Wi12 (1.15)

    Remarques :

    Dans ltude des fluides compressibles, les termes de pesanteur sont le plus souvent ngli-gs.

    A partir des expressions du thorme de lnergie cintique et du Premier Principe de laThermodynamique on aboutit :

    U2 U1 = Qe12 +Qf12 2

    1p.dv (1.16)

    car le travail de viscosit Wf12 est dissip en chaleur (Wf12 = Qf12 )

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.3 Thorme de lnergie cintique et premier principe 15

    On a galement la relation suivante suite la dfinition de lenthalpie :

    H2 H1 = Qe12 +Qf12 2

    1v.dp (1.17)

    En fluide incompressible la variation dnergie mcanique et thermique ne dpend que deltat initial et final.

    1.3.4.3 Premier Principe en mouvement relatif

    Considrons maintenant que notre notre systme mcanique est en mouvement relatif parrapport un repre quelconque.

    Le thorme de lnergie cintique scrit

    W e12 +Wint12 +Wie12 =

    12

    (W 22 W 21 ) (1.18)

    o W ie12 est le travail relatif des forces dinertie dentranement et le signe indique la notion

    de mouvement relatif. W1 et W2 sont les vitesses relatives.

    Le premier principe en mouvement relatif scrit

    W e12 +Qe12 +Wie12 = U2 U1 +

    12

    (W 22 W 21 ) (1.19)

    Remarques :

    Si le mouvement relatif est rapport des axes de direction fixes passant par le centrede gravit, le travail des forces dinertie dentranement W ie12 sera nul. En effet, dans unmouvement autour du centre de gravit, ces forces sont rductibles une force passant parle centre de gravit do un travail nul.

    W e12 +Qe12 = U2 U1 +12

    (W 22 W 21 ) (1.20)

    Si le repre est en mouvement circulaire uniforme autour dun axe fixe, alors, le travailrelatif des forces dinertie dentranement W ie12 se rduit :

    W ie12 =12

    (C2e2 C2e1)

    o Ce2 et Ce1 sont les vitesses dentranement de la masse unitaire de fluide en 2 et 1.

    1.3.5 Bilans nergtiques

    1.3.5.1 Bilan nergtique dans le fluide

    Lnergie change par le fluide entre deux tats 1 et 2 pouvant correspondre lentre 1 et la sortie 2 de la machine a pour expression :

    Wn12 = g(z2 z1) + 2

    1v.dp+

    12

    (C22 C21 ) (1.21)

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 16 Gnralits sur les turbomachines

    1.3.5.2 Bilan nergtique sur larbre

    Le travail chang sur larbre lorsque le fluide passe de lentre la sortie de la machine vaut :

    Wa12 = Wn12 Wm12 Wf12 (1.22)

    avec :

    Wn : travail net Wf : pertes par frottement visqueux 0 et Wa12 > 0. On obtient alors :

    Wa12 > 0

    Wm12 0

    Wf12 < 0

    Wn12 > 0

    Ec = 12(C

    22 C21 )

    Ep = g(z2 z1)WT12 =

    21dp

    avec :Wa12 = Wi12 Wm12 et Wi12 = Wn12 Wf12 (1.27)

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.3 Thorme de lnergie cintique et premier principe 17

    1.3.5.5 Machines motrices

    Elles rcuprent de lnergie du fluide (moteurs, turbines) pour la transmettre sur larbre. Ici,on a les valeurs de travaux Wn12 < 0, Wi12 < 0 et Wa12 < 0. On obtient alors :

    Ec = 12(C22 C21 )

    Ep = g(z2 z1)WT12 =

    21dp

    = Wn12 < 0

    Wf12

  • 18 Gnralits sur les turbomachines

    1.4 Thorie dEuler - Action de lorgane mobile sur le fluide

    1.4.1 Dfinitions et classification

    1) Llment essentiel dans la construction dune turbomachine est la roue qui porte les aubages.

    2) Le trajet du fluide dans la roue par rapport laxe de rotation de la machine permettra de laclasser suivant 3 types :

    Machines radiales, centrifuges ou centriptes

    Les filets fluides sont contenus dans desplans perpendiculaires laxe de rotation(sauf au voisinage immdiat de laxe de ro-tation).

    Machines axiales

    Les filets fluides sont contenus dans descylindres dont laxe est laxe de rotation dela machine.

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.4 Thorie dEuler - Action de lorgane mobile sur le fluide 19

    Machines mixtes, hlicocentrifuges, hlicocentriptes

    Les filets fluides sont situs sur des sur-faces de rvolution dont la gnratrice suitle profil de laube.

    3) La succession des aubes de la roue constitue une grille daube.

    Photo 1.9 Grille daubes dun compresseur centrifuge

    Lorsque lcoulement dans la roue se fait pression constante, on a une turbomachine action (motrice). Les aubes servent modifier la direction de lcoulement.

    Lorsque la pression varie, les aubes modifient la fois lintensit et la direction de la vitessedu fluide. La turbomachine est alors raction (motrice ou gnratrice).

    4) Gnralement, la roue de la machine sera prcde et/ou suivie dune ou plusieurs grilles daubefixes servant orienter convenablement le fluide et ventuellement transformer lnergie ci-ntique en nergie de pression. Lensemble constitu par une grille daube fixe et une mobileconstitue un tage de la turbomachine. La grille daube fixe est en amont de la roue sur lesmachines motrices et en aval de la roue sur les machines gnratrices.

    5) Les tages peuvent tre disposs :

    En srie ce qui contribue un accroissement du transfert dnergie

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 20 Gnralits sur les turbomachines

    En parallle, ce qui contribue un accroissement du dbit

    6) Un tage de turbomachine est dit priodique si le fluide la mme vitesse lentre et la sortie.

    1.4.2 Diagramme des vitesses

    1.4.2.1 Conventions

    Soit une particule M anime dune vitesse absolueC . On a alors la dcomposition du vecteur

    vitesseC suivante :

    C =Cax +

    Crad +

    Cgir (1.29)

    avecCax vitesse axiale,

    Crad vitesse radiale et

    Cgir vitesse giratoire comme indiqu sur le

    schma de la figure 1.10.

    C rad

    C axC gir C m

    C

    r

    Photo 1.10 Dcomposition du vecteur vitesse

    Remarques :

    Machine axiale = Crad = 0 Machine radiale = Cax = 0

    Dans la roue de la turbomachine, on sintresse la vitesse absolue du fluide ainsi qu lavitesse relative par rapport la roue. On dcompose alors le vecteur vitesse

    C comme suit :

    C =

    Ce +

    W (1.30)

    avecCe vitesse dentranement et

    W vitesse relative. Dans le plan contenant les vecteurs

    C et

    Cgir, on fait apparatreCm la vitesse mridienne.

    Cm est telle que

    C =

    Cgir +

    Cm soit :

    Cm =

    Cax +

    Crad (1.31)

    On dfinit alors les angles et tels que :

    = (Ce,C ) et = (

    Ce,W ) (1.32)

    On obtient alors la construction dfinie sur la figure 1.11.

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.4 Thorie dEuler - Action de lorgane mobile sur le fluide 21

    C

    W

    C m

    C girC e

    Photo 1.11 Diagramme des vitesses

    W

    W

    C

    Ce

    Ce

    1

    1

    22

    2 b2

    b1

    1C

    Photo 1.12 Diagramme des vitesses pour une roue radiale

    1.4.2.2 Application aux machines radiales

    Soit la pompe centrifuge reprsente sur la figure 1.12. A lentre, on aC1 =

    Ce1 +

    W1, la

    sortieC2 =

    Ce2 +

    W2.

    Explication du trac

    Le trac du diagramme des vitesses se fait en suivant lordre indiqu ci-dessous :

    1. Machine radiale = Cax = 0 = Cm = Crad2. Les vitesses dentranement sont portes par laxe des vitesses giratoires et sont donc

    tangentes aux diamtres dentre D1 et de sortie D2 de la roue.

    3. A lentre, la vitesse giratoire du fluide est nulle car ladmission se fait suivant laxe

    = Cgir1 = 0, soitC1 =

    Cm1 =

    Crad1 et 1 =

    (Ce1 ,C1) =(

    Cgir1 ,

    Crad1) = 90

    (Dans le cas o ilny a pas de grille daube de distribution).

    4. Les vitesses relativesWi sont les vitesses du point concidant entre le profil et le fluide

    (elles sont tangentes au profil).

    Conservation du dbit massique

    De lentre vers la sortie, on a

    qm = 1piD1b1Cm1 = 2piD2b2Cm2 (1.33)

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 22 Gnralits sur les turbomachines

    1.4.2.3 Application aux machines axiales

    On auraCrad = 0 = Cax = Cm

    On pose S1 section de passage du fluide lentre de la machine et S2 la sortie.

    Conservation du dbit massique

    De lentre vers la sortie, on aqm = 1S1Cm1 = 2S2Cm2 (1.34)

    Ce qui permet alors de dfinir le diagramme des vitesses donn sur la figure 1.13.

    Ce1

    C1

    C

    W1

    m1

    C2

    2W

    C m2

    Ce2

    Photo 1.13 Diagramme des vitesses pour une roue axiale

    1.4.3 Torseur cintique sur un filet lmentaire

    On considre un filet lmentaire de fluide de section S1 et vitesseC1 lentre et de section S2

    et vitesseC2 la sortie de la roue. On pose dqm le dbit massique lmentaire du filet fluide.

    Le filet tant soumis aux forces de masse Fv et aux forces de surface Fs le torseur des effortsextrieurs d ces forces se rduit

    {dR,dM

    }au point O. On a alors lcriture suivante au

    point O : { dR = dqm(

    C2 C1)

    dM = dqm(OM2 C2 OM1 C1)

    (1.35)

    A partir de lcriture de la quantit de mouvement :S{C ]CdS = {Fs}+ {Fv} (1.36)

    1.4.4 Thorie dEuler

    Dans une thorie simplifie due Euler, on suppose que la roue possde un nombre daubesinfini rgulirement espaces. On admet alors quen chaque point situ sur une circonfrenceayant pour axe, laxe de rotation de la machine, la vitesse dune particule fluide se dduit celle dune autre par une simple rotation. Lcoulement entre lentre et la sortie de la roue estdonc constitu par une ensemble de filets de fluide identiques. A partir des relations tabliesau paragraphe prcdent, on obtient en sommant les dbits massiques lmentaires dqm

    R =

    dqm(

    C2 C1) (1.37)

    rsultante des forces appliques au fluide dans la roue.

    En projection sur laxe de rotation de la roue, (gnralement laxe Oz), on obtient alors

    Rz = qm(C2 C1) (1.38)

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.4 Thorie dEuler - Action de lorgane mobile sur le fluide 23

    pousse axiale de la roue.

    De mme pour le moment, en sommant les dbits massiques lmentaires dqmM =

    dqm(

    OM2 C2 OM1 C1) (1.39)

    moment en O des forces appliques au fluide dans la roue

    En projection sur laxe de rotation de la roue, (gnralement laxe Oz), on obtient alors

    Mz = qm(r2Cgir2 r1Cgir1) (1.40)

    moment par rapport laxe de rotation des efforts appliqus au fluide dans la roue.

    Remarque : Les moments gnrs par les forces de pesanteur (forces de masse) et les forcesde surface (pression en amont et en aval) tant nuls, Mz reprsente le moment par rapport laxe de rotation des actions de contact de la roue sur le fluide.

    1.4.4.1 Puissance et travail indiqu

    On a P = Mz et r = Ce. De ces expressions, on sort lcriture de la puissance changeentre le roue et le fluide sous la forme suivante

    P = qm [Cgir2Ce2 Cgir1Ce1 ] (1.41)

    Ce qui donne pour lunit de masse lexpression du travail indiqu sous la forme

    Wi12 = [Cgir2Ce2 Cgir1Ce1 ] (1.42)

    En appliquant Pythagore au triangle des vitesses, on obtient alors

    Wi12 =12

    (C22 C21 ) +12

    (C2e2 C2e1)12

    (W 22 W 21 ) (1.43)

    On retrouve ainsi lexpression donne au paragraphe 1.3.5.3.

    Remarque : La premire expression de Wi donne ci-dessus montre que lchange dnergiesera dautant plus important dans une machine radiale (on fait varier Cgir et Ce simultan-ment) que dans une machine axiale (seul Cgir peut varier entre lentre et la sortie de la roue).

    Pour une machine axiale, on aCe1 =

    Ce2 =

    Ce do

    Wi12 = CeCgir (1.44)

    avec

    Cgir > 0 pour une machine gnratrice Cgir < 0 pour une machine motrice

    1.4.4.2 Remarques sur les insuffisances de la thorie dEuler

    Nous avons jusque l suppos que les vitesses caractristiques ne dpendent que de la dis-tance du point considr laxe de rotation de la machine. Or dans les cas rels, la vitessepour un rayon donn est rarement constante. Les diffrences de pression et linertie du fluidepeuvent en effet modifier lexpression de la vitesse et par l mme lexpression du transfertdnergie. Ltude dune roue centrifuge va permettre la mise en vidence des effets nfastesde linertie du fluide et de la diffrence de pression.

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 24 Gnralits sur les turbomachines

    ++

    +

    ++

    ---------

    +

    +

    W

    Photo 1.14 Etat des pressions sur les aubes et distribution des vitesses relatives

    Suivant le sens de rotation de la roue, une partie de laube est en surpression et lautre endpression. La grandeur relative

    W varie en sens inverse de la pression. Il rsulte alors une

    diffrence des pressions sur les aubes, un effet surW qui est tangente au profil de laube

    seulement en haute pression. De mme les particules fluides tendent garder la mme orientation durant le mouvement.

    On voit sur la figure suivante que pour diffrentes positions successives (I, II, III et IV) quela particule a gard la mme orientation par rapport au repre fixe et de ce fait a tourn parrapport au repre local des aubes. Ceci provoque par tourbillon relatif une distorsion de ladistribution des vitesses relatives.

    I

    IIIII

    IV

    Photo 1.15 Orientation des particules de fluide gnrant des tourbillons

    La vitesse relative de sortie entre 2 aubes subit une dviation par rapport la directionthorique. Cette dviation est habituellement de 5 10 et dpend du nombre et de la formedes aubes (angle 2). On note alors une diminution de lnergie change par rapport cellecalcule par Euler.

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.4 Thorie dEuler - Action de lorgane mobile sur le fluide 25

    Ce

    C thorique

    WthoriqueC rel

    Wrel

    Photo 1.16 Distribution relle des vitesses dans la roue

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 26 Gnralits sur les turbomachines

    1.5 Les grilles daubes

    La fonction principale de la grille daubes est de modifier lcoulement du fluide en transfor-mant sa vitesse relative dentre W1 en une vitesse relative de sortie W2 de norme et/ou dedirection diffrentes.

    1.5.1 Dfinition gomtrique

    1.5.1.1 Laube ou laubage

    Une aube est une succession de sections droites empiles le long dune gnratrice de sorte gnrer un profil arodynamique. La gnratrice de laube est le lieu des centres de gravit dessections droites. On dsignera par calage lorientation de la section par rapport un reprefixe sur la gnratrice.

    Si le calage est constant, laube est dite cylindrique. Si le calage est volutif, laube est dite conique ou vrille.

    2B

    A

    f

    intrados

    extrados

    corde 1

    ligne moy

    enne

    Photo 1.17 Section droite dune aube

    On a lensemble des dfinitions ci-dessous :

    dsignation dfinition

    A bord dattaqueB bord de fuitef flche maximale = 1 + 2 dviation angulaire

    1.5.1.2 La grille daubes

    Une grille daubes est forme dune succession daubes dduites les unes des autres par uneopration gomtrique donne. On a alors :

    Les grilles planes parallles : translation des aubes de la valeur p (pas) Les grilles cylindriques : rotation des aubes de 2piz (z est le nombre daubes). La gnratrice

    est parallle laxe de la grille Les grilles planes radiantes : rotation de 2piz . Gnratrice perpendiculaire laxe de la grille. Les grilles toriques : les aubes sont imbriques les unes aux autres et ne sont pas iden-

    tiques.

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.5 Les grilles daubes 27

    Photo 1.18 Exemple dune aube vrille

    grille plane parallle grille cylindrique

    grille plane radiante pseudo-grille torique

    Photo 1.19 Reprsentation des grilles

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 28 Gnralits sur les turbomachines

    1.5.2 Dfinitions cinmatiques

    Lcoulement est suppos permanent et uniforme ce qui par la thorie dEuler suppose unnombre infini daubes trs rapproches les unes des autres. La grille pouvant tre fixe oumobile, on sera amen travailler soit en vitesse absolue

    C soit en vitesse relative

    W .

    Grille daubes fixe = vitesse absolue C Grille daubes mobile = vitesse relative WCette partie sera consacre ltude des grilles planes. En effet, les autres grilles daubespourront par approximation se rapporter des grilles planes. On dfinit alors pour les grillesplanes parallles :

    dsignation dfinition

    p pas de la grilleb profondeur de grille ( au front)l corde du profil calage des aubes de la grille

    1.5.2.1 Grille daubes fixe

    On obtient, conformment la figure 1.20 :Cmoy =

    C1+C2

    2

    1

    2 C

    2

    C1

    2

    1

    C1

    C2

    Cmoy

    b

    p

    l

    Photo 1.20 Grille daubes fixe

    1.5.2.2 Grille daubes mobile sur machine gnratrice axiale

    Conformment la figure 1.21 qui prsente une grille daubes mobile de machine gnratriceaxiale, on connat les quantits suivantes :

    1 et 2 orientation du profilCgir = f(r, Rmoyen)

    Cax = cte

    On rsout alors en utilisant :

    1 et 2 = direction de W1 et W2Cgir et

    Cax= norme de W1 et W2

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.5 Les grilles daubes 29

    2

    W2

    W1

    W1

    W2

    b

    p

    1

    r

    Cax

    moyW

    Photo 1.21 Grille daubes mobile de machine gnratrice axiale

    On peut ainsi dterminer :

    Wmoy =

    W1+

    W2

    2 la vitesse relativeWgir1 la vitesse tangentielle dentre

    Wgir2 la vitesse tangentielle de sortie

    Wgir = Wgir2 Wgir1 la dviation tangentielle i =

    (Wmoy, corde du profil) lincidence fictive dentre

    1.5.2.3 Grille daubes mobile sur machine motrice axiale

    Conformment la figure 1.22 qui prsente une grille daubes mobile de machine motriceaxiale, on applique la mme dmarche que pour la grille daube mobile de machine gnratriceprsente ci-dessus.

    2

    W1 W

    2 moyW

    W1

    W2

    p

    1

    r

    C ax

    Photo 1.22 Grille daubes mobile de machine motrice axiale

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 30 Gnralits sur les turbomachines

    1.5.2.4 Conservation du dbit

    Pour une aube de profondeur unitaire, on aura :

    qv = pC1 sin1 = pC2 sin2 pour une grille fixe qv = pW1 sin1 = pW2 sin2 pour une grille mobile

    soit donc : {C1 sin1 = C2 sin2 = Cmoy sinmoyW1 sin1 = W2 sin2 = Wmoy sinmoy

    (1.45)

    1.5.3 Classification des grilles planes

    Pour caractriser lcoulement dun fluide non visqueux on utilise Bernoulli en fluide parfait : 21

    dp

    +W 22 W 21

    2= 0 (1.46)

    Cette quation traduit le fait que la variation de pression implique une variation des vitessesrelatives dans le sens contraire.

    1.5.3.1 Grilles de compression / grilles de dtente

    La classification se fait comme suit :

    grille de compression = dp > 0 = W2 < W1 grille de dtente = dp < 0 = W2 > W1

    1.5.3.2 Grilles normales / grilles anormales

    La classification propose sur la figure 1.23 est effectue en fonction de la diffrence (W 22 W 21 )et du produit scalaire (

    Wgir1 .

    Wgir2 ). On regarde alors pour W

    22 W 21 > 0; = 0;< 0 (dtente ;

    action ; compression) lvolution des valeurs et du signe des vitesses giratoires lentre et la sortie de la grille. Les grilles normales sont les cases encadres (soit les grilles 1,2,4 et 9).

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.5 Les grilles daubes 31

    Photo 1.23 Classification des grilles

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 32 Gnralits sur les turbomachines

    1.5.4 Effort sur une grille plane : cas dun fluide non visqueux

    1.5.4.1 Grille fixe

    Considrons un lment daube cylindrique de profondeur unitaire. Isolons dans un premiertemps laube comme indiqu sur la figure 1.24. On a alors

    R = Nx + Ty (1.47)

    R est la rsultante des efforts appliqus par le fluide sur laube.

    2

    1

    T

    R

    N

    C1

    C2

    y

    x

    Photo 1.24 Rsultante des efforts sur une aube

    Isolons maintenant la veine de fluide autour de laube comme indiqu sur la figure 1.25.

    P

    P2

    1

    N

    R

    T

    Photo 1.25 Veine de fluide autour dune aube et rsultante des efforts

    En utilisant la thorie dEuler, on crit alors :

    qm(C2 C1) = P1S1x P2S2x + (R ) (1.48)

    avec lhypothse que les forces de pression sur lintrados et lextrados sannulent mutuelle-ment. En projection sur les axes, on obtient alors :{

    qm(C2 sin2 C1 sin1) = P1S1 P2S2 +Nqm(C2 cos2 C1 cos1) = T (1.49)

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.5 Les grilles daubes 33

    comme C2 sin2 = C1 sin1 suite la conservation du dbit, on obtient alors :

    N = P2S2 P1S1

    soit pour une aube unitaireN = p(P2 P1)

    On calcule alors T partir du diagramme des vitesses et du thorme de Bernoulli, on aalors : {

    Cgir = C2 cos2 C1 cos1C22 C21 = 2CgirCmoy cos

    (1.50)

    etP1 P2

    =

    12

    (C22 C21 )

    soitP1 P2 = CgirCmoy cos (1.51)

    Comme qm = pCmoy sin, on obtient les relations suivantes :{N = pCgirCmoy cosT = pCgirCmoy sin (1.52)

    Des expressions donnant N et T , on dduit la relation suivante

    T

    N= tan

    Ce qui montre queR est perpendiculaire

    Cmoy. Par ailleurs, on peut galement crire R =

    N2 + T 2 soit : R = pCgirCmoy (1.53)On peut galement dfinir le coefficient de sustentation du profil de la grille Czgrille par larelation :

    Czgrille =R

    12SC

    2moy

    =2pl

    CgirCmoy

    (1.54)

    Le coefficient de sustentation de la grille est donc dautant plus grand que les aubes sontcartes. Sa dtermination exprimentale ou partir du Cz du profil isol permettra de calcu-ler le nombre daubes ncessaire lobtention dune dviation tangentielle CgirCmoy donne. Onsen servira galement pour dterminer la calage des aubes de la grille. La limite admissiblede la sustentation est dtermine exprimentalement. Cette limite, Cz lp < 1 2 correspond lapparition de dcollements entranant une forte chute du rendement.

    1.5.4.2 Grille mobile

    Pour ltude des grilles planes mobiles, on remplacera simplementC par

    W et Cgir par

    Wgir, on obtient alors R = pWgirWmoy (1.55)Czgrille =

    2pl

    WgirWmoy

    (1.56)

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 34 Gnralits sur les turbomachines

    Y

    X X

    Y

    R

    R

    Photo 1.26 Pertes de charge dans une grille

    1.5.4.3 Perte de charge dans une grille plane parallle

    Grille fixe Lcoulement en fluide parfait a mis en vidence une sustentation sans traine.En introduisant les pertes de charge dans le thorme de Bernoulli on va pouvoir dterminerla traine du profil. Isolons le profil puis la veine de fluide autour du profil comme indiqu surla figure 1.26.

    X et Y sont respectivement la traine et la sustentation du profil en coulement rel. Lethorme dEuler permet alors dcrire :

    qm(C2 C1) = p(P2 P1)x (Y +X ) (1.57)

    En projection sur les axes, on obtient alors :{qm(C2 sin2 C1 sin1) = (1S1 2S2)p+ Y cos X sin = 0qm(C2 cos2 C1 cos1) = Y sin X cos = qmCgir (1.58)

    Le thorme de Bernoulli permet alors dcrire :

    12 =P1 P2

    1

    2(C22 C21 ) (1.59)

    avec 12 reprsentant les pertes de charge. Do on crit alors :

    12 =1p

    [Y cos X sin] CmoyCgir cos (1.60)

    En projetant la relation dEuler sur laxe Oy, on obtient alors :

    Y = X cot pCmoyCgir (1.61)soit :

    12 =1p

    [Xcos2 sin

    +X sin] (1.62)

    et :12 =

    X

    p sin(1.63)

    Si on introduit le coefficient de traine du profil (Cx) tel que X = 12CxSC2moy avec S = l 1, on

    obtient alors :

    12 =Cxl

    p

    C2moy2 sin

    (1.64)

    Grille mobileC devient

    W , Cgir devient Wgir, et on obtient alors :

    12 =Cxl

    p

    W 2moy2 sin

    (1.65)

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.6 Similitudes dans les turbomachines 35

    1.5.4.4 Ecoulement rel : Expression de la sustentation

    On introduit maintenant la dfinition de la finesse du profil traduite par CzCx = cot ce qui nousdonne X = Y tan .

    Grille fixe A partir de lexpression de la projection sur Oy du thorme dEuler, on obtient :

    qmCgir = Y [sin + cos tan ] (1.66)

    soit :

    p sinCmoyCgir = Ysin( + )

    cos (1.67)

    et finalement :Y = pCmoyCgir

    sin cos sin( + )

    (1.68)

    En posant alors Y = 12(l 1)C2moyCzgrille , on obtient finalement :

    Czgrille =2pl

    CgirCmoy

    sin cos sin( + )

    (1.69)

    Grille mobileCzgrille =

    2pl

    WgirWmoy

    sin cos sin( + )

    (1.70)

    1.6 Similitudes dans les turbomachines

    Les caractristiques de fonctionnement dune turbomachine traduisent les relations fonc-tionnelles existant entre les diffrentes variables dfinissant ce fonctionnement. Pour unemachine donne et un fluide incompressible de masse volumique , ces variables peuventtre :

    hydrauliques : dbit volumique qv, travail ou nergie massique Wn12 mcaniques : vitesse de larbre r, puissance externe , couple externe Mz = r de rendement : = qv Wn (machines gnratrices) et =

    qvWn

    (machines motrices) de rglage interne : dans le cas des turbines hydrauliques ; langle (angle de calage) le

    degr douverture (gomtrique).

    Certaines des ces variables sont indpendantes, leur choix est conventionnel et guid parla pratique. Les proprits de similitude qui sappliquent des machines gomtriquementsemblables permettent de rduire le nombre des variables de fonctionnement indpendantesen dfinissant des groupements adimensionnels de variables ou variables rduites.

    1.6.1 Conditions gnrales de similitude

    Dans ltude dune classe de turbomachines gomtriquement semblables, la machine pourratre dfinie par le rayon de la roue la sortie (r2), son fonctionnement sera dtermin par r,qv, , qui sont respectivement la vitesse de rotation, le dbit volumique, la masse volumiquedu fluide et sa viscosit dynamique. La machine tant lorgane mcanique compris entre len-tre et la sortie, nous pouvons alors faire abstraction des conduites la reliant aux rservoirssitus en amont et en aval. Dans ces conditions, lcoulement est considr en charge et laseule condition de similitude que nous devons trouver est la condition de Reynolds (< = 2r2r ).

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 36 Gnralits sur les turbomachines

    Les donnes prcises plus haut tant fixes pour un fonctionnement donn, lintgration desquations du mouvement permettra de calculer les diverses grandeurs mises en jeu telles lesdiffrents travaux que nous avons dfini antrieurement. On a des relations f(Wn, r2, qm, , e, pe) =0. Si on choisit alors de fixer comme variables de fonctionnement r2, r, e, on peut ainsi former4 produits sans dimension :

    pi1 =Wn12

    r12 1r

    1e

    , pi2 =qm

    r22 2r

    2e

    , pi3 =

    r32 3r

    3e

    , pi4 =pe

    r42 4r

    4e

    Lanalyse dimensionnelle du transfert dnergie Wn12 de lentre 1 vers la sortie 2 de la ma-chine donne alors les valeurs suivantes :

    1 = 2 2 = 3 3 = 2 4 = 21 = 2 2 = 1 3 = 1 4 = 21 = 0 2 = 1 3 = 0 4 = 1

    do lcriture finale des 4 produits sans dimension dfinis ci-dessus :

    pi1 =Wn12r22

    2r

    , pi2 =qm

    r32re, pi3 =

    r22r, pi4 =

    per22

    2re

    (1.71)

    On a ainsi pi1 = f(pi2, pi3, pi4).

    Les coefficients pi1 pi4 correspondent respectivement :

    pi1 coefficient manomtrique (R) pi2 facteur de forme, ou coefficient de dbit (R) pi3 fonction du nombre de Reynolds (< = R2r ) pi4 fonction du nombre de Mach (M = Rq pe

    e

    )

    1.6.2 Invariants de Rateau pour les machines fluide incompressible

    Le dbit volumtrique tant constant dans les machines fluide incompressible, on peut alorssubstituer qv

    qm dans les expressions que lon vient dnoncer, on a ainsi :

    pi2 = R =qvrr32

    =qv

    Ce2r22

    (1.72)

    On rapporte galement dans ltude des machines fluide incompressible lnergie au Newtonde fluide en posant Hn =

    Wn12g . On obtient alors :

    pi1 = R =Wn12r22

    2r

    =gHnC2e2

    (1.73)

    Linfluence du nombre de Reynolds est gnralement nglige dans ltude des turbomachinescar la zone dtude est en grande turbulence. De mme, la condition de Mach nintervientpas lorsquon se situe dans ltude des fluides incompressibles. On a alors gnralement larelation suivante :

    R = f(R) (1.74)

    Les rendements des turbomachines sont :

    = Wn12Wa12 pour les machines gnratrices

    = Wa12Wn12 pour les machines motrices

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.6 Similitudes dans les turbomachines 37

    Or, on sait que Wn12 = Wi12 +Wf12 = f(R) = f(R) et Wi12 = Wa12 Wm12 = f(R) si onnglige Wm12. On a alors lexpression du rendement = f(Wn12 ,Wa12) qui se met sous laforme :

    = f(R) (1.75)

    Remarque : Pour un coulement en rgime permanent, les pertes de charge dans les turbo-machines dpendent de la rugosit qui elle mme dpend des facteurs dchelle et de forme(R). De ce fait, la rugosit des parois ntant pas conserve entre une maquette et une ma-chine relle, le rendement nest pas toujours identique pour des fonctionnements semblables.On peut alors utiliser des relations de correction.

    Dautres coefficients de forme sont utiliss, parmi lesquels on peut citer :

    coefficient de vitesse C2gH

    ; Ce2gH

    coefficient de couple R = Mze2rr52= f(R)

    coefficient de puissance R = e3rr52= f(R)

    1.6.3 Fonctionnements semblables en fluide incompressible

    Considrons deux machines gomtriquement semblables et ayant le mme rendement. Lesdiffrents coefficients que nous venons de dfinir voluent ainsi :

    qv varie comme r et r32 : le dbit est proportionnel la vitesse de rotation et au cube durayon

    Hn varie comme 2R et r22 : la hauteur manomtrique est proportionnelle aux carrs de la

    vitesse de rotation et du rayon. On appele hauteur manomtrique la hauteur laquelleune pompe peut de par sa conception et sa puissance lever un fluide. Cette hauteur estreprsentative de lnergie change entre la roue mobile et le fluide en tenant compte despertes mcaniques.

    varie comme , 3R et r52 : la puissance sur larbre est proportionnelle au cube de la vitesse

    de rotation, la puissance 5 du rayon de la roue et la masse volumique. Mz varie comme , 2R et r

    52 : le couple manique sur larbre est proportionnel au carr de la

    vitesse de rotation, la puissance 5 du rayon de la roue et la masse volumique.

    1.6.3.1 Mme machine, mme fluide, vitesse diffrente

    Avec ces nouvelles hypothses pour les points de fonctionnement semblables, on a :

    qv varie comme r Hn, Wn, Mz varient comme 2R varie comme 3R

    On peut donc dire de manire quivalente que Hn varie comme q2v et varie comme q3v. On

    a alors sur les courbes caractristiques de la machine un point de fonctionnement P corres-pondant une mme abscisse R .

    En considrant maintenant les courbes Hn = f(qv) obtenues pour diffrentes vitesses derotation de la machine, on peut alors ramener le point P obtenu sur la courbe R = f(R) etobtenir diffrentes relations entre les paramtres.

    On a alors partir des coefficients de Rateau :

    R = Cte = qv11 =qv22

    = qv33 =qv = Cte

    R = Cte = H121 =H222

    = H323

    = H2

    = Cte

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 38 Gnralits sur les turbomachines

    P

    R

    R

    (a) variation du coefficient ma-nomtrique

    R

    P

    P

    (b) variation de puissance

    R

    P

    (c) variation de rendement

    Photo 1.27 Courbes caractristiques dune machine

    H

    H

    H

    qv qv qv

    2

    3

    1 32

    1

    1

    2

    3

    H=f(qv)Hn

    qv

    Photo 1.28 Similitudes pour une machine

    Soit finalement lexpression suivante :

    Hn = kq2v (1.76)

    quation dune parabole qui correspond aux lieux des points de fonctionnement semblablescomme indiqu sur la figure 1.28.

    1.6.3.2 Machine gomtriquement semblable, mme fluide, mme vitesse

    Dans ce cas, on a alors r = Cte et e = Cte

    qv varie comme r32 Hn et Wn varient comme r22 et Mz varient comme r52

    On procdera de mme la seule diffrence que maintenant les courbes sont obtenues pourdes diamtres de roue diffrents vitesse constante.

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 1.6 Similitudes dans les turbomachines 39

    1.6.3.3 Vitesse spcifique

    Les produits pii que nous venons de dfinir sont des coefficients sans dimension, qui d-pendent des facteurs que lon a pris en compte dans le fonctionnement de la machine. Pourltude de 2 machines gomtriquement semblables en fonctionnement semblable, ces termespii sont toujours gaux 2 2. On peut imaginer dautres combinaisons sans dimensions etcertaines ne contenant pas r2 sont particulirement intressantes comme par exemple :

    2R3R

    =4rq

    2v

    (gHn)3(1.77)

    Nous avons ainsi fait disparatre le terme r2. Lexpression(2R3R

    ) 14 joue un rle particulier

    auprs des constructeurs de turbomachines. On lappelle le nombre de tour spcifique ouvitesse spcifique, et on la note :

    Ns =Nqv

    12

    (gHn)34

    (1.78)

    o N est le nombre de tours par seconde.

    Remarque : Cette expression est gnralise pour ltude des pompes. Lorsque lon travaillesur les turbines, on fait plutot intervenir la puissance ( = gqvH) reue sur larbre :

    Ns =N

    12

    12 (gH)

    54

    (1.79)

    1.6.4 Similitude de fonctionnement en fluide compressible

    La relation R = f(R,M) que lon peut galement crire sous la forme

    Wn122rr

    22

    = f

    qmerr32

    ,r2r

    pee

    (1.80)montre que les caractristiques dune famille de machines gomtriquement semblables nepeuvent se rduire qu une famille de courbes du type de celle prsente sur la figure 1.29.

    R

    RM

    limite

    de

    pom

    page

    Photo 1.29 Courbe R = f(R,M)

    Ces courbes sont traces dans la zone de fonctionnement stable limite par le phnomne depompage que nous mettrons en vidence lors de ltude des compresseurs.

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 40 Gnralits sur les turbomachines

    Dautres variables rduites sont utilises pour les machines fluide compressible. Ainsi rr2varie comme

    pee

    en fonctionnement semblable. On peut alors remplacer une de ces expres-

    sion par lautre dans lcriture du coefficient de dbit, soit

    qmerr32

    ' qmer22

    pee

    =qm

    pee

    per22(1.81)

    Le travail net varie aux variations dnergie cintique et aux pertes prs comme

    WT12 = 2

    1

    dp

    qui varie en fonctionnement semblable comme pspee oupspe

    . On a en effet (rr2)2 = f

    (pee

    ). Do

    on crit alors :

    pspe

    = f

    qm

    pee

    per22,r2r

    pee

    (1.82)ou

    pspe

    = f(qmrTe

    peD2,NDrTe

    )(1.83)

    Remarques :

    Les relations que nous venons dtablir pour les similitudes de fonctionnement en fluidecompressible peuvent tre crites entre lentre et la sortie dun tage de tubomachine,voire dune roue.

    Le travail de compression qui intervient dans le calcul de Wn12 peut tre adiabatique,polytropique... Il faudra alors le prciser lors de ltude.

    Pour les machines axiales on utilise habituellement le rayon moyen de la roue au lieu de ladimension r2.

    Enfin, on peut galement utiliser le coefficient de vitesse axiale = CaxCe pour ltude desmachines axiales.

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 41

    - Chapitre 2 -

    Machines gnratrices

    2.1 Etude gnrale, compression du fluide

    Lnergie mcanique apporte au fluide par la machine est gnralement transforme en ner-gie cintique (12C

    2) et en nergie potentielle (p + gz).

    Pour ltude des pompes (fluide incompressible) servant transvaser un liquide dun rservoiramont vers un rservoir aval, lnergie mcanique sert vaincre les diffrences de niveau voirede pression. Dans ce cas, lnergie potentielle est largement plus dsire.

    Pour ltude des compresseurs (fluide compressible) servant gonfler un rservoir aval, lner-gie cintique du fluide est utilise dautant plus que lon nglige les effets de pesanteur surun fluide compressible.

    2.1.1 Compression des liquides

    Le transfert dnergie dans un coulement met en vidence une nergie mcanique et unenergie thermique qui est dailleurs trs souvent nglige car la chaleur dgage par les frot-tements visqueux est trs faible.

    2.1.1.1 Bilan nergtiques

    Le travail net de transvasement peut se mettre sous la forme :

    WT12 = 2

    1

    dp

    =p2 p1

    (2.1)

    Le travail indiqu a pour expression : Wi12 = Wn12 Wf12 do :

    Wi12 =p2 p1

    +12(C22 C21

    )+ g (z2 z1)Wf12 (2.2)

    Pour les liquides, on fera trs souvent les bilans nergtiques en hauteur de fluide, cest direen travail rapport au Newton. On dfinit ainsi :

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 42 Machines gnratrices

    Hn =Wn12

    g : la hauteur nette en J/N ou en m

    Hth =Wi12g : la hauteur thorique de fluide.

    On peut alors crire :

    Hth =12g((C22 C21 ) + (C2e2 C2e1) (W 22 W 21 )

    )(2.3)

    Dans le cas des machines gnratrices, nous avons vu prcdemment que les travaux netset indiqus sont positifs. Les expressions que nous venons dcrire sont issues de la thoriedEuler :

    Couple exerc par la roue sur le fluide : Mz = qm (r2Cgir2 r1Cgir1) Puissance thorique reue par le fluide : = qm (Ce2Cgir2 Ce1Cgir1)

    On peut remarquer que la hauteur thorique de fluide nest pas lnergie totalement reue parle fluide entre lentre et la sortie de la machine. On a ainsi :

    Hth = Hn + pertes internes (2.4)

    2.1.1.2 Rendements

    Le rendement global dune pompe est dfini par :

    gl =qmWn12

    a=gqvHna

    (2.5)

    o a est la puissance sur larbre. a = Mzar Le rendement interne de la pompe est le rapport entre la hauteur nette et la hauteur tho-

    rique :

    int =HnHth

    (2.6)

    galement appel rendement hydraulique ou rendement manomtrique.

    2.1.1.3 Rseaux de pompage

    On retrouve gnralement sur un rseau de pompage une conduite daspiration et une conduitede refoulement. On dfinit ainsi une hauteur nette daspiration et une hauteur de refoulementnommes respectivement Ha et Hr. La somme de ces deux hauteurs et des dimensions de lamachine est la hauteur gomtrique (dans un repre centr sur la pompe) :

    Hg = Ha +Hr + zs zeo zs et ze sont les ctes dentre et de sortie de la machine comme indiqu sur la figure 2.1.

    Dans le cas de la figure 2.1(a) dun pompage en espace libre, lnergie fournir au fluide estgale la hauteur gomtrique. La hauteur utile de liquide Hu est gale Hg. Si les rservoirsamont et aval sont sous pression (cas illustr sur la figure 2.1(b)), la pompe doit vaincre ladiffrence de pression et la hauteur utile devient alors :

    Hu = Hg +paval pamont

    g(2.7)

    Si on fait maintenant intervenir les pertes entre lamont et laval de la pompe, on obtient :

    Hu = Hn (amonte + saval) (2.8)

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 2.1 Etude gnrale, compression du fluide 43

    H

    H ref

    a

    H g

    z

    z s

    e

    (a) Rseau de pompage en espace libre

    H

    H ref

    a

    H g

    z

    z s

    e

    (b) Reseau de pompage sous pression

    Photo 2.1 Rseaux de pompage libre et sous-pression

    Remarque : Dans un rseau de pompage, la pompe doit fournir au fluide une nergie gale la hauteur nette. Cette hauteur est galement appele hauteur rsistante Hr du rseau. On aalors :

    Hr = Hn = Hu + amonte + saval (2.9)

    avec : {Hu = Hg systme libreHu = Hg + pavalpamontg systme sous pression

    (2.10)

    2.1.1.4 Cavitation dune pompe

    La cavitation dune pompe se caractrise par la formation de bulles ou de poches de vapeurdues lbullition provoque par une chute brutale de la pression locale. Ce phnomnerisque de se produire si pour une hauteur gomtrique donne on augmente trop la hauteurdaspiration.

    La cavitation dune pompe est caractrise par lapparition de bruits et de vibrations, et ilen rsulte une chute considrable des caractristiques hauteur/dbit et rendement/dbit etune altration de la pompe (rosion des aubes) si la pompe cavite durant un temps assezimportant.

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 44 Machines gnratrices

    2.1.1.5 Charge nette laspiration

    La cavitation dune pompe se produit dans la zone o la dpression est maximale. On peutalors appliquer le thorme de Bernoulli entre lentre de la pompe (1) et le point M (o ladpression est maximale, en, gnral proche du bord dattaque sur lextrados de laube commeindiqu sur la figure 2.2).

    Photo 2.2 Profil des pressions autour dune aube

    On crit alors :pM p1

    + g(zM z1) + 12(C

    2M C21 ) = 1M +Wn1M (2.11)

    qui peut se mettre sous la forme :

    pM psvg

    =p1 psvg

    (zM z1) 12g (C2M C21 ) 1M (2.12)

    o psv est la tension de vapeur saturante ; nom donn la pression dinitiation du phnomnede cavitation. De lquation prcdente on dduit que la pompe ne cavitera pas si pM > psvsoit :

    p1 psvg

    +C212g

    charge nette laspiration

    >C2M2g

    + zM z1 + 1M charge minimale laspiration

    (2.13)

    La charge nette laspiration qui porte galement le nom de N.P.S.Hdisponible (Net Positive Suc-tion Head) dpend de ce qui se passe en amont de la pompe, la charge minimale laspiration(N.P.S.Hrequis) est fonction de lcoulement dans la pompe.

    2.1.2 Compression des gaz

    2.1.2.1 Bilans nergtiques

    A partir des thormes de lnergie cintique et du Premier Principe de la Thermodynamique,nous avons mis en place diffrentes relations permettant de calculer :

    Le travail net :

    Wn12 = 2

    1

    dp

    +

    12

    (C22 C21 ) (2.14)la variation dnergie potentielle est nglige pour les gaz.

    Le travail indiqu :Wi12 = Wn12 Wf12 (2.15)

    Le travail sur larbre :Wa12 = Wi12 Wm12 (2.16)

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 2.1 Etude gnrale, compression du fluide 45

    2.1.2.2 Rendements

    Comme dans le cas des pompes (fluide incompressible), le rendement global prend la forme :

    gl =qmWn12

    a(2.17)

    o a est la puissance sur larbre dont lexpression est en ngligeant les fuites : a = qmWa12.Ce qui permet dcrire :

    gl =Wn12Wa12

    =

    21dp +

    12(C

    22 C21 )

    Wa12(2.18)

    Le calcul du rendement est trs difficile effectuer car le travail net et notamment la partielie au travail de transvasement (

    21dp ) est peu vidente calculer. En effet, le lien entre p et

    nest pas valuable en transformation relle : On sera alors amen calculer des rendementspour des volutions types :

    Evolution adiabatique rversible (SQ) Evolution isotherme rversible () Evolution polytropique (k)

    Evolution adiabatique rversible Lvolution adiabatique rversible est lvolution associeaux compressions et aux dtentes dans les turbomachines. Cette volution est caractrisepar Qe12 = Qf12 = 0 avec Qe12 reprsentant le travail mcanique dissip en chaleur et Qf12le travail visqueux dissip en chaleur. On a pour cette volution en fluide quelconque :

    WSQ12 = 2

    1pdv = U2 U1 (2.19)

    WTSQ12 = 2

    1vdp = H2 H1 (2.20)

    On a alors pour un compresseur un rendement global donn par :

    gl =Wn12Wa12

    =

    21

    dp

    SQ

    + 12(C22 C21 )

    Wa12(2.21)

    On obtient alors le rendement inetrne :

    iSQ =

    21

    dp

    SQ

    + 12(C22 C21 )

    Wi12(2.22)

    avec Wi12 = H2 H1 + 12(C22 C21 )Qe12 dans lequel Qe12 = 0.

    On peut ngliger la variation dnergie cintique qui est gnralement faible, et on aboutit une valeur approche par excs du rendement adiabatique :

    iSQ =

    21

    dp

    SQ

    H2 H1 =HSQH

    (2.23)

    Ces rendements sont des valeurs aproches des rendements des compresseurs et des tur-bines. Ces rendements peuvent naturellement tre calculs sur chacun des tages de la tur-bine.

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 46 Machines gnratrices

    Nota : Si le fluide mis en jeu lors de la compression ou de la dtente peut tre considrcomme parfait (pv = rT = Cte), on aura alors :

    iSQ =T 2 T1T2 T1 en compression (2.24)

    iSQ =T2 T1T 2 T1

    en dtente (2.25)

    Evolution isotherme rversible Lvolution isotherme rversible () est une volution tho-rique o T = Cte et Qf11 = 0. On utilise cette volution pour ltude des compression refroidiesou des dtentes rchauffes. On a lors de cette volution pour les fluides quelconques :

    W12 = 2

    1pdv = U2 U1 Qe11 (2.26)

    WT12 = 2

    1vdp = H2 H1 Qe11 (2.27)

    avec Qe11 = T (S2 S1) et Si reprsentant lentropie du fluide.

    Si le fluide mis en jeu lors de la compression ou de la dtente peut tre considr commeparfait (pv = rT = Cte), on aura alors U2 = U1 et H2 = H1 soit :

    W12 = WT12 = Qe11 = rT lnp2p1

    = rT lnv1v2

    (2.28)

    On a alors le rendment global donn par :

    gl =WT12 + Ec

    Wa12=rT ln p2p1 +

    12(C

    22 C21 )

    Wa12(2.29)

    Evolution polytropique Lvolution polytropique est une volution thorique rversible ca-ractrise par pvk = Cte, Qf11 = 0 et Qe11 6= 0. On a alors pour cette volution :

    Wk12 = 2

    1pdv =

    r

    k 1(T2 T1) (2.30)

    WTk12 = 2

    1vdp =

    rk

    k 1(T2 T1) (2.31)

    avec Qe11 = H2 H1 Wk12. Lvolution k est associe une volution relle, les deuxvolutions ayant les mmes points de dpart et darrive, on introduit alors la notion decoefficient k pour lvolution polytropique associe :

    k 1k

    =ln T2T1ln p2p1

    (2.32)

    On dfinit alors le rendement global lors de lvolution k par :

    glk =

    21

    dp

    k

    + 12(C22 C21 )

    Wa12=

    k1k1

    (2.33)

    Ce rendement obtenu en associant lvolution k une volution SQ est dtermin en faisantles mmes hypothses quau paragraphe prcdent, cest dire en considrant que la variationdnergie cintique est ngligeable.

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 2.2 Pompes et ventilateurs centrifuges 47

    2.1.2.3 Pompage des compresseurs

    Le phnomne de pompage des compresseurs se manifeste lorsque le dbit de la machinedescend en dessous dune certaine valeur en fonction de la vitesse de rotation. Le pompageest caractris par des variations importantes du dbit et de la pression du fluide. Ceci gnredes oscillations sur la machine qui peuvent conduire sa dtrioration.

    Pour viter le pompage dun compresseur, il faut le faire travailler en rgime stable, cest dire trouver le bon compromis entre la caractristique du compresseur et la caractristiquedu circuit de fluide. En effet le compresseur peut se trouver dans un rseau compos duneconduite, dun rservoir, voire des deux. Ce phnomne de pompage se retrouvera dans le casdes turbomoteurs et turboracteurs.

    2.2 Pompes et ventilateurs centrifuges

    Les pompes et ventilateurs centrifuges sont composs de diffrents lments entre laspiration(e) et la sortie (s). On retrouve ainsi sur la figure 2.3 les lments suivants :

    Lentre e : aspiration La roue mobile : rotation la vitesse angulaire r Le diffuseur : rduit la vitesse en sortie de roue La volute : canalise le fluide vers la sortie s.

    Photo 2.3 Elments constitutifs dune pompe centrifuge

    Sur les figures ci-aprs, on prsente un ensemble de pompes centrifuges mono ou multi-cellulaires.

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 48 Machines gnratrices

    Photo 2.4 Pompe multi-cellulaire deux sries de roues montes en opposition

    Photo 2.5 Pompe centrifuge auto-amorante injection

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 2.2 Pompes et ventilateurs centrifuges 49

    Photo 2.6 Pompe multi-cellulaire axe vertical aspiration vers le haut et refoulement versle bas

    Photo 2.7 Pompe multi-cellulaire roues en srie et opposes par paires

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 50 Machines gnratrices

    Photo 2.8 Pompe centrifuge horizontale un tage

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 2.2 Pompes et ventilateurs centrifuges 51

    Photo 2.9 Pompe centrifuge horizontale un tage

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 52 Machines gnratrices

    2.2.1 Rle du diffuseur sur lcoulement

    Nous avons vu au chapitre 1 que dans une machine gnratrice, lorgane fixe tait situaprs lorgane mobile. Dans une pompe centrifuge on a alors une arrive axiale du fluidesans perturbation soit un angle 1 = pi2 ce qui implique que Cgir1 = 0. On peut alors tracer lediagramme des vitesses entre lentre (1) et la sortie (2) de lorgane mobile comme indiqu surla figure 2.10.

    W

    W

    C

    Ce

    Ce

    1

    1

    22

    2 b2

    b1

    1C

    Photo 2.10 Diagramme des vitesses dans la roue

    On a alors Hth =Ce2Cgir2

    g et qv = piD1b1Cm1 = piD2b2Cm2. Le fluide sort donc de la roue avec une

    vitesseC2 =

    Ce2 +

    W2. On retrouve cette vitesse lentre (2) du diffuseur o le fluide va tre

    transform jusqu la sortie (3). De par la construction des pompes centrifuges, on a toujoursD3 > D2 et b3 b2.

    La conservation du dbit dans la pompe permet dcrire entre lentre (2) et la sortie (3) dudiffuseur la relation :

    qv = piD3b3Cm3 = piD2b2Cm2On en dduit alors que la vitesse de sortie Cm3 est infrieure la vitesse dentre dans lediffuseur Cm2. Le diffuseur a donc un rle de rducteur de vitesse, ce qui se traduit par uneaugmentation de la pression du fluide.

    Remarque : Si le diffuseur ne comporte pas daubages, on aura r2Cgir2 = r3Cgir3 ce qui montregalement la rduction de vitesse dans le diffuseur.

    On peut dterminer lvolution des pressions dans la pompe qui se traduit comme suit :

    ps pression daspiration p1 pression lentre de la roue p2 pression la sortie de la roue et en entre du diffuseur p3 pression en sortie de diffuseur

    En appliquant le thorme de Bernoulli entre les diffrents points, on obtient :

    p

    + Ec = Wnab ab (2.34)

    en ngligeant Ep.

    Entre 0 et 1 : on a alors :p1 p0

    +12

    (C21 C20 ) = Wn01 01 (2.35)Or on a C0 = 0, Wn01 = 0 car pas de machine entre 0 et 1, et 01 = 0 par hypothse, enramenant alors lexpression au Newton, on obtient :

    p1g

    =p0g C

    21

    2g(2.36)

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 2.2 Pompes et ventilateurs centrifuges 53

    Entre 1 et 2 : on a :p2g

    =p1g

    +Hth 12 C22 C21

    2g(2.37)

    Entre 2 et 3 : on a :p3g

    =p2g 23 C

    23 C22

    2g(2.38)

    On peut alors tracer la courbe de variation de p dans la pompe.

    2.2.2 Influence de langle 2

    2.2.2.1 Influence sur la hauteur de fluide

    On tudie 3 roues mobiles pour lesquelles seul langle 2 est chang, comme indiqu sur lafigure 2.11.

    a b c

    Photo 2.11 Influence de langle 2 sur lcoulement dans la roue

    On peut alors tracer les diagrammes des vitesses en sortie de roue partir deC2 =

    Ce2 +

    W2. Nous avons dj tabli que dans le cas dune roue mobile radiale sans perturbation delcoulement par un organe fixe, nous avions Cgir1 = 0, Cgir2 = Ce2 + W2 cos2. La hauteurthorique de fluide en sortie vaut alors :

    Hth =Ce2Cgir2

    g=

    1g

    (C2e2 + Ce2W2 cos2

    )(2.39)

    avec Hth dsignant la hauteur thorique idale. Il est ais de voir de par la relation que nousvenons dcrire ou sur les diagrammes de vitesses que Hth augmente avec linclinaison verslavant des pales (2 < pi2 ).

    2.2.2.2 Influence sur lcoulement dans le rotor

    Les trajectoires relatives du fluide vont automatiquement tre influences par lorientation desaubes. Il apparat que pour les orientations 2 < pi2 la dviation du fluide est plus importanteentre lentre et la sortie. Ceci se traduit par une augmentation des pertes dans laubage.

    2.2.2.3 Influence sur la qualit de lnergie fournie

    Les diagrammes de vitesses que nous avons trac montrent queC2 est plus leve lorsque

    2 pi2 )

    2.2.3 Caractristiques dEuler, caractristiques thoriques idales

    Si on sintresse lvolution de la hauteur thorique idale en fonction du dbit, on crit :

    Cm2 = W2 sin2 et qv = piD2b2Cm2 (2.47)

    do :

    Hth(qv) =Ce2g

    (Ce2 +

    qvpiD2b2 tan2

    )(2.48)

    Pour une vitesse de rotation r donne, on a Ce2 = Cte, alors Hth est une fonction linaire

    de qv dont la pente dpendra de langle 2 et dont lordonne lorigine estC2e2g comme indiqu

    sur la figure 2.12.

    En ce qui concerne lvolution de la puissance thorique idale, partir de lcriture de lapuissance ncessaire lentranement sous la forme = qmWn12, on crit :

    th = gqvHth = Ce2

    (qvCe2 +

    q2vpiD2b2 tan2

    )(2.49)

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 2.2 Pompes et ventilateurs centrifuges 55

    2

    2=

    H th

    q v

    Ce2

    g

    Photo 2.12 Evolution de Hth = f(qv)

    2

    2=

    P th

    q v

    Photo 2.13 Evolution de th = f(qv)

    Lvolution th = f(qv) a alors lallure donne sur la figure 2.13.

    On peut ainsi voir que pour obtenir un accroissement de dbit qv, laccroissement de puis-sance th sera plus faible pour les aubes courbes vers larrire. Cette remarque est unnouvel avantage pour les aubes courbes vers larrire par rapport aux aubes courbes verslavant.

    2.2.4 Influence du nombre daubes

    Nous avons mis en vidence au chapitre 1 les limitations de la thorie dEuler. Il en ressortque langle de sortie rel des filets fluides nest pas 2 mais un angle 2 dvi de 5 10.La hauteur thoriquement disponible en sortie de roue est donc en ralit plus faible quecelle dfinie par la thorie dEuler. On appellera Hth la valeur moyenne de cette hauteur pourles filets fluides. Cette dviation des vitesses thoriques et relles est prise en compte enconsidrant un coefficient de glissement tel que :

    =Cgir2Cgir2

    =HthHth

    (2.50)

    Le coefficient de glissement dpend du nombre daubes, de leur forme et de langle 2. Si ledbit nest pas trop faible, on peut admettre que est indpendant du dbit et vaut pour lespompes courantes de 0,7 0,8. De lcriture de on tire : Hth = Hth = Ce2

    (Ce2 +

    qvpiD2b2 tan2

    )th = th = Ce2

    (qvCe2 +

    q2vpiD2b2 tan2

    ) (2.51)

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 56 Machines gnratrices

    2.2.5 Pertes dnergie et conditions de fonctionnement

    Lcoulement, les transferts dnergie et les transformations dnergie ne peuvent seffectuersans perte nergtique. Dans chaque machine, il existe un point de fonctionnement optimalcorrespondant un dbit volumique qv dtermin, o ces pertes sont minimales et de ce fait,le rendement optimal. Ce point pour lequel la distribution des pressions statiques autour dela roue est peu prs uniforme est trs voisin de celui pour lequel il y a entre sans choc,lequel correspond au dbit volumique dadaptation qva.

    Par ailleurs en fonctionnement rel, on constate que la roue peut crer une pr-rotation dufluide du fait dune action en amont de laire daspiration. Cette pr-rotation est en gnralpositive pour les faibles dbit, soit dans le mme sens que le sens de rotation de la roue,ngative pour les forts dbits. Ceci peut alors se superposer aux problmes de cavitation quenous avons noncs auparavant.

    Lors de la conception dune machine, il faut considrer lensemble roue-diffuseur sachant quecet ensemble se comportera convenablement au point optimal de fonctionnement. En dehorsde ce point, les pertes augmentent rapidement et des dcollements peuvent se produire dansles aubes.

    Les diffrentes pertes que lon rencontre sont :

    Les pertes hydrauliques : Chocs, tourbillons, frottement du liquide dans son passage travers la machine

    Les pertes par frottement du disque : Frottement de la roue sur le liquide qui lentoure Les pertes volumtriques : Fuites ou courts-circuits de liquide travers les jeux existant

    entre les organes fixes et mobiles de la machine Les pertes mcaniques : Paliers, roulements et frottements aux toupes.

    Pour une pompe donne, la puissance fournie par le moteur dentranement est la somme de lapuissance nette et des diffrentes puissances perdues en valeur absolue. Une approximationde linfluence des pertes est prsente sur la figure 2.14.

    vq

    puissance

    perdue

    pertes hydrauliques

    pertes volumtriques

    pertes mcaniques

    Photo 2.14 Variation des pertes avec le dbit

    On va maintenant dtailler chacune de ces pertes.

    2.2.5.1 Les pertes hydrauliques

    Elles peuvent se dcomposer en deux types de pertes, les pertes de charge et les pertes parchoc :

    Pertes de charge : Elles dpendent du nombre de Reynolds et de la rugosit de la conduite :

    =14PeSlC22g

    (2.52)

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 2.2 Pompes et ventilateurs centrifuges 57

    avec :

    coefficient de perte unitaireS section moyenne de passagePe primtre mouilll longueur du canal

    Pertes par choc : Elles rsultent dun problme de direction des vitesses entre la sortie de laroue et lentre dans le diffuseur :

    c = Kc(C C )2

    2g= Kc

    C2c2g

    (2.53)

    avec :

    Kc coefficient gomtrique de la roueC vitesse absolue thoriqueC vitesse absolue relleCc composante de choc

    La vitesse de sortie de roue est en fonctionnement normal tangente au profil du diffuseur. Lechoc est d une variation de la direction de cette vitesse qui vient alors percuter le profildu diffuseur.

    2.2.5.2 Les pertes volumtriques

    Le jeu fonctionnel entre lorgane mobile et le corps de la machine gnre un dbit de fluidenomm q sur le schma de la figure 2.15. La conservation du dbit Q entre lentre et la

    Q

    qQ

    Q

    +q

    Photo 2.15 Pertes volumiques dans la roue

    sortie de la roue fait que la roue doit donner de lnergie au dbit Q + q pour palier la fuite(q = f(p1, p2)).

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 58 Machines gnratrices

    2.2.5.3 Les pertes mcaniques

    Les pertes mcaniques sont principalement dues aux frottements que lon retrouve entretoutes les pices en mouvement relatif les unes par rapport aux autres. On inclut dans lespertes mcaniques les pertes par frottement du disque. En effet, le film de fluide compris entrela roue et le corps de la machine est soumis un champ de vitesse. On a alors dissipationdnergie par frottement visqueux entre les parois. Cette nergie peut se mettre sous la forme :

    Wp = kC3e r2 (2.54)

    avec k qui dpend la fois de la largeur du canal entre la roue et le corps et du rayon de laroue.

    2.2.5.4 Rendements de la pompe

    La puissance ncessaire sur larbre vaut :

    a = g (Hn + 12) (Q+ q) + |Wm|+ |Wf | (2.55)

    La puissance utile est :n = gQHn (2.56)

    Le rendement global de la pompe a pour valeur :

    gl =na

    =gQHn

    g (Hn + 12) (Q+ q) + |Wm|+ |Wf | (2.57)

    On retrouve aussi des rendementsm = HnHth =

    HnHn+12 rendement manomtrique

    m = m =HnHth

    rendement manomtrique idal

    v = QQ+q rendement volumtrique

    mec =g(Hn+12)(Q+q)

    arendement mcanique

    (2.58)

    avec gl = m v mec.

    2.2.6 Caractristiques relles

    Sur la page suivante on prsente le trac de caractristiques relles dune pompe.

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 2.2 Pompes et ventilateurs centrifuges 59

    Hth

    Hn

    Thorie

    Courbe relle

    Pertes de charge

    Pertes par choc

    N=C te

    Hf

    H

    Point de rendement optimal Point d'adaptation(entre sans choc)

    qv

    Photo 2.16 Caractristiques hauteur-dbit thorique et relle dune machine centrifuge

    Photo 2.17 Caractristiques obtenues vitesse constante pour diverses valeurs de 2

    Photo 2.18 Caractristiques obtenues partir de la figure 2.17

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 60 Machines gnratrices

    Photo 2.19 Caractristiques rcapitulatives dune turbomachine

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 2.2 Pompes et ventilateurs centrifuges 61

    2.2.7 Amorage dune pompe

    Une pompe centrifuge nest pas auto-amorante. Il est donc ncessaire de la remplir de liquideavant mise en route ou de la munir dun dispositif auxiliaire damorage (systme dinjectionou pompe auxiliaire anneau liquide). La turbopompe fonctionnant par diffrence de pres-sion, il est beaucoup plus difficile dobtenir le p avec de lair quavec un liquide. En effet lahauteur de fluide ncessaire pour obtenir une mme variation de pression est denviron 800fois plus grande avec de lair (systme dsamorc) quavec de leau (systme amorc).

    2.2.8 Donnes constructives

    2.2.8.1 Dimensions principales dune turbopompe centrifuge

    Pour un problme donn on connat en principe le dbit qv, la hauteur gomtrique Hg, lalongueur de la tuyauterie l associe la pompe, la nature du fluide et ventuellement la vi-tesse de rotation = 2piN . Ces donnes permettent de calculer le diamtre de la tuyauterie enadmettant une vitesse dcoulement de 1,5 4m/s, dvaluer ensuite les pertes de charge cor-respondantes et compte tenu de celle des clapets, vannes, crpines, on en dduit la hauteurmanomtrique Hm.

    Avant de commencer ltude, il faut se demander si le travail impos peut tre ralis parun seul impulseur (roue mobile). En cas dimpossibilit, on rpartit la hauteur manomtriquesur plusieurs roues montes en srie (pompe multi-cellulaire) ou bien on rpartit le dbit surplusieurs roues montes en parallle (roue symtrique double entre...).

    Le rayon dentre r0 de la roue (voir figure 2.20) est dtermin en considrant que la vitesseaxiale

    C0 ne doit pas dpasser 2 6m/s selon la hauteur produite de la roue. Le rayon r1 vaut

    peu prs 1 1, 15r0. On en dduit lentre b1 en choisissant une vitesseC1 gale

    C0 ou

    lgrement suprieure.

    Photo 2.20 Dimensions principales dune roue

    Le dbit que lon considre dans ces calculs est 1,03 1, 1qv car on intgre les fuites internes.Pour la dtermination des dimensions de sortie, on utilise lquation dEuler :{

    Hth =12g

    (C2e2 + Ce2W2 cos2 Ce1C1 cos1

    )avec 1 = pi2

    C2 cos2 = Ce2 +W2 cos2(2.59)

    Olivier PANTALE Anne universitaire 2008/2009

  • 62 Machines gnratrices

    do :Hth =

    Ce2C2 cos2g

    (2.60)

    Les largeurs b1 et b2 sont gnralement du mme ordre (b2 b1) afin de ne pas trop augmenterles pertes par frottement dans la roue. On choisit alors un rapport r2r1 2.

    Remarques :

    Une pompe munie dune seule roue lvera au maximum 110 mtres deau Pour les pompes multi-cellulaires et les pompes tournant lentement, on pourra admettre

    r2r1> 2

    2.2.8.2 Trac de la grille daubes

    Les roues peuvent tre en mtal coul (fonte, bronze, acier, acier inoxydable...) ou en ma-tire plastique. Il est vident que le choix du matriau sera conditionn par les conditionsdutilisation et la nature du fluide mis en jeu (fluide corrosif, hautes tempratures...).

    Le trac des aubages est effectu partir des angles 1 et 2 qui ont t calculs en fonctiondes vitesses dentre et de sortie du fluide. Plusieurs mthodes existent pour effectuer letrac et sont habituellement le rsultat de considrations empiriques et exprimentales etfont partie des secrets de fabrication. Certains consistent faire voluer linairement 1vers 2, dautres sefforcent de raliser un transfert continu de lnergie de lentre vers lasortie de la roue (croissance linaire ou parabolique de la puissance transmise avec le rayon).

    2.2.8.3 Le diffuseur

    Nous avons prsent son rle prcdemment. Cest donc un organe destin transformerlnergie cintique du fluide en sortie en une pression. Il est constitu sil est lisse pardeux surfaces de rvolution entourant la roue et entre lesquelles le fluide dcrit des spiralesdivergentes, comme indiqu sur la figure 2.21.

    Photo 2.21 Roue centrifuge et diffuseur lisse

    Le diffuseur peut tre muni dun certain nombre daubes (5 10), il est alors nomm diffu-seur ailettes et son efficacit est augmente pour un encombrement rduit comme montrsur la figure 2.22. Dans le cas de pompes multi-cellulaires, le diffuseur est ailettes et orientele fluide vers lentre de la roue suivante. En sortie du diffuseur de la dernire roue, le fluidedbouche dans une conduite enroule sur elle mme et dont la section augmente proportion-nellement au dbit ; cest la volute.

    Anne universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE

  • 2.3 Compresseurs centrifuges et axiaux 63

    Photo 2.22 Roue centrifuge et diffuseur ailettes

    2.3 Compresseurs centrifuges et axiaux

    La conception des turbocompresseurs est analogue celle des machines vhiculant desfluides incompressibles, leur fonctionnement diffre en raison de la compressibilit du fluideet des phnomnes thermiques qui entrent en jeu.

    Le taux de compression dun compresseur centrifuge variera de 2,5 10, alors que le tauxde compression dun compresseur axial varie de 1,15 1,3. Ainsi, pour les faibles taux decompression, la masse volumique du fluide variera peu et les effets thermiques tant faibles,on pourra en premire approximation considrer = Cte, comme pour les pompes et lesventilateurs.

    Pour obtenir des augmentations notables de pression, il y a lieu dassocier plusieurs tages aumoyen de plusieurs roues mobiles montes par exemple sur le mme arbre moteur. On obtientainsi des turboma