cours_ecs1.pdf

Cours demathmatiques ECS 1re anneNouveau programme 2013

BGYN Arnaud

18/01/2014

ECS1.1, Lyce Fermat Toulouse. http://mathcpge.org/ 2

Introduction

Ce manuscrit regroupe des notes de cours de mathmatiques pour une classe dECS pre-mire anne. Jai cris ces notes lors de mes enseignements au lyce Fermat pendant lesannes 2010- ?.

Ce document nest absolument pas fig et va beaucoup voluer. Nhsitez pas menvoyertoutes vos remarques et critiques ou me signaler dventuelles erreurs ladresse "[email protected]".

Vous pouvez utiliser ce cours toutes fins utiles, condition de signaler son auteur et sonorigine. Les mises jour sont disponibles sur le site http ://mathcpge.org/.

3

Table desmatires

1 Logique - Thorie des ensembles 151 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Oprations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Produits cartsiens et familles dlments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Loi de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Fonctions caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5 Images directe et rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Dnombrement et calculs de sommes 391 Ensemble de nombres usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Ensembles finis - Dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Dnombrement des ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Dnombrement des applications entre ensembles finis . . . . . . . . . . 422.4 Coefficients binmiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Techniques de dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Calculs de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Sommes usuelles connatre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3 Formule du binme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 Gnralisation des formules de dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . 513.6 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Nombres complexes 571 Proprits des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.1 Construction rapide de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.2 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.3 Rappels de trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.4 Forme trigonomtrique dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 621.5 Applications des formules de De Moivre et dEuler . . . . . . . . . . . . . 63

2 quations polynmiales complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5

TABLE DESMATIRES

2.1 Racines nimes dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.1 Racines nimes de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.2 Racines nimes dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . 66

2.2 quations du second degr coefficients rels . . . . . . . . . . . . . . . . 673 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 Suites relles 711 Proprits gnrales de suites relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.1 Rappels sur les proprits de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.1.1 Relation dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.1.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.1.3 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.1.4 Partie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.2 Les suites relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.3 Proprits des suites relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2 Limite dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1 Suites convergentes - Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.2 Proprits des suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.3 Lensemble R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4 Thormes gnraux sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5 Suites dindices pairs et impairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.6 Bornes suprieure et infrieure dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.7 Proprits des suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3 Exemples de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1 Suites arithmtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Suites gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.3 Suites arithmtico-gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4 Suites rcurrentes linaires dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4 Comparaison des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 Suites quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3 Comparaison des suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5 Calculmatriciel et systmes linaires 991 Lespace Mnp (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991.2 Oprations dans Mnp (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.3 Matrices lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.1 Produit dunematrice par un vecteur colonne . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.2 Cas gnral : produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.3 Produit matriciel et matrices carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.4 Matrices carres inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.1 Premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.2 Matrices symtriques et antisymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4 Systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.2 Le pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116


TABLE DESMATIRES

4.3 Rang et rsolution dun systme linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.3.1 Rsolution des systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.3.2 Rang dun systme linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3.3 Rang et systmes linaires chelonns . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.4 Matrices inversibles et systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6 Espaces probabiliss finis 1271 Vocabulaire et axiomatique des probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

1.1 Lunivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271.2 vnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1281.3 Oprations sur les vnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.4 Systme complet dvnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2 Probabilit sur un espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.1 Probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.2 Construction de probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3 Probabilits conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.2 Formule des probabilits composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.3 Formule des probabilits totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.4 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4 Indpendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.1 Indpendance de deux vnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.2 Indpendancemutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.2.1 Proprits de lindpendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3 Complments sur la formule des probabilits totales : proprit deMarkov141

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7 Gnralits sur les fonctions numriques 1471 tude dune fonction relle dune variable relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1.1 Fonction relle dune variable relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471.2 Ensemble de dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471.3 Reprsentation graphique de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1481.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.5 Extremums dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.1 Fonction racine n-ime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.2 Fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552.3 Fonctions logarithmes et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.4 Fonctions puissances relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1592.5 Fonctions logarithmes et exponentielles en base a . . . . . . . . . . . . . 1602.6 Croissances compares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8 Limites et comparaison des fonctions numriques 1651 Limite en un point de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1.1 Voisinages dun point de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1651.2 Limite finie en un point x0 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1651.3 Limite infinie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1681.4 Limite finie/infinie en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170


TABLE DESMATIRES

1.5 Extensions dans le cas dune limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1721.6 Unicit de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2 Thormes gnraux sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.1 Oprations algbriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.2 Composition de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

2.2.1 Fonction compose de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 1742.2.2 Suite compose dune suite et dune fonction . . . . . . . . . . . 174

2.3 Limites et ingalits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752.3.1 Limite et ingalits locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752.3.2 Calculs de limites par ingalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

2.4 Limites des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

3.1 Fonctions quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.2 quivalents usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.3 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823.4 Croissances compares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4 Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.1 Dveloppement limit dordre n en un point x0 R . . . . . . . . . . . . . 1844.2 Dveloppements limits usuels en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.3 Oprations sur les dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.4 Dveloppements limits et recherche de fonction quivalente . . . . . . 189

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

9 Polynmes 1931 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1931.2 Oprations sur les polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951.3 Parit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

2 Racines dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972.1 Arithmtique dansK[X ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972.2 Racines dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982.3 Thorme de dAlembert-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

3 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003.1 Drive dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003.2 Formule de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.3 Formule de Taylor et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10 Variables alatoires discrtes 2051 Variables alatoires discrtes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2051.2 vnements associs une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2061.3 Loi de probabilit dune VARD finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2071.4 Fonction de rpartition dune VARD finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2081.5 Transfert de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

2 Esprance mathmatique dune VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112.2 Thorme de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2122.3 Variance dune VARD finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214


TABLE DESMATIRES

3.1 Loi certaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2143.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153.3 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2163.4 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

11 Introduction aux espaces vectoriels 2231 Gnralits sur les espace vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

1.1 Espace vectoriel surK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2231.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.1 Combinaisons linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.2 Sous-espace vectoriel engendr par une famille de vecteurs . . . . . . . . 2272.3 Familles gnratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2282.4 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2292.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

12 Sries numriques 2371 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2371.2 Proprits des sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

2 Sries termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412.1 Rgles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412.2 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

3 Sries de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2453.1 Sries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2453.2 Sries gomtriques et leurs drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2463.3 Sries exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2473.4 Mthodologie pour tudier la nature dune srie . . . . . . . . . . . . . . 248

4 Produit de sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2485 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13 Espaces probabiliss quelconques 2531 Vocabulaire et axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

1.1 Lunivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2531.2 La tribu des vnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2531.3 Systmes complets dvnements dnombrables . . . . . . . . . . . . . . 2551.4 Probabilits sur un espace probabilis quelconque . . . . . . . . . . . . . 2561.5 Proprits de continuitmonotone pour une probabilit . . . . . . . . . 2581.6 vnements ngligeables et presque srs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2591.7 Probabilits conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2601.8 Indpendancemutuelle dune famille dnombrable dvnements . . . 261

2 Variables alatoires relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2622.1 Variables alatoires relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2622.2 Loi et fonction de rpartition dune variable alatoire relle . . . . . . . . 263

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265


TABLE DESMATIRES

14 Variables alatoires discrtes 2671 Variables alatoires discrtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2671.2 Lexprience a-t-elle une fin ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2691.3 Fonction de rpartition dune VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.4 Transfert de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

2 Esprance mathmatique dune VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2742.1 Esprance mathmatique dune VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2742.2 Moments dune VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2762.3 Variance dune VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2793.1 Loi gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2793.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

15 Continuit des fonctions numriques 2871 Continuit dune fonction numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

1.1 Continuit en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2871.2 Continuit droite ou gauche en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . 2871.3 Continuit sur un intervalle - Prolongement par continuit . . . . . . . . 2901.4 Continuit des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911.5 Oprations arithmtiques sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . 292

2 Continuit sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2922.1 Thorme des valeurs intermdiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2932.2 Thorme de continuit sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

3 Fonctions continues et bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2973.1 Thorme de la bijectionmonotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2973.2 La fonction arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

16 Drivabilit des fonctions numriques 3051 Drivabilit dune fonction numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

1.1 Drivabilit en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3051.2 Drivabilit droite ou gauche en un point . . . . . . . . . . . . . . . . 3061.3 Interprtations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3071.4 Drivabilit sur une partie de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

2 Oprations sur les drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3092.1 Oprations arithmtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3092.2 Drive dune compose, dun quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3102.3 Drive dune bijection rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

3 Tableaux rcapitulatifs des drives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . 3124 Drivabilit sur un intervalle dune fonction valeurs relles . . . . . . . . . . . 313

4.1 Lien entre extremum et drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3134.2 Thorme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3134.3 Thorme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3144.4 Lien entre drive et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

5 Drives dordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3165.1 Drives successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3165.2 Fonctions de classe C n, de classeC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3175.3 Classe de rgularit des fonction usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318


TABLE DESMATIRES

5.4 Oprations arithmtiques sur les fonctions de classe C n/C . . . . . . . 3195.5 Composition de fonctions de classeC n/C . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

6 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3206.1 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3206.2 Ingalit de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216.4 Recherche dextremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

7 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3248 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

17 Espaces vectoriels de dimension finie 3311 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

1.1 Cardinal dune famille finie de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.2 Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.3 Familles de vecteurs en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3362.1 Inclusion et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3362.2 Rang dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3372.3 Somme de deux sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3382.4 Somme k 2 sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3412.5 Sommes et sommes directes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 343

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

18 Intgration sur un segment 3491 Intgrale sur un segment dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

1.1 Primitive dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3491.2 Tableaux rcapitulatifs des primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 3501.3 Intgrale sur un segment dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . 3511.4 Extension aux cas des fonctions continues par morceaux sur un segment 3541.5 Fonctions dfinies par une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

2 Calcul intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3562.1 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3572.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3572.3 Sommes de Riemann pas constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3592.4 Formule de Taylor avec reste intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

19 Applications linaires 3671 Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

1.1 Dfinitions et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3671.2 Oprations sur les applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

1.2.1 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3691.2.2 Somme et multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . 3691.2.3 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3691.2.4 Bijection rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

1.3 Noyau et image dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711.4 Image dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3721.5 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

2 Applications linaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3742.1 Rang dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374


TABLE DESMATIRES

2.2 Matrice dune famille finie de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3772.3 Matrice dune application linaire dans des bases . . . . . . . . . . . . . . 3782.4 Interprtation du produit dunematrice par un vecteur colonne . . . . . 3802.5 Interprtation du produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 3822.6 Cas des endomorphismes et des matrices carres . . . . . . . . . . . . . 3832.7 Rang dunematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

20 Intgrales gnralises 3931 Dfinitions et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

1.1 Cas dun intervalle [a,b[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3931.2 Cas dun intervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

2 Proprits fondamentales des intgrales gnralises . . . . . . . . . . . . . . . . 3962.1 Relation de Chasles pour les intgrales gnralises . . . . . . . . . . . . 3972.2 Linarit des intgrales gnralises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3972.3 Positivit des intgrales convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3982.4 Croissance des intgrales convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3992.5 Calcul des intgrales gnralises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

2.5.1 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3992.5.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

3 Nature dune intgrale gnralise dune fonction positive . . . . . . . . . . . . 4003.1 Utilisation des intgrales partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4003.2 Critres de comparaison des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . 4013.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

4 Intgrales de rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4034.1 Intgrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4034.2 Intgrales utiles en probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

4.2.1 Lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4044.2.2 Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

4.3 Mthodologie pour tudier la nature dune intgrale gnralise . . . . . 4055 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

21 Variables alatoires relles densit 4091 Dfinitions et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

1.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4091.2 Densits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4101.3 Interprtation des fonctions densits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4141.4 Blian sur les fonctions de rpartitions et fonctions densits . . . . . . . . 4141.5 Transfert de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

2 Esprance dune variable alatoire densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4172.1 Esprance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4172.2 Thorme de transfert pour les VAR densit . . . . . . . . . . . . . . . . 4182.3 Moments dune VAR densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4192.4 Variance dune VAR densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4223.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4233.3 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

3.3.1 Loi normale centre rduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4263.3.2 Loi normale : cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427


TABLE DESMATIRES

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

22 Convergences et approximations en probabilits 4351 Convergence en probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

1.1 Ingalit de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4351.2 Ingalit de Bienaym-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4361.3 Convergence en probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4361.4 Loi faible des grands nombres pour la loi binomiale . . . . . . . . . . . . 437

2 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4372.1 Approximation binomiale-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4382.2 Thorme central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440


TABLE DESMATIRES


Chapitre 1

Notions lmentaires de logique et dethorie des ensembles

1 Notation

Traditionnellement, les objets mathmatiques (nombres, fonctions...) sont nots avec unelettre de lalphabet pouvant tre minuscule, majuscule, capitale etc... Lorsquon se donneune liste de n objets on utilise un indice : x1, x2, . . . , xn . On peut aussi utiliser un indicesuprieur, plac entre parenthses pour ne pas le confondre avec la puissance : x(1), x(2), . . . ,x(n). Lorsque lon considre un tableau de nombres, on a recourt au double-indiage : xi jdsigne llment situ lintersection de la ligne i et de la colonne j .

Pour varier les notations, on utilise aussi laplhabet grec, dont nous rappelons ci-dessous lesminuscules et majuscules. Il est vivement recommander de bien le connaitre (sous peine defaire sourire son examinateur loral).

Minuscule Majuscule Nom

A Alpha B Bta Gamma Delta E Epsilon Z Dzta H ta Thta I Iota K Kappa Lambda M Mu

Minuscule Majuscule Nom

N Nu Xio O Omicron Pi P Rh Sigma T Tau Upsilon Phi X Chi Psi Omega

On utilisera aussi les abrviations suivantes :- cqfd = ce quil fallait dmontrer :- ie = id est = cest--dire ;- p/r = par rapport ;

15

CHAPITRE 1 : Logique - Thorie des ensembles

- resp. = respectivement.Ce cours de mathmatiques est organis selon une srie de dfinitions, signales par uncadre vert, par une srie de thormes signals par un cadre rouge, le tout illustr par desexemples et des exercices, ces derniers tant signals par un cadre gris. Certains chapitrescomportent des explications sur la manire de rdiger. Celles-ci sont signals par un cadrejaune.

Le mot thorme est rserv des rsultats mathmatiques jugs importants. Dans le casdun thorme facile, on utilise le mot proposition. Parfois, on reformule certains tho-rmes dans des cas simples, directement utilisables en pratiques : on parle alors de corol-laires. Enfin certaines dmonstrations plus ardues que les autres ncessiteront de dmon-trer des petites propositions intermdiares appeles lemmes.

2 Logique

Un prdicat est un nonc mathmatique qui est soit juste, soit faux. On dit quun prdicatne peut prendre que deux valeurs logiques : V ou F (i.e. Vrai ou Faux).

Par convention, lorsquon nonce une prdicat, on sous-entend toujours quil est vrai.

Exemple : La fonction f est croissante sur lintervalle I .

Soient A et B deux prdicats. On dfinit les oprations suivantes.

Ngation : La ngation de A est note non(A) ou A. Elle est dfinie par la table de vritsuivante :

A non(A)

V F

F V

On a bien videmment non(non(A)) = A = A (lgalit signifie que les deux prdicats ontmme table de vrit).

Et : Le prdicat A et B est dfini par :

A B A et B

V V V

F V F

V F F

F F F

On a bien videmment A et B =B et A. Ou : Le prdicat A ou B est dfini par :

A B A ou B

V V V

F V V

V F V

F F F


2 Logique

On a bien videmment A ou B =B ou A.

Remarquons quil sagit dun ou inclusif, cest--dire que les deux prdicats peuvent trevrais en mme temps (contrairement au ou exclusif).

Proposition 1 Lois deMorganLes prdicats suivants ont mme table de vrit. non(A et B) et non(A)ou non(B) non(A ou B) et non(A)et non(B)

Implication : Le prdicat A =B est dfini par :

A B A =BV V V

F V V

V F F

F F V

En pratique, on ne considre que les premire et troisime lignes de cette table de vrit,cest--dire que lon traduit le prdicat A = B par : si A est vrai alors B est vrai, ou encorepour que A soit vrai il faut que B soit vrai, pour que B soit vrai il suffit que A soit vrai. On ditque A est une condition suffisante pour B et que B est une condition ncessaire pour A.

Exemple : On pose A = Le chien court sous la pluie et B = Le chien est mouill . Il estclair que A =B . Par contre on a pas B = A (le chien est peut-tre tomb dans la piscine !).Dans ce cas, on dit que la rciproque de limplication A = B est fausse. On peut donc direque pour que le chien court sous la pluie, il faut quil soit mouill , pour que le chien soitmouill, il suffit quil court sous la pluie .

Rdaction : Pour montrer que A = B , on procde de la faon suivante. On suppose que laprdicat A est vrai ; on doit alors montrer que B est vrai.

Pour montrer quune implication est vraie on utilise parfois le raisonnement par contrapo-se. Pour prouver que A = B est vrai, on montre que non(B) = non(A) est vrai, cest--dire : si B est fausse alors A est fausse. En effet, on peut vrifier que ces deux prdicats ont lamme table de vrit.

Exemple :Montrer que les prdicats A = B et non(A)ou B ont mme table de vrit. Endduire que les prdicats A =B et non(B)= non(A) ont mme table de vrit (raisonne-ment par contrapose).

quivalence : Le prdicat A B est dfini par :

A B A BV V V

F V F

V F F

F F V



En pratique, on ne considre que la premire ligne de cette table de vrit, cest--dire quelon traduit la proposition A B par : A est vrai si et seulement si = (ssi) B est vrai, ouencore pour que A soit vrai il faut et il suffit que B soit vrai. On dit que A (resp. B) est unecondition ncessaire et suffisante pour B (resp. pour A).

Pourmontrer quune quivalence est vraie on raisonne trs souvent pardouble-implication :on montre que A = B est vrai puis que B = A lest aussi. En effet, on peut vrifier que lesprdicats A B et A =B et B = A ont la mme table de vrit.

Exemple :Montrer que le prdicat A B , et le prdicat (A = B) et (B = A) ont mmetable de vrit.

Rdaction : Pour montrer que A B , on procde donc par double-implication. On suppose que la prdicat A est vrai ; on doit alorsmontrer que B est vrai. On en dduitque A =B est vrai. On suppose que la prdicat B est vrai ; on doit alorsmontrer que A est vrai. On en dduitque B = A est vrai.On peut alors conclure que A B est vrai.

Raisonnement par labsurde : Pour montrer quun prdicat A est vraie, on peut choisir deraisonner par labsurde : on suppose que A est faux, et on essaye daboutir une contradic-tion vidente du type 2< 1 ou 0< x < 0 etc...

Exemple : Soit x > 0. Dmontrer par labsurde que 2x > x.

Raisonnement par rcurrence : Soit P (n) un prdicat qui dpend dun entier n N. Onveut dmontrer quil existe un entier n0 fix tel que P (n) est vraie pour tout n n0. On dis-pose pour cela de diffrents rsultats.

Thorme 2 Rcurrence simpleOn suppose que :(i) Initialisation : il existe n0 N tel que P (n0) est vrai ;(ii) Hrdit : pour n n0 fix quelconque, P (n) vrai = P (n+1) vrai.Alors on sait que P (n) est vrai pour tout n n0.

Exemple : Pour n 1, 1+2+3+ +n = n(n+1)2

.

Thorme 3 Rcurrence deux pasOn suppose que :(i) Initialisation deux pas : il existe n0 N tel que P (n0) et P (n0+1) sont vrais ;(ii) Hrdit deux pas : pour n n0 fix quelconque, P (n) et P (n+1) vrais= P (n+2) vrai.Alors on sait que P (n) est vrai pour tout n n0.

Exemple : Onpose F0 = F1 = 1 et pourn 0, Fn+2 = Fn+Fn+1.Montrer que pourn 0, Fn 0.


3 Ensembles

Thorme 4 Rcurrence forteOn suppose que :(i) Initialisation : il existe n0 N tel que P (n0) est vrai ;(ii) Hrdit forte : pour n n0 fix quelconque, P (n0), P (n0+ 1), P (n0+ 2), . . . , P (n) vrais= P (n+1) vrai.

Alors on sait que P (n) est vrai pour tout n n0.

Exemple : On pose u1 = 3 et pour n 1, un+1 = 2n

(u1+u2+ +un

). Montrer que pour n 1,

un = 3n.

3 Ensembles

3.1 Dfinitions

Dfinition 5 EnsemblesUn ensemble E est une collection dobjets appels lments. On note x E lorsque x estlment de E , et x E dans le cas contraire.

Exemple : Un ensemble peut donc tre dfini en numrant la liste de ses lments (entreaccolades) :- {a} = ensemble form dun unique lment a = singleton-E = ensemble des couleurs dun jeu de 32 cartes = {coeur, carreau, trfle, pique} (4 lments)-N = ensemble des entiers naturels = {0,1,2,3, . . .} (infinit dlments)

Soit P (x) une prdicat dpendant de x lment de E .

Dfinition 6 Quantificateurs

1. Lorsque P (x) est vrai pour tous les lments x de E , on le note :

x E , P (x)

Le symbole est appel quantificateur quel que soit .2. Lorsque P (x) est vrai pour aumoins un lment x de E , on le note :

x E/P (x) ou x E ; P (x)

Le symbole est appel quantificateur il existe .3. Lorsque P (x) est vrai pour un unique lment x de E , on le note :

!x E/P (x) ou !x E ; P (x)

Le symbole ! est appel quantificateur il existe un unique .



Rdaction :

1. Pour montrer que x E , P (x) , on procde de la manire suivante : on se donnex E fix quelconque et le but est laors de montrer que P (x) est vrai pour ce x.

2. Pour montrer que x E/P (x) , on procde de la manire suivante : on doit trouverx E tel que P (x) soit vrai, par exemple en rsolvant une quation dinconnue x et enprouvant que cette quation a aumoins une solution.

3. Pour montrer que !x E/P (x) , on procde de lamanire suivante : on doit trouverun unique x E tel que P (x) soit vrai, par exemple en rsolvant une quation dincon-nue x et en prouvant que cette quation a une unique solution.

Il faut connatre la ngation de ces quantificateurs.

Proposition 7 Lgalit signifiant que les prdicats ont mme table de vrit :

1. non(x E , P (x))=x E ; non(P (x)).

2. non(x E ; P (x))=x E , non(P (x)).

Nous allons maintenant voir comment comparer deux ensembles.

Dfinition 8 InclusionSoient E et F deux ensembles. On dit que E est inclus dans F et on le note E F ou E F ,lorsque tout lment de E est aussi lment de F , i.e. lorsque :

x E , x F

ou encore :x E = x F

On dit aussi que E est un sous-ensemble de F , ou que E est une partie de F .

Dans le cas contraire, on note E 6 F et on a : x E/ x F .

B ATTENTION : dans lensemble R des nombres rels, on peut toujours comparer deuxnombres x et y : on a x y et x y . On dit que la relation dordre est totale. Mais cenest pas le cas pour les ensembles : si A et B sont deux ensemble quelconques, on peutavoir A 6B et B 6 A.

Exemple : Dans R, si A =Z et B =R+ = [0,+[, alors A 6B et B 6 A.

Exemple : Sur lexemple suivant, on a : A 6B et B 6 A.

BA


3 Ensembles

Rdaction : Pour montrer que E F on se donne x E fix quelconque, et on dmontre quex F .

Proposition 9 Si E , F , G sont trois ensembles :(i) on a E E ;(ii) si E F et F G alors E G .

Dfinition 10 EgalitSoient E et F deux ensembles.On dit que E = F lorsque E F et F E , i.e. lorsque : x E x F .

Si E F mais F 6 E alors on dit que E est strictement inclus dans F , et on le note E ( F .Rdaction : Pour montrer que E = F on procde donc par double-inclusion. On se donne x E fix quelconque ; on doit alors montrer que x F . On en dduit que

E F . On se donne x F fix quelconque ; on doit alors montrer que x E . On en dduit que

F E .On peut alors conclure que E = F .On dfinit un ensemble particulier qui ne possde pas dlment.

Dfinition 11 Ensemble videOn appelle ensemble vide, not ;, lensemble qui ne possde pas dlment. Il est inclusdans tout autre ensemble ; il ne possde quun sous-ensemble : lui-mme.

Trs souvent on dfinit un sous-ensemble en imposant que ses lments vrifient une cer-taine proprit.

Dfinition 12 Sous-ensemble dfini par une propritSoient E un ensemble et P (x) une proprit dpendant de x lment de E . Lensemble deslments de E vrifiant la proprit P (x) est not :

{x E /P (x)} ou encore {x E ; P (x)}

Cest un sous-ensemble de E .

Exemple : A = {x R/x23x+2 1} est une partie de R.

Dfinition 13 Ensemble des partiesSi E est un ensemble, on note P (E ) lensemble par les parties de E .On a donc pour F un ensemble quelconque :

F E F P (E )



On a toujours;P (E ) et E P (E ).

Exemple : Si E est un singleton : E = {a}, alors P (E )= {;,E}.Terminons ce paragraphe par un paradoxe simple et clbre, appel paradoxe de Russel :il nexiste pas densemble de tous les ensembles. Ce paradoxe est plus facile comprendresous la forme du paradoxe du barbier : il nexiste pas de barbier qui raserait tous les hommesqui ne se rasent pas eux-mmes (et seulement ceux-l). En effet, qui raserait ce barbier ?

3.2 Oprations sur les ensembles

Dfinition 14 Soient A et B deux parties dun ensemble E . On dfinit :(i) lintersection de A et B , note AB , par :

x AB x A et x B

(ii) lunion de A et B , note AB , par :

x AB x A ou x B

Les figures suivantes reprsentent lunion et lintersection de deux ensembles A et B .

Proposition 15 Rgles de calcul.Si A, B et C sont trois parties dun ensemble E :1) AB A AB ;2) Associativit :

(AB)C = A (B C ) et (AB)C = A (B C ) ;

3) A A = A A = A, A;=; et A;= A ;4) Commutativit : AB =B A et AB =B A ;5) Distributivit de par rapport : A (B C )= (AB) (AC ),Distributivit de par rapport : A (B C )= (AB) (AB).La proprit dassociativit de lunion permet de se dispenser des parenthses et dutiliser lanotation AB C pour lunion de trois ensembles : en effet, cette notation dsigne indiff-remment (AB)C ou A (B C ), et ces deux quantits sont gales donc cela ne pose pasde problme de confusion.La mme remarque est valable pour lintersection : on peut utiliser la notation AB C .


3 Ensembles

B Par contre, dans une expressionmlangeant union et intersection, on ne peut pas se dis-penser des parenthses.Par exemple la notation AB C na aucun sens ! En effet, elle peut dsigner (AB)C ouA (B C ), et comme ces deux quantits sont diffrentes, on ne sait plus de quo on parle !

Les figures suivantes reprsentent lunion et lintersection de trois ensembles A, B et C .

Les proprits de distributivit sont aussi trs importantes : elle sont rapprocher de la dis-tributivit de la multiplication par rapport laddition des nombres. Les figures suivantespermettent de visualiser les formules A(BC )= (AB)(AC ) et A(BC )= (AB)(

AB).

Dfinition 16 On dit que deux parties A et B dun ensemble E sont disjointes ou incompa-tibles lorsque AB =;.

B ATTENTION ! Ne pas confondre A et B disjoints : AB = ;, et A et B distincts : A 6= B .Deux ensembles disjoints sont distincts (ou vides), mais deux ensembles distincts ne sont engnral pas disjoints.

Les figures suivantes reprsentent deux ensembles distincts mais non disjoints, et deux en-sembles disjoints (donc distincts).

BA BA



Dfinition 17 Complmentaire.Soit A une partie dun ensemble E . Le complmentaire de A dans E , not E A, est dfini par :

E A ={

x E/ x A}Lorsquil ny a pas dambigut sur E , E A est not plus simplement A.

Les figures suivantes reprsentent une partie A et son complmentaire (lensemble E estreprsent par un carr).

Proposition 18 Rgles de calcul.Si A est une partie de E :

1) A = A ;2);= E et E =; ;3) A A = E et A A =;.

Exemple : Si A et B parties de E : AB =; A B .

Thorme 19 Lois deMorganSi A, B parties de E :1) AB = AB ;2) AB = AB .

Les deux figures suivantes permettent de visualiser les lois deMorgan.


3 Ensembles

Dfinition 20 DiffrenceSi A, B parties de E : AB = AB = {x A/x B}. On le note aussi A\B .La figure suivante reprsente A\B .

3.3 Produits cartsiens et familles dlments

Dfinition 21 Produit cartsienSoient E et F deux ensembles. On note E F lensemble des couples (x, y) tel que x E ety F :

E F = {(x, y)/ x E et y F}E F est appel produit cartsien de E et de F .Plus gnralement, si E1, E2, . . . , En sont n ensembles, on note E1E2 En lensembledes n-uplets (x1, . . . ,xn) tels que x1 E1, x2 E2, . . . , xn En .Si E1 = E2 = = En = E , alors E1E2 En est not E n .

Exemple : R3 =RRR= {(x, y,z)/ x R, y Retz R}.Dfinition 22 Famille dlments de ESoient I un ensemble (appel ensemble dindices), et E un autre ensemble. On dit que(xi )iI est une famille dlments de E indexe par I lorsque, pour chaque i I , xi est unlment de E .Par exemple pour I = 1,n, (xi )iI = (x1, . . . ,xn) est un n-uplet, et pour I = N,(xi )iI = (xn)nN est une suite.

Exemple : (p

x)x0 est une famille dlments de R, indexe par R+.

Dfinition 23 Famille de parties de EOn dit que (Ai )iI est une famille de parties de E , lorsque pour i I , Ai est une partie de E .

Dans ce cas (Ai )iI est une famille dlments de P (E ), au sens de la dfinition donne pr-cdemment.



Exemple :

([1,1+ 1

n

])nN

est une famille de parties de R, indexe parN.

Dfinition 24 Si (Ai )iI est une famille de parties de E , on dfinit lunion des Ai pour i I ,note

iI

Ai , par :

x iI

Ai i I/x Ai

Demme on dfinit leur intersectioniI

Ai :

x iI

Ai i I , x Ai

Exemple :

nN

[1,1+ 1

n

[= [1,2[ et

nN

[1,1+ 1

n

[= {1}.

Proposition 25 Rgles de calcul.Si B est une partie de E et (Ai )iI est une famille de parties de E , alors :

1) Distributivit de par rapport :(

iIAi

)B =

iI

(Ai B

),

et de par rapport :(

iIAi

)B =

iI

(Ai B

).

2) Lois de Morgan :iI

Ai =iI

Ai etiI

Ai =iI

Ai .

Dfinition 26 Si (Ai )iI famille de parties de E , on dit que les Ai sont deux deux disjointslorsque :

i , j I , i 6= j = Ai A j =;

B ATTENTION : les accolades dfinissent des ensembles et les parenthses des familles.Pour les ensembles, les rptitions ne sont pas prises en compte, contrairement aux familles :{a,a,b}= {a,b} mais (a,a,b) 6= (a,b).Pour les ensembles lordre nest pas pris en compte, contrairement aux familles : {a,b} ={b,a} mais (a,b) 6= (b,a).


4 Applications

4 Applications

4.1 Dfinitions

Dfinition 27 Application.Soient E et F deux ensembles. Une application dfinie sur E valeur dans F :

f : E Fx 7 f (x)

est une "relation" qui chaque x E associe un unique lment y F , not f (x).On le note f : E F .f (x) est appel image de x, et si y = f (x) alors x est appel antcdent de y .

Vocabulaire : f : E F se lit " f est une applicationde E vers F" ou encore " f est une applicationdfiniesur E valeurs dans F". x 7 f (x) se lit " x est associ son image f (x)".

Lorsque f nest pas dfinie sur E tout entier, on dit que f est une fonction, mais les confu-sions de vocabulaire entre applications et fonctions sont tolres cette anne.

B On suppose doncdans tout ce chapitre que les applications sont dfinies sur E tout entier.On ne donnera donc pas lensemble de dfinition de f , puisque ce sera chaque fois E toutentier.

Si chaque x E la "relation" associe plusieurs lments de F , on ne parle pas dapplicationmais de correspondance de E vers F (mais ce nest pas du tout au programme).

Exemple : On associe x R sa valeur absolue : cest une application de R vers R.

Exemple : On associe n N ses diviseurs positifs : cest une correspondance deN versN.

Exemple : f :R2 R dfinie par f (x, y)= x2+x y est une application.

Dfinition 28 Graphe dune applicationLe graphe de f est le sous-ensemble de E F donn par :

G = {(x, f (x)) E F/x E}

Notation : On note F (E ,F ) ou F E lensemble de toutes les applications dfinies sur E va-leurs dans F .

Une application peut tre reprsente par un diagramme :



Sur le diagramme prcdent on voit quun lment de lensemble darrive peut navoir au-cun antcdent, ou en avoir plusieurs.

B Important : lorsque f : E F , ie f va de E vers F , on suppose en particulier que :

x E , f (x) F

Dfinition 29 galit de deux applications.Soient f : E F et g : E F sont deux applications. On dit que f et g sont gales, et onle note f g , lorsque E = E , F = F et :

x E , f (x)= g (x)

En particulier, si E = E et F = F alors f 6 g si et seulement si : x E ; f (x) 6= g (x).

B Par exemple, on considre que les applications sin : R R et sin : R [1,1] sontdiffrentes.

Dfinition 30 Applications constantes.Soient E et F deux ensembles. Une application f : E F est dite constante lorsquil existea F tel que :

x E , f (x)= aOn dit alors que f est constante gale a.

Dfinition 31 Application identit.Si E est un ensemble on dfinit lapplication :

idE : E Ex 7 idE (x)= x

Nous verrons plus loin quelle joue le rle dlment neutre pour la loi de composition.


4 Applications

Dfinition 32 RestrictionSoit f : E F une application.1) Si E1 E alors on appelle restriction de f E1, note f|E1 , lapplication :

f|E1 : E1 Fx 7 f|E1(x)= f (x)

On a donc : x E1, f|E1(x)= f (x).2) Soient E1 E et F1 F tel que : x E1, f (x) F1.On appelle restriction de f E1 au dpart et F1 larrive, note f

|F1|E1 , lapplication :

f|F1|E1 : E1 F1

x 7 f |F1|E1 (x)= f (x)

On a : x E1, f|E1(x)= f (x).

Exemple : sin :RR peut tre restreinte [0,[ au dpart et [0,1] larrive. La restrictionest alors note sin|[0,1]|[0,[.

Dfinition 33 ProlongementSoit f : E F une application.1) Si E E2 alors on appelle prolongement de f E2 toute application g : E2 F telle queg |E = f ie telle que : x E , g (x)= f (x).2) Si E E2 et F F2, alors on appelle prolongement de f E2 au dpart et F2 larrive,toute application g : E2 F2 telle que g |F|E f ie telle que : x E , g (x)= f (x).

4.2 Loi de composition

Dfinition 34 Compose dapplications.Soient deux applications f : E F et g : F G telle que F F . On dfinit lapplicationcompose g f : E G par :

x E , (g f )(x)= g ( f (x))On a le diagramme :

Fg// G

E

f

OO

g f

??

B ATTENTION : ne pas crire g (x) f (x) la place de g f (x) !En effet la notation g (x) f (x) na pas de sens, et tout calcul qui lemploi est donc irrmdia-blement faux/



Proposition 35 Soit f : E F une application. On a f idE f et idF f f .

Proposition 36 On se donne trois applications Ef F gG hH .

On a la proprit dassociativit : h (g f ) (h g ) f .

On peut donc sans ambiguit utiliser la notation h g f (les parenthses sont omises).On a alors pour x E : h g f (x)= h

(g(

f (x))).

4.3 Injection, surjection, bijection

Dfinition 37 Soit f : E F une application.On dit que f est injective sur E (ou que f est une injection) lorsque :

(x1,x2) E2, f (x1)= f (x2) = x1 = x2ou encore par contrapose :

(x1,x2) E2, x1 6= x2 = f (x1) 6= f (x2)

Deux points distincts ont donc toujours des images distinctes.De manire quivalente ont peut dire que les points de F ont au plus un antcdent par f .

Rdaction : Pour montrer que f est injective sur E on fixe x1 et x2 lments de E tels quef (x1)= f (x2). On doit alors montrer que x1 = x2.Pour montrer que f nest pas injective sur E on cherche deux lments distincts x1 et x2dans E tels que f (x1)= f (x2).

Exemple : f :RR dfinie par f (x)= x2 nest pas injective sur R, et g :R+ R dfinie parg (x)= x2 est injective sur R+.

Dfinition 38 Soit f : E F une application.On dit que f est surjective de E sur F (ou que f est une surjection) lorsque :

y F, x E/ y = f (x)

De manire quivalente on peut dire que les points de F ont tous au moins un antcdentdans E .

Rdaction : Pour montrer que f est surjective de E sur F on fixe y lment de F . On doitalors trouver au moins un x lment de E tel que f (x)= y .Pour montrer que f nest pas surjective de E sur F on cherche y lment de F qui na pasantcdent par f dans E , ie tel que f (x) 6= y pour tout x E .


4 Applications

Exemple : f : R R dfinie par f (x) = x2 nest pas surjective de R sur R, et g : R R+dfinie par g (x)= x2 est surjective de R sur R+.B Attention la subtilit suivante : si x E on peut toujours poser y = f (x) et on dfinity F .Par contre si y F , on ne peut pas en gnral dfinir x E en posant y = f (x). En effetceci suppose que y a un antcdent par f . Si f est surjective, il est possible de dfinir x enposant y = f (x), mais il est plus clair de dire on note x un antcdent de y par lapplicationsurjective f .

Dfinition 39 Soit f : E F une application. On dit que f est bijective de E sur F (ou quef est une bijection) lorsque f est la fois injective et surjective :

y F, !x E/ y = f (x)

Un point de F a donc toujours un unique antcdent dans E .

Rdaction :

1. Pourmonter que f est bijective de E sur F on fixe y lment de F . On doit alors trouverun unique x lment de E tel que f (x)= y .

2. On peut aussi procder en deux temps enmontrant que f est injective, puis surjective.

Le diagramme suivant illustre ces notions dinjection/surjection/bijection.

B Attention, en gnral une applicationnest ni injective, ni surjective. Considrer par exemplef :RR dfinie par f (x)= x2.Exemple : f :RR+ dfinie par f (x)= x2 nest pas bijective deR surR+, g :R+ Rdfiniepar g (x)= x2 nest pas non plus bijective deR+ sur R, mais h :R+ R+ dfinie par h(x)= x2est bijective de R+ sur R+.

Proposition 40 Soient deux applications Ef F gG .

(i) Si f est injective sur E et g injective sur F , alors g f est injective sur E .(ii) Si f est surjective de E sur F et g surjective de F sur G , alors g f est surjective de E surG .(iii) Si f est bijective de E sur F et g bijective de F sur G , alors g f est bijective de E sur G .

Le diagramme suivant donne un exemple montrant quon peut avoir g f et g surjectives,mais f non surjective.



Dfinition 41 Inversibilit pour la loi de composition.Soit f : E F une application. On dit quelle est inversible pour la loi de composition lors-quil existe une application g : F E telle que g f idE et f g idF .Une telle fonction g est appele application rciproque de f .

Proposition 42 Unicit de linverse pour la loi de composition.Soit f : E F inversible pour la loi de composition.Alors elle admet une unique application rciproque : on la note f 1.

Si elle existe, lapplication rciproque de f : E F a donc les proprits suivantes : f 1 : F E f 1 f idE et f f 1 idF Pour x E et y F : f (x)= y x = f 1(y)B Lorsque f est valeurs dans R (ou dans C), ne pas confondre f 1 avec linverse de fpour la multiplication !

Pour cette raison, linverse de f pour la multiplication est souvent note1

f.

Thorme 43 Thorme de la bijection rciproque.Soit f : E F une application. On a quivalence de :(i) f est bijective de E sur F ;(ii) f est inversible pour la loi de composition.Lapplication f 1 est donc bijective de F sur E , on lappelle aussi la bijection rciproque def .De plus,

(f 1

)1 f .Sur un diagramme, linverse f correspond inverser le sens des flches.


4 Applications

On dispose donc de trois mthodes pourmontrer quune application f est bijective :

1. Montrer que f est injective et surjective.

2. Pour y F , rsoudre lquation y = f (x) dinconnue x E .Si on obtient une unique solution, on montre que f est bijective. De plus, lexpressionobtenue donne la fonction f 1 : x = f 1(y).

3. On cherche une fonction g : F E telle que : f g idF et g f idE .Si on trouve une telle fonction, onmontre que f est bijective. De plus f 1 = g .

Remarquez que les deux dernires mthodes donne aussi la fonction rciproque de f , enplus de la bijectivit.

Exemple : f : x R+ 7 ex2 [1,+[ est bijective de rciproquef 1 : y [1,+[7ln(y) R+ (utiliser 2.).Exemple : idE est bijective et id

1E = idE (utiliser 3.).

B On peut avoir f g idF et g f 6 idE . Dans ce cas f nest pas une bijection. Considrerg : R+ R et f : R R+ dfinies par g (x)=px et f (x)= x2. On peut aussi visualiser cetteproprit sur le diagramme suivant :

Dans le cas dune fonction dfinie sur un intervalle de R et valeurs dans R, on a aussi unequatrimemthode pour dmontrer la bijectivit qui repose sur le thorme suivant.

Thorme 44 Thorme de la bijectionmonotoneSoit f : I R. On suppose que :(i) I est un intervalle de R ;(ii) f est continue sur I ;(iii) f est strictementmonotone sur I .Alors f induit une bijection de I sur un intervalle J , dterminer avec le tableau de varia-tions.

Exemple : Pour n N, la fonction f : x R+ 7 xn R induit une bijection de R+ sur R+.

Dfinition 45 Fonction racine n-imeLa bijection rciproque de la fonction f : x R+ 7 xn R+ est appele fonction racine n-ime note np .Pour x et y dans R+, on a : xn = y x = n

py .



B np nest dfinie que sur R+. Par exemple 3p1 nest pas dfini, bien que (1)3 =1 . . .

Proposition 46 Bijection rciproque dune compose.

Soient Ef F gG bijectives. Alors g f est bijective et (g f )1 f 1 g1.

Lordre a t invers, mais cela parat logique intuitivement : pour inverser f compose parg , il faut inverser g puis ensuite f .

4.4 Fonctions caractristiques

Dfinition 47 Soit A une partie dun ensemble E . On appelle fonction caractristique de Alapplication :

1A : E {0,1}x 7 1A(x)=

{1 si x A0 si x A

Exemple : La fonction 1; est constante gale 0, et la fonction 1E est constante gale 1.

Proposition 48 Rgles de calcul.Soient A, B parties de E .

1. On a : A B x E , 1A(x)1B (x),et : A =B x E , 1A(x)=1B (x) ;

2. x E , 1A(x)= 11A(x) ;3. x E , 1AB (x)=1A(x)1B (x) ;4. x E , 1AB (x)=1A(x)+1B (x)1A(x)1B (x).

Exemple : Redmontrer les lois deMorgan laide des fonctions caractristiques.


4 Applications

4.5 Images directe et rciproque

Dfinition 49 Soit f : E F une application.1. Si A E , on appelle image directe de A par f lensemble :

f (A)= { f (x)/x A}= ensemble des y F qui ont un antcdent par f dans AOn a f (A) F .De plus, si y F : y f (A)x A/ y = f (x)

2. Si B F , on appelle image rciproque de B par f lensemble :

f 1(B)= {x E/ f (x) B}= ensemble des x E qui ont leur image dans BOn a f 1(B) E .De plus, si x E : x f 1(B) f (x) B .

On a f (;)=; et f 1(;)=;.

Exemple : Vrifier que A f 1( f (A)) et que f ( f 1(B))B .Proposition 50 Si f : E F est une application, alors f induit une surjection de E surf (E ).De plus, f est surjective de E sur F si et seulement si f (E )= F .

f induit une surjection signifie que cest une restriction de f qui est surjective : ici f | f (E)|E .

Dfinition 51 Partie stableSoient f : E E une application et A E . On dit que A est stable par f lorsque f (A) A, iex A, f (x) A.

Exemple : Pour lapplication x 7 x2, les parties suivantes sont-elles stables : A = R+, B =[0,2],C = [2,+[ ?



5 Exercices

Exercice 1 crire avec les quantificateurs et les connecteurs appropris les propositionsmathmatiques suivantes :

1. Il existe un rationnel compris entrep3 et

p5.

2. Il nexiste pas dentier naturel suprieur ou gal tous les autres.

3. Si la sommede deux entiers naturels est nulle, alors ces deux entiers naturels sont nuls.

Exercice 2 Montrer que pour tout n N, si n2 est pair, alors n est pair.

Exercice 3 Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Sinon donner leur ngation :

1. A R/n N, pn A2. x R+, n N/ 1

n x

3. x R, n N/ 1n x

Exercice 4 Soit E un ensemble. Pour toutes parties A et B de E , on pose :

AB = (AB)\(AB).

1. Montrer que : AB = (A\B) (B\A).2. Soient A, B et C trois parties de E vrifiant : AB = AC . Montrer que : B =C .

Si AB = AC peut-on dire que B =C ?

Exercice 5

1. DterminerP (E ) pour E = {a,b,c,d} ; a, b, c, d tant distincts deux deux.2. DterminerP (E ) et P (P (E )) pour un ensemble deux lments.

Exercice 6 Soient E un ensemble et A, B et C trois parties de E .

1. Montrer que : A B AB = E .2. Dmontrer que :

{AB = ACAB = AC B =C .

3. Dmontrer que :

{AB = ACAB = AC A =B =C .

Exercice 7

1. Montrer que pour tout entier n N, on a : n! 2n1.2. On dfinit une suite relle (un)nN par : u0 = u1 = 3 etn N, un+2 = un+1+2un. tablir

que :n N, un = 2n+1+ (1)n

Exercice 8 On considre lapplication f dfinie par :

f : R Rx 7 sin(x)+2x

1. Est-ce que lapplication f est injective ? surjective ? bijective ?

2. Montrer que lquation f (x)= 2 admet une unique solution relle, et que cette solutionest strictement positive.


5 Exercices

Exercice 9 On considre lapplication :

f : R R+x 7 x2

1. Est-elle injective sur R ? surjective de R sur R+ ?

2. Montrer que f|R+ est bijective de R+ sur R+ et dterminer son application rciproquef 1|R+ .

3. De mme montrer que f|R est bijective de R sur R+ et dterminer son applicationrciproque f 1|R .

4. f est-elle injective surN ? bijective de N surN ? de Z surN ?

Exercice 10 Soient E , F deux ensembles et f : E F et g : F E deux applications.1. Montrer que si g f I dE , alors g est surjective et f est injective.2. On suppose que g f I dE , et que lune des deux applications f ou g est bijective.

Montrer que lautre est aussi bijective.

3. Monter que si g f et f g sont bijectives, alors f et g sont bijectives.

Exercice 11 Soient f : E F et g : E G deux applications. On considre lapplicationsuivante :

h : E F Gx 7 ( f (x),g (x))

1. Montrer que si f ou g est injective alors h lest aussi. La rciproque est-elle vraie ?

2. Montrer que si h est surjective, alors f et g le sont aussi. La rciproque est-elle vraie ?

Dans la recherche de contre-exemples, on pourra considrer les fonctions f : x R x2 R+et g : x R (x1)2 R+.

Exercice 12 Soient E , F deux ensembles et f : E F une application. On considre A1 etA2 deux parties de E et B1 et B2 deux parties de F .

1. Montrer que :

f (A1 A2)= f (A1) f (A2) et f (A1 A2) f (A1) f (A2) .

2. Montrer que :

f 1 (B1B2) = f 1 (B1) f 1 (B2) etf 1 (B1B2) = f 1 (B1) f 1 (B2) .

Exercice 13 Soient E un ensemble non vide et f :P (E )R+ telle que

(A,B) P (E )2, AB =; = f (AB)= f (A)+ f (B)

Dmontrer les proprits suivantes :

1. f (;)= 02. (A,B) P (E )2, f (AB)= f (A)+ f (B) f (AB)3. (A,B) P (E )2, A B = f (A) f (B)



Exercice 14 Soient E , F deux ensembles et f : E F une application. On considre A unepartie de E et B une partie de F .a) Montrer que f

(f 1(B)

)B et que f 1 ( f (A)) A.b) On suppose f surjective. Montrer que f

(f 1(B)

)=B .c) On suppose f injective. Montrer que f 1

(f (A)

)= A.d) On suppose f bijective. Vrifier que limage rciproque de B par f est gale limage deB par lapplication rciproque f 1. [Cest heureux car les deux ensembles sont nots de la mmemanire !]

Exercice 15 Soit E un ensemble non vide. Soit F une partie non vide de P (E ).On dit que

F est un filtre sur E si :

(a) (X ,Y ) F 2, X Y F(b) X F ,Y P (E ) : X Y = Y F(c) ;F

1. Que peut-on dire dune famille non videF deP (E ) ne vrifiant que les axiomes (a) et (b) ?2.P (E ) est-il un filtre sur E ? A quelle conditionP (E ) {;} est-il un filtre sur E ?3. Montrer que si F est un filtre sur E , alors E F .4. Soit A une partie non vide de E . Montrer que FA = {X P (E ); A X } est un filtre sur E .


Chapitre 2

Dnombrement et calculs de sommes

1 Ensemble de nombres usuels

Ensemble des entiers naturels :N= {0,1,2, . . .}. On dfinit des intervalles dentiers : si (n,p)N2 tel que n p, on note n,p = {k N/n k p}. Ensemble des entiers relatifs : Z= {. . . ,2,1,0,1,2, . . .}.

Ensemble des nombres rationnels :Q={

p

q

/p Z,q N

}.

Ensemble des nombres rels : R (contient strictement lensemble D des dcimaux). Lesintervalles sont not avec des crochets simples [a,b[ etc. . .

Ensemble des nombres complexes : C= {a+ ib/(a,b) R2}.Ils vrifient la chane dinclusions :N(Z(Q(R(C.

La proprit dintgrit de lamultiplication est fondamentale dans la rsolution dquation :si a et b sont deux nombres alors ab = 0 a = 0 ou b = 0.On en dduit que si ac = bc alors a = 0 ou b = c.

2 Ensembles finis - Dnombrement

2.1 Ensembles finis

Dfinition 1 Soit E un ensemble non vide. On dit quil est fini lorsquil existe un entier na-tureln et une bijection : E 1,n. Le choix de n est alors unique : on lappelle le cardinalde E , not Card(E ), #E ou encore |E |.

39

CHAPITRE 2 : Dnombrement et calculs de sommes

On adopte aussi la convention suivante : ; est un ensemble fini de cardinal gal 0.

SiE est fini de cardinaln 6= 0 alors on peut numroter ses lments de 1 n :E = {x1,x2, . . . ,xn}.

Proposition 2 Un exemple importantSi (n,p) N2 tel que n p, alors n,p est un ensemble fini et #n,p = pn+1.En particulier \lc0,n = n+1 et #1,n= n.

Thorme 3 Ensembles finis en bijectionSoient E et F deux ensembles. On suppose que :(i) E est fini ;(ii) il existe une bijection : E F .Alors F est fini et #E = #F .

Thorme 4 Parties dun ensemble finiSoit E un ensemble fini.

1. Toute partie A de E est finie et vrifie #A #E .2. Si A E : A = E #A = #E .

B ATTENTION : en gnral si #A #E , on ne peut pas dire que A E . Et bien sur si #A = #E ,on ne peut pas dire que A = E .

Thorme 5 Proprits des applications entre ensembles finis / Principe des tiroirsSoient E et F deux ensembles finis et f : E F une application.

1. Si f est injective alors #E #F .2. Si f est surjective alors #E #F .3. Si #E = #F alors :

f est injective f est surjective f est bijective

Schubfachprinzip de Dirichlet : Si n chaussettes occupent m tiroirs, et si n > m, alors aumoins un tiroir doit contenir strictement plus dune chaussette. Une autre formulation se-rait que m tiroirs ne peuvent contenir strictement plus de m chaussettes avec une seulechaussette par tiroir ; ajouter une autre chaussette obligera rutiliser lun des tiroirs .

Dfinition 6 Ensembles infinisSi E nest pas fini, on dit quil est infini. Son cardinal est dit transfini.

B Les cardinaux transfinis ne sont pas tous gaux !Par exemple on peut montrer que #N< #R.



Dfinition 7 Ensembles dnombrablesOn dit que E est dnombrable lorsquil est en bijection avecN (dans ce cas E est infini).On dit que E est au plus dnombrable lorsque E est fini ou dnombrable.

Intuitivement le fait pour un ensemble dtre dnombrable signifie quon peut compter/numrerses lments.

Exemple : N ,Z et Q sont dnombrables. R et C ne le sont pas.

2.2 Dnombrement des ensembles finis

Thorme 8 Dnombrement des parties dun ensemble finiSi E est fini alorsP (E ) lest aussi et #P (E )= 2#E .

Dmonstration : On note n = E . On donne trois pistes de dmonstrations. Pour toute partie A de E , chaque x E vrifie x A ou x A. Donc au total 2n choix.On peut raisonner par rcurrence sur n.On peut mettreP (E ) en bijection avec {0,1}E via les fonctions indicatrices.

CQFD

Thorme 9 Principe des bergers

1. Si A et B sont deux ensembles finis et disjoints alors AB est fini et #(AB)= #A+#B .2. Si A1, . . . , An sont des ensembles finis et deux deux disjoints : #(A1 A2 An)=

#A1+#A2+ +#An .

Quand les bergers veulent compter leurs moutons, ils comptent leurs pattes et divisent parquatre .

Dmonstration : Supposons : A 1,n et :B 1,p sont bijectives.Alors f : AB 1,n+p dfinie par f (x)=(x) si x A et f (x)= n+(x) si x B est unebijection.

CQFD

Corollaire 10 Cardinal dune diffrenceSi A et B sont deux ensembles finis : #(B\A)= #B #(AB).

Corollaire 11 Cardinal dune unionSi A et B sont deux ensembles finis et disjoints alors AB et AB sont finis et :

#(AB)= #A+#B #(AB)



Ces formules se retrouvent facilement laide dun diagramme :

Corollaire 12 Cardinal du complmentaireSi E est fini et A est une partie de E alors : #A = #E #A.

Thorme 13 Cardinal dun produit cartsienSi E et F sont finis alors EF est fini et #(EF )= (#E ).(#F ) (le point dsigne lamultiplicationdes nombres).

Dmonstration : Il suffit de trouver une bijection de 1,n1,p sur 1,np.Par exemple lapplication (x, y) 7 x+n(y 1).

CQFD

2.3 Dnombrement des applications entre ensembles finis

Thorme 14 Si E et F sont deux ensembles finis alors F E est fini et #F E = (#F )#E .

Exemple : Si n = #E alors #({0,1}E)= 2n .Dfinition 15 On appelle p-liste dlments dun ensemble F tout p-uplet dlments deF .

Thorme 16 Dnombrement des p-listesLe nombre de p-listes dlments de F est gal (#F )p .

On vamaintenant dnombrer les applications injectives. Pour cela, commenons par dfinirla notion de factorielle dun entier naturel.

Dfinition 17 FactorielleSi n N, on pose n!= 123 n.On adopte aussi la convention 0!= 1. Ainsi n! est dfinie pour tout n N.

Par exemple 1!= 1, 2!= 2, 3!= 6, 4!= 24, 5!= 120 . . . .



Dfinition 18 ArrangementsSi F est un ensemble fini tel #F = n et p un entier naturel non nul tel que p n, on appellearrangement de p lments de F tout p-uplet dlments de F dont les composantes sontdeux deux distinctes.

Thorme 19 Dnombrement des arrangementsLe nombre darrangements de p lments parmi n est gal :

Apn =

{n (n1) (n2) (np+1)= n!(np)! si n p0 si n < p

avec n = #F et p = #E .

Exemple : A73 = 0 et A37 = 765.

Thorme 20 Dnombrement des applications injectivesSoient E et F deux ensembles finis.

1. Si #E #F , il y a au total (#F )!(#F #E )! = A

#E#F applications injectives sur E valeurs dans

F .

2. Si #E > #F , il y na aucune application injective sur E valeurs dans F .

Corollaire 21 Dnombrement des bijectionsSi #E = #F alors le nombre de bijections de E sur F est gal (#E )!.Si #E 6= #F alors il nexiste pas de bijection de #E sur #F .

Dfinition 22 PermutationsOn appelle permutation de E toute bijection de E sur E .

Thorme 23 Dnombrement des permutationsSi E est fini de cardinal n, le nombre de permutations de E est gal n!.

Le dnombrement des surjections est plus compliqu et nest pas au programme. Nous leferons en TD.



2.4 Coefficients binmiaux

Dfinition 24 Coefficients binmiaux

Soient (n,p) N2 tel que p 0,n. On pose(

n

p

)= n!

p !(np)! =A

pn

p !.(

n

p

)se lit p parmi n . La notationC pn nest plus utilise aujourdhui.

Si (n,p) Z2 et que lune des deux conditions n 0 ou p 0,n nest pas vrifie on adoptela convention

(n

p

)= 0.

Nous allons voir que ces nombres interviennent dans de trs nombreuses formules.

Thorme 25 Nombre de parties p lmentsSoit E un ensemble fini de cardinal n. Pour tout p 0,n, le nombre de parties de E plments est gal

(n

p

).

Dfinition 26 CombinaisonsSi E est un ensemble fini et p N, on appelle combinaison de p lments de E toute partiede E dont le cardinal est gal p.

Thorme 27 Dnombrement des combinaisonsSi E est fini de cardinal n et p N, le nombre de combinaisons p lments de E est gal (

n

p

)(la formule est vraie mme si n < p).

Proposition 28 Rgles de calculSoient n N et p 0,n.

1. Factorisation : si p 6= 0,(

n

p

)= n

p

(n1p1

).

2. Addition ou formule de Pascal :

(n

p

)+(

n

p+1

)=(

n+1p+1

).

3. Symtrie :

(n

p

)=(

n

np

).

4.

(n

0

)= 1=

(n

n

),

(n

1

)= n =

(n

n1

)et

(n

2

)= n(n1)

2=(

n

n2

).



En pratique on peut calculer les(n

p

) laide de leur dfinition avec des factorielles :(

n

p

)= n!

p !(np)! =n (n1) (np+1)

p !

Exemple :

(20

3

)= 201918

321 = 20193= 1140.

Pour de petites valeurs de n la formule de factorisation permet de construite le triangle dePascal. Dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numrotes partir de 0, on

place la valeur de

(n

p

) lintersection de la ligne n et la colonne p. La formule de Pascal

donne que la sommede deux coefficients conscutifs sur lamme ligne (colonnes p et p+1),donne le coefficient situ sur la ligne suivante,colonne p+1. Au dpart on part dun tableauavec des 1 sur la colonne 0 et sur la diagonale.

Exemple :

11 11 11 11 11 11 1

donne

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1

et on en dduit

(6

3

)= 20.

Proposition 29 Les coefficients binmiaux sont des nombres entiers naturels

Pour tout (n,p) Z2,(

n

p

)N.

2.5 Techniques de dnombrement

Pour bien dnombrer les lments dun ensemble fini E il faut :- ne compter que les lments de E ;- ne pas en oublier ;- ne pas compter plusieurs fois le mme lment, ou penser rectifier le rsultat final.

Si on dnombre des objets en les dcrivant par tapes successives (pour une carte : on choi-sit sa couleur puis sa hauteur), il faut la finmultiplier les rsultats.

Si on dnombre par disjonction des cas, il faut la fin additionner les rsultats (cest lelemme des bergers).

p-listes : si on choisit p lments dans un ensemble n lments, avec rptition auto-rise, lordre des tirages tant pris en compte, alors on a np possibilits au total.

Exemple : Nombre de coloriages possibles dune carte des 27 pays de lUE, avec 4 couleurs =427.



Exemple : Nombre de tirages successifs avec remise de p boules dans une urne de n boules= np .

Arrangements : si on choisit p lments dans un ensemble n lments, sans rptition,lordre des tirages tant pris en compte, alors on a Apn possibilits au total.

Exemple : Nombre de coloriages possibles dune carte des 27 pays de lUE, avec 40 couleurs,de telle sorte que chaque pays ait une couleur diffrente de celle des autres = A2740.

Exemple : Nombre de tirages successifs sans remise de p boules dans une urne de n boules= Apn .

Combinaisons : si on choisit p lments dans un ensemble n lments, sans rptition,lordre des tirages ntant pas pris en compte, alors on a

(n

p

)possibilits au total.

Exemple : Nombre dquipes de football possibles dans une classe de 45 lves =

(45

11

).

Exemple : Nombre de tirages simultanes de p boules dans une urne de n boules =

(n

p

).

B Le cas du choix de p lments dans un ensemble n lments, avec rptition, lordredes tirages ntant pas pris en compte, nest pas au programme.

Permutations : si on permute n lments, alors on a n! possibilits au total.

Exemple : Nombre de faons de ranger 10 manteaux dans une penderie = 10!.

B Lorsquon permute les lments, certains peuvent revenir leur position intiale ! (onparle de points fixes).

Situations plus complexes : On dispose dune urne de n boules dont n1 sont noires et n2 sont blanches. On tire pboules dans cette urne. Le nombre de tirages diffrents donnant p1 blanches et p2 noires(p1+p2 = p) quon peut obtenir est :

(n1

p1

)(n2

p2

)

Choix des boules

si les boules sont tires simultanment ;

Ap1n1 Ap2n2

Choix des boules

(

p

p1

)

Choix des tirages

si les boules sont tires successivement et sans

remise ;

np11 np22

Choix des boules

(

p

p1

)

Choix des tirages

si les boules sont tires successivement et avec

remise.


3 Calculs de sommes et de produits

Ondispose dune urne den boules dontn1 sont noires,n2 sont blanches etn3 sont rouges.On tire p boules dans cette urne. Le nombre de tirages diffrents donnant p1 noire, p2blanches et p3 rouges (p1+p2+p3 = p) quon peut obtenir est :

(n1

p1

)(n2

p2

)(n3

p3

)

Choix des boules

si les boules sont tires simultanment ;

Ap1n1 Ap2n2 A

p3n3

Choix des boules

(

p

p1

)(pp1

p2

)

Choix des tirages

si les boules sont tires successivement et sans

remise ;

np11 np22 n

p33

Choix des boules

(

p

p1

)(pp1

p2

)

Choix des tirages

si les boules sont tires successivement et avec

remise. Etc. . . Ces formules se gnralisent facilement.


3.1 Sommes

Dfinition 30 Symbole

Soient a0, a1, . . . , an des nombres complexes. On pose :n

k=0ak = a0+a1+ +an .

Si p 0,n, on pose aussi :n

k=pak = ap +ap+1+ +an .

Plus gnralement si (ai )iI est une famille finie de nombres complexes (ie I est fini), onpose :

iI

ai = somme de tous les nombres de la famille (ai )iI .Dans le cas o I =;, on adopte la convention :

iI

ai = 0.

Proposition 31 Rgles de calculSoient (ai )iI et (bi )iI deux familles finies de nombres complexes.

1. Factorisation. Si C :iI

(ai )=iI

ai .

2. Linarit.iI

(ai +bi )=iI

ai +iI

bi .

3. Sommation par paquet. Si I = I1 I2 avec I1 I2 =; alorsiI

ai =

iI1ai +

iI2

ai .

4. Relation de Chasles. Si I = p,n et q I :n

k=pak =

qk=p

ak+n

k=q+1ak =

q1k=p

ak+n

k=qak .



5. Changements dindice. Lindice de la somme est une variable muette :iI

ai =jI

ai =kI

ak ou encoren

k=pak =

nj=p

a j =n

i=pai .

De plus on peut dcaler les indices. Si on fixe q Z , et si on pose k = k+q :n

k=pak =

n+qk=p+q

akq

Dautre part on peut aussi inverser lordre des termes de la somme, en posant k =nk :

nk=p

ak =npk=0

ank

3.2 Sommes usuelles connatre

Sommes tlescopiques. Pour toute famille (ak )pkn+1 de nombres complexes :n

k=p(ak+1ak )= an+1ap .

Sommes terme gnral constant. Pour tout a C :n

k=pa = (np+1)a= (nb de termes)

a.

Sommes arithmtiques.On a :n

k=0k =

nk=1

k = 1+2+ +n = n(n+1)2

.

Somme dEuler.On a :n

k=0k2 =

nk=1

k2 = 12+22+ +n2 = n(n+1)(2n+1)6

.

Sommes gomtriques.On a :n

k=0qk = 1+q+q2+ +qn =

{n+1 si q = 11qn+11q si q 6= 1

.

3.3 Formule du binme de Newton

Cest la formule la plus importante ! Commenons par rappeler la convention suivante : siz C on pose z0 = 1. En particulier 00 = 1.

Thorme 32 Formule du binmeSi a et b sont deux nombres complexes :

n N, (a+b)n =n

k=0

(n

k

)ak bnk =

nk=0

(n

k

)bk ank =

(n

0

)a0bn +

(n

1

)a1bn1+ +

(n

n

)anb0



Exemple : Grce au triangle de Pascal on calcule les

(n

k

).

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1

donne :(a+b)2 = a2+2ab+b2,(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3,et (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

Corollaire 33 Cas particuliers connatre

Pour tout n N :n

k=0

(n

k

)= 2n et

nk=0

(n

k

)(1)k = 0n =

{1 si n = 00 si n 1

Exemple : Soit n N. Calculern

k=0

[(k+1)3k3

]et en dduire que

nk=0

k2 = n(n+1)(2n+1)6

.

3.4 Sommes doubles

Si (xi j ) 1in1 jp

est un tableau de nombres n lignes et p colonnes on note :

1in1 jp

xi j = somme de tous les nombres du tableau

Visualisons le tableau :

x11 x12 . . . x1 j . . . x1px21 x22 . . . x2 j . . . x2p...

.... . .

.... . .

...

xi1 xi2 . . . xi j . . . xi p...

.... . .

.... . .

...xn1 xn2 . . . xn j . . . xnp

Nous avons encadr la ligne i et la colonne j . Notons Si la somme partielle des nombres de

la ligne i : Si =p

j=1xi j ; et notons T j la somme des nombres de la colonne T j : T j =

ni=1

xi j .

Il est clair que la somme des sommes partielles obtenues pour chaque ligne (resp. chaquecolonne) donne la sommede tous les nombres du tableau. On en dduit le thorme suivantsur les sommes doubles.



Thorme 34

cours_ecs1.pdf

Documents