cours vibration chap 3 et4

8/7/2019 cours vibration chap 3 et4

1/24

1.VIBRATIONS DES POUTRES3.1 Vibrations longitudinales

3.1.1 Equations de vibration par la loi fondamentale de la dynamique

dxx

d xx! XXXX 11111111 :11X Contrainte surma section droite

S

u : dplacementaxiale

dxxSxSdxxS

xx! )()(

Soit forceextrieure parunit de volume do la fore lmentaire:

dV = S dx

Equilibre de llment dx :

dxSJ + dt

udmdAxdA dSSS 2

2

)()(11

1111

x x

x !

XXX

=

dt

uddxS

2

2

V


2/24

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SWEET

ENSP Page 2/24

dxSJ - xx

)()( 111111 dSSdx

xS

XXXdt

uddxS

2

2

V

dxSJ + ! xx dxxSdS XX11

11 dt

uddxS 2

2

V

S +x

Sx

S

xx

xx

XX 1111 =dt

uddxS

2

2

V

SJ + !xx )(

11XS

x dtuddxS2

2V

La loi de Hooke :xu

E xx

!X11

Do

SJ + !xx

xx

)( xu

Sx dt

uddxS 2

2

V

VE

c !2

est la vitesse de propagation

dt

udS

x

uS

xc

S2

222

2)( !

xx

xx

V

J

Pourune poutre de sectionconstanteona :

E module de Young

xu

xx

Dformation longitudinale


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SWEET

ENSP Page 3/24

dt

ud

x

uc 2

2

2

2

2!

xx

V

Siellenest soumise aucune forceextrieure :0!J vibration libres.

dt

ud

dt

uc 2

2

2

2

2!

xEquation des ondes ou de

DAlambert.

3.1.2 Equations de vibration par la mthode variationnelle

y Cas dune poutre de section constante de longueur L

X

ContrainteXxx

nonnulle,autre 0!Xij

)1(2 Y

!E

G

La loi de Hookegnralise :

XHXHXI hhijhhijijijEG

1)(

21

!

!|

EE ijijijY

HX

Y

I

1Avec !!

XXXX321hh

XIxxxx E

1! Autres 0!I

ij

y Energie de dformation(potentielle) : U

F


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SWEET

ENSP Page 4/24

dVEdVU xxV

xxV

xxIIX

2

21

21

!!

dxdtdu

V

)(21

2

! V

y Energiecintique : T

dVdt

duT

V

!

2

21V

dxdt

duS L

!

0

2

2V

ySoit W le travail des forces extrieures :

dxxu

SWL

xx

! 0 W

Appliquons le principe variationnel de Hamilton la fonctionnelle dfinie par

(Lnergie totale pour un dplacement virtuel ux est nulle)nergieinterne+ nergieexterne = 0

Do :

!xx !t

tdtTI 1

0

0)(

Posons

)(2

),( 2'2.'

uEuS

uuF !y

V

!xx

xx

x

xx

!t

t

L

dtdxu

u

u

uI

1

0 0.

.

. 0

! tt dtUTI1

0

)(


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SWEET

ENSP Page 5/24

utt

uu HH x

x!

xx

!xy

uxx

uu HHH x

xxx

!!'

Les hypothses du principe variationnel sont :

01)()( !! tutu o HH

01)()( !! tutu o HH

xx

xx

xx

xx yy!

y

y

Lt

t

Lt

t

t

t

L

dxdtu

ut

dxu

u

dtdxuu 00

1

0

0

1

0

1

0

HHH

x

xxx

x

x

x

x

!t

t

LL

t

t

L t

t

dtdxuux

dtuu

dtdxuu

1

0

1

0

1

0 00

0

HHH

Letravail virtuel accompli parles charges extrieures pourun dplacement de uH

x

x

x

x!!

LL

dxux

Sdxx

uSW

00HHH

LuSW

0

! HWH

Principe variationnel

!t

t

dtWI1

0

0HH


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SWEET

ENSP Page 6/

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x!

y

L t

t

dtdxuu

xu

tdt

t

t

LuS

u

00

01

0

1

0

HHW

On doit avoi cette galit quelque soitla variation

uH 0

0

0

'

'

!

x

x

!

x

x

x

x

x

x

x

xy

L

uSu

F

u

F

xu

F

t

HW

uESu

FetuS

u

Fd!

ddx

x!

x

x

V

- Equation du mouvement2

2

2

2

!xx

xx

x

ESt

SV

t

u

x

uC

t

u

x

uE

xx!xx

xx!xxV

- Conditions aux limites? A 0

0!

L

uH ou

L

x

uE

x

x!W W contrainte due aux forces extrieures

3. Vi i i


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SWEET

ENSP Page 7/24

Equilibre : Soitex^ lecoupleextrieurparunit de longueur.

2

2

tJdxdx

x

CCC

ex x5x

!xx

^

Avec !! dxdsrdmrJ V22

dxdsdvdm VV !!

dxIPV! (Sectioncirculaire)

PI : Moment dinertie polaire

J : inertie de masse

Lecoupleet langle detorsion sontrelis par :

x T x

x! ; TC est larigidit latorsion.

Ona :

kGCT ! G est le module deCoulomb.

Lecoefficientkdpend de lagnratrice de la poutre

y Pourune sectioncirculaireP

Ik !

2

4RT

Moment dinertie polaire

y Pourune sectionrectangulaire(Saint-venant)

!

h

bfbhk 3 , posons

eurl

paisseur

h

bs

arg|!

2

12

12

64

3

1

055

snthsnsf n

T

T

!

g

!

Cas dune poutre sectioncirculaire

Doncx

GICP x

5x!

dxt

Idxx

GIx

PexP 2

2

x

5x!

xx

xx

V^

2

2

tI

xGI

xPexP x

x!

x

x

x

x V^

En labsence des forces extrieurs et si la sections estconstante teconsIP tan!

2

2

2

2

txG

x

5x!

x

5xV

Remarque : lquation dans lecas dune section quelconqueet des forces extrieurs sont :

2

2

tJ

xkG

xex x

x!

x

x

x

x^


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SWEET

ENSP Page 8/

On retrouve l quation

U

UU

x

x!

x

x 2

2

2

2

xc Avec

J

kG

I

Cc

T !!V

2

3.3 Vi i l xi ( l ).

y : Fl che

N: Pente due au moment flchissant

T : Efforttranchant

C:Moment flchissant

Tex : Force extrieur par unit delongueur.

I : Inertie de section.

Equations. Thormes gnraux de la dynamique.

dxTdxx

TTT

t

ydx

ex

x

x!

x

x2

2

V

2)2(

2

2dx

dTTdxx

CCC

tIdx

x

x!

x

x N

exT

x

T

t

S x

x!

x

x2

2

V

Tx

C

tI

x

x!

x

x

2

2N

V

En R M, on a montr :


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SWEET

ENSP Page 1 /

Exemple :

CL: 000 !

! Du

000 !xx

!xx

! !! LxLxx

u

x

uESLF

0cos !

L

EEC

V[

V[

= solution triviale , !txu do o !

{ L

EC

V[

.......3,,11 !! nnLE

n

TV[

V

T[

E

Ln

n

212 !

Les modes associs n

[ sont de la forme ( une constante prs)

L

xnxun

212sin T!

En mouvementli re la solution est:

g

!

!

sincossinn

nnnn

L

xntBtAtx

T

[[

Les constantesnn

Bet

sont dtermines parles conditions initiales.

c) Relations dorthogonalitsOn a la relation (relation dquation du mouvement)

xuuuSdx

duES

dx

d!!

2[V

Cette quation est vrifie parles jjii uetu ,, [[ solutions

ii

iuS

dx

duES

dx

d 2[V!

iuv

jj

juS

dx

duES

dx

d 2[V!

juv


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SWEET

ENSP Page 11/24

!

!

L L

jij

j

i

L L

jii

i

j

dxuSudxdx

duES

dx

du

dxuSudxdx

duES

dx

du

0 0

2

0 0

2

V[

V[

Intgration parpartie :

!

L L

ij

L

i

j

i

jdx

dx

duES

dx

du

dx

duESudx

dx

duES

dx

du

0 00

!

librentencastremeCardx

duESu

L

i

j 00

!L L

jii

ji dxuSudxdx

du

dx

duES

0 0

2 V[ (*)

De mmeona :

!L L

jij

ji dxuSudxdx

du

dx

duES

0 0

2 V[

Parune soustraction membre membreona :

00

22 ! dxuuSL

jiij V[[

Comme !{L

jijidxuuS

0

0V[[

Ona galement de(*) :

!L ji dx

dx

du

dx

duES0

0

d) Raideurs et masses modales du ime modeii

i uSdx

duES

dx

d 2[V!

iuv

!

L L

ii

i

i dxuSdxdx

duES

dx

du

0 0

22 V[

Enintgrant parpartieavec les conditions aux limites il vient que :

i

i

L

i

L

i

im

k

dxSu

dxdx

duES

!

!

0

2

0

2

2

V

[

Les ik sont les raideurs modales.

Lesi

m sont les masses modales.

Ltude de latorsion se dduit decelle des vibrations longitudinales.


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SWEET

ENSP Page 13/

0cos1 ! LchL FF

Notons les solutions :

iiL P

#

!

Do les pulsations de rsonance

S

EI

EI

Snn

n

nV

F$$

VF 4

%

4

%

!!

DoS

EI

L

n

n

V

P[

2

2

!

c. Relation dorthogonalit

vSdx

vd

EIdx

d 22

2

2

2

[V!

Equation vrifie par jjii vetv ,, [[

ii

ivS

dx

vdEI

dx

d 22

2

2

2

[V!

jj

jvS

dx

vdEI

dx

d 22

2

2

2

[V!

M me processus que dans le cas du mouvementlongitudinale

En intgrant deux fois par partie, avec les C.L courantes (li re, appuy, encastre),on a:

!L L

jii

jidxvSvdx

dx

vd

dx

vdEI

0 0

2

2

2

2

2

V[

!L L

jij

jidxvSvdx

dx

vd

dx

vdEI

0 0

2

2

2

2

2

V[


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SWEET

ENSP Page 14/24

00

! dxvvSL

jiV

!L

ji

dxdx

vd

dx

vdEI

0

2

2

2

2

0

d.Raideuret masses modales du ime modeOn dmontre que :

i

i

L

i

L

i

im

k

dxSv

dxdx

vdEI

!

!

0

2

0

2

2

2

2

V

[ iedualemasse

iedualeraideur

modmod

modmod


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SWEET

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vu d!

Rsultats :

vvr

dd!0

1]

vvr

EIM ddd!

2

0

Equation diffrentielle

02 22

0 !dddd vvEI

rvvv I55 I [

Q

4.1.2 Solutions

012 24246 ! nsxxx avec 24

04 [Q

EI

rs !

v de la forme

UUUUUUU 33322221111 sincossincossincos nBnAnBnAnBnAv ! Avec 321 ,, nnn rels ou complexes

Cas particulierde lanneau complet :

UTU vv ! 2 321 ,, nnn rels entiers

4

0

2

222222224

1

111

r

EI

n

nnnnns

Q

[

!!

UU nBnAv sincos !

4.1.3 Modes

Modes symtriques

!

!

UU

UU

vv

uu

Do

U]

U

U

nBr

n

nBv

nnBu

n

n

n

sin1

sin

cos

0

2!

!

!

Modes antisymtriques


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SWEET

ENSP Page 17/24

!

!

UU

UU

vv

uu

Do

U]

U

U

nAr

n

nAv

nnAu

n

n

n

cos1

cos

sin

0

2!

!

!

4. . Vi i l m m

:force par unit de longueur

Equation du mouvement (membranes uniformmenttendue xy XX !

Projection sur x

coscos !

xx

UUX

XUX ddydxx

dy (pas de mouvement suivant x)

XX

!x

x0

dydx

x estindpendant de x

Projection sur y des forces appliques sur AD etBC

x

Fddydxx

dy |

xx

6 UUX

XUX sinsin

yxx

zdxyx

x

zydxx

x

zd

yxx

z

,,,sin

,sin

2

2

x

x7

x

x!

x

x!

x

x!}

UU

UU

2

2

x

zdydxF

x

x

x! X ,

8

8

y

zdydxFy x

x! X

Thorme fondamental de la dynamique

2

2

2

2

2

2

,,dt

zddydxdydxtyxf

y

z

x

zdydx QX !

x

x

x

x

F(x,y,t) : force excitatrice par unit de surface


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SWEET

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Q : masse parunit de surface

QX

!2c : vitesse de propagation

Do : X

tyxf

dt

zd

cy

z

x

z ,,12

2

22

2

2

2 !x

xx

xvibrations

forces

01

2!( z

cz ( : Laplacien

Membranes rectangulaires

Solutions de la forme

tjeyxZtyxz [,,, !

Do 02

2

!( Zc

Z[

Siona Z=0 surlecontour(membranerectangulaire)

!

b

yn

a

xmZ TT sinsin m,nentiers

2.3. Vibrations transversales des plaques

Equation du mouvement

yxfhEh

,112

4

2

3

!(

[V[Y

yxfhD ,4 !( [V[ Vibrations forcs D : rigidit la flexionV : Masse volumique

f| fonction parunit de surface

04 !( [V[ hD Vibrations libres

4

4

2

2

2

2

4

42

2

2

2

24 2

yyxxyx x

x

x

x

x

x

x

x!

x

x

x

x!( :bilaplacien

Paques rectangulaires

ti

eyxWtyxw[

,,, !

0242 !( WW [E Avech

D

VE !2 (c est pas une vitesse

sm

2

)

Sparation de variables


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SWEET

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94()4(4 XYYX2YXw)x(Y)x(X)y,x(w !(!

Do

Avec @

@

4

E

[

!P

Conditions a x limites

o Dplacement fixe s n ct

Sur OA : w(x,0) = 0 X(x) Y (0) = 0 x 0)0(Y A

Sur AB: w (a, y) = 0 0)a(X A

o Couples appliqus nuls le long dune a te(Vo

ir RDM

et struc

tu

re plaqu

es netco

qu

es)

Sur OA : MX = 0 00X0X !R

Sur AB: My = 0 y0yy !R

o Rotations bloques surun ct

Sur OA : )()()( !!!x

[x

Sur AB: !x

[x !!

EXEMPLE : plaque appuye sur deux cts opposs (OA, CB)

0XYXYYX2YX 4)4()4( !P


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Si )0)b(Y)0(Y(YYYY4)4(2 !!

B

!F!

ysinBycos)y(Y11

FF!

Y(0) = 0 T!F!F!! mb0bsin0)b(Y,01

b

ymsinB)y(Y

1T!

Do 0X)(X2X44

m

2

m

)4( !PFF

xsinBxcosBxshxch)x(X 2121 KKHH!

Avec :

22

m

22

m

PF!K

PF!H

NB : les Ai et Bi sont dtermins par les conditions aux limites sur OC et AB.

4.4 Frquences et modes propres de quelques rectangulaires

4.4.1 Membrane rectangulaires

Ona : 01

2!( z

Cz , posons ! tjeyxZtyxz [),(),,(

Et

b

yn

a

xmAyxZ

m n

mn

TTsinsin),(

g g

!

!b

yn

a

xnA

cb

y

a

x

b

n

a

mA mnmn

TT[TTTTsinsinsinsin)(0

2

2

2

22

2

22

2

2

2

22

2

22

ca

n

a

m [TT!p ,

longueurmasse

surfaceforce

surfacemasse

longueurforce

sm

lFc

v

v||!

/

/

/

2 ,

!

Q

X2c


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SWEET

ENSP Page 21/24

: Frquences propres

Les modes propres sont donnspar:

Lignes nodales 0),( !yxz

o Modes simplesy Premiermode : 1,1 !! nm

irerectangulamembraneladebordsnodaleligne |

yDeuxime mode : 1,2 !! nm

caspremierduplusen

2

02

sin02

sin0

ax

b

you

a

xZmn

!p

!!p|TT

2,1 !! nm 2

bz !

o Modes simples0sinsin

2sin

2sin

2112!

b

y

a

xA

b

y

a

xA

TTTT

Si 10coscos2112 !sp!p!b

y

a

x

b

y

a

cAA

TT

4.4.2 Plaques minces rectangulaires

a- forceet moment

2

3

3

3

2

3

1yx

w

x

wD

yx

wD

x

C

y

MQ

f

x

t

y

x xx

x

x

x

xx

x!

x

x

x

x! YY

)(2

2

2

2222

b

n

a

mcmn ! T[

b

yn

a

xmAyxZ mnmn

TTsinsin),( !

a

b

y

x

y

xa

b

y

x

y

x


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SWEET

ENSP Page 22/24

x

x

xx

x!

x

x

xx

x!

3

3

2

3

3

3

2

3

y

w

xy

wDQ

x

w

yx

wDQ

x

x

b. Equation du mouvement

3me quation dquilibre(statique)

z

yxz P

Dy

w

yx

w

x

w

y

Q

x

QP

120

4

4

22

4

4

4

!x

x

xx

x

x

xp!

x

x

x

x

zP : Densit de force(force parunit de surface)

zPD !( [4

En dynamiqueona :

zPwhwD !( V4

Si la forceextrieur|

004 !( whwD V

a. SolutionOn prend la mme force

!

b

y

a

xmAyxZ n

TTsinsin,

Do !

0sinsin2

2

2

2

2

24

b

y

a

xmh

b

n

a

mDA nm

TTV[T

2

2

2

2

242

!

b

n

a

m

h

D

V

T[

!

2

2

2

22

b

n

a

m

h

D

VT[

Les lignes modales

0sinsin !

!

b

yn

a

xm TT

0,1,....

0,1,.....,

Pax P m

m

Pby P n

n

p ! !

! !


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SWEET

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d) Condition aux limites

Appuib

yn

a

xmM

TT[ sinsin0;0 !! convient

Guidb

yn

a

xmF

TT[ coscos0;0 !!d convient

Encastrement 0;0 !d! [[

Sparerles variables 04)4()4( !dddd YXkYXYXYX

Mthode Iguchi: se fixer arbitrairement un X(x) qui vrifie les C.L exiges et

calculer Y(y). (Calculs longs et compliqus).

Libre : mme remarque "encastrement"

Cas simples

Cas difficiles


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cours vibration chap 3 et4

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