cours produits dérivés m1 im université nice sophia-antipolis

Cours Produits dérivés M1 IMUniversité Nice Sophia-Antipolis

François Delarue

CHAPITRE 1

Actifs et exemples de dérivés

Dans ce chapitre, nous discutons de la notion d’actif financier etd’actif dérivé. Il s’agit en particulier d’introduire les exemples typiquesde contrats utilisés sur les marchés financiers et des différentes façonsde les utiliser.

1. Principes

1.1. Ressources économiques. On entend par actif ou par res-source économique tout bien dont la possession est valorisée. Les exemplesfondamentaux d’actifs sont

(1) les matières premières, telles que le pétrole, le gaz naturelle,les céréales...

(2) les actions, c’est-à-dire les parts du capital d’une société, tellesque celles côtées au sein d’indices CAC 40 (40 plus grandescapitalisations de la place de Paris),

(3) les devises ou monnaies, telles que l’euro, le dollar, la livresterling, le yen...

1.2. Dérivés. Les dérivés sont des actifs financiers dont la valeurdépend d’un autre actif, le plus souvent fondamental. Le but de cecours est de discuter quelques exemples de produits dérivés de base.Nous nous focaliserons sur

(1) les contrats ‘forward’ ou ‘futures’,(2) les options.

Les contrats ‘forward’ ou ‘futures’ sont des engagements fermes, dé-cidés à un instant initial donné 0, à acheter ou à ventre à une échéanceT initialement fixée et à un prix d’exercice K initialement fixé un actiffondamental. L’investisseur détient une ‘position longue’ si le contratporte sur l’achat de l’actif et une ‘position courte’ si le contrat portesur la vente de l’actif. La différence entre contrats ‘forward’ et ‘futures’tient essentiellement aux marchés sur lesquels les contrats sont passés :les contrats ‘futures’ font références à des marchés institutionnalisésalors que les contrats ‘forward’ désignent des transactions de gré à gré

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4 1. ACTIFS ET EXEMPLES DE DÉRIVÉS

entre banques. En pratique, les prix ‘forward’ sont l’objet de cotations :prix du pétrole à échéance de 6 mois, prix du dollar en euro à échéancede 3 mois...

A la différence des contrast forward ou futures, les ‘options’ dési-gnent des contrats optionnels. Le détenteur de l’option a le droit, s’ille souhaite, d’acheter ou de vendre l’actif sur lequel porte le contrat auprix d’exercice initialement fixé. Autrement dit, l’engagement à ache-ter ou à vendre n’est qu’optionnel. Une option d’achat est appelée‘call’ et une option de vente ‘put’. En pratique, de nombreux typesd’option existent, les règles d’utilisation pouvant varier d’une optionà l’autre. Deux classes essentielles sont à retenir : les options euro-péennes désignent des options pour lesquelles l’achat ou la vente del’actif ne peuvent avoir lieu qu’à l’échéance (on dit aussi à la matu-rité) du contrat ; les options américaines désignent des options pourlesquelles l’achat ou la vente de l’actif peuvent avoir lieu à n’importequel instant entre la souscription du contrat et son échéance.

2. Notion de courverture

Les contrats forward et les options sont des actifs très utilisés enpratique. Différents acteurs peuvent s’en servir.

2.1. Utilisations d’un contrat. On peut distinguer trois typesprincipaux d’utilisation des contrats décrits dans la section précédente :

(1) Un investisseur peut décider d’utiliser un contrat pour se ‘cou-vrir’, c’est-à-dire se ‘prémunir’, face au risque engendré par lesfluctuations de l’actif sur lequel porte le contrat.

Par exemple, une compagnie aérienne peut vouloir se pré-munir contre la hausse du prix du pétrole. Ou, de façon si-milaire, un constructeur aérien, dont les coûts de productionsont en euros mais dont les ventes sont effectuées en dollars,peut vouloir se prémunir contre le risque d’une baisse du dollarcontre l’euro.

(2) Un investisseur peut utiliser un contrat pour spéculer. Il s’agitpour lui de faire fructifier son capital en anticipant de façonjuste l’évolution de l’économie.

(3) Un investisseur peut chercher à utiliser les produits dérivéspour réaliser un arbitrage. Il s’agit le cas échéant de ‘faire del’argent’ sans risques, en tirant parti d’éventuels défauts dusystème tels que les différences de cotation. Par exemple, siune action coûte 100 livres à Londres et 143 dollars à New-York et que le taux de change entre la livre et le dollar est de

2. NOTION DE COURVERTURE 5

1,435, il est possible de réaliser une opération d’arbitrage enachetant des actions en dollars à New-York, en les revendantà Londres et en convertissant le produit de la vente, soldée enlivres, en dollars.

Sur un plan économique, l’arbitrage est mal perçu. L’ar-bitrage va en effet à l’encontre de la valorisation du risque etse fonde, pour cela, sur les imperfections du marché. Dans laplupart des raisonnements que nous ferons dans la suite, noussupposerons que le marché ne permet pas de telles opérations.

2.2. Flux généré par un contrat. Pour les deux types de contratdiscutés dans la section précédente, il peut être intéressant de discuterdu flux ou du profit engendré à échéance.

Dans le cas d’un contrat forward, le flux généré à échéance tientcompte du prix d’exercice, noté K, et du prix comptant (ou prix ‘spot’)de l’actif à l’échéance, noté ST . Le profit pour l’investisseur est ST −Kdans le cas d’une position longue et K − ST dans le cas d’une positioncourte.

Dans le cas d’une option, le flux généré à échéance tient égalementcompte du prix exercice K et du prix comptant ST à échéance. Dans lecas d’un call, le profit est (ST −K)+, où x+ = max(0, x). Dans le casd’un put, le profit est (K − ST )+. On remarque, qu’à la différence descontrats forward, le profit est nécessairement positif. Ceci va à l’en-contre de la contrainte d’absence d’arbitrage discutée précédemmentet signifie que la souscription d’une option a un prix. Ce prix s’appa-rente à une prime d’assurance versée pour se couvrir face au risque dumarche. Une partie du cours vise justement à définir le juste prix d’uneoption.

2.3. Dénouement et valorisation d’un contrat forward. Uncontrat forward peut être ‘dénoué’ à tout moment antérieur à l’échéance.Il s’agit pour cela de prendre une position opposée à celle détenue. Parexemple, si un investisseur détient une position longue sur un actifdonné à échéant T , il peut prendre une position courte sur le mêmeactif à échéance T à n’importe quel instant t entre 0 et T . En dési-gnant par F0,T et Ft,T les prix forward de maturité T aux instants 0 ett, le flux engendré à maturité est le suivant : ST −F0,T pour la positionlongue et Ft,T−ST pour la position courte, soit Ft,T−F0,T . Remarquonsque, en prenant t = T , FT,T = ST ; le cas échéant, le flux final est celuid’une position longue. De même, le flux engendré par le dénouement àdate t d’une position courte est F0,T − Ft,T .

6 1. ACTIFS ET EXEMPLES DE DÉRIVÉS

En pratique, se pose la question du juste prix F0,T . Le prix forwardest une anticipation du prix de l’actif à l’échéance T . Pour le comparerde façon juste au prix comptant à l’instant 0 de l’actif, il est nécessairede tenir compte de la dépréciation de la monnaie. Le pouvoir d’achatd’un euro à l’instant 0 n’est pas le même que celui, à échéance T , dumême euro, conservé dans un coffre jusqu’à échéance T . La dépréciationest calculée au regard du profit généré par le prêt du même euro à unacteur financier de confiance. Le cas échéant, le flux à échéance T s’écritexp(rT )− 1, où r est la taux d’intérêt sans risque (par exemple le tauxLIBOR de prêt entre banques).

Dans ce contexte, le juste prix F0,T s’écrit comme la valeur du capitalgénéré par un placement sans risque à échéance T de montant initialS0, où S0 est le prix comptant à l’instant 0 de l’actif sur lequel portele contrat. On obtient la formule

F0,T = S0 exp(rT ).

On est maintenant en mesure de définir la valeur f d’un contrat d’achatforward à l’instant t, pour t entre 0 et T . Le flux généré à échéanceest ST − F0,T . A l’instant t, le prix forward est Ft,T , de sorte que ledénouement de la position à l’instant t est appelé à engendrer le fluxFt,T − F0,T à échéance. Cette somme peut être comprise comme celleobtenue en faisant fructifier un capital f entre les instants t et T parun placement sans risque. On a

f =(Ft,T − F0,T

)exp(−r(T − t)).

3. Exercices

Exercice 1. Donner le flux à échéance T de la combinaison d’uncall de prix d’exercice K et de prix C et d’une position courte forwardde prix d’exercice K.

Exercice 2. Dans cet exercice, on désigne le taux d’interêt sansrisque par r. Pour un actif de prix au comptant initial S0 et de prixforward à échéance T F0,T , décrire un arbitrage dans chacune des deuxsituations suivantes : F0,T > S0 exp(rT ) et F0,T < S0 exp(rT ).

Exercice 3. (Prix forward sur un actif avec paiement de divi-dendes.) La détention d’un actif à l’instant 0 rapporte à échéance undividende I.

En désignant par r le taux d’intérêt sans risque, montrer que le justeprix forward à échéance T est

F0,T =(S0 exp(rT )− I

).

3. EXERCICES 7

On pourra faire le raisonnement suivant : si F0,T > (S0 exp(rT ) − I),un investisseur peut emprunter S0 pour acheter l’actif et s’engage à levendre au prix F0,T à l’instant T . Il touche alors F0,T −S0 exp(rT ) + I.

Exercice 4. (Prix forward sur un actif avec coût de stockage.) Ladétention d’un actif à l’instant 0 implique de pouvoir le stocker (telest par exemple le cas de l’or). Sur une période T , le prix à payer àl’instant initial est U .

En désignant par r le taux d’intérêt sans risque, montrer que le justeprix forward à échéance T est

F0,T =(S0 + U

)exp(rT ).

CHAPITRE 2

Modèle probabiliste d’actif risqué à une période

Dans ce chapitre, on modélise l’incertitude sur le marché financierpar l’introduction d’un aléa. Deux types d’actif seront de fait considé-rés : un actif sans risque, apparenté à un dépôt sur compte rémunéréou à un emprunt, et un actif risqué.

1. Modélisation du marché

Le marché que l’on modélise est supposé ne compter qu’une seulepériode : l’achat et la vente des actifs se sont uniquement à l’instantinitial 0. Les flux générés sont étudiés à la maturité T . Entre les deux,aucune transaction n’est possible.

1.1. Actif sans risque. L’actif sans risque est assimilé à un dépôtsur un compte rémunéré (tel que la caisse d’épargne) ou à un emprunt,à un taux d’inérêt r. Pour un capital initial S0

0 (l’exposant 0 décrisantl’absence de risque), la valeur à maturité T est S0

0(1 + r).

1.2. Actif risqué. L’actif risqué peut être une action, une mon-naie ou une matière première. Le prix comptant initial d’une unitéest noté S0. Le prix comptant à l’instant T est noté ST . Pour refléterl’incertitude sur le marche, on écrit

ST = S0ξ,

où ξ est une variable aléatoire positive construite sur un espace deprobabilité (Ω,A,P).

Une situation simple consiste à choisir ξ à valeurs dans un ensembleà deux éléments d, u, avec 0 < d < u. Ici, d vaut pour ‘down’ etmodélise une situation à la baisse alors que u vaut pour ‘up’ et mo-délise une situation à la hausse. Dans ce cas, il est possible de décrirel’évolution du marché avec un arbre à deux branches. Les probabilitésde voir l’une ou l’autre des deux branches s’écrivent alors

P(ξ = u

)= p = 1− P

(ξ = d

).

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10 2. MODÈLE PROBABILISTE D’ACTIF RISQUÉ À UNE PÉRIODE

1.3. Portefeuille. Un portefeuille consiste en une répartition d’uncapital (ou d’une richesse) entre l’actif sans risque et l’actif risqué. Dansle cas du modèle à une période, il peut être modélisé à l’aide d’un couple(Φ0

0,Φ0). Φ00 désigne la part détenu dans le capital sans risque et Φ0 la

part détenu dans le capital risqué. La richesse initial associée s’écrit àl’instant 0 :

W0 = Φ00S

00 + Φ0S0.

On pourra prendre S00 dans un souci de simplification.

Avec le modèle défini précédemment, il est possible de calculer larichesse à l’instant T , lorsque l’investisseur n’a pas consommé entre lespériodes 0 et T . On écrit alors

(1.1) WT = Φ00S

0T + Φ0ST .

Si jamais l’investisseur a consommé entre les instants 0 et T , la richesseest donnée par

WT = Φ00S

0T + Φ0ST − C,

où C est la richesse consommée entre 0 et T .

2. Univers risque-neutre

2.1. Richesse moyenne. Reprenons l’expression de la richessedans (1.1). Il est possible de calculer la richesse moyenne de l’agentdont le portefeuille est (Φ0

0,Φ0). Nous calculons en effet

E(WT ) = Φ00(1 + r)S0

0 + Φ0E(ST ).

Nous remarquons alors le phénomène suivant. Si jamais E(ξ) = 1 + r,alors

E(WT ) = Φ00(1 + r)S0

0 + Φ0(1 + r)S0 = exp(rT )W0.

Proposition 2.1. Supposons que ξ soit une variable aléatoire inté-grable et que E(ξ) = 1 + r, alors, quelle que soit la stratégie initiale,

E(WT ) = (1 + r)W0.

La proposition signifie que, sous la condition E(ξ) = 1 + r, la ri-chesse moyenne est toujours la même que celle obtenue en investissantdans l’actif sans risque uniquement. Cette situation est un peu déses-pérante pour un investisseur, qui préfèrera toujours investir dans l’actifsans risque si le gain espéré est le même (voir exercices). La conditiond’égalité de la moyenne avec le rendement sans risque est de fait peucrédible en pratique. Elle va néanmoins nous mener vers une situationidéale pour la valorisation des produits dérivés.

2. UNIVERS RISQUE-NEUTRE 11

2.2. Probabilité risque-neutre. La situation décrite dans la Pro-position 2.1 est appelée risque-neutre : la prise de risque ne rapporterien, en moyenne.

Si la condition E(ξ) = exp(rT ) est peu crédible en pratique, rienn’empêche en revanche de changer la probabilité avec laquelle sontmesurés les événements pour définir une situation, idéale sur le planmathématique, mais non-réalisté, où la prise de risque est de bénéficemoyen nulle. Supposons en effet que nous puissions trouver une proba-bilité, notée P∗, sous laquelle E∗(ξ) = 1 + r. Alors, la Proposition 2.1reste vraie, mais sous la probabilité P∗.

Definition 2.2. Une probabilité P∗ est appelée candidate au risque-neutre si, sur l’espace de probabilité (Ω,A,P∗), E∗(ξ) = 1 + r.

2.3. Cas Bernoulli. Reprenons le cas où ξ est à valeurs dansd, u. Le cas échéant, il est possible de voir l’ensemble Ω comme d, ului-même et de le munir deA, égal à la collection des parties. La variableξ est alors construite de façon ‘canonique’ comme

ξ : ω ∈ d, u 7→ ω.

Définir la probabilité P, c’est simplement calculer les poids de d et deu. On note p∗ le poids de u et, de fait, 1−p∗ le poids de d. La conditionE∗(ξ) = 1 + r impose alors

p∗u+ (1− p∗)d = 1 + r,

soit encorep∗ =

1 + r − du− d

.

On comprend les choses suivantes : si 1 + r < d, alors p∗ < 0. Il n’estpas possible de construire de probabilité candidate au risque neutre. Si1 + r > u alors p∗ > 1. Il n’est pas non plus possible de construire deprobabilité risque neutre.

2.4. Arbitrage. Au regard de la discussion menée au chapitre 1,il est possible de définir la notion d’arbitrage de façon rigoureuse.

Definition 2.3. On dit qu’une stratégie (Φ00,Φ0) est un arbitrage

si, étant donnée une richesse initiale nulle, la richesse WT vérifie :(1) P(WT ≥ 0) = 1 (impossibilité de perdre de l’argent),(2) P(WT > 0) > 0 (possibilité de faire du bénéfice).

On prendra bien garde de noter que la notion d’arbitrage est icidonnée sous la probabilité P et non sous une probabilité candidate aurisque neutre. Pour différencier, on dit que P est la probabilité histo-rique. Mais, en réalité, on aimerait ramener l’étude sous une probabilité


candidate au risque neutre. Pour cela, il faut que les événements de me-sure nulle sous P soit aussi de mesure nulle sous la probabilité candidateau risque neutre.

Definition 2.4. Une probabilité P∗, candidate au risque-neutre, estdite ‘risque-neutre’ si, pour tout événement A ∈ A, P(A) = 0 ⇔P∗(A) = 0. Les probabilités P et P∗ sont dites équivalentes.

Dans le cas Bernoulli, la condition d’équivalence s’écrit p∗ ∈]0, 1[.Cela signifie que la probabilité P∗ est équivalente à P si et seulement sid < 1 + r < u.

Voici le lien avec les arbitrages :

Proposition 2.5. S’il existe une probabilité risque neutre, il ne peutpas y avoir d’arbitrage. On dit qu’il y a AOA : absence d’opportunitéd’arbitrage.

Preuve. Il suffit de remarquer que, sous les conditions de définitiond’un arbitrage, E∗(WT ) = 0. De fait, P(WT ≥ 0) = 1 implique P∗(WT ≥0) = 1 et donc P∗(WT = 0) = 1 puis P(WT = 0) = 1.

3. Juste prix et réplication d’une option

3.1. Principe du juste prix d’une option. Le but est ici dedonner une formule mathématique pour le juste prix d’une option (eu-ropéenne). La question se pose de savoir ce que l’on entend par justeprix :

Definition 3.1. On dit que C est un prix admissible d’une optiond’achat de maturité T et de prix d’exercice K s’il existe une strateégie(Φ0

0,Φ0) telle que la richesse associée vérifie

W0 = C,

c-à-d la richesse initiale est exactement C, et

WT = (ST −K)+,

c-à-d la richesse générée à échéance coincide exactement avec le fluxde l’option.

Une définition équivalente peut être donnée pour un prix admissibleP d’une option de vente de maturité T et de prix d’exercice K.

Cette définition se comprend intuitivement de la façon suivante : oncherche à définir le prix de l’option comme la juste somme à investirà l’instant 0 pour se couvrir face au risque à l’instant terminal. Enpratique, le prix C (ou P ) est le prix payé par l’acheteur de l’option auvendeur de l’option : le vendeur, qui joue le rôle d’un assureur, s’engage

3. JUSTE PRIX ET RÉPLICATION D’UNE OPTION 13

à débourser (ST−K)+ à échéance, pour honorer le contrat. La questionqui se pose pour lui est donc de générer une telle quantité à échéance.

3.2. Juste prix et arbitrage.

Proposition 3.2. Supposons que C soit un prix admissible d’uneoption d’achat de maturité T et de prix d’exercice à K. Alors, toutautre prix pour l’option d’achat conduit à la possibilité d’un arbitrage.Un résultat équivalent vaut pour un prix admissible P d’une option devente.

Le fait que tout autre prix qu’un prix admissible conduise à unarbitrage montre, qu’étant donné un prix admissible, ce prix est lejuste prix de l’option.

Preuve. Supposons que C soit un prix admissible mais que le prixproposé sur le marche soit C ′. Si C < C ′, alors le vendeur de l’optionvend au prix C ′. Il utilise C pour générer (ST−K)+ à échéance. Il gardede fait C ′−C > 0. Si C > C ′, alors l’acheteur emprunte Φ0

0 à la banqueet Φ0 en actif risqué. Par définition de C, cet emprunt s’élève à C euros.Par ailleurs, la dette à l’instant T s’élève à (ST − K)+. L’achat del’option permet à l’acheteur d’envisager sereinement le remboursementde la dette. En supplément, il garde la différence C − C ′ > 0.

3.3. Juste prix et probabilité risque-neutre.

Proposition 3.3. Supposons qu’il existe une probabilité risque-neutre et que C soit le juste prix d’une option d’achat. Supposons parailleurs qu’il existe une probabilité risque-neutre P∗. Alors, nécessaire-ment,

C = (1 + r)−1E∗[(ST −K

)+

].

De même, si P est le juste prix d’une option de vente et s’il existeune probabilité risque-neutre, alors, nécessairement,

P = (1 + r)−1E∗[(K − ST

)+

].

En particulier, s’il existe une probabilité risque-neutre P∗ et si C etP sont les justes prix du call et du put, alors

C − P = S0 − (1 + r)−1K.

Cette relation porte le nom de relation de parité : calculer le call revientà calculer le put.

Preuve. On désigne par (Φ00,Φ0) la stratégie associée au prix C.

On sait que la richesse associée à l’instant T est WT = (ST −K)+. Parproprtiété de la probabilité risque-neutre, il vient

C = W0 = (1 + r)−1E∗[WT ] = (1 + r)−1E∗[(ST −K

)+

],


ce qui conclut la preuve.La démonstration de la relation de parité est immédiate.

3.4. Réplication. Il faut comprendre que les formules donnéespar la Proposition 3.3 n’ont d’intérêt que s’il existe véritablement unestratégie (Φ0

0,Φ0) permettant de générér le flux (ST −K)+. Une tellestratégie porte le nom de stratégie de réplication. Rien n’assure a prioril’existence d’une telle stratégie :

Definition 3.4. On dit qu’un marché sans opportunité d’arbitrageest complet si, pour tout prix d’exercice K, il existe une stratégie deréplication pour le call et le put.

Cette définition implique que, pour toute maturité T > 0 et tout prixd’exercice K, il existe un juste prix de l’option de vente et un juste prixde l’option d’achat. La Proposition 3.3 suggère qu’un marché completest un marché pour lequel il existe une unique probabilité risque-neutre.S’il en existait deux, il pourrait y avoir contradiction dans la formationdes prix. Un exemple pour lequel nous savons qu’il existe une uniqueprobabilité risque-neutre est le modèle binomial. Le résultat suivant estfondamental :

Proposition 3.5. Considérons le modèle binomial avec d < 1+r <u. Alors, étant donné un prix d’exercice K, il existe une unique stratégiede réplication de l’option d’achat donnée par :

Φ0 =(S0u−K)+ − (S0d−K)+

S0(u− d),

Φ00 =−d(S0u−K)+ + u(S0d−K)+

S00(1 + r)(u− d)

.

Le cas échéant, le juste prix s’écrit

C =1

1 + r

[1 + r − du− d

(S0u−K)+ +u− 1 + r

u− d(S0d−K)+

].

Une formule analogue existe pour P en remplaçant le flux (·−K)+ parle flux (K − ·)+.

Preuve. On sait qu’une condition nécessaire pour que C soit le justeprix est

C = (1 + r)−1E∗[(ST −K)+

].

Ceci conduit de fait à poser

C =1

1 + r

[1 + r − du− d

(S0u−K)+ +u− 1 + r

u− d(S0d−K)+

].

4. EXERCICES 15

Il s’agit maintenant de trouver une stratégie (Φ00,Φ0) telle que

C = Φ00S

00 + Φ0S0,

etΦ0

0S00(1 + r) + Φ0S0u = (S0u−K)+,

Φ00S

00(1 + r) + Φ0S0d = (S0d−K)+.

Le système ci-dessus revient à poser

Φ0 =(S0u−K)+ − (S0d−K)+

S0(u− d)

et

Φ00 =−d(S0u−K)+ + u(S0d−K)+

S00(1 + r)(u− d)

.

3.5. Couverture δ-neutre. Dans le modèle binomial, la part dela richesse investie par l’agent dans l’actif risqué pour couvrir le calls’écrit :

Φ0 =(S0u−K)+ − (S0d−K)+

S0u− S0d.

En notant f la fonction de flux :

f(S) = (S −K)+

on en déduit que

Φ0 =f(S0u)− f(S0d)

S0u− S0d.

Cette quantité s’apparente au taux d’accroissement du flux terminal ouencore à une dérivée discrète par rapport au prix comptant de l’action.Elle porte le nom de δ.

4. Exercices

Exercice 1. On reprend le modèle à une période avec ST = S0ξ.On suppose que V(ξ) > 0. Pour une stratégie (Φ0

0,Φ0), montrer que lavariance de la richesse à l’instant T est nulle si et seulement si Φ0 = 0.En déduire que, si E(ξ) = exp(rT ), alors il est préférable d’investirdans l’actif sans risque uniquement.

Exercice 2. On reprend le modèle à une période avec ST = S0ξ. Onsuppose que ξ peut prendre trois valeurs d, (d+ u)/2, u, avec d < u.Etudier la construction d’une probabilité risque neutre.

Exercice 3. On reprend le modèle Bernoulli avec 0 < p < 1. Mon-trer qu’il y a possibilité d’arbitrage si 1 + r ≤ d ou u ≤ 1 + r.


Exercice 4. On reprend le modèle Bernoulli avec 0 < p < 1. Onsuppose que l’action verse des dividendes. Le capital détenu à l’ins-tant T est de la forme S0(ξ + q), où q exprime le dividende. Etudierl’existence d’une probabilité risque-neutre.

Exercice 5. On reprend le modèle Bernoulli avec 0 < p < 1. Onsuppose qu’il y a un coût de stockage U sur la période. Le capital détenuà l’instant T est de la forme S0(ξ−U). On suppose d < 1 + r+U < u.Donner le juste prix d’un call. Etudier la relation de parité.

Exercice 6. On reprend le modèle Bernoulli avec 0 < p < 1. Onsuppose que l’action verse des dividendes. Le capital détenu à l’instantT est de la forme S0(ξ + q), où q exprime le dividende. On supposed < 1 + r − q < u. Etudier la couverture δ-neutre.

Exercice 7. On reprend le modèle à une période avec ST = S0ξ.On suppose que ξ peut prendre trois valeurs d, (d + u)/2, u, avecd < 1 + r < u. Le marché est-il complet ?

Exercice 8. Dans le cadre du modèle à N périodes, on supposequ’il existe une strateégie (φ0

k, φk)0≤k≤N−1 telle que W0 ≥ 0, P(WNT ≥W0(1 + r)N) = 1 et P(WNT > W0(1 + r)N) > 0. Montrer qu’il y apossibilité d’arbitrage.

CHAPITRE 3

Modèle probabiliste à plusieurs périodes

Nous poursuivons l’étude initiée dans le chapitre précédent, en sup-posant dorénavant que les actifs peuvent être échangés sur plusieurspériodes.

1. Modélisation du marché

Les périodes sont de la forme : [0, T ], [T, 2T ], . . . , [(N − 1)T,NT ],pour un entier N ≥ 1. La modélisation reprend alors les lignes définiesdans le paragraphe précédent.

1.1. Actif sans risque. L’actif sans risque est toujours assimilé àun dépôt sur un compte rémunéré ou à un emprunt, à un taux d’inérêtr. Pour un capital initial S0

0 , la valeur à nT , pour n ∈ 0, . . . , N,s’écrit

S0nT = S0

0(1 + r)n.

1.2. Actif risqué. Le prix comptant de l’actif risqué à l’instantnT est noté SnT . Pour refléter l’incertitude sur le marche, on écritmaintenant, pour n ∈ 1, . . . , N,

SnT = S0 × ξ1 × · · · × ξn,où ξ1, . . . , ξN sont N variables aléatoires indépendantes construites surun espace de probabilité (Ω,A,P). Dans la suite, nous les supposeronsle plus souvent de même loi.

Nous appellerons cas binomial le cas où ξn est à valeurs dans d, u,pour chaque n ∈ 1, . . . , N, avec

P(ξn = u

)= p = 1− P

(ξn = d

),

p étant indépendant de n.

1.3. Observation des prix jusqu’à l’instant n. L’informationdétenue par un agent financier à un instant n ∈ 0, . . . , N est modé-lisée par la tribu Fn = ∅,Ω si n = 0 et Fn = σ(ξ1, . . . , ξn) si n ≥ 1.On remarque que la suite (Fn)n∈0,...,N forme une filtration.

Il est facile de voir que le prix comptant (SnT )n∈0,...,N est adaptéà cette filtration au sens où SnT est Fn-mesurable pour tout n ∈

17

18 3. MODÈLE PROBABILISTE À PLUSIEURS PÉRIODES

0, . . . , N. Par ailleurs, nous utiliserons souvent le fait que (ξn+1, . . . , ξN)est indépendant de Fn, pour n ∈ 0, . . . , N − 1.

1.4. Portefeuille. La notion de portefeuille ou de stratégie doittenir compte de la possibilité, pour l’agent financier, de rééquilibrerson portefeuille à chaque fin de période. A l’instant 0, la répartitiondu portefeuille est décrite par un couple (Φ0

0,Φ0) sur le même principeque pour le modèle à une période. En particulier, le couple (Φ0

0,Φ0) estdéterministe. La richesse associée aux instants 0 et T s’écrit de fait (enl’absence de consommation) :

W0 = Φ00S

00 + Φ0S0,

WT = Φ00S

0T + Φ0ST .

A l’instant T , l’agent peut décider d’une nouvelle répartition du capital,qui se fait sur l’observation des prix jusqu’à l’instant T ou, de façonéquivalente, à l’aide de l’information contenue dans FT . Il choisit doncdeux variables aléatoires (Φ0

T ,ΦT ) telles que

WT = Φ0TS

0T + ΦTST .

Il s’agit là d’une nouvelle répartition de son capital. La condition d’éga-lité :

Φ00S

0T + Φ0ST = Φ0

TS0T + ΦST ,

traduit l’absence de consommation ou encore l’absence d’apport exté-rieur. On dit que la stratégie, à l’instant T , est déterminée de façonauto-financée.

Ce principe est étendu aux instants 2T , 3T , . . . , (N − 1)T .

Definition 1.1. On appelle stratégie auto-financée toute suite devariables aléatoires (Φ0

nT ,ΦnT )n∈0,...,N−1, adaptée à la filtration du mar-ché (Fn)n∈0,...,N−1, et définissant une suite (WnT )n∈0,...,N de richessesassociées :

W0 = Φ00S

00 + Φ0S0,

WnT = Φ0(n−1)TS

0nT + Φ(n−1)TSnT

= Φ0nTS

0nT + ΦnTSnT , n ∈ 1, . . . , N − 1,

WNT = Φ0(N−1)TS

0(N−1)T + Φ(N−1)TS(N−1)T .

Il faut insister sur le fait que l’auto-financement décrit une situationd’équilibre financier permettant d’exprimer la richesse de deux façons.Dans ce contexte, il est remarquable que la richesse aux instants T ,2T , . . . , NT , puisse être exprimée à l’aide de variables aléatoires nedépendant que des observations jusqu’aux instants 0, T , . . . , (N−1)T .On dit que le processus (Φ(n−1)T )n∈1,...,N est prévisible par rapport à

2. PROPRIÉTÉ MARTINGALE EN UNIVERS RISQUE-NEUTRE 19

la filtration (Fn)n∈1,...,N : cela signifie que, pour tout n ∈ 1, . . . , N,Φ(n−1)T est mesurable par rapport à Fn−1.

2. Propriété martingale en univers risque-neutre

Afin de conduire l’analyse du modèle, nous allons chercher à nousramener à l’étude du modèle à une période. L’idée est de fait de tra-vailler de période en période. Etant donnée une période typique, dela forme [(n − 1)T, nT ], pour un entier n ∈ 1, . . . , N, le couple(Φ0

(n−1)T ,Φ(n−1)T ) joue le rôle de (Φ00,Φ0) dans le modèle à une période.

A l’instant (n− 1)T , l’information disponible est F(n−1)T , de sorte quel’espérance conditionnelle sachant F(n−1)T joue, à l’instant (n− 1)T , lemême rôle que l’espérance à l’instant 0 dans le cadre du modèle à unepériode.

2.1. Richesse conditionnelle. Pour un entier n ∈ 1, . . . , N,nous cherchons à calculer E[WnT |Fn−1]. Ceci suppose que E[|WnT |] <+∞. Pour cela, nous imposons :

(2.2) ∀n ∈ 1, . . . , N, E[|φnT |2

], E[|ξn|2

]< +∞.

Il est assez facile de vérifier que (2.2) implique effectivement E[|WnT |] <+∞, pour tout n ∈ 1, . . . , N. Si jamais Ω est de cardinal fini, cettehypothèse est naturellement vérifiée.

Nous pouvons maintenant calculer :E[WnT |Fn−1

]= E

[Φ0

(n−1)TS0nT + Φ(n−1)TSnT |Fn−1

]= Φ0

(n−1)TS0nT + Φ(n−1)TS(n−1)TE

[ξn|Fn−1

].

Par indépendance de ξn et de Fn−1, l’espérance conditionnelle E[ξn|Fn−1]est égale à E[ξn].

Proposition 2.1. Sous (2.2), supposons que E[ξn] = 1 + r, pourun n donné entre 1 et N , alors,

E[WnT |Fn−1

]= (1 + r)W(n−1)T .

Ce résultat est très important. Il peut être réénoncé à l’aide de lathéorie des martingales :

Proposition 2.2. Supposons que (2.2) soit vérifiée pour une stratŐ-gie auto-financée (Φ0

nT ,ΦnT )n∈0,...,N−1. Supposons par ailleurs que

∀n ∈ 1, . . . , N, E[ξn] = 1 + r.

Alors, la suite ((1 + r)−nWnT

)n∈0,...,N

est une martingale relativement à la filtration (Fn)n∈0,...,N.


2.2. Probabilité(s) risque-neutre. Exactement comme dans lechapitre précédent, il n’est pas réaliste d’espérer modéliser la dyna-mique du marché à l’aide d’une probabilité historique P vérifiant

∀n ∈ 1, . . . , N, E[ξn] = 1 + r.

En revanche, il est raisonnable d’espérer trouver d’autres mesures deprobabilités, équivalentes à la probabilité historique, sous laquelle cettepropriété est vérifiée :

Definition 2.3. Une probabilité P∗ sur (Ω,A) est dite risque-neutresi :

(1) Elle est équivalente à P,(2) Sous P∗, les variables ξ1, . . . , ξN sont indépendantes,

(3) Pour tout n ∈ 1, . . . , N, E∗[ξn] = 1 + r, où E∗ désigne l’es-pérance sous P∗.

Il est possible de relier l’existence d’une probabilité risque-neutreà l’absence d’opportunité d’arbitrage sur le modèle du chapitre précé-dent. Ceci suppose néanmoins d’adapter la définition d’un arbitrage :

Definition 2.4. On dit qu’une stratégie (Φ0n,Φn)n∈1,...,N est un

arbitrage si, étant donnée une richesse initiale nulle,

(1) P(WNT ≥ 0) = 1,

(2) P(WNT > 0) > 0.

Avec cette définition, il est facile de prouver que

Proposition 2.5. S’il existe une probabilité risque-neutre P∗ souslaquelle la condition (2.2) est réalisée, alors il y a absence d’opportunitéd’arbitrage.

Preuve. La preuve est une simple adaptation de celle du chapitreprécédent.

2.3. Cas binomial. Dans le cas binomial, il est possible de dé-montrer qu’il existe une et une seule probabilité risque-neutre si etseulement si d < 1 + r < u.

Comme dans le chapitre précédent, l’idée est de choisir pour Ω l’en-semble le plus simple possible. Afin de décrire les valeurs des N évolu-tions successives du cours de l’actif risqué, le choix ‘canonique’ est :

Ω = d, uN ,

que l’on munit de la tribu des parties.

3. OPTIONS EUROPÉENNES 21

Les variables ξ1, . . . , ξN sont données par les applications coordon-nées :

ξn : (ω1, . . . , ωN) ∈ d, uN 7→ ωn.

Etant une probabilité P∗ sur Ω, chaque ξn suit une loi de Bernoulli surd, u de paramètres :

p∗n = P∗ξn = u, 1− p∗n = P∗ξn = d.Demander à ce que E∗(ξn) = 1 + r, c’est demander (comme dans lechapitre précédent) :

p∗n =1 + r − du− d

,

de sorte que tous les p∗n sont égaux, leur valeur commune étant notéep∗ = (1 + r − d)/(u− d). Ceci n’est possible que si d ≤ 1 + r ≤ u.

Pour construire une probabilité risque-neutre, il reste à traduire lasignification de la condition (2) dans la définition d’une probabilitérisque-neutre. Dire que les variables ξ1, . . . , ξn, de loi de Bernoulli deparamètre p∗ sur d, u (comme ci-dessus), sont indépendantes sous P∗,c’est dire que :

P∗ξ1 = ω1, . . . , ξN = ωN

= (p∗)](n:ωn=u)(1− p∗)](n:ωn=d).

On en déduit qu’il existe une unique probabilité P∗ sous laquelle lesvariables ξ1, . . . , ξN sont indépendantes et de loi de Bernoulli de para-mètre p∗. Elle est donnée par :

P∗(ω1, . . . , ωN

)= (p∗)](n:ωn=u)(1− p∗)](n:ωn=d).

L’équivalence avec P est assurée si et seulement si l’ensemble vide estle seul événement de mesure nulle sous P∗, ce qui revient à imposer lacondition d < 1 + r < u.

3. Options européennes

Nous discutons maintenant de l’évaluation des options européennesdans le cadre du modèle à N périodes.

3.1. Juste prix d’une option européenne. Sur le modèle duchapitre précédent, nous posons :

Definition 3.1. On dit que C est le juste prix d’une option d’achatde maturité NT et de prix d’exercice K s’il existe une stratégie auto-financée (Φ0

n,Φn)n∈0,...,N−1 telle que la richesse associée vérifie

W0 = C, WNT = (SNT −K)+.

Une définition équivalente peut être donnée pour le juste prix Pd’une option de vente de maturité NT et de prix d’exercice K.


Il est possible de vérifier, toujours sur le modèle du chapitre précé-dent, que toute autre prix que le juste prix conduit à un arbitrage.

De façon analogue à la Proposition 3.3 du chapitre précédent, le justeprix, quand il existe, peut être exprimé sous la forme d’une espérance,calculée sous une probabilité risque-neutre :

Proposition 3.2. Supposons qu’il existe une probabilité risque-neutre et que C soit le juste prix d’une option d’achat de maturitéNT . Supposons par ailleurs qu’il existe une probabilité risque-neutreP∗ sous laquelle la condition (2.2) est réalisée. Alors, nécessairement,

C = (1 + r)−NE∗[(SNT −K

)+

].

De même, si P est le juste prix d’une option de vente et s’il existeune probabilité risque-neutre, alors, nécessairement,

P = (1 + r)−NE∗[(K − SNT

)+

].

En particulier, s’il existe une probabilité risque-neutre P∗ sous la-quelle la condition (2.2) est réalisée et si C et P sont les justes prix ducall et du put, alors C et P sont liés par la relation de parité :

C − P = S0 − (1 + r)−NK.

3.2. Exemple de réplication en marché complet. De façonanalogue à la situation rencontrée dans le cadre du modèle à une pé-riode, les formules théoriques pour C et P données dans le paragrapheprécédent n’ont, en réalité, d’intérêt que s’il existe une stratégie per-mettant de ‘générer’, ou encore de ‘répliquer’ pour reprendre la termi-nologie introduite dans le chapitre précédent, le flux à échéance. Celasuggère d’étendre la notion de marché complet au cas de modèles àplusieurs périodes :

Definition 3.3. On dit qu’un marché sans opportunité d’arbitrageest complet si, pour tout prix d’exercice K, il existe une stratégie deréplication pour le call et le put de maturité NT .

A nouveau, la Proposition 3.2 suggère qu’un marché complet estun marché pour lequel il existe une unique probabilité risque-neutrepuisque l’existence de deux probabilités risque-neutre pourrait conduireà une contradiction dans la formation des prix. Nous nous ne démon-trerons par ce résultat. En revanche, nous soulignons la nécessité deprendre quelques précautions. En effet, la Proposition 3.2 suppose que,sous la probabilité risque-neutre utilisée pour évaluer les options, lacondition d’intégrabilité des stratégies soit vérifiée. Dans la définitionci-dessus de la complétude du marché, rien n’indique a priori que lastratégie de réplication vérifie effectivement les conditions nécessaires

3. OPTIONS EUROPÉENNES 23

d’intégrabilité. Une façon de contourner cette difficulté, purement théo-rique, consiste à supposer que l’univers Ω est fini. Le cas échéant, lesstratégies de réplication, si elles existent, vérifient nécessairement lesconditions d’intégrabilité, de sorte, qu’en marché complet, l’existenced’une probabilité risque-neutre permet, automatiquement, d’évaluer lesoptions 1.

La contrainte Ω fini suggère de discuter la réplication dans le cadredu modèle binomial.

Theorem 3.4. Le modèle binomial à N périodes est complet.

L’existence et l’unicité de la probabilité risque-neutre ont déjà étédiscutées dans la section précédente. Le calcul du prix du call (en suppo-sant, pour le moment, l’existence de stratégies de réplication) consisteen le calcul de

C = (1 + r)−NE∗[(SNT −K

)+

].

Le calcul de l’espérance peut être mené sur le modèle du calcul d’uneespérance impliquant une loi binomiale. En assimilant les hausses à dessuccès et les baisses à des échecs, il est facile de voir, que pour toutentier n ∈ 0, . . . , N, la probabilité d’observer n hausses et N − nbaisses est Cn

N(p∗)n(1− p∗)N−n. De fait,

C = (1 + r)−NN∑n=0

CnN(p∗)n(1− p∗)N−n

(S0u

ndN−n −K)+.

Une formule analogue vaut naturellement pour le put. Plus générale-ment, par propriété martingale, la richesse le long d’une stratégie deréplication doit être donnée par :

W(N−k)T = (1 + r)−kE∗[(S(N−k)T ξk+1 · · · ξN −K

)+|FN−1

]= ϕk(SNT ),

avec

ϕn(x) = (1 + r)−nn∑k=0

Ckn(p∗)k(1− p∗)n−k

(xukdn−k −K

)+.

Nous nous focalisons maintenant sur l’existence d’une stratégie deréplication. L’idée fondamentale est la suivante : la stratégie est constru--ite de façon rétrograde en partant de l’échéance NT . Considérons eneffet la dernière période. A l’instant (N − 1)T , le cours de l’actif risquéest S(N−1)T . Tout se passe alors pour l’investisseur comme s’il était sur

1. En réalité, l’absence d’opportunité d’arbitrage implique l’existence d’une pro-babilité risque-neutre de sorte que, dans la définition de la complétude, il serait pos-sible de faire référence, d’une façon ou d’une autre, aux probabilités risque-neutre.


un modèle à une période. Cela suggère de choisir, comme part à investirdans l’actif risqué, la quantité :

Φ(N−1)T =(S(N−1)Tu−K)+ − (S(N−1)Td−K)+

S(N−1)T (u− d).

Le cas échéant, la valeur de la richesse à l’instant (N − 1)T doit êtreégale à

W(N−1)T = ϕ1(S(N−1)T ).

On comprend de fait que, sur la période [(N − 2)T, (N − 1)T ], il estpossible de recommencer le même raisonnement, mais avec comme nou-velle fonction de flux terminal la fonction ϕ1. De fait, sur le modèleprécédent, on pose

Φ(N−2)T =ϕ1(S(N−2)Tu)− ϕ1(S(N−2)Td)

S(N−2)T (u− d).

Par récurrence, on comprend que la bonne stratégie de réplication de-vrait être

Φ(N−k)T =ϕk−1(S(N−k)Tu)− ϕk−1(S(N−k)Td)

S(N−k)T (u− d),

soit encore

(3.3) ΦkT =ϕN−(k+1)(SkTu)− ϕN−(k+1)(SkTd)

SkT (u− d).

Il s’agit maintenant de vérifier si cette stratégie est la bonne. Pourcela nous remarquons que

ϕn+1(x) = (1 + r)−1E∗[ϕn(xξi)

], 1 ≤ i ≤ N.

Nous partons du capital initial W0 = ϕN(S0) que l’on répartit sousla forme

W0 = S00Φ0

0 + S0Φ0,

le choix de Φ0 étant donné par (3.3) et

Φ00 =

W0 − S0Φ0

S00

On obtient

WT = S00Φ0

0(1 + r) + S0Φ0ξ1

= (1 + r)(W0 − S0Φ0

)+ S0Φ0ξ1.

4. EXERCICES 25

Il y a deux cas possibles. Si ξ1 = u, il vient

WT = (1 + r)(ϕN(S0)−

ϕN−1(S0u)− ϕN−1(S0d)

(u− d)

)+ u

ϕN−1(S0u)− ϕN−1(S0d)

(u− d).

=(p∗ϕN−1(S0u) + (1− p∗)ϕN−1(S0d)

)+ (1− p∗)

(ϕN−1(S0u)− ϕN−1(S0d)

)= ϕN−1(S0u).

De même, on peut démontrer que, si ξ1 = d, alors

WT = ϕN−1(S0d).

De sorte que, dans tous les cas,

WT = ϕN−1(ST ).

En réitérant l’argument, on finit par montrer, de proche en proche, que

WNT = ϕ0(SNT ) = (SNT −K)+.

4. Exercices

Exercice 1. On suppose qu’il existe une stratégie (Φ0n,Φn)n∈0,...,N−1

et un temps d’arrêt τ (relativement à la filtration (Fn)n∈0,...,N telleque la richesse associée vérifie

(1) W0 = 0,(2) P(Wτ ≥ 0) = 1,(3) P(Wτ > 0) > 0.

Montrer que la stratégie auto-financée, définie sur l’actif risqué par :Ψn = Φn, n ≤ τ − 1

Ψn = 0, n ≥ τ,

est un arbitrage.Exercice 2. Vérifier, dans le cadre du modèle binomial à plusieurs

périodes, que tout autre prix que le juste prix d’une option (d’achat oude vente) conduit à la possibilité d’un arbitrage.

Exercice 3. On reprend le modèle binomial à N périodes avec 0 <p < 1. On suppose qu’il y a un versement d’un dividende, égal à Snqsur la nème période. On suppose d < 1 + r − q < u. Donner le justeprix d’un call. Etudier la relation de parité.

Exercice 4. On considère un modèle binomial à 2 périodes avec0 < p < 1. On suppose qu’il y a un paiement d’un coût de stockage,égal à U sur la première période et U(1 + r) sur la deuxième, pour


la détention d’une part de l’actif risqué. Discuter la construction d’ununivers risque-neutre.

Exercice 5. On considère une fonction G, deux fois dérivable, àdérivées continues, telle que G(0) = 0 et G′(0) = 0. Montrer l’égalité

G(x) =

∫ +∞

0

(x− k)+G′′(k)dk, x ≥ 0.

Que peut-on dire de l’évaluation d’une option dont le flux terminal àéchéance est G(SNT ) ? Que dire si G(0) et G′(0) ne sont pas nuls ?

CHAPITRE 4

Modèle de Black-Scholes

Dans ce chapitre, nous envisageons le passage N tend vers l’infinidans le modèle à N périodes, en prenant pour principe que chaquepériode est de longueur de plus en plus petite quandN tend vers l’infini.

1. Théorème limite central

1.1. Prix binomial. Rappelons que le prix binomial, dans le mo-dèle à N périodes étudié dans le chapitre précédent, peut être écritsous la forme

C = (1 + r)−NE∗[(S0

N∏i=1

ξi −K)

+

],

pour une option d’achat, et

P = (1 + r)−NE∗[(K − S0

N∏i=1

ξi

)+

],

pour une option de vente.Dans les deux espérances, le produit peut être réécrit sous la forme

d’une somme par passage au logarithme. Précisément, nous avons :N∏i=1

ξi = exp

( N∑i=1

ln(ξi)

).

En posant Ui = ln(ξi), nous avons U1, . . . , UN variables aléatoires indé-pendantes de même loi :

P∗(Ui = ln(u)

)= p∗, P∗

(Ui = ln(d)

)= 1− p∗.

On remarque que chaque Ui peut être écrit :

Ui = ln(d) +(ln(u)− ln(d)

)Vi,

où les variables aléatoires V1, . . . , VN sont indépendantes et de loi deBernoulli de paramètre p∗. Cela signifie que

N∏i=1

ξi = exp

(N ln(d) + ln(u/d)

N∑i=1

Vi

).

27

28 4. MODÈLE DE BLACK-SCHOLES

De fait, les prix P et C peuvent être mis sous la forme :

C = (1 + r)−NE∗[(S0 exp

(N ln(d) + ln(u/d)BN

)−K

)+

],

P = (1 + r)−NE∗[(S0 exp

(N ln(d) + ln(u/d)BN

)−K

)+

],

où BN désigne une loi binomiale de paramètres N et p∗ sous la proba-bilité P∗.

1.2. Discrétisation d’un prix continu. En examinant les formesde C et de P , nous constatons que le prix comptant de l’actif risqué aubout de N périodes s’écrit sous la forme

SN = S0 exp(N ln(d) + ln(u/d)BN

).

Il s’agit maintenant d’intepréter les valeurs de d, u et N lorsque lesoptions sont exercées à maturité T , pour une échéance T d’ordre degrandeur raisonnable, par exemple 3, 6 ou 12 mois. Dans ce cas, il estpossible de comprendre les N périodes comme les N périodes issues dudécoupage de l’intervalle [0, T ] en N intervalles de la forme [ti, ti+1],avec ti = i/N i ∈ 0, . . . , N, le prix SN décrivant alors le prix comp-tant d’un actif risqué à l’instant T . Dans ce contexte, le paramètre Nfait office de paramètre auxiliaire, appelé paramètre de discrétisation,la discrétisation permettant d’expliquer le prix comptant à l’instant Tà l’aide d’une dynamique définie à des instants discrets. Le cas échéant,les paramètres d et u intervenant dans la discrétisation dépendent éga-lement de N : nous les noterons dN et uN . En appelant µ la moyennedu prix comptant à l’échéance T et σ son écart type, nous avons (paridentification de la moyenne et de l’écart type) :

µ = p∗NN ln(uN) + (1− p∗N)N ln(dN),

σ2 = Np∗N(1− p∗N) ln2(uN/dN),(1.4)

avec

(1.5) p∗N =1 + rN − dNuN − dN

.

Ici, nous devons rappeler que 1 + rN correspond à l’actualisation surune période de la valeur de l’argent. En désignant par λ le taux d’ac-tualisation instantané, nous avons

(1.6) exp(λT

N

)= 1 + rN .

1. THÉORÈME LIMITE CENTRAL 29

Nous sommes maintenant confrontés à un problème d’ajustement. Quelsordres de grandeur devons nous choisir pour les quantités dN , uN et rNpour expliquer les valeurs µ et σ du prix comptant à l’instant T .

L’équation (1.6) suggère que, pour N grand,

rN ∼λT

N.

Si l’on suppose une forme de symétrie entre les hausses et les baisses,il est raisonnable de poser

(1.7) uN = (1 + rN)ζN , dN = (1 + rN)ζ−1N ,

où ζN > 1. Les variations sur une petite période de longueur T/N duprix comptant de l’actif ne pouvant être trop brutales, il est légitimede demander ζN → 1 lorsque N → +∞. On écrit donc ζ sous la forme

ζN = 1 + ςN ,

où ςN tend vers 0 quand N tend vers l’infini.Ceci suggère que

uNdN

= ζ2N ∼ 1 + 2ςN ,

p∗N =1− ζ−1NζN − ζ−1N

=ζN − 1

ζ2N − 1∼ ς

2ςN=

1

2,

1− p∗N =ζN − 1

ζN − ζ−1N=ζ2N − ζNζ2N − 1

∼ ςN2ςN

=1

2.

En revenant à l’équation (1.4), nous comprenons que

σ2 ∼ N

4(2ςN)2 = Nς2N .

Nous en déduisons que, lorsque N tend vers l’infini, la valeur de ςN doitêtre de l’ordre de σ/

√N , c’est-à-dire :

ςN ∼σ√N.

1.3. Prix comptant limite. L’analyse conduite dans la sectionprécédente suggère d’expliquer le prix comptant d’un actif risqué à uninstant T comme le résultat d’un modèle N périodes, avec N grand,pour lequel

ςN =σ√N, rN =

λT

N.


De façon plus précise que dans le paragraphe précédent, nous consta-tons que

p∗N =σ/√N

2σ/√N + σ2/N

=1

2 + σ/√N∼ 1

2− σ

4√N

+ o( 1√

N

),

De même,

1− p∗N ∼1

2+

σ

4√N

+ o( 1√

N

).

Maintenant, par (1.7),

ln(uN) ∼ σ√N

+σ2

2N+λT

N+ o( 1

N

),

ln(dN) ∼ − σ√N− σ2

2N+λT

N+ o( 1

N

),

De fait,

Np∗N ln(uN) +N(1− p∗N) ln(dN)

∼ σ√N

2

(1− σ

2√N

)(1 +

σ

2√N

+λT√Nσ

)− σ√N

2

(1 +

σ

2√N

)(1 +

σ

2√N− λT√

Nσ

)+ o(1)

=σ√N

2

(1− σ2

4N− 1− σ2

4N− σ√

N

)+ λT + o(1)

= λT − σ2

2+ o(1).

En revenant aux notations de la Sous-section 1.1, cela montre que :

limN→+∞

E[ N∑i=1

U(N)i

]= λT − σ2

2,

en faisant attention à l’indice (N), qui indique la dépendance des va-riables par rapport au paramètre N .

Par ailleurs, la Sous-section précédente montre que

limN→+∞

V[ N∑i=1

U(N)i

]= σ2.

Nous sommes maintenant en mesure d’appliquer une version raffinéedu théorème limite central (due à Lindeberg) :

2. PRIX BLACK ET SCHOLES 31

Theorem 1.1. Si, pour tout N ≥ 1, U (1), . . . , U (N) sont des va-riables aléatoires indépendantes de même loi telles que

limN→+∞

NmN = m, mN := E[U

(N)1

],

limN→+∞

Nσ2N = σ2, σN := V

[U

(N)1

],

et,

∀i ∈ 1, . . . , N, |U (N)i | ≤

C√N,

pour une constante C indépendante de N , alors,N∑i=1

U(N)i ⇒ N (m,σ2),

où ⇒ désigne la convergence en loi.

Ici, nous remarquons que√N |U (N)

i |

≤√N∣∣ln(1 +

λT

N

)∣∣+√N∣∣ln(1− σ√

N

)∣∣+ 2√N∣∣ln(1 +

σ√N

)∣∣.Le membre de droite convergeant vers 3σ, nous en déduisons que lasuite est bornée.

Par composition dans la limite en loi, nous affirmons :

Theorem 1.2. En considérant que le prix comptant d’un actif risquéà date T est obtenue comme la limite, sur N , du prix comptant dansun modèle binomial à N périodes, le prix comptant, en régime risqueneutre, s’écrit

ST = S0 exp(λT − σ2

2+ σZ

),

où Z suit une loi N (0, 1).On dit que ST suit, en régime risque neutre, une loi log-normale.

En général, on écrit σ2 sous la forme σ2T , le paramètre σ étantappelé volatlité du marché. Cela permet d’exprimer le paramètre devariance de la loi normale de façon linéaire à T . Ce modèle pour le prixcomptant de l’actif s’appelle modèle de Black et Scholes.

2. Prix Black et Scholes

2.1. Passage à la limite dans les prix. Si nous revenons auxéquations pour P et C dans le modèle binomial à N périodes, il esttentant de passer à la limite sur N et de remplacer l’espérance sur laloi binomiale en une espérance sous la loi gaussienne.


Naturellement, il faut justifier du passage à la limite. Rappelons que,pour une suite de variables aléatoires (Xn)n≥1 convergeant en loi versune variable aléatoire X, la convergence de E[f(Xn)] vers E[f(X)] estvraie, dès lors que f est continue et bornée.

Ici, nous avons deux candidats pour la fonction f :c(x) =

(S0 exp(x)−K

)+,

p(x) =(K − S0 exp(x)

)+.

Nous remarquons que la fonction c est continue, mais non bornée. Enrevanche, la fonction p est bornée par K. De fait, nous pouvons affir-mer :

Theorem 2.1. Le prix Black-Scholes du put européen de maturitéT , de taux d’intérêt λ et de volatilité σ, s’écrit :

P = exp(−λT

)E∗[(K − S0 exp

([λ− σ2

2

]T + σ

√TZ))

+

],

où Z suit une loi N (0, 1) sous P∗.

Pour passer à la limite dans le call, nous allons utiliser la relation deparité. Nous savons en effet que, quel que soit le nombre N de périodes,

CN − PN = S0 −K

(1 + r)N.

De fait, il est limite de poser, à la limite :C = P + S0 − exp(−λT )K.

Nous comparons cette expression avec

exp(−λT

)E∗[(

exp

([λ− σ2

2

]T + σZ

)−K

)+

].

Le terme ci-dessus peut être réécrit sous la forme :

exp(−λT

)E∗[(S0 exp

([λ− σ2

2

]T + σZ

)−K

)+

]= exp

(−λT

)E∗[S0 exp

([λ− σ2

2

]T + σZ

)−K

]+ P.

Maintenant, en utilisant la transformée de Laplace de la loi gaussienne,nous retrouvons exactement la valeur de C. De fait,

Theorem 2.2. Le prix Black-Scholes du call européen de maturitéT , de taux d’intérêt λ et de volatilité σ, s’écrit :

C = exp(−λT

)E∗[(S0 exp

([λ− σ2

2

]T + σ

√TZ)−K

)+

],

2. PRIX BLACK ET SCHOLES 33

où Z suit une loi N (0, 1) sous P∗.

2.2. Formules de Black et Scholes. La popularité du modèlede Black et Scholes tient à la possibilité de donner des formules quasi -explicites pour les prix C et P .

Commençons par C. Nous remarquons que la condition

S0 exp((λ− σ2

2

)T + σ

√TZ)≥ K,

s’écrit

Z ≥ln(K/S0

)−(λ− σ2/2

)T

σ√T

.

Nous posons

d2(S0) = −ln(K/S0

)−(λ− σ2/2

)T

σ√T

=ln(S0/K

)+(λ− σ2/2

)T

σ√T

.

Nous pouvons écrire

C = E[(S0 exp

(−σ

2T

2+ σ√TZ)−K exp(−λT )

)1Z≥d2(S0)

]=

∫ +∞

−d2(S0)

(S0 exp

(−σ

2T

2+ σ√Ty)−K exp(−λT )

)g(y)dy,

où g désigne la densité gaussienne centrée réduite. Par changement devariables, nous obtenons

C =

∫ d2(S0)

−∞

(S0 exp

(−σ

2T

2− σ√Ty)−K exp(−λT )

)g(y)dy

= S0 exp(−σ

2T

2

) ∫ d2(S0)

−∞exp(−σ√Ty)g(y)dy

−K exp(−λT )N(d2(S0)

),

oùN désigne la fonction de répartition de la gaussienne centrée réduite.E, posant z = y + σ

√T , il reste à voir que∫ d2(S0)

−∞exp(−σ√Ty)g(y)dy

= exp(σ2T

2

) ∫ d1(S0)

−∞g(z)dz = exp

(σ2T

2

)N(d1(S0)

),

où d1(S0) = d2(S0) + σ√T . De sorte que

C = S0N(d1(S0)

)−K exp(−λT )N

(d2(S0)

).


Le même calcul, mais pour P , montrerait que

P = K exp(−λT )N(−d2(S0)

)− S0N

(−d1(S0)

).

2.3. Couverture δ-neutre. Rappelons que la couverture δ-neutre,telle que nous l’avons définie dans le cadre du modèle binomial, est don-née sous la forme d’un taux d’accroissement. De façon générale, nousavons montré que la couverture δ-neutre à appliquer sur une périodes’écrit comme le taux d’accroissement du flux à la fin de la période.

Afin de généraliser ce principe au cadre continu, il est nécessaire decomprendre, dans un premier temps, quel est l’équivalent du flux. Leparagraphe précédent suggère d’écrire, sur une période localisée autourd’un instant t (avec t comme instant initial), le flux à échéance de lapériode comme

C(T − t, St) = StN(d1(T − t, St)

)−K exp(−λ(T − t))N

(d2(T − t, St)

),

avec

C(t, x) = xN(d1(t, x)

)−K exp(−λt)N

(d2(t, x)

),

d2(t, x) =ln(x/K

)+(λ− σ2/2

)t

σ√t

d1(t, x) = d2(t, x) + σ√t.

En fait, C(T − t, x) se lit comme le prix du call de cours initial x àl’instant t et de prix d’exercice K à maturité T . Le flux au bout d’unpériode de longueur h démarrant en t devrait se lire C(T − (t+ h), ·).Mais, en régime continu, les périodes sont de longueur infinitésimales,de sorte h est considéré comme nul. Ceci explique la formule proposéepour le flux à utiliser dans le calcul de la couverture δ-neutre. Aupassage, nous insistons sur le retournement en temps dans l’indexationdu call : dans la quantité C(t, x), la variable t désigne la durée séparantde la maturité.

Comme nous sommes en régime continu, les taux d’accroissementssont également calculés sur des accroissements de longueur infinitési-males et sont donc à interpréter comme des dérivées. Nous calculonsde fait

δ(t, x) = ∂xC(t, x).

La couverture en δ-neutre de l’option d’achat de prix d’exercice K estalors donnée, à l’instant t, par δ(T − t, St), le terme T − t représentantla distance à la maturité et le δ s’interprétant, au bout du compte,comme la quantité de parts d’actif risqué détenues à l’instant t.

3. FORMULATION EDP 35

Nous procédons maintenant au calcul de δ(t, x). Nous commençonspar remarquer que

∂xd2(t, x) = ∂xd1(t, x) =1

Kx, x > 0.

De fait, en désignant par g la densité gaussienne centrée réduite, il vient

∂xCt(t, x) = N(d1(t, x)

)+

1

Kg(d1(t, x)

)− 1

xexp(−λt

)g(d2(t, x)

).

Maintenant, nous pouvons calculer g(d1(t, x))/K à l’aide de l’expres-sion reliant d1(t, x) à d2(t, x). Nous avons

g(d1(t, x)

)=

1√2π

exp[−1

2

(d2(t, x) + σ

√t)2].

En développant le carré et en utilisant l’expression de d2, nous obtenons

g(d1(t, x)

)= g(d2(t, x)

)exp[−1

2

σ2

t

]− σ√td2(t, x)

]= g(d2(t, x)

)exp[− ln(x/K)− λt

]=K

xg(d2(t, x)

)exp[−λt

],

(2.8)

ce qui suffit pour démontrer que

∂xC(t, x) = N(d1(t, x)

).

De la même façon, en définissant

P (t, x) = K exp(−λt

)N(−d2(t, x)

)− xN

(−d1(t, x)

),

on pourrait démontrer que

∂xP (t, x) = −N(−d1(t, x)

),

avec une application similaire.

3. Formulation EDP

3.1. Convolution par la gaussienne. Dans la section précé-dente, nous avons défini le prix Black Scholes du call européen de prixd’exercice K à échéance t et de prix comptant initial x comme

C(t, x) = exp(−λt)∫R

[x exp

((λ− σ2

2)t+ σ

√ty)−K

]+g(y)dy,

où g désigne la densité gaussienne centrée réduite.


En utilisant le logarithme, il est possible de réécrire cette quantitécomme :

C(t, x) = exp(−λt)∫R

[exp((λ− σ2

2)t+ σ

√ty + ln(x)

)−K

]+g(y)dy.

On peut maintenant faire un changement de variable dans cette ex-pression en posant :

z = ln(x) + (λ− σ2

2)t+ σ

√ty ⇔ y =

z − ln(x)− (λ− σ2/2)t

σ√t

.

On obtient comme nouvelle expression de C(t, x) :

C(t, x) =exp(−λt)σ√t

∫R

[exp(z)−K

]+g(z − ln(x)− (λ− σ2/2)t

σ√t

)dz.

Le changement de variable permet de ‘sortir’ les termes ‘ln(x)’ et (λ−σ2/2)t du flux terminal et de les rentrer dans la fonction g. Le bénéficeest le suivant : la fonction g est infiniment différentiable alors que leflux (· − K)+ ne l’est pas. Pas ce changement de variable, on espèreici différentier C par rapport à x et t autant de fois que l’on veut, dèslors que t est strictement positif. En fait, cet argument a été utiliséimplicitement dans le calcul du δ.

Definition 3.1. Etant donnée une fonction continue φ : R → Ron appelle convolution de la fonction φ par la densité gaussienne devariance σ2 la fonction notée φ ? gσ définie par(

φ ? gσ)(x) =

∫Rφ(y)gσ(x− y)dy,

où la fonction gσ : y 7→ σ−1g(y/σ) désigne la densité gaussienne devariance σ2.

La convolution est bien définie si la fonction φ est à croissanceau plus polynomiale, c’est-à-dire s’il existe un entier p ≥ 0 et uneconstante C ≥ 0 tels que |φ(x)| ≤ C(1 + |x|p).

Nous admettons la propriété suivante :

Proposition 3.2. Sous les hypothèses de la définition ci-dessus, lafonction est infiniment différentiable et, pour tout k ≥ 1,(

φ ? gσ)(k)

(x) =

∫Rφ(y)g(k)σ (x− y)dy.

En définissant la fonction

φ(y) =(y −K

)+,

3. FORMULATION EDP 37

nous en déduisons que C(t, x) peut être réécrit sous la forme :

C(t, x) = exp(−λt)(φ ? gσ

√t

)[ln(x) +

(λ− σ2

2

)t].

Ceci montre que, pour tout t > 0, la fonction C est infiniment sur R.

3.2. EDP Black Scholes. Nous remarquons que la fonction (t, x) 7→gσ√t(x) vérifie

∂2x[gσ√t(x)

]= −∂x

[ xσ2t

gσ√t(x)

]= − 1

σ2tgσ√t(x) +

x2

σ4tgσ√t(x),

et

∂t[gσ√t(x)

]= − 1

2tgσ√t(x) +

x2

2σ2t2gσ√t(x),

de sorte que

∂t[gσ√t(x)

]=σ2

2∂2x[gσ√t(x)

].

Ceci nous incite à comparer les dérivées de C en t et en x. Nous savonsdéjà que

∂xC(t, x) = N(d1(t, x)

),

de sorte que

∂2xC(t, x) = ∂xd1(t, x)g(d1(t, x)

)=

1

xσ√tg(d1(t, x)

).

Par ailleurs,

∂tC(t, x) = ∂t[d1(t, x)

]xg(d1(t, x)

)+ λK exp(−λt)N

(d2(t, x)

)−K exp(−λt)∂t

[d2(t, x)

]g(d2(t, x)

).

On calcule

∂t(d1(t, x)

)= ∂t

(d2(t, x)

)+

1

2

σ√t.

En rappelant la formule (2.8), nous en déduisons que

∂tC(t, x) =1

2

σ√txg(d1(t, x)

)+ λK exp(−λt)N

(d2(t, x)

).


Finalement,1

2σ2x2∂2xC(t, x) + λx∂xC(t, x)− λC

=1

2

σ√txg(d1(t, x)

)+ λxN

(d1(t, x)

)− λxN

(d1(t, x)

)+ λK exp(−λt)N

(d2(t, x)

)= ∂tC(t, x).

Nous en déduisons :

Proposition 3.3. Le prix C(t, x) du call européen de prix d’exer-cice K d’échéance t > 0 et de prix initial x vérifie l’équation dite auxdérivées partielles (EDP) :

∂tC(t, x) =1

2σ2x2∂2xC(t, x) + λx∂xC(t, x)− λC(t, x),

avec la conditionC(0, x) = (x−K)+.

3.3. Généralisation. Dans la Proposition 3.3, le temps est in-versé au sens où le flux est exprimé à l’instant 0 à travers la condi-tion C(0, x). Il est possible de retourner le temps en rempliçant C(t, x)par C(T − t, x) où T désigne la maturité de l’option. Le cas échéant,C(T − t, x) désigne le prix à l’instant t, séparé de la durée T − t del’échéance T . Et la fonction C(T − ·, ·) vérifie∂tC(T − t, x)

+1

2σ2x2∂2xC(T − t, x) + λx∂xC(T − t, x)− λC(T − t, x) = 0,

avec la condition terminale C(T, x) = (x−K)+. (La condition terminaleest particulièrement bien adaptée à la notion de flux à échéance.)

Cette équation peut être généralisée au cas d’une volalité dite locale,c’est-à-dire dépendant du temps et du prix courant. Il s’agit alors deremplacer σ par une fonction σ(t, x).

4. Exercices : dérivation de la formule de Black et Scholes

Exercice 1. Dans le modèle de Black et Scholes de taux d’intérêtλ et de volatilité σ, démontrer que la loi risque neutre du prix comptantà l’instant T admet pour densité :

p(T, x) =1√

2πTσxexp[− 1

2σ2T

(ln(x)− ln(S0)−λT +σ2T/2

)2]1x>0,

où S0 désigne le prix initial de l’actif.

5. EXERCICES : AUTOUR DE LA MÉTHODE DE MONTE CARLO 39

Exercice 2. Dans le modèle de Black et Scholes de taux d’intérêtλ et de volatilité σ, on appelle C(T, x) le prix du call de maturité T ,de prix d’exercice K et de prix initial comptant x. Démontrer que :

1

2σ2 =

[∂C/∂t](T, x)− λx[∂C/∂x](T, x) + λC(T, x)

x2[∂2C/∂x2](T, x).

Que penser de l’utilisation pratique de cette formule ?

Exercice 3. Dans le modèle de Black et Scholes de taux d’intérêtλ et de volatilité σ, on appelle C(T, x,K) le prix du call de maturitéT , de prix d’exercice K et de prix initial comptant x. Démontrer que :

∂2KC(T, x,K)

=1√

2πTσKexp[− 1

2σ2T

(ln(K)− ln(x)− λT + σ2T/2

)2].

Exercice 4. Dans le modèle de Black et Scholes de taux d’intérêtλ et de volatilité σ, on appelle C(T, x,K) le prix du call de maturitéT , de prix d’exercice K et de prix initial comptant x. Démontrer laformule dite de ‘Dupire’ (du nom de Bruno Dupire, qui a montré sonintérêt en finance) :

σ2 = 2[(∂C/∂T ) + λK(∂C/∂K)](T, x,K)

K2[∂2C/∂K2](T, x,K).

Quel est l’intérêt de cette formule ?

5. Exercices : Autour de la méthode de Monte Carlo

Dans cette liste d’exercices, nous nous intéressons à un calcul detype Monte-Carlo pour les quantités suivantes

C = E[(

exp(βZ)−K)+

], P = E

[(K − exp(βZ)

)+

],

où β > 0, K ∈ R et Z ∼ N (0, 1). Dans ce contexte, on posera

X =(exp(βZ)−K

)+, Y =

(K − exp(βZ)

)+.

Exercice 1. Montrer qu’à un facteur multiplicatif près, on peuttoujours ramener l’étude des prix Black-Scholes aux prix C et P .

Exercice 2. Démontrer la formule

C − P = exp(β2

2

)−K.

En déduire que

0 ≤ C ≤ exp(β2

2

).


Exercice 3.(1) Démontrer que la variance de Y est majorée par K2.(2) Pour deux réels a et b, démontrer l’inégalité

(a+ b)2 ≥ 1

2a2 − b2.

(3) En choisissant a = X − Y et b = Y , en déduire que

E[X2]≥ 1

2E[(

exp(βZ)−K)2]−K2

≥ 1

4exp(2β2)− 3

2K2.

(4) Montrer finalement que

V(X) ≥ 1

4exp(2β2)− exp(β2)− 3

2K2.

Comment se comporte la variance de X quand β est grand ?(5) En comparant les variances de X et Y , discuter la mise en

place d’une méthode de Monte Carlo.

Exercice 4. Dans le cas où K = 1, démontrer que C peut être missous la forme :

C = E∗[(

1− exp(β√Y ))+

+(1− exp(−β

√Y ))+√

2π√Y

],

où Y suit une loi exponentielle de paramètre 1/2. Quelle utilisationpeut on envisager ?

CHAPITRE 5

Options américaines

Dans cette dernière partie du cours, nous abordons les options amé-ricaines, qui, à la différence des options européennes, peuvent être exer-cées à tout de moment.

1. Principe et formule de juste prix

1.1. Exercice des options américaines. Une option américaineest, comme une option européenne, un droit. Celui de pouvoir acheterou vendre un actif à un prix préalablement fixé. Dans le cadre des op-tions européennes, ce prix est fixé pour un exercice de l’option à lamaturité 1. Dans le cadre des options américaines, l’option peut êtreexercée à tout moment entre la date de signature de contrat et la ma-turité.

Sur le plan de la modélisation, se pose la question de savoir commentmodéliser un instant d’exercice de l’option. Dans ce contexte, l’agentest supposé prendre ses décisions en fonction des informations observéesdans le passé (sous peine de détenir des informations caracéristiquesd’un délit d’initié). Autrement dit, en reprenant la modélisation utiliséepour décrire un marché financier à N périodes et en désignant parτ : Ω → 0, . . . , N l’instant d’exercice de l’option, il est légitimed’imposer la condition

τ = n ∈ Fn,c’est à dire τ est un temps d’arrêt.

Dans ce contexte, le flux à l’exercice de l’option d’achat est donnépar (

Sτ −K)+,

où K est le prix d’exercice de l’option et avec une formule équivalentpour l’option de vente.

La difficulté dans la valorisation de l’option tient à la liberté qu’il ya dans l’instant d’exercice : τ peut être choisi de façon arbitraire dansl’ensemble T0,N des temps d’arrêt à valeurs dans 0, . . . , N.

1. On prendra pour principe qu’un agent exerce toujours l’option. En effet, direqu’un agent n’exerce pas l’option, c’est dire qu’il exercice à flux nul.

41

42 5. OPTIONS AMÉRICAINES

1.2. Richesse arrêtée. En marché complet (tel le modèle bino-mial) de probabilité risque neutre P∗, nous savons que la réplicationde l’option européenne est toujours possible. Etant donné un tempsd’arrêt τ comme ci-dessus, intéressons nous, dans le cad du call, à laréplication du flux (Sτ −K)+.

Etant donnée une stratégie (φ0n, φn)0≤n≤N (de carré intégrable sous

P∗) de richesse associée (Wn)0≤n≤N telle que

Wτ = (Sτ −K)+,

nous savons que ((1 + r)−nWn)0≤n≤N est une martingale sous la pro-babilité risque neutre P∗. Considérons maintenant le processus ((1 +r)−(n∧τ)Wn∧τ )0≤n≤N , appelé processus de richesse arrêté. Nous allonsvérifier que

Proposition 1.1. Le processus de richesse arrêté est une martin-gale sous la probabilité risque-neutre.

Démonstration. L’intégrabilité est vérifiée de façon assez simplepuisque

|Wn∧τ | ≤N∑n=0

|Wn|.

Examinons la mesurabilité. Il est possible d’écrire :

Wn∧τ =n−1∑k=0

Wk1τ=k +Wn1τ≥n.

En utilisant les propriétés d’adaptabilité du processus de richesse etles propriétés du temps d’arrêt, il est facile de montrer que Wn∧τ estnécessairement Fn-mesurable.

Il reste à vérifier la propriété projective. Calculons, pour 0 ≤ n ≤N − 1,

E∗[W(n+1)∧τ |Fn

]=

n∑k=0

E∗[Wk1τ=k|Fn

]+ E∗

[Wn+11τ≥n+1|Fn

]=

n∑k=0

Wk1τ=k + E∗[Wn+11τ≥n+1|Fn

].

1. PRINCIPE ET FORMULE DE JUSTE PRIX 43

En remarque que τ ≥ n + 1 = τ ≤ n ∈ Fn, nous en déduisonsque

E∗[W(n+1)∧τ |Fn

]=

n∑k=0

Wk1τ=k + 1τ≥n+1E∗[Wn+1|Fn

]=

n∑k=0

Wk1τ=k +Wn1τ≥n+1,

ce qui conclut la preuve.

De ce résultat, nous déduisons que

(1 + r)−n∧τWn∧τ = E∗[(1 + r)−τ (Sτ −K)+

].

En particulier, le cas échéant, la valeur initiale de la richesse est donnéepar :

W0 = E∗[(1 + r)−τ (Sτ −K)+

].

1.3. Arbitrages. Pour le même temps d’arrêt τ qu’au-dessus, sup-posons que le prix de l’option américaine vaille C < W0. Clairement,dès lors qu’il existe une stratégie de réplication pour la richesse calculéeci-dessus, il est possible de procéder à un arbitrage. On peut emprun-ter W0 à l’instant 0 en suivant la stratégie de réplication. La dettes’élève à (Sτ − K)+ à l’instant τ . Avec les W0, on achète une option.En exerçant l’option à l’instant τ , on rembourse la dette. On empochela différence. On en déduit que, si la réplication est possible, le justeprix C de l’option doit vérifier

C ≥ maxτ∈T (0,N)

E∗[(1 + r)−τ (Sτ −K)+

].

On remarque le terme de droite est bien un maximum (sur un espaced’état fini). En particulier, on peut trouver un τ ∗ qui ‘réalise’ le maxi-mum.

Supposons que l’inégalité soit stricte. Alors, en vendant l’option auprix C et en supposant connu la stratégie τ utilisée par l’acheteur, onutilise une partie de C pour réaliser (Sτ −K)+.

Ceci suggère que le juste prix est donné par

C = maxτ∈T (0,N)

E∗[(1 + r)−τ (Sτ −K)+

].

Nous reviendrons plus en détail sur l’arbitrage dans la section suivante.


2. Enveloppe de Snell

2.1. Formule d’arrêt optimal si N = 1. Dans le cas d’un mo-dèle à 1 période, on remarque τ ne peut prendre que deux valeurs : 0ou 1. Mais, comme τ = 0 ∈ F0, cela signifie que la valeur de τ estdéteministe. De fait, il n’y a que deux possibilités pour

E∗[(1 + r)−τ (Sτ −K)+

]= (S0 −K)+1τ=0 + (1 + r)−1E∗

[(S1 −K)+

]1τ=1.

A ce moment là, le prix C vaut

C = max(

(S0 −K)+, (1 + r)−1E∗[(S1 −K)+

]).

2.2. Extension au modèle à N périodes. Dans le cas où N ≥1, le calcul de C ci-dessus suggère de définir

UN = (1 + r)−N(SN −K)+,

puis

UN−1 = max(

(1 + r)−N+1(SN−1 −K)+,E∗(UN |FN−1

)),

puis, par récurrence descendante

Un = max(

(1 + r)−n(Sn −K)+,E∗(Un+1|Fn

)).

On dit que (Un)0≤n≤N est l’enveloppe de Snell de la suite ((1+r)−n(Sn−K)+)0≤n≤N .

Nous allons démontrer :

(2.9) U0 = maxτ∈T (0,N)

E∗((1 + r)−τ (Sτ −K)+

).

Nous allons commencer par démontrer :

Lemma 2.1. Définissons le temps ν0 = infn ≥ 0 : Un = (1 +r)−n(Sn −K)+. Alors, la suite (Un∧ν0)0≤n≤N est une martingale sousP∗.

Démonstration. La fait que ν0 soit un temps d’arrêt est immé-diat.

2. ENVELOPPE DE SNELL 45

L’intégrabilité et l’adaptabilité de la suite (Un∧ν0)0≤n≤N peuvent êtredémontrées comme dans la proposition précédente. Calculons mainte-nant

E∗[U(n+1)∧ν0 |Fn

]=

n∑k=0

E∗[Uk1ν0=k|Fn

]+ E∗

[Un+11ν0≥n+1|Fn

]=

n∑k=0

Uk1ν0=k + 1ν0≥n+1E∗[Un+1|Fn

]Par construction, nous savons que

Un = max(

(1 + r)−n(Sn −K)+,E∗(Un+1|Fn

)),

Sur l’événement ν0 ≥ n+1, nous avons que Un > (1+r)−n(Sn−K)+(l’égalité n’est pas encore atteinte et par récurrence Un est toujourssupérieur ou égal à (1 + r)−n(Sn − K)+). De fait, Un doit être égal àE∗(Un+1|Fn), de sorte que

E∗[U(n+1)∧ν0|Fn

]=

n∑k=0

Uk1ν0=k + 1ν0≥n+1Un = Un∧ν0 .

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer (2.9). Puisque(Un∧ν0)0≤n≤N est une martingale, nous avons que

U0 = E∗[UN∧ν0

]= E∗

[Uν0]

= E∗[(1 + r)−ν0(Sν0 −K)+

]≤ max

τ∈T (0,N)E∗[(1 + r)−τ (Sτ −K)+

].

Pour démontrer l’égalité, nous remarquons que, par construction,

Un ≥ E∗[Un+1|Fn

],

c’est à dire (Un)0≤n≤N est une sur-martingale. En suivant les mêmesarguments que précédemment, on peut montrer que, pour tout τ ∈T (0, N), (Un∧τ )0≤n≤N est aussi une sur-martingale. De fait, nécessaire-ment,

U0 ≥ E∗[Uτ]≥ E∗

[(1 + r)−τ (Sτ −K)+

].

2.3. Propriété sur-martingale. Nous remarquons de façon claire :

Lemma 2.2. La suite (Un)n≥0 est une surmartingale.

Nous en déduisons :


Lemma 2.3. Le processus (Vn)0≤n≤N , défini par V0 = U0 et

Vn+1 = Vn + Un+1 − Un − E(Un+1 − Un|Fn

)est une martingale. Elle vérifie Vn ≥ Un, pour tout n ∈ 0, . . . , N, etVn = Un pour tout n ∈ 0, . . . , ν0.

Démonstration. Il est clairement que le processus (Vn)0≤n≤N estadapté et intégrable. Par ailleurs, la propriété martingale est évidente.Par propriété surmartingale, nous observons que

Vn+1 − Vn ≥ Un+1 − Un,

ce qui montre par récurrence que Vn ≥ Un pour tout n ∈ 0, . . . , N.L’égalité est vérifiée jusqu’à l’instant ν0 en raison de la propriété

martingale de (Un∧ν0)0≤n≤N .En effet, sur l’événement n ≤ ν0 − 1,

E[Un+1 − Un|Fn

]= E

[U(n+1)∧ν0 − Un∧ν0 |Fn

]= 0.

2.4. Application à l’arbitrage. Nous pouvons maintenant trai-ter la question de l’arbitrage de façon complète. En reprenant la preuvede (2.9), il est possible de démontrer :

Un = maxτ∈T (n,N)

E∗((1 + r)−τ (Sτ −K)+|Fn

).

Supposons maintenant que le prix C de l’option soit strictement supé-rieur à U0 et qu’il existe une stratégie de réplication qui permette derépliquer (Vn)0≤n≤N , c’est-à-dire telle que la richesse actualisée ((1 +r)−nWn)0≤n≤N coïncide avec (Vn)0≤nν0 .

Alors, en vendant l’option au prix C, le vendeur peut investir U0 etsuivre la stratégie de réplication. Lorsque l’acheteur de l’option exerce.Il exige une compensation (Sτ − K)+ au vendeur. Le vendeur a alorsà disposition Vτ ≥ Uτ . Mais comme Uτ ≥ (Sτ − K)+, le vendeur del’option est en mesure de faire face. De sorte que, finalement, son gainest de C − U0.

3. Exercices

Exercice 1. Comparer les prix des call et put américains aux prixdes call et put européens. Essayer de justifier.

3. EXERCICES 47

Exercice 2. On appelle C et P les prix des call et put américains :C = max

τ∈T (0,N)E∗[(1 + r)−τ (Sτ −K)+

],

P = maxτ∈T (0,N)

E∗[(1 + r)−τ (K − Sτ )+

].

(1) Démontrer que, pour tout temps d’arrêt τ ∈ T (0, N),

E∗[(1 + r)−τ (Sτ −K)+

]− E∗

[(1 + r)−τ (K − Sτ )+

]= S0 −KE∗

[(1 + r)−τ

].

(2) En désignant par τ ∗ un temps d’arrêt réalisant le maximumdans C, démontrer que

C − P ≥ S0 −KE∗[(1 + r)−τ

∗]En déduire que

C − P ≥ S0 −K.

(3) En utilisant τ∗, un temps d’arrêt réalisant le maximum dansP , démontrer que

C − P ≤ S0 −K(1 + r)−N .

(4) En déduire que

S0 −K ≤ C − P ≤ S0 −K(1 + r)−N .

Projet : Options barrières

On appelle une option d’achat barrière une option pour laquelle leflux à échéance s’écrit sous la forme

(ST −K)+1sup0≤t≤T St<a,

où St désigne le prix comptant de l’actif à l’instant t, T désigne lamaturité, et a désigne une barrière supérieure à K.

Le projet vise à étudier le juste de prix de cette option tant du pointde vue théorique que numérique.

Sur le plan théorique, on pourra :(1) Considérer une version discrète, où le temps est indexée par

des entiers naturels,(2) Commencer par regarder un modèle à une période et décrire,

dans le cadre du modèle binomial, le juste prix de l’option etla couverture δ-neutre,

(3) Envisager un modèle à plusieurs périodes de type ‘arbre bi-nomial’ (pour cela, on pourra introduire le temps d’arrêt τ =inft ≥ 0 : St ≥ a).

(4) Réfléchir, éventuellement, à un passage à la limite lorsque lenombre de périodes tend vers l’infini, sur le principe du modèlede Black Scholes.

Sur le plan numérique, on pourra :(1) Réfléchir à la mise en place d’une méthode de Monte-Carlo,(2) Réfléchir à la mise en place d’une méthode récursive de type

arborescente.

49

Projet : Options sur indices

On appelle option sur panier d’actifs une option portant sur unecombinaison convexe d’actifs, c’est-à-dire

d∑i=0

αiSit ,

où les (αi)0≤i≤d sont positifs et de somme égale à 1.Dans la combinaison ci-dessus, (S0

t )0≤t≤T désigne le prix comptantde l’actif sans risque entre 0 et T , où T est l’échéance de l’option, et,pour chaque i ∈ 1, . . . , d, (Sit)0≤t≤T désigne le prix comptant d’unactif risqué.


Sur le plan théorique, on pourra :

(1) Considérer une version discrète, où le temps est indexée pardes entiers naturels,

(2) Commencer par regarder un modèle à une période et décrire,dans ce contexte, ce que pourrait être l’équivalent du modèlebinomial. Il s’agirait, alors, de proposer une formule pour lejuste prix de l’option et la couverture δ-neutre,

(3) Envisager un modèle à plusieurs périodes de type ‘arbre bino-mial’,

(4) Réfléchir à un passage à la limite lorsque le nombre de périodestend vers l’infini, sur le principe du modèle de Black Scholes.

Sur le plan numérique, on pourra :

(1) Réfléchir à la mise en place d’une méthode de Monte-Carlo,en faisant un effort tout particulier sur la possible réductionde la variance.

51

52 PROJET : OPTIONS SUR INDICES

(2) Considérer plus particulièrement le cas d’actifs corrélés, pourlesquels le prix du call est donné par une extension de la for-mule de Black et Scholes :

C = E[( d∑

i=1

αiSi0 exp

(−σ

2i

2T +√T (σG)i

)−K exp(−rT )

)+

],

où le vecteur (s10, . . . , sd0) désigne le vecteur des cours à l’instant

0 des actifs considérés, r le taux d’intérêt supposé constant,(G1, . . . , Gd) un vecteur gaussien de moyenne nulle et de ma-trice de covariance Id, et σ une matrice symétrique définiepositive appelée matrice de volatilité. Le vecteur (σ2

1, . . . , σ2d)

est le vecteur des normes de chaque ligne de la matrice σ

Projet : Options asiatiques

On appelle option asiatique une option portant sur la moyenne tem-porelle d’un actif , le flux à échéance s’écrivant sous la forme( 1

T

∫ T

0

Stdt−K)+,

où St désigne le prix comptant de l’actif à l’instant t, T désigne lamaturité, et K le prix d’exercice.


Sur le plan théorique, on pourra :(1) Considérer une version discrète, où le temps est indexée par

des entiers naturels,(2) Commencer par regarder un modèle à une période et décrire,

dans ce contexte, ce que pourrait être l’équivalent du modèlebinomial. Il s’agirait, alors, de proposer une formule pour lejuste prix de l’option et la couverture δ-neutre,

(3) Envisager un modèle à plusieurs périodes de type ‘arbre bino-mial’ et montrer, dans ce cadre, qu’il est possible de se ramenerà un modèle à une période quitte à prendre des flux dépendantà la fois du prix comptant de l’actif et de la moyenne des prixcomptants.

(4) Réfléchir à un passage à la limite lorsque le nombre de périodestend vers l’infini, sur le principe du modèle de Black Scholes.On pourra se focaliser sur l’obtention d’une majoration du callpar comparaison avec la formule de Black Scholes.

Sur le plan numérique, on pourra :(1) Réfléchir à la mise en place d’une méthode de Monte-Carlo,

en faisant un effort tout particulier sur la possible réductionde la variance.

(2) Comparer les résultats obtenus avec la majoration trouvéedans la partie théorique.

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